Determinado: 1 solução Indeterminado: soluções

SISTEMAS LINEARES

Um sistema linear ´ e um conjunto de m equa¸c˜ oes lineares a n inc´ ognitas. Resolver um sistema linear significa encontrar os valores das vari´ aveis que satisfazem a todas as equa¸ c˜ oes. Dois sistemas s˜ ao equivalentes se tˆ em a mesma solu¸ c˜ ao.

Um sistema pode ser:

* Poss´ıvel (∃ solu¸ c˜ ao)

Determinado: 1 solu¸ c˜ ao Indeterminado: ∞ solu¸ c˜ oes Imposs´ıvel ( @ solu¸c˜ ao)

compat´ıvel = poss´ıvel

Algumas situa¸c˜ oes podem ser escritos na forma de um sistema linear.

Exemplo 1 H´ a 5 anos a idade de Jo˜ ao (J ) era o dobro da idade de Maria (M ). Daqui a 5 anos a soma das idades ser´ a 65 anos.

Idade atual Jo˜ ao: J Maria: M H´ a 5 anos Jo˜ ao: J – 5 Maria: M – 5

Pelo enunciado: J − 5 = 2 (M − 5) ⇒ J − 5 = 2M − 10 ⇒ J − 2M = −5

Daqui 5 anos Jo˜ ao: J + 5 Maria: M + 5

Pelo enunciado: J + 5 + M + 5 = 65 ⇒ J + M = 55

Das duas equa¸ c˜ oes, temos

J − 2M = 5

J + M = 55 , que ´ e um sistema linear de 2 equa¸ c˜ oes a 2 inc´ ognitas.

Nesta situa¸ c˜ ao, podemos querer saber quantos anos Jo˜ ao ´ e mais velho que Maria. Se soubermos a idade dos dois, este problema estar´ a resolvido. Os sistemas podem ser resolvidos por diferentes m´ etodos. Alguns exemplos:

Pelo m´ etodo da adi¸ c˜ ao:

J − 2M = −5 (-1) J + M = 55 = ⇒







−J + 2M = 5 J + M = 55 3M = 60

⊕ ⇒ M = 20

Sendo J + M = 55, teremos J = 55 − M = 55 − 20 ⇒ J = 35. E portanto, a resposta do problema ´ e 35 − 20 = 15 anos.

Pelo m´ etodo da substitui¸ c˜ ao: de J + M = 55 temos J = 55 − M . Substituindo em J − 2M = −5, teremos 55 − M − 2M = −5 ⇒ −3M = −60 ⇒ M = 20. Substituindo em J = 55 − M , teremos J = 35.

Sistemas lineares e matrizes

Um sistema linear de n equa¸c˜ oes a n inc´ ognitas pode ser representada por uma equa¸ c˜ ao matricial.

Exemplo 2

x + y = 10

4x − y = 25 pode ser representada por A × X = B, onde

↓ X = matriz das vari´ aveis 1 1

4 −1

x y

= 10

25

← B = matriz dos termos independentes

↑ A = matriz dos coeficientes

Matriz completa:

1 1 10 4 −1 25

REGRA DE CRAMER Se um sistema linear de n equa¸ c˜ oes em n vari´ aveis x 1 , x 2 , ..., x n ´ e equivalente ` a equa¸ c˜ ao matricial AX = B, e se |A| 6= 0, ent˜ ao as solu¸ c˜ oes s˜ ao dadas por

x ₁ = |A _x

₁

|

|A| , x ₂ = |A _x

₂

|

|A| , ..., x _n = |A _x

_n

|

|A|

onde A _x

_i

s˜ ao as matrizes obtidas trocando a i-´ esima coluna de A pela matriz coluna B.

Exemplo 3 S :

x + y = 10 4x − y = 25

1 1 4 −1

× x

y

= 10

25

1 1

4 −1

= −5 6= 0

Pela Regra de Cramer, x = |A _x |

|A| =

10 1 25 −1

−5 = −35

−5 = 7 e y = |A _y |

|A| =

det 1 10 4 25

−5 = −15

−5 = 3

Exemplo 4 S :







x − y + 2z = 3 x + 2y − z = −3 2y − 2z = 1

A =





1 −1 2

1 2 −1

0 2 −2



 det A = 0 ⇒ imposs´ıvel determinar pelo m´ etodo de Cramer.

Exemplo 5 Andr´ e, Bento e Carlos tˆ em, juntos, 41 anos. Calcular as idades de cada um sabendo que Bento ´ e 3 anos mais velho que Andr´ e e Carlos ´ e 4 anos mais jovem que Andr´ e.

