(ENUNCIADOS) 1) Considere os três operadores matemáticos #, e tais que e

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PROVA DE MATEMÁTICA – CN 2018/2019 – AMARELA

(ENUNCIADOS)

1) Considere os três operadores matemáticos #,  e tais que a # b = a ,

^b

a b ^a

 = b e a b c = + + a b c. Sabendo que ‘x’ é um número real, pode-se afirmar que o valor máximo inteiro que a expressão  2 x # 2 8x 23 ( )    2 x # 2 8x 11 ^{( )}  assume é:

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

2) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 3. Exteriormente ao triângulo, constroem-se três quadrados, sempre a partir de um lado do triângulo ABC, ou seja, no quadrado Q ,

₁

AB é um lado;

no Q ,

₂

BC é um lado; e no Q ,

₃

AC é um lado. Com centro no baricentro “G” do triângulo ABC, traça-se um círculo de raio 3. A medida da área da parte do círculo que não pertence a nenhum dos quadrados Q ,

₁

Q

₂

e Q ,

₃

e nem ao triângulo ABC é igual a:

a) 3 (  − 3 ) b) 3 c) ⁹ ( 3 )

2  − d) 9

2  e) 3 2 (  − 3 )

3) Considere as afirmações a seguir.

I – Seja P o conjunto dos números naturais pares positivos P =  2, 4, 6,8,10,12,  . A soma de parcelas distintas, formadas pelos inversos dos elementos de P, desde 2 até ‘m’, com m  P, terá como resultado um número inteiro.

II – Se x é um número real e x  0, então x

²

= − x.

III – A medida da corda determinada por uma reta numa circunferência é menor ou igual à medida do seu diâmetro.

Essas afirmações são, respectivamente:

a) Falsa – Falsa – Verdadeira b) Verdadeira – Falsa – Verdadeira c) Falsa – Falsa – Falsa

d) Falsa – Verdadeira – Verdadeira e) Verdadeira – Verdadeira – Verdadeira

4) Os elementos do conjunto X são números naturais distintos formados apenas por algarismos iguais a 1, ou seja, X =  1,11,111,1111,11111,  , onde o maior elemento é formado por 2018 algarismos iguais a 1. Sabendo que 111111 15873 7, =  determine a quantidade de elementos do conjunto X que são divisíveis por 7 e marque a opção correta.

a) 128 b) 256 c) 336 d) 446 e) 512

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5) Observe a figura a seguir.

Essa figura representa um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência maior, e circunscrito a uma outra circunferência menor de raio igual a 2 cm, onde destacou-se a região central de 120 .  Sendo assim, é correto afirmar que a área total correspondente à parte sombreada mede, em cm :

²

a) ¹⁰

3

 b) ¹⁵ 4

 c) ¹⁶ 3

 d) ¹⁷ 5

 e) ¹³ 3



6) O maior valor inteiro de ‘k’ para que x

²

+ 2018x + 2018k = 0 tenha soluções reais é:

a) 2018 b) 1010 c) 1009 d) 505 e) 504

7) Seja A o conjunto formado pelos pares ( x, y , onde x e y são inteiros positivos tais que )

2x 3y + = 2018. Sendo assim, é correto afirmar que a quantidade de elementos do conjunto A é

a) 256 b) 336 c) 512 d) 640 e) 720

8) Analise a figura a seguir.

Essa figura representa o paralelogramo ABCD, cujas medidas dos lados são AB = CD = 3 cm, BC = AD = 4 cm e ˆA 60 . =  Do vértice D traça-se a altura DH, relativa ao lado AB, que encontra a diagonal AC no ponto I. Determine, em cm, a medida DI e marque a opção correta.

a) 6 3

5 b) 7

3 c) 5 3

3 d) 9

5 e) 2 5

3

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9) As equações na incógnita ‘x’ dadas por ax b 0 + = e ax

²

+ bx + = c 0, onde ‘a’, ‘b’ e ‘c’ são números reais e a  0, possuem uma única raiz comum. Sabendo que ‘m’ e ‘n’ são as raízes da equação do 2º grau, marque a opção que apresenta o valor da soma m

²⁰¹⁸

+ n

²⁰¹⁸

.

a) c

2018

b

   

  b) ab

2018

c

 

 

  c) c

2018

a

   

  d) bc

2018

a

 

 

  e) b

2018

a

   

 

10) Considere a expressão ( ₂₀₁₈

²⁰¹⁸

)

²⁰¹⁸

, que é potência de uma potência. É correto afirmar que o último algarismo do resultado dessa expressão é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

11) Sejam os números naturais ‘m’ e ‘n’, tais que 0   m 2018 e n = m − m

²

− 49 . Dentre as opções a seguir, marque a que apresenta o resultado de 10 m.

