Sumário
Introdução 1
1 Preliminares sobre mecanismos e leilões 3
1.1 Notação . . . 3
1.1.1 Taxa de cliques . . . 3
1.2 Informações e mecanismo de um leilão . . . 4
1.3 Objetivos de um leilão . . . 4
1.4 Dois exemplos de mecanismos . . . 4
1.5 Mecanismo Vickrey-Clarke-Groves . . . 5
2 Leilões simplicados para publicidade na internet 7 2.1 Introdução. . . 7
2.2 Formalização do problema . . . 7
2.3 Mecanismo próximo preço . . . 8
2.4 Mecanismo leilão gradual . . . 9
2.5 Exemplo utilizando o mecanismo leilão gradual . . . 10
2.6 Análise do mecanismo leilão gradual . . . 10
2.6.1 Exemplo das estratégias de um anunciante. . . 11
2.6.2 Prova de estratégia do mecanismo leilão gradual . . . 12
2.6.3 Leilão gradual é o único mecanismo à prova de estratégia . . . 13
2.7 Comparação entre o leilão gradual e o próximo preço . . . 14
2.7.1 As ofertas determinadas estão em equilíbrio . . . 15
2.7.2 Exemplos de ofertas em equilíbrio para o próximo preço . . . 17
3 Leilões com exclusividade para publicidade na internet 19 3.1 Introdução. . . 19
3.2 Formalização do problema . . . 19
3.3 Notação . . . 20
3.4 MecanismoVCG . . . 20
3.5 MecanismoGSP2D . . . 21
3.5.1 Eciência doGSP2D . . . 22
3.5.2 Lucro doGSP2D . . . 22
3.6 MecanismoN P2D . . . 22
3.6.1 Eciência doN P2D . . . 22
3.6.2 Lucro doN P2D . . . 22 i
ii SUMÁRIO
Referências Bibliográcas 23
Introdução
O crescimento da internet trouxe consigo uma variedade de problemas novos, muitos deles envolvendo aspectos de teoria dos jogos algorítmica. Essa área de pesquisa dedica-se a problemas que envolvem ciência da computação, teoria dos jogos, e teoria econômica. Neste trabalho estudaremos um tema da área de teoria dos jogos algorítmica conhecido como leilões para publicidade na internet.
Exemplos de problemas dentro desse tema podem ser encontrados em [AGM06,AMPP08,NRTV07].
Em sites com mecanismo de busca, quando uma busca por uma palavra chave é realizada por um usuário de internet (usuário), o resultado da busca é exibido. Além do resultado da busca, propagandas associadas à palavra chave são exibidas em locais especícos da página da internet (locais), pré-determinados pelo dono da página (leiloeiro). Em muitas situações pode-se considerar que existem locais da página que têm maior visibilidade para os usuários, por exemplo, os locais mais próximos ao topo da página. Por isso, é importante que se utilize algum método para escolher qual propaganda será alocada a cada local, e também o preço que o anunciante daquela propaganda deverá pagar por isso. O processo de determinação de quais propagandas serão exibidas, e seus respectivos preços e locais, é feito através de um leilão dentre os anunciantes interessados. Para isso, o dono da página deve especicar as regras do leilão, formadas pelas informações necessárias para a realização do leilão e pelo mecanismo que processará essas informações. Em seguida, os anunciantes interessados em ter suas propagandas exibidas na página podem informar suas ofertas ao dono da página.
Em 1994 eram negociadas verbalmente quais propagandas seriam exibidas em algumas páginas da internet, e era utilizado o pagamento por impressão, de forma que os anunciantes pagavam uma quantidade xa de dinheiro a cada mil vezes que suas propagandas eram exibidas nos sites com os quais eles tinham feito acordos.
