Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais

Resumão

fevereiro

Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais

Resumo

Ao estudarmos os conjuntos numéricos, estamos dando um foco num segmento do estudo dos conjuntos.

Assim, todas as operações entre os conjuntos também são aplicáveis nesse segmento.

Conjunto dos Números Naturais ( )

O primeiro conjunto numérico a ser estudado é o conjunto dos naturais, representados por “N” que surgiu a partir do momento que foi sentido a necessidade da contagem de elementos.

N = {0, 1, 2, 4, 5, 6, ...}

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Obs: A notação “*” simboliza o conjunto sem o elemento nulo.

Conjunto dos Números Inteiros ( )

O conjunto dos números inteiros, representado por “Z”, surgiu a partir do momento que surgiu a ideia de dívida, assim, entrando os números negativos.

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Alguns subconjuntos são destacáveis:

1. Conjunto ^* dos números inteiros nao nulos:

   

*= x | x 0 = ..., 3, 2,1,1,2,3,...− −

2. Conjunto ^*₊ = ^*dos números inteiros positivos não nulos:

   

*₊ = * = x | x 0 = 1,2,3,...

3. Conjunto ₊ = dos números inteiros não negativos:

^{x | x 0} 0,1,2,3,...

+ = =   =

4. Conjunto ^*₋os números negativos não nulos:

   

*₋ = x | x 0 = ..., 3, 2, 1− − −

5. Conjuntos ₋dos números inteiros não positivos:

^{x | x 0} ..., 3, 2, 1,0

− =   = − − −

2 Conjunto dos Números Racionais ( ):

O conjunto dos racionais surgiram quando houve necessidade de representar uma parte de um inteiro e é todo número da forma a

b, com 𝑏 ≠ 0. Ou seja, são razões (quocientes) entre dois números inteiros. A definição formal é: ℚ= {𝑥 =^𝑎

𝑏|𝑎 ∈ ℤ e 𝑏 ∈ℤ^*}

Alguns exemplos:

• 0 =⁰

1

• −2 =⁻²

1

• ¹

2

Da mesma forma que temos ^*, ^*₊, ₊, ^*₋, ₋, temos também ^*, ^*₊, ₊, ^*₋, ₋ com definições análogas.

Obs: Lembrando que entre dois números racionais há infinitos números racionais.

Obs2: Dízimas periódicas são racionais pois podem ser escritas sob a forma de fração.

Dízima periódica

Número decimal que possui uma repetição periódica e infinita de termos (período) , mas não tem uma representação exata. São classificadas como simples e compostas:

• Simples: o período começa logo após a vírgula. Exemplo: 0,3333... , 0,121212.... e 1,3333...

• Composta: Existe uma parte não periódica entre a virgula e o período: Exemplo: 0,0222..., 1,125555...

Elas podem ser representas como 0, 3 e 1,125 com a barra indicando onde começa o período. Com a dízima periódica dá para descobrir a fração que a gerou, essa chamada fração geratriz.

• Simples. Exemplo: 0,3333...

x 0,333... , 10x 3,333...

10x 3,333... - x 0,333...

___________

9x = 3

3 1

x=

9 3

= =

= =

=

Logo, a fração geratriz é 1 3.

• Composta. Exemplo: 1,12555....

= =

= =

=

=

x 1,12555... , 10000x 11255,555...

100x 112,555... - 100x 112,555...

10000x 11255,555... __________________

9900x 11143

= 11143

x 9900

Conjunto dos Números Irracionais (I ou − ou Q)

Os números irracionais são números que não podem ser escritos sob a forma de fração pois são números decimais infinitos e não periódicos.

Como exemplos de números irracionais podemos ter:

• 𝜋

• √2 ≈ 1,414213562. ..

• √5 ≈ 2,236067977. ..

Conjunto dos Números Reais ( )

Os números reais, representados por R é a união dos conjuntos dos Racionais com os Irracionais. Ou seja,

Racionais( ) Reais

Irracionais( )

 −



4

Exercícios

1. Analise as informações abaixo:

I. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Inteiros.

II. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Racionais.

III. O conjunto dos Números Naturais é subconjunto dos Números Irracionais.

a) Apenas a afirmação I é verdadeira.

b) Apenas a afirmação II é verdadeira.

c) Apenas a afirmação I é verdadeira.

d) Apenas a afirmação I e II são verdadeiras.

e) Todas as afirmações são verdadeiras.

2. Em trabalhos com matemática, é mantido um contato permanente com o conjunto dos números reais, que possui, como subconjuntos, o conjunto dos números naturais, o conjunto dos números inteiros, o dos números racionais e o dos números irracionais I. O conjunto dos númeroa reais também pode ser identificado por

a) 

b) 

c) 

d) I

e) I

3. Sobre os números racionais 1 11 ^,

7 33 ^e

14

55, é correto afirmar que

a) Apenas dois desses números, em sua forma decimal, são representados por dízimas periódicas.

b) Apenas um desses números, em sua forma decimal, é representado por uma dízima periódica simples.

c) Os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número primo.

d) Os três números, em sua forma decimal, podem ser representados por dízimas periódicas tais que o período de cada uma delas é um número divisível por 3.

e) Os três números são irracionais.

4. No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado, No início do jogo, vira- se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:

Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa?

a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

5. Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais.

a)





b) 1

5, 0, , 9 2

− 

 

 

c) 2

2, 0, ,

 3

− 

 

 

d)





e) 1

1, 0, 7 , 3

− 

 

 

6

6. Em um jogo educativo, o tabuleiro é uma representação da reta numérica e o jogador deve posicionar as fichas contendo números reais corretamente no tabuleiro, cujas linhas pontilhadas equivalem a 1 (uma) unidade de medida. Cada acerto vale 10 pontos.

Na sua vez de jogar, Clara recebe as seguintes fichas:

Para que Clara atinja 40 pontos nessa rodada, a figura que representa seu jogo, após a colocação das fichas no tabuleiro, é:

a) b)

c) d)

e)

7. Os números x e y são tais que 5 ≤ x ≤ 10 e 20 ≤ y ≤ 30. O maior valor possível de x y ^é:

a) 1/6 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 1

8. Se 𝑝

𝑞 é a fração irredutível equivalente à dízima periódica 0,323232... , então q – p vale:

a) 64.

b) 67.

c) 68.

d) 69.

e) 71.

9. Um grupo de alunos cria um jogo de cartas em que cada uma apresenta uma operação com números racionais. O ganhador é aquele que obtiver um número inteiro como resultado da soma de suas cartas.

Quatro jovens ao jogar receberam as seguintes cartas:

O vencedor do jogo foi:

a) Maria.

b) Selton.

c) Tadeu.

d) Valentina.

10. O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001 dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a zero.

Considere as seguintes afirmações:

I. x é irracional.

II. 10

x 3

III. x10^2.000.000 é um inteiro par.

Então,

a) nenhuma das três afirmações é verdadeira.

b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.

c) apenas a afirmação I é verdadeira.

d) apenas a afirmação II é verdadeira.

e) apenas a afirmação III é verdadeira.

8

Gabarito

1. D

Considere a relação hierárquica dos conjuntos numéricos ℕ ⊏ ℤ ⊏ ℚ ⊏ ℝ ⊏ ℂ

ℝ = ℚ ∪ Ι Ι ⊏ ℝ ⊏ ℂ

Analisando as afirmações:

I. Verdadeira, pois ℕ ⊏ ℤ

II. Verdadeira, pois ℕ ⊏ ℤ ⊏ ℚ ⇒ ℕ ⊏ ℚ

III. Falsa. Note que os números irracionais não possuem subconjuntos definidos segundo os conjuntos apresentados.

2. E

Como os números naturais também podem ser inteiros, e todas as opções dadas na questão são de união, a única alternativa correta é a que define o conjunto dos números reais como a união dos números racionais e irracionais (ℚ ∪ l)

