ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO POR MEIO DE MEDIÇÕES EM SEUS TERMINAIS

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO No ₁₂₀₁

ESTIMAÇÃO

DOS

PARÂMETROS

DE

LINHAS

DE

TRANSMISSÃO

POR

MEIO

DE

MEDIÇÕES

EM

SEUS

TERMINAIS

Débora Coelho de Queiroz

Universidade Federal de Minas Gerais

Escola de Engenharia

Programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica

ESTIMAÇÃO

DOS

PARÂMETROS

DE

LINHAS

DE

TRANSMISSÃO

POR

MEIO

DE

MEDIÇÕES

EM

SEUS

TERMINAIS

Débora Coelho de Queiroz

Dissertação de Mestrado submetida à Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito para obtenção do Título de Mestre em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Clever Sebastião Pereira Filho

Belo Horizonte - MG Setembro – 2020

Queiroz, Débora Coelho de.

Q3e Estimação dos parâmetros de linhas de transmissão por meio de medições em seus terminais [recurso eletrônico] / Débora Coelho de Queiroz. - 2020.

1 recurso online (x ,122 f. : il., color.) : pdf.

Orientador: Clever Sebastião Pereira Filho.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Minas Gerais, Escola de Engenharia.

Anexo: f. 113-122. Bibliografia: f. 110-112.

Exigências do sistema: Adobe Acrobat Reader.

1. Linhas de telecomunicação - Teses. 2. Curtos-circuitos- Teses. 3. Newton-Raphson, Método - Teses. I. Pereira Filho, Clever Sebastião. II. Universidade Federal de Minas Gerais. Escola de Engenharia. III.Título.

CDU: 621.3(043)

“A arte da vida consiste em fazer da vida uma obra de arte.” ― Mahatma Gandhi

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus pelo amparo e pelas pessoas que encontrei ao longo de minha caminhada.

À minha mãe Lili e avó Terezinha que através de seus exemplos me mostraram que persistência, fé e coragem são a melhor forma de superar os desafios da vida. Ao meu pai, Konrad e avós, Maria e Miguel, que apesar de impossibilitados de estarem presentes, suas histórias e lembranças se constituem em um motivo de força. Aos meus irmãos, Daniel e Leonardo, e às minhas tias, Marilia e Marisa, companheiros de caminhada que me ensinam e incentivam diariamente a me tornar uma pessoa melhor.

Ao meu orientador Clever Pereira, primeiramente pela oportunidade e amizade, mas também pela confiança, compreensão e conselhos ao longo deste projeto.

Agradeço em especial ao Johnny Andrade, Edmar Moreira, Fábio Silva e à Kenia Souza pela amizade e incentivo imprescindíveis à finalização deste ciclo.

Aos amigos, Lara Sathler, Alan Barros, Aretha Carmo, Mateus Franco, João Klock, Felipe Zanon, Ósis Leal, Isabela Silva, Geraldo Silveira, Alex Silva e Gustavo Diniz, sou grata pelas risadas, conselhos e companheirismo.

Agradeço também aos professores Maria Helena Murta Vale e Alberto De Conti por seus ensinamentos e apoio dispensados.

Por fim, aos companheiros da Concert Technologies e Cemig GT pela oportunidade de crescimento, acolhimento e pelos momentos de aprendizado.

Resumo

O conhecimento dos parâmetros de linhas de transmissão é fundamental para a operação, controle, proteção e gestão eficiente dos recursos energéticos no sistema elétrico brasileiro. Este trabalho apresenta, portanto, duas metodologias para a determinação dos parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e desequilibradas, utilizando grandezas elétricas mensuradas em seus dois terminais. Tais medições são comumente executadas pelas concessionárias durante eventos de curtos-circuitos por meio de registradores digitais de perturbação (RDPs) ou pelas unidades de medição fasorial (PMUs), implantadas em diversos pontos da rede elétrica. As metodologias desenvolvidas são baseadas nas equações de linhas de transmissão, teoria de quadripolos, utilizam formulações no domínio das fases e modal e são implementadas utilizando dois métodos: Newton-Raphson Multivariável e Algoritmo Genético. Os algoritmos foram validados através de linhas simuladas baseadas em dados de linhas existentes e os resultados obtidos são satisfatórios. Os valores estimados para os parâmetros das linhas de transmissão servem como aferição dos resultados fornecidos pelos programas computacionais utilizados no projeto da linha, principalmente em relação aos parâmetros de sequência zero, muito dependentes das características do solo. Além disso, permite a atualização do banco de dados das concessionárias de energia de linhas que já se encontram em serviço.

PALAVRAS CHAVES: Estimação de Parâmetros; Linhas de Transmissão Equilibradas;

Linhas de Transmissão Desequilibradas; Curtos-Circuitos Monofásico-Terra; Método de Newton-Raphson; Algoritmo Evolutivo; Transformação Modal; Transformação de Clarke.

Abstract

The parameters’ knowledge is essential for the efficient management of energy resources in the Brazilian Electrical System. Therefore, this dissertation proposes two methodologies to estimate transmission lines parameters. These methodologies can be applied for balanced and unbalanced transmission lines and it uses measurements at the line ends. This approach uses voltage and current measurements record commonly performed during unbalanced earth events and measured by Digital Recorders Perturbation (RDP) or by Phasor Measurement Units (PMU). The proposed methods are based on the transmission lines equations and the quadripole theory. The calculations are made in the phase and modal domain These equations are implemented using two numerical algorithms: Newton-Raphson Multivariable and Genetic Algorithm. The developed method is evaluated using data from computer simulations of real transmission lines. The results are satisfactory, and the errors are equal to or less than that normally found by other methods found in the technical literature. The estimated values for the transmission lines parameters’ can be used to attest the results provided by the computer programs used in line’s design, mainly the to the zero sequence parameters, very dependent on the soil’s characteristics. In addition, it allows updating the database of power utilities for lines that are already in service.

PALAVRAS CHAVES: Estimating Line Parameters; Balance Transmission Lines; Unbalance Transmission Lines Systems; Ground-faults; Newton-Raphson Method; Evolutive Algorithm; Modal Decomposition; Clarke decomposition.

Sumário

1 Introdução ... 1 1.1 Relevância e Motivação ... 1 1.2 Objetivos ... 3 1.3 Metodologia ... 4 1.4 Organização do texto ... 5 2 Revisão Bibliográfica ... 6 2.1 Considerações Iniciais ... 6 2.2 Linhas de Transmissão ... 6

