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PROGRAMA. DECO/WTMAO B»l(0<MABCA RR SP-tlSP/tF-Rn PEDIDO M, >MOfe6P / / F

UNIVERSIDADE DE SAO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA

Í

A DENSIDADE DE ESTADOS PARA O MODELO DE ANDERSON BI-DIMENSIONAL NA PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO,

COM MEIO QUANTUM DE FLUXO POR PLAQUETA

NELSON MUGAYAR KUHL

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO APRE SENTADA NO INSTITUTO DE FlSjÇ CA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAU LO

ORIENTADOR:- PROF. DR. JOSÉ FERNANDO PEREZ

São Paulo 1987

PICHA CATALOGRÃFICA

Preparada p e l o S e r v i ç o de B i b l i o t e c a e Informação do I n s t i t u t o de F í s i c a da U n i v e r s i d a d e de São P a u l o

Kuhl, Nelson Mugayar

A densidade de estados para o modelo de Anderson Bi-dimensional na presença de um campo magnético, cem meio quantun de fluxo por plagueta. São Paulo, 1987.

Dissertação (Mestrado) - Universidade de São Paulo. Instituto de Física. Departamento de Física Matemática.

Area de Concentração: Física das Partículas Elemen-tares.

Orientador: Prof. Dr. José Fernando Perez

Unitermos: 1.Potenciais aleatórios; 2.Densidade de estados; 3.Modelo de Anderson com campo maçmétioo. USP/IF/SBI - 17/87

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Dr. José Fernando Perez, pela orientação durante o Mestrado;

Ao Professor Dr. Emerson José Veloso de Passos pela a tenção e incentivo;

A Alcilea, Eda, Nilce, Sidney e todos os meus amigos.

R E S U M O

Estudamos propriedades de regularidade da densidade integrada de estados (D.I.E.) e da densidade de e_s tados (D.E.) do modelo tight-binding de Anderson ([1]) bi-dimen sional na presença de um campo magnético uniforme perpendicular ao plano do sistema, com meio quantum de fluxo por plaqueta. A relevância física deste problema decorre de sua conexão com o chamado efeito Hall quantizado que se observa em sistemas bi-di. mensionais na presença de campos magnéticos intensos ([3],[4]). Revisitamos o teorema de Wegner sobre a existência de uma cota superior para a D.E. ([12]) e demos uma prova substancialmente

ii

mais simples para a continuidade Holder da D.I.E. demonstrada por Carmona-Klein-Martinelli em [13]. Mostramos também que os resultados de analiticidade para a D.E. obtidos por Constant! -nescu-Frohlich-Spencer em [14] são verdadeiros no modelo estuda do por nós e demos um argumento intuitivo para o decaimento da D.I.E. conhecido como Cauda de Lifischitz ([15], [16]).

A B S T R A C T

We study some regularity properties of the integrated density of states (I.D.S.) and the density of states (D.S.) in the tight-binding Anderson model ([1]) in two dimensions, in the presence of an extreme magnetic field with one half of a flux quantum per plaquete. The physical importan ce of this problem derives from its connection with the quantum Hall effect, observed in two dimensional electron systems in the presence of strong magnetic fields ([3], [4]). We revisit the proof given by Wegner ([12]) for upper bounds for the D.S.

N

and present a simpler proof for the Holder continuity of the I.D.S. first given by Carmona-Klein-Martinelli in [13]. We show that the analiticity results for the D.S. proved by Constanti -nescu-Frohlich-Spencer in [14] also applies for the model stu-died here and we discuss a heuristic argument for the Lifis-ohitz tail in the I.D.S. ([15],[16]).

Í N D I C E CAPITULO CAPITULO CAPITULO CAPÍTULO 0 1 2 3 APÊNDICE 1 APÊNDICE 2 APÊNDICE 3 APÊNDICE 4 REFERÊNCIAS INTRODUÇÃO O ESPECTRO DA HANILTONIANA A DENSIDADE DE ESTADOS PROPRIEDADES DE REGULARIDADE PARA A DENSIDADE DE ESTADOS 3.1 - INTRODUÇÃO 3.2 - CONTINUIDADE ABSOLUTA, CONTINUIDADE HOLDER E COTA SUPEPTor» r.nRA A DERIVADA, DA DENSIDADE INTEGRADA DE ESTADOS 3.3 - ANALITICIDADE DA DENSI. DADE DE ESTADOS 3.4 - CAUDA DE LIFSCHITZ Pág Pág Pág Pág Pág Pág Pág Pág Pág Pág Pág Pág Pág

1.

CAPÍTULO O - INTRODUÇÃO

Neste trabalho, estudamos propriedades matemáticas de den-sidade integrada de estados e da denden-sidade de estados do modelo de Anderson bi-dimensional na presença de um campo magnético uniforme perpendicular ao plano do sistema.

0 modelo de Anderson ((jQ) n a aproximação tight-binding

descreve uma partícula quântica sob a ação de um potencial aleató-rio V na rede (hiper) cúbica Z .

A hamiltoniana da partícula é dada por

H(v; * - A + V Í U onde

lâfH })*<£- Efti)-f(j)3

Ulí-jí-l

é o operador laplaciano de diferença finita e V atua como um opera dor de multiplicação,

(Vflíj)= VfofVíj)

sendo o con junto {Víj)J j £ Z. uma família de variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas (i.i.d.).

Este modelo é estudado em conexão com a teoria da conduti^ vidade em meios com impurezas aleatórias. De uma maneira simplifi-cada, podemos dizer que os estados condutores estão associados ao espectro contínuo e autofunções estendidas (tipo onda plana) de H(V), enquanto que os estados não condutores estão associados ao espectro discreto de H(V), tipicamente com autofunções que decaem exponencialmente a partir de um centro (f2j) . Estes últimos são chamados estados localizados.

Na presença de campos magnéticos intensos e a baixas tempe raturas, a condutividade Hall transversa de sistemas

bi-dimencio-2.

nais é quantizada ([V]» L X P » e ® importante tentar compreender a

relação deste efeito com as impurezas de sistema. Daí o motivo de se estudar o modelo de Anderson na presença de um campo magnético.

A hamiltoniana de uma particúla carregada sob a -*ção de um campo magnético é dada pela expressão

H0= (P - - A)' (2)

u c

onde £ é a carga da partícula, £ a velocidade da luz, £ o operador dado pelos componentes

x

\x

y

\y \z

e A é o operador induzido pelo potencial vetor do campo magnético B, cada componente atuando como um operador de multiplicação.

No caso de um campo magnético uniforme perpendicular ao pia no xy, podemos escolher A na forma

Ax = -By, Ay = 0, Az = 0

onde B é a intensidade do campo magnético. Considerando a partícula restrita ao plano xy, H. se reduz a:

H = ,Px • eB yx 2 _ 2

°

(

r >

+ p y

o)

Para uma rede bi-dimensional com espaçamento a, o seguinte

operador (4)

é adeouado para descrever uma partícula carregada numa rede bi-di-mensional sob a ação de um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da rede, pois, como veremos a seguir, a expressão (4) "con verge" para o operador dado por (3) quando o espaçamento a tende a zero.

0 lado direito da expressão (4) pode ser reescrito na forma

fix* a#)-

Wx, y). Wx,y)-

Wx-a,y)

1

ü + « ' ^ - f ,V(x+qyJ -y(x,W •

3.

, l - e * * " yíx,y)-y(x-o

t

yJ . g í C o s f ^ M M i i U f ^ v ) ^

y<K.y»o)-T(x,W - Vtx.y)-y(x,y

o a

- /

guando a tende a zero, esta expressão tende a

J-ix« c _\

x c

Jtf ct * ay» I

• Px

f

• 2^fiyPx • l£f* PA r (x,y) *

*UPx*^yf+Pyl T (x,y)

0 limite acima pode ser tornado rigoroso no sentido de Trotter (pi) mas isto não será aqui objeto de análise

Na rede quadrada Z2 (espaçamento l) a expressão (4) fica

igual a

(HbBV)(x,y)« 4 ^

ix#)-

Je'*' <P

U + \*)* •

J

t

J,

Wx-l,ykV(*#*lhY(x,ynl ai

Neste trabalho, estudamos o caso particular em que o fluxo magnético por plaqueta é igual a meio quantum 1/2 0 de fluxo. Is to eqüivale, num espaçamento de rede padrão típico, a um campo mag netico extremamente forte (aproximadamente de 10 Gauss para

4.

te calcular explicitamente o espectro de H bem como obter expres-sões para a densidade integrada de estados e a densidade de estados em termos de Hamiltoniana de volume infinito. Com este fluxo magné-tico, a expressão (5) se reduz a

(Hoy)(x,y)=4y(x,y)-[ei1,yK(x-i.l,y)+e"i,'yy(x-l,y)+y(xfy+i;+)'(x,y-l)]

ou seja

(Hoy)(xfy)*4y(x,y)-(-l)y px+lfy)+y(x-l,y)] -|y(x,y+l)+«f(x,y-l)] (6)

0 modelo que estudamos é dado pela Hamiltoniana

H( v ). Ho • V (7)

onde H é dado por (6) e V é um potencial aleatório como o descrito o

no início deste capítulo. H(V) atua emjt ( Z' ) , o espaço das

fun-ções quadraticamente somáveis em Z'. Resultados sobre a densidade de estados para potenciais aleatórios na presença de um campo magné tico podem ser encontrados em (j_6J ) e sobre o problema da localiza-ção de estados eletrônicos em modelos "tight-binding" como o descri to acima na presença de um campo magnético podem ser encontrados nas referências ([7] ,[8] e[9] ).