3. D

Tem-se que ¹

11 = 0, 09̅̅̅̅,⁷

33 = 0, 21̅̅̅̅ e ¹⁴

55 = 0,2545̅̅̅̅. Em consequência, os três números, em sua forma decimal, são representados por dízimas periódicas, com o 0, 09̅̅̅̅ e 0, 21̅̅̅̅ sendo dízimas periódicas simples e 0,2545̅̅̅̅ uma dízima periódica composta. Ademais, os período dessas dízimas são: 9, 21 e 45, todos divisíveis por 3.

4. E

É imediato que ⁶ 8 = ³

4 = 0,75 = 75%. Portanto, a resposta é 3.

5. B

A resposta correta é B, pois todos os elementos do conjunto {-5, 0,¹₂, √9 podem ser escritos como fração: -5 = -¹⁰

2, : 0 = -⁰₃,¹

2, e √9 = ⁶

2

6. D

Como x = √3 ≅ 1,7; y = -¹

2 = -0,5 e z = ³

2 = 1,5, tem-se t < y < z < x. Assim, a figura que representa o jogo de Clara é a da alternativa D. Note que na alternativa A, x=3.

7. D

Para o maior valor de x/y escolhe-se o maior valor para x e o menor para y logo 10/20 = ½

8. B

A dízima 0,3232... equivale a ³²

99e 99-32=67 9. C

Maria teve a soma: ¹²

9 ( geratriz de 1,333...)+ ⁴ 5+¹²

10(1,2 na forma de fração)+ ⁷ 3=⁵¹⁰

9 Selton teve a soma: ²

9+¹

5+ ³

10+¹

6= ⁸₉ Tadeu teve a soma: ¹⁰

9 + ³

10+¹⁷

10+⁸

9=³⁶

9 = 4 Valentina teve a soma: ²

3+⁷

2+ ¹

10+¹

2=¹⁴³

90.

O único que teve como resposta um número inteiro foi Tadeu que foi o vencedor.

10. E

1

Conjuntos Numéricos: Operações com números reais

Resumo

Operação com numerais Adição de números naturais

Essa é uma operação fechada no conjunto dos naturais, ou seja, a adição de dois números naturais resulta em um número natural.

Exemplo: 17 + 8 = 25, ou seja, somando dois naturais, resultado natural.

Propriedades

Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) = b + (a + c) Comutativa: a + b = b + a

Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição pois ao somarmos zero, o resultado não se altera.

Multiplicação de números naturais

A multiplicação no conjunto dos naturais também é uma operação fechada pois na multiplicação de quaisquer dois naturais, o resultado também é natural.

Exemplo: 15 x 8 = 120, ou seja, multiplicando dois naturais, resultado natural.

Propriedades

Comutativa: a . b = b . a

Associativa: (a . b) . c = a . (b . c) = b . (a . c)

Distributiva: a . (b + c) = ab + ac e a.(b – c) = ab - ac

Elemento Neutro: O elemento neutro da multiplicação é o um pois ao multiplicarmos um número por um, o resultado não se altera.

Divisão de números naturais

Na divisão de números naturais, nem todos os resultados são naturais.

Exemplos: 15 : 5 = 3, porém, 7 : 2 = 3,5 e 3,5 não é natural.

Operações com Inteiros

As operações com números inteiros funcionam como no conjunto dos naturais. O que difere os inteiros são os números negativos, assim, entramos com a propriedade dos números opostos.

Exemplo: O oposto de 3 = (-1) . 3 = -3 ; O oposto de -4 = (-1) . (-4) = 4.

Operações com Racionais

Com os números racionais, além das propriedades já vistas, adicionamos a propriedade do inverso de um número.

Exemplo: O inverso de 4 = 4^-1 = 1/4 Operações entre frações

Soma e subtração: Caso os denominadores sejam iguais, bastar somar os numeradores e repetir o denominador.

