Extra 01 Conceitos Matemáticos

Conceitos Matemáticos

Computação Gráfica – DCC065

Introdução

 Computação Gráfica utiliza muitos conceitos

matemáticos

 Muitos dos conceitos não são complicados,

mas precisamos entendê-los bem para aprendermos certas técnicas

 Hoje revisaremos os seguintes tópicos:

 Sistemas de coordenadas

Ideia

Geral

Images taken from Hearn & Baker, “Computer Graphics with OpenGL” (2004)

Sistemas de Coordenadas 2D

 Quando criamos uma imagem no computador,

a cena é definida usando geometria simples

 Para cenas 2D nós

usaremos o sistema de coordenadas cartesianas 2D

 Todos os objetos serão

definidos usando pares

y axis

P

Sistemas de Coordenadas 2D

x y

(2, 3)

(2, 7) (7, 7)

(7, 3)

2 7

Sistemas de Coordenadas 3D

 Para cenas tridimensionais, basta adicionar

uma coordenada extra

y

Mão esquerda ou mão direita?

 Há duas formas de pensarmos em sistemas

de coordenadas 3D – baseado na mão esquerda e baseado na mão direita

Sistema baseado na mão direta Sistema baseado na mão esquerda

Im

ag

es

tak

en

fr

om

He

arn

& Bak

er,

“Co

m

pu

ter

G

rap

hi

cs

w

ith

O

pe

nG

L”

(20

04

Mão esquerda ou mão direita?

 Há duas formas de pensarmos em sistemas

de coordenadas 3D – baseado na mão esquerda e baseado na mão direita

arn

& Bak

er,

“Co

m

pu

ter

G

rap

hi

cs

w

ith

O

pe

nG

L”

(20

04

)

Usaremos o

Pontos e Linhas

 Pontos:

 Um ponto no espaço bidimensional é simbolizado

por um par ordenado

(x, y)

 Em três dimensões um ponto é simbolizado pela

tripla

(x, y, z)

 Linhas:

 Uma linha é definida atráves de um ponto inicial e

um ponto final

 Em 2d: (x_start, y_start) a (x_end, y_end)

Pontos e Linhas (cont…)

y

(2, 3)

(6, 7)

(7, 1)

(7, 3) (2, 7)

A equação de uma linha

 A equação da linha é

dada pela equação:

 onde:

 A equação da linha nos dá o valor

correspondente de

y

para cada valor de

x

x y

y₀ y_end

x_end x₀

b

x

m

y







0 0

x

x

y

y

m

end end







0 0

m

x

y

b







Um exemplo simples

 Vamos desenhar uma pequena porção da

linha dada pela equação:

 Basta encontrar o valor da coordanda

y

para

x

5

4

5

3

_

Um exemplo simples (cont)

x y

0 ₁ 1

2 2

3 4 5 6 7 8 9 10 3

Um exemplo simples (cont)

Por exemplo, vamos variar x de 2 a 7

Vetores

 Vetores:

 Um vetor é definido pela diferença entre dois

pontos

 Importante lembrar que um vetor possui uma

direção e um tamanho

 Para que servem vetores em CG?

 Um vetor nos mostra como mover algo de um

ponto a outro

 São especialmente importantes em transformações

Vetores (2D)

 Para determinar o vetor entre dois pontos,

simplesmente subtraia as coordenadas dos pontos

1 2

P

P

V





)

,

(

x

₂



x

₁

y

₂



y

₁



)

3

7

,

1

6

(







)

4

,

5

(



y

P₂ (6, 7)

P₁ (1, 3) V

P₂ (10, 7)

P₁ (5, 3) V P₂ (7, 10)

P₁ (2, 6)

Vetores (3D)

 Em 3D um vetor é calculado da mesma

forma que vetores em 2D

1 2 P P

V  

) ,

,

(x₂  x₁ y₂  y₁ z₂  z₁



) , ,

(V_x V_y V_z



x axis y axis

z axis

P₁

P₂

Então para o ponto (2, 1, 3) e (7, 10, 5) obteríamos

) 2 , 9 , 5 (

) 3 5

, 1 10 , 2 7

(



 

Operações Vetoriais

 Há várias operações importantes que

precisamos saber realizar com vetores:

 Calcular o tamanho do vetor

 Adição de Vetores

 Multiplicação do vetor por um escalar

 Produtor Escalar

Operações Vetoriais:

Tamanho do Vetor

 Calcular o tamanho de um vetor é fácil tanto

em 2D:

 Quanto em 3D:

2 2

|

|

V



V

_x



V

_y

2 2

2

|

Operações Vetoriais:

