Semana 04 - Aula 2 Movimento circular. Prof. Henrique Antonio Mendonça Faria

(1)

Semana 04 - Aula 2 Movimento circular

Prof. Henrique Antonio Mendonça Faria

(2)

Movimento circular uniforme

 Partícula se move ao longo de uma circunferência.

 Velocidade escalar constante.

prof Henrique Faria ²

(3)

Movimento circular uniforme

 Partícula se move ao longo de uma circunferência.

 Velocidade escalar constante.

 Exemplos:

– Carro em uma curva com raio e velocidades constantes.

– Satélite em órbita circular.

(4)

Movimento circular uniforme

prof Henrique Faria ⁴

Figura 3.27 Um carro em movimento circular uniforme. A velocidade escalar é constante e a aceleração é orientada para o centro da trajetória circular.

Fonte: Sears e Zemansky

(5)

Movimento circular uniforme

prof Henrique Faria ⁵

Figura 3.28 Variação da velocidade, aceleração média e a aceleração instantânea para uma partícula que se move em círculo a uma velocidade constante.

(6)

Movimento circular uniforme

prof Henrique Faria ⁶

(7)

Movimento circular uniforme

prof Henrique Faria ⁷

(8)

Movimento circular uniforme

8

prof Henrique Faria

 A partícula se move de P

₁

a P

₂

em um intervalo de tempo ∆𝒕.

 Os ângulos ∆𝝓 nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 𝒗

_𝟏

é perpendicular à linha OP

₁

e 𝒗

_𝟐

é

perpendicular à linha OP

₂

.

(9)

Movimento circular uniforme

9

prof Henrique Faria

 A partícula se move de P

₁

a P

₂

em um intervalo de tempo ∆𝒕.

 Os ângulos ∆𝝓 nas figuras 3.28a e 3.28b são iguais porque 𝒗

_𝟏

é perpendicular à linha OP

₁

e 𝒗

_𝟐

é

perpendicular à linha OP

₂

.

 Portanto, os triângulos são semelhantes, logo:

∆𝒗

𝒗

_𝟏

= ∆𝒔

𝑹 ⇒ ∆𝒗 = 𝒗

_𝟏

𝑹 ∆𝒔

(10)

Movimento circular uniforme

10

prof Henrique Faria

 O módulo da aceleração média durante o intervalo de tempo ∆𝒕 é portanto:

𝒂

_𝒎

= ∆𝒗

∆𝒕 = 𝒗

_𝟏

𝑹

∆𝒔

∆𝒕

(11)

Movimento circular uniforme

11

prof Henrique Faria

 O módulo da aceleração média durante o intervalo de tempo ∆𝒕 é portanto:

 O módulo a da aceleração instantânea no ponto P

₁

: 𝒂

_𝒎

= ∆𝒗

∆𝒕 = 𝒗

_𝟏

𝑹

∆𝒔

∆𝒕

𝒂 = lim

∆𝒕→𝟎

𝒗

_𝟏

𝑹

∆𝒔

∆𝒕 = 𝒗

_𝟏

𝑹 lim

∆𝒕→𝟎

∆𝒔

∆𝒕

(12)

Movimento circular uniforme

12

prof Henrique Faria

 O módulo da aceleração média durante o intervalo de tempo ∆𝒕 é portanto:

 O módulo a da aceleração instantânea no ponto P

₁

:

𝒂

_𝒓𝒂𝒅

=

^𝒗^𝟐

𝑹

𝒂

_𝒎

= ∆𝒗

∆𝒕 = 𝒗

_𝟏

𝑹

∆𝒔

∆𝒕

𝒂 = lim

∆𝒕→𝟎

𝒗

_𝟏

𝑹

∆𝒔

∆𝒕 = 𝒗

_𝟏

𝑹 lim

∆𝒕→𝟎

∆𝒔

∆𝒕

(13)

Movimento circular uniforme

 No movimento circular uniforme, o módulo da

aceleração instantânea é igual ao quadrado da

velocidade escalar 𝒗 dividido pelo raio 𝑹 do

círculo.

(14)

Movimento circular uniforme

 No movimento circular uniforme, o módulo da aceleração instantânea é igual ao quadrado da velocidade escalar 𝒗 dividido pelo raio 𝑹 do círculo.

 Sua direção é perpendicular a 𝒗 e aponta para dentro do círculo ao longo do raio.

 A aceleração é também chamada de aceleração centrípeta.

prof Henrique Faria ¹⁴

(15)

Movimento circular uniforme

Figura 3.29 Aceleração e velocidade (a) para uma partícula em movimento circular uniforme.

