Anjos e demônios. José Carlos Fontanesi Kling ICMC - USP

Anjos e dem ˆonios

Jos ´e Carlos Fontanesi Kling ICMC - USP

Anjos e dem ˆonios

Jos ´e Carlos Fontanesi Kling ICMC - USP

O jogo

Regras

I Jogado sobre um tabuleiro de xadrez infinito

I S ˜ao dois jogadores, o anjo e o dem ˆonio, jogando

alternadamente

I A cada turno o dem ˆonio destr ´oi uma das casas do

tabuleiro

I O 1-anjo se move como um rei de xadrez. O k-anjo se

move para qualquer casa que um rei de xadrez poderia alcanc¸ar em at ´e k jogadas

I O dem ˆonio vence se conseguir prender o anjo, o anjo

O jogo

Regras

I Jogado sobre um tabuleiro de xadrez infinito

I S ˜ao dois jogadores, o anjo e o dem ˆonio, jogando

alternadamente

I A cada turno o dem ˆonio destr ´oi uma das casas do

tabuleiro

I O 1-anjo se move como um rei de xadrez. O k-anjo se

move para qualquer casa que um rei de xadrez poderia alcanc¸ar em at ´e k jogadas

I O dem ˆonio vence se conseguir prender o anjo, o anjo

O jogo

Regras

I Jogado sobre um tabuleiro de xadrez infinito

I S ˜ao dois jogadores, o anjo e o dem ˆonio, jogando

alternadamente

I A cada turno o dem ˆonio destr ´oi uma das casas do

tabuleiro

I O 1-anjo se move como um rei de xadrez. O k-anjo se

move para qualquer casa que um rei de xadrez poderia alcanc¸ar em at ´e k jogadas

I O dem ˆonio vence se conseguir prender o anjo, o anjo

O jogo

Regras

I Jogado sobre um tabuleiro de xadrez infinito

I S ˜ao dois jogadores, o anjo e o dem ˆonio, jogando

alternadamente

I A cada turno o dem ˆonio destr ´oi uma das casas do

tabuleiro

I O 1-anjo se move como um rei de xadrez. O k-anjo se

move para qualquer casa que um rei de xadrez poderia alcanc¸ar em at ´e k jogadas

I O dem ˆonio vence se conseguir prender o anjo, o anjo

O jogo

Regras

I Jogado sobre um tabuleiro de xadrez infinito

I S ˜ao dois jogadores, o anjo e o dem ˆonio, jogando

alternadamente

I A cada turno o dem ˆonio destr ´oi uma das casas do

tabuleiro

I O 1-anjo se move como um rei de xadrez. O k-anjo se

move para qualquer casa que um rei de xadrez poderia alcanc¸ar em at ´e k jogadas

I O dem ˆonio vence se conseguir prender o anjo, o anjo

O jogo

Regras

I Jogado sobre um tabuleiro de xadrez infinito

I S ˜ao dois jogadores, o anjo e o dem ˆonio, jogando

alternadamente

I A cada turno o dem ˆonio destr ´oi uma das casas do

tabuleiro

I O 1-anjo se move como um rei de xadrez. O k-anjo se

move para qualquer casa que um rei de xadrez poderia alcanc¸ar em at ´e k jogadas

I O dem ˆonio vence se conseguir prender o anjo, o anjo

O jogo

O que ´e uma estrat ´egia vencedora?

I Uma estrat ´egia ´e uma maneira pr ´e-definida de jogar, que

prev ˆe uma resposta para todas as situac¸ ˜oes poss´ıveis

I Uma estrat ´egia vencedora ´e aquela que, independente de

como o advers ´ario jogue, leva o jogador `a vit ´oria

I Perceba que tendo uma estrat ´egia, o jogador em si n ˜ao ´e

mais necess ´ario

I Mesmo que o advers ´ario saiba exatamente qual ´e a

estrat ´egia vencedora, ele ainda perde

I Um jogo pode n ˜ao admitir estrat ´egia vencedora para

O jogo

O que ´e uma estrat ´egia vencedora?

I Uma estrat ´egia ´e uma maneira pr ´e-definida de jogar, que

prev ˆe uma resposta para todas as situac¸ ˜oes poss´ıveis

I Uma estrat ´egia vencedora ´e aquela que, independente de

como o advers ´ario jogue, leva o jogador `a vit ´oria

I Perceba que tendo uma estrat ´egia, o jogador em si n ˜ao ´e

mais necess ´ario

I Mesmo que o advers ´ario saiba exatamente qual ´e a

estrat ´egia vencedora, ele ainda perde

I Um jogo pode n ˜ao admitir estrat ´egia vencedora para

O jogo

O que ´e uma estrat ´egia vencedora?

I Uma estrat ´egia ´e uma maneira pr ´e-definida de jogar, que

prev ˆe uma resposta para todas as situac¸ ˜oes poss´ıveis

I Uma estrat ´egia vencedora ´e aquela que, independente de

como o advers ´ario jogue, leva o jogador `a vit ´oria

I Perceba que tendo uma estrat ´egia, o jogador em si n ˜ao ´e

mais necess ´ario

I Mesmo que o advers ´ario saiba exatamente qual ´e a

estrat ´egia vencedora, ele ainda perde

I Um jogo pode n ˜ao admitir estrat ´egia vencedora para

O jogo

O que ´e uma estrat ´egia vencedora?

I Uma estrat ´egia ´e uma maneira pr ´e-definida de jogar, que

prev ˆe uma resposta para todas as situac¸ ˜oes poss´ıveis

I Uma estrat ´egia vencedora ´e aquela que, independente de

como o advers ´ario jogue, leva o jogador `a vit ´oria

I Perceba que tendo uma estrat ´egia, o jogador em si n ˜ao ´e

mais necess ´ario

I Mesmo que o advers ´ario saiba exatamente qual ´e a

estrat ´egia vencedora, ele ainda perde

I Um jogo pode n ˜ao admitir estrat ´egia vencedora para

O jogo

O que ´e uma estrat ´egia vencedora?

I Uma estrat ´egia ´e uma maneira pr ´e-definida de jogar, que

prev ˆe uma resposta para todas as situac¸ ˜oes poss´ıveis

I Uma estrat ´egia vencedora ´e aquela que, independente de

como o advers ´ario jogue, leva o jogador `a vit ´oria

I Perceba que tendo uma estrat ´egia, o jogador em si n ˜ao ´e

mais necess ´ario

I Mesmo que o advers ´ario saiba exatamente qual ´e a

estrat ´egia vencedora, ele ainda perde

I Um jogo pode n ˜ao admitir estrat ´egia vencedora para

O jogo

O que ´e uma estrat ´egia vencedora?

I Uma estrat ´egia ´e uma maneira pr ´e-definida de jogar, que

prev ˆe uma resposta para todas as situac¸ ˜oes poss´ıveis

I Uma estrat ´egia vencedora ´e aquela que, independente de

como o advers ´ario jogue, leva o jogador `a vit ´oria

I Perceba que tendo uma estrat ´egia, o jogador em si n ˜ao ´e

mais necess ´ario

I Mesmo que o advers ´ario saiba exatamente qual ´e a

estrat ´egia vencedora, ele ainda perde

I Um jogo pode n ˜ao admitir estrat ´egia vencedora para

O jogo

Este jogo ´e determinado

I Neste jogo, ou o dem ˆonio ou o anjo tem estrat ´egia

vencedora

I _{Suponha que o dem ˆonio n ˜ao tenha estrat ´egia vencedora,}

ent ˜ao a cada turno o anjo se move para uma casa em que o dem ˆonio n ˜ao tem estrat ´egia vencedora. Jogando assim, o anjo nunca ser ´a capturado, portanto vence.

I Portanto para todo k, temos que ou o k-anjo vence ou o

dem ˆonio vence

I Tamb ´em ´e f ´acil perceber que se o k-anjo tem estrat ´egia

O jogo

Este jogo ´e determinado

I Neste jogo, ou o dem ˆonio ou o anjo tem estrat ´egia

vencedora

I _{Suponha que o dem ˆonio n ˜ao tenha estrat ´egia vencedora,}

ent ˜ao a cada turno o anjo se move para uma casa em que o dem ˆonio n ˜ao tem estrat ´egia vencedora. Jogando assim, o anjo nunca ser ´a capturado, portanto vence.