Sendo







x = Andr´ e y = Bento z = Carlos

, temos o sistema







x + y + z = 41 y = x + 3 z = x − 4

ou







x + y + z = 41

−x + y = 3

−x + z = −4

Representa¸ c˜ ao matricial:





1 1 1

−1 1 0

−1 0 1





| {z }

A



 x y z





| {z }

X

=



 41

3

−4





| {z }

B

det A = 3 ⇒ o sistema ´ e poss´ıvel

x = |A _x |

|A| =

41 1 1 3 1 0

−4 0 1

3 = 42

3 = 14 y = |A _y |

|A| =

1 41 1

−1 3 0

−1 −4 1

3 = 51

3 = 17

z = |A _z |

|A| =

1 1 41

−1 1 3

−1 0 −4

3 = 30

3 = 10 Isto ´ e,







x = Andr´ e = 14 anos y = Bento = 17 anos z = Carlos = 10 anos EXERC´ ICIOS

1. Atualmente, a idade da m˜ ae (M) ´ e a idade do filho (F) mais 21. Daqui 6 anos, idade do filho ser´ a a quinta parte da idade da m˜ ae. Onde est´ a o pai? Sugest˜ ao: calcule a idade do filho, pelo m´ etodo da substitui¸c˜ ao.

2. Em uma empresa trabalham dois funcion´ arios. No final de 30 dias, o primeiro recebeu R$ 1200,00 e mais 6 cestas b´ asicas (C) e o segundo recebeu $ 1500,00 e mais 2 cestas b´ asicas. Qual o valor de cada cesta b´ asica e quanto recebeu cada funcion´ ario por dia (D = di´ aria). Resolva por adi¸c˜ ao.

3. Resolver os sistemas lineares abaixo pela Regra de Cramer.

a)

−x + y = 8

2x + 3y = −1 b)

3x − y = −1

3x − y = −6 c)

2x − y = 6 3x − y = 6

 x + y + z = 0 

2x + 2y + 4z = 10 

x + 2y + 3z = 6

Resolver os problemas abaixo pelo M´ etodo de Cramer.

4. Calcular dois n´ umeros tais que a sua soma ´ e 29 e que o dobro do segundo ultrapassa o primeiro de 16.

5. Um analista de sistemas cobra R$ 90,00 por hora trabalhada e seu assistente R$ 25,00 por hora. Ao receberem a quantia de R$ 3.375,00, quantas horas cada um trabalhou, sabendo-se que o analista trabalhou 3 horas a mais do que o seu assistente?

6. Um empres´ ario foi informado que se comprasse 12 computadores (C) e 14 impressoras (I ), a compra custaria R$ 44.400,00; mas se comprasse s´ o 5 computadores e 3 impressoras a compra custaria R$ 16.800,00. Sendo a compra efetivada, quanto custaria cada computador?

RESPOSTAS:

1) F = − 3

4 2) C = 75; D = 55

3) a) x = −5; y = 3 b) imposs´ıvel c) x = 1; y = −6 d) x = −2; y = 3

2 ; z = 1 2 e) x = −5; y = 2; z = 4 f) x = y = z = 1

4) 14 e 15 5) 30 e 27 6) R$ 3.000 7) x = 13; y = 7

Matriz escalonada Para uma matriz estar na forma escalonada por linhas deve ter as seguintes caracter´ısticas:

a) Todas as linhas nulas devem estar na parte inferior da matriz.

b) Em cada linha n˜ ao nula, o primeiro elemento n˜ ao nulo ser´ a chamado elemento l´ıder. Na coluna do elemento l´ıder, todos os elementos abaixo dele devem ser iguais a zero.

Exemplos:





2 4 1

0 −1 2

0 0 3









3 5 2 1

0 −1 0 1

0 0 3 3









1 1 2 1 0 0 1 3 0 0 0 0













0 2 0 1 −1 3

0 0 −1 1 2 2

0 0 0 0 4 0

0 0 0 0 0 5







 Opera¸ c˜ oes elementares com as linhas das matrizes s˜ ao:

1) Trocar duas linhas [L i ←→ L j ] (i 6= j) 2) Multiplicar uma linha por k (k 6= 0) [k · L _i ]

3) Somar um m´ ultiplo de uma linha com outra [L _i + kL _j ]

Escalonar uma matriz ´ e transformar uma matriz em matriz escalonada utilizando as opera¸ c˜ oes elementares.

