Resultado Importante: Uma transforma¸c˜ ao linear T : V → W ´ e injetora se e somente se N (T ) = 0

Centro Federal de Educa¸c˜ ao Tecnol´ ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: ´ Algebra Linear II

Prof. Anna Regina Corbo

1. Transforma¸ c˜ ao Linear Injetora: Uma transforma¸c˜ ao T : V → W ´ e dita injetora, se para quaisquer v, u ∈ V , se v 6= u, ent˜ ao T (v) 6= T (u). Uma transforma¸c˜ ao injetora tamb´ em ´ e chamada de transforma¸c˜ ao 1-a-1 pois ligada cada elemento do dom´ınio a um ´ unico elemento da imagem.

Resultado Importante: Uma transforma¸c˜ ao linear T : V → W ´ e injetora se e somente se N (T ) = 0

, isto ´ e o ´ unico elemento que tem imagem o zero ´ e o zero do dom´ınio.

2. Transforma¸ c˜ ao Linear Sobrejetora: Uma transforma¸c˜ ao linear T : V → W ´ e dita sobre- jetora se o conjunto imagem de T ´ e todo o contradom´ınio da transforma¸c˜ ao, isto ´ e, Im(T ) = W .

3. Transforma¸ c˜ ao Linear Bijetora ou Isomofismo: Uma transforma¸c˜ ao linear ´ e dita bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Bije¸ c˜ oes tamb´ em s˜ ao chamados de Isomorfis- mos e, neste caso, o dom´ınio e o contradom´ınio s˜ ao ditos espa¸cos vetoriais Isomorfos.

OBSERVAC ¸ ˜ AO: A palavra Isomorfismo vem do grego ´ e significa mesma (iso) forma (morfo).

4. Transforma¸ c˜ ao Invert´ıvel: Uma transforma¸c˜ ao T : V → W ´ e dita invert´ıvel quando existir uma outra transforma¸c˜ ao T

: W → V tal que T ◦ T

= Id. A transforma¸c˜ ao T

´ e dita a transforma¸c˜ ao inversa de T .

OBS1: Uma transforma¸c˜ ao ´ e bijetora se e somente se for invert´ıvel.

OBS2: Se uma transforma¸c˜ ao linear ´ e invert´ıvel, ent˜ ao a inversa tamb´ em ´ e linear.

5. EXERC´ ICIO:

1. Seja a transforma¸c˜ ao linear bijetora T (x, y, z) = (x + z, x − z, y).

a) Verifique se T ´ e injetora e/ou sobrejetora. T ´ e isomorfismo?

a) Determine a lei da transforma¸c˜ ao inversa de T , isto ´ e, de T

.

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