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1,5 m E, h uniformes ν = 0,2 q = 1 kn/m 2. 1,5 m. 2,0 m 2,0 m

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Exame de Análise de Estruturas I Licenciatura em Engenharia Civil

Responsável: Prof. J. A. Teixeira de Freitas 11 de Janeiro de 2003

1ª Época 1º Semestre Observações: Duração de 3 horas.

Consulta apenas do formulário e de duas folhas A4.

Inicie cada problema numa nova folha. Identifique todas as folhas. Justifique convenientemente todas as respostas.

Problema 1: Lajes (3,5 valores)

Considere a laje fina representada na figura 1.

y

x

1,5 m

1,5 m

2,0 m

2,0 m

E, h uniformes ν = 0,2 q = 1 kN/m2 Figura 1

1.a) Defina as condições de admissibilidade cinemática da laje e indique uma solução cinematicamente admissível.

1.b) Defina as condições de admissibilidade estática da laje e indique uma solução estaticamente admissível.

1.c) Verifique se a solução da alínea b) é a solução exacta.

1.d) Se se admitir que mxx = (4 x- x2)/2 e mxy = xy/2, será possível determinar um campo de momentos myy de modo a obter uma solução estaticamente admissível?

(2)

Problema 2: Simetria (2,5 valores)

A estrutura representada na figura 2 é simétrica.

4,0 m

3,0 m

3,0 m

8 kN

10 kN

2 kN/m

2 kNm

A

B

C

D

EI constante (kNm2) EA = 4 EI (kN) Figura 2 2.a) Determine o grau de hiperestatia da estrutura.

2.b) Recorrendo a simplificações de simetria e antissimetria, defina as estruturas simplificadas e os carregamentos e graus de hiperestatia respectivos.

2.c) Trace o diagrama de esforço normal na estrutura original, sabendo que a deformação axial na barra CB é 3,953/EI (m).

Problema 3: Método das Forças (5 valores) Considere a estrutura representada na figura 3.

3,0 m

3,0 m

3,0 m

A

B

C

4 kN/m

D

EI constante (kNm2 ) Barras CABC: EA = Barra CD: EA = 3 EI (kN) Figura 3

3.a) Determine o grau de hiperestatia da estrutura e defina um sistema base para a análise pelo Método das Forças (Fp + v0 = 0).

3.b) Determine a matriz de equilíbrio da solução complementar, B.

3.c) Determine o vector de equilíbrio da solução particular, X0. Trace os diagramas de esforços (M, V, N) correspondentes.

3.d) Calcule as deformações independentes devidas à acção de uma das incógnitas hiperestáticas.

(3)

3.e) Trace a deformada aproximada provocada por essa incógnita hiperestática e identifique aí as deformações calculadas na alínea anterior.

3.f) Identifique nessa deformada os correspondentes coeficientes F*ij da matriz de flexibilidade.

Problema 4: Método dos Deslocamentos (1,5 valores)

Identifique os deslocamentos independentes das estruturas representadas na figura 4. Considere que EI e EA são constantes, a menos que indicado na figura.

EA =

Vigas:

EI=EA=

EA =

Figura 4

Problema 5: Método dos Deslocamentos (5 valores) Considere a estrutura representada na figura 5.

3,0 m

3,0 m

4,0 m

A

B

C

D

10 kN

2 kN/m

EI constante (kNm2) EA = 5 EI (kN) Figura 5

(4)

5.a) Defina o grau de indeterminação cinemática da estrutura, indique os deslocamentos independentes e trace as deformadas correspondentes, assinalando os valores dos deslocamentos dependentes.

5.b) Defina uma coluna da matriz de rigidez, K, associada a uma rotação.

5.c) Defina os vectores de forças nodais aplicadas, FN, e de forças nodais de fixação, F0. 5.d) Determine as reacções nos apoios devidas a um momento de 2,9 kNm aplicado no nó D,

quando se admite que as barras AD e CD são axialmente rígidas.

Problema 6: Grelhas (2,5 valores)

A barra CD da grelha representada na figura 6 está sujeita a uma carga uniformemente distribuída com intensidade 2kN/m.

A

B

C

D

4,0 m

3,0 m

3,0 m

EI constante (kNm2) Barra AB: GJ = Barras BCD: GJ = EI /3 (kNm2) Figura 6

6.a) Defina o grau de indeterminação cinemática da estrutura e indique os deslocamentos independentes.

6.b) Determine os diagramas de esforços (M, V, T) para um dos deslocamentos independentes.

6.c) Defina uma equação do sistema do Método dos Deslocamentos.

Formulário

Eq. de Lagrange: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 4 4 4 2 2 4 4 2 w x w x y w y q D + + = Equação de equilíbrio: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 m x m y m x y q x y xy + + = − Relações constitutivas: , 1 0 0 0 1 0 1                     − =           xy y x xy y x D m m m χ χ χ ν ν ν , 1 0 0 0 1 0 1 ) 1 ( 1 2                     + − − − =           xy y x xy y x m m m D ν ν ν ν χ χ χ

Rigidez de flexão da laje: D=Eh3 − 2

12 1

(5)

Relação curvatura-deslocamento: χx = −∂ wx 2 2 / χy = −∂ wy 2 2 / χxy = −∂ w ∂ ∂x y 2 / Esforço transverso: v m x m y x x x y x a =  +    = ∂ ∂ ∂ ∂ y a xy y y x m y m v =     + = ∂ ∂ ∂ ∂

Esforço transverso efectivo: r v m y x x x y x a = + = ∂ ∂ . . a y xy y y x m v r = + = ∂ ∂

Condições de fronteira: encastramento, w=w, θ =n θn apoio simples, w=w, mn =mn bordo livre, rn =rn, mn =mn

Matriz de flexibilidade elementar:

          = A I EI L 6 2 1 1 2 6 F Relações deformações-esforços: u=FX+u Deslocamentos: B u-BT r 0R T 0 = δ

Eq. do Método das Forças: F*p+v0 =0 Matriz de flexibilidade global: F* =BTFB Vector das descontinuidades: v B u BTr

R 0 T o = − N 0 F F Kd+ = Xf =X0 +Xcd

Tipo de barra Imposição de rotação à esquerda

Imposição de deslocamento transversal

(6)

encastrada-rotulada

encastrada-enc desliz.

Força de fixação para torção imposta:

L GJ

ϕ

Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra bi-encastrada A M MB VA VB NA NB 12 2 pL 12 2 pL − 2 pL 2 pL 2 qL − 2 qL

Forças de fixação devidas a cargas de vão na barra encastrada-rotulada A M θB VA VB NA NB 8 2 pL EI pL 48 3 8 5 pL 8 3 pL 2 qL − 2 qL

(7)

Referências

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