2.2.1 Equacionamento de Linhas no Domínio da Frequência ... 6

2.2.2 Obtenção do Modelo de Quadripolos de Linhas ... 8

2.3 Transformações de Similaridade... 10

2.3.1 Transformação Sequencial ... 10

2.3.2 Transformação Modal ... 12

2.3.3 Transformação de Clarke ... 14

2.4 Análise de Curtos-Circuitos Monofásicos ... 15

2.5 Definição de Circuito Superposto ou Puro de Falta... 18

2.6 Método de Newton-Raphson Multivariável ... 19

2.7 Algoritmos Evolutivos ... 21

2.7.1 Algoritmos Genéticos ... 22

2.7.2 Algoritmo de Evolução Diferencial ... 24

3 Cálculo de Parâmetros de Linhas de Transmissão ... 26

3.1 Considerações Iniciais ... 26

3.2 Formulações em Regime Permanente Senoidal ... 26

3.3 Formulações Utilizando o Método Direto para Linhas Equilibradas ... 29

4 Cálculo de Parâmetros Utilizando o Método de Newton-Raphson ... 35

4.1 Considerações Iniciais ... 35

4.2 Estrutura do Método ... 36

4.3 Dados de Entrada ... 37

4.4 Determinação da geometria da linha ... 38

4.5 Cálculo de Parâmetros ... 39

4.5.1 Cálculo de Parâmetros dos Modos Aéreos ... 39

4.5.2 Corrente de Falta de Modo Terra ... 40

4.5.3 Cálculo dos parâmetros do Modo Terra ... 41

4.6 Cálculo da Impedância de falta ... 43

5 Cálculo dos Parâmetros Utilizando Algoritmos Evolutivos ... 45

5.1 Considerações Iniciais ... 45

5.2 Lógica de Funcionamento ... 46

5.3 Estrutura do Indivíduo ... 48

5.4 Geração da População Inicial... 49

5.5 Operador de Seleção Inicial ... 49

5.6 Função Objetivo ... 50

5.6.1 Funções Disponíveis ... 51

5.6.2 Relações Complementares ... 52

5.6.3 Composição da Função Objetivo ... 54

5.6.4 Critérios de Penalidade ... 56

5.6.5 Rotina de Cálculo da Função Objetivo ... 56

5.6.6 Verificação da Posição do Modo de Terra nas matrizes de transformação ... 57

5.7 Operadores Evolutivos ... 58

5.7.2 Operador de Mutação do Differencial Evolution ... 60

5.7.3 Operador de Mutação Polinomial ... 61

5.8 Indivíduos inseridos na população ... 62

5.9 Critérios de Parada ... 63

5.10 Apresentação dos Resultados do Algoritmo ... 64

6 Estudos de Caso e Resultados ... 66

6.1 Considerações Iniciais ... 66

6.2 Estudos de casos desenvolvidos ... 67

6.3 Resultados do método de Newton-Raphson ... 70

6.3.1 Cálculo de Parâmetros com Matrizes Exatas ... 70

6.3.2 Cálculo de Parâmetros com Matrizes Não Exatas ... 74

6.4 Resultados Obtidos Utilizando Algoritmo Evolutivo ... 78

6.4.1 Análise dos Erros nos Parâmetros Obtidos ... 79

6.4.2 Análise do Comportamento do Método para Situações de Convergência Bem-Sucedidas ... 84

6.4.3 Análise do Comportamento do Método para Situações de Não-Convergência ... 95

6.5 Análise da influência da variação do local de falta para os métodos.. 101

7 Conclusões e Propostas de Continuidade ... 107

7.1 Conclusões ... 107

7.2 Propostas de Continuidade ... 109

Referências Bibliográficas ... 110

Anexos ... 113

1 Introdução

1.1 Relevância e Motivação

Os parâmetros das Linhas de transmissão (LT) são fundamentais para a realização de diversos estudos no sistema elétrico de potência (SEP). Nas atividades de planejamento elétrico do SEP, dentre diversas aplicações, a precisão destes parâmetros

impacta duas ferramentas básicas de análise: cálculo de fluxo de potência e de curtos-circuitos na rede elétrica. Já nas atividades de operação, podem ser citadas, a título

de exemplo, influência dos parâmetros de LTs no nível de carregamento e na análise de contingências. Além disso, destaca-se que a precisão de tais parâmetros aumenta a exatidão da localização de faltas, permitindo o restabelecimento mais rápido do sistema. Com foco nos estudos de proteção de SEP, os parâmetros das LTs também são importantes na escolha e no ajuste corretos de relés, disjuntores, chaves seccionadoras, elos fusíveis etc. A atuação indevida de elementos do sistema de proteção pode ocasionar o desligamento incorreto de linhas, danos à equipamentos e instabilidade no sistema. Assim, o conhecimento dos parâmetros é fundamental para a operação, supervisão e controle do SEP durante o funcionamento normal e para determinar o comportamento durante distúrbios, possibilitando o ajuste da proteção e a localização de faltas.

Os métodos de cálculo de parâmetros de linhas de transmissão geralmente apresentam aproximações simplificadoras que podem afetar de maneira significativa o resultado. Quanto à geometria, geralmente, considera-se solo plano, condutores paralelos e que todas as torres são idênticas. Considera-se ainda que a resistividade do solo não varia ao longo do comprimento da linha, com as estações do ano e com os regimes de chuvas. Essas simplificações inserem um grau de incerteza no valor final dos parâmetros que, segundo (Melo, 2008), pode variar entre 10% e 30%.

A determinação dos parâmetros também pode ser feita através da execução de ensaios a vazio e de curto-circuito em campo que, apesar de mais precisos do que o método anterior, demandam deslocamento de equipe especializada, equipamentos de

testes caros e o desligamento da linha. Dessa forma, a realização de ensaios elétricos é normalmente preterida em relação aos de cálculos computacionais.

Neste contexto, este trabalho apresenta duas metodologias para a obtenção dos parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e desequilibradas de 345 kV e 500 kV, a partir dos valores medidos nos terminais durante eventos monofásicos desequilibrados e com a presença de terra. Como a medição de distúrbios monofásicos-terra é comumente realizada pelas concessionárias, tais métodos eliminam a necessidade de desligamento da linha e podem ser realizados para toda vez que um curto-circuito monofásico for registrado. Assim sendo, o uso destas metodologias permite verificar e atualizar os parâmetros das linhas no banco de dados das concessionárias e monitorar as variações dos parâmetros ao longo do ano devido à períodos secos e chuvosos.

Quanto às suas características, têm-se que a maioria das linhas que compõe o Sistema Interligado Nacional (SIN) podem ser consideradas equilibradas devido à técnica de transposição de fases. No entanto, linhas com menos de 90 km geralmente não possuem transposição e apresentam fortes desequilíbrios em suas matrizes de parâmetros. Existem ainda fenômenos que podem causar desequilíbrios nos parâmetros de uma linha equilibrada, citando-se, como exemplo, a proximidade entre linhas, mesmo em pequenos trechos ao longo de seu caminho. Portanto, apesar de não serem frequentes no sistema, o conhecimento dos parâmetros das linhas de transmissão desequilibradas é importante para a precisão dos estudos realizados neste tipo de linha e na análise de alguns fenômenos.

A primeira metodologia desenvolvida neste trabalho calcula os parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e desequilibradas utilizando o método de Newton-Raphson aplicado a duas variáveis. Para linhas equilibradas, utiliza-se a transformação de Clarke e, para as desequilibradas, a transformação modal. Contudo, o uso da transformação modal requer o conhecimento prévio das matrizes de transformação da linha e essas são obtidas a partir dos parâmetros da própria linha de transmissão que se deseja determinar. Assim sendo, considera-se duas hipóteses: a de matrizes previamente conhecidas e a utilização de matrizes de outras linhas de mesma geometria para o cálculo dos parâmetros, sendo essas últimas denominadas neste trabalho como matrizes não exatas. No caso das matrizes de transformação previamente conhecidas, a metodologia é empregada para a aferição dos parâmetros existentes.

O segundo método implementado visa a eliminar a necessidade do conhecimento prévio das matrizes de transformação modais por meio da utilização de algoritmos de otimização evolucionários. Esta escolha justifica-se pelo fato de que o cálculo de parâmetros de linhas de transmissão desequilibradas configurar-se como um problema multimodal de difícil solução por métodos tradicionais. Assim, a segunda metodologia deste trabalho consiste em calcular os parâmetros de linhas de transmissão equilibradas e desequilibradas de quaisquer geometrias por meio de um algoritmo de otimização híbrido, que faz uso de técnicas de algoritmos genéticos (AG) combinados com operadores do algoritmo evolutivo Diferencial (DE).

Os AGs e o DE são algoritmos de busca probabilística que fazem parte da família de Algoritmos Evolucionários. Os operadores destes métodos realizam o refinamento de uma população criada aleatoriamente ao longo de diversas gerações até que os indivíduos obtidos estejam bem próximos ao resultado ótimo/esperado. Os Algoritmos evolutivos permitem maior flexibilidade na modelagem dos problemas e apresentam ferramentas para solução de diversos problemas acadêmicos e práticos, tais como otimização, modelos econômicos, simulação de sistemas imunológicos, determinação de topologia ótima de redes elétricas, entre outros.

As duas metodologias implementadas possuem como dados de entrada as medições realizadas durante curtos-circuitos monofásico-terra ao longo da extensão da linha, cuja região é delimitada pelos transformadores de correntes de ambos os terminais. Este tipo de desequilíbrio representa 80% das perturbações do sistema elétrico, possibilitando a aplicação imediata e eficaz das metodologias. As metodologias também recebem informações básicas da linha, tais como comprimento e nível de tensão, e a localização do ponto de falta. A exatidão do ponto de falta é fundamental para os algoritmos implementados, desta forma, realizou-se um estudo do comportamento dos algoritmos para pequenos erros na localização da falta.

1.2 Objetivos

desequilibradas utilizando os métodos de Newton-Raphson e algoritmo evolutivo. Além disso, almeja-se validar as metodologias propostas comparando-se os resultados obtidos nas simulações com aqueles gerados pelos softwares de simulação utilizados.

1.3 Metodologia

A primeira etapa constituiu-se de uma revisão bibliográfica sobre sistemas elétricos de potência, linhas de transmissão, análise de curtos-circuitos e transformações modal e de Clarke. Posteriormente, aprimorou-se o método de cálculo dos parâmetros para curtos nos extremos de linhas de transmissão desenvolvido em (Queiroz, 2017). Analisou-se então os circuitos modais durante curtos monofásico-terra e foram obtidas equações que descrevem este fenômeno utilizando as transformações modal e de Clarke, que foram implementadas utilizando o método de Newton-Raphson Multivariável. Ao longo dessas etapas, as linhas de transmissão foram simuladas utilizando o software Alternative Transient Program (ATP).