I Portanto para todo k, temos que ou o k-anjo vence ou o

dem ˆonio vence

I Tamb ´em ´e f ´acil perceber que se o k-anjo tem estrat ´egia

O jogo

Este jogo ´e determinado

I Neste jogo, ou o dem ˆonio ou o anjo tem estrat ´egia

vencedora

I _{Suponha que o dem ˆonio n ˜ao tenha estrat ´egia vencedora,}

ent ˜ao a cada turno o anjo se move para uma casa em que o dem ˆonio n ˜ao tem estrat ´egia vencedora. Jogando assim, o anjo nunca ser ´a capturado, portanto vence.

I Portanto para todo k, temos que ou o k-anjo vence ou o

dem ˆonio vence

I Tamb ´em ´e f ´acil perceber que se o k-anjo tem estrat ´egia

O jogo

Este jogo ´e determinado

I Neste jogo, ou o dem ˆonio ou o anjo tem estrat ´egia

vencedora

I _{Suponha que o dem ˆonio n ˜ao tenha estrat ´egia vencedora,}

ent ˜ao a cada turno o anjo se move para uma casa em que o dem ˆonio n ˜ao tem estrat ´egia vencedora. Jogando assim, o anjo nunca ser ´a capturado, portanto vence.

I Portanto para todo k, temos que ou o k-anjo vence ou o

dem ˆonio vence

I Tamb ´em ´e f ´acil perceber que se o k-anjo tem estrat ´egia

O jogo

Este jogo ´e determinado

I Neste jogo, ou o dem ˆonio ou o anjo tem estrat ´egia

vencedora

I _{Suponha que o dem ˆonio n ˜ao tenha estrat ´egia vencedora,}

ent ˜ao a cada turno o anjo se move para uma casa em que o dem ˆonio n ˜ao tem estrat ´egia vencedora. Jogando assim, o anjo nunca ser ´a capturado, portanto vence.

I Portanto para todo k, temos que ou o k-anjo vence ou o

dem ˆonio vence

I Tamb ´em ´e f ´acil perceber que se o k-anjo tem estrat ´egia

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O jogo

1

Chute - Para qual k o k-anjo vence?

I k = 1.000? I k = 100? I k = 10? I k = 5? I k = 2? I k = 1?

O 1-anjo

Bloqueando o anjo

I Imagine que o dem ˆonio queira evitar que o anjo atravesse

uma determinada linha

O 1-anjo

Bloqueando o anjo

I Imagine que o dem ˆonio queira evitar que o anjo atravesse

uma determinada linha

O 1-anjo

Bloqueando o anjo

I Imagine que o dem ˆonio queira evitar que o anjo atravesse

uma determinada linha

O 1-anjo

Bloqueando o anjo

I Imagine que o dem ˆonio queira evitar que o anjo atravesse

uma determinada linha

O 1-anjo

O 1-anjo

O 1-anjo

Encurralando o anjo

I Com a barreira o anjo ainda pode se movimentar

indefinidamente para o lado

O 1-anjo

Encurralando o anjo

I Com a barreira o anjo ainda pode se movimentar

indefinidamente para o lado

O 1-anjo

Encurralando o anjo

I Com a barreira o anjo ainda pode se movimentar

indefinidamente para o lado

O 1-anjo

Encurralando o anjo

I Com a barreira o anjo ainda pode se movimentar

indefinidamente para o lado

Os k-anjos

Problemas com poss´ıveis estrat ´egias

I O dem ˆonio nunca erra

I Uma estrat ´egia para o anjo leva em considerac¸ ˜ao a

posic¸ ˜ao das casas destru´ıdas em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao

I Por exemplo, se a estrat ´egia do anjo tem muita ˆenfase nas

casas perto dele, podemos construir uma armadilha a 1 megaparsec de dist ˆancia para cima e depois atra´ı-lo para ela destruindo as casas abaixo dele.

I Se for o contr ´ario, constru´ımos uma armadilha n ˜ao muito

longe e depois atra´ımos o anjo destruindo uma casa a 1 megaparsec de dist ˆancia

I Uma estrat ´egia vencedora leva `a vit ´oria mesmo que o

Os k-anjos

Problemas com poss´ıveis estrat ´egias

I O dem ˆonio nunca erra

I Uma estrat ´egia para o anjo leva em considerac¸ ˜ao a

posic¸ ˜ao das casas destru´ıdas em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao

I Por exemplo, se a estrat ´egia do anjo tem muita ˆenfase nas

casas perto dele, podemos construir uma armadilha a 1 megaparsec de dist ˆancia para cima e depois atra´ı-lo para ela destruindo as casas abaixo dele.

I Se for o contr ´ario, constru´ımos uma armadilha n ˜ao muito

longe e depois atra´ımos o anjo destruindo uma casa a 1 megaparsec de dist ˆancia

I Uma estrat ´egia vencedora leva `a vit ´oria mesmo que o

Os k-anjos

Problemas com poss´ıveis estrat ´egias

I O dem ˆonio nunca erra

I Uma estrat ´egia para o anjo leva em considerac¸ ˜ao a

posic¸ ˜ao das casas destru´ıdas em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao

I Por exemplo, se a estrat ´egia do anjo tem muita ˆenfase nas

casas perto dele, podemos construir uma armadilha a 1 megaparsec de dist ˆancia para cima e depois atra´ı-lo para ela destruindo as casas abaixo dele.

I Se for o contr ´ario, constru´ımos uma armadilha n ˜ao muito

longe e depois atra´ımos o anjo destruindo uma casa a 1 megaparsec de dist ˆancia

I Uma estrat ´egia vencedora leva `a vit ´oria mesmo que o

Os k-anjos

Problemas com poss´ıveis estrat ´egias

I O dem ˆonio nunca erra

I Uma estrat ´egia para o anjo leva em considerac¸ ˜ao a

posic¸ ˜ao das casas destru´ıdas em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao

I Por exemplo, se a estrat ´egia do anjo tem muita ˆenfase nas

casas perto dele, podemos construir uma armadilha a 1 megaparsec de dist ˆancia para cima e depois atra´ı-lo para ela destruindo as casas abaixo dele.

I Se for o contr ´ario, constru´ımos uma armadilha n ˜ao muito

longe e depois atra´ımos o anjo destruindo uma casa a 1 megaparsec de dist ˆancia

I Uma estrat ´egia vencedora leva `a vit ´oria mesmo que o

Os k-anjos

Problemas com poss´ıveis estrat ´egias

I O dem ˆonio nunca erra

I Uma estrat ´egia para o anjo leva em considerac¸ ˜ao a

posic¸ ˜ao das casas destru´ıdas em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao

I Por exemplo, se a estrat ´egia do anjo tem muita ˆenfase nas

casas perto dele, podemos construir uma armadilha a 1 megaparsec de dist ˆancia para cima e depois atra´ı-lo para ela destruindo as casas abaixo dele.

I Se for o contr ´ario, constru´ımos uma armadilha n ˜ao muito

longe e depois atra´ımos o anjo destruindo uma casa a 1 megaparsec de dist ˆancia

I Uma estrat ´egia vencedora leva `a vit ´oria mesmo que o

Os k-anjos

Problemas com poss´ıveis estrat ´egias

I O dem ˆonio nunca erra

I Uma estrat ´egia para o anjo leva em considerac¸ ˜ao a

posic¸ ˜ao das casas destru´ıdas em relac¸ ˜ao `a sua posic¸ ˜ao

I Por exemplo, se a estrat ´egia do anjo tem muita ˆenfase nas

casas perto dele, podemos construir uma armadilha a 1 megaparsec de dist ˆancia para cima e depois atra´ı-lo para ela destruindo as casas abaixo dele.