Exemplo:¹₆+⁴

6 =¹⁺⁴

6 =⁵

6

Caso os denominadores sejam diferentes, calcula-se o menor múltiplo comum entre os denominadores.

Exemplo:¹ 2+²

3 =³

6+⁴

6= ⁷

6 (MMC entre 2 e 3 = 6).

Multiplicação: Multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador, simplificando, se possível, o resultado.

1 2𝑥2

3=1𝑥2 2𝑥3=2

6=1 3

Divisão: Repete a primeira fração e multiplica pelo inverso da segunda fração ¹ 2:²

3 =¹

2x³

2 =³

4 Operações com Irracionais

Como os números irracionais são números infinitos e não periódicos, não os representamos como decimais.

Assim, normalmente não efetuamos operações com números irracionais, os deixando indicados quando isso ocorre.

Exemplo: 1 + √2 é uma soma que deixamos indicados por não conseguir somar ao certo esses valores.

3

Exercícios

1. Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais:

Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Dó

1 8

9

64 81

3 4

2 3

16 27

128 243

1 2

Para encontrarmos o número ¹⁶₂₇ , relativo à nota LÁ, multiplicamos o ²₃ (correspondente da nota SOL) por ⁸

9. Assim, para obtermos ³

4(relativo à nota FÁ), devemos multiplicar ⁶⁴

81 (da nota MI) por

a)

8 9

b)

9 8

c)

243 256

d)

256 243

e)

192 324

2. Seja o número real k, tal que 𝑘 = ¹

√2+√3+ ¹

√2−√3 . Sobre o valor de k é correto afirmar que a) 𝑘 ∈ ℤ , tal que 𝑘 > 0.

b) 𝑘 ∈ ℝ , tal que 𝑘 < −2.

c) 𝑘 ∈ ℚ , tal que 𝑘 < 2.

d) 𝑘 ∈ 𝐼 , tal que 𝑘 > 2.

e) 𝑘 ∈ ℝ , tal que 𝑘 > 0.

3. O número real w = ¹

3+√5 pode ser escrito da forma 𝑤 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ √5 para certos números naturais racionais a e b cuja soma vale

a) ⁵ 6

b) ² 3 c) ³ 4

d) ⁴₅ e) ¹ 2

4. Sejam r₁ e r₂ números racionais quaisquer e s₁ e s₂ números irracionais quaisquer. É incorreto afirmar que

a) O produto r r₁ ₂ será sempre um número racional.

b) O produto s s₁ ₂ será sempre um número irracional.

c) O produto s r₁ ₁ será sempre um número irracional.

d) A soma r₁+r₂ será sempre um número racional.

e) Para r₂ 0, a razão ¹

2

r

r será sempre um número racional.

5. Uma professora de matemática organizou uma atividade associando um ábaco a três dados de diferentes formatos: um cubo com faces numeradas de 1 a 6, associadas à haste C, um octaedro com faces numeradas de 1 a 8, associadas à haste D, e um dodecaedro com faces numeradas de 1 a 12, associadas à haste U. Inicialmente, as hastes do ábaco encontram-se vazias.As letras C, D e U estão associadas a centenas, dezenas e unidades, respectivamente. A haste UM representa unidades de milhar.

Regras do jogo: são jogados os três dados juntos e, a cada jogada, colocam-se bolinhas nas hastes, correspondendo às quantidades apresentadas nas faces voltadas para cima de cada dado, respeitando a condição "nunca dez", ou seja, em cada haste podem ficar, no máximo, nove bolinhas.

Assim, toda vez que a quantidade de bolinhas em alguma haste for superior a nove, dez delas são retiradas dessa haste e uma bolinha é colocada na haste imediatamente á esquerda. Bolinhas, em quantidades iguais aos números obtidos na face superior dos dados, na segunda jogada, são acrescentadas às hastes correspondentes, que contêm o resultado da primeira jogada.