De forma a eliminar a necessidade do conhecimento das matrizes de transformações modais no cálculo dos parâmetros de linhas desequilibradas, decidiu-se pela proposição de um algoritmo evolutivo. Assim sendo, realizou-se uma revisão bibliográfica sobre problemas parecidos, de forma a selecionar algoritmos e operadores evolutivos adequados. Por fim, optou-se por modelar um problema de minimização com codificação real, o qual foi tratado por meio de um algoritmo evolutivo em que as soluções candidatas foram representadas pelos parâmetros R, L e C no domínio das fases. Em seguida, realizou-se a seleção dos operadores evolutivos, definição da estrutura da função objetivo e ajustes dos parâmetros do método. Esta etapa demandou expressiva análise e estudo, visto que as funções de cálculo de parâmetros são multimodais e apresenta mínimos locais. Após o ajuste do algoritmo utilizando um conjunto inicial de linhas simuladas, foram geradas novas linhas de transmissão de forma a validar o ajuste obtido utilizando o programa computacional Cálculo de Curto-Circuito em Componentes das Fases (CCCF), desenvolvido no protlab/UFMG, e o ATP com os modelos π e Bergeron.

1.4 Organização do texto

Esta dissertação de mestrado está organizada em sete capítulos, sendo que, o primeiro consiste na introdução ao assunto, objetivos, metodologia e organização do texto.

No Capítulo 2, é apresentado o embasamento teórico para os desenvolvimentos apresentados ao longo deste trabalho. Assim sendo, este capítulo contempla conceitos da teoria de linhas de transmissão, transformações de similaridade, método de Newton-Raphson e introdução aos algoritmos evolutivos.

No Capítulo 3, é feito o equacionamento dos fenômenos de curto-circuito monofásico-terra ao longo da linha para um sistema elétrico equivalente composto de duas fontes e uma linha de transmissão. Estas equações são usadas nos capítulos posteriores.

O Capítulo 4 apresenta a metodologia de cálculo dos parâmetros utilizando o método de Newton-Raphson e transformações modal e de Clarke para linhas desequilibradas e equilibradas, respectivamente.

O Capítulo 5 contempla a metodologia de cálculo de parâmetros através de Algoritmo Genético e sua lógica de funcionamento. Cada etapa do algoritmo é apresentada em detalhes de forma a possibilitar o entendimento e futuras reproduções do método.

No Capítulo 6 são apresentadas as linhas de transmissão simuladas e os resultados obtidos para a validação dos métodos.

As conclusões e propostas de continuidade são apresentadas no Capítulo 7. Para finalizar este trabalho, são listadas as referências bibliográficas citadas ao longo do texto e apresentam-se, em seguida, as informações complementares nos anexos.

2 Revisão Bibliográfica

2.1 Considerações Iniciais

Este capítulo tem como objetivo apresentar a teoria utilizada como base para os desenvolvimentos apresentados ao longo deste trabalho. Abrange a teoria de linhas de transmissão, análise de curtos-circuitos monofásicos, definição de circuito puro de falta, transformações de similaridade, método de Newton-Raphson e uma introdução aos algoritmos evolutivos.

2.2 Linhas de Transmissão

Uma linha de transmissão pode ser definida como um sistema de condutores por meio dos quais é transferido um fluxo de potência entre dois terminais. A transmissão desse fluxo ocorre devido a fenômenos eletromagnéticos complexos que são influenciados por diversas grandezas e podem ser modelados de diferentes formas. A escolha do modelo para representar os elementos do sistema depende da natureza do estudo e cada modelo apresenta hipóteses simplificadoras diferentes, apresentando assim, diferentes graus de exatidão.

2.2.1 Equacionamento de Linhas no Domínio da Frequência

Segundo (PEREIRA, 2015), no domínio da frequência, as linhas de transmissão trifásicas são caracterizadas por suas matrizes de parâmetros unitários: impedância longitudinal e admitância transversal. Na frequência industrial, estas matrizes dependem basicamente da geometria da linha, dos tipos de condutores de fase e para-raios e das constantes eletromagnéticas do meio. A relação entre essas grandezas é mostrada na equação (2.1).

{ Z̃ = R̃ + jωL̃ = R̃ + jX̃ [ Ω/km] Y

̃ = G̃ + jωC̃ = G̃ + jB̃ [ S/km] (2.1) em que Z̃, R̃ , L̃ e X̃ são, respectivamente, as matrizes das impedâncias, resistências, indutâncias e reatâncias longitudinais unitárias por fase. Ao passo que Ỹ, C̃, G̃ e B̃ são,

respectivamente, as matrizes das admitâncias, capacitâncias, condutâncias e susceptâncias transversais unitárias em componentes de fase. Para os estudos realizados neste trabalho, despreza-se o parâmetro condutância.

A Figura 2.1 apresenta os circuitos equivalentes incrementais (comprimento Δx) para uma linha de transmissão em componentes de fase, representada por parâmetros distribuídos. A partir desses modelos é possível verificar que os parâmetros longitudinais descrevem a variação da tensão ao longo da linha devido à existência de uma corrente que a percorre. Já as matrizes transversais descrevem a variação da corrente devido à existência de diferença de potencial entre suas fases e entre suas fases e a terra.

Figura 2.1 - Circuitos equivalentes incrementais de uma LT. Fonte: (PEREIRA, 2015)

A partir da Figura 2.1, é possível obter as equações que relacionam a tensão, a corrente, a impedância e a admitância. Considerando o limite de ∆x tendendo a zero, essas equações formam um sistema de equações diferenciais parciais, dado por:

{ ∂V(x, ω) ∂x = −Z̃(ω)I(x, ω) ∂I(x, ω) ∂x = −Ỹ(ω)V(x, ω) (2.2)

Verifica-se que as grandezas da equação (2.2) dependem da distância e da frequência, porém, neste trabalho desconsidera-se as variações ocasionadas pela dependência com a frequência.

X ̃ = [ X_aa X_ab X_ac Xba Xbb Xbc X_ca X_cb X_cc ]

em que X pode ser substituído por Z ou Y. Dessa forma, Zii e Yii são as impedâncias e a

admitâncias próprias da linha e Z_ij e Y_ij são as impedâncias e admitâncias mútuas.

2.2.2 Obtenção do Modelo de Quadripolos de Linhas

Segundo (De Conti, 2017), para resolver as equações (2.2) é necessário escrevê-las somente em função da tensão ou corrente, para tal, deve-se derivá-escrevê-las em relação a x:

{ ∂2_V(x) ∂x2 = −Z̃ ∂I(x) ∂x ∂2_I(x) ∂x2 = −Ỹ ∂V(x) ∂x (2.3)

Substituindo as equações (2.3) em (2.2), obtém-se:

{ ∂2_V(x) ∂x2 = Z̃ỸV(x) ∂2_I(x) ∂x2 = ỸZ̃I(x) (2.4)

As soluções das equações (2.4) são comumente conhecidas e possuem a forma:

{ V(x) = e

−√Z̃Ỹx_V

F+ e√Z̃ỸxVB

I(x) = e−√ỸZ̃xIF+ e√ỸZ̃xIB

(2.5)

em que V_F, V_B, I_F e I_B são constantes que dependem das condições terminais da linha. Apesar de corretas, as equações (2.5) não são adequadas para o uso em aplicações de engenharia pois as constantes VF, VB, IF e IB normalmente são desconhecidas.

Portanto, aplicam-se os passos mostrados a seguir para a obtenção de equações mais práticas.

Inicialmente, a equação (2.5) é escrita apenas em função de V_F e V_B. Para tal, substitui-se a equação (2.5) em (2.2) e obtêm-se:

Z̃−1√Z̃Ỹe√Z̃ỸxV_F = e√ỸZ̃xI_F −Z̃−1√Z̃Ỹe−√Z̃ỸxVB= e−√ỸZ̃xIB

(2.6)

Definindo Ỹ_{c = Z̃}−1_{√Z̃Ỹ , Γ̃}

v = √Z̃Ỹ e Γ̃i = √ỸZ̃ , em que Ỹc é a matriz de

admitâncias características da linha, Γ̃v é a matriz de constantes de propagação de tensões

e Γ̃_I é a matriz de constantes de propagação de correntes, têm-se:

{ Ỹce Γ ̃_vx_V F= eΓ̃IxIF −Ỹ_ce−Γ̃vx_V B = e−Γ̃IxIB (2.7)

Normalmente Γ_v ≠ Γ_I, porém no caso específico em que a linha é equilibrada ou nas situações em que foi aplicada uma transformação de similaridade que separe os modos da linha, tem-se Γv = ΓI.

