••• Artigo 1 •••
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O
ENSINO DA RAZÃO ÁUREA:
UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADE
Ana Caroline Frigéri Barboza (UEM)
Erica Gambarotto Jardim Bergamin (Unicesumar)
Lucieli M. Trivizoli (UEM)
O presente texto tem por objetivo apresentar uma possibilidade de inserção da História da Matemática para a sala de aula, abordando o ensino do conteúdo Razão Áurea. É válido ressaltar que essa proposta tem o intuito de elucidar que é possível abordar um conteúdo matemático por meio da História da Matemática como um recurso pedagógico. Desse modo, o presente texto concerne ao enfoque da História na Educação Matemática, um campo de investigação da História da Matemática que procura corroborar com propósitos destinados à formação de professores, ao processo de ensino e aprendizagem, bem como a relação entre professor, aluno e ambiente escolar (MIGUEL; MIORIM, 2004).
De acordo com Mendes e Chaquiam (2016, p. 12), o contexto histórico envolvendo a matemática desenvolvida em determinado(s) período(s) contribui para “desafiar a capacidade dos alunos para exercitarem estudos, pesquisas e problematizações que estimulem suas estratégias de pensamento e, daí culminar na sua produção de conhecimento durante a atividade de estudar”. Ressalta-se que é nesta
perspectiv a que se embasa este escrito, pois busca-se apresentar uma proposta de atividades que enfatiza o contexto histórico do desenvolvimento da Razão Áurea para ensinar e proporcionar reflexões sobre alguns aspectos desta razão. A seguir, apresenta-se uma sugestão de sequência de atividades e direcionamentos relacionados ao conteúdo supracitado.
Para a introdução do tema tem-se como sugestão fazer questionamentos como: “Vocês já ouviram menções sobre a Razão
Áurea?”, “O que vocês conhecem sobre a Razão Áurea?”. Assim, tem-se
a possibilidade de valorizar os conhecimentos que os alunos já possuem, relacionando-os ao modo como a Razão Áurea é retratada por muitos historiadores e propiciando uma interação entre professor e alunos.
Em seguida, uma possibilidade é realizar uma contextualização histórica abrangendo que “a primeira definição clara do que mais tarde se tornou conhecido como a Razão Áurea foi dada por volta de 300 a.C. pelo fundador da geometria como sistema dedutivo formalizado, Euclides de Alexandria” (LIVIO, 2006, p. 13). Sendo assim, o primeiro registro histórico sobre a Razão Áurea se encontra no VI Capítulo do Livro “Os Elementos” de Euclides, em que o autor aborda a construção do pentagrama, símbolo demasiadamente utilizado pelos antigos pitagóricos.
Conforme indicado na citação anterior, nesta época a denominação “Razão Áurea” ainda não era conhecida e, para denotar um segmento dividido de modo a conter esta razão, era utilizada a expressão “dividir um segmento em média e extrema razão” (BOYER, 2010, p. 35). Essa ação de explicar sobre a origem do conceito e de deixar claro que sua denotação nem sempre foi a mesma, contribui para mostrar aos alunos que os conceitos matemáticos passam por evoluções e se desenvolvem conforme as necessidades humanas.
Para esclarecer a expressão mencionada, de acordo com o Clube de Matemática da OBMEP, pode-se apresentar a seguinte definição:
Seja C o ponto que divide um segmento 𝐴𝐵 em média e extrema razão.
Chamamos de Razão Áurea, a razão entre os comprimentos do maior e do menor segmentos resultantes da divisão inicial do segmento 𝐴𝐵, ou
seja, a
b .
Assim, os alunos poderão perceber que segmentos divididos em média e extrema razão atendem à seguinte proporção: a razão do comprimento de 𝐴𝐵 para o comprimento de 𝐴𝐶 é igual à razão do
comprimento de 𝐴𝐶 para o comprimento de 𝐶𝐵 (LIVIO, 2006). Sugere-se a utilização do software Geogebra como apoio para construir um segmento que contém a Razão Áurea e assim possibilitar que os alunos tenham uma noção geométrica desta razão.