ⁿ

a) 250 b) 360 c) 380 d) 420 e) 540

12) Observe a figura a seguir.

Ela exibe um esboço da visão lateral do projeto de construção de um palco para um evento na cidade de Angra dos Reis. Para simplificar, o projeto irá considerar que a altura de uma pessoa é 1,6 m. Do chão ao piso do palco terá 2,4 m de altura e os 5 m em destaque no palco é a região em que um artista, em pé, pode se deslocar durante seu show. A grade de segurança é colocada a uma distância

‘d’ do palco de modo que uma pessoa, em pé, encostada nessa grade, consiga ver ao menos a metade da altura do artista, em qualquer lugar dos 5 m destacados no palco, se o artista estiver também de pé. Nessas condições, o valor mínimo de ‘d’ está no intervalo:

a) 0 d   2 b) 2 d   4 c) 4 d   6 d) 6 d 8   e) 8 d 10   13) Um fazendeiro possui ‘x’ galinhas e ração estocada suficiente para ‘n’ dias. Sabe-se que cada galinha consome a mesma quantidade de ração diariamente. No final de ‘t’ dias ( 1   t n , ) o fazendeiro adquire outras ‘k’ galinhas, sendo que cada nova galinha consome o triplo da ração diária que uma das ‘x’ galinhas anteriores consome. Supondo que não houve renovação no estoque de ração e que nenhuma ração foi usada para outro propósito, além de alimentar todas as galinhas conforme suas necessidades diárias, marque a opção cuja sentença permite obter a quantidade de dias

‘y’ que faltam para acabar o estoque atual de ração deste fazendeiro.

a) ( _{3k + x y} ) _{=  − x} ( _{n t} ) b) ( _{3k + x y} ) _{=  x} ( _{2n − t} )

c) ( _{2k + 3x y} ) _{=  x 3n} ( _{− t} ) d) ( _{2k + x y} ) _{=  x 3n} ( _{− t} )

e) ( _{3k + 3x y} ) _{=  x} ( _{2n − t} )

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14) Um triângulo retângulo ABC é reto no vértice A, o ângulo C mede 30 ,  a hipotenusa BC mede 1 cm e o segmento AM é a mediana relativa à hipotenusa. Por um ponto N, exterior ao triângulo, traçam-se os segmentos BN e NA, com BN AM e NA BM. A área, em cm ,

²

do quadrilátero ANBC é:

a) ³

16 b) ^{3 3}

8 c) ³

8 d) ³

4 e) ^{3 3} 16 15) A quantidade de soluções inteiras da inequação

2

1 2

x 2 1

x 4 + 

− + é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

16) Observe a figura a seguir.

O triângulo ABC acima é equilátero de lado igual a 2 cm. BDEF é um retângulo de medidas 2 cm  5 cm. Além disso, A, B e D estão alinhados. Sendo assim, é correto afirmar que a medida do segmento GB, em centímetros, é:

a) ²⁰

5 4 3 + b) ¹¹

4 2 3 + c) ⁸

3 + 3 d) ¹⁵

5 2 3 + e) ¹³ 4 5 3 +

17) Seja ABCD um quadrado de lado L, em que AC é uma de suas diagonais. Na semirreta BC, onde B é a origem, marca-se E de tal modo que BC = CE. Seja H a circunferência de centro C e raio L, e P o ponto de interseção de AE com a circunferência H. Sendo assim, é correto afirmar que o segmento DP tem medida igual a:

a) ^{L 10}

5 b) ^{3L 10}

10 c) ^{2L 5}

5 d) ^{2L 10}

5 e) ^{L 5} 10

18) Considere os dois números naturais ‘a’ e ‘b’, ambos formados por dois algarismos. Sabe-se que a b  = 2160 e que o máximo divisor comum de ‘a’ e ‘b’ é 12. Sendo assim, é correto afirmar que, ao se dividir a diferença positiva entre ‘a’ e ‘b’ por 11, encontra-se resto igual a:

a) 9 b) 6 c) 5 d) 2 e) 1

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19) A idade de cada um dos três filhos de um adulto, incluindo os dois filhos gêmeos, é representada por números inteiros. A soma das idades é igual a 21 e o produto igual a 320. Se colocarmos em forma de potência a maior idade e a menor idade deles, de tal modo que a maior seja a base da potência e a menor seja o expoente, está correto afirmar que ela terá o mesmo resultado que:

a) 3

¹⁰

b) 5

⁹

c) 2

¹³

d) 3

⁸

e) 2

¹⁵

20) Os números reais e positivos ‘x’ e ‘y’ são tais que x

²

+ y

²

= 21 e ( ^{x − y} )

