PRÉ-CÁLCULO. Me. Rebecca Manesco Paixão

PRÉ-CÁLCULO

PRÉ-CÁLCULO

Me. Rebecca Manesco Paixão

1. Produto cartesiano 2. Relações

3. Definição de função e notação

4. Domínio, contradomínio e imagem

5. Gráfico e funções crescentes e decrescentes 6. Paridade de funções

7. Função injetora, sobrejetora e bijetora

8. Obtenção de novas funções a partir de funções conhecidas

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PRÉ-CÁLCULO

Definição: dados dois conjuntos, A e B , não vazios,

denominamos produto cartesiano de A por B (denotado por A

× B), o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) em que a primeira coordenada pertence ao conjunto A e a segunda pertence ao conjunto B , ou seja,

𝐴 × 𝐵 = (𝑥, 𝑦) 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵

Em que a notação A × B é lida como “ A cartesiano B ” ou

“produto cartesiano de A por B ”.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PRODUTO CARTESIANO

O sistema cartesiano é um sistema ortogonal, pois é formado por dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam em um ponto, denotado por O e denominado origem.

É possível estabelecer uma correspondência entre cada ponto (x, y) desse plano com o par ordenado (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵. Logo, para cada ponto (ou par) (x, y), x é chamado de abscissa e y, de ordenada do ponto; ou seja, o eixo horizontal x é chamado de eixo das abscissas, enquanto que o eixo vertical y é

chamado de eixo das ordenadas.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PRODUTO CARTESIANO

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Exemplo 1: Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = {−1,1}.

A × B = {(1,−1),(2,−1),(3,−1),(1,1),(2,1),(3,1)}

B × A = {(−1,1),(−1,2),(−1,3),(1,1),(1,2),(1,3)}

A × A = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

B × B = {(−1,−1),(−1,1),(1,−1),(1,1)}.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PRODUTO CARTESIANO

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Sobre o produto cartesiano de dois conjuntos, pode-se afirmar:

1. Não vale a propriedade comutativa para o produto cartesiano, ou seja,

se 𝐴 ≠ 𝐵, então 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴.

2. Se A é um conjunto com m elementos e B , com n elementos, então

tanto 𝐴 × 𝐵 quanto 𝐵 × 𝐴 possuem m⋅n elementos.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PRODUTO CARTESIANO

Sobre o produto cartesiano de dois conjuntos, pode-se afirmar:

3. Se o conjunto A ou o conjunto B forem infinitos, o produto cartesiano 𝐴 × 𝐵 também será infinito, e a enumeração de seus elementos, geralmente, não é viável.

4. Se A ou B forem conjuntos vazios, definiremos o produto cartesiano 𝐴 × 𝐵 como sendo o conjunto vazio, ou seja,

𝐴 × ∅ = ∅, ∅ × 𝐵 = ∅, ∅ × ∅ = ∅

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PRODUTO CARTESIANO

Definição: dados dois conjuntos A e B , chama-se relação de A em B todo subconjunto R de A × B .

R é uma relação de A em B ⟺ R ⊂ A × B

Assim, o conjunto R é formado por pares (x, y) , em que x ∈ A está “associado” a y ∈ B mediante alguma regra de

associação.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

RELAÇÕES

Exemplo 3: sejam os conjuntos A = {1,2,3, 4,5,6} e B =

{−2,−1,3, 4} , e a relação R = {(x, y) ∈ A × B | x < y}. Enumere os elementos de R .

A × B = {(1,−2),(2,-2),(3,−2),(4,-2),(5,-2),(6,-2), (1,−1),(2,- 1),(3,−1),(4,-1),(5,-1),(6,-1), (1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),

(1,4),(2, 4),(3, 4),(4, 4),(5, 4),(6, 4)}

R = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

RELAÇÕES

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-1

-2

A partir do exemplo, é possível inferir algumas observações sobre as relações:

1. No diagrama de flechas de uma relação de A em B , nem todo elemento do conjunto A precisa estar necessariamente associado a um elemento do conjunto B .

2. Não existe a necessidade de, para cada elemento de A , associarmos um único elemento em B .

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

RELAÇÕES

É comum, no dia a dia, nos depararmos com situações em que podemos relacionar grandezas. Por exemplo, quando

abastecemos um veículo é possível estabelecer uma relação entre a “quantidade de combustível” e o “preço a pagar”.

Funções, basicamente, são relações que abrangem todos os elementos do primeiro conjunto, e associam a cada elemento deste primeiro, um, e somente um elemento do segundo

conjunto; o que não necessariamente ocorre para as relações.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO

Definição: dados dois conjuntos não vazios A e B , uma

relação f de A em B recebe o nome de função (ou aplicação) de A em B se, e somente se, para todo x ∈ A existir um só y ∈ B , tal que (x, y)∈ f . Notação:

𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑙ê − 𝑠𝑒: 𝑓 𝑑𝑒 𝐴 𝑒𝑚 𝐵

𝑥 → 𝑦 = 𝑓 𝑥 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑥 ℎá 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓 𝑥 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜)

Logo, toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO

No diagrama de flechas, há duas condições importantes a serem respeitadas para que tenhamos uma função:

1. Deve partir uma flecha de cada elemento do conjunto A . 2. Não deve partir mais de uma flecha de um elemento do conjunto A .