Para construir um segmento que contém esta razão, Boyer (2010) apresenta que Euclides construía primeiro sob o segmento 𝐴𝐵 um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷, e então construía o ponto médio 𝐸 sobre o lado 𝐴𝐶, traçava o segmento 𝐸𝐵 e prologava a reta que contém os pontos 𝐶, 𝐸 e 𝐴 até 𝐹, de modo que 𝐸𝐹 = 𝐸𝐵. Assim, co mpletava-se o quadrado 𝐴𝐹𝐺𝐻 e o ponto 𝐻 no segmento 𝐴𝐵 é o ponto procurado.
Na continuidade, pode ser proposta a Atividade 11, que tem como
objetivo proporcionar que os alunos encontrem o número irracional que é gerado pela Razão Áurea (também chamada de Razão Dourada), bem como sua representação decimal e fracionária, a partir da definição já apresentada.
Atividade 1: Se |AB| = 1 e |AC| = x, encontre o valor numérico para a razão dourada.
Conforme definição apresentada, uma possível estratégia de resolução para a Atividade 1 pode ser: 1
𝑥= 𝑥 1−𝑥⇒ 𝑥
2 + 𝑥 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1±√5
2 . Selecionando o valor positivo, temos . E,
considerando, por exemplo, a razão 1
𝑥, a razão dourada será
.
Na continuidade, após os alunos conhecerem o Número de Ouro, ou seja, o valor numérico relacionado à Razão Áurea, é relevante propiciar discussões acerca da presença de representações deste número na natureza, uma vez que há muitos mitos acerca deste assunto. Assim, na sequência, sugere-se solicitar aos alunos que realizem a Atividade 22, em que o objetivo é construir um Retângulo de Ouro e verificar onde se encontra a razão dourada em tal retângulo.
1 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de
Swetz (1994).
2 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de
Atividade 2: Um retângulo cujo lados estão sob a medida da razão dourada é conhecido como retângulo de ouro. Utilizando a régua e compasso, construa um retângulo de ouro seguindo os seguintes passos:
a. Construa um quadrado ABCD. b. Construa o ponto médio 𝑀 de 𝐶𝐷̅̅̅̅.
c. Construa o ponto E que está no prolongamento do segmento 𝐷𝐶⃡ tais que 𝑀𝐵̅̅̅̅̅ ≅ 𝑀𝐸̅̅̅̅̅.
d. Encontre o ponto 𝐹 que situa na perpendicular traçada por 𝐸 a 𝐴𝐵⃡ . e. O retângulo AFED é o retângulo dourado.
Fazer a validação.
Para a socialização acerca do modo como identificam a Razão Áurea no Retângulo de Ouro, é interessante promover uma discussão para que os alunos indiquem quais segmentos do retângulo construído devem ser utilizados a fim de encontrar a razão dourada e, conforme as indicações, tem-se como sugestão que o professor vá realizando a verificação no software Geogebra. Após essa discussão, o professor deve esclarecer que o Retângulo de Ouro é um retângulo cuja razão entre a medida do lado maior e a medida do lado menor é a razão dourada, razão esta que resulta no Número de Ouro.
Em seguida, o professor pode solicitar aos alunos que pesquisem, com seus celulares e notebooks, objetos do cotidiano e construções históricas que “contém” a Razão Áurea. Esta ação pode ser um momento muito rico da aula, pois tem-se a oportunidade de desconstruir com os alunos alguns mitos referentes à presença da Razão Áurea em construções, monumentos, pinturas e objetos. Para promover uma reflexão com relação à veracidade de algumas informações contidas na internet, o professor poderá utilizar as próprias informações históricas, por exemplo, presentes em Livio (2006), como apoio para explicar o porquê de algumas indicações sobre a presença da Razão Áurea não poderem ser comprovadas cientificamente. Indica-se, como direcionamento, reflexões e discussões acerca de duas situações: o monumento histórico Partenon e a obra de arte Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, pois estes são comumente associados à Razão Áurea.