Substituindo a equação (2.7) na segunda equação de (2.6), têm-se que:

{ V(x) = e −Γ̃vx_V F+ eΓ̃vxVB I(x) = Ỹ_c(e−Γ̃vx_V F+ eΓ̃vxVB) (2.8)

A partir da representação da linha de transmissão como um quadripolo, as grandezas terminais podem ser calculadas em x = 0 por:

[ V(0) I(0)] = [ 1 1 Y ̃_{c −Y}̃_c] [ V_VF B ] (2.9) E em x = ℓ por: [ V(ℓ) I(ℓ) ] = [ e−Γ̃vx _eΓ̃vx Ỹ_ce−Γ̃vx _−Ỹ ceΓ̃vx ] [ VF VB ] (2.10)

Tomando-se a inversa na equação (2.9), substituindo-a em (2.10) e realizando o produto matricial, obtém-se:

[ V(ℓ) I(ℓ) ] = 1 2[ e−Γ̃vx_{+ e}Γ̃vx _−(e−Γ̃vx_{+ e}Γ̃vx_)Ỹ c −1 −Ỹ_c(e−Γ̃vx_{+ e}Γ̃vx_{) Y}̃ c(e−Γ̃vx+ eΓ̃vx)Ỹc −1] [ V(0) I(0) ] (2.11) Representando estes termos por função de funções hiperbólicas e

considerando-[ V(ℓ) I(ℓ) ] = [

cosh (Γ̃vx) −senh (Γ̃vx)Z̃c

−Ỹ_csenh (Γ̃_vx) Ỹ_ccosh (Γ̃_vx)Z̃_c] [ V(0)

I(0) ] (2.12)

A partir da equação (2.12), verifica-se que é possível obter a tensão e a corrente em um terminal da linha conhecendo-se as grandezas elétricas no outro terminal e as matrizes de parâmetros unitários da linha (Z̃ e Ỹ).

Também é possível obter a relação entre os dois terminais da linha utilizando I_F e I_B ao invés de V_F e V_B. Para tal, utiliza-se a matriz de constantes de propagação de corrente (Γ̃I) e aplica-se procedimento semelhante ao realizado nas equações (2.7) até

(2.12).

As matrizes Z̃ e Ỹ possuem todos os elementos não nulos, portanto, Z̃_c, Ỹ_{c, Γ̃I e Γ̃v} também são matrizes cheias, o que evidencia a existência de acoplamento entre as fases. Dessa forma, variações das tensões e das correntes de fase ao longo da linha dependem das tensões e correntes da própria fase e das demais. Tal acoplamento faz com que o sistema matemático obtido possua solução complexa e sua solução demanda artifícios algébricos avançados. Assim, geralmente utilizam-se transformações de similaridade para realizar o desacoplamento das grandezas do sistema. As transformações utilizadas neste trabalho são apresentadas no item 2.3.

2.3 Transformações de Similaridade

Uma transformação de similaridade é um artifício matemático que transforma uma matriz em outra matematicamente equivalente. Esta ferramenta é comumente utilizada em diversas áreas para a obtenção de matrizes diagonais equivalentes às do sistema original o que, por sua vez, simplifica consideravelmente a sua resolução. Existem diversos tipos de transformações de similaridade e a sua utilização depende das características das matrizes a serem transformadas.

2.3.1 Transformação Sequencial

A transformação sequencial, também chamada de método das componentes simétricas, é a transformação de similaridade mais utilizada para a análise de sistemas elétricos de potência, pois permite a simplificação de grandes sistemas e possibilita tratar assimetrias em pontos específicos.

Segundo (PEREIRA, 2015), este método permite a conversão de um circuito n-fásico assimétrico e acoplado em n circuitos equivalentes equilibrados e desacoplados. Para sistemas trifásicos, os circuitos obtidos são denominados como sequência positiva, negativa e zero. Por serem independentes, a resolução do sistema, antes complexa e trabalhosa, pode ser feita utilizando técnicas de circuitos monofásicos.

Para sistemas trifásicos, a matriz de transformação do método é chamada de Matriz de Fourtescue e é dada por:

Q̃ = [

1 1 1

1 a2 a

1 a a2

]

em que a é um operador dado por a = ejθc, θ

c é o ângulo característico do sistema e é

igual a 120º para sistemas trifásicos.

A transformação das grandezas elétricas para sequenciais pode ser realizada utilizando as relações: V ̅_{S = Q}̃−1_V̅ F I̅S = Q̃−1I̅F Z̃S = Q̃−1Z̃FQ̃ (2.13)

Além das vantagens citadas anteriormente, as grandezas sequenciais também podem ser relacionadas aos fenômenos físicos do SEP, facilitando a sua análise. A sequência positiva está atrelada ao funcionamento normal e equilibrado do sistema e aos curtos-circuitos trifásicos. As grandezas de sequência negativa estão relacionadas à desequilíbrios no sistema e podem ser utilizadas para detectar condições anômalas de funcionamento, erros de conexão de circuitos elétricos e outros fenômenos desequilibrados. A sequência zero, ou modo homopolar, está relacionada à fenômenos que envolvem a terra e pode ser usada para detectar diversos fenômenos como, por exemplo, curtos-circuitos e falhas de isolamento em equipamentos.

2.3.2 Transformação Modal

Ao contrário da transformação sequencial, a transformação modal permite o desacoplamento de quaisquer sistemas n-fásicos, desequilibrados ou equilibrados, utilizando conceitos e formulações analíticas relativas a autovalores e autovetores.

Define-se como autovetores de uma matriz à , o conjunto de vetores C̃ = {q̅₁, q̅₂, … , q̅_n} que, multiplicados por Ã, resultam em um vetor com a mesma direção e sentindo de q̅i, diferindo apenas pelo módulo (Boldrini, Costa, Figueiredo, & Wetzler,

1980). Representando este fato matematicamente, tem-se (De Conti, 2017):

y̅ = Ã q̅_i = λ_iq̅_i (2.14)

em que q̅i é o i-ésimo autovetor e λi é uma constante escalar denominada como autovalor

da matriz à associada ao autovetor q̅_i.

Segundo (De Conti, 2017), este conceito pode ser estendido ao caso matricial, assim sendo, o produto de uma matriz à por uma matriz cujas colunas são formadas pelos seus autovetores, resulta em:

A

̃Q̃ = A[q̅₁ q̅₂… q̅_n] = Q̃λ̃ (2.15) em que λ̃ é uma matriz diagonal cuja diagonal principal é formada pelos n autovalores associados aos autovetores em Q̃.

Rearranjando os termos da equação (2.15), tem-se:

(Ã − λ̃)Q̃ = 0 (2.16)

A equação (2.16) é um sistema homogêneo que admite outras soluções além da trivial sendo, portanto, possível e indeterminado (SPI). Consequentemente, este sistema apresenta infinitas soluções e o seu determinante deve ser nulo. Dessa forma, é possível calcular o valor do autovetor q̅_i através da equação:

Uma vez obtidos os autovalores de 𝐴̃, é possível realizar a sua diagonalização através de:

Q̃−1_{ÃQ̃ = λ̃} (2.18)

Aplicando esses conceitos a sistemas elétricos, têm-se que é possível diagonalizar as matrizes de parâmetros unitários de qualquer linha através da definição de duas matrizes, T̃_{v e T}̃_{i, que são formadas pelos autovetores associados aos autovalores de,} respectivamente, Z̃Ỹ e ỸZ̃ . A escolha desses produtos matriciais deve-se ao seu aparecimento ao longo da dedução das equações das linhas apresentadas no item 2.2.2. Os autovalores obtidos por ambas as matrizes são os mesmos, dessa forma:

λ̃ = T̃_v−1ZY T̃_v = T̃_i−1_{YZ T̃}

i (2.19)

A partir da relação (2.19), é possível mostrar que: T

̃_v−1 _{= T}̃_i′ (2.20)

E, para o caso de linhas equilibradas, a relação (2.19) torna-se: T

̃_{v = T}̃_i (2.21)

Dessa forma, apesar de serem duas matrizes de transformação, é possível calcular uma a partir da outra utilizando-se (2.20) ou (2.21).

As grandezas modais de tensão, corrente, impedância e admitância são obtidas aplicando-se: V ̅_{m = T}̃_v−1_VF I̅_m= T̃_i−1I_F Z̃_m = T̃_v−1Z̃_FT̃_i Y ̃_{m= T}̃_i−1_Z̃FT̃_v (2.22)

em que o subscrito m indica as grandezas modais.