Em 1996 surgiu também o conceito de pagamento por conversão, onde os sites exibiam anúncios de produtos como livros ou CDs de lojas, e se um usuário comprasse os produtos das lojas através desses anúncios, então as lojas pagavam aos sites uma quantia. Uma generalização do pagamento por conversão é o pagamento por ação, onde o anunciante especica uma ação, por exemplo preecher um formulário, e se um usuário clica em sua propaganda e depois executa essa ação, então o anunciante irá pagar ao dono do site pela sua propaganda.
Em 1997, já utilizando-se um mecanismo automático para determinar os anunciantes que seriam exibidos na página, foi introduzido o pagamento por clique, e os anunciantes passaram a pagar apenas quando seus anúncios recebiam um clique de um usuário. Uma das principais vantagens do pagamento por clique sobre o pagamento por impressão é a precisão de atingir os usuários certos. Para um usuário que faz uma busca por muitas palavras, ou palavras que possuem mais de um signicado, podem ser exibidas propagandas que não atraem a atenção do usuário, e este só clicará de fato nas propagandas que o interessam. Por isso o pagamento por clique é muito usado atualmente e é também a forma de pagamento utilizada nos problemas estudados neste trabalho.
Muitos trabalhos envolvendo aspectos desse problema têm sido estudados nos últimos anos. Um dos motivos para isso é que é muito difícil modelar o comportamento dos usuários de internet e dos anunciantes, sendo necessário estudar adaptações, simplicações e variantes do problema. Outro motivo se deve à grande quantidade de dinheiro envolvida em publicidade na internet. Por exemplo, o lucro obtido pela Google em 2004 através de tais leilões superou o valor de 3 bilhões de dólares, e acredita-se que o lucro da Yahoo nesse mesmo período foi de aproximadamente 1,75 bilhões do dólares [EOS05].
1
2 Introdução 0.0 Tanto o dono da página como muitos anunciantes têm interesse em maximizar seu lucro, e tais anunciantes são conhecidos como maximizadores de lucro. Existem também anunciantes que querem obter o melhor local da página possível que seja compatível com sua oferta, conhecidos como anunciantes de preço máximo. É favorável para o dono da página estabelecer regras para o leilão de forma a atrair muitos anunciantes, sem prejudicar os seus lucros. O foco deste trabalho é analisar essas regras, que são formadas pelas informações e mecanismo utilizados pelo leilão.
Capítulo 1
Preliminares sobre mecanismos e leilões
1.1 Notação
O número de anunciantes em um leilão será denotado por n, e denotamos cada anunciante por um número em [n] ={1,2, . . . , n}. Analogamente, o número de locais em um leilão será denotado pork, e cada local será denotado por um número em[k] ={1,2, . . . , k}.
Admitimos que cada anunciante i ∈ [n] é capaz de mensurar a quantidade de dinheiro que receberá caso sua propaganda seja exibida em um local da página (ou caso receba um clique). Esse valor é chamado de valor verdadeiro do anunciante i, e será denotado ao longo do trabalho porvi. Denotamos por pi o preço pago pelo anunciante i caso a sua propaganda seja exibida (ou receba um clique), caso contrário o preço pago pelo anunciante i é zero. A utilidade de um anunciante representa a sua satisfação diante da solução determinada pelo leilão (solução encontrada pelo mecanismo), e como nesse caso estamos considerando a utilização de dinheiro, a utilidade de um anunciante representa seu lucro. Dessa forma, muitas vezes denimos a utilidade de um anunciante icomo o valorui=vi−pi se sua propaganda for exibida, e ui = 0caso contrário.