Faremos agora uma revisão dos resultados para sistemas sem campo magnético, onde nos foi possível simplificar provas de al-guns resultados já conhecidos.

0 espectro de H(V), tf(H(V), é independente de V com proba bilidade 1 e é igual à soma dos conjuntos tf(-A ) e suppdti, onde &

6 o laplaciano de diferença finlta e suppdy. 6 o suporte da distri-buição de probabilidade dn de V(j) ( 1101). No capítulo 1, demonstra mos estes resultados para o modelo definido pelas expressões (6) e

5.

A densidade integrada de estados é definida através de um processo limite a partir do sistema restrito a regiões finitas da rede, e prova-se que este limite existe e é independente de V com probabilidade 1 ([11]). No capitulo 2, provamos este resultado pa ra o modelo dado por (6) e (7) e deduzimos também expressões para a densidade de estados em termos de hamiltoniana do sistema infini to, análogas às conhecidas para o modelo de Anderson ([2],111]).

Propriedades de regularidade da densidade de estados são importantes para o estudo da localização de estados eletrônicos

([23] ,[24]). Wegner (112]) provou que se a distribuição de probabi lidade dy for absolutamente contínua em relação â medida de Lebes_ gue, com a densidade limitada, então a densidade integrada de esta dos é uma função absolutamente continua e a sua derivada (a densidade de estados) é limitada. Revisitamos este resultado simplifi -cando a sua demonstração. Com as mesmas técnicas, obtivemos uma simplificação substancial da prova dada por Carmona-Klein-Martinel^ li ([13]) para a continuidade Holder da densidade integrada de es^

n

tados no caso de d vi ser Holder-contínua.

Acreditamos que os resultados descritos acima sejam verda-deiros para valores de B tais que H seja possivelmente não perió dico, mas não podemos prová-los com as técnicas apresentadas neste trabalho, pois estas envolvem a periodicidade de H . Talvez com a teoria dos operadores de Schrodinger quase periódicos ([17]) seja possivel estudar este problema.

D.

CAPÍTULO 1

O ESPECTRO DA HAMILTONIANA

Seja rf o espaço de Hilbert das funções quadraticamente so-maveis em Z2 , isto é, JP é o conjunto das funções

f :Z

2

~*C

tais que

!f (x,y)l*<oo

com o produto escalar dado por

<

f

>9

>s

Jr

z

ÍT^yTg <x,W , f,g € »

y c *

A hamiltoniana do sistema atuando em é dada por

HMs HO*V (I.I)

onde

(Hof)(x,y)r -{í-l)

y

(j(x*l,yKf(x-l,y)J*f(x,y+í)f fíx,y-/)/ (1.2)

com x 6 Z, y 6 Z.(0 termo diagonal constante que aparece na expres são (0.6) foi subtraído),.V é um potencial aleatório atuando como um operador de multiplicação:

(Vf) (j) -- V (j) f (j), j e Z2 (1.3) Assumiremos que a família de variáveis aleatórias V (j)

J € Z2 é independente e idênticamente distribuída ( i.i.d) com dis tribuição comum, dada por dp (v). 0 suporte de dn, suppdn,é o fe-cho do conjunto:

V 6 R:3 €>0 para o qual jilv-a ,v+a)>0,Vo< a <Ç. j

Denotemos por/L^= ií Rj o produto cartesiano de cópias cie

R indexado em Z2 , por Z a algebra - c gerada pelos cilindros de A e por dP (V) a medida de probabilidade induzida por dn (V(J)), em (JL ,Z ) • Escreveremos o valor esperado de uma função X(V) do

potencial por

X*>(W dPM ( 1 > 4 )

H é um operador limitado e IIH II B/tf\ <4t onde ||»|JB/») e a norma usual no espaço dos operadores limitados. Em relação

base canônica de JP , os elementos de matriz de H são iguais a:

-(-I) se li-jl

s

/ e í

r

- h

i€Z*

(1.5)

(Ho)ij-

] -

' se

l i - j 1*1 e

i. = j.

0 de outro

fome

J C Z

Para cada V € A , O operador (Vf) (j) = V(j) f(j) é auto-adjunto num domínio denso de 9 . Como H é limitado, H(V) é auto-ad junto no domínio de $ onde V é auto-ad junto.

0 espectro de H pode ser facilmente calculado levando-se em conta a simetria deste operador. Ele é invariante por translação na direção x e tem periodicidade £ na direção y. Podemos usar en-tão o teorema de Bloch e procurar as autofunções (generalizadas) na forma

Vi, (x,yj* / lk q U) e * ' ef» ( 1.6 )

onde Jiu% (y) é uma função p e r i ó d i c a de p e r í o d o i g u a l a 2_ .

Devi-do à p e r i o d i c i d a d e na d i r e ç ã o y, é s u f i c i e n t e e s c r e v e r a equação de a u t o v a l o r e s

(Ho%q) U,y)=E Vk q iXty) para y s 0 e y=l ••

y - • 0 - • • ( i l M (

W

e

i ,

e ^ ^

B )

e •

| , •"'•ju„(/)#* •'"•A

,(U e' f^E^p

(E+ 2co$ K) HwntZcos q ftmtnmO

2co$ q pwo, *{E-2cos k)pHln*0 (1.7)

Para o sistema de equações (1.7) ter solução não trivial devemos impor

(

E f2cos k 2 cos q \

) * °

2 cos a E-2cos k' 2 cos q E - 4 cos* k - 4 cos* q - O E = * 2 W k * cos*q|

-7T<

k4 f

-"n/2<q < ir/2

( 1 . 8 ) Devido a ( 1 . 6 ) e ( 1 . 7 ) , b a s t a tomar os v a l o r e s de k e q nas r e g i õ e s e s p e c i f i c a d a s acima.

Note que Hõ não tem a u t o v e t o r e s p o i s V*» £ JP e o seu e s

p e c t r o de e n e r g i a é c o n t í n u o . Devido a ( 1 . 8 ) temos

fíHo)=[-2V2~, 2V2~J ( i . 9 ) onde jf(.) está denotando o espectro de um operador. Isto é

conse-qüência do lema (1.2) enunciado a seguir, onde para a família \?n

que aparece neste lema podemos usar as restrições normalizadas de fw(x» v) a quadrados /\ que convergem para Z2 quando n cresce

Podemos agora determinar o espectro de H(V):

Proposição l.lsCom probabilidade 1, o espectro de H(V) é dado por

Isto significa que existe um subconjunto A de/Ide medida 1, i.e, P (A) = 1, tal que para todo V € A o espectro de H(V) é in dependente de V e é dado pela expressão (1.10).

Para demonstrar a proposição acima, vamos usar o seguinte lema:

Lema 1.2 Sejam ]A, D(A)Í um operador num espaço de Hil^ bert E (D(A) é o domínio de A) e /LcC . Então, ÍV. pertence ao espeç_ tro de A (X€ tf(A) )se e somente se existe uma seqüência de vetores ( fn}n = l C D(A). com ||fn || £ = l , v „ , tal que 1 Í J B J | ( A - M f J - O ( £is2 , seção VIII-3).

0 esquema para a demonstração da proposição 1.1 é o se-guinte: fixe r = a+b, com a€ tf (HQ) e b € suppdn. Note que H(V)-r = (H0-a)+ V-r. Se denotarmos porACZ* um quadrado da rede, por | A |o numero de pontos de A , e definirmos fA como a restrição normali-zada a A da autofunção generalinormali-zada de H0 cujo autovalor é a, en-tão lim (H.-a)íà|| = 0. Este fato e conseqüência de que (H0-a)fA e zero no interior e portanto (H -a)fA|| e majorado por uma quantidade proporcional ao número de pontos da fronteira de A

di-vidido pelo número de pontos de A , uma vez que ÍA está normali-zado. Isto sugere que se V está bem próximo de b em A , então para A suficientemente grande a norma de (H(V)-r)f e

peque-na. De fato, podemos provar que se |(V( j )-b)|<: 6 \/D e A então ||(H(V)-r)f/>||^ 8 + Ç* , onde S é uma constante e L é o número de

L

pontos do lado dos quadrados

Usando a independência de |v( j)j. „2 , podemos provar que com probabilidade 1 existe um quadrado em Zz tal que |V(j)-b|<£ neste quadrado. Isto é, existe -ft»C j \ com PUu=l'Í.q, se V € ffc}

existe um quadrado A,(V) |AC(V)| = | A | = ]J tal que |v( j) - b|<£ VJ i A,(V).