(16)

Movimento circular uniforme

16

prof Henrique Faria

 O módulo da aceleração em função do período 𝐓:

𝒗 = 𝟐𝝅𝑹

𝑻

(17)

Movimento circular uniforme

17

prof Henrique Faria

 O módulo da aceleração em função do período 𝐓:

 Substituindo esse resultado na equação de 𝒂

_𝒓𝒂𝒅

: 𝒗 = 𝟐𝝅𝑹

𝑻

𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= 𝒗

^𝟐

𝑹 ⇒ 𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= (𝟐𝝅𝑹)

^𝟐

𝑻

^𝟐

𝑹

(18)

Movimento circular uniforme

18

prof Henrique Faria

 O módulo da aceleração em função do período 𝐓:

 Substituindo esse resultado na equação de 𝒂

_𝒓𝒂𝒅

: 𝒗 = 𝟐𝝅𝑹

𝑻

𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= 𝒗

^𝟐

𝑹 ⇒ 𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= (𝟐𝝅𝑹)

^𝟐

𝑻

^𝟐

𝑹 𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= 𝟒𝝅

^𝟐

𝑹

𝑻

^𝟐

(19)

Movimento circular

não uniforme

(20)

Movimento circular uniforme não uniforme

 Ocorre quando a velocidade da partícula varia.

 Existirá ainda a componente da aceleração radial, sempre perpendicular à velocidade instantânea.

prof Henrique Faria ²⁰

(21)

Movimento circular uniforme não uniforme

 Ocorre quando a velocidade da partícula varia.

 Existirá ainda a componente da aceleração radial, sempre perpendicular à velocidade instantânea.

 Mas existirá também um componente da

aceleração relativa à velocidade instantânea,

tangente à circunferência (𝒂

_𝒕𝒈

).

(22)

Movimento circular uniforme não uniforme

22

prof Henrique Faria

 As expressões para aceleração ficam:

𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= 𝒗

^𝟐

𝑹 𝒂

_𝒕𝒈

= 𝒅 𝒗

𝒅𝒕

(23)

Movimento circular uniforme não uniforme

23

prof Henrique Faria

 As expressões para aceleração ficam:

 O componente tangencial da aceleração possui direção paralela à direção do vetor velocidade.

𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= 𝒗

^𝟐

𝑹 𝒂

_𝒕𝒈

= 𝒅 𝒗

𝒅𝒕

(24)

Movimento circular uniforme não uniforme

24

prof Henrique Faria

 As expressões para aceleração ficam:

 O componente tangencial da aceleração possui direção paralela à direção do vetor velocidade.

 𝒂

_𝒕𝒈

tem mesmo sentido, quando a velocidade escalar aumenta, e sentido contrário quando a velocidade escalar diminui.

𝒂

_𝒓𝒂𝒅

= 𝒗

^𝟐

𝑹 𝒂

_𝒕𝒈

= 𝒅 𝒗

𝒅𝒕

(25)

Movimento circular uniforme não uniforme

Figura 3.30 Partícula movendo-se em um círculo vertical, como um carro de uma montanha-russa, com velocidade variável.

(26)

26

Velocidade relativa

(27)

Velocidade relativa

 Considere dois observadores que medem a

velocidade de um objeto que se move.

(28)

Velocidade relativa

 Considere dois observadores que medem a velocidade de um objeto que se move.

 Eles obtêm resultados diferentes se estes observadores se movem em relação ao outro.

prof Henrique Faria ²⁸

(29)

Velocidade relativa

 Considere dois observadores que medem a velocidade de um objeto que se move.

 Eles obtêm resultados diferentes se estes observadores se movem em relação ao outro.

 A velocidade medida por um dos observadores denomina-se velocidade relativa ao observador considerado.

prof Henrique Faria ²⁹

(30)

Velocidade relativa

prof Henrique Faria ³⁰

Figura 3.32 (a) A mulher caminhando no interior do trem. (b) A posição da mulher relativa ao sistema de referência do ciclista e ao sistema de referência do trem.

(31)

Velocidade relativa

Figura 3.32 (a) A mulher caminhando no interior do trem. (b) A posição da mulher relativa ao sistema de referência do ciclista e ao sistema de referência do trem.

(32)

Velocidade relativa

32

prof Henrique Faria

Figura 3.32 (b) A posição da mulher relativa ao sistema de referência do ciclista e ao sistema de referência do trem.

