Análise do Union-Find

Análise do Union-Find

Coleção de conjuntos disjuntos

Queremos uma ED boa para representar uma partição de um conjunto

e as seguintes operações sobre a partição:

MakeSet(x): cria um conjunto unitário com o elementox.

FindSet(x): devolve o identificador do bloco da partição

que contémx.

Union(x,y): substitui os blocos da partição que contêm

xeypela união deles. Idéia:

Usar um elemento do conjunto (orepresentante) como identificador.

Coleção de conjuntos disjuntos

Queremos uma ED boa para representar uma partição de um conjunto

e as seguintes operações sobre a partição:

MakeSet(x): cria um conjunto unitário com o elementox.

FindSet(x): devolve o identificador do bloco da partição

que contémx.

Union(x,y): substitui os blocos da partição que contêm

xeypela união deles.

Idéia:

Usar um elemento do conjunto (orepresentante) como identificador.

Coleção de conjuntos disjuntos

Queremos uma ED boa para representar uma partição de um conjunto

e as seguintes operações sobre a partição:

MakeSet(x): cria um conjunto unitário com o elementox.

FindSet(x): devolve o identificador do bloco da partição

que contémx.

Union(x,y): substitui os blocos da partição que contêm

xeypela união deles. Idéia:

Como analizar?

Uso típico:

n− 1 Union, m FindSet, mn

em sequência arbitrária.

O custo de uma operação pode variar muito - é muito pessimista supor o pior caso em cada uma.

Vale a pena considerar uma sequência completa de operações, em vez de analizar uma a uma.

Isso se chamaAnálise Amortizada.

É um método especialmente útil para analizar estruturas adaptativas, em que uma operação pode preparar caminho para a execução de operações futuras.

Como analizar?

Uso típico:

n− 1 Union, m FindSet, mn

em sequência arbitrária.

O custo de uma operação pode variar muito - é muito pessimista supor o pior caso em cada uma.

Vale a pena considerar uma sequência completa de operações, em vez de analizar uma a uma.

Isso se chamaAnálise Amortizada.

É um método especialmente útil para analizar estruturas adaptativas, em que uma operação pode preparar caminho para a execução de operações futuras.

Como analizar?

Uso típico:

n− 1 Union, m FindSet, mn

em sequência arbitrária.

O custo de uma operação pode variar muito - é muito pessimista supor o pior caso em cada uma.

Vale a pena considerar uma sequência completa de operações, em vez de analizar uma a uma.

Isso se chamaAnálise Amortizada.

É um método especialmente útil para analizar estruturas adaptativas, em que uma operação pode preparar caminho para a execução de operações futuras.

Como analizar?

Uso típico:

n− 1 Union, m FindSet, mn

em sequência arbitrária.

O custo de uma operação pode variar muito - é muito pessimista supor o pior caso em cada uma.

Vale a pena considerar uma sequência completa de operações, em vez de analizar uma a uma.

Isso se chamaAnálise Amortizada.

É um método especialmente útil para analizar estruturas adaptativas, em que uma operação pode preparar caminho para a execução de operações futuras.

Como analizar?

Uso típico:

n− 1 Union, m FindSet, mn

em sequência arbitrária.

O custo de uma operação pode variar muito - é muito pessimista supor o pior caso em cada uma.

Vale a pena considerar uma sequência completa de operações, em vez de analizar uma a uma.

Isso se chamaAnálise Amortizada.

É um método especialmente útil para analizar estruturas adaptativas, em que uma operação pode preparar caminho para a execução de operações futuras.

Não é tão novidade assim

Numa busca em grafos:

1 para cadau∈_G.V

2 para cadav∈_{u.Estrelafaça}

Análise ingênua:

Como cada estrela tem tamanhoO(n), os dois laços combinados levamO(n2).

Análise amortizada:

Como na linha 2 cada arco é examinado uma única vez, os dois laços combinados levamO(m).

Não é tão novidade assim

Numa busca em grafos: 1 para cadau∈_G.V

2 para cadav∈_{u.Estrelafaça}

Análise ingênua:

Como cada estrela tem tamanhoO(n), os dois laços combinados levamO(n2).

Análise amortizada:

Como na linha 2 cada arco é examinado uma única vez, os dois laços combinados levamO(m).