I Se for o contr ´ario, constru´ımos uma armadilha n ˜ao muito

longe e depois atra´ımos o anjo destruindo uma casa a 1 megaparsec de dist ˆancia

I Uma estrat ´egia vencedora leva `a vit ´oria mesmo que o

O tolo

Definic¸ ˜ao

I Vamos definir um jogo parecido com esse, mas no lugar

do k-anjo, teremos o k-tolo

I Um k-tolo ´e um k-anjo que sempre aumenta sua

coordenada y (sempre se move para cima)

I Vamos provar que o dem ˆonio consegue parar o k-tolo

I Esse resultado pode n ˜ao parecer muita coisa, mas a partir

O tolo

Definic¸ ˜ao

I Vamos definir um jogo parecido com esse, mas no lugar

do k-anjo, teremos o k-tolo

I Um k-tolo ´e um k-anjo que sempre aumenta sua

coordenada y (sempre se move para cima)

I Vamos provar que o dem ˆonio consegue parar o k-tolo

I Esse resultado pode n ˜ao parecer muita coisa, mas a partir

O tolo

Definic¸ ˜ao

I Vamos definir um jogo parecido com esse, mas no lugar

do k-anjo, teremos o k-tolo

I Um k-tolo ´e um k-anjo que sempre aumenta sua

coordenada y (sempre se move para cima)

I Vamos provar que o dem ˆonio consegue parar o k-tolo

I Esse resultado pode n ˜ao parecer muita coisa, mas a partir

O tolo

Definic¸ ˜ao

I Vamos definir um jogo parecido com esse, mas no lugar

do k-anjo, teremos o k-tolo

I Um k-tolo ´e um k-anjo que sempre aumenta sua

coordenada y (sempre se move para cima)

I Vamos provar que o dem ˆonio consegue parar o k-tolo

I Esse resultado pode n ˜ao parecer muita coisa, mas a partir

O tolo

Definic¸ ˜ao

I Vamos definir um jogo parecido com esse, mas no lugar

do k-anjo, teremos o k-tolo

I Um k-tolo ´e um k-anjo que sempre aumenta sua

coordenada y (sempre se move para cima)

I Vamos provar que o dem ˆonio consegue parar o k-tolo

I Esse resultado pode n ˜ao parecer muita coisa, mas a partir

O tolo

Pegando o tolo

I Primeiro devemos ver quais casas de uma linha qualquer

a uma altura h da origem o tolo pode alcanc¸ar

I Os poss´ıveis movimentos do tolo est ˜ao limitados a um

O tolo

Pegando o tolo

I Primeiro devemos ver quais casas de uma linha qualquer

a uma altura h da origem o tolo pode alcanc¸ar

I Os poss´ıveis movimentos do tolo est ˜ao limitados a um

O tolo

Pegando o tolo

I Primeiro devemos ver quais casas de uma linha qualquer

a uma altura h da origem o tolo pode alcanc¸ar

I Os poss´ıveis movimentos do tolo est ˜ao limitados a um

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto as casas alcanc¸adas pelo tolo s ˜ao:

xmin= −hke xmax = hk → (−hk, h)at ´e (hk, h)

I Temos, portanto, 2hk+1 casas poss´ıveis

I Imagine que queremos construir uma parede em que,

independente de onde o tolo chegar, ser ´a bloqueado. Ter´ıamos que construir uma parede de aproximadamente

2hk2casas

I Teremos ao menos h/2k jogadas at ´e o anjo chegar na

metade da dist ˆancia. Vamos ent ˜ao distribuir igualmente as casas a serem destru´ıdas pela reta (no desenho vai ficar mais claro)

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto as casas alcanc¸adas pelo tolo s ˜ao:

xmin= −hke xmax = hk → (−hk, h)at ´e (hk, h)

I Temos, portanto, 2hk+1 casas poss´ıveis

I Imagine que queremos construir uma parede em que,

independente de onde o tolo chegar, ser ´a bloqueado. Ter´ıamos que construir uma parede de aproximadamente

2hk2casas

I Teremos ao menos h/2k jogadas at ´e o anjo chegar na

metade da dist ˆancia. Vamos ent ˜ao distribuir igualmente as casas a serem destru´ıdas pela reta (no desenho vai ficar mais claro)

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto as casas alcanc¸adas pelo tolo s ˜ao:

xmin= −hke xmax = hk → (−hk, h)at ´e (hk, h)

I Temos, portanto, 2hk+1 casas poss´ıveis

I Imagine que queremos construir uma parede em que,

independente de onde o tolo chegar, ser ´a bloqueado. Ter´ıamos que construir uma parede de aproximadamente

2hk2casas

I Teremos ao menos h/2k jogadas at ´e o anjo chegar na

metade da dist ˆancia. Vamos ent ˜ao distribuir igualmente as casas a serem destru´ıdas pela reta (no desenho vai ficar mais claro)

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto as casas alcanc¸adas pelo tolo s ˜ao:

xmin= −hke xmax = hk → (−hk, h)at ´e (hk, h)

I Temos, portanto, 2hk+1 casas poss´ıveis

I Imagine que queremos construir uma parede em que,

independente de onde o tolo chegar, ser ´a bloqueado. Ter´ıamos que construir uma parede de aproximadamente

2hk2casas

I Teremos ao menos h/2k jogadas at ´e o anjo chegar na

metade da dist ˆancia. Vamos ent ˜ao distribuir igualmente as casas a serem destru´ıdas pela reta (no desenho vai ficar mais claro)

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto quando o tolo chegar na metade do caminho, j ´a

teremos completado (h/2k)/2hk2= 1/4k3da nossa

parede

I Mas quando ele chegar na metade, ele s ´o poder ´a alcanc¸ar

metade da parede original, e essa metade j ´a tem a mesma proporc¸ ˜ao da parede conclu´ıda

I Note que agora temos metade das jogadas at ´e o tolo

chegar em 1/4 do caminho (chegar na metade de novo), mas a parede que vamos construir agora tem metade das casas da original. Portanto nessas jogadas vamos

completar 1/4k3da parede novamente

I Portanto precisamos de uma h que nos permita repetir

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto quando o tolo chegar na metade do caminho, j ´a

teremos completado (h/2k)/2hk2= 1/4k3da nossa

parede

I Mas quando ele chegar na metade, ele s ´o poder ´a alcanc¸ar

metade da parede original, e essa metade j ´a tem a mesma proporc¸ ˜ao da parede conclu´ıda

I Note que agora temos metade das jogadas at ´e o tolo

chegar em 1/4 do caminho (chegar na metade de novo), mas a parede que vamos construir agora tem metade das casas da original. Portanto nessas jogadas vamos

completar 1/4k3da parede novamente

I Portanto precisamos de uma h que nos permita repetir

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto quando o tolo chegar na metade do caminho, j ´a

teremos completado (h/2k)/2hk2= 1/4k3da nossa

parede

I Mas quando ele chegar na metade, ele s ´o poder ´a alcanc¸ar

metade da parede original, e essa metade j ´a tem a mesma proporc¸ ˜ao da parede conclu´ıda

I Note que agora temos metade das jogadas at ´e o tolo

chegar em 1/4 do caminho (chegar na metade de novo), mas a parede que vamos construir agora tem metade das casas da original. Portanto nessas jogadas vamos

completar 1/4k3da parede novamente

I Portanto precisamos de uma h que nos permita repetir

O tolo

Pegando o tolo

I Portanto quando o tolo chegar na metade do caminho, j ´a

teremos completado (h/2k)/2hk2= 1/4k3da nossa

parede

I Mas quando ele chegar na metade, ele s ´o poder ´a alcanc¸ar

metade da parede original, e essa metade j ´a tem a mesma proporc¸ ˜ao da parede conclu´ıda

I Note que agora temos metade das jogadas at ´e o tolo

chegar em 1/4 do caminho (chegar na metade de novo), mas a parede que vamos construir agora tem metade das casas da original. Portanto nessas jogadas vamos

completar 1/4k3da parede novamente

O tolo

Um exemplo

I Vamos calcular a h necess ´aria para pegarmos um 10-tolo

I Precisamos repetir o processo 4k3vezes, ou seja 4000

vezes

I Contando de tr ´as para frente, no ´ultimo processo o tolo se

move 10 casas, na pen ´ultima 10 casas, no anterior 20 casas, antes 40 casas e assim por diante.

I Portanto temos h =

4000 X

i=0

10 × 2i≈ 2 × 101.205

I Para k = 1000 ter´ıamos algo da ordem de 101.200.000.000

I Estima-se que existam 1080 ´atomos no universo

O tolo

Um exemplo

I Vamos calcular a h necess ´aria para pegarmos um 10-tolo

I Precisamos repetir o processo 4k3vezes, ou seja 4000

vezes

I Contando de tr ´as para frente, no ´ultimo processo o tolo se

move 10 casas, na pen ´ultima 10 casas, no anterior 20 casas, antes 40 casas e assim por diante.

