Cap´ıtulo 1
Aula 1
1.1
Grafos
Defini¸c˜ao 1. Um grafo G = (V, E) consiste de um conjunto n˜ao vazio V e um conjunto de arestas (caminhos) E. Cada arestaliga um ou dois v´ertices chamados pontos finais um do outro. Exemplo 2. As Figuras 1.1 e 1.2 apresentam grafos como uma rede hipot´etica de computadores entre algumas cidades.
Figura 1.1: Rede de Computadores
Figura 1.3: Rede de Computadores com Links de Diagn´osticos
Se s´o existir, para cada par de v´ertices, uma ´unica arestas os conectando, e o for dessa forma para todos os v´ertices de um grafo ele ser´a chamado grafo simples (Figura 1.1). Do contr´ario, se existirem v´ertices conectados por mais que uma aresta dizemos tratar-se de um grafo m´ultiplo (Figura 1.2).
Nossa abordagem se restringir´a aos chamados grafos orientados, isto ´e, dados dois v´ertices e uma aresta os ligando haver´a uma dire¸c˜ao indicando o v´ertice inicial e o v´ertice final (Figura 1.4). Caso contr´ario, o grafo recebe a denomina¸c˜ao de pseudografo.
Figura 1.4: Rede de Computadores Unilateral com M´ultiplos Links entre Centrais de Dados
Defini¸c˜ao 3. Um grafo orientado (ou digrafo) (V, E) consiste de um conjunto n˜ao vazio de v´ertices V e um conjunto de arestas orientadas (ou arcos) E. A aresta orientada associada ao par (u, v) ´e dita come¸car em u e terminar em v
Observando a Figura 1.5 percebemos dois caminhos sentido Denver(u) - Chicago(v). Neste caso, dizemos que o par ordenado (u, v) tem multiplicidade 2.
Figura 1.5: Rede de Computadores Unilateral com M´ultiplos Links
T ipo Arestas M ultiplas Arestas? Loops?
Graf o Simples N ao Orientado N ao N ao
Graf o M ultiplo N ao Orientado Sim N ao
P seudograf o N ao Orientado Sim Sim
Graf o Simples Orientados Orietado N ao N ao
Graf o M ultiplo Orientado Orientado Sim Sim
Graf o M isto Orientado e nao Orientado Sim Sim
Tabela 1.1: Terminologia.
1.2
Modelos
Vejamos a seguir alguns modelos para situa¸c˜oes pr´aticas da vida real. Exemplo 4. Grafos de Amizade e Relacionamento
Podemos usar um grafo para representar se duas pessoas se conhecem, isto ´e, se est˜ao fami-liarizadas ou se s˜ao amigas. Cada pessoa em um grupo particular de pessoas ´e representada por um v´ertice. Uma aresta n˜ao orientada ´e usada para conectar duas pessoas quando essas pessoas se conhecem, quando estamos apenas preocupados com conveniˆencia, ou se s˜ao amigos. N˜ao s˜ao utilizadas multiplas arestas ou loops. A Figura 1.6 apresenta um exemplo de rede de relacionamentos.
Exemplo 5. Redes de Influˆencia
Em certo estudos de grupos sob uma ´otica behaviorista s˜ao observados que algumas pessoas sofrem influˆencias de certos indiv´ıduos enquanto consegue influenciar uma outra parte. A Figura 1.7 ilustra tal situa¸c˜ao.
Figura 1.6: Rede de Relacionamento
Figura 1.7: Grafo de Influˆencia Exemplo 6. A Rede Mundial de Computadores
A rede mundial de computadores pode ser modelada como um grafo direcionado onde cada p´agina ´e representada por um v´ertice e uma aresta com¸ca na p´agina da Web A e termina na p´agina da Web B se houver um link para B. Porque novas p´aginas da Web s˜ao criadas e outras removidas em algum lugar na Web quase a cada segundo, o grafo da Web muda quase que continuamente. Muitas pessoas est˜ao estudando as propriedades do grafo da Web para entender melhor sua natureza.