Assim, caro(a) aluno(a), uma função é um conjunto de pares ordenados determinados por uma sentença, y = f (x) , que expressa a correspondência entre as duas variáveis, (x e y) . Dessa forma, definimos a notação de função:

𝐶 = 𝑥, 𝑦 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO

Exemplo 10: considere a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥 ² + 𝑥 − 1 .

Como vimos, para este caso, a melhor forma de representar a função é no plano cartesiano. Podemos escolher alguns

valores de x que nos darão uma boa ideia de como se

comportarão os demais pares ordenados. Observe a Tabela 2.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO E NOTAÇÃO

Caro(a) aluno(a), podemos verificar, pela representação

cartesiana da relação f de A em B , através do chamado teste da reta vertical, se f é ou não uma função. O teste consiste em verificar se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x,0) , em que x ∈ A, corta o gráfico de f em um único ponto; ou

seja, baseia-se no fato de que, para cada valor de x, deve haver um único y associado.

Definição: uma curva no plano xy é o gráfico de alguma

função f se, e somente se, nenhuma reta vertical intersecta a curva mais de uma vez.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

TESTA DA RETA VERTICAL

Não é uma função É uma função

É uma função Não é uma função

Definição: seja f : A→ B uma função.

1. O conjunto A é denominado domínio da função f , denotado por D( f ) . Representa os valores que a variável independente assume.

2. O conjunto B é denominado contradomínio da função f , denotado por CD( f ) . Representa os valores que a variável dependente pode assumir.

3. O subconjunto de B dado por todos os valores produzidos pela associação f é denominado conjunto imagem de f , e é denotado por Im( f ). Representa os valores que a variável dependente

assume. Ou seja,

𝐼𝑚 𝑓 = 𝑦 ∈ 𝐵 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM

Exemplo 12: considere a função f : A→ B dada por f (x) = 5x − 3 , em que A = {1,2,3, 4} e B = {0,2,7,12,17,22,27} . Pela definição que acabamos de ver, temos que:

D( f ) = A = {1,2,3, 4}

CD( f ) = B = {0,2,7,12,17,22,27}

Im( f ) = {2,7,12,17}

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM

O gráfico de uma função f : A→ B é o subconjunto Gr( f ) do plano cartesiano formado pelos pares ordenados em que a primeira coordenada pertence ao conjunto A e a segunda

coordenada é a imagem da primeira coordenada pela função f , ou seja,

𝐺𝑟 𝑓 = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ ² 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Definição: a função f : A→ B , definida por y = f (x) , é

crescente no conjunto 𝐴 ₁ ⊂ 𝐴 se, para dois valores quaisquer, 𝑥 ₁ e 𝑥 ₂ de 𝐴 ₁ , com 𝑥 ₁ < 𝑥 ₂ , tivermos 𝑓(𝑥 ₁ ) < 𝑓(𝑥 ₂ ) .

Quando f é crescente em todo seu domínio, dizemos, apenas, que f é crescente.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Definição: a função f : A→ B , definida por y = f (x) , é decrescente no conjunto 𝐴 ₂ ⊂ 𝐴 se, para dois valores

quaisquer, 𝑥 ₁ e 𝑥 ₂ de 𝐴 ₂ , com 𝑥 ₁ < 𝑥 ₂ , tivermos 𝑓(𝑥 ₁ ) >

𝑓(𝑥 ₂ ) . Quando f é decrescente em todo seu domínio, dizemos, apenas, que f é decrescente.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Definição: a função f : A→ B , definida por y = f (x) , é

constante no conjunto 𝐴 ₃ ⊂ 𝐴 se, para dois valores quaisquer, 𝑥 ₁ e 𝑥 ₂ de 𝐴 ₃ , tivermos 𝑓(𝑥 ₁ ) = 𝑓(𝑥 ₂ ) . Quando f é

constante em todo seu domínio, dizemos, apenas, que f é constante.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

GRÁFICO E FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Definição: dizemos que uma função f : A→ B é par se, para todo x ∈ A, f (−x) = f (x) . Por outro lado, dizemos que uma função f : A→ B é ímpar se, para todo x ∈ A, f (−x) = − f (x) .

Como em uma função par as imagens de x e −x são iguais, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y . Por sua vez, para a função ímpar, as imagens de x e −x são opostas, e assim o gráfico é simétrico em relação a origem.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PARIDADE DE FUNÇÕES

Exemplo 21: seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 ² − 2. Temos que:

𝑓 𝑥 = 𝑥 ² − 2 𝑓 −𝑥 = (−𝑥) ² − 2

= 𝑥 ² − 2

= 𝑓 𝑥

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PARIDADE DE FUNÇÕES

Exemplo 22: seja a função 𝑔 𝑥 = ^𝑥

4 . Temos que:

𝑔 𝑥 = 𝑥 ³ 4 𝑔 −𝑥 = (−𝑥) ³

4

= − 𝑥 ³

= −𝑔(𝑥) 4

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

PARIDADE DE FUNÇÕES

Definição: uma função f é dita injetora se, para todo 𝑥 ₁ ∈ 𝐷(𝑓) e 𝑥 ₂ ∈ 𝐷(𝑓) , com 𝑥 ₁ ≠ 𝑥 ₂ , tivermos 𝑓(𝑥 ₁ ) ≠ 𝑓 𝑥 ₂ .