I Portanto temos h =

4000 X

i=0

10 × 2i≈ 2 × 101.205

I Para k = 1000 ter´ıamos algo da ordem de 101.200.000.000

I Estima-se que existam 1080 ´atomos no universo

O tolo

Um exemplo

I Vamos calcular a h necess ´aria para pegarmos um 10-tolo

I Precisamos repetir o processo 4k3vezes, ou seja 4000

vezes

I Contando de tr ´as para frente, no ´ultimo processo o tolo se

move 10 casas, na pen ´ultima 10 casas, no anterior 20 casas, antes 40 casas e assim por diante.

I Portanto temos h =

4000 X

i=0

10 × 2i≈ 2 × 101.205

I Para k = 1000 ter´ıamos algo da ordem de 101.200.000.000

I Estima-se que existam 1080 ´atomos no universo

O tolo

Um exemplo

I Vamos calcular a h necess ´aria para pegarmos um 10-tolo

I Precisamos repetir o processo 4k3vezes, ou seja 4000

vezes

I Contando de tr ´as para frente, no ´ultimo processo o tolo se

move 10 casas, na pen ´ultima 10 casas, no anterior 20 casas, antes 40 casas e assim por diante.

I Portanto temos h =

4000 X

i=0

10 × 2i≈ 2 × 101.205

I Para k = 1000 ter´ıamos algo da ordem de 101.200.000.000

I Estima-se que existam 1080 ´atomos no universo

O tolo

Um exemplo

I Vamos calcular a h necess ´aria para pegarmos um 10-tolo

I Precisamos repetir o processo 4k3vezes, ou seja 4000

vezes

I Contando de tr ´as para frente, no ´ultimo processo o tolo se

move 10 casas, na pen ´ultima 10 casas, no anterior 20 casas, antes 40 casas e assim por diante.

I Portanto temos h =

4000 X

i=0

10 × 2i≈ 2 × 101.205

I Para k = 1000 ter´ıamos algo da ordem de 101.200.000.000

I Estima-se que existam 1080 ´atomos no universo

O tolo

Um exemplo

I Vamos calcular a h necess ´aria para pegarmos um 10-tolo

I Precisamos repetir o processo 4k3vezes, ou seja 4000

vezes

I Contando de tr ´as para frente, no ´ultimo processo o tolo se

move 10 casas, na pen ´ultima 10 casas, no anterior 20 casas, antes 40 casas e assim por diante.

I Portanto temos h =

4000 X

i=0

10 × 2i≈ 2 × 101.205

I Para k = 1000 ter´ıamos algo da ordem de 101.200.000.000

I Estima-se que existam 1080 ´atomos no universo

O tolo

Um exemplo

I Vamos calcular a h necess ´aria para pegarmos um 10-tolo

I Precisamos repetir o processo 4k3vezes, ou seja 4000

vezes

I Contando de tr ´as para frente, no ´ultimo processo o tolo se

move 10 casas, na pen ´ultima 10 casas, no anterior 20 casas, antes 40 casas e assim por diante.

I Portanto temos h =

4000 X

i=0

10 × 2i≈ 2 × 101.205

I Para k = 1000 ter´ıamos algo da ordem de 101.200.000.000

I Estima-se que existam 1080 ´atomos no universo

O bobo

Definic¸ ˜ao

I Novamente teremos uma variac¸ ˜ao do jogo, dessa vez o

k-bobo toma o lugar do k-anjo

I O bobo ´e como o tolo, mas n ˜ao precisa aumentar sua

O bobo

Definic¸ ˜ao

I Novamente teremos uma variac¸ ˜ao do jogo, dessa vez o

k-bobo toma o lugar do k-anjo

I O bobo ´e como o tolo, mas n ˜ao precisa aumentar sua

O bobo

Definic¸ ˜ao

I Novamente teremos uma variac¸ ˜ao do jogo, dessa vez o

k-bobo toma o lugar do k-anjo

I O bobo ´e como o tolo, mas n ˜ao precisa aumentar sua

O bobo

Pegando o bobo

I Primeiro note que podemos pegar um k-tolo usando

apenas os turnos pares ( ´e s ´o fingir que est ´a jogando contra um 4k-tolo

I Agora vamos usar os turnos ´ımpares para transformar o

k-bobo em um SuperBlaster-tolo (mas que podemos capturar)

I Com os turnos ´ımpares podemos criar uma barreira na

linha onde est ´a o bobo, para evitar que ele ande para os lados indefinidamente

I Essa barreira precisa ter k casas ent ˜ao at ´e a construirmos

j ´a teriam se passado 2k turnos, ent ˜ao ela deve comec¸ar a

O bobo

Pegando o bobo

I Primeiro note que podemos pegar um k-tolo usando

apenas os turnos pares ( ´e s ´o fingir que est ´a jogando contra um 4k-tolo

I Agora vamos usar os turnos ´ımpares para transformar o

k-bobo em um SuperBlaster-tolo (mas que podemos capturar)

I Com os turnos ´ımpares podemos criar uma barreira na

linha onde est ´a o bobo, para evitar que ele ande para os lados indefinidamente

I Essa barreira precisa ter k casas ent ˜ao at ´e a construirmos

j ´a teriam se passado 2k turnos, ent ˜ao ela deve comec¸ar a

O bobo

Pegando o bobo

I Primeiro note que podemos pegar um k-tolo usando

apenas os turnos pares ( ´e s ´o fingir que est ´a jogando contra um 4k-tolo

I Agora vamos usar os turnos ´ımpares para transformar o

k-bobo em um SuperBlaster-tolo (mas que podemos capturar)

I Com os turnos ´ımpares podemos criar uma barreira na

linha onde est ´a o bobo, para evitar que ele ande para os lados indefinidamente

I Essa barreira precisa ter k casas ent ˜ao at ´e a construirmos

j ´a teriam se passado 2k turnos, ent ˜ao ela deve comec¸ar a

O bobo

Pegando o bobo

I Primeiro note que podemos pegar um k-tolo usando

apenas os turnos pares ( ´e s ´o fingir que est ´a jogando contra um 4k-tolo

I Agora vamos usar os turnos ´ımpares para transformar o

k-bobo em um SuperBlaster-tolo (mas que podemos capturar)

I Com os turnos ´ımpares podemos criar uma barreira na

linha onde est ´a o bobo, para evitar que ele ande para os lados indefinidamente

I Essa barreira precisa ter k casas ent ˜ao at ´e a construirmos

j ´a teriam se passado 2k turnos, ent ˜ao ela deve comec¸ar a

O bobo

Pegando o bobo

I Primeiro note que podemos pegar um k-tolo usando

apenas os turnos pares ( ´e s ´o fingir que est ´a jogando contra um 4k-tolo

I Agora vamos usar os turnos ´ımpares para transformar o

k-bobo em um SuperBlaster-tolo (mas que podemos capturar)