Exemplo 7. Torneios de Elimina¸c˜ao Simples (Mata-Mata)
Trata-se de um campeonato onde cada competidor ´e eliminado ap´os uma ´unica perda. Torneios de elimina¸c˜ao ´unica s˜ao frequentemente usados nos esportes, incluindo campeonatos de tˆenis, basquete etc. N´os podemos modelar tal torneio usando um v´ertice para representar cada jogo e uma borda direcionada para conectar um jogo para o pr´oximo jogo em que o vencedor deste jogo jogou. O Figura 1.7 representa os jogos disputados por 16 equipes finais em certo torneio.
Figura 1.8: Torneio Eliminat´orio Simples
1.3
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. Desenhe modelos de grafos, indicando o tipo de gr´afo (da tabela 1.1) usado, para representar rotas a´ereas onde todos os dias h´a quatro vˆoos de Boston para Newark, dois vˆoos de Newark a Boston, trˆes vˆoos de Newark a Miami, dois vˆoos de Miami para Newark, um vˆoo de Newark para Detroit, dois voos de Detroit para Newark, trˆes vˆoos de Newark a Washington, dois vˆoos de Washington para Newark e um voo de Washington para Miami, com
a) uma aresta entre os v´ertices representando as cidades com vˆoos entre elas (em qualquer dire˜ao).
b) uma aresta entre v´ertices representando cidades para cada vˆoo que opera entre eles (em qualquer dire¸c˜ao).
c) uma aresta entre v´ertices representando cidades para cada vˆoo que opera entre elas (em qualquer dire¸c˜ao), mais um loop para uma viagem especial de turismo que decola em Miami. d) uma aresta de um v´ertice representando uma cidade onde um vˆoo come¸ca com o v´ertice representando a cidade onde termina.
e) uma aresta para cada vˆoo a partir de um v´ertice representando cidade onde o vˆoo come¸ca para o v´ertice representando a cidade onde o vˆoo termina.
Exerc´ıcio 2. Para os As Figuras 1 − 4, determine se o gr´afo mostrado possui arestas direciona-das ou n˜ao direcionadas, se tem v´arias arestas, e se tem um ou mais loops. Use suas respostas para determinar o tipo de gr´afo na Tabela 1.1 este gr´afo ´e.
representam dois conjuntos se esses conjuntos tiverem uma interse¸c˜ao n˜ao vazia. Construir o gr´afico de interse¸c˜ao dessas cole¸c˜oes de conjuntos.
a) A1 = {0, 2, 4, 6, 8}, A2 = {0, 1, 2, 3, 4}, A3 = {1, 3, 5, 7, 9}, A4 = {5, 6, 7, 8, 9}, A5 = {0, 1, 8, 9} b) A1 = {· · · , −4, −3, −2, −1, 0}, A2 = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · }, A3 = {· · · , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, · · · }, A4 = {· · · , −5, −3, −1, 1, 3, 5, · · · }, A5 = {· · · , −6, −3, 0, 3, 6, · · · } c) A1 = {x|x < 0}, A2 = {x| − 1 < x < 0}, A3 = {x|0 < x < 1}, A4 = {x| − 1 < x < 1}, A5 = {x|x > −1}, A6 = R.
Exerc´ıcio 4. Construir um gr´afo de sobreposi¸c˜ao de nicho para seis esp´ecies de aves, onde o tordo eremita concorre com o robin e com o jay azul, o robin tamb´em compete com o mockingbird, o mockingbird tamb´em compete com o o gaio-azul e o nuthatch competem com o pica-pau peludo.
Exerc´ıcio 5. Construa um gr´afo de influˆencia para os membros da diretoria de um empresa se o Presidente puder influenciar o Diretor de Pesquisa e Desenvolvimento, o Diretor de Marketing e o Diretor de Opera¸c˜oes; o Diretor de Pesquisa e O Desenvolvimento pode influenciar o Diretor de Opera¸c˜oes; o Diretor de Marketing pode influenciar o Diretor de Opera¸c˜oes; e ningu´em pode influenciar ou ser influenciado pelo Diretor Financeiro.
Exerc´ıcio 6. Em um torneio round-robin the Tigers venceu os Blue Jays, os Tigers venceram os Cardinals, os Tigers venceram os Orioles, os Blue Jays venceram os Cardeais, os Blue Jays venceram o Orioles e os cardeais bateram os Orioles. Modele isso resultado com um gr´afo direcionado.