No que diz respeito ao primeiro monumento histórico, muito autores afirmam que a sua parte frontal se enquadra impecavelmente em um Retângulo Áureo. No entanto, alguns historiadores vão contra essa asserção, indicando que partes do Partenon vão além do Retângulo, como
por exe mplo, as extremidades do pedestal; outra contestação indica que as dimensões do Partenon variam conforme determinadas fontes (LIVIO, 2006).
Com relação à Mona Lisa, há indícios de que no formato de seu rosto possa-se encaixar um Retângulo Áureo, todavia, faltam-se indicativos sobre qual lugar em específico o Retângulo poderia se localizar, ou seja, não há comprovações científicas que garantem a presença deliberada da Razão Áurea na Mona Lisa, e de maneira semelhante, no Partenon (LIVIO, 2006). O autor supracitado ainda reitera que as ideias apresentadas refletem mais um “forçar para se encontrar” a Razão Áurea do que de fato constatar a presença desta razão nestes monumentos históricos.
Na sequência, tem-se a sugestão da Atividade 33, que tem como
objetivo propiciar que os alunos conheçam e explorem a representação de um objeto histórico que usa deliberadamente a Razão Áurea em sua construção.
Atividade 3: Os pitagóricos usavam o pentagrama como seu símbolo secreto. Dado um pentágono regular, se todas as diagonais possíveis são desenhadas dentro desse pentágono, então temos formada uma estrela pentagonal regular. Esta estrela é chamada de pentagrama. Um pentagrama possui muitas propriedades incomuns, uma delas é a que ele gera um outro pentágono no qual outra estrela
pentagonal pode ser formada, então o pentagrama gera ele mesmo. Além disso o pentagrama contém muitas razões douradas. Dado um pentagrama, verifique onde se localiza a Razão Áurea.
Conforme mencionado no enunciado, a razão entre vários dos segmentos que compõem o pentagrama contém a Razão Áurea. Sendo assim, para realizar a verificação (com precisão) de que a divisão entre
3 Atividade retirada do livro “Learning Activities from the History of Mathematics” de
determinados segmentos resulta n o Número de Ouro, indica-se que seja feito o cálculo da divisão no software Geogebra.
Após este momento, é interessante explicar aos alunos que, no pentagrama, a razão entre o comprimento da diagonal do pentágono que o compõe e o comprimento do lado desse mesmo pentágono é igual ao Número de Ouro. Cabe ressaltar que Boyer (2010) levanta a hipótese de que talvez este símbolo possa ter sido o “causador” do descobrimento da incomensurabilidade (e não a diagonal de um quadrado, conforme a maioria de nós conhecemos), uma vez que quando se traçam as cinco diagonais de um pentágono, elas formam um pentágono regular menor e a diagonais desse segundo pentágono, por sua vez, formam o terceiro pentágono ainda menor. “Esse processo pode ser continuado indefinidamente, resultando em pentágonos tão pequenos quanto se queira e levando a conclusão de que a razão da diagonal para o lado num pentágono regular não é racional” (BOYER, 2010, p. 50).
Outra constatação interessante nas medidas dos segmentos que compõem este símbolo histórico está no fato de que se considerarmos cada segmento do pentagrama em ordem decrescente de comprimento, a razão entre cada segmento e seu antecessor é igual à Razão Áurea, ou ao Número de Ouro (LIVIO, 2006). Ou seja, utilizando algumas medidas de segmentos do pentagrama da Atividade 3, podemos ter:
A partir desta atividade, pode-se discutir com os alunos a respeito da influência da civilização grega para o desenvolvimento do conteúdo Razão Áurea. Depois disso, avançando na cronologia histórica, o professor poderá explicar que após esta civilização houve outras civilizações que contribuíram para o desenvolvimento do conteúdo Razão Áurea, mas que estudos conhecidos e que se destacaram surgem com Leonardo de Pisa (conhecido como Leonardo Fibonacci) no século XII. Assim, pode-se apresentar uma breve biografia deste matemático para propor a Atividade 44, que tem como objetivo apresentar uma solução para o problema dos coelhos presente no livro “Liber Abacci”, de Leonardo Fibonacci, para posteriormente investigarem os números da sequência de Fibonacci e descobrir o porquê da sequência de Fibonacci estar relacionada ao Número de Ouro.