Γ̃m= √λ̃ = √Z̃mỸm= √ỸmZ̃m α ̃_m = Re{Γ̃_m} β̃_m= Im{Γ̃_m} ṽ_m= ω[Im{Γ̃_m}]−1 Z̃_cm = Ỹ_m−1Γ̃_m = Ỹ_m−0.5Z̃_m0.5 Y ̃_{cm = Z̃m}−1_{Γ̃m = Z̃m}−0.5_Ỹ_m0.5 (2.23)

em que 𝛤̃_𝑚 é a constante de propagação modal, 𝛼̃_𝑚 e 𝛽̃_𝑚 são, respectivamente, as constantes de atenuação e de fase modal, 𝑣̃_𝑚 é a velocidade de fase modal e 𝑍̃_𝑐𝑚 e 𝑌̃_𝑐𝑚 são a impedância e a admitância características modais respectivamente.

Para um sistema trifásico, a aplicação da transformação modal utilizando as matrizes de transformação obtidas a partir de 𝑍̃𝑌̃ e 𝑌̃𝑍̃ gera três modos desacoplados e, portanto, independentes. Assim como nas componentes simétricas, os modos aqui obtidos também possuem significado físico. O modo 0 carrega as informações relativas aos fenômenos que envolvem a terra e os outros dois são denominados modos aéreos (1 e 2) e carregam as informações dos fenômenos de transferência de energia na linha em RPS e durante desequilíbrios.

2.3.3 Transformação de Clarke

A transformação de Clarke, proposta por Edith Clarke em 1943, é um caso especial de uma transformação modal em que se usa uma matriz de transformação real e constante. Atualmente, é muito utilizada no estudo de motores e geradores, pois permite transformar um sistema trifásico em três modos, a citar α, β e zero, que possuem significados físicos no estudo dos fenômenos destes equipamentos.

Na análise de sistemas elétricos tem-se que, caso o sistema seja equilibrado, os três modos obtidos pela transformação são desacoplados e independentes entre si. Caso a linha não seja simétrica, a aplicação desta transformação não desacopla os modos e não se pode desprezar os elementos fora da diagonal principal.

A transformação das grandezas do domínio das fases para o domínio de Clarke é similar à aplicação da transformação de Fourtescue, bastando utilizar:

V̅clk = M̃ VF

I̅_clk = M̃ I_F Z̅_clk= M̃ Z̃_FM̃−1

(2.24)

em que o subíndice F indica as grandezas de fase, clk representa as grandezas de Clarke e 𝑀̃ é a matriz de transformação de Clarke, dada por:

𝑀̃ = [ 2 √6 0 1 √3 − 1 √6 1 √2 1 √3 − 1 √6 − 1 √2 1 √3]

Neste trabalho, optou-se por utilizar a transformação de Clarke somente em matrizes de sistemas equilibrados de forma a obter os três modos desacoplados, sendo que os dois modos aéreos (α e β) carregam informações suficientes para a utilização da metodologia proposta mesmo em regime permanente senoidal.

2.4 Análise de Curtos-Circuitos Monofásicos

Um curto-circuito consiste na conexão entre dois ou mais pontos de um sistema elétrico que se encontram em diferentes potenciais, gerando uma corrente elétrica cujo valor depende das características do sistema, da diferença de potencial e do valor da impedância que conecta os pontos de falta, denominada impedância de falta (ZF).

Os curtos-circuitos podem ser classificados de acordo com o número de fases envolvidas, se existe conexão com a terra, quanto ao fato de serem equilibrados ou desequilibrados e de acordo com o valor da impedância de falta: alta, baixa ou zero. Caso a impedância de falta seja nula, o curto é chamado de sólido ou franco.

As metodologias implementadas neste trabalho abordam somente curtos-circuitos monofásicos sólidos e francos, pois estes representam mais de 80% dos casos totais de curtos-circuitos. A Figura 2.2 representa esquematicamente um curto-circuito fase A-Terra em que a conexão entre esta fase e a terra é representada através da resistência de falta RF que, por sua vez, pode modelar a impedância dos diversos fenômenos causadores

de curtos-circuitos, tais como: descargas atmosféricas, ionização do ar por chuvas e queimadas, ruptura em isoladores, galhos de árvores, etc.

Figura 2.2 - Representação esquemática de um curto-circuito fase A – Terra. Fonte: autora

Na figura, 𝑉_𝐹𝐴, 𝑉_𝐹𝐵 e 𝑉_𝐹𝐶 são as tensões no ponto de falta e 𝐼_𝐹𝐴, 𝐼_𝐹𝐵 e 𝐼_𝐹𝐶 são as correntes de falta, sendo que 𝐼_𝐹𝐵= 𝐼_𝐹𝐶 = 0. Faltas monofásicas são desequilibradas, pois os módulos das tensões e correntes nas três fases durante a falta são diferentes. Além disso, existe uma conexão com a terra, consequentemente, estes eventos apresentam componentes nas três sequências ou modos.

Segundo (PEREIRA, 2015), as condições de contorno para este defeito no domínio das fases são:

I_FB = I_FC = 0 VFA = RF∙ IFA

(2.25)

Aplicando a transformação das componentes simétrica, apresentada no item 2.3.1, na primeira condição de contorno, obtém-se:

I_F0 = I_F1 = I_F2 =IFA

3 (2.26)

Onde 𝐼𝐹0, 𝐼𝐹1 𝑒 𝐼𝐹2 são as componentes de sequência zero, positiva e negativa.

Substituindo o resultado anterior na segunda das equações (2.25), tem-se que: V_FA = V_a0+ V_a1 + V_a2 = R_F∙ 3I_F0 (2.27)

A partir das equações (2.26) e (2.27), conclui-se que os circuitos de sequência devem ser ligados em série, como mostra a Figura 2.3.

Figura 2.3 - Interligação dos circuitos sequenciais para um curto-circuito fase A – Terra. Fonte: (Pereira C. , 2016)

Na figura, 𝐸_𝑎0 , 𝐸_𝑎1 e 𝐸_𝑎2 são as fontes do equivalente de Thévenin do sistema, 𝑍₀, 𝑍₁ e 𝑍₂ são as impedâncias equivalentes de Thévenin do sistema, 𝑉_𝑎0, 𝑉_𝑎1 e 𝑉𝑎2 são as tensões sequenciais no ponto de falta e 𝐼𝑎0, 𝐼𝑎1 e 𝐼𝑎2 são as correntes de

sequência zero, positiva e negativa, respectivamente.

Considerando-se que na condição pré-falta o sistema possua tensões simétricas, as fontes equivalentes 𝐸_𝑎0 e 𝐸_𝑎2 serão nulas e a corrente de falta IF pode ser determinada

a partir das grandezas sequenciais utilizando a equação:

I_F = 3I_a0 = Ea1

Z₀+ Z₁+ Z₂+ 3R_F (2.28)

Os conceitos e formulações sequenciais descritas neste item, embora não aplicados diretamente no cálculo de parâmetros neste trabalho, são fundamentais para a compreensão da análise de faltas assimétricas no domínio modal.

2.5 Definição de Circuito Superposto ou Puro de Falta

Segundo (PEREIRA, 2015), considera-se que o sistema durante uma assimetria que envolve a terra pode ser obtido através da superposição de dois sistemas no domínio das fases: o circuito pré-falta e o circuito puro de falta. A Figura 2.4 apresenta este conceito para um sistema representado por dois equivalentes de Thevénin e separados por uma linha de transmissão.

Figura 2.4 - Aplicação do teorema da superposição ao circuito pós-falta. Fonte: (Pereira C. , 2016)

No circuito da Figura 2.4, EA, EB, ZSA e ZSB são as tensões e impedâncias

equivalentes de Thevénin do sistema, ZLA e ZLB representam os parâmetros da linha que

foi dividida em dois segmentos pela assimetria, VFF, VF0 e VFP são, respectivamente, as

tensões no ponto de falta do sistema original, do circuito pré-falta e do circuito puro de falta e IFF, IF0 e IFP são as correntes de falta do sistema original, do circuito pré-falta e do

circuito puro de falta, respectivamente.

O circuito pré-falta consiste na condição inicial do problema, ou seja, do circuito em regime permanente senoidal. A assimetria neste circuito pode ser modelada por uma fonte de tensão e a resistência RF. O valor da fonte de tensão (VF0) deve ser igual à tensão

no ponto de falta na condição normal de funcionamento, o que faz com que a corrente IF0

seja nula. Dessa forma, apesar da existência do ramo de falta, ela não interfere no funcionamento do circuito pré-falta.

Já o circuito puro de falta, também conhecido na literatura como superposto, contém a parcela das grandezas elétricas que aparecem devido à presença da assimetria. Dessa forma, é composto de uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade oposta ao circuito pré-falta e RF. A corrente que circula no ramo de falta deste circuito é igual à

corrente de falta do circuito original. Ao realizar a superposição dos circuitos, as fontes de tensão VF0 se cancelam e o circuito obtido é o sistema original durante a falta.