Iniciada a atividade, um aluno jogou os dados duas vezes. Na primeira vez, as quantidades das faces voltadas para cima foram colocadas nas hastes. Nesta jogada, no cubo, no octaedro e no dodecaedro, as faces voltadas para cima foram, respectivamente, 6, 8 e 11 (Figura 1).

5 Na segunda vez, o aluno jogou os dados e adicionou as quantidades correspondentes, nas respectivas hastes.O resultado está representado no ábaco da Figura 2.

De acordo com a descrição, as faces voltadas para cima no cubo, no octaedro e no dodecaedro, na segunda jogada, foram, respectivamente,

a) 4, 2 e 9.

b) 4, 3 e 9.

c) 4, 3 e 10.

d) 5, 3 e 10.

e) 5, 4 e 9.

6. Observe as afirmações abaixo:

I. O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

II. A soma de dois números irracionais é sempre um número racional.

III. O produto de um número irracional por um racional não nulo é sempre um número irracional.

IV. A soma de um número irracional com um racional é sempre um número irracional.

V. O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Assinale a alternativa correta:

a) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.

b) Apenas as alternativas II e III são verdadeiras.

c) Apenas as alternativas II, III e IV são verdadeiras.

d) Apenas as alternativas I e V são verdadeiras.

e) Apenas as alternativas III, IV e V são verdadeiras.

7. Resolva a expressão numérica abaixo:

[(2 3)

2

(5 4−1

2)] +2 5÷ 3

10

Qual é o resultado encontrado, em sua forma irredutível?

a) ⁵ 3

b) ¹⁰

6

c) ²⁶⁰ 123 d) ⁹⁰

54 e) ¹² 25

8. Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio- X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura.

Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina:

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

9. Em um teleférico turístico, bondinhos saem de estações ao nível do mar e do topo de uma montanha.

A travessia dura 1,5 minuto e ambos os bondinhos se deslocam à mesma velocidade. Quarenta segundos após o bondinho A partir da estação ao nível do mar, ele cruza com o bondinho B, que havia saído do topo da montanha. Quantos segundos após a partida do bondinho B partiu o bondinho A?

a) 5.

b) 10.

c) 15.

d) 20.

e) 25.

7

10. Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos.

O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s)

a) 16h.

b) 10h.

c) 7h.

d) 4h.

e) 1h.

Gabarito

1. C 3 4 64 81

= 3 4.81

64 = 243 256

2. B

Calculando

k = √2 + √3 + √2 - √3

(√2 + √3) . (√2 - √3) = 2√2

(√2)² - (√3)² = 2√2

-1 = 2√2 = -2,8 ⇒ {k 𝝐 ℝ/k < -2}

3. E

𝑤 = 1

3 + √5 .3 - √5

3 - √5 = 3 - √5 3²− √5²

=3 - √5 4 = 3

4 − 1 4 . √5

∴ a + b = 3

4 + (- 1 4) = 2

4 = 1 2

4. B

A alternativa B é a incorreta, pois o produto de dois irracionais pode ser racional. Exemplo: √2 . √8 = 4 5. A

Calculando: 1ª jogada > 6, 8, 11 Unidade = 11 – 10 = 1

Dezena = 8 + 1 = 9 Centena = 6 Milhar = 0 2ª jogada > x, y, z

Unidade = 1+ z = 10 > z = 9 > 10 – 10 = 0 Dezena = 9 + 1 + y = 12 > y = 2 > 12 – 10 = 2 Centena = 6 + 2 + x = 11 > x = 4 > 11 – 10 = 1 6. E

I. Falso. Calculando (√2)² = 2.

II. Falso. Calculando − √2 + √2 = 0

III. Verdadeiro. O produto de um número irracional por um número racional não nulo é sempre um número irarcional.

IV. Verdadeiro. A soma de um número irracional com um número racional é sempre um número irracional.

V. Verdadeiro. O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos número racionais com o conjunto dos números irracionais.