²

^{= 9.} Nessas condições, determine o valor de 16 ,

^P

onde ‘P’ é o produto das possíveis soluções da expressão

1 1 1 1

.

x y x y

 +  − 

  

  

a) 1 b) ¹

2 c) ³

4 d) ¹

16 e) ¹

8

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(RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES)

1) c (Operações fundamentais e função quadrática) 2) c * (Geometria plana – áreas)

3) d (Conjuntos numéricos – Geometria plana circunferência) 4) c (Divisibilidade)

5) c (Geometria plana – áreas) 6) e (Equação do 2º grau)

7) b (Divisibilidade e congruência – equação diofantina) 8) a (Geometria plana – semelhança de triângulos)

9) e (Equação do 2º grau – relações entre coeficientes e raízes) 10) d (Congruência)

11) a (Múltiplos e divisores)

12) c * (Geometria plana – semelhança de triângulos) 13) a * (Razões e proporções)

14) e (Geometria plana – áreas) 15) b (Inequação produto-quociente)

16) a (Geometria plana – semelhança de triângulos) 17) a (Geometria plana – semelhança de triângulos) 18) d (Múltiplos e divisores e MDC)

19) e (Múltiplos e divisores)

20) b (Produtos notáveis e fatoração)

(*) O enunciado da questão foi adaptado, pois a mesma estava incorreta da maneira como foi

originalmente proposta.

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(ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES)

1) Considere os três operadores matemáticos #,  e tais que a # b = a ,

^b

a b ^a

 = b e a b c = + + a b c. Sabendo que ‘x’ é um número real, pode-se afirmar que o valor máximo inteiro que a expressão  2 x # 2 8x 23 ( )    2 x # 2 8x 11 ^{( )}  assume é:

a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3

RESOLUÇÃO: c x # 2 = x

2

( )

^{2 2}

2 x # 2 8x 23 = 2x 8x 23 = 2x + 8x + 23

( )

^{2 2}

2 x # 2 8x 11 = 2x 8x 11 = 2x + 8x 11 + ( )

   ^{( )} 

²

2 2

2x 8x 23 12

2 x # 2 8x 23 2 x # 2 8x 11 1

2x 8x 11 2x 8x 11 + +

 = = +

+ + + +

O valor mínimo do trinômio do 2º grau y = 2x

²

+ 8x 11 + é (

²

)

V

8 4 2 11

y 3.

4 2

− −  

= =



Como esse valor mínimo corresponde a um valor inteiro da expressão, então o máximo valor inteiro da expressão é 1 ¹² 5.

+ 3 =

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2) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 3. Exteriormente ao triângulo, constroem-se três quadrados, sempre a partir de um lado do triângulo ABC, ou seja, no quadrado Q ,

₁

AB é um lado;

no Q ,

₂

BC é um lado; e no Q ,

₃

AC é um lado. Com centro no baricentro “G” do triângulo ABC, traça-se um círculo de raio 3. A medida da área da parte do círculo que não pertence a nenhum dos quadrados Q ,

₁

Q

₂

e Q ,

₃

e nem ao triângulo ABC é igual a:

a) 3 (  − 3 ) b) 3 c) ⁹ ( 3 )

2  − d) 9

2  e) 3 2 (  − 3 )

RESOLUÇÃO: c

Inicialmente, observe que os triângulos GDE, GFH e GIJ são triângulos equiláteros de lado 3, então

ˆ ˆ ˆ

DGE = FGH = IGJ =  60 .

Os ângulos DGJ, ˆ EGF e ˆ HGI são iguais, então ˆ DGJ ^ˆ EGF ^ˆ HGI ^{ˆ 360 180} 60 . 3

 − 

= = = = 

A área do círculo que não pertence aos três quadrados e ao triângulo é a região sombreada mais escura. Ela pode ser calculada subtraindo da área de três setores circulares de 60 e raio 3, a área de seis triângulos congruentes ao triângulo BDG.

O triângulo BDG tem lado BG igual a ²

3 da mediana do triângulo equilátero, então 2 3 3

BG 3.

3 2

=  = O lado DG é o raio da circunferência, então DG = 3. Como BG é também uma bissetriz do triângulo equilátero, então o ângulo BGD ^{ˆ 60} 30 .

2

=  = 

Logo, a área do triângulo BDG é S

_BDG

^{BG DG} sen 30 ^{3 3 1 3 3} .