As grandezas do circuito puro de falta foram utilizadas nas metodologias implementadas, descritas nos capítulos 4 e 5 deste trabalho, porque possibilitam isolar as grandezas de falta das demais e, com isso, permitem cálculos computacionais mais precisos.

2.6 Método de Newton-Raphson Multivariável

Segundo (Steven & Canale, 2011), o método de Newton-Raphson para uma variável, cuja lógica é apresentada na Figura 2.5, é um método iterativo que permite encontrar a raiz de uma equação a partir de uma estimativa inicial (𝑥_𝑖). Para tal, traça-se uma reta tangente a partir do ponto [𝑥𝑖, 𝑓(𝑥𝑖)] e usa-se o ponto onde essa tangente cruza

o eixo x, como uma estimativa melhorada da raiz [𝑥_𝑖+1, 𝑓(𝑥_𝑖+1)]. Este processo é então repetido até que o critério de parada seja atingido.

Figura 2.5 - Funcionamento do método de Newton-Raphson. Fonte: autora

Em sua versão para duas variáveis, o método de Newton-Raphson é obtido utilizando a série de Taylor de primeira ordem para duas variáveis que pode ser escrita como (Steven & Canale, 2011):

{ ui+1= ui+ (xi+1− xi) ∂u_i ∂x + (yi+1− yi) ∂u_i ∂y = 0 vi+1= vi+ (xi+1− xi) ∂v_i ∂x + (yi+1− yi) ∂v_i ∂y = 0 (2.29)

em que 𝑥𝑖 é a aproximação da raiz obtida na iteração i e 𝑥𝑖+1 é o ponto no qual a tangente

intercepta o eixo das abcissas. O sistema de equações (2.29) pode ser reorganizado como:

{ ∆x∂ui ∂x + ∆y ∂ui ∂y = −ui ∆x∂vi ∂x + ∆y ∂vi ∂y = −vi (2.30)

Representando o sistema matricialmente, obtém-se:

[ ∂ui ∂x ∂ui ∂y ∂v_i ∂x ∂v_i ∂y ] [∆xi ∆y_i] = [ −u_i(x, y) −v_i(x, y)] (2.31)

Este sistema é da forma [𝐽][𝑌] = [𝐵] e pode ser resolvido a cada iteração através de:

[Y] = [∆xi

∆y_i] = [J]−1[B] (2.32)

em que J é a matriz Jacobiana do sistema, B é o vetor das funções e Y é o vetor dos erros das variáveis.

Dessa forma, a cada iteração, as matrizes J e B são calculadas com os valores iniciais obtidos na iteração anterior utilizando as equações:

{ 𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖+ ∆𝑥𝑖

𝑦_𝑖+1= 𝑦_𝑖 + ∆𝑦_𝑖 (2.33)

Geralmente, utiliza-se como critério de parada que a diferença entre duas iterações sucessivas, ∆𝑥_𝑖 e ∆𝑦_𝑖, seja menor do que as tolerância estabelecidas para cada variável (𝜀𝑥 e 𝜀𝑦), como apresentado na equação (2.34). Além disso, estipula-se um número

máximo de iterações para o caso de o algoritmo não convergir ou ficar oscilando em torno de algum valor.

{ _∆y∆xi ≤ εx

i ≤ εy

(2.34)

O método de Newton-Raphson não possui um critério de convergência geral. A convergência depende da natureza da função e da aproximação inicial. Dessa forma, esta técnica pode apresentar resultados insatisfatórios para tentativas iniciais distantes dos valores corretos e para funções malcomportadas como, por exemplo:

• Funções com inflexões próximas à raiz;

• Funções com múltiplas raízes (das quais somente uma se encontra dentro da área de interesse) e

• Funções com mínimos e derivadas nulas.

2.7 Algoritmos Evolutivos

Nesta seção são apresentados os conceitos básicos de algoritmos evolutivos necessários ao entendimento do algoritmo proposto neste trabalho.

Algoritmos Evolutivos (AEs) são técnicas de otimização estocástica comumente utilizadas para resolução de problemas de otimização difíceis de serem resolvidos por métodos determinísticos. Dentre as diversas técnicas de algoritmos evolutivos, neste trabalho utilizou-se os Algoritmos Genéticos (AGs) e diferencial Evolution (DE).

A lógica de funcionamento de um algoritmo evolutivo consiste, geralmente, em gerar um conjunto aleatório de soluções de um problema e aplicar operadores que realizam o refinamento destas soluções ao longo de diversos loops (gerações) até que os indivíduos obtidos estejam bem próximos ao resultado ótimo/esperado. Os próximos itens explicam com detalhes como isso é feito para algoritmos os AGs e o DE.

2.7.1 Algoritmos Genéticos

Os Algoritmos Genéticos (AGs) são métodos de busca e otimização que, em sua origem, foram baseados nos fundamentos da genética. A versão comumente implementada de um algoritmo genético é a Simple Genetic Algorithm, na qual a população de indivíduos possui tamanho fixo e os indivíduos são codificados em uma cadeia (string) binária (Pereira M. d., 2012). A Figura 2.6 apresenta um fluxograma que sintetiza o funcionamento de um SGA típico.

Figura 2.6 - Fluxograma de funcionamento de um algoritmo genético típico. Fonte: autora

Inicialmente é criada uma população inicial que pode ser aleatória ou gerada a partir de critérios específicos para o problema. Cada indivíduo é formado por variáveis que compõe uma possível solução do problema e estas podem possuir codificação binária ou real dependendo das características do problema. O espaço de busca é definido como o domínio de cada uma das variáveis que compõe a solução (Lopes & Takahashi, Computação Evolucionária em Problemas de Engenharia, 2011).

Cada indivíduo da população é avaliado segundo uma função de adequabilidade denominada de função objetivo. Esta função atribui uma nota que determina a aptidão de uma solução em relação às outras da população e permite a classificação dos indivíduos.

INÍCIO Geração da População inicial

Avalia e seleciona População Aplica Operadores Genéticos Filhos gerados

Avalia Nova População Elitismo Seleciona População final GERAÇÃO Não Sim

Toda População foi Processada? FIM Não Sim Critérios de convergência atingidos?

Se a função Fitness for utilizada como função objetivo, o objetivo do algoritmo passa a ser maximizar/minimizar a função de adequabilidade do indivíduo. Em seguida, aplica-se um operador de aplica-seleção probabilístico que privilegia as melhores soluções em detrimento das piores.

Inicia-se então o processo de refinamento das características dos indivíduos ao longo das gerações. Os indivíduos selecionados na etapa anterior são submetidos a modificações probabilísticas através de operadores genéticos, geralmente cruzamento e mutação.

O cruzamento, como esquematizado na Figura 2.7, consiste na combinação do código genético (variáveis) de dois indivíduos selecionados aleatoriamente para formar um ou mais descendentes. A mutação, por sua vez, atua em um número reduzido de indivíduos aleatórios, mudando uma ou mais variáveis em seu código genético de maneira aleatória ou probabilística.

Figura 2.7 – Operadores de cruzamento e de mutação. Fonte: autora

O cruzamento atua principalmente como uma busca local: os filhos exploram o espaço ao redor dos pais em busca de melhores resultados. Já a principal função da mutação é implementar um processo de busca global, isto é, permite que novas áreas do com espaço de busca sejam exploradas, aumentando com isso, a diversidade de soluções. Após a aplicação dos operadores genéticos, obtém-se uma nova população que substitui os indivíduos da população pai de acordo com uma determinada estratégia (Lopes, Algoritmos genéticos em projetos de engenharia: aplicações e perspectivas futuras, 1999).

Aplica-se então uma estratégia para manter os melhores indivíduos na população para a próxima geração, esta operação é denominada elitismo. A cada geração, repetem-se os processos de aplicação dos operadores genéticos e, ao longo destas, a qualidade média dos indivíduos aumenta. Verificam-se então os critérios de parada e, caso estes tenham sido atingidos, o melhor indivíduo é selecionado e o algoritmo encerra a sua execução. Caso isso não ocorra, executa-se uma nova geração do algoritmo.

Após um determinado número de gerações, existe uma probabilidade considerável que soluções muito boas sejam geradas e, uma vez que os critérios de parada sejam atingidos, a melhor solução é escolhida como a solução do problema. Apesar de existirem critérios diferentes, geralmente, a melhor solução é definida como o indivíduo que possui o melhor valor da função objetivo.

2.7.2 Algoritmo de Evolução Diferencial

O Differential Evolution (DE) ou Evolução diferencial pertence à família dos Algoritmos Evolucionários. Este é um algoritmo simples e robusto que visa solucionar problemas de otimização contínua. Proposto por Storn e Price em 1995, este método utiliza operadores de mutação, cruzamento e seleção para realizar o melhoramento da população (Carvalho, Morais, Coelho, Rocha, & Beline, 2016).