Exemplo 6









1 2 −4 −4 5

2 4 0 0 2

2 3 2 1 5

−1 1 3 6 5









L 2 − 2L 1 → L 2

L 3 − 2L 1 → L 3

L ₄ + L ₁ → L ₄

−−−−−−−−−−−−→









1 2 −4 −4 5

0 0 8 8 −8

0 −1 10 9 −5

0 3 −1 2 10









L 2 ↔ L 3

− −−−−− →









1 2 −4 −4 5

0 −1 10 9 −5

0 0 8 8 −8

0 3 −1 2 10









L 4 + 3L 2 → L 4

−−−−−−−−−−−→









1 2 −4 −4 5

0 −1 10 9 −5

0 0 8 8 −8

0 0 29 29 −5







 L 3 /8

− −− →









1 2 −4 −4 5

0 −1 10 9 −5

0 0 1 1 −1

0 0 29 29 −5









L ₄ − 29L ₃ → L ₄

− −−−−−−−−−−− →









1 2 −4 −4 5

0 −1 10 9 −5

0 0 1 1 −1

0 0 0 0 24









Exemplo 7





2 2 −4 8

3 1 2 2

5 3 6 0



 L ₁ /2 → L ₁

−−−−−−−→





1 1 −2 4

3 1 2 2

5 3 6 0





L 2 − 3L 1 → L 2

L ₃ − 5L ₁ → L ₃

−−−−−−−−−−−−→





1 1 −2 4

0 −2 8 −10

0 −2 16 −20





L ₃ − L ₂ → L ₃

−−−−−−−−−−→





1 1 −2 4

0 −2 8 −10

0 0 8 −10





Sistemas escalonados Os sistemas lineares s˜ ao f´ aceis de solucionar se a matriz completa est´ a na forma escalonada. Utilizamos a substitui¸c˜ ao de tr´ as para frente para resolver o sistema.

Exemplo 8







x + 2y + z = 8 (Equa¸ c˜ ao 1) 2y − z = 1 (Equa¸ c˜ ao 2) 2z = 2 (Equa¸ c˜ ao 3)

Da Equa¸ c˜ ao 3: 2z = 2 ⇒ z = 1.

Substituindo z = 1 na Equa¸ c˜ ao 2: 2y − 1 = 1 ⇒ 2y = 2 ⇒ y = 1.

Substituindo z = 1 e y = 1 na Equa¸ c˜ ao 1: x + 2 + 1 = 8 ⇒ x = 5.

O sistema acima ´ e equivalente ao sistema







2x + 2y − 4z = 8 3x + y + 2z = 2 5x + 3y + 6z = 0

. Isto ´ e, possuem a mesma solu¸ c˜ ao.

O M ´ ETODO DE ELIMINAC ¸ ˜ AO DE GAUSS (por escalonamento)

1) Escrever a matriz completa do sistema;

Exemplo 9







x + y + z = 3 2x + 3y + z = 5 x − y − 2z = −5





1 1 1 3

2 3 1 5

1 −1 −2 −5





−2L ₁ + L ₂ → L ₂

−L ₁ + L 3 → L 3

−−−−−−−−−−−−−−→





1 1 1 3

0 1 −1 −1

0 −2 −3 −8



 2L ₂ + L ₃ → L ₃

−−−−−−−−−−−→





1 1 1 3

0 1 −1 −1

0 0 −5 −10





O sistema que corresponde ` a matriz escalonada ´ e







x + y + z = 3 y − z = −1

−5z = −10 . Usando a substitui¸ c˜ ao de tr´ as para frente, temos:







−5z = −10 ⇒ z = 2 y − 2 = −1 ⇒ y = 1 x + 1 + 3 = 3 ⇒ x = 0

que ´ e a solu¸ c˜ ao do sistema linear inicial.

Exemplo 10 Resolver o sistema:







x − y − z + 2t = 1 2x − 2y − z + 3t = 3

−x + y − z = −3





1 −1 −1 2 1

2 −2 −1 3 3

−1 1 −1 0 −3





−2L ₁ + L 2 → L 2

L ₁ + L ₃ → L ₃

−−−−−−−−−−−−−−→





1 −1 −1 2 1

0 0 1 −1 1

0 0 −2 2 −2



 2L ₂ + L ₃ → L ₃

−−−−−−−−−−−→





1 −1 −1 2 1

0 0 1 −1 1

0 0 0 0 0





O sistema que corresponde ` a matriz escalonada ´ e

x − y − z + 2t = 1 z − t = 1 .

Usando a substitui¸ c˜ ao de tr´ as para frente, z = 1 + t e x = 1 + y + (1 + t) − 2t = 2 + y − t.