2 2 2 4

 

=  =  =

A área pedida é dada por S ³

²

6 ^{3 3 9 9 3 9} ( 3 u.a. )

2 4 2 2 2

 

= −  = − =  −

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3) Considere as afirmações a seguir.

I – Seja P o conjunto dos números naturais pares positivos P =  2, 4, 6,8,10,12,  . A soma de parcelas distintas, formadas pelos inversos dos elementos de P, desde 2 até ‘m’, com m  P, terá como resultado um número inteiro.

II – Se x é um número real e x  0, então x

²

= − x.

III – A medida da corda determinada por uma reta numa circunferência é menor ou igual à medida do seu diâmetro.

Essas afirmações são, respectivamente:

a) Falsa – Falsa – Verdadeira b) Verdadeira – Falsa – Verdadeira c) Falsa – Falsa – Falsa

d) Falsa – Verdadeira – Verdadeira e) Verdadeira – Verdadeira – Verdadeira RESOLUÇÃO: d

I – Falsa

Contraexemplo: ^{1 1 3} . 2 + =  4 4 II – Verdadeira

x

2

= x = − x, se x  0 III – Verdadeira

O diâmetro é maior corda da circunferência, então a medida de qualquer outra corda é menor ou igual à medida do diâmetro.

4) Os elementos do conjunto X são números naturais distintos formados apenas por algarismos iguais a 1, ou seja, X =  1,11,111,1111,11111,  , onde o maior elemento é formado por 2018 algarismos iguais a 1. Sabendo que 111111 15873 7, =  determine a quantidade de elementos do conjunto X que são divisíveis por 7 e marque a opção correta.

a) 128 b) 256 c) 336 d) 446 e) 512

RESOLUÇÃO: c

Vamos analisar o resto na divisão por 7 dos elementos de X menores que 111111 15873 7. = 

( )

1 1 mod 7 

( )

11 =  +  7 1 4 11  4 mod 7

( )

111 7 15 6 =  +  111 6 mod 7 

( )

1111 =  7 158 5 +  1111 5 mod 7 

( )

11111 =  7 1587 +  2 11111  2 mod 7

( )

111111 =  7 15873  111111  0 mod 7

Assim, 111111 15873 7 =  é o menor elemento de X que é múltiplo de 7.

O elemento que possui 12 algarismos é

( ) ( )

6 6 6

6 a lg s. 6 a lg s.

111111111111 111111 10 =  + 111111 111111 10 =  + =  1 7 15873 10  + 1 .

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Logo, ( )

6 a lg s. 6 a lg s.

111111111111  0 mod 7 .

Vamos agora estudar o que ocorre com os elementos que possuem de 7 a 11 algarismos.

( )

7 a lg s. 7 a lg s.

1111111 111111 10 1 =  +  1111111 1 mod 7 

( )

2

8 a lg s. 8 a lg s.

11111111 111111 10 =  +  11 11111111 11 4 mod 7  

( )

3

9 a lg s. 9 a lg s.

111111111 111111 10 =  + 111  111111111 111 6 mod 7  

( )

4

10 a lg s. 10 a lg s.

1111111111 111111 10 =  + 1111  1111111111 1111 5 mod 7  

( )

5

11 a lg s. 11 a lg s.

11111111111 111111 10 =  + 11111  11111111111 11111   2 mod 7

De maneira análoga, é possível mostrar que os elementos de X que são múltiplos de 7 são aqueles cuja quantidade de algarismos é um múltiplo de 6.

A quantidade de múltiplos de 6 desde 1 até 2018 é ^{2018 336 6 2} 336,

6 6

   =  +  =

   

    que corresponde à

quantidade de elementos de X que são divisíveis por 7.

5) Observe a figura a seguir.

Essa figura representa um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência maior, e circunscrito a uma outra circunferência menor de raio igual a 2 cm, onde destacou-se a região central de 120 .  Sendo assim, é correto afirmar que a área total correspondente à parte sombreada mede, em cm :

²

a) ¹⁰

3

 b) ¹⁵ 4

 c) ¹⁶ 3

 d) ¹⁷ 5

 e) ¹³ 3



RESOLUÇÃO: c

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Figura 1 Figura 2 O setor circular de 120 e raio 2 da Figura 2 é equivalente ao da Figura 1.

As áreas marcadas com I e II na Figura 2 são equivalentes.

Sabemos que, em um triângulo equilátero, o raio do círculo circunscrito é o dobro do raio do círculo inscrito, ou seja, R =  =  = 2 r 2 2 4.

Assim, a área sombreada S da Figura 1 é igual à área de um setor circular de 120 e raio 4 (Figura 2), ou seja, S ¹ 4

²

¹⁶ cm .