I Com os turnos ´ımpares podemos criar uma barreira na

linha onde est ´a o bobo, para evitar que ele ande para os lados indefinidamente

I Essa barreira precisa ter k casas ent ˜ao at ´e a construirmos

j ´a teriam se passado 2k turnos, ent ˜ao ela deve comec¸ar a

O bobo

Pegando o bobo

I Mas note que a inclinac¸ ˜ao dos lado do tri ˆangulo onde o

bobo est ´a limitado n ˜ao ´e mais 1/k, e sim 1/2k2, portanto

transformamos o k-bobo em um 2k2-tolo. Por ´em estamos

usando apenas os turnos pares, ent ˜ao devemos

O bobo

Pegando o bobo

I Mas note que a inclinac¸ ˜ao dos lado do tri ˆangulo onde o

bobo est ´a limitado n ˜ao ´e mais 1/k, e sim 1/2k2, portanto

transformamos o k-bobo em um 2k2-tolo. Por ´em estamos

usando apenas os turnos pares, ent ˜ao devemos

O boc ´o

Definic¸ ˜ao

I Suponha que a coordenada y da casa mais para cima que

o k-boc ´o j ´a esteve seja ymax, ent ˜ao ele n ˜ao pode ir para

uma casa com coordenada y < ymax− c, c ´e uma

constante qualquer

I A ideia para pegar o boc ´o ´e exatamente igual a para pegar

o bobo. Neste caso uma imagem vale mais que mil palavras

O boc ´o

Definic¸ ˜ao

I Suponha que a coordenada y da casa mais para cima que

o k-boc ´o j ´a esteve seja ymax, ent ˜ao ele n ˜ao pode ir para

uma casa com coordenada y < ymax− c, c ´e uma

constante qualquer

I A ideia para pegar o boc ´o ´e exatamente igual a para pegar

o bobo. Neste caso uma imagem vale mais que mil palavras

O boc ´o

Definic¸ ˜ao

I Suponha que a coordenada y da casa mais para cima que

o k-boc ´o j ´a esteve seja ymax, ent ˜ao ele n ˜ao pode ir para

uma casa com coordenada y < ymax− c, c ´e uma

constante qualquer

I A ideia para pegar o boc ´o ´e exatamente igual a para pegar

o bobo. Neste caso uma imagem vale mais que mil palavras

O boc ´o

O man ´e

Definic¸ ˜ao

I E um k-anjo que a cada turno aumenta estritamente sua´

dist ˆancia da origem

I E s ´o notar que podemos pegar um tolo apenas usando os´

turnos m ´ultiplos de um n ´umero qualquer

I Agora dividimos o tabuleiro em 4 setores (ou mais,

quantos preferir), os quadrantes, por exemplo. Imagine que ao inv ´es de 1 man ´e, agora temos mais 3, eles s ˜ao as reflex ˜oes do man ´e original nos quadrantes, e alternamos os turnos para que em cada turno seja usada a estrat ´egia para barrar o man ´e do quadrante correspondente

O man ´e

Definic¸ ˜ao

I E um k-anjo que a cada turno aumenta estritamente sua´

dist ˆancia da origem

I E s ´o notar que podemos pegar um tolo apenas usando os´

turnos m ´ultiplos de um n ´umero qualquer

I Agora dividimos o tabuleiro em 4 setores (ou mais,

quantos preferir), os quadrantes, por exemplo. Imagine que ao inv ´es de 1 man ´e, agora temos mais 3, eles s ˜ao as reflex ˜oes do man ´e original nos quadrantes, e alternamos os turnos para que em cada turno seja usada a estrat ´egia para barrar o man ´e do quadrante correspondente

O man ´e

Definic¸ ˜ao

I E um k-anjo que a cada turno aumenta estritamente sua´

dist ˆancia da origem

I E s ´o notar que podemos pegar um tolo apenas usando os´

turnos m ´ultiplos de um n ´umero qualquer

I Agora dividimos o tabuleiro em 4 setores (ou mais,

quantos preferir), os quadrantes, por exemplo. Imagine que ao inv ´es de 1 man ´e, agora temos mais 3, eles s ˜ao as reflex ˜oes do man ´e original nos quadrantes, e alternamos os turnos para que em cada turno seja usada a estrat ´egia para barrar o man ´e do quadrante correspondente

O man ´e

Definic¸ ˜ao

I E um k-anjo que a cada turno aumenta estritamente sua´

dist ˆancia da origem

I E s ´o notar que podemos pegar um tolo apenas usando os´

turnos m ´ultiplos de um n ´umero qualquer

I Agora dividimos o tabuleiro em 4 setores (ou mais,

quantos preferir), os quadrantes, por exemplo. Imagine que ao inv ´es de 1 man ´e, agora temos mais 3, eles s ˜ao as reflex ˜oes do man ´e original nos quadrantes, e alternamos os turnos para que em cada turno seja usada a estrat ´egia para barrar o man ´e do quadrante correspondente

O man ´e

O man ´e

Variac¸ ˜oes do man ´e

I Usando a mesma ideia podemos pegar o man ´e-bobo e o

man ´e-boc ´o

I Pode-se provar que existe uma estrat ´egia para o dem ˆonio

tal que para toda casa P e dist ˆancia D, haver ˜ao

O man ´e

Variac¸ ˜oes do man ´e

I Usando a mesma ideia podemos pegar o man ´e-bobo e o

man ´e-boc ´o

I Pode-se provar que existe uma estrat ´egia para o dem ˆonio

tal que para toda casa P e dist ˆancia D, haver ˜ao

O man ´e

Variac¸ ˜oes do man ´e

I Usando a mesma ideia podemos pegar o man ´e-bobo e o

man ´e-boc ´o

I Pode-se provar que existe uma estrat ´egia para o dem ˆonio

tal que para toda casa P e dist ˆancia D, haver ˜ao

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

O anjo n ˜ao volta

I Imagine que exista alguma casa que o anjo volte infinitas

vezes. Ent ˜ao o dem ˆonio, sem mudar em nada sua estrat ´egia, pode evitar que isso acontec¸a

I Note que toda vez que o anjo volta o dem ˆonio tem um

movimento de grac¸a (pois o movimento da sua estrat ´egia previsto para quando o anjo estivesse naquela casa j ´a foi feito)

I Ent ˜ao o dem ˆonio pode usar esses movimentos para fazer

um ”buraco”em volta daquela casa (2k + 1 × 2k + 1)

I Portanto o anjo volta para um quadrado para onde ele

poderia ter se movido antes uma quantidade finita de vezes

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

O anjo n ˜ao volta

I Imagine que exista alguma casa que o anjo volte infinitas

vezes. Ent ˜ao o dem ˆonio, sem mudar em nada sua estrat ´egia, pode evitar que isso acontec¸a

I Note que toda vez que o anjo volta o dem ˆonio tem um

movimento de grac¸a (pois o movimento da sua estrat ´egia previsto para quando o anjo estivesse naquela casa j ´a foi feito)

I Ent ˜ao o dem ˆonio pode usar esses movimentos para fazer

um ”buraco”em volta daquela casa (2k + 1 × 2k + 1)

I Portanto o anjo volta para um quadrado para onde ele

poderia ter se movido antes uma quantidade finita de vezes

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

O anjo n ˜ao volta

I Imagine que exista alguma casa que o anjo volte infinitas

vezes. Ent ˜ao o dem ˆonio, sem mudar em nada sua estrat ´egia, pode evitar que isso acontec¸a

I Note que toda vez que o anjo volta o dem ˆonio tem um

movimento de grac¸a (pois o movimento da sua estrat ´egia previsto para quando o anjo estivesse naquela casa j ´a foi feito)

I Ent ˜ao o dem ˆonio pode usar esses movimentos para fazer

um ”buraco”em volta daquela casa (2k + 1 × 2k + 1)

I Portanto o anjo volta para um quadrado para onde ele

poderia ter se movido antes uma quantidade finita de vezes

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

O anjo n ˜ao volta

I Imagine que exista alguma casa que o anjo volte infinitas

vezes. Ent ˜ao o dem ˆonio, sem mudar em nada sua estrat ´egia, pode evitar que isso acontec¸a

I Note que toda vez que o anjo volta o dem ˆonio tem um

movimento de grac¸a (pois o movimento da sua estrat ´egia previsto para quando o anjo estivesse naquela casa j ´a foi feito)

I Ent ˜ao o dem ˆonio pode usar esses movimentos para fazer

um ”buraco”em volta daquela casa (2k + 1 × 2k + 1)

I Portanto o anjo volta para um quadrado para onde ele

poderia ter se movido antes uma quantidade finita de vezes

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

O anjo n ˜ao volta

I Imagine que exista alguma casa que o anjo volte infinitas

vezes. Ent ˜ao o dem ˆonio, sem mudar em nada sua estrat ´egia, pode evitar que isso acontec¸a

I Note que toda vez que o anjo volta o dem ˆonio tem um

movimento de grac¸a (pois o movimento da sua estrat ´egia previsto para quando o anjo estivesse naquela casa j ´a foi feito)

I Ent ˜ao o dem ˆonio pode usar esses movimentos para fazer

um ”buraco”em volta daquela casa (2k + 1 × 2k + 1)

I Portanto o anjo volta para um quadrado para onde ele

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

Quem precisa do dem ˆonio?