⇒ 691

⇒ x, y, z = 4, 2, 9

9 7. A

8. B

O tempo de espera nas máquinas 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, iguais a 35 . 5 = 175𝑠, 25 . 6 = 150 𝑠, 22 . 7 = 154𝑠, 40 . 4 = 160𝑠 𝑒 20 . 8 = 160 𝑠.

Portanto, o passageiro deverá se dirigir à máquina 2.

9. B

A travessia dura 90 segundos (ou 1,5 minutos). Se o bondinho A se colocou por 40 segundos até determinado ponto, isso quer dizer que o bondinho B deve ter se deslocado por 50 segundos, na direção oposta, até cruzar-se com o bondinho A. Ou seja, o bondinho B partiu 10 segundos antes do bondinho A – Alternativa B. Ou ainda:

𝑉_𝐴= 𝑉_𝐵 = 𝑑 𝑡 𝑑𝐴= 𝑑

90. 40 = 4𝑑 9

𝑑_𝐵= 5𝑑

9 ⇒ 𝑡_𝐵 = 5𝑑

9 𝑑 90

= 50𝑠

10. D

Sabendo que duração da viagem de A para B é de 6 horas, e que saindo da cidade A às 15 horas o voo chega à cidade B às 18 horas, e que a diferença de fusos horários entre A e B é de 3 horas. Desse modo, se na cidade A são 13 horas, na cidade B são 10 horas e, portanto, o executivo deve pegar um voo, na cidade B, que saia, no máximo, às 10 - 6 = 4 horas.

Potenciação Resumo

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, considere a multiplicação 2.2.2.2 = 16, podemos escrever essa multiplicação como 2⁴= 16, essa operação chamamos de potenciação, nesse caso o número 2 é a base, o número 4 o expoente e o número 16 é a potência.

Exemplos:

1) 3²= 3.3 = 9 2) 5³= 5.5.5 = 125

A multiplicação de fatores iguais representado por aⁿ onde a é a base e n é o expoente, o expoente indica a quantidades de fatores que serão multiplicados (nesse caso n fatores). Exemplo: 4³ =4.4.4=64. As propriedades básicas da potenciação são:

a) a a^m. ⁿ =a^{m n+}

No produto de potências de mesma base, conserva-se a base e soma os expoentes.

Exemplo: 2 .2^{3 2} =2⁵

b) a^m:aⁿ =a^{m n−}

Na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtrai os expoentes.

Exemplo: 3 : 3^{4 2} =3²

c)

( )

Na potenciação de uma potência, conserva-se a base e multiplica os expoentes.

Exemplo:

( )

d) ( )^{a b. m=a bm. m}

Potência de uma multiplicação ou de uma divisão, conserva-se as bases e distribui o mesmo expoente nas bases.

Exemplo: ( )^{2.4 2 =2 .42 2}

e)

Exemplo:

2 f) a⁰ =1

Todo número com elevado ao expoente igual a zero, o resultado sempre será 1.

g) a¹ =a

Todo número elevado ao expoente 1, o resultado será sempre o número da base.

h) 1^m =1

O número 1 elevado a qualquer expoente sempre resultará em 1.

i) m 1 ^m

a a

−  

=   

Exemplo

2

2 1

2 2

−  

=   

j)

m

n m

an = a Exemplo

1 2 2

3 = 3

Notação científica

Serve para representar grandezas muito grandes ou muito pequenas a partir de potências de 10. A fórmula da notação científica é: m.10ⁿ, onde m é a mantissa, ou seja um número racional maior que 1 e menor que 10 e n represente algum número inteiro que é a potência de 10, também chamado ordem de grandeza.

Por exemplo:

5 3

250000 2,5.10 0, 002 2.10⁻

=

=

Exercícios

1. Uma das principais provas de velocidade do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu essa prova, com a marca de 43,18 segundos. Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é

a) 0,4318 × 10² b) 4,318 × 10¹ c) 43,18 × 10⁰ d) 431,8 × 10⁻¹ e) 4.318 × 10⁻²

2. A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.

Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a

a) 3,25 × 10² km.

b) 3,25 × 10³ km.

c) 3,25 × 10⁴ km.

d) 3,25 × 10⁵ km.

e) 3,25 × 10⁶ km.