²

3 3

=   = 

6) O maior valor inteiro de ‘k’ para que x

²

+ 2018x + 2018k = 0 tenha soluções reais é:

a) 2018 b) 1010 c) 1009 d) 505 e) 504

RESOLUÇÃO: e

Para que a equação do 2º grau tenha soluções reais, seu discriminante  deve ser não negativo.

Assim, temos:

( )

2

2018

2018 4 1 2018k 0 2018 2018 4k 0 k 504, 5.

 = −      −    4 =

Logo, o maior valor inteiro de k é 504.

7) Seja A o conjunto formado pelos pares ( x, y , onde x e y são inteiros positivos tais que )

2x 3y + = 2018. Sendo assim, é correto afirmar que a quantidade de elementos do conjunto A é

a) 256 b) 336 c) 512 d) 640 e) 720

RESOLUÇÃO: b

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A equação 2x + 3y = 2018 é uma equação diofantina linear e possui infinitas soluções inteiras, pois

( )

mdc 2,3 = 1 divide 2018.

Por inspeção, observamos que uma solução particular dessa equação é x = 1000 e y = 6. Assim, a solução geral é ^{x 1000 3t} ,

y 6 2t

= +

  = −

 com t  .

Para que x e y sejam inteiros e positivos, devemos ter

1000 1

x 1000 3t 0 t 333 t 333

3 3

= +    − = −   − y = − 6 2t      0 t 3 t 2

Portanto, ^A =  ( ^{x, y} ) = ( 1000 3t, 6 2t ; t + − )   − 333   t 2 ,  que possui _{2 − −} ( ₃₃₃ ) _{+ = 1 336} (note que somamos 1, pois os dois extremos estão incluídos na contagem).

8) Analise a figura a seguir.

Essa figura representa o paralelogramo ABCD, cujas medidas dos lados são AB = CD = 3 cm, BC = AD = 4 cm e ˆA 60 . =  Do vértice D traça-se a altura DH, relativa ao lado AB, que encontra a diagonal AC no ponto I. Determine, em cm, a medida DI e marque a opção correta.

a) 6 3

5 b) 7

3 c) 5 3

3 d) 9

5 e) 2 5

3 RESOLUÇÃO: a

No triângulo retângulo ADH, temos:

AH 1 AH

sen 30 AH 2

AD 2 4

 =  =  =

DH 3 DH

cos 30 DH 2 3

AD 2 4

 =  =  =

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Os triângulos AIH e CID são semelhantes, pois possuem lados paralelos. Assim, temos:

AH HI 2 HI DI HI DI HI DH 2 3 6 3

DI cm.

CD DI 3 DI 3 2 3 2 5 5 5

=  =  = = + = =  =

+

9) As equações na incógnita ‘x’ dadas por ax b + = 0 e ax

²

+ bx + = c 0, onde ‘a’, ‘b’ e ‘c’ são números reais e a  0, possuem uma única raiz comum. Sabendo que ‘m’ e ‘n’ são as raízes da equação do 2º grau, marque a opção que apresenta o valor da soma m

²⁰¹⁸

+ n

²⁰¹⁸

.

a) c

2018

b

   

  b) ab

2018

c

 

 

  c) c

2018

a

   

  d) bc

2018

a

 

 

  e) b

2018

a

   

  RESOLUÇÃO: e

Como as duas equações possuem uma única raiz comum, então a raiz x ^b ,

= − a da equação ax b + = 0 é também raiz de ax

²

+ bx c + = 0.

Seja, sem perda de generalidade, m ^b .

= − a

A soma das raízes da equação ax

²

+ bx c + = 0 é

1

b b b

m n n n 0.

a a a

 = + = −  − + = −  = Portanto,

2018 2018

2018 2018

b

2018

b

m n 0 .

a a

   

+ = −     + =    

10) Considere a expressão ( 2018

²⁰¹⁸

)

²⁰¹⁸

, que é potência de uma potência. É correto afirmar que o último algarismo do resultado dessa expressão é:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

RESOLUÇÃO: d

Vamos, inicialmente, encontrar o último algarismo de 2018

²⁰¹⁸

analisando esse número módulo 10.

( )

²⁰¹⁸

( )

2018 2018 3 6054

2018  8  2  2 mod 10

Vamos agora estudar as potências de 2 módulo 10.

( )

2

1

 2 mod 10

( )

2

2

 4 mod 10

( )

2

3

 8 mod 10

( )

2

4

 6 mod 10

( )

2

5

 2 mod 10

Como 6054 =  4 1513 2, + então ²⁰¹⁸

²⁰¹⁸

^{ 2}

⁶⁰⁵⁴

^{ 2}

²

^{ 4 mod 10 .} ( )

Vamos agora analisar o número ( ₂₀₁₈

²⁰¹⁸

)

²⁰¹⁸

módulo 10.