I Portanto n ˜ao muda para o anjo se todas as casas em que

ele poderia ter pousado e n ˜ao o fez forem destru´ıdas

I Imagine que o anjo est ´a em alguma casa (que s ´o passaria

uma quantidade finita de vezes), ent ˜ao ele analisa todas as possibilidades de jogadas futuras e joga como se estivesse na ´ultima jogada em que faria isso. Dessa forma ele est ´a melhor do que estaria se seguisse sua estrat ´egia, pois o dem ˆonio destruiu menos casas

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

Quem precisa do dem ˆonio?

I Portanto n ˜ao muda para o anjo se todas as casas em que

ele poderia ter pousado e n ˜ao o fez forem destru´ıdas

I Imagine que o anjo est ´a em alguma casa (que s ´o passaria

uma quantidade finita de vezes), ent ˜ao ele analisa todas as possibilidades de jogadas futuras e joga como se estivesse na ´ultima jogada em que faria isso. Dessa forma ele est ´a melhor do que estaria se seguisse sua estrat ´egia, pois o dem ˆonio destruiu menos casas

O anjo ´e seu pr ´oprio inimigo

Quem precisa do dem ˆonio?

I Portanto n ˜ao muda para o anjo se todas as casas em que

ele poderia ter pousado e n ˜ao o fez forem destru´ıdas

I Imagine que o anjo est ´a em alguma casa (que s ´o passaria

uma quantidade finita de vezes), ent ˜ao ele analisa todas as possibilidades de jogadas futuras e joga como se estivesse na ´ultima jogada em que faria isso. Dessa forma ele est ´a melhor do que estaria se seguisse sua estrat ´egia, pois o dem ˆonio destruiu menos casas

O anjo tem chance?

2

Chute

O anjo tem chance?

2

Chute

O anjo tem chance?

2

Chute

O anjo tem chance?

2

Chute

O anjo tem chance?

2

Chute

O anjo tem chance?

2

Chute

O anjo tem chance?

2

Chute

O problema

Um problema de ”quase”1 milh ˜ao de d ´olares

I O jogo foi descrito pela primeira vez no livro “Winning

ways”, de Berlekamp, Conway e Guy

I Em 1996 John Conway publicou o artigo “The angel

problem”, onde demonstrou os resultados expostos aqui e ofereceu uma recompensa pela soluc¸ ˜ao do problema

I O pr ˆemio era de $100,00 para quem mostrasse que algum

anjo poderia vencer e $1.000,00 para quem mostrasse que o dem ˆonio vence qualquer anjo

I Em 2006 o livro “Mathematical puzzles”ajudou a divulgar o

problema; pouco tempo depois surgiram quatro provas distintas

I A prova que mostraremos aqui ´e a de Andr ´as Math ´e,

O problema

Um problema de ”quase”1 milh ˜ao de d ´olares

I O jogo foi descrito pela primeira vez no livro “Winning

ways”, de Berlekamp, Conway e Guy

I Em 1996 John Conway publicou o artigo “The angel

problem”, onde demonstrou os resultados expostos aqui e ofereceu uma recompensa pela soluc¸ ˜ao do problema

I O pr ˆemio era de $100,00 para quem mostrasse que algum

anjo poderia vencer e $1.000,00 para quem mostrasse que o dem ˆonio vence qualquer anjo

I Em 2006 o livro “Mathematical puzzles”ajudou a divulgar o

problema; pouco tempo depois surgiram quatro provas distintas

I A prova que mostraremos aqui ´e a de Andr ´as Math ´e,

O problema

Um problema de ”quase”1 milh ˜ao de d ´olares

I O jogo foi descrito pela primeira vez no livro “Winning

ways”, de Berlekamp, Conway e Guy

I Em 1996 John Conway publicou o artigo “The angel

problem”, onde demonstrou os resultados expostos aqui e ofereceu uma recompensa pela soluc¸ ˜ao do problema

I O pr ˆemio era de $100,00 para quem mostrasse que algum

anjo poderia vencer e $1.000,00 para quem mostrasse que o dem ˆonio vence qualquer anjo

I Em 2006 o livro “Mathematical puzzles”ajudou a divulgar o

problema; pouco tempo depois surgiram quatro provas distintas

I A prova que mostraremos aqui ´e a de Andr ´as Math ´e,

O problema

Um problema de ”quase”1 milh ˜ao de d ´olares

I O jogo foi descrito pela primeira vez no livro “Winning

ways”, de Berlekamp, Conway e Guy

I Em 1996 John Conway publicou o artigo “The angel

problem”, onde demonstrou os resultados expostos aqui e ofereceu uma recompensa pela soluc¸ ˜ao do problema

I O pr ˆemio era de $100,00 para quem mostrasse que algum

anjo poderia vencer e $1.000,00 para quem mostrasse que o dem ˆonio vence qualquer anjo

I Em 2006 o livro “Mathematical puzzles”ajudou a divulgar o

problema; pouco tempo depois surgiram quatro provas distintas

I A prova que mostraremos aqui ´e a de Andr ´as Math ´e,

O problema

Um problema de ”quase”1 milh ˜ao de d ´olares

I O jogo foi descrito pela primeira vez no livro “Winning

ways”, de Berlekamp, Conway e Guy

I Em 1996 John Conway publicou o artigo “The angel

problem”, onde demonstrou os resultados expostos aqui e ofereceu uma recompensa pela soluc¸ ˜ao do problema

I O pr ˆemio era de $100,00 para quem mostrasse que algum

anjo poderia vencer e $1.000,00 para quem mostrasse que o dem ˆonio vence qualquer anjo

I Em 2006 o livro “Mathematical puzzles”ajudou a divulgar o

problema; pouco tempo depois surgiram quatro provas distintas

I A prova que mostraremos aqui ´e a de Andr ´as Math ´e,

O problema

Um problema de ”quase”1 milh ˜ao de d ´olares

I O jogo foi descrito pela primeira vez no livro “Winning

ways”, de Berlekamp, Conway e Guy

I Em 1996 John Conway publicou o artigo “The angel

problem”, onde demonstrou os resultados expostos aqui e ofereceu uma recompensa pela soluc¸ ˜ao do problema

I O pr ˆemio era de $100,00 para quem mostrasse que algum

anjo poderia vencer e $1.000,00 para quem mostrasse que o dem ˆonio vence qualquer anjo

I Em 2006 o livro “Mathematical puzzles”ajudou a divulgar o

problema; pouco tempo depois surgiram quatro provas distintas

A soluc¸ ˜ao

O dem ˆonio bonzinho

I Em primeiro lugar definimos cada casa do tabuleiro como

um par ordenado de n ´umeros inteiros e usamos a

dist ˆancia do tabuleiro de xadrez, ou seja, a dist ˆancia entre

(a, b)e (c, d) ´e max{|a − c|, |b − d|} (o m´ınimo de

movimentos que um rei faz para ir de um ponto a outro).

I Nessa prova o anjo jogar ´a contra o dem ˆonio bonzinho, que

´e o dem ˆonio que nunca come uma casa onde o anjo poderia ter pousado anteriormente (mesmo que n ˜ao tenha pousado).

I Obviamente temos que mudar o crit ´erio de vit ´oria, que

passa a ser se o dem ˆonio consegue confinar o anjo em uma “bola” B(N ) = {c ∈ Z × Z|d(c, 0) < N }.

A soluc¸ ˜ao

O dem ˆonio bonzinho

I Em primeiro lugar definimos cada casa do tabuleiro como

um par ordenado de n ´umeros inteiros e usamos a

dist ˆancia do tabuleiro de xadrez, ou seja, a dist ˆancia entre

(a, b)e (c, d) ´e max{|a − c|, |b − d|} (o m´ınimo de

movimentos que um rei faz para ir de um ponto a outro).

I Nessa prova o anjo jogar ´a contra o dem ˆonio bonzinho, que

´e o dem ˆonio que nunca come uma casa onde o anjo poderia ter pousado anteriormente (mesmo que n ˜ao tenha pousado).

I Obviamente temos que mudar o crit ´erio de vit ´oria, que

passa a ser se o dem ˆonio consegue confinar o anjo em uma “bola” B(N ) = {c ∈ Z × Z|d(c, 0) < N }.