Segundo (Carvalho, Morais, Coelho, Rocha, & Beline, 2016), a lógica do DE consiste em, inicialmente, criar uma população aleatória que cubra todo espaço de busca das variáveis. Aplica-se então um operador de mutação; os novos indivíduos gerados, denominados de vetores doadores, são obtidos pela adição da diferença ponderada entre dois indivíduos aleatórios a um terceiro indivíduo escolhido aleatoriamente. A Figura 2.8 ilustra graficamente o processo de mutação DE para F = 0,7.

Figura 2.8 – Exemplo de Funcionamento da Mutação do Diferencial Evolution para F = 0,7. Fonte: autora

Em seguida, o vetor doador passa pelo operador de recombinação binomial, no qual suas variáveis são combinadas com as variáveis de um quarto indivíduo aleatório da população, denominado Target, com uma probabilidade definida pelo usuário. A partir deste processo, obtêm-se um indivíduo denominado vetor experimental.

Figura 2.9 - Lógica de funcionamento do operador de recombinação binomial DE. Fonte: autora.

Aplica-se então o vetor de seleção em que se compara a nota do vetor experimental com a do Target. Caso a avaliação do vetor experimental seja melhor do que a do Target, substitui-se o Target pelo vetor experimental, caso contrário, o Target permanece na população para a próxima geração.

Indivíduo 1

Indivíduo 2

Indivíduo 3

Vetor Doador Mutação: 𝑉𝑒𝑡. 𝐷𝑜𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑛𝑑₃+ 𝐹 ∙ (𝐼𝑛𝑑₂− 𝐼𝑛𝑑₁)

3 Cálculo de Parâmetros

de Linhas de Transmissão

3.1 Considerações Iniciais

Este capítulo tem como objetivo analisar os fenômenos e desenvolver as equações que são utilizadas nos capítulos 4 e 5. Desta forma, este capítulo é dividido em quatro seções contando com esta. Na segunda, é realizada a análise da linha em condições normais de operação e estas equações são utilizadas para a obtenção dos modos aéreos da linha. Na terceira seção, apresenta-se uma metodologia alternativa para a obtenção dos parâmetros da linha em RPS e que é usada durante a implementação do algoritmo de otimização. Na última, apresentam-se as formulações para a análise de linhas de transmissão durante distúrbios monofásicos nos domínios modal e de Clarke.

As linhas foram modeladas neste trabalho através dos parâmetros R, L e C. Despreza-se as condutâncias devido ao valor ser pequeno e pelo fato de pequenos erros nos demais parâmetros acarretarem grandes erros no valor da condutância.

Ao longo deste capítulo, as equações das linhas de transmissão são apresentadas utilizando funções trigonométricas hiperbólicas e equivalentes π, pois o método de Newton-Raphson, apresentado no capítulo 4, utiliza ambas as formulações.

3.2 Formulações em Regime Permanente Senoidal

Como apresentado no item 2.2, uma linha de transmissão pode ser modelada no domínio da frequência por um quadripolo descrito pelas matrizes de parâmetros (Pereira C. S., Redes Elétricas no Domínio da frequência, 2015), como o mostrado na Figura 3.1.

Figura 3.1 - Representação da linha por meio de um quadripolo. Fonte: autora

Na Figura 3.1, têm-se que 𝛤̃𝑣 é a matriz de constantes de propagação de tensão, 𝑍̃𝑐

é a impedância característica, 𝑌̃_𝑐 é a impedância característica e ℓ é o comprimento total da linha. Os subscritos r e s significam, respectivamente, as grandezas do terminal receptor e emissor aqui definidos como o terminal da direita e da esquerda respectivamente.

O quadripolo obtido é passivo, pois não contém fontes de energia; linear, devido ao fato de as impedâncias de seus elementos são independentes da corrente que circula

por eles e bilateral, pois os valores das impedâncias independem do sentido da corrente (Vidigal, 2010).

A relação entre as grandezas de tensão e corrente nos dois terminais utilizando a matriz de constantes de propagação de tensão é apresentada na equação (2.12) e repetida aqui por conveniência:

{ V̅r = cosh(Γ̃vℓ) V̅s− Z̃csenh(Γ̃vℓ)I̅s I̅r= −Ỹcsenh(Γ̃vℓ)V̅s+ cosh(Γ̃vℓ) I̅s

(3.1)

Devido ao fato de o quadripolo ser bilateral, têm-se que as grandezas do terminal emissor podem ser escritas em função das tensões e correntes do terminal receptor, através de:

{ V̅s = cosh(Γ̃vℓ) V̅r+ Z̃csenh(Γ̃vℓ)I̅r

I̅_s= Ỹ_csenh(Γ̃_vℓ)V̅_r+ cosh(Γ̃_vℓ) I̅_r (3.2) As formulações apresentadas em (3.1) e (3.2) podem ser representadas de maneira alternativa utilizando o modelo π do quadripolo da linha. Neste modelo, apresentado na Figura 3.2, admite-se que as variações longitudinais da tensão ocorrem unicamente devido à presença de uma impedância 𝑍̃𝜋, assim como as variações transversais da

corrente ocorrem unicamente devido à presença dos dois ramos de admitância 𝑌̃𝜋⁄2

(Queiroz, 2017).

Figura 3.2 - Modelo 𝜋 de uma linha de transmissão. Fonte: autora

As relações entre as variáveis dos terminais emissor e receptor são dadas por (De Conti, 2017): { V ̅_{r = (1 +}Z̃πỸπ 2 ) V̅s− Z̃πI̅s I̅r = − (Ỹπ+ Y ̃_π 2 Z̃π Y ̃_π 2) V̅s+ (1 + Z̃_πỸ_π 2 ) I̅s (3.3) { V̅_s = (1 +Z̃πỸπ 2 ) V̅r+ ZπI̅r I̅_s= (Ỹ_π+Ỹπ 2 Z̃π Y ̃_π 2) V̅r+ (1 + Z̃πỸπ 2 ) I̅r (3.4)

No domínio das fases, as matrizes de parâmetros são cheias, evidenciando o acoplamento das fases do sistema. Contudo, a partir da aplicação da transformação de similaridade adequada, as matrizes 𝑍̃, 𝑌̃, 𝛤̃_𝑣, 𝛤̃_𝐼, 𝑍̃_𝑐 , 𝑌̃_𝑐, 𝑍̃_𝜋 e 𝑌̃_𝜋, se tornam diagonais e cada modo ou sequência pode ser resolvido de maneira independente. Para a representação das grandezas modais neste trabalho, utilizam-se os subscritos 0, 1 e 2 e, no caso da matriz 𝛤̃𝑣, as grandezas modais são representadas por 𝛾0, 𝛾1 e 𝛾2.

Uma vez conhecidos os valores de 𝑍_𝜋 e 𝑌_𝜋 para cada modo do sistema, o valor de Gama (𝛾) e da impedância característica da linha podem ser determinados a partir de:

γx= acosh (Zπx₂Yπx+ 1) ℓ (3.5) Zcx = Z_π senh (acosh (Zπx₂Yπx+ 1)) (3.6)

em que o subscrito x indica a sequência ou modo.

Finalmente, os parâmetros unitários Z e Y podem ser obtidos utilizando-se:

Z_x = γ_xZ_cx (3.7)

Y_x= γx

2

Zx

(3.8)

3.3 Formulações Utilizando o Método Direto para Linhas

Equilibradas

O método direto, proposto por (Pereira C. , 2016), é uma maneira alternativa de se obter os parâmetros de uma linha equilibrada para uma janela de dados em regime permanente ou em curtos no início da linha. Esta metodologia utiliza o modelo ABCD da linha para obter equações algébricas que relacionam diretamente os termos A, B, C e D com as grandezas terminais da linha. Para tal, inicialmente define-se que:

{

A = D = cosh(γℓ) B = senh(γℓ) ∙ Z_c C = Yc∙ senh(γℓ)

(3.9)

Utilizando as definições apresentadas, as equações (3.1) e (3.2) se tornam:

{ Vrx = A Vsx− BIsx

Irx = −CVsx+ A Isx (3.10)

{ V_Isx = A Vrx+ BIrx

sx = CVrx+ A Irx (3.11)

Considerando as primeiras equações de (3.10) e (3.11), têm-se um sistema de duas equações e duas incógnitas, dado por:

{ Vsx = A Vrx+ BIrx

V_rx = A V_sx− BI_sx (3.12)

Cuja solução para A e B é dada por:

A =VsxISx+ VRxIRx VsxIRx+ VRxISx = D _(3.13) B = Vsx 2_{− V} rx2 V_sxI_rx+ V_rxI_sx (3.14)

Como os quadripolos que representam linhas de transmissão são bilaterais, o determinante da matriz ABCD é unitário e é possível determinar o valor da constante C apresentada em (3.9). Dessa forma:

∆= |𝐴 𝐵 𝐶 𝐷| = 𝐴𝐷 − 𝐵𝐶 = 𝐴2− 𝐵𝐶 = 1 Consequentemente: C =A 2_{− 1} B (3.15)

As constantes 𝛾_𝑥 e 𝑍_𝑐𝑥 podem ser calculadas utilizando-se equações similares às (3.5) e (3.6) e reescritas como: γ_x =asenh(√BC) ℓ (3.16) Z_cx = √B C (3.17)

De posse das constantes A, B, C e D é possível determinar os parâmetros sequenciais ou modais por meio das equações (3.7) e (3.8).