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

( ²⁰¹⁸

²⁰¹⁸

)

²⁰¹⁸

^ ( ) ⁴

²⁰¹⁸

^ ( ) ²

^{2 2018}

^{ 2}

⁴⁰³⁶

( ^{mod 10 .} )

Como 4036 =  4 1009, então ( ²⁰¹⁸

²⁰¹⁸

)

²⁰¹⁸

^{ 2}

⁴⁰³⁶

^{ 2}

⁴

^{ 6 mod 10 .} ( )

Portanto, o último algarismo de ( 2018

²⁰¹⁸

)

²⁰¹⁸

é 6.

11) Sejam os números naturais ‘m’ e ‘n’, tais que 0   m 2018 e n = m − m

²

− 49 . Dentre as opções a seguir, marque a que apresenta o resultado de 10 m.

ⁿ

a) 250 b) 360 c) 380 d) 420 e) 540

RESOLUÇÃO: a

( )( )

2 2 2 2 2

n   m − 49 =  p 0, p   m − 49 = p  m − p = 49  m p m p + − = 49

n 1

m p 49

m 25 p 24 n 25 24 1 10 m 10 25 250 m p 1

 + =

 =  =  = − =   =  =

 − =



m p 7

m 7 p 0 n 7 0 7

m p 7

 + =

 =  =  = − = 

 − =



12) Observe a figura a seguir.

Ela exibe um esboço da visão lateral do projeto de construção de um palco para um evento na cidade de Angra dos Reis. Para simplificar, o projeto irá considerar que a altura de uma pessoa é 1,6 m. Do chão ao piso do palco terá 2,4 m de altura e os 5 m em destaque no palco é a região em que um artista, em pé, pode se deslocar durante seu show. A grade de segurança é colocada a uma distância

‘d’ do palco de modo que uma pessoa, em pé, encostada nessa grade, consiga ver ao menos a metade da altura do artista, em qualquer lugar dos 5 m destacados no palco, se o artista estiver também de pé. Nessas condições, o valor mínimo de ‘d’ está no intervalo:

a) 0 d   2 b) 2 d   4 c) 4 d   6 d) 6 d 8   e) 8 d 10  

RESOLUÇÃO: c

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Os segmentos AB e CD medem 1,6 m e representam o artista e a pessoa junto à grade, respectivamente. O ponto M é ponto médio de AB.

A menor distância, d, da grade ao palco ocorre quando o segmento DM passa pelo ponto T, ou seja, toca o palco.

Seja E a projeção do ponto D na frente do placo, então os triângulos retângulos DET e TAM são semelhantes. Assim, temos:

DE TE d 2, 4 1, 6

1 d 5 m.

TA MA 5 0,8

=  = − =  =

Portanto, 4 d   6 (c).

13) Um fazendeiro possui ‘x’ galinhas e ração estocada suficiente para ‘n’ dias. Sabe-se que cada galinha consome a mesma quantidade de ração diariamente. No final de ‘t’ dias ( _{1   t n ,} ) o fazendeiro adquire outras ‘k’ galinhas, sendo que cada nova galinha consome o triplo da ração diária que uma das ‘x’ galinhas anteriores consome. Supondo que não houve renovação no estoque de ração e que nenhuma ração foi usada para outro propósito, além de alimentar todas as galinhas conforme suas necessidades diárias, marque a opção cuja sentença permite obter a quantidade de dias

‘y’ que faltam para acabar o estoque atual de ração deste fazendeiro.

a) ( _{3k + x y} ) _{=  − x} ( _{n t} ) b) ( _{3k + x y} ) _{=  x} ( _{2n − t} ) c) ( _{2k + 3x y} ) _{=  x 3n} ( _{− t} ) d) ( _{2k + x y} ) _{=  x 3n} ( _{− t} ) e) ( _{3k + 3x y} ) _{=  x} ( _{2n − t} )

RESOLUÇÃO: a

Seja r a quantidade de ração que as x galinhas iniciais consomem por dia, então o estoque inicial de ração é r x n.  

A quantidade de ração consumida pelas x galinhas em t dias é r x t,   o que implica que a quantidade de ração restante é _{r x n t .   −} ( )

Com a aquisição de mais k galinhas que consomem 3r de ração por dia, o consumo diário passa a ser

( )

r x 3r k  +  =  + r x 3k .