Soma de vetores

 A soma de dois vetores é calculada através da

soma de suas componentes correspondentes

)

,

(

_{1 2 1 2}

2

1

V

V

x

V

x

V

y

V

y

V









y

V₂

y

Operações Vetoriais:

Multiplicação por escalar

 A multiplicação de um vetor por um escalar

ocorre através da multiplicação de cada componente do vetor pelo escalar

)

,

(

sV

_x

sV

_y

sV



x y

sV

(sV_x, sV_y)

x y

V

Outras Operações Vetoriais

 Há outras operações importantes que serão

vistas no decorrer do curso

 As principais são:

 Produto Escalar (dot product)

Matrizes

 Uma matriz é simplesmente uma grade de

números

 Entretanto, ao utilizarmos operações

matriciais nós seremos capazes de realizar inúmeras operações matemáticas em CG de forma extremamente rápidas

           6 0 2 3 4 10 13 11 1



1 2 3 4



Operações Matriciais

 As operações matriciais importantes para

este curso são:

 Multiplicação por escalar

 Adição

 Multiplicação

 Transposta

Operações Matriciais:

Multiplicação por Escalar

 Para multiplicar os elementos de uma matriz

por um escalar basta multiplicar cada componente pelo escalar

Operações Matriciais:

Adição

 Para somar duas matrizes simplesmente

some todos os elementos correspondentes

 Exemplo:                                          z i y h x g w f v e u d t c s b r a z y x w v u t s r i h g f e d c b a             

Operações Matriciais:

Multiplicação

 Podemos multiplicar duas matrizes A e B

desde que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B

 Então, se tivermos uma matriz A

m

por

n

e

uma matriz B

p

por

q

teremos a multiplicação:

C=AB

 onde C será uma matriz

m

por

q

cujos

elementos serão calculados da seguinte forma:







n

k

ki ik

ij

a

b

c

Operações Matriciais:

Multiplicação (cont…)

 Exemplos:

?

    

 

  

 

  



 

 3 4

2 1

8 7

1

2 5 0





?

  

 

  

 

6 5 4 3 2

Operações Matriciais:

Multiplicação (cont…)

 Exemplos:                                                    28 38 4 22 26 3 4 * 8 2 * 2 4 * 7 2 * 5 4 * ) 1 ( 2 * 0 3 * 8 1 * 2 3 * 7 1 * 5 3 * ) 1 ( 1 * 0 4 3 2 1 8 7 1 2 5 0







1*4 2*5 3*6

  

32 6

5 4 3 2

1    

Operações Matriciais:

Multiplicação (cont…)

 Exemplos:                                                    28 38 4 22 26 3 4 * 8 2 * 2 4 * 7 2 * 5 4 * ) 1 ( 2 * 0 3 * 8 1 * 2 3 * 7 1 * 5 3 * ) 1 ( 1 * 0 4 3 2 1 8 7 1 2 5 0







1*4 2*5 3*6

  

32 6

5 4 3 2

1    

Operações Matriciais:

Multiplicação (cont…)

 Atenção!

A multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, então:

Operações Matriciais:

Transposta

 A transposta de uma matriz

M

, escrita como

M

T será obtida através da inversão das linhas pelas colunas de

_M

 Por exemplo:

  

 

  

   

  

 

6 5 4

3 2 1

6 5

4

3 2

Outras Operações Matriciais

 Há outras operações matriciais importantes

que serão necessárias no decorrer deste curso

 Algumas destas operações:

 Determinante de uma matriz

Resumo

 Nesta aula fizemos uma breve revisão sobre

alguns aspectos matemáticos que serão necessários no decorrer do curso como:

 Sistemas de coordenadas

 Noções sobre pontos, linhas, vetores e matrizes

 Operações vetoriais e matriciais.

 Estas noções matemáticas serão aplicadas

Saiba mais!

 Mathematics for Computer Graphics

John Vince

2ª Edição, Springer, 2006

Este livro não foi desenvolvido para matemáticos, mas sim, para

Saiba mais!

 Computer Graphics, C Version

 Apêndice A

Contém um resumo dos principais recursos matemáticos utilizados na Computação Gráfica e fornece a base necessária para o bom

entendimento do restante do livro.

Exercícios

1. Faça um programa que desenhe a linha y =

½x + 2 de x = 1 a x = 9, ponto a ponto.

2. Faça um programa que mostre o vetor

resultante da soma entre dos vetores V₁ e V₂

abaixo.

Ajuste a janela de renderização de forma adequada.

) . , . (

V₁  3 0 2 5 V₂  (3.1,6.3)

) . , . (

V₂  5 0 2 0 )

. , . (