(33)

Velocidade relativa

33

prof Henrique Faria

 Posições relativas 𝒙

_𝑷/𝑨

= 𝒙

_𝑷/𝑩

+ 𝒙

_𝑩/𝑨

(34)

Velocidade relativa

34

prof Henrique Faria

 Posições relativas

 Velocidades relativas 𝒙

_𝑷/𝑨

= 𝒙

_𝑷/𝑩

+ 𝒙

_𝑩/𝑨

𝒅𝒙

_𝑷/𝑨

𝒅𝒕 = 𝒅𝒙

_𝑷/𝑩

𝒅𝒕 + 𝒅𝒙

_𝑩/𝑨

𝒅𝒕

(35)

Velocidade relativa

35

prof Henrique Faria

 Posições relativas

 Velocidades relativas 𝒙

_𝑷/𝑨

= 𝒙

_𝑷/𝑩

+ 𝒙

_𝑩/𝑨

𝒅𝒙

_𝑷/𝑨

𝒅𝒕 = 𝒅𝒙

_𝑷/𝑩

𝒅𝒕 + 𝒅𝒙

_𝑩/𝑨

𝒅𝒕

𝒗

_{𝑷/𝑨𝒙}

= 𝒗

_{𝑷/𝑩𝒙}

+ 𝒗

_{𝑩/𝑨𝒙}

(36)

Velocidade relativa em duas dimensões

prof Henrique Faria ³⁶

Figura 3.34 (a) Uma mulher andando de um lado a outro do trem. (b) Posição da mulher em relação ao sistema de referência do ciclista e ao sistema de referência do trem. (c) Diagrama vetorial para a velocidade da mulher em relação ao solo.

(37)

Velocidade relativa em duas dimensões

(38)

Velocidade relativa em duas dimensões

prof Henrique Faria ³⁸

(39)

Velocidade relativa em duas dimensões

39

prof Henrique Faria

(40)

Velocidade relativa em duas dimensões

40

prof Henrique Faria

 Posições relativas 𝒓

_𝑷/𝑨

= 𝒓

_𝑷/𝑩

+ 𝒓

_𝑩/𝑨

(41)

Velocidade relativa em duas dimensões

41

prof Henrique Faria

 Posições relativas

 Velocidades relativas 𝒓

_𝑷/𝑨

= 𝒓

_𝑷/𝑩

+ 𝒓

_𝑩/𝑨

𝒗

_𝑷/𝑨

= 𝒗

_𝑷/𝑩

+ 𝒗

_𝑩/𝑨

(42)

Exemplo 3.14 e 3.15

CORREÇÃO EM RELAÇÃO AO VENTO ORTOGONAL: A bússola de um avião mostra que ele se desloca do sul para o norte, e seu indicador de velocidade do ar mostra que ele está se movendo no ar com velocidade igual a 240 km/h. Existe um vento de 100 km/h de oeste para leste.

(a) Em que direção o piloto deve inclinar o avião para que ele siga de sul para o norte?

(b) Qual seria, então, sua velocidade em relação à Terra?

prof Henrique Faria ⁴²

(43)

43

Figura 3.36 O piloto deve inclinar o avião na direção do vetor 𝒗_𝑷/𝑨 para que ele siga do sul para o norte em relação à Terra.

𝑣

_𝑃/𝑇

= 𝑣

_𝑃/𝐴

+ 𝑣

_𝐴/𝑇

(44)

44

prof Henrique Faria

𝑣

_𝑃/𝑇

= 𝑣

_𝑃/𝐴

+ 𝑣

_𝐴/𝑇

𝑣

_𝑃/𝑇

= 240

²

− 100

²

(45)

45

𝑣

_𝑃/𝑇

= 𝑣

_𝑃/𝐴

+ 𝑣

_𝐴/𝑇

𝑣

_𝑃/𝑇

= 240

²

− 100

²

𝒗

_𝑷/𝑻

= 𝟐𝟏𝟖 𝒌𝒎/𝒉

(46)

46

prof Henrique Faria

𝑣

_𝑃/𝑇

= 𝑣

_𝑃/𝐴

+ 𝑣

_𝐴/𝑇

𝑣

_𝑃/𝑇

= 240

²

− 100

²

𝒗

_𝑷/𝑻

= 𝟐𝟏𝟖 𝒌𝒎/𝒉

𝜷 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 100

240

(47)

47

𝑣

_𝑃/𝑇

= 𝑣

_𝑃/𝐴

+ 𝑣

_𝐴/𝑇

𝑣

_𝑃/𝑇

= 240

²

− 100

²

𝒗

_𝑷/𝑻

= 𝟐𝟏𝟖 𝒌𝒎/𝒉

𝜷 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 100

240 = 25°

(48)

Referências

1. H.D. YOUNG, R.A. FREEDMAN, Sears e Zemansky, Física I – Mecânica, Addison Wesley Ed, São Paulo, 12a Edição, 2008. Disponível em:

https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/270

2. M. ALONSO e, E.J. FINN, Física: Um Curso Universitário. v.1, Editora Edgard Blucher Ltda, São Paulo, 1999. Disponível em:

https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/158847

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henrique.faria@unesp.br

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