LISTA 1 DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
Prof. Rodrigo Neves
1) Estabeleça qual é o número de algarismos significativos para cada um dos seguintes valores numéricos:
a) 0,0100000 b) 250000 c) 0,00003052 d) 0,20054 e) 754001000 f) 0,00007
g) 80973802, 003009342 h) 0,00575001
2) Faça o arredondamento dos seguintes números para que contenham quatro, três e dois alga-rismos significativos:
a) 21,9994 b) 3,00838 c)38665 d) 4702491 e) 0,0030452
3) Faça as seguintes operações, dando a resposta com o número correto de algarismos signifi-cativos (a resposta está ao lado):
a) 4,002 + 15,9 + 0,823 (20,7) b) 213 – 11,579 (201,421) c) 1,00797 + 126,90 (127,90797) d) 40,08 + 15,9994 (56,08) e) 137,33 – 32,064 – 63,9976 (41,27) f) 9,80x10-2 + 4,6x10-3 (1,0 x 10-1)
4) O número ye 163 foi avaliado em aritméticas com precisão de t dígitos para vários valores
de t. Os resultados são mostrados na tabela:
t y
10 262537412600000000 15 262537412640769000 20 262537412640768744.00 25 262537412640768744.0000000 30 262537412640768743.999999999999
5) Efetue as seguintes operações, colocando as respostas em notação científica (Com resposta):
a) 1,51061001,5104
b) 10 12 10 0 , 3 10 4 , 2 10 10 0 , 8 c) 4 7 10 5 , 0 10 05 , 1 11 10 1 , 2
d) 20 6 6 9 10 0 , 1 10 5 , 2 10 5 10 9 5 10 125 , 1
e)
2 6 2 20 11 10 5 , 0 10 5 , 1 10 6 , 6 18 10 94 , 5 f) 7 9 10 75 , 1 10 5 , 3 8 10 41 , 1 g)
73102
4,9103 2,149101h)
8 8 6 10 10 6 10 005 , 0 10 5 , 1 10 2 3 12 10 0 , 2
6) Resolva as operações e apresente as respostas em notação científica e com 3 algarismos significativos.
a) (2,34 x 103)+ (1,2 x 105)
b) (34,8 x 10-4) – (2,56 x 10-3)
c) (234,90 x 107) x (232 x 108)
d) (81 x 1012) : (0,9 x 1010)
e)
00001 , 0 1000 01 , 0 001 , 0 3
f) 5 6
5 4 10 . 10 . 64 10 10 . 8 . 10 . 16 =
7) Escreva, em notação científica, os seguintes números: a) 184 000
b)0,0000064 c)2 500.106
d) 0,004.10- 4
8) Escrever em notação científica, com dois algarismos significativos, as seguintes medidas. a) 1230000 g
b) 0,00072 J c) 987000000 km
9) Arredonde os seguintes números para que eles fiquem com dois algarismos significativos: a) 9,754x1010
d) 0,565 b) 0,5824 e) 50,1000 c) 0,898 f) 57,435
10) Efetue os cálculos, observando e apontando o número correto de algarismos significativos: a) (50,82 - 1,382) x 50,442 =
b) 98725 x 0,000891 = c) 84545 : 43,2 = d) 1492 x 14,0 =
e) 10,728 + 11,00 + 47,8543 = f) 912,80 - 805,721 =
Respostas de 7 a 10:
a) 1,2 x 106 g b) 7,2 x 10-4 J c) 9,9 x 108 km
a) 1,22 x 105 b) 9,20 x 10-4 c) 5,45 x 1019 d) 9,00 x 103
a) 9,8 x 1010 b) 0,58
c) 0,90 d) 0,57 e) 50, f) 57
a) 2494 b) 88,0 c) 1960 d) 20900 e) 69,58 f) 107,08
11) Verifique quantos algarismos significativos apresentam os números abaixo, e depois arre-donde-os para que fiquem com 3 algarismos significativos.
12) Arredonde com 5 dígitos significativos e calcule os erros absoluto e relativo%:
Número Original Número Aproximado
Erro Absoluto Erro Relativo Percentual
23,007598 925.198.450.235 0,00000003241119 - 499,99827
13) Trunque com 4 casas decimais e calcule os erros absoluto e relativo%:
Número Original Número Aproximado
Erro Absoluto Erro Relativo Percentual
999,003865 720.493.768,35 0,31799999 0,0000009876
14) Considere os número irracionais y 5 e x 2. Represente-os com N algarismos signifi-cativos usando a limitação por truncamento, arredondamento e dê a expressão em ponto flutuante e calcule a operações indicadas completando a tabela abaixo:
N Aprox. por truncamento Aprox. por arredondamento Ponto flutuante Erro cometido
x 6
y 6
Soma Produto
15) Calcule os valores absolutos dos erros absoluto e relativo devido ao truncamento num sistema de ponto flutuante que opera com 5 dígitos (mantissa).
A) 0.231567 x 104
B) 0,916354211 x 108.
16) Coloque na forma de ponto flutuante e efetue as operações: a) 56.978.604.000 x 23.100.000 =
b)0,0000000625 0,0000125 = c) 4.096.000 0,0000000000128 =
17) Sejam X = 234.167 x 104, Y = 0.23155 x 10-5, Z = 0.231495 x 1012. Considerando um sistema
aritmético de ponto flutuante de 4 dígitos,
b) escreva os números nesse sistema considerando que a máquina adota o processo de arredondamento.
c) Calcule os erros absolutos e relativos quando os números são guardados na memória da máquina que usa o processo de truncamento.
d) Calcule os erros absolutos e relativos quando os números são guardados na memória da máquina que usa o processo de arredondamento.