Não é tão novidade assim

Numa busca em grafos: 1 para cadau∈_G.V

2 para cadav∈_{u.Estrelafaça}

Análise ingênua:

Como cada estrela tem tamanhoO(n), os dois laços combinados levamO(n2).

Análise amortizada:

Como na linha 2 cada arco é examinado uma única vez, os dois laços combinados levamO(m).

Não é tão novidade assim

Numa busca em grafos: 1 para cadau∈_G.V

2 para cadav∈_{u.Estrelafaça}

Análise ingênua:

Como cada estrela tem tamanhoO(n), os dois laços combinados levamO(n2).

Análise amortizada:

Como na linha 2 cada arco é examinado uma única vez, os dois laços combinados levamO(m).

Não é tão novidade assim

Numa busca em grafos: 1 para cadau∈_G.V

2 para cadav∈_{u.Estrelafaça}

Análise ingênua:

Como cada estrela tem tamanhoO(n), os dois laços combinados levamO(n2).

Análise amortizada:

Como na linha 2 cada arco é examinado uma única vez, os dois laços combinados levamO(m).

Não é tão novidade assim

Numa busca em grafos: 1 para cadau∈_G.V

2 para cadav∈_{u.Estrelafaça}

Análise ingênua:

Como cada estrela tem tamanhoO(n), os dois laços combinados levamO(n2).

Análise amortizada:

Como na linha 2 cada arco é examinado uma única vez, os dois laços combinados levamO(m).

Implementação 1 do union-find

I _{Cada conjunto é uma lista ligada, com cabeçalho apontando} início e fim - facilita_Union.

I _{Cada elemento da lista tem um apontadornomepara o} cabeçalho - facilita_FindSet.

MakeSet(x) cria uma lista contendo sóx.

FindSetrespondido direto pelonome.

Union: juntar as duas listas é fácil, mas é preciso atualizar

onomedos membros de um dos conjuntos.

MakeSeteFindSetlevamO(1), mas váriosUnion

Implementação 1 do union-find

I _{Cada conjunto é uma lista ligada, com cabeçalho apontando} início e fim - facilita_Union.

I _{Cada elemento da lista tem um apontadornomepara o} cabeçalho - facilita_FindSet.

MakeSet(x) cria uma lista contendo sóx.

FindSetrespondido direto pelonome.

Union: juntar as duas listas é fácil, mas é preciso atualizar

onomedos membros de um dos conjuntos.

MakeSeteFindSetlevamO(1), mas váriosUnion

Implementação 1 do union-find

I _{Cada conjunto é uma lista ligada, com cabeçalho apontando} início e fim - facilita_Union.

I _{Cada elemento da lista tem um apontadornomepara o} cabeçalho - facilita_FindSet.

MakeSet(x) cria uma lista contendo sóx.

FindSetrespondido direto pelonome.

Union: juntar as duas listas é fácil, mas é preciso atualizar

onomedos membros de um dos conjuntos.

MakeSeteFindSetlevamO(1), mas váriosUnion

Implementação 1 do union-find

I _{Cada conjunto é uma lista ligada, com cabeçalho apontando} início e fim - facilita_Union.

I _{Cada elemento da lista tem um apontadornomepara o} cabeçalho - facilita_FindSet.

MakeSet(x) cria uma lista contendo sóx.

FindSetrespondido direto pelonome.

Union: juntar as duas listas é fácil, mas é preciso atualizar

onomedos membros de um dos conjuntos.

MakeSeteFindSetlevamO(1), mas váriosUnion

Implementação 1 do union-find

I _{Cada conjunto é uma lista ligada, com cabeçalho apontando} início e fim - facilita_Union.

I _{Cada elemento da lista tem um apontadornomepara o} cabeçalho - facilita_FindSet.

MakeSet(x) cria uma lista contendo sóx.

FindSetrespondido direto pelonome.

Union: juntar as duas listas é fácil, mas é preciso atualizar

onomedos membros de um dos conjuntos.

MakeSeteFindSetlevamO(1), mas váriosUnion

Implementação 1 do union-find

I _{Cada conjunto é uma lista ligada, com cabeçalho apontando} início e fim - facilita_Union.

I _{Cada elemento da lista tem um apontadornomepara o} cabeçalho - facilita_FindSet.

MakeSet(x) cria uma lista contendo sóx.

FindSetrespondido direto pelonome.

Union: juntar as duas listas é fácil, mas é preciso atualizar

onomedos membros de um dos conjuntos.