Escolhendo uma seqüência A de quadrados t.q. ^ / Z2 , uma

seqüência {£] de números positivos convergido monotônicamente a zero e definido W = fTAf, , segue que para todo V f W,

lmlMv)-r)ttf

M

ll*0

!»*• fl-»oo

10.

Pelo lema enunciado acima, isto implica em r^tf^H (V)) ,V V € W. Mas, P(W) = 1, pois W é intersecção enumerável de conjuntos de meaâ da 1. Portanto, com probabilidade 1, £_ está no espectro de H(V).

Com o mesmo tipo de argumento usado para W, podemos con-cluir que se 5 é um subconjunto denso e enumerável de ^ ( H Q ) + supp-dn então $ C C(H(V)) com probabilidae 1. Uma vez que o espectro é um conjunto fechado segue que ^T(H.)+ Suppg = _5ctytH (V)) com pro-babilidade 1.

A relação inversa segue do fato que dist ( (T (H.+V),tf(V)) ^||H0||) , uma vez que H^ e limitado (dist (X,Y) = inf {|(x-y)|:x € X, y G Y)j • Podemos provar facilmente que (J*(V) = suppdu com probabi-lidade 1. Portanto, com probabiprobabi-lidade 1,

77Ho t vi d -(Ü Hòll, HHoO +Suppd> =

= G2V/5" ,2\ít}* SüPPdp

y(H(vj)cz V(Hõ)+ SUPPd»

com probabilidade 1 Demonstração da Proposição (1.1)

Seja r+ = • 2vcos2 k + cos2 q + b, com b e suppdp. A C Z! um quadrado com IA 1= L2, L um inteiro par e

J A

(X, W

! >u >'t y ) e e - ( x , y ) 6A 0 1/2 ( 1 . 1 1 ) de o u t r a forma +.

Escolhemos L par para facilitar a normalização. Veja que |Jf~||= 1. Daqui em diante, vamos omitir os sinais - para r, f/\ e u pois a

kq

»* *

1 1 .

Fixemos O•*=€«< 1 e suponha que | v ( j ) - b | < C Pa r a todc JCA Vamos e s t i m a r ||(H(V)-r)fA||

Note que para j€A , | v ( j ) - r | ^ 2 V S T + C ^2VÊV 1 = * . E n t ã o :

(m,n • L - IJ ( m * í . - l , n f L - I )

( n i , n ) (m* L-I,n)

l(Hiv)-r) h (ny>)/</(Ho $AXm,rt)l+ocl}

A

lm/i)l

<Cl£/2(fp(o//**//j(/)/Q" ÍWn) + /ufn*0/*<rl/j(n)l)

rtei

<[lfA(//i(0jf*/ji(/jfl 3 lUccW»ln)hi»[n+l)l

rk

=QLVÍ ílpío^t /;u(/)f) y* ( I t a ) Mo; +(M(/)

\)

•Z\\iio)\\H&)\)** Qf/è í/pío)í

2

4/pa)/

2

Q*'íL*afií/^o^/p(L)/

2

)

ANALOGAMENTE , OBTEMOS:

-íporo m <x<m*L-/ .,

UHM-r)Jjx,yf<[!ÈA (Wofuipbflf]l2*ccfj í/^o/wjuíljí;

-)para n<y<n+L-l

\MU)fym,y)f*[}l/z f/p(o}/

2

* /jjíiflff Í2*«fr 0/ifoJt*A)/)

-) poro (x^y) no interior de A

etc...

Das estimativas acima obtemos:

al(x,y) e' um ponto da fronteira de A

MM-r) Lu,y)\\>Gi2*ozf (1.12-a)

bl (x,y) e' um ponto interior a A

KHM-r) JA (x,y)f«e2/JAl(x,yJI* (1.12-b)

cl (x,y) ?A,mas é o primeiro vizinho de algum ponto da fronteira de A KHÍvl-rJ ÍA'íx/y)l8<2/L* (1.12-c) Logo, Wvriar front. • !•»• 14* A toA » • ( • * fr«*Mr« i ^ 4 ( L - I ) 6 ( 2 4 x ^ 4L 2/L2 + £z

*

?

^p/L • e* ( i . i 3 ) of|de ^ e' uma constante.

13.

Vamos mostrar agora que com probabilidade 1 existe um qua drado com L2 pontos tal que |V(j)-b|<C para todo j neste

quadra-do:

Considere uma partição de Z* em quadrados de L* pontos:

Z*- UAK , l/U*l£ ,\f) A,= 0 se k*l

Sejam

B\ */ve/L :lv(j)-bl<€,-VJ eA»J

X/ : SLI-+R

V v ••'Xer (V)

onde X.. e a função característica do conjunto A

A família Ixf. L é uma família de variáveis aleatórias v /k e N

(i.i.d.). Logo o conjunto

B6 = (v6/l: X* GV) = 0 , k€ NJ

tem medida zero e portanto o seu complementar_/lctem medida 1. Mas,

se V€/lc, existe K(v) tal que |V(j)-b| < € V J€/\k ( y )

Estes resultados juntamente com os comentários feitos an-teriormente completam a prova.

14.

CAPITULO 2 A DENSIDADE DE ESTADOS

Sejam A C z* um quadrado ^om |A | = L2 pontos e H (V) a

restrição de H(V) a A com condições de contorno a serem especifi-cadas depois, denotando por N(H (V),E) o número de autovalores

ia

(com multiplicidade) de H (V) menores ou iguais a E temos o seguin te resultado:

Proposição 2.1; 0 limite K(E) = lim N ( HL( V ) , E)

lf<*> L2 (2.1)

existe para todo E 6 R e é independente de V com probabilidade 1. A função k(E) é chamada densidade integrada de estados. ( Q Q •

[16]) .

É importante notar que o limite (2.1) independe da con-dição de contorno imposta a H(V) em A . Isto é conseqüência do

fa-Lt

to que condições de contorno diferem apenas nos elementos de ma-triz indexados pelos pontos da fronteira do quadrado, e este e-feito de fronteira, quando dividido pelo volume L* do quadrado, torna-se desprezível a medida que L cresce. Mais precisamente, te-mos o seguinte lema ( Q ^ ) :

Lema 2.2 Seja R uma matriz de posto r. Então, |N(HL(V)+R,E) - N ( HL( V ) , E ) | < r

Demostração do lema 2.2; Suponhamos primeiramente que r = 1. Neste caso, R = oc I ^ . X ^ . I , onde oc é uma constante e | / . > ^ . | é o operador de projeção na imagem de R, sendo /. um vetor de nor-ma 1.

Consideremos a equação (HL(V) + R ) I V ' > = £ / y >

ou

(H

L

(V)

+

0C| / • > < / . I) i y > = £ | V > (2.2)

, Sejam ÍE l , _ o conjnto de autovalores de Ht( V ) e

/#(k)/ * njn=l,2,...,m " L IT l , „ com K * 1,2, , k denotando a multiplicidade, os

l'n J n=l,2,,,,,H n

mostra que se/ é um autovetor de HQ ortogonal a / , então / é

autovetor de H (V) + R com mesmo autovalor. Logo, se queremos a-char soluções da equação (2.2) com £ 4 E , _ (caso

con-* n * n, n=l,2,.., ,m

trário, o lema já estaria demonstrado), devemos ter autovetores de H (V) não ortogonais a y . .

S e i / é o autoespaço associado ao autovalor £ , podemos

' n n obter um novo conjunto ortogonal de autovetores em af tal que no

máximo um elemento deste conjunto não é ortogonal a y4. . Para tan

to, escrevemos j na forma

Ü = P ê + P1 df

7• n /. n /.

onde P é o operador de projeção em ir e P o projetor em Jf . Se P f/ = 0 não há o que provar se P «/ 4 0, construa a nova base

n / • n'(i \ i n / • n

deJf tomando Jr '-Pn y e escolha vetores em ef J'(2) J' (kn

mutuamente ortogonais e ortogonais a ^' (l) / n .