18) Uma máquina cujo sistema de representação de números é definida por:Base = 10, t = 3 (número de dígitos da mantissa), [-6, 6] intervalo de variação do expoente da base.
a) Qual é o maior número representado nessa máquina?
b) Qual é o menor número positivo representado nessa máquina? c) Qual é o maior número negativo representado nessa máquina? d) Qual é o maior número negativo representado nessa máquina?
19) Calcule os erros absoluto e relativo ocorrido quando uma máquina que utiliza um sistema aritmético de ponto flutuante de 4 dígitos ao registrar o número X = 0.654987 x 105, se
a) o processo usado for o de truncamento; b) o processo usado for o de arredondamento.
20) Faça uma previsão dos módulos do erro relativo e do erro absoluto considerando uma máquina que utiliza o processo de truncamento num sistema aritmético de ponto flutuante com 4 dígitos, ao registrar os números X = 0.65498 x 104 e Y = 0.12345 x 108.
21) Aplique o dispositivo prático de Briot-Ruffini-Hormer para reescrever os seguintes polinô-mios abaixo:
a) P(x) = 4x4– 8x3– x +5
b) P(x) = 9x4 + 5x3– 2x2 + 3x 5
c) P(x) = x3– 2x2 + 9x – 1
d) P(x) = 2x3– 3x2 + 5x - 3
e) P(x) = 12x2 + 3x + 6
22) Aplique o dispositivo prático para encontrar a imagem de x = 3 em p(x) = x4 + 2x6– 5x3–
10x2 + 8
23) Dada a função f x sen x x24:
a)Determine o intervalo em x que contém pelo menos uma raiz de f(x) (graficamente ou aritmeticamente usando o Teorema de Bolzano);
b)Partindo-se desse intervalo, utilize o método da bissecção para determinar o valor dessa raiz após 4 iterações.
24) Dada a função f x ex x22:
a) Determine graficamente o intervalo em x que contém pelo menos uma raiz de f(x); b) Faça a mesma estimativa, mas desta vez aritmeticamente usando o Teorema de
Bolzano;
c) Partindo-se desse intervalo, utilize o método da bissecção para determinar o valor dessa raiz com uma precisão de 0,05.
26) Encontre uma estimativa para a raiz de f, usando o cálculo numérico, no intervalo [0,1] ou [3,4], sendo f(x) = 2x– 3x com um erro menor ou igual a 0,05 usando o método da Dicotomia, e
com o método de Newton-Raphson.
27) Localize os menores intervalos [a, b], a e b inteiros, onde estão localizadas as raízes das equações:
a) e2x– x2 = 0
b) x4 - 3x + 1 = 0
c) 5.ln(x2 - 1) + x = 0.
d) 5- x.ln(x + 3) = 0. e) 42x - x2 = 0
f) 3.sen (4x - 1) + 2x = 0.
28) Determine os intervalos que contenham as raízes das equações, com amplitude 0,5. a) x.cosx – 2x2 + 3x – 1 = 0.
b) (x – 2)2– ln x = 0
c) 2xcos(2x) – (x – 2)2 = 0.
d) x – (ln x)2 = 0.
e) x – 3-x = 0.
f) 4x2– ex = 0.
g) x3 + 4,001x2 + 4,002x + 1,101 = 0.
29) A solução da equação x5– 20 = 0 é x = 201/5. Calcule então a raiz quinta de 20, com precisão
de 0,001. A solução da equação sen x – 1 = 0 no intervalo [0, ] é x = /2. Calcule o valor de com 6 casas decimais.
a) 12/7; b) cos /6
c) raiz cúbica de 1041. d) 160/11
e) ln 1612.
31) Seja a função f(x) = ex– 4x2.
a) Encontre o intervalo que deva possuir pelo menos uma raiz de f(x). b)Usando Newton-Raphson, estime a raiz de f(x) com |xn-xn-1| < 0,001.
c) Um outro critério de parada que poderia ser usado corresponde à verificação se o valor de f(x) está próximo de zero. Qual resultado para a raiz de f(x) se obteria caso se usasse como critério de parada a condição |f(x)| < 0.001?
32) Resolva as equações abaixo, com erro inferior a 0,0001, utilizando os processos Newton-Raphson. Para cada uma dê o número de iterações e informe qual foi o método mais rápido.
a) 88,09x2 + 79,35x –23,33 = 0.
b) ex– x2 + 3x – 2 = 0.
c) (x – 2,34)2 = 0
d) x2– 2xe-x = 0.
e) cos (x + 2) = 0 f) x3– 3x2.(2-x) = 0
g) e6x– (ln 8).e4x = 0.
33) Encontre a raiz de f(x) = x3– cos(x) usando para isto:
a) O método de Newton Raphson, com precisão de 5 casas decimais.
b)O método da Bisecção, usando 6 iterações e começando com o intervalo inicial [0,1]. c) O método da Posição Falsa, nas mesmas condições do item b.
35) Sobre obtenção de raízes, faça o que se pede abaixo
a) Mostre que a equação x2 = 2x admite exatamente 3 raízes reais diferentes no intervalo
[-2, 5]
b)Aproxime a menor raíz com o método de Newton Raphson, com precisão de 3 casas decimais.