A soluc¸ ˜ao

O dem ˆonio bonzinho

I Em primeiro lugar definimos cada casa do tabuleiro como

um par ordenado de n ´umeros inteiros e usamos a

dist ˆancia do tabuleiro de xadrez, ou seja, a dist ˆancia entre

(a, b)e (c, d) ´e max{|a − c|, |b − d|} (o m´ınimo de

movimentos que um rei faz para ir de um ponto a outro).

I Nessa prova o anjo jogar ´a contra o dem ˆonio bonzinho, que

´e o dem ˆonio que nunca come uma casa onde o anjo poderia ter pousado anteriormente (mesmo que n ˜ao tenha pousado).

I Obviamente temos que mudar o crit ´erio de vit ´oria, que

passa a ser se o dem ˆonio consegue confinar o anjo em uma “bola” B(N ) = {c ∈ Z × Z|d(c, 0) < N }.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Se o dem ˆonio tem estrat ´egia vencedora contra o k-anjo,

ent ˜ao confina o anjo em uma bola B(N ) para algum N .

I _{Se o dem ˆonio vence, ent ˜ao o jogo acaba em n jogadas,}

portanto o anjo fica confinado na bola B(nk).

I Uma jornada do k-anjo ´e uma sequ ˆencia de casas

(v0, v1, ..., vn)em que v0= 0e d(vi, vi+1) ≤ k.

I Uma estrat ´egia do dem ˆonio ´e uma func¸ ˜ao que, para cada

jornada do anjo, devolve uma casa (ou o vazio). Deixamos o dem ˆonio passar sua jogada para que toda a informac¸ ˜ao do jogo esteja na jornada do anjo.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Se o dem ˆonio tem estrat ´egia vencedora contra o k-anjo,

ent ˜ao confina o anjo em uma bola B(N ) para algum N .

I _{Se o dem ˆonio vence, ent ˜ao o jogo acaba em n jogadas,}

portanto o anjo fica confinado na bola B(nk).

I Uma jornada do k-anjo ´e uma sequ ˆencia de casas

(v0, v1, ..., vn)em que v0= 0e d(vi, vi+1) ≤ k.

I Uma estrat ´egia do dem ˆonio ´e uma func¸ ˜ao que, para cada

jornada do anjo, devolve uma casa (ou o vazio). Deixamos o dem ˆonio passar sua jogada para que toda a informac¸ ˜ao do jogo esteja na jornada do anjo.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Se o dem ˆonio tem estrat ´egia vencedora contra o k-anjo,

ent ˜ao confina o anjo em uma bola B(N ) para algum N .

I _{Se o dem ˆonio vence, ent ˜ao o jogo acaba em n jogadas,}

portanto o anjo fica confinado na bola B(nk).

I Uma jornada do k-anjo ´e uma sequ ˆencia de casas

(v0, v1, ..., vn)em que v0= 0e d(vi, vi+1) ≤ k.

I Uma estrat ´egia do dem ˆonio ´e uma func¸ ˜ao que, para cada

jornada do anjo, devolve uma casa (ou o vazio). Deixamos o dem ˆonio passar sua jogada para que toda a informac¸ ˜ao do jogo esteja na jornada do anjo.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Se o dem ˆonio tem estrat ´egia vencedora contra o k-anjo,

ent ˜ao confina o anjo em uma bola B(N ) para algum N .

I _{Se o dem ˆonio vence, ent ˜ao o jogo acaba em n jogadas,}

portanto o anjo fica confinado na bola B(nk).

I Uma jornada do k-anjo ´e uma sequ ˆencia de casas

(v0, v1, ..., vn)em que v0 = 0e d(vi, vi+1) ≤ k.

I Uma estrat ´egia do dem ˆonio ´e uma func¸ ˜ao que, para cada

jornada do anjo, devolve uma casa (ou o vazio). Deixamos o dem ˆonio passar sua jogada para que toda a informac¸ ˜ao do jogo esteja na jornada do anjo.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Se o dem ˆonio tem estrat ´egia vencedora contra o k-anjo,

ent ˜ao confina o anjo em uma bola B(N ) para algum N .

I _{Se o dem ˆonio vence, ent ˜ao o jogo acaba em n jogadas,}

portanto o anjo fica confinado na bola B(nk).

I Uma jornada do k-anjo ´e uma sequ ˆencia de casas

(v0, v1, ..., vn)em que v0 = 0e d(vi, vi+1) ≤ k.

I Uma estrat ´egia do dem ˆonio ´e uma func¸ ˜ao que, para cada

jornada do anjo, devolve uma casa (ou o vazio). Deixamos o dem ˆonio passar sua jogada para que toda a informac¸ ˜ao do jogo esteja na jornada do anjo.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Uma jornada ´e v ´alida se nela o anjo n ˜ao passou por

nenhuma casa que j ´a havia sido destru´ıda pelo dem ˆonio.

I Dada uma jornada (v0, ..., vn)qualquer do k-anjo,

podemos construir a jornada reduzida. A ´ultima casa da

jornada reduzida ´e vn, depois tomamos a anterior como

sendo vi tal que i ´e o menor n ´umero tal que d(vi, vn) ≤ k.

Procedemos assim at ´e chegarmos em v0. Teremos ent ˜ao

uma jornada (u0, ..., um)com u0 = v0 e um= vn, com

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Uma jornada ´e v ´alida se nela o anjo n ˜ao passou por

nenhuma casa que j ´a havia sido destru´ıda pelo dem ˆonio.

I Dada uma jornada (v0, ..., vn)qualquer do k-anjo,

podemos construir a jornada reduzida. A ´ultima casa da

jornada reduzida ´e vn, depois tomamos a anterior como

sendo vi tal que i ´e o menor n ´umero tal que d(vi, vn) ≤ k.

Procedemos assim at ´e chegarmos em v0. Teremos ent ˜ao

uma jornada (u0, ..., um)com u0 = v0 e um= vn, com

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Se o dem ˆonio, com uma estrat ´egia φ, confina o k-anjo em

B(N ), ent ˜ao existe uma estrat ´egia vencedora ψ para o dem ˆonio bonzinho.

Seja (v0, ..., vn)uma jornada e (u0, ..., um)a

correspondente jornada reduzida. Definimos z = φ(u0, .., um). Afirmamos que

ψ(v0, ..., vn) = (

z se d(z, vi) ≥ k, ∀0 ≤ i ≤ n

∅ caso contr ´ario

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Se o dem ˆonio, com uma estrat ´egia φ, confina o k-anjo em

B(N ), ent ˜ao existe uma estrat ´egia vencedora ψ para o dem ˆonio bonzinho.

Seja (v0, ..., vn)uma jornada e (u0, ..., um)a

correspondente jornada reduzida. Definimos z = φ(u0, .., um). Afirmamos que

ψ(v0, ..., vn) = (

z se d(z, vi) ≥ k, ∀0 ≤ i ≤ n

∅ caso contr ´ario

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Se o dem ˆonio, com uma estrat ´egia φ, confina o k-anjo em

B(N ), ent ˜ao existe uma estrat ´egia vencedora ψ para o dem ˆonio bonzinho.

Seja (v0, ..., vn)uma jornada e (u0, ..., um)a

correspondente jornada reduzida. Definimos z = φ(u0, .., um). Afirmamos que

ψ(v0, ..., vn) = (

z se d(z, vi) ≥ k, ∀0 ≤ i ≤ n

∅ caso contr ´ario

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Basta notar que se (v0, .., vn) ´e jornada v ´alida contra φ,

ent ˜ao (u0, ..., um) ´e v ´alida contra ψ.

I Suponha que n ˜ao, ent ˜ao existem s e t com 0 < s < t ≤ m

e φ(u0, .., us) = ut. Definimos us= vs0 e ut= u_t0, note que

s0 < t0.

I Note que (u0, ..., us) ´e jornada reduzida de (v0, ..., vs0), ent ˜ao temos:

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Basta notar que se (v0, .., vn) ´e jornada v ´alida contra φ,

ent ˜ao (u0, ..., um) ´e v ´alida contra ψ.

I Suponha que n ˜ao, ent ˜ao existem s e t com 0 < s < t ≤ m

e φ(u0, .., us) = ut. Definimos us= vs0 e ut= u_t0, note que

s0 < t0.