MakeSeteFindSetlevamO(1), mas váriosUnion

Melhoria

Na_Union, pendure a lista menor na maior (cabeçalho

precisa guardar o tamanho da lista).

Agora, cada vez que um elemento muda denome,

o conjunto em que ele está pelo menos dobra de tamanho. Assim, seunomemuda no máximo lgnvezes

.

Tempo total de_{n Union}:O(nlgn)

.

Melhoria

Na_Union, pendure a lista menor na maior (cabeçalho

precisa guardar o tamanho da lista).

Agora, cada vez que um elemento muda denome,

o conjunto em que ele está pelo menos dobra de tamanho. Assim, seunomemuda no máximo

lgn vezes

.

Tempo total de_{n Union}:O(nlgn)

.

Melhoria

Na_Union, pendure a lista menor na maior (cabeçalho

precisa guardar o tamanho da lista).

Agora, cada vez que um elemento muda denome,

o conjunto em que ele está pelo menos dobra de tamanho. Assim, seunomemuda no máximo lgn vezes.

Tempo total de_{n Union}:O(nlgn)

.

Melhoria

Na_Union, pendure a lista menor na maior (cabeçalho

precisa guardar o tamanho da lista).

Agora, cada vez que um elemento muda denome,

o conjunto em que ele está pelo menos dobra de tamanho. Assim, seunomemuda no máximo lgn vezes.

Tempo total de_{n Union}:O(nlgn).

Melhoria

Na_Union, pendure a lista menor na maior (cabeçalho

precisa guardar o tamanho da lista).

Agora, cada vez que um elemento muda denome,

o conjunto em que ele está pelo menos dobra de tamanho. Assim, seunomemuda no máximo lgn vezes.

Tempo total de_{n Union}:O(nlgn). Tempo total:O(m+nlgn)

Implementação 2 do union-find

Cada conjunto é uma árvore apontando para a raíz.

MakeSet(x)

1 x.pai←_x

FindSet(x)

1 sex=x.pai 2 devolvax

3 devolva_FindSet(x.pai)

FindSet(x)

1 enquantox.pai,xfaça 2 x←_x.pai

3 devolvax

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 y.pai←_x

Consumo de tempo:doFindSetpode ser muito ruim...Ê(n).

Implementação 2 do union-find

Cada conjunto é uma árvore apontando para a raíz.

MakeSet(x)

1 x.pai←_x

FindSet(x)

1 sex=x.pai 2 devolvax

3 devolva_FindSet(x.pai)

FindSet(x)

1 enquantox.pai,xfaça 2 x←_x.pai

3 devolvax

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 y.pai←_x

Consumo de tempo:doFindSetpode ser muito ruim...Ê(n).

Implementação 2 do union-find

Cada conjunto é uma árvore apontando para a raíz.

MakeSet(x)

1 x.pai←_x

FindSet(x)

1 sex=x.pai 2 devolvax

3 devolva_FindSet(x.pai)

FindSet(x)

1 enquantox.pai,xfaça 2 x←_x.pai

3 devolvax

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 y.pai←_x

Consumo de tempo:doFindSetpode ser muito ruim...Ê(n).

Implementação 2 do union-find

Cada conjunto é uma árvore apontando para a raíz.

MakeSet(x)

1 x.pai←_x

FindSet(x)

1 sex=x.pai 2 devolvax

3 devolva_FindSet(x.pai)

FindSet(x)

1 enquantox.pai,xfaça 2 x←_x.pai

3 devolvax

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 y.pai←x

Implementação 2 do union-find

Cada conjunto é uma árvore apontando para a raíz.

MakeSet(x)

1 x.pai←_x

FindSet(x)

1 sex=x.pai 2 devolvax

3 devolva_FindSet(x.pai)

FindSet(x)

1 enquantox.pai,xfaça 2 x←_x.pai

3 devolvax

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 y.pai←x

Melhoria 1

Heurística das alturas

MakeSet(x)

1 x.pai←_x 2 x.rank← 0

FindSet(x): o mesmo de antes

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 sex.rank≥_y.rank 2 então y.pai←_x

3 entãosex.rank=y.rank

4 entãoentãox.rank←_{x.rank+ 1} 5 senãox.pai←_y

Invariante:x.rank≥ altura da árvore pendurada emx. Melhorou:FindSetéÊ(lgn). Total:O(n+mlgn)