4

3. A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões.

O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.

Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).

Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é a) 1,1 × 10⁻¹

b) 1,1 × 10⁻² c) 1,1 × 10⁻³ d) 1,1 × 10⁻⁴ e) 1,1 × 10⁻⁵

4. Considere 𝑎 = 11⁵⁰ , 𝑏 = 4¹⁰⁰ e 𝑐 = 2¹⁵⁰ e assinale a alternativa correta.

a) c a b b) c b a c) a b c d) a c b

5. Considere que o corpo de uma determinada pessoa contém 5,5 litros de sangue e 5 milhões de glóbulos vermelhos por milímetro cúbico de sangue. Com base nesses dados, é correto afirmar que o número de glóbulos vermelhos no corpo dessa pessoa é (use que 1L=dm³=10⁶_mm³):

a) 2,75.10⁹ b) 5,5.10¹⁰ c) 5.10¹¹ d) 5,5.10¹² e) 2,75.10¹³

6. A fração 2⁹⁸+4⁵⁰−8³⁴

2⁹⁹−32²⁰+2¹⁰¹ é igual a:

a) 1 b) −¹¹

6 c) 2 d) −⁵

2

e) ⁷ 4

7. A expressão

(−5)²− 3²+ (2 3)

0

3⁻²+1 5+1

2 é igual a :

a) 3150 17

b) 90 c) 1530

73

d) 17 3150 e) – 90

8. Se 5^3𝑎= 64, o valor de 5^−𝑎é:

a) 1/4 b) 1/40 c) -1/4 d) 1/20

9. No século III, o matemático grego Diofante idealizou as seguintes notações das potências:

x – para expressar a primeira potência;

xx – para expressar a segunda potência;

xxx – para expressar a terceira potência.

No século XVIII, o pensador e matemático francês René Descartes (1596 – 1650) introduziu as notações x , x² , x³ para potências, notações que usamos até hoje.

Fonte: GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI JR. A conquista da matemática. 8 ed. São Paulo: FTD, 2002.

Analise as igualdades abaixo:

I.

(

)

II. ^{− + − −50 30} ( )^{4 0 =1}

III.

0

0

2 1

2 2

1 3 4

+ = −

−

6 IV.

(

) (

)

3

− −

+  − =

Assinale a alternativa CORRETA.

a) Apenas as igualdades I e II são VERDADEIRAS.

b) Apenas as igualdades I, III e IV são VERDADEIRAS.

c) Apenas as igualdades II e IV são VERDADEIRAS.

d) Apenas a igualdade IV é VERDADEIRA.

e) Todas as igualdades são VERDADEIRAS.

10. Se a = ⁽

1 4)

1 2⋅4

3 2⋅36⁻

1 2

10000⁻

1 4

, ( )^{25 2 1}

25

b− = e ^x=^³⁻¹− −( )^{3 −1}⁻¹ , então, é correto afirmar que a) c < b < a

b) b < c < a c) b < a < c d) a < b < c e) a < c < b

Gabarito

1. B

A resposta é 43,18 ¹

43,18 10 4,318 10 .

= 10  = 

2. D

Utilizando a ideia de notação científica, temos: 325 mil km = 325 . 10³ km = 3,25 . 10² . 10³ = 3,25 . 105 km.

3. D

Tem-se que 0,00011mm = 0,00011 . ¹⁰⁴

10⁴ = 1,1 . 10^-4 mm.