)

n

Podemos então supor, sem perda de generalidade, que para cada autovalor En, no máximo um autovetor, que denotaremos por f,

não é ortogonal a Y . Procuremos soluções da equação (2.2) para E 4 E , „ .. Esta equação pode ser reescrita na forma _{n,n=l,2,.., M. M v **}

-OC <HLCV)-E)-1<^ | ^>|f.>«|T> (2-3)

Tomando o produto iiyterno de (2.3) com *f . obtemos

-oc <f. I f xJf /ÍHtM-Er'/)f>.<)?//>

< i 5 / Í H i í v ; - £ r ' / « > - / /

o c

í p o / s < ^ / r > / 0 por hipótese)

Da u l t i m a equação obtemos

( 2 . 4 )

onde ^ » • • » / „ , f i<M, são os autovetores de E , , - • • ,E não orto ' nl / nL nl n^ — gonaís a ^ . A solução de 2.4 é obtida através da intersecção do

gráfico de f(E) = Ç frijftjf ^m a reta -1 Note que:

o ) E < En.-* $(E) > 0 e Jim j ÍEJ = 0

E >EnL-* J (E)< 0 e limj (E)=0

bJ^Enj-OJ**oo,^(Enj*0) = -a) j= 1,2,...., L

c)

' F í Enj-E)

2

^

As c o n d i ç õ e s acima nos dao um g r a f i c o do t i p o

\/cc{<L>0)

17.

Da figura 1 vemos que, qualquer que seja o valor de E, no máximo um autovalor de H (V) • « |f .>^p. | cruza E, e portanto

IN{HW*ocl/i><f.l,E)-N(Hi64E)|,£ 1

Para R com posto r > 1, o resultado é obtido indutivamente pois uica matriz de posto r > l , pode ser escrita como uma soma de r matrizes de posto 1.

Para demonstrar a proposição 2.1, vamos decompor a rede Z* em quadrados com mesmo número ^e pontos e a partir de H vamos ob-ter dois operadores, cada um deles podendo ser escrito como uma so-ma direta de operadores definidos nos blocos da decomposição de Z* . Este desacoplamento de H será feito, num caso, somando-se um

ope-o

rador positivo que cancela os elementos de matriz de H entre blo-cos destintos, e no outro caso subtraindo-se um operador positivo que também cancela os elementos de matriz de H entre blocos distin

^ o — tos. Se tomarmos um elemento da soma direta, que está definido num

quadrado da decomposição feita em Z* , e somarmos a restrição do po-tencial V a este quadrado, obteremos uma restrição de H(V) ao qua-drado com uma condição de contorno particular. No caso em que somajr mos o operador positivo descrito acima, chamaremos a condição de contorno de Dirichlet,e no outro caso de Neumann. Usando a subadit^i vidade de N(H (V),E) com condições de contorno de Neumam, juntamen-te com a lei dos grandes números, poderemos completar a demonstra-ção.

A idéia de desacoplar a hamiltoniana em blocos através da soma e da subtração de operadores positivos partiu das técnicas uti_ lizadas na referência Q ê ] , onde as condições de contorno de Neu-mann e Oirichlet são definidas para o modelo sem campo magnético(Man

tivermos os nomes Neumann e Dirichlet no nosso caso apenas por ana-logia) .

Demonstração da preposição 2.1; Seja (mn) um elo de Z2,i.e.,

m € Z2 e (m-n)=l, e associados a este elo definamos os seguintes

operadores através de seus elementos de matriz:

1 0 .

( L1" ) ^ I ÍS—1.^1 se i * j * m ou hj=n Ef-0 ' I « ( M I » m - n

*(-l) se/ ou

»-f-l) SM) se/ ou enysHy (0—o)

= O «O de oufro formo

Estes dois operadores são p o s i t i v o s p o i s

<u,r

u > * ( u ( m ) - u(n)f se / ^ í ,1 1*

my por

'(ufojtufnf se my=ny,my Impor

< u , S'u>:(ulmhu(nf se / " f c j *

WuímJ-uín))* se my*nyi my, impar

Fixemos L*l,2,3t.. . e para a 6 Z sejo

s£ »Jn € 2*: Loef*I ^ n jr L(aí * /) J

ou sejc s£J a e z e' uma partiçfo de Z* em quodrados deL2 $it/o$ codo

19.

Quadrado f, . junta mente com o conjunto de elos que o une aos ou-tros quadrados da decom

(4)

S

(4) (0,0 )

FIGURA 2

Seja B(L) o conjunto dos elos que unem os quadrados partição e definamos os operadores

da

• •(HO

Hof

Imn) t Kl) _(2.5)

.(D

Vamos trabalhar com as partições Scc e „% para L par. Os opera

oc fc z *—-— — dores dados por (2.5) tem as s e g u i n t e p r o p r i e d a d e s :

a)Hl

tu

>

H

^H

9 _{( 2 . 6 - a )}

. • ( D O

o ^ Ho pois L e J> (soo operadores posft/vos)

20.

onde I H « ^ , é uma família de operadores tal que (H„ )ij = 0

< ir X t r 4v r(L) , ~ rU) ÍULM

se i C 5 \, ou j € J < o u i e j nao pertencem a -A* e { H* J e ,

são operadores Idênticos nos respectivos quadrados /.J* / <• 7* •

Isto é conseqüência do fato de termos definido os operadores L e

S de forma a desacoplarem H0 deste modo, e também do fato de L

ser par. (Por causa da simetria de H ) . Para fixar a notação, sejam

»£;*• «Í-+V|

rf

. , MT (E).

Nlttfi

(2

.

7)

<>•

I E , W

. ( " » £ ,

E

) , Kf

(

E

)= Kr.

t

(E,V>

0 operador H ' í ^ 'v^ ^ u m a res t r i? ã o de H(V) a J K com

oc,v <*,V

uma condição de contorno particular, que chamaremos de Neumann (Di-richlet).

Seja Lf. fixo e A o = / . ° (onde S o - f,í „ % ) • Denotan

r

(L) ° "

J ( 0

'

0 )

do por A o quadrado J Q , podemos escrever

L2 = q L2Q + P , V L > L0 (2.8)

Note que

P/q —•> 0 quando L -»> 00 (2.9)

Usando a condição de contorno de Neumann podemos escrever

q -termos p - rermos

Devido ao p r i n c í p i o max-min (Apêndice-1) podemos e s c r e v e r

NlH^sE) < ZZ NlHi%»

t

E) • Z l M & ' E ) (2.li)

^ > • * ' • q - termos p-termos

N[ (E)^ qNt

"(EKp NUE)

^2 ^IJ

T

li ql*/p qíUp

N* (E) S Nt. (E) .p/q |n/ (E) V L«

L

2

^

L*.

— E T ~

Fazendo L I — ^ o o e usando ( 2 . 9 ) ob temos

lim Sup NÜ IE)* NÜ. IE) V Lo

— ^ «in SÜP N » (EKhf/vr ( E )

( 2 1 2 )

L/«o L* il

C b m

° Ifm Sup j£_ IE) > inf NtlE)

t / c » ti

x L

nr~

segue que

K ÍE)* Urn KÍ (E) = inf K

t

* (E) ( 2 . 1 3 )

t/a» L

EXISTE para TODO E 6 R

Devido ao lema 2.2, ME) independe áa condiçdb de contorno

em A. Portanto,

K(EM/m k

c

°(E)

( 2 1 4 )

<Ld .

T r a b a l h a n d o com a c o n d i ç ã o de c o n t o r n o de D i r i c h l e t e usando novamente o p r i n c í p i o max-min obtemos:

Nltif.E) ^JZwH&.E) £ > (HK.E)

(2 i 6 )

a

q-termos «' p-termos

Note que NÍHee* iE) só pode ser igual a zero ou um, pois 1 * *

Hce'7: tem posto 1. De (2.11) e (2.16) obtemos:

MHZ.E)^

E

N(H%,E)

+ p (2

.

17) q - termos

N I H K ^ Ç N Í H K '

E

> (2.18)

q -termos

!U>(&EL

<

*'<l f? C ^ * P ^ l f . (2.19)

JV <rft?,Ek_J . / / E t ; (E,V) (2.20)

Como TK*1 O ( E , V ) | é uma f a m í l i a de v a r i á v e i s a l e a t ó r i a s ( i , i , d . )f e como P/Q~*e e ^ ^ PM ^° » f / quando L » » , s e

-gue da l e i dos g r a n d e s números que

Um Sup /VfH,VYw

E; ^ K ü g ; q.t.p.ídp) (2.21)

/»m /nf N(Hk$ E ) > K£,ía g.t.

p

. fdpj (2 22)

Ora, o lim Inf e lim Sup de N(H (V),E) independe da condição de L'

contorno em A . Logo,

K f í E í ^ l i m M N t t i » ) E ) g Um Sup MWME)^ KN (E) q.t.p. (dp)

L* L, co |2 L/<D ^ ?