Dessa forma, o número y de dias que faltam para acabar o estoque de ração é o quociente entre a quantidade de ração restante _{r x n t   −} ( ) e o novo consumo diário _{r x 3k .  +} ( ) Assim, temos:

( )

( ) ( ) ( )

r x n t

y 3k x y x n t .

r x 3k

  −

=  +  =  −

 +

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

14) Um triângulo retângulo ABC é reto no vértice A, o ângulo C mede 30 ,  a hipotenusa BC mede 1 cm e o segmento AM é a mediana relativa à hipotenusa. Por um ponto N, exterior ao triângulo, traçam-se os segmentos BN e NA, com BN AM e NA BM. A área, em cm ,

²

do quadrilátero ANBC é:

a) ³

16 b) ^{3 3}

8 c) ³

8 d) ³

4 e) ^{3 3} 16 RESOLUÇÃO: e

No triângulo retângulo ABC, temos:

1 1 AB BC sen 30 1

2 2

=   =  =

3 3

AC BC cos 30 1

2 2

=   =  =

A área do triângulo ABC é

_ABC

1 3

AB AC 2 2 3

S .

2 2 8

 

= = =

Como BN AM e NA BM, então o quadrilátero ANBM é um paralelogramo e S

_ANB

= S

_AMB

. Como M é ponto médio de BC, então S

_ABM

S

_ACM

^S

^ABC

.

= = 2 Assim, a área do quadrilátero ANBC é dada por

ABC 2

ANBC ANB ABC ABC ABC

S 3 3 3 3 3

S S S S S cm .

2 2 2 8 16

= + = + =  =  =

15) A quantidade de soluções inteiras da inequação

₂

1 2 x 2 1

x 4 + 

− + é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

RESOLUÇÃO: b

( )( )

2

1 2 1 2

1 1 0

x 2 x 2 x 2 x 2

x 4 +   + − 

+ + − +

−

Vamos fazer o MMC dos denominadores.

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 2 x 2 1 x 2 x 2 x

2

2x 1

0 0

x 2 x 2 x 2 x 2

+ − −  + − − + +

   

+ − + −

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Notemos agora que − x

²

+ 2x 1 + tem raízes 2 4 4 ( ) 1 1

x 1 2.

2

−  −  − 

= = 

−

Vamos resolver a inequação produto-quociente pelo método dos intervalos.

Assim, a solução da inequação no conjunto dos reais é S = −   2,1 − 2      2,1 + 2   e a única solução inteira é − 1, ou seja, há apenas 1 solução inteira.

16) Observe a figura a seguir.

O triângulo ABC acima é equilátero de lado igual a 2 cm. BDEF é um retângulo de medidas 2 cm  5 cm. Além disso, A, B e D estão alinhados. Sendo assim, é correto afirmar que a medida do segmento GB, em centímetros, é:

a) ²⁰

5 4 3 + b) ¹¹

4 2 3 + c) ⁸

3 + 3 d) ¹⁵

5 2 3 + e) ¹³

4 5 3 +

RESOLUÇÃO: a

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Seja GH ⊥ AB e GH = x.

No triângulo retângulo BHG, temos:

GH x x

tg 60 3 BH .

BH =   BH =  = 3

GH x 3 2x

sen 60 GB .

GB =   GB = 2  = 3 Isso implica AH AB BH 2 ^{x 2 3 x} .

3 3

= − = − = −

Os triângulos retângulos AHG e ADE são semelhantes, então 2 3 x

AH GH 3 x 10 3 5x 4 3x x 10 3 .

AD ED 4 5 5 4 3

−

=  =  − =  =

+

Portanto, GB ^{2x 2 10 3 20} .

3 3 5 4 3 5 4 3

= =  =

+ +

17) Seja ABCD um quadrado de lado L, em que AC é uma de suas diagonais. Na semirreta BC, onde B é a origem, marca-se E de tal modo que BC = CE. Seja H a circunferência de centro C e raio L, e P o ponto de interseção de AE com a circunferência H. Sendo assim, é correto afirmar que o segmento DP tem medida igual a:

a) ^{L 10}

5 b) ^{3L 10}

10 c) ^{2L 5}

5 d) ^{2L 10}

5 e) ^{L 5} 10

RESOLUÇÃO: a

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Inicialmente, tracemos CF no prolongamento de DC e, depois, FE.

Os ângulos EPD ^ˆ e EFD ^ˆ são iguais, pois são ângulo inscritos na circunferência que determinam o mesmo arco.

Os triângulos DPM e EFM são semelhantes, pois possuem dois ângulos iguais.

Vamos agora obter as medidas de alguns segmentos que serão utilizados nessa semelhança de triângulos.