Melhoria 1

Heurística das alturas

MakeSet(x)

1 x.pai←_x 2 x.rank← 0

FindSet(x): o mesmo de antes

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 sex.rank≥_y.rank 2 então y.pai←_x

3 entãosex.rank=y.rank

4 entãoentãox.rank←_{x.rank+ 1} 5 senãox.pai←_y

Invariante:x.rank≥ altura da árvore pendurada emx. Melhorou:FindSetéÊ(lgn). Total:O(n+mlgn)

Melhoria 1

Heurística das alturas

MakeSet(x)

1 x.pai←_x 2 x.rank← 0

FindSet(x): o mesmo de antes

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 sex.rank≥_y.rank 2 então y.pai←_x

3 entãosex.rank=y.rank

4 entãoentãox.rank←_{x.rank+ 1} 5 senãox.pai←_y

Invariante:x.rank≥ altura da árvore pendurada emx. Melhorou:FindSetéÊ(lgn). Total:O(n+mlgn)

Melhoria 1

Heurística das alturas

MakeSet(x)

1 x.pai←_x 2 x.rank← 0

FindSet(x): o mesmo de antes

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 sex.rank≥_y.rank 2 então y.pai←_x

3 entãosex.rank=y.rank

4 entãoentãox.rank←_{x.rank+ 1} 5 senãox.pai←_y

Invariante:x.rank≥ altura da árvore pendurada emx.

Melhorou:FindSetéÊ(lgn). Total:O(n+mlgn)

Melhoria 1

Heurística das alturas

MakeSet(x)

1 x.pai←_x 2 x.rank← 0

FindSet(x): o mesmo de antes

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 sex.rank≥_y.rank 2 então y.pai←_x

3 entãosex.rank=y.rank

4 entãoentãox.rank←_{x.rank+ 1} 5 senãox.pai←_y

Melhoria 1

Heurística das alturas

MakeSet(x)

1 x.pai←_x 2 x.rank← 0

FindSet(x): o mesmo de antes

Union(x,y) xeyrepresentantes distintos

1 sex.rank≥_y.rank 2 então y.pai←_x

3 entãosex.rank=y.rank

4 entãoentãox.rank←_{x.rank+ 1} 5 senãox.pai←_y

Invariante:x.rank≥ altura da árvore pendurada emx. Melhorou: éÊ(lgn). Total:O(n+mlgn)

Implementação 3

Heurística da compressão dos caminhos

FindSet(x)

1 ifx.pai,x

2 entãox.pai←_{FindSet(x.pai)} 3 devolvax.pai

Consumo amortizado de tempo de cada operação: O(lg∗n),

onde lg∗n é o número de vezes que temos que aplicar o lg até atingir um número menor ou igual a 1.

Na verdade, é melhor do que isso.

Implementação 3

Heurística da compressão dos caminhos

FindSet(x)

1 ifx.pai,x

2 entãox.pai←_{FindSet(x.pai)} 3 devolvax.pai

Consumo amortizado de tempo de cada operação: O(lg∗n),

onde lg∗n é o número de vezes que temos que aplicar o lg até atingir um número menor ou igual a 1.

Na verdade, é melhor do que isso.

Implementação 3

Heurística da compressão dos caminhos

FindSet(x)

1 ifx.pai,x

2 entãox.pai←_{FindSet(x.pai)} 3 devolvax.pai

Consumo amortizado de tempo de cada operação: O(lg∗n),

O que isso significa

Duas maneiras de entender o lg∗:

lg(0)(n) =n lg(k)(n) = lg(lg(k −1)(n)), k > 0 lg∗(n) = min{k | lg(k)(n) ≤ 1} b₀= 1 b_k = 2bk −1_{, k> 0} lg∗(n) = min{k |n< bk}.

O que isso significa

Duas maneiras de entender o lg∗:

lg(0)(n) =n lg(k)(n) = lg(lg(k −1)(n)), k > 0 lg∗(n) = min{k | lg(k)(n) ≤ 1} b₀= 1 b_k = 2bk −1_{, k> 0} ∗

O que isso significa

No mundo real, lg

n

≤ 5

.

O que isso significa

No mundo real, lg

n

≤ 5

.

O que isso significa

No mundo real, lg

n

≤ 5

.

O que isso significa