V Lo

D N

Como K (E) e K (E) convergem para K(E), concluímos que o limite lim N(H (V),E) existe com probabilidade 1 e que K(E)

Lfao L*

fc(E), i . e . ,

K IE)' fim N(HLM.E):Iim N (Ht(v),E) q.t.p. (2.23)

L/00 |_2 L^°° L2

Provamos a existência de K(E) para seqüências de quadra dos com L par. Entretanto, o resultado acima pode ser extendido pa ra uma seqüência qualquer de quadrados e para domínios mais gerais como se faz para o limite termodinâmico em Mecânica Estatística.

(ref. Q . £ ] ) . ^ |

A expressão anterior nos dá a densidade integrada de esta dos através do limite de funções do sistema restrito a volumes fi-nitos. Como veremos no capítulo 3, é conveniente obter uma expres-são para K(E) em termos da hamiltoniana do sistema infinito. Para isto, usaremos o teorema espectral e teoremas de convergência para operadores auto-adjuntos.

Vamos considerar H (V) com condições de contorno periódi-cas e trabalhar somente com L par.

Seja 0 a algebra - ÇT de Borel na reta real e, para todo B € B sejam

24.

as medidas espectrais de H(V) e H (V) e

Pe ="XÍ-O>,EJ(HVM (2.25)

PE-X(.a,EJ(HlW)

as famílias espectrais de H(v) e Ht(V). (X. é a função

caracterís-tica do conjunto B ) .

Note que P(B), P (B), P e P dependem de V e Cê £* Traço (p£) = N(HL(V),E) Portanto .L, . IC(E,V) - 1 N(H(V),E)= 1 > _ < j l Pc. l J2* (2.26) L

" "ET"

L

L

2

j T 7

E

Como vimos, o limite

K(E) = lim KL(E,V) = lim KL(E,V)

existe para todo E € R com probabilidade 1. Devido às condições de contorno periódicas e à simetria do sistema, temos

Ki(E,V)*//L? *^<jlPklj> = l/2l<£0IPk 10 > *• < / iPkll» (2.27)

onde 0 denota o ponto (0,0) e 1^ denota o ponto (0,1) de Z2 (Suponha

que/\contém estes dois pontos, qualquer que seja L).

Logo, K(E) » lim 1 ( < 0 | P _L | 0 ^ + < : 1 | PL| 1 > ) ( 2 . 2 8 ) L / - 2 b E e a e x p r e s s ã o acima s u g e r e que K(E) = 1 («<• 0 | P _ | 0 2 * + < 1 | P _ | 1 ^ ) ( 2 . 2 9 ) 2 E E

Para mostrar que a expressão (2.29) é verdadeira, é sufi ciente provar que

l i m < j|P£L|j > = < j | P |í >.$- J £ z2, E € R (2.30)

Isto será feito usando o calculo funcional para operado-res auto-adjuntos e propriedades de convergência de operadooperado-res auto adjuntos.

Seja Z € t tal que Im Z 4 0. Como demonstrado na apêndice 2,

lim <ci|(H(V) - Z)"X|j> =<i|(H(V)-Z)"1|j>

LA» L

o que significa que H (V) » H(V) no sentido de convergência fra ca do resolvente (o que implica convergência forte do resolvente)

(Ref Q é ] , seção VIII-7).

Logo (ref QíQ , seção VIII-7), para toda f:R-^C contí-nua e limitada temos

lim f(H(V))/ = f(H(V))f . V / ^ J f

L/OO L

(i.e. f(H (V)) » f(H(V)) fortemente), onde as funções acima são

Li

definidas através do cálculo funcional ( Q8J, seção VIII-5). Em particular, temos

lim < j|f(H(V))|j^. =<rj|f(H(V)| j > , Y J € Z2 (2.31)

Pelo teorema espectral,

< jíf(H

L

(V)|j> = Jf(x)d <j|Pglj>

< j|f(H(V))|j > = jf(x)d< j|P

£

lj>

(2.32) De (2.32) e (2.31) concluímos que lim ff(x) d <j|Pglj^-^f(x)d<j|PElj> (2.33) LécD '

para toda f contínua e l i m i t a d a e todo V£-f\ . I s t o quer d i z e r que a seqüência de medidas

nt( . ) ~- < j l PL C ) l j > Li —

converge fracamente para a m e d i d a / / ( . ) = < j | P ( . ) l j > ( Q ? o ] seção 4.5) e p o r t a n t o (mesma r e f e r ê n c i a )

lim <£ j | P£ L| j > = < j | PEl j -> (2.34)

Lf CO

26.

Como a probabilidade de encontrarmos um autovalor de H(V) é zero, (Apêndice 3 ) , segue que para cada E € R, <j|P !j> é conti-nua com probabilidade l.Logo, para cada E € R, existe -TL __f\_ tal que P(J\_) = 1 V v £ J l *» ^ J IPE - I 3 ^ e contínua e o limite (2.34) existe.Note que|<j|P_ l j > l ^ < j l j > = l . Logo, podemos u sar o teorema da convergência dominadr em (2.34) e obter:

>

EL

|j :> dP(v) = r<jlP

£

!

lim J £

L/« ** _jipirLij > dp(v) = y < j i P e U > d p(v) Mas, PC/X.) = 1. Portanto, ~Í

E

lim < j | P

F L

| j > = < J | P - I J

</i

e ^CjlPpIj^^é uma função contínua de E

Logo, temos o seguinte teorema:

Teorema 2.3; A densidade integrada de estados é dada pela expressão

K(E) = 1 ( < 0 | P£| 0 > + < l|PE|U>)

e é uma função contínua (monotônica não decrescente) de E.

b^:

Seja Z í £ um ponto do conjunto resolvente de H(V). A fun-ção de Green deste operador é definida por:

G(Z;i,j) =^i|(H(V)-Z)"1|j>k (2.35) Através do teorema (2.3) vamos poder relacionar a

densida-de integrada densida-de estados com a função densida-de Green do sistema. Para isto consideremos a transformada de Borel da medida definida pela densi-dade integrada de estados:

v <7\ ~ ( X d K ( x ) (2.36)

F (z)

:JT^~

Do teorema (2.3) podemos escrever: F(Z) = 1

2

C _ J _ d < - O | P x | . 0 > ' + (j_ d < l | P x | l > ( 2 . 3 7 ) •^ x-z ) x - z

Como está demonstrado no apêndice 4,

ff(x) d < j | P x | j > = J f ( x ) d < j|Px|j>

para toda função f continua e limitada. Ora, se Z = E' + i€ ,€ =^0 , então a função f definida por

f<x> = 1 = 1

x-z x-E'-ie é contínua e limitada. Logo,

_i d < j l P x i j > = ( i d < C J lp xU :

.6

( 1 d ^ j|Px|j > = ( 1 J x-E'-i€ J x-E'-i<

Mas, pelo teorema espectral,

d < j | P x | j> =<j|(H(V)-E'-i€j|j>= G(E'+ic;j,j)

\—L-Jx-E'-J -i6

A expressão (2.37) se reduz então a

F(E'+i€) = i £G(E'+te;0,0)+G(E'+ie;l,lJ2 ; C » 0 (2.38)

2 ou seja

s

1 dK(x) = 1 _ C G ( E ' + Í £ ; 0 , 0 ) + G(E' + ÍÉ"; 1,1)]; € > 0 (2.39) x-E'-ie 2

OBS.: 0 resultado acima e verdadeiro para qualquer Z no conjunto ns solvente de H(V), pois na verdade a integral (2.36) é calculada so-mente para x€(T(H(V)), uma vez que K(x) é constante no resolven-te de H(V).

A teoria da transformada de Borel nos permite recuperar K a partir d e F ( E ' + i £ ) . Como veremos a seguir, isto é conseqüência das propriedades de regularização obtidas da convolução com aproxi-mantes da função S de Dirac:

Note que

:'•**> - (—1 .

J(x-E ')'+£'

Uma integração por partes nos dá i f * .

dx= ImF(E'+i£) = ( 1 dK(x)

ImF(E'+ig)= k (x) J K ( X ) . J _ 1 dx = \K(x) _j 1 (x-E')'+£'| ) Jx (x-E')2+€2 ) JE' (x-E*

) ( K ( X ) . I dx

2 8 .

Dividindo a expressão acima por Tf obtemos:

1 Im F ( E ' + i € ) = _±_ ÍK(x) 1 J dx ( j

ir J E ' J * ( X - E ' )2+ €2

Se denotarmos por (fh)(y) = (f( x)h(x-y)dx a convolução de duas funções podemos escrever (2.40) na forma

1 Im F(E'+i£) = d (K*f ) (E«) (2.41) \ dE' onde f, (x) = 1 . 1 Note que: a) f-(x)> 0 b) Cfg(x) dx = lJvt€>0

c) Para todo <{>0, ft (x)dxl-^O quando € f 0 ft (x)dxl^i

J|x|>cf

Funções satisfazendo a ) , b) e c) são bons aproximantes pa-ra a função 8 de Dipa-rac. As funções f são conhecidas como núcleos de Poisson.