Logo, uma função é injetora quando elementos distintos do domínio estão associados a elementos distintos do

contradomínio. Pensando na representação de diagrama de flechas, a condição de injetividade se caracteriza pelo fato de nenhum elemento do contradomínio receber duas flechas.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA

Definição: uma função f é dita sobrejetora se, para todo y ∈ CD( f ) , existe x ∈ D( f ) tal que y = f (x) . Em outras

palavras, f é sobrejetora se, e somente se, Im( f ) = CD( f ) .

No diagrama de flechas de uma função sobrejetora, nenhum elemento do contradomínio fica sem receber uma flecha.

Note que essa condição de sobrejetividade não impede que um elemento do contradomínio receba mais do que uma

flecha; assim, uma função pode ser sobrejetora sem que seja injetora.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA

Definição: uma função é dita bijetora se for injetora e sobrejetora, simultaneamente.

A definição acima é equivalente a dizer que uma função f : A→ B é bijetora se, e somente se, para qualquer elemento y ∈ B , existe um único elemento x ∈ A tal que f (x) = y . Uma função bijetora representa uma relação biunívoca, também conhecida como relação um-a-um, entre o domínio e o

contradomínio.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA

Exemplo 26: sejam os conjuntos A = {1,2,3, 4} e B = {2,5,8,11}, e a função f : A→ B dada por f (x) = 3x −1.

Pelo diagrama de flechas é possível perceber que se trata de uma função injetora, pois nenhum elemento do

contradomínio recebe mais que uma flecha, e também

sobrejetora, pois nenhum elemento do contradomínio fica sem receber uma flecha. Logo, trata-se de uma função

bijetora.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA

Definição: seja a função f : A→ B , consideram-se as retas horizontais por (0, y) , com y ∈ B :

1. se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então a função é injetora;

2. se toda reta corta o gráfico, então a função é sobrejetora;

3. se toda reta corta o gráfico uma única vez, então a função é bijetora.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

TESTA DA RETA HORIZONTAL

É bijetora É injetora, mas não é sobrejetora

É sobrejetora, mas não é injetora

𝑦 = 2𝑥 𝑦 = 𝑥

+ 1

𝑦 = 𝑥

Definição: sejam as

funções f : A→ B e g : B→C. Chama-se função composta de g e f a

função h : A→C , em que h(x) = g( f (x)) para todo x∈ A. Denotamos a

composta de g e f por g ∘ f (lê-se

“g composta com f ”).

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO COMPOSTA

Exemplo 30: considere as funções 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 1 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 ² − 8𝑥 + 6. Vamos determinar algumas

composições:

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ² − 8𝑥 + 6

= 4 𝑥 ² − 8𝑥 + 6 + 1 = 4𝑥 ² − 32𝑥 + 25

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 4𝑥 + 1

= 4𝑥 + 1 ² − 8 4𝑥 + 1 + 6 = 16𝑥 ² − 24𝑥 − 1

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO COMPOSTA

Definição: dada uma função bijetora f : A→ B , dizemos que uma função g : B→ A é inversa de f se, para todos a ∈ A e b ∈ B tais que f (a) = b , tem-se que g(b) = a . Normalmente, denotamos a função inversa de f por 𝑓 ⁻¹ ; ou seja, 𝑓 ⁻¹ = g .

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INVERSA

Exemplo 31: seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 17. Vamos determinar a inversa de f .

1. Escrevemos a expressão da função apresentando as variáveis:

𝑦 = 2𝑥 − 17

2. Invertemos as variáveis independentes 𝑥 e dependente 𝑦 de lugar:

𝑥 = 2𝑦 − 17

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INVERSA

Exemplo 31: seja a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 17. Vamos determinar a inversa de f .

3. Por fim, isolamos a nova variável dependente 𝑦 : 𝑥 = 2𝑦 − 17

2𝑦 = 𝑥 + 17 𝑦 = 𝑥 + 17

2 Portanto, 𝑓 ⁻¹ 𝑥 = ^𝑥+17 ₂

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INVERSA

Pela definição de função inversa, identificamos uma

propriedade importante: se 𝑓 ⁻¹ é a função inversa de f , então

𝑓 ⁻¹ ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑓 ∘ 𝑓 ⁻¹ 𝑥 = 𝑥

Ou seja, compor uma função com a sua inversa nos dá a

chamada função identidade, em que cada x está associado a ele mesmo; isso porque a função f associa qualquer

elemento a de seu domínio com um elemento b = f (a) do contradomínio, e a função 𝑓 ⁻¹ associa b ao elemento a, então 𝑓 ⁻¹ 𝑏 = 𝑓 ⁻¹ 𝑓 𝑎 = 𝑎.

Unidade 1 – RELAÇÕES E FUNÇÕES

FUNÇÃO INVERSA