4. A

50

100 2 50 50

150 3 50 50

50 50 50

a 11

b 4 (4 ) 16

c 2 (2 ) 8

8 11 16 c a b

=

= = =

= = =

   

5. E

5,5 L= 5,5 dm³ = 5,5.10⁶mm³. Número de glóbulos vermelhos: 5.10⁶. 5,5.10⁶= 27,5.10¹²= 2,75.10¹³ 6. B

2⁹⁸+4⁵⁰−8³⁴

2⁹⁹−32²⁰+2¹⁰¹ = ^{298+(22)50−(23)34}

2⁹⁹−(2⁵)²⁰+2¹⁰¹ = ^{298+2100−2102}

2⁹⁹−2¹⁰⁰+2¹⁰¹ =^{298(1+22−24)}

2⁹⁹(1−2+2²) = ^1.−11

2.3 = −¹¹

6

7. C

(−5)²−3²+(²₃)⁰ 3⁻²+¹

5+¹ 2

=²⁵⁻⁹⁺¹1 9+¹

5+¹ 2

= _10+18+45¹⁷

90

= ¹⁷73 90

= 17.⁹⁰

73 =¹⁵³⁰

73

8. A

5^3𝑎 = 64 ⇔ (5^𝑎)³ = 4³ ⇔ 5^𝑎 = 4, logo ^a 1

5 4

− =

8 9. B

10. B

Radiciação Resumo

Radical

Simbolizado por ⁿ é a raiz n-ésima de um número x com a seguinte propriedade:

Se  

 

 , ou seja, se n (ou índice) for par o número dentro da raiz (chamado radicando) tem que ser maior que 0, caso o índice for ímpar, x pode assumir qualquer valor real. Considerando que

 

n , n 2

A radiciação é a operação inversa da potenciação da seguinte forma: ⁿxⁿ =x. Por exemplo: 5²=25 e

25 =5 (quando o n estiver ausente, ele vale 2).

Propriedades.

a) ⁿx^m =^n:px^m:p . Exemplo: ^{8 4} =^{8:4 4:4} = ²

b) ^mx.y =^mx. y^m Exemplo: ² 2.4= ²2. 4²

c)

m m

m

x x

y = y . Exemplo:

3 3

3

5 5

4 = 4

d) ^{m n}x =^m.nx. Exemplo: ^{3 4}3 =^3.43=¹²3

No caso da letra B, vale ressaltar que a expressão poderia ter sido escrita como ² = ² . E usando as propriedades, pode ser reescrito como ² = ^{2 2} = . Repare que apenas uma parte do radicando saiu do radical. Isso acontece porque o expoente é maior que o índice mas não é múltiplo dele. No caso

2 4 = 2 2 2 = = .

Uma notação muito usual é a de representar a radiciação por um expoente fracionário. Exemplo:

1 3 3

27 = 27

ou

2

5 2

205 = 20 . Em geral:

m

n m

xn = x

2 Racionalização

É o processo de multiplicar o denominador por algum número a fim de torna-lo um número racional, quando ele for irracional. Exemplos:

a)

1 2 2

. 2

2 2 =

b) 1 3 1 3 1 3 1

. 3 1 2

3 1 3 1

− − −

= =

+ − − . Nesse exemplo lembre do produto notável: (a+b)(a-b)= (a²-b²)

c) + = +

− +

2 5 2 2 5 2 2

. 3

5 2 5 2

d) ^{3 2} = ³ = ³

3 3 2

6 2 6 4

. 3 4

2 2 2

Exercícios

1. Para todo número real positivo a, a expressão √𝑎+√𝑎³+√𝑎⁵

√𝑎 é equivalente a a) 1 + √𝑎 + 𝑎

b) 1 + 𝑎²+ 𝑎 c) √𝑎 + 𝑎 d) √𝑎 + 𝑎² e) 1 + 𝑎

2. Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula 𝐴 = 𝑘. 𝑚²³ , em que k é uma constante positiva. Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?

a) ³√16 b) 4 c) √24 d) 8 e) 64

3. Usando a tecnologia de uma calculadora pode-se calcular a divisão de 2 por ³4 e obter um resultado igual a:

a) 4.

b) ³3.

c) 5.

d) ³2.

e) 4 .²