Vamos utilizar agora algumas propriedades de regularização da convolução com aproximantes da função cf de Dirac, que podem ser encontradas por exemplo nas referências [J2l] e[22] :

(i) Como K(E) é uma função contínua de E (teorema 2.3) se-gue que ([21], cap.I) lim (K*fg) (E) = K(E). De (2.41) e (2.42)

ve-€10 mos que

E

(K*f.)(E)= Ç 1 ImF(E'+í€)dE' . „ . ,_ 0 0. u,

6 )—*r e portanto, usando (2.38)

29.

K(E) lim _1_

2

s

G(E'+i£;O,0) + G(E'+iC;i,l) clE' (2.43)

que nos da a relação da densidade integrada de estados com a função de Green.

(ii) Devido ao fato de K ser uma função monótona, temos

que

l i m _ d (Ktf- ) ( E ) = dK ( E )

C | 0 dE dE

em todos os pontos E onde o lado direito da expressão acima existir e for finito ( [22] , cap.I, seção 4 ) . Logo, usando (2.41) e (2.39) obtemos

dK (E) = lim _l_.l. Q m G(E+iC;0,0) + Im G(E+i£;l,l)] dE ^10 tf 2

(2.44)

nos pontos onde dK ( E ) existir e for finita. dE

Definição; A densidade de estados,^ (E), é dada pela deri_ vada da parte absolutamente contínua da densidade integrada de es-tados.

Logo,

/ ( E ) = lim 1 ,1_ fim G(E+i€;0,0) + Im G(E+i€;l,iri (2.45)

€

jo ir 2

u

onde a expressão acima faz sentido para todo E tal que o limite do lado direito exista e seja finito.

tVNl _-1

Seja G„ (E+i£,i,j) -<i|(H„(V) - E-i£) | j > a função de Green de H^-... Devido à "strong resolvent convergence" (apêndice 2) e ao teorema da convergência dominada, temos

lim GA (E+i£;.1 j) . G(E+i£;j,j)

Afz'

A

Logo, de (2.39) segue que

(2.46;

F(E+i£) = l_ lim rGAr(E+ie;0,0) + GA(E+iG; 1,1 [I

2

Afz

2

JU.

e portanto

y*(E)= 1 . 1. lim lim £lm G (E+i£;0,0) + Im G (E+iC;l,lf] (2.48) If 2 CIO hfz2

É interessante fazermos aqui uma comparação entre as ex-pressões (2.45) e (2.48). A primeira delas, que relaciona a densi-dade de estados com a função de Green do sistema infinito, é útil para se obter propriedades matemáticas d e ^ A E ) , como veremos no ca pitulo 3. A segunda, nos dá uma receita para se calcular a densida de de estados, uma vez que em geral só é possível "fazer contas"no sistema finito. Para o cálculo da densidade de estados, obtem-se a função de Green na caixa A i depois o seu valor esperado no poten-cial, toma-se o limite termodinâmico e calcula-se o limite tf 0.

CAPÍTULO 3

PROPRIEDADES DE REGULARIDADE PARA A DENSIDADE DE ESTADOS

3.1 - INTRODUÇÃO

O estudo da densidade de estados é importante, do ponto de vista físico, devido à sua relação com grandezas diretamente

mensu-ráveis, como o calor específico. Suas propriedades de regularidade têm um papel crucial na análise da localização no modelo "tight-bin ding" de Anderson. A grosso modo, pode-se provar a existência de estados ligados nas regiões espectrais onde a densidade de estados é pequena ( [23] , [24] ) .

Exporemos neste item alguns resultados existentes para o modelo de Anderson. A densidade integrada de estados, K(E),é sempre

uma função contínua de E. Os resultados mais gerais afirmam, sob hi_ póteses bem fracas que K(E) é log-holder-contínua, i.e,

ÍK(E+0-K(E-€)|< Const log(l/e) , € < 1

([25]) e também que, em uma dimensão, K(E) é localmente holder-con-tinua se o suporte de d\i for compacto ( [26] ) •

Sem restrições em n, não podemos em geral esperar mais re-gularidade» Carmona-Klein-Martinelli ( [Í3^) dão exemplos de poten-ciais do tipo Bernoulli em uma dimensão para os quais a densidade integrada de estados K(E) tem uma parte singular contínua não triv_i ai; em particular ela não pode ser de classe C .

Neste mesmo trabalho (ref Q.3^] ) eles demonstram que se a distribuição de probabilidade for holder-contínua de ordem ^ , en-tão K(E) é holder-contínua de ordem oe .

Utilizando técnicas desenvolvidas por Campanino - Bovier Klein-Perez ( £ 2 ^ ) , Campanino e Klein (£28j) provaram que, para o modelo unidimensional, se a transformada de Fourier h(t)-Ce~itvdu(v)

satisfaz sup |(l+|t|) h (t)|<<*para algumoOD e seC|v| dn(v) < oo

para algum € > 0, então K (E) é de classe Cn. Em particular, se u

Outros resultados requerem que •* seja absolutamente con-tínua em relação à medida de Lebesgue.i.e, dji (v) = g(v)dv. Se g é limitada, Wegner ( Q 2 ] ) provou que K(E) é absolutamente contínua com derivada limitada. Haier ( [2íQ ) afirma ter estendido este

re-P

sultado para g € L , P > 1 . Constantinescu-Frohlich-Spencer ( Q.4J ) provaram que se g é analítica numa faixa em torno do eixo real, en-tão K(E) é analítica par-. |Ep suficientemente grande. Se g é a di£ tribuição gaussiana,eies provaram que para desordem suficientemente

grande K(E) é analítica real.

Na seção 3.2 provamos o resultado de Wegner simplificando a demonstração original dada por ele em [12]. Com as mesmas técnicas , obtemos também a continuidade Holder citada acima para K(E), de uma maneira direta.

Na seção 3.3 mostramos que os resultados de Constantinesca Frohlich-Spencer são válidos para o modelo com meio quantum de flu-xo magnético por plaqueta. As técnicas são as mesmas utilizadas por eles e as incluímos aqui por completeza.

Na seção 3.4 damos um argumento intuitivo para o decaimen-to do tipo cauda de Lifischitz para K(E), usando argumendecaimen-tos análo-gos aos da referência ( Q 5 ] , Q í ] ) .

3.2 - CONTINUIDADE ABSOLUTA, CONTINUIDADE HOLDER E COTA SUPERIOR PA RA A DERIVADA,DA DENSIDADE INTEGRADA DE ESTADOS.

Definição;

Uma função f :R-^R é absolutamente contínua se for diferen ciavel q.t.p(L.-besgue) e f(x)-f(a) = í f'(t) dt. Uma caracterização equivalente para continuidade absoluta é dada por (Q>(^Ash)>

Uma função fÍR-^R é absolutamente contínua se e somente se para c a d a O O , existe um ^ >0 tal que para todo inteiro positivo n e todas as famílias (a,, b , ) , . , . , (a , b } de intervalos abertos

1 1 n n

disjuntos de comprimento total no máximo igual a £ , n

33.

• Teorema 3.1 - Suponha que y seja absolutamente continua em relação à medida de Lebesgue, com densidade limitada, isto é,

dji(v) = g(v)dv, | |g| ^ * 0 ' Então K(E) é uma função absolutamente con-tinua com derivada limitada.

Demonstração Seja (a,b) um intervalo aberto da reta.

Como

N(HA<V),E) = N(H^(V)-EI^,0)

onde I. é a aplicação identidade em £2(A), temos:

N(HA(V),b) - N(H^(V),a)=N(H^(V)-bI^ ,0)-N(HA (V)-al^ ,0) (3.1)

0 lado direito de (3.JL)pode ser escrito como uma soma de di-ferenças da função N calculada para operadores que diferem por uma matriz de posto 1:

N(HA(V)-bIA,0)-N(HA(V)-aIA,0) =

. J%

(H (V)-bP.,0)-N(H.(V)-aP.,0) (3.2)

j«1

onde

P.: é o projetor no subespaço gerado por | k ^

j

"

1

1AI

Hj(V)-H (V)- ^ aP± - ^ b Pi

34.

Devido ao lema (2.1) ,

N(Hj(V)-bPj,0)-N(Hj(V)-aP..,0) ^ 1

Se fixarmos todos os V(i) para i t j , quando V(j) variar de - oO para + oO / devido ao lema (2.1), somente um autovalor de H.(V)-bP. poderá cruzar a origem. Se denotarmos por

Yj = Y j O M i ) , ! * j)

o valor de V(j) para o qual este autovalor cruza a origem, então

N Í H j t V j - b P ^ O Í - N Í H . m - a P ^ O ) = ^ ( Y . - ( b - a ) , Y . ]( V ( j , ) Logo ( [ N d y v j - b P ^ O - N Í H . ( V ) - a Pj, 0 ) ] d w ( V ( j ) ) = \ dn(v) ( 3 . 3 ) Y..-(b-a) Y.