3.4 Cálculo dos Parâmetros Durante Desequilíbrios Envolvendo

a Terra

Quando ocorre algum fenômeno que conecta uma ou mais fases de uma linha de transmissão homogênea com o solo, a linha é dividida em duas partes e cada uma delas pode ser considerada como uma linha de transmissão independente, como mostrado na Figura 3.3. Neste trabalho, tais segmentos são nomeados como Linha A (LTA) e linha B (LTB).

Figura 3.3 - Representação de um curto-circuito monofásico situado dentro de uma linha de transmissão. Fonte: autora

Na Figura 3.3, define-se Vf1, Vf2, Zs1 e Zs2 como as tensões e impedâncias de

Thevénin do sistema a montante e a jusante da linha estudada. RF representa a impedância

de falta que pode ser considerada como puramente resistiva. Va e Ia são, respectivamente,

a tensão e a corrente no terminal receptor de LTA, assim como, Vb e Ib são a tensão e

corrente para o emissor de LTB, respectivamente.

Verifica-se que, apesar de os parâmetros 𝐴̃, 𝐵̃, 𝐶̃, 𝐷̃, 𝑍̃_𝜋 e 𝑌̃_𝜋 de cada segmento da linha serem diferentes, os parâmetros 𝑍̃𝑐, 𝛤̃𝑣, 𝛤̃𝐼, 𝑍̃ e 𝑌̃ são idênticos, pois não dependem

do comprimento da linha.

No ponto de falta, têm-se que Va é igual à Vb e as correntes nestes terminais são

relacionadas pela soma das correntes no ponto de falta. Utilizando a nomenclatura apresentada na Figura 3.3, obtêm-se:

V

̅_{F= V}̅_{a = V}̅_b I̅_a = I̅_b+ I̅_F

Utilizando-se as equações (3.2) para representar a linha A e as equações (3.1) para representar a linha B e aplicando-se as relações (3.18), obtêm-se:

{ V̅F= cosh(Γ̃vℓA) V̅r+ Z̃csenh(Γ̃vℓA)I̅r

I̅b = Ỹcsenh(Γ̃vℓA)V̅r+ cosh(Γ̃vℓA) I̅r (3.19)

{ V̅F= cosh(Γ̃vℓB) V̅s− Z̃csenh(Γ̃vℓB)I̅s I̅b= −Ỹcsenh(Γ̃vℓB)V̅s+ cosh(Γ̃vℓB) I̅s − I̅F

(3.20) Logo,

{ cosh(Γ̃vℓA) V̅r+ Z̃csenh(Γ̃vℓA)I̅r− cosh(Γ̃vℓB) V̅s+ Z̃csenh(Γ̃vℓB)I̅s= 0 Y

̃_{csenh(Γ̃vℓA)V}̅_{r+ cosh(Γ̃vℓA) I̅r +Y}̃_{csenh(Γ̃vℓB)V}̅_{s− cosh(Γ̃vℓB) I̅s + I̅F= 0} (3.21) As equações apresentadas podem ser utilizadas tanto no domínio das fases quanto com o sistema desacoplado. No segundo caso, as matrizes 𝛤̃_𝑣, 𝑍̃_𝑐 e 𝑌̃_𝑐 são matrizes diagonais e, portanto, as equações podem ser resolvidas para cada modo ou sequência separadamente e, neste caso, 𝛤̃_𝑣 é renomeado como 𝛾_𝑥 .

De maneira análoga, para a representação da linha utilizando modelo π, obtêm-se as equações: { V ̅_{F= (1 +}Z̃πBỸπB 2 ) V̅r+ ZπBI̅r I̅b = (YπB+ Y_πB 2 ZπB Y_πB 2 ) V̅r+ (1 + Z̃_πBỸ_πB 2 ) I̅r (3.22) { V ̅_{F= (1 +}ZπAYπA 2 ) V̅s− ZπAI̅s I̅b= − (YπA+ ZπA

Y_πA 2 ZπA Y_πA 2 ) V̅s+ (1 + Z_πAY_πA 2 ) I̅s − I̅F (3.23)

Para resolver as equações (3.20) e (3.23) é necessário conhecer a corrente de falta (IF). Para tal, deve-se primeiro descobrir como o curto monofásico-terra se comporta

Para determinar o comportamento utilizando a transformação de Clarke, parte-se das condições de contorno para um curto monofásico apresentadas no item 2.2 e repetidas aqui por conveniência:

IFB = IFC = 0

V_a = R_F∙ I_a (3.24)

Aplicando a transformação de Clarke na primeira equação de (3.24), obtém-se:

[ I_F0 IFα I_Fβ ] = √2 3∙ [ 1 √2 ⁄ 1 √2 ⁄ 1 √2 ⁄ 1 −1⁄₂ −1⁄₂ 0 √3⁄₂ −√3_{⁄ ]2} [ IFa 0 0 ] IF0 = I_Fa √3 IFα = √ 2 3∙ IFa IFβ = 0 (3.25)

Pelas equações (3.25), verifica-se que a corrente de curto de modo β é zero, portanto, em uma falta monofásica no domínio de Clarke, este modo está isolado do curto. Além disso, a partir das equações percebe-se que não é possível conectar os circuitos modais de maneira simplificada para representar o comportamento das grandezas no domínio de Clarke, como feito anteriormente para a transformação sequencial.

No domínio modal, o comportamento das grandezas durante um curto monofásico-terra pode ser determinado de maneira análoga ao feito para o método de Clarke. Para tal, inicialmente define-se a matriz H:

H = ([

Ti11 Ti12 Ti13

T_i21 T_i22 T_i23 Ti31 Ti32 Ti33

])

−1

Partindo das condições de contorno da equação (3.25), as correntes de curto para uma falta monofásica no domínio modal serão dadas por:

[ I_Fm0 I_Fm1 I_Fm2 ] = [ H₁₁ H₁₂ H₁₃ H₂₁ H₂₂ H₂₃ H₃₁ H₃₂ H₃₃ ] [ I_Fa 0 0 ]

IFm0 = H11IFa IFm1 = H21IFa IFm2 = H31IFa (3.26)

Pelas equações (3.26), verifica-se que a determinação da corrente de curto é fortemente influenciada pela matriz de transformação usada. Caso 𝐻₂₁ ou 𝐻₃₁ seja nulo, a corrente de falta neste modo se torna igual a zero e isso significa que o respectivo modo está isolado do curto no domínio modal.

4 Cálculo de Parâmetros

Utilizando o Método de

Newton-Raphson

4.1 Considerações Iniciais

Neste tópico são apresentadas a metodologia de parametrização de linhas equilibradas e desequilibradas utilizando o método de Newton-Raphson para duas variáveis.

Inicialmente, explica-se a estrutura geral do método e, em seguida, é feito o detalhamento de seus aspectos relevantes, contemplando: descrição dos dados de entrada, seleção da transformação adequada, implementação da metodologia para curtos no meio da linha e cálculo da resistência de falta.

Para linhas equilibradas utiliza-se a matriz de Clarke, pois permite calcular os dois modos aéreos com dados de RPS, ao passo que a transformação sequencial só permitiria o cálculo da sequência positiva.

Para linhas desequilibradas, utiliza-se a transformação modal, porém, este método apresenta a limitação de precisar dos parâmetros da linha para se obter as matrizes de transformação exatas. Dessa forma, considerou-se duas hipóteses: a primeira em que se conhece previamente a matriz exata da linha e a segunda em que se utilizam matrizes de outras linhas de mesma geometria para o cálculo dos parâmetros. Neste trabalho, as matrizes utilizadas na segunda hipótese são nomeadas de matrizes não-exatas. Quanto ao uso das matrizes de transformação previamente conhecidas, a metodologia é empregada para a aferição dos parâmetros existentes calculados por outros métodos.