Para cada par de valores atribu´ıdos para y e t, teremos uma solu¸ c˜ ao. Como exemplos:

para y = 0 e t = 0, teremos z = 1 e x = 2 para y = 0 e t = 1, teremos z = 2 e x = 1

Os valores de z e x dependem dos valores de y e t. Por esta raz˜ ao, as vari´ aveis y e t s˜ ao chamadas vari´ aveis dependentes e y e t, vari´ aveis livres (podem assumir qualquer valor). Na matriz escalonada h´ a 2 linhas n˜ ao nulas (dizemos que o posto da matriz ´ e 2). Num sistema de n vari´ aveis, o n´ umero de vari´ aveis livres ´ e n − posto. Isto indica que, neste exemplo, temos 4 − 2 = 2 vari´ aveis livres.

OBS 1 Se det A = 0 ⇒ sistema ´ e imposs´ıvel ou indeterminado.

OBS 2 Um sistema ´ e homogˆ eneo se todas as equa¸ c˜ oes apresentam o segundo membro igual a zero.

EXERC´ ICIO Resolva o sistema de equa¸ c˜ oes usando o m´ etodo de elimina¸c˜ ao de Gauss e classifique:

1)

x + y = 10

4x − y = 25 2)







x + y + z = 0 x − y + z = 0 x − y − z = 0

3)







x + y + z = 1 2x + y + 2z = 0 x + 2y + 2z = 1

4)







2x + 4y = 0 3x + 6z = 9

−x + 2y = 2

5)







2x − 3y + 4z = 8 x − 2y + z = 3 4x − 7y + 6z = 15

6)







x + y − z = 2 2x + 3y + z = 6

−x − y + z = −2

7)







x + 2y − z = 4 2x + 4y − 2z = 8 3x + 6y − 3z = 12 RESPOSTAS

1) y = 3

x = 7 2)

z = 0 y = 0 x = 0

3)

z = −2 y = 2 x = 1

4) z = 2 y = 0, 5 x = −1

5) @ 6) y = −3z + 2

x = 4z 7) x = −2y+z+4

Discuss˜ ao de sistemas

Discutir um sistema ´ e estudar para que valores de um ou mais parˆ ametros ele ´ e poss´ıvel determinado, poss´ıvel indeterminado ou imposs´ıvel.

Exemplo 11 Discutir, em fun¸ c˜ ao de a, os sistemas:

a)

x − y = 2 ay = 1 Se a = 0,

x − y = 2

0y = 1 ⇒ imposs´ıvel Se a 6= 0,

x − y = 2 ⇒ x = 1/a + 2

ay = 1 ⇒ y = 1/a ´ e poss´ıvel determinado Logo, o sistema ´ e

imposs´ıvel, se a = 0

poss´ıvel determinado, se a 6= 0 b)

x − y = 2 ay = 0 Se a = 0,

x − y = 2 ⇒ x = y + 2 indeterminado

0y = 0 Se a 6= 0,

x − y = 2 ⇒ x = 2

ay = 0 ⇒ y = 0 ´ e determinado Logo, o sistema ´ e

poss´ıvel indeterminado, se a = 0 poss´ıvel determinado, se a 6= 0

Exemplo 12 Discutir, segundo a, o sistema:







x + y − z = 2 y + z = 4 az = 4

imposs´ıvel, se a = 0

poss´ıvel determinado, se a 6= 0

Exemplo 13 Discutir, em fun¸ c˜ ao de k, o sistema:







x + y − z = 2 2x + 3y + z = 6

−x − y + kz = k − 3

Escalonando:





1 1 −1 2

2 3 1 6

−1 −1 k k − 3









1 1 −1 2

−3 −5 −3 −10 0 0 k − 1 k − 1





Da ´ ultima linha, (k − 1) z = k − 1. Logo,







se k 6= 1 ent˜ ao z = k − 1

k − 1 = 1 e o sistema ´ e determinado.

se k = 1 ent˜ ao 0z = 0 e o sistema ´ e indeterminado.

Exerc´ ıcio 1 Discutir, em fun¸ c˜ ao de k, os sistemas:

a)







x + y + z = 3 y + z = 10 kz = 7

b)







x − y + 3z = 10 2y − 3z = 4 kz = 0

c)







x + y + z = 3 2x + 3y + z = 0 3x + 4y + 2z = k d)







x + 2y + 4z = 0 x + 7y + 9z = k

−x + 3y + z = 0

e)







3x + 4y + 2z = 0 x + z = 2 kx + 2y = 1

f)







x + z = 80 y + z = 100

−kx + z = 80