I Note que (u0, ..., us) ´e jornada reduzida de (v0, ..., vs0), ent ˜ao temos:

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Basta notar que se (v0, .., vn) ´e jornada v ´alida contra φ,

ent ˜ao (u0, ..., um) ´e v ´alida contra ψ.

I Suponha que n ˜ao, ent ˜ao existem s e t com 0 < s < t ≤ m

e φ(u0, .., us) = ut. Definimos us= vs0 e ut= u_t0, note que

s0 < t0.

I Note que (u0, ..., us) ´e jornada reduzida de (v0, ..., vs0), ent ˜ao temos:

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Como essa jornada ´e v ´alida, temos que a resposta foi ∅,

portanto existe algum l < s0 tal que d(vt0, v_l) ≤ k, o que contradiz o fato de (u0, ..., um)ser reduzida de (v0, ..., vn), pois se l < s < t e d(vt0, vl) < k, ent ˜ao u_s n ˜ao pertence `a reduzida.

I Como um∈ B(N ) para qualquer jornada reduzida v ´alida,

temos que vn∈ B(N ) para toda jornada, ou seja, o

A soluc¸ ˜ao

Metade do caminho

I Como essa jornada ´e v ´alida, temos que a resposta foi ∅,

portanto existe algum l < s0 tal que d(vt0, v_l) ≤ k, o que contradiz o fato de (u0, ..., um)ser reduzida de (v0, ..., vn), pois se l < s < t e d(vt0, vl) < k, ent ˜ao u_s n ˜ao pertence `a reduzida.

I Como um∈ B(N ) para qualquer jornada reduzida v ´alida,

temos que vn∈ B(N ) para toda jornada, ou seja, o

A soluc¸ ˜ao

A estrat ´egia

I Agora tudo o que precisamos ´e mostrar que existe uma

estrat ´egia vencedora do 2-anjo contra o dem ˆonio bonzinho, e ela ´e surpreendentemente simples.

I Vamos considerar o anjo como um corredor que corre o

m ´aximo poss´ıvel mantendo a m ˜ao esquerda encostada na parede. As paredes s ˜ao as casas destru´ıdas.

I Vamos considerar que todas as casas (x, y) com x < 0 j ´a

comec¸am destru´ıdas (o que beneficia o dem ˆonio).

I Al ´em disso, pedimos que o dem ˆonio apenas n ˜ao destrua

nenhuma casa que esteja no caminho por onde o anjo passou.

A soluc¸ ˜ao

A estrat ´egia

I Agora tudo o que precisamos ´e mostrar que existe uma

estrat ´egia vencedora do 2-anjo contra o dem ˆonio bonzinho, e ela ´e surpreendentemente simples.

I Vamos considerar o anjo como um corredor que corre o

m ´aximo poss´ıvel mantendo a m ˜ao esquerda encostada na parede. As paredes s ˜ao as casas destru´ıdas.

I Vamos considerar que todas as casas (x, y) com x < 0 j ´a

comec¸am destru´ıdas (o que beneficia o dem ˆonio).

I Al ´em disso, pedimos que o dem ˆonio apenas n ˜ao destrua

nenhuma casa que esteja no caminho por onde o anjo passou.

A soluc¸ ˜ao

A estrat ´egia

I Agora tudo o que precisamos ´e mostrar que existe uma

estrat ´egia vencedora do 2-anjo contra o dem ˆonio bonzinho, e ela ´e surpreendentemente simples.

I Vamos considerar o anjo como um corredor que corre o

m ´aximo poss´ıvel mantendo a m ˜ao esquerda encostada na parede. As paredes s ˜ao as casas destru´ıdas.

I Vamos considerar que todas as casas (x, y) com x < 0 j ´a

comec¸am destru´ıdas (o que beneficia o dem ˆonio).

I Al ´em disso, pedimos que o dem ˆonio apenas n ˜ao destrua

nenhuma casa que esteja no caminho por onde o anjo passou.

A soluc¸ ˜ao

A estrat ´egia

I Agora tudo o que precisamos ´e mostrar que existe uma

estrat ´egia vencedora do 2-anjo contra o dem ˆonio bonzinho, e ela ´e surpreendentemente simples.

I Vamos considerar o anjo como um corredor que corre o

m ´aximo poss´ıvel mantendo a m ˜ao esquerda encostada na parede. As paredes s ˜ao as casas destru´ıdas.

I Vamos considerar que todas as casas (x, y) com x < 0 j ´a

comec¸am destru´ıdas (o que beneficia o dem ˆonio).

I Al ´em disso, pedimos que o dem ˆonio apenas n ˜ao destrua

nenhuma casa que esteja no caminho por onde o anjo passou.

A soluc¸ ˜ao

A estrat ´egia

I Agora tudo o que precisamos ´e mostrar que existe uma

estrat ´egia vencedora do 2-anjo contra o dem ˆonio bonzinho, e ela ´e surpreendentemente simples.

I Vamos considerar o anjo como um corredor que corre o

m ´aximo poss´ıvel mantendo a m ˜ao esquerda encostada na parede. As paredes s ˜ao as casas destru´ıdas.

I Vamos considerar que todas as casas (x, y) com x < 0 j ´a

comec¸am destru´ıdas (o que beneficia o dem ˆonio).

I Al ´em disso, pedimos que o dem ˆonio apenas n ˜ao destrua

nenhuma casa que esteja no caminho por onde o anjo passou.

A soluc¸ ˜ao

Exemplos

Para ficar mais f ´acil vamos considerar que o anjo pinta uma linha verde nas paredes (preto nas arestas) e pinta as casas por onde passa de azul (cinza claro).

A soluc¸ ˜ao

Exemplos

Para ficar mais f ´acil vamos considerar que o anjo pinta uma linha verde nas paredes (preto nas arestas) e pinta as casas por onde passa de azul (cinza claro).

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Para cada segmento verde, temos umas casa destru´ıda `a

esquerda e uma casa azul `a direita.

I Se o anjo pintar uma parede mais de uma vez, a pintar ´a

na mesma direc¸ ˜ao.

I Se o anjo pintar a mesma parede duas vezes, ent ˜ao a

primeira em que isso ocorre ser ´a a primeira parede que o anjo pintou no jogo. Nesse caso a linha verde forma um c´ırculo.

As afirmac¸ ˜oes acima s ˜ao simples, apenas devemos lembrar que o dem ˆonio n ˜ao destr ´oi nenhuma casa pintada de azul.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Para cada segmento verde, temos umas casa destru´ıda `a

esquerda e uma casa azul `a direita.

I Se o anjo pintar uma parede mais de uma vez, a pintar ´a

na mesma direc¸ ˜ao.

I Se o anjo pintar a mesma parede duas vezes, ent ˜ao a

primeira em que isso ocorre ser ´a a primeira parede que o anjo pintou no jogo. Nesse caso a linha verde forma um c´ırculo.

As afirmac¸ ˜oes acima s ˜ao simples, apenas devemos lembrar que o dem ˆonio n ˜ao destr ´oi nenhuma casa pintada de azul.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Para cada segmento verde, temos umas casa destru´ıda `a

esquerda e uma casa azul `a direita.

I Se o anjo pintar uma parede mais de uma vez, a pintar ´a

na mesma direc¸ ˜ao.

I Se o anjo pintar a mesma parede duas vezes, ent ˜ao a

primeira em que isso ocorre ser ´a a primeira parede que o anjo pintou no jogo. Nesse caso a linha verde forma um c´ırculo.

As afirmac¸ ˜oes acima s ˜ao simples, apenas devemos lembrar que o dem ˆonio n ˜ao destr ´oi nenhuma casa pintada de azul.

A soluc¸ ˜ao

Ferramentas

I Para cada segmento verde, temos umas casa destru´ıda `a

esquerda e uma casa azul `a direita.

I Se o anjo pintar uma parede mais de uma vez, a pintar ´a

na mesma direc¸ ˜ao.

I Se o anjo pintar a mesma parede duas vezes, ent ˜ao a

primeira em que isso ocorre ser ´a a primeira parede que o anjo pintou no jogo. Nesse caso a linha verde forma um c´ırculo.

As afirmac¸ ˜oes acima s ˜ao simples, apenas devemos lembrar que o dem ˆonio n ˜ao destr ´oi nenhuma casa pintada de azul.