•f

Como d p ( v ) » g ( v ) d v , | | g | | < ^ e 0 , segue que 00

dp( v ) * \ g ( v ) d v < l l g l l ^ b - a )

35. e portanto, temos [N (HA(V) , b ) -N (HA(V) , a ) ] dP (V) = D€A

í

[ N ( H . ( V ) - b P . , 0 ) - N ( H . ( V ) - a P . , 0 ) ] d p ( V ( j ) ) H d P ( V ( i ) ) D D D D i ^ j

J e A '

| g | | ( b - a ) > l n d u ( v ( i ) ) = | | g | l ( b - a ) | A | «ft ^ _ » . 1-taf-i ° 0 : > - í - ( [N(H ( V ) , b ) - N ( H ( V ) , a ) ] d P ( V ) ^ | | g | I ( b - a ) ( 3 . 4 )

O lado direito de (3.4) converge para k(b)-k(a) e concluímos então que

k(b) - k(a) ^||g|| (b-a) (3.5) 00

A desigualdade (3.5) nos itiostra que k(E) é, de fato, uma fun-ção Lipschitziana e a partir desta desigualdade é imediato obter a continuidade absoluta.

Para se obter a cota superior para a derivada, note que de (3.5) podemos escrever k(E+x) - k(E-x) 2x

kl

e o resultado segue. ^ ^

Vamos agora provar a continuidade Holder.

Definição: Seja cx" € (0,1} . Uma função f.R*R é(uniformemen te) holder continua de ordem cr se existir uma constante C tal que

|f(b)-f(a)| ,£ C|b-af , V a,b € R

Definição: Seja <y € (0,1]. Uma medida de probabilidade u é (uniformemente) holder contínua de ordem ac se existir uma cons-tante C tal que

(* du(x) ,£ C(b-a)* , V- 0 < (b-a)< 1 -)a

(Note que se (b-a) >, i, então (b-a) ^ 1 ^ \ d n ( x ) ) . Teorema 3.3 - Suponha que \i , a medida de probabilidade do potencial num sitio da rede,seja (uniformemente) holder - contínua de ordem cr . Então K(E) é (uniformemente) holder - contínua de or-dem cc .

Demonstração: Note que em (3.3) podemos escrever C[N(H (V)- b P ,0) - NÍH^VÍ-a Pj t0 ] dit(V( j)

= C 3 d n ( V ( j ) ) ^ C(b-aJ (continuidade holder)

J / ,

Logo,

$ [ N ( HA( V ) , b ) - N ( HA( V ) , a ) ] dP(V) ^ l A l C i b - a j *

K (b) - K (a) ^ C ( b - a )0 0

3.3 - ANALITICIDADE DA DENSIDADE DE ESTADOS

Nesta seção, vamos supor que a distribuição de probabilida de dy, seja absolutamente contínua em relação a medida de Lebesgue, i.e., á\i (v)=g(v)dv.

A expressão (2.43) nos dá a densidade de estados em termos da função de Green de H(V):

A(E) = 1 1 lim Im (T<0|(H(V)-E-i€)~1|0> dP(V) +

7

2"T

£

10

V

+ ^\<1\{H(W)-E-ÍC)"1\1.> dP(V)\ 1 lim íl C |<0|(H(V)-E-i€)~1 |0>-y 2lf CIO [21->L

- < 0\{H(.V)-E+íe)~1\0>\ dP(V) + 1 C[<l|(H(V)-E-ig)"1|l >

-2i J

- <L|(H(V)-E+ie)"1|l > dP(V)j ( 3 > 6 )

Vemos assim que para obtermos propriedades relativas à dens£ dade de estados,é interessante estudarmos os elementos de matriz do resolvente, < x|(H(V)-zJ |y > , ImZjíO.

Expandindo o resolvente numa série de Neumann era H0([l8]s£ ção VI-3) obtemos;

ml = (V-Z-(-H j ) "1 = V " (V-Z)"1((-H ) (V-Z)" )n (3.7) o ' ^ _ o

(H(V)-Z)

n=o

A expansão acima converge absolutamente se II HQ (V - Z ) "1! ! < 1

Como

I I H

ii «:

A

II(v-z) ^

K í

a convergência da série (3.7) está garantida se supusermos que

|ImZ|>4 (3.8) Nesta região, escrevendo os termos da série (3.7) como pr£

duto de matriz, e levando-se em conta o fato que K. i|HQ|j>=0 se i

e j não forem primeiros vizinhos e < i | H _ | j > = + l s e forem primei_ rosvizinhos, obtemos a expansão:

<x|(H(V)-Z)~1|y > = T ~ C(w) tf (V(j)-Z)"nj(w) (3.9)

w:x-*.y jEZ*

onde w é um caminho de primeiros vizinhos finito começando em x e terminando em y, nj(w) é o número de vezes que w visita o sítio j e C(w) = + 1 ou - 1 .

Integrando ambos lados de (3.9), termo a termo, com relação a dP obtemos:

C ^ K H W - Z ) " 1 ^

>dP(v)

=YI_

c(w) rtf (v(j)-z)"

n

j

(w)

dP(v)

J w:x-».y >j€Z2

Tf

f

8ÍX)

(independência) \ C ( W )i £ Z2 ^ ( v - Z )n ( w ) d v (3.10)

Seguindo Constantinescu et ai {j?~^ » vamos estender analí^ ticamente o lado direito de (3.10) além do domínio especificado por (3.8) e provar a convergência absoluta da expansão nos termos estendidos analíticamente. Isto nos dá uma extensão analítica para o lado esquerdo de (3.10). Como a densidade de estados envolve uma expressão do tipo Mm([<x| (H(V)-E-ih)"1 |x > - < x | (H(V)-E+ih)_1 |x>]dP(V)

a expansão estendida nos permitirá analisar >à (E).

Para obter os resultados acima, faremos algumas suposições na distribuição de probabilidade g (Q.4]).'

(1) g é analítica em v na região (v: | Imv|< 4+2€ 1 (3.11) para algum £ positivo arbitrariamente pequeno;

39.

(2) P(E) = SUp )g ( v ) | — ^ 0

|v-E|^ 4+€ (3.12) quando E t + + <D

Teorema 3.1; Suponha que g satisfaça (3.11) e (3.12). En-tão a densidade de estados -*(E) é uma função analítica real de E, para |Re E| suficientemente grande.

Demonstração: Devido à expressão (3.6), se demonstrarmos que

limOVx|(H(V)-E-ih)_1|x > -<x|(H(V)-E+ih)_1|x > dP(V)

hlO-^

é analítica real para |Re E| suficientemente grande, o teorema se-gue.

S e j a e n t ã o Z = E + h , h > O e h > 4 . A e x p r e s s ã o ( 3 . 1 0 ) nos dá

^ C < x | ( H ( V ) - Z ) "1| x > - < x | ( H ( V ) - Z ) '1| x > ^ ] d P ( V ) =

= X L

c

^í ir c g

(v)

ni(w)

dv

- ir,c_aív) dvl

(3

.

13)

fe^x jez

2

-> Tv^zT^

;

jez

2

-

)

(v-z)

nj

^

w;

J

Denotemos p o r i r ( Z , g ) a i n t e g r a l

l ' ( Z . . g ) = $ 7 v ^ z }r d v ( 3 . 1 4 )

Usaremos a g o r a a i d e n t i d a d e

M M M-l K M

C C = 1 a = L K=0 «e = l 0C=K+2

com aõc = aGC para podermos estudar (3.13) em termos das inte grais (3.14). Para cada caminho w, sejam J1=j1(w),... JM=JM( ,(w)os

sitios visitados por w, ordenados arbitrariamente. Aplicando a iden tidade acima ao lado direito de (3.13) obtemos;

« u . C ( < x | ( H ( V ) - Z ) "1| x > - < x | ( H ( V ) - Z ) ' | x > ] d P ( V ) = _ . M(w)-1 k = ^ L _ C(w) 2 _ _lf, I . (w) ( Z , g ) x ( I (w) ( Z , g ) -w:x*x k=0 QC=1 njoc n j , ' k + 1 M(w) - I < , , ( Z , g ) ) x ff. . I . (w) ( Z , g ) n j (w) ° oc=k+2 n j ^ ( 3 . 1 5 ) Vamos a g o r a o b t e r algumas p r o p r i e d a d e s p a r a a s i n t e g r a i s do t i p o ( 3 . 1 4 ) .