O segmento MC é base média do triângulo ABE, então MC ^{AB L} ,

2 2

= = o que implica L L

DM L .

2 2

= − =

No triângulo retângulo isósceles CEF, temos FE = L 2.

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo MCE, temos:

2 2 2

2 2 2

L

2

L

2

5L L 5

ME MC CE L L ME .

2 4 4 2

= + =     + = + =  =

 

Vamos agora escrever a proporção resultante da semelhança dos triângulos DPM e EFM.

L

DP DM DP 2 DP L 2 L 10 .

FE ME L 2 L 5 5 5

2

=  =  = =

18) Considere os dois números naturais ‘a’ e ‘b’, ambos formados por dois algarismos. Sabe-se que a b  = 2160 e que o máximo divisor comum de ‘a’ e ‘b’ é 12. Sendo assim, é correto afirmar que, ao se dividir a diferença positiva entre ‘a’ e ‘b’ por 11, encontra-se resto igual a:

a) 9 b) 6 c) 5 d) 2 e) 1

RESOLUÇÃO: d

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Como mdc a, b ( ) = 12, então podemos escrever a 12 m =  e b 12 n =  , onde m, n  e

( )

mdc m, n = 1.

Sabemos que a e b têm dois algarismos, então 10 a   99     10 12 m 99    1 m 8 10 b 99       10 12 n 99    1 n 8

Substituindo a 12m = e b 12n = em a b  = 2160, temos:

( ) ( )

a b  = 2160  12 m   12 n  = 2160   = m n 15 

Supondo, sem perda de generalidade, a   b m  n, então m 5 = e n = 3.

Assim, a 12 m 12 5 60 =  =  = e b 12 n 12 3 36. =  =  =

A diferença entre a e b é a − = b 60 36 − = 24, cujo resto na divisão por 11 é 2.

19) A idade de cada um dos três filhos de um adulto, incluindo os dois filhos gêmeos, é representada por números inteiros. A soma das idades é igual a 21 e o produto igual a 320. Se colocarmos em forma de potência a maior idade e a menor idade deles, de tal modo que a maior seja a base da potência e a menor seja o expoente, está correto afirmar que ela terá o mesmo resultado que:

a) 3

¹⁰

b) 5

⁹

c) 2

¹³

d) 3

⁸

e) 2

¹⁵

RESOLUÇÃO: e

Sejam x, x e y, com x, y  , as idades dos três filhos, então

2 6

2x y 21

x x y 320 x y 2 5 + =

  =   = 

Note que x

²

 y é um quadrado perfeito multiplicado por um inteiro. Assim, as opções para os pares

( x , y

²

) são  ( 1 ,320 ; 2 ,80 ; 2 , 20 ; 2 ,5 .

²

) (

²

) (

⁴

) (

⁶

) 

Mas sabemos que x   1 2x   = 2 y 21 2x −  19. Dessa forma, a única opção válida é

( x , y

²

) = ( 2 , 5

⁶

)  = x 2

³

=  8 y = 5.

Portanto, a potência pedida é ₈

⁵

₌ ( ) ₂

^{3 5}

_{= 2 .}

¹⁵

20) Os números reais e positivos ‘x’ e ‘y’ são tais que x

²

+ y

²

= 21 e ( ^{x − y} )

²

^{= 9.} Nessas condições, determine o valor de 16 ,

^P

onde ‘P’ é o produto das possíveis soluções da expressão

1 1 1 1

.

x y x y

 +  − 

  

  

a) 1 b) ¹

2 c) ³

4 d) ¹

16 e) ¹

8

RESOLUÇÃO: b

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

Para que a expressão 1 1 1 1

x y x y

 +  − 

  

   esteja bem definida devemos ter x, y  0.

Essa expressão pode ser escrita na forma.

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 y x

x y x y

x y x y x y

 +  −   =    −   = − = −

       

    

Vamos agora analisar as duas igualdades dadas.

( ^x − ^y )

²

=  ^{9 x}

²

− ^2xy + ^y

²

=  ^{9 21 2xy} − =  ^{9 xy} = ⁶

( ^{x − y} )

²

^{=  − =  9 x y 3}

Assim, a expressão fornecida pode ter dois valores como segue:

1 1 1 1 y x 3 1

x y 6 2

x y x y

 +  −  = − = =

   

  

1 1 1 1 y x 3 1

x y 6 2

x y x y

− −

 +  −  = = = −

   

  

Portanto, P ^{1 1 1}

2 2 4

 

=  −     = − e

1

P 4

4 4 4

1 1 1

16 16 .

16 2 2

=

−

= = =