4 O enunciado da atividade foi retirado do livro “História da Matemática” de Boyer
Atividade 4: “Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?” (BOYER, 1974, p. 186)
O número de pares de coelhos de cada mês no problema apresentado forma os primeiros termos da sequência de Fibonacci. Essa sequência possui a propriedade de que a partir do terceiro termo, cada termo é igual à soma dos dois termos precedentes (os 12 primeiros termos dessa sequência são apresentados no quadro 1). Dessa forma, assim que os alunos resolverem o problema e conhecerem os primeiros termos da sequência de Fibonacci, o professor poderá instigá-los a responderem a seguinte pergunta: Qual a relação entre o problema dos coelhos de
Fibonacci e a Razão Áurea? Para respondê-la, os alunos terão que
investigar mais propriedades dos termos que compõem a sequência de Fibonacci.
Espera-se, com a exploração dos termos da sequência e com a condução do professor, que os alunos percebam que a divisão entre um número de Fibonacci e seu precedente leva a aproximações do Número de Ouro quando se avança para valores cada vez maiores na sequência, conforme é apresentado no quadro abaixo.
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Fn/ Fn-1 1/ 1= 1 2/ 1= 2 3/ 2= 1, 5 5/3 = 1,66 67 8/ 5= 1, 6 13/ 8= 1,6 25 21/1 3= 1,61 538 34/2 1= 1,61 905 55/3 4= 1,61 765 89/5 5= 1,61 818 144/ 89= 1,61 798
Quadro 1 – Divisão de um número de Fibonacci por seu antecessor Fonte: Belini (2015, p. 38)
A partir disso, explica-se que em termos matemáticos significa que 𝐹𝑛
𝐹𝑛−1
tende para 1+√5
2 quando n tende a infinito (BELINI, 2015), ou seja,
Para finalizar a sequência de atividades acerca do tema Razão Áurea, sugere-se uma apresentação cronológica com momentos históricos
que caracterizam a evolução do tema retratado, desde especulações sobre sua origem até os dias atuais.
Ao apresentar esta linha do tempo é relevante retomar com os alunos as discussões feitas sobre o contexto histórico em que surge a Razão Áurea, os diferentes momentos da história que caracterizam as evoluções da Razão Áurea, bem como a influência de determinadas obras (por exemplo, Divina Proportione, de Luca Paccioli) para o surgimento de alguns mitos referentes à presença desta razão na natureza.
Espera-se que com essa sequência de atividades e direcionamentos pedagógicos, possa-se desfrutar do conteúdo Razão Áurea de forma mais rica e produtiva, contemplando a contextualização histórica do desenvolvimento do tema elencado de modo a destacar contribuições já presentes em produções científicas e oportunizar o encaminhamento de futuras propostas para o ensino de Matemática por meio da História da Matemática.
É válido ressaltar sobre o auxílio do software Geogebra para o desenvolvimento da sequência de atividade apresentada, no que diz respeito ao tempo destinado às atividades, bem como a precisão nas medições solicitadas, uma vez que o Número de Ouro é um número irracional. Ainda, reitera-se que esta sequência de atividades pode ser desenvolvida desde o Ensino Básico ao Ensino Superior, cabendo ao professor adaptá-la de acordo com o nível de ensino e seu objetivo.
Referências
BELINI, M. M. A razão áurea e sequência de Fibonacci. 2015. 67 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional). Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. Universidade de São Paulo. São Carlos: SP.
BOYER, C. B. História da matemática. 3ª ed. São Paulo: Blucher, 2010. LIVIO, M. Razão Áurea: a história de Fi, um número surpreendente. Tradução de Marco Shinobu Matsumura. Rio de Janeiro: Record. 2006. MENDES I. A.; CHAQUIAM, M. História nas aulas de matemática: fundamentos e sugestões didáticas para professores. Belém: SBHMat, 2016.
MIGUEL A.; MIORIM M. A. História na Educação Matemática: Propostas e Desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.
SWETZ, F. J. Learning Activities from the History of Mathematics. Portland: J. Weston Walch Publisher, 1994.