Consideremos os s e g u i n t e s caminhos no p l a n o complexo: q = { v:|In>Y = 0 , R e v ^ E - j ^ j P.' = [ v : | v - E | = X . O ^ a r g ( v - E ) < t f j f2+ = { v : | v - E | =X . " If < a r g ( v - E ) < o J r, = [ v : | I m v | = 0 , Rev ^ E + /? j

r- = fi

u

T a

í u

f"

3 ( 3 , 1 6 )

k

_n"

/v\

r*

z

E-lh \

n

l*

n

_n

FIGURA 3

« » 1 . Devido a ( 3 . 1 1 ) , s e escolhermos

X<**€

I (E + in.g) = ^(v-E-ih) rg(v)dv I (E - ih.g) = <\ (v-E+ih)" g(v)dv podemos escrever (3.17) (3.18)

Podemos então afirmar:

a) I (E+ih,g), ¥ h > 0, adimite uma extensão analítica em r

-E para o domínio

E : Im E>-4-€ (3.19) Im E < 4+C +

e li (EÍih,g)|^ (4+E)r:+dist(E-ih, r2")"r11'(4-^C)max|g(v)| (3.20) vETa"

b) D (E,g) - lim /lr(E+ih,g)-Ir(E-in,g) (3.21) r hlO L

m

admite uma extensão analítica em E para o dominio

I-

|ImE| < 4

"1

(3.22) |Dr(E,g)| ,£ d i s t ( E , r2)r 2 tf (4+E) max|g(v)| (3.23)

v c r

2

onde r . r r * a 2

Provemos a) para I (E-ih,g). Pela expressão (3.18) e pela Figura 3, fica claro que podemos estender Ir(E-ih,g) analiticamente em E até o domínio [E:ImE < 4+£j . Para obter o limite (3.20) note que:

4 2 , | $ (v-E+ih) rg ( v ) áv\4 X < g ( v ) d vr^ (4+E)r ( 3 . 2 4 ) P.UR 1 } (v-E+ih) rg ( v ) dv|>£ d i s t ( E - i h , P7) r C | g ( v ) | d v >£ d i s t ( E - i h . T , ) TÍ X m a x | g ( v ) |

ver,"

^ d i s t ( E - i n , rj) tf(4+€) m a x | g ( v ) | ( 3 . 2 5 )

vcrT

De (3.24) e (3.25) obtemos o limite (3.20). Para Ir(E+ih,g)

At 0

a demonstração e análoga.

Para provar b) note que

lim C[(v-E-ih)r -(v-E+ih)r ] g(v) dv = 0

nun

hlO

e portanto, devido a (3.17) e (3.18) obtemos:

D (E,g) = 6 ( v - E )rg ( v ) dv (3.26)

r rt

Fica claro que Dr(E,g) pode ser estendida analiticamente

ao domínio especificado por (3.22). O limite (3.23) é obtido de ma-neira análoga ao que foi feito no item a ) .

Vamos usar agora a) e b) para provar a convergência absolu ta da expansão (3.15). Seja Z = E + ih, h > 0 e ( I m E ) | < ^ . Então, devido a (3.12), (3.20) e (3.23), podemos escrever:

U j ^ E - i n . g ) ! ^ ( 4 + C / 2 )r Ql+ tf (4+€) P ( R e E ) ]

43.

Devido a (3.12) e (3.27), dado 0 < ^ < €12 , existe Ej > 0 tal que, se IR e Ei> Efentão

|I (E- ih,g)|,< (4+<T)"r><: ( 4+^ )_ 1 (3.28)

r ^

Logo, para 0<^"<G/2 , |ReE|>Ej, | ImE|< S/2 « h > 0 temos: | l i m C ( j C x | ( H ( V ) - E - i h ) " | x > - < x | ( H ( V ) - E+i h )J l | x » P ( V > £ hl 0 J M(w)-1 k . , M(w) _ ^ ^T~ V ^ ( í T ( 4+ <í ) "1) (4-KT)"12<4+£)P(ReE) (tf (4+<f; ) wx»x k=0 oc=k+2 =

5 |w|(4

+<

/-)"

lw|

2 tf (4+c) p (R4E)

w : x ^ x

Podemos e s t i m a r grosseiramente o numero de caminhos w de comprimento n por 4 c então

2 1 iwi (4

+

<í)"

|w|

4: YL*

(

-*-

) n W:<XH»X n 4+çf e a série acima é convergente.

Logo

|lim ^Q<x|(H(V)-E-ih)- |x > - < x|(H(V)-E+ih)~' |x>dP(V)| hl 0

^ cont. P(ReE) (3.29)

para ReE suficientemente grande, |ImE|< € It , e a prova está com-pleta, [^sj

Note que a distribuição Gaussiana

g(v) = ( J L )1 / 2E x p r-í^l (3.30)

21T L 2 J

satisfaz as relações (3.11) e (3.12) para todo € > o e portanto o teorema é verdadeiro para g dada por (3.30). Para a distribuição Gaussiana,podemos provar ainda o seguinte teorema ( I 14 I )í

Teorema 3.2 - Seja g a distribuição Gaussiana dada por (3.30). Então a densidade de estados >-A(E) é uma função analítica r£ ai de E para ^suficientemente pequeno (desordem grande).

Demonstração: Escolhamos

jL = k t~1/2 (3.31)

na expressão (3.16). Podemos, analogamente ao que foi feito nos i-tens a)e b) do teorema anterior, extender analíticamente Ir(E+ih,g)

e Dr(E,g) para os domínios: r

E:

ImE <

• # « ! • í

E:

J l m E >-K/<Tj"/'| e JE: | lmE|< K / f1 / 2 ] respectivamente

1/2

Além do mais, se considerarmos a região |ImE| ><: K/2 ^ podemos o bter os limites

jfl/2 2

|Ir(E-ih,g)|,£ (2 £ )rC l + const. K ek / 2 3

|Dr(E,g) \4 (2 f f const. K ek"2 (3.27)'

uniformemente em ReE. Escolhendo 0 suficientemente pequeno, obtemos a convergência absoluta da expansão (3.15). Note que para qualquer valor de ImE podemos garantir a convergência de (3.15). Basta esco-lher K>|ImE| em (3.31) e ^suficientemente pequeno. k \ \

3.4 - CAUDA DE LIFSCHITZ

Para o modelo de Anderson, a densidade integrada de esta-dos decai exponencialmente no extremo do espectro Q3]]. Este decai-mento é conhecido como cauda de Lifschitz.

Seguindo© argumento intuitivo de Lifschitz ( Q s ] , Q é ] ) podemos conjecturar o mesmo tipo de comportamento para a densidade integrada de estados do modelo estudado por nós.

Para este fim, suponha que o suporte da distribuição de probabilidade seja igual a:

onde b c um número positivo. Lembre-se que o espectro de HQ e dado por tf(H ) = - 2 V c o s ' K + cos*q o (3.33) 2 2

e, como foi visto no capítulo 1, o espectro de H(V) é dado por:

<T(H(V) = Q - 2 V F , 2\TT + b ] (3.34)

Qual a probabilidade de H(V) ter um autovalor E próximo de -2 VT* ? Seja f o autovetor correspondente. Como V ^. 0 (devi^ do a (3.32), segue que ( f ,(HQ+ 2 V T ) *P ) e (f ,vf ) devem ser menores do que £ = E + 2VT" , um número positivo pequeno.

Orai para ( V ,(H.+2v7^ ) V ) ser menor do que € devi-o

da (3.33) devemos ter Vcas'ic*cos* 5 próximo de V T ~ . Expandindo esta raiz em torno dos pontos K e q que a tornam igual a 1 obtemos:

K = (0, + 1 M q = 0

A E : A K

2 +

Aq

2

=Ai

.2

Pelo princípio da incerteza, V deve se espalhar numa re-giâo de raio R =£ Q.ue tem R2 =£ sítios. Nestes sítios, V

de-—c

de ter um valor pequeno. Denotando por e a probabilidade de V(j) assumir um valor pequeno, teremos na região em questão R2

e--c *

ventos independentes de probabilidade e , isto e, a probabilida . , -c( € )"*

de sera da ordem de e

Na referência Q<Q, B.Simon demonstra rigorosamente o d£ caimento do tipo cauda de Lifschitz para o modelo de Anderson, pa-ra uma classe gpa-rande de potenciais aleatórios. A técnica utilizada por ele consiste em "sandulchar" a hamiltoniana entre dois operado res, somando-se um operador positivo e subtraindo-se outro opera-dor positivo. Na verdade, ele define as condições de contorno de

46.

Neumann e Dirichlet que citamos no capítulo 2 e através do calculo dos autovalores da matriz de Neumann e Dirichlet do laplaciano de diferença finita, o decaimento é obtido. Para as estimativas usadas nesta referência, é crucial o conhecimento destes autovalores.

Nos tentamos obter a cauda de Lisfschitz para o modelo com campo magnético usando as condições de contorno de Neumann e Dirich let definidas no capítulo 2, mas não conseguimos calcular os autova lores de H restrito a um quadrado de tamanho arbitrário com estas condições de contorno.