Nos leilões estudados neste trabalho, os anunciantes devem informar ao leilão o valor máximo que estão dispostos a pagar caso sua propaganda seja exibida e receba um clique. Denotamos por mi o valor máximo declarado por um anunciante i. Ademais, consideraremos leilões onde o dono da página determina um valor mínimo de venda para cada localj∈[k]que será denotado por rj. 1.1.1 Taxa de cliques
Muitos mecanismos levam em consideração a popularidade de um anunciante para decidir quais anunciantes exibirá em uma busca. De fato, é de interesse para o dono da página que as propagandas exibidas sejam clicadas, ou ele não recebe por tais exibições. Por isso, é razoável que ele queira levar em conta tal popularidade das propagandas. Uma medida de popularidade é a chamada taxa de cliques de uma propaganda, e é uma tarefa do dono da página estimá-las. Isto é, estimar a fração de impressões (exibições) de uma propaganda em que ela recebe um clique, o que pode ser considerado como a frequência ou probabilidade de uma propaganda receber um clique.
A taxa de cliques de uma propaganda i exibida em um local j será denotada por ti,j, e nos modelos onde utilizam-se pagamento por clique denimos que a utilidade de um anuncianteiexibido no local j é ui =ti,j(vi−pi). Ou seja, sua utilidade é a utilidade que ele teria caso recebesse um clique vezes a probabilidade de receber um clique.
Para estimar o valor da taxa de cliques de uma propaganda, utilizam-se um dos seguintes métodos [IJMT05]:
• Média sobre uma janela de tempo: Fixada uma janela de tempo, sejam x ey o número de cliques que a propaganda recebeu e o número de impressões da propaganda, respectiva- mente, durante a janela de tempo xada. Dessa maneira, estimamos que a taxa de cliques da propaganda ét= xy.
3
4 PRELIMINARES SOBRE MECANISMOS E LEILÕES 1.4
• Média para um número xo de impressões: Fixado um número y, seja x a quantidade de cliques na propaganda para as últimas y impressões. Estimamost= xy.
• Média para um número xo de cliques: Fixado um númerox, sejaya menor quantidade de impressões mais recentes da propaganda onde tenham ocorrido exatamente x cliques.
Estimamost= xy.
Outros métodos podem ser utilizados para dar mais peso às impressões e cliques mais recentes, ou para estimar a taxa de cliques de um novo anunciante, que por sua vez não tem um histórico que possa ser utilizado para fazer as estimativas.
1.2 Informações e mecanismo de um leilão
As informações necessárias para a realização de um leilão são tipicamente os valores que se- rão usados para encontrar uma solução para o leilão. Alguns desses valores são pré-determinados pelo leiloeiro e são publicamente acessíveis pelos anunciantes, por exemplo, os valores mínimos de venda dos locais da página. Outros desses valores são revelados ao leiloeiro por cada anunciante e não são acessíveis aos demais anunciantes, por exemplo, os valores máximos que os anunciantes estão dispostos a pagar. Existem também valores que são intrínsecos a cada anunciante, e que não são revelados nem ao leiloeiro e nem aos demais anunciantes, por exemplo, o valor verdadeiro do anunciante.
Após denidas as informações que serão utilizadas pelo leilão, que formam uma instância do problema, é preciso denir como se alcançará uma solução para um leilão, o que será feito através de um mecanismo. Uma solução é constituída dos anunciantes que terão suas propagandas exibidas, os locais onde essas propagandas serão exibidas, e os preços que serão pagos pelos anunciantes caso suas propagandas recebam cliques. O mecanismo de um leilão é simplesmente um algoritmo que recebe uma instância como entrada, e devolve uma solução.
1.3 Objetivos de um leilão
O objetivo de cada anunciante é declarar um valor mi a chamada oferta do anunciantei que maximize a sua utilidade ao nal do leilão. Por isso o valormi declarado é chamado também de estratégia do anunciantei. Dizemos que uma estratégiami é dominante para um anuncianteise qualquer que seja a estratégia dos demais anunciantes, mi é uma oferta que maximiza a utilidade do anunciante i.
O leiloeiro por sua vez tem vários objetivos, que formalizaremos a seguir. Existem essencialmente dois tipos de leiloeiros: os que querem maximizar o bem-estar social (o governo em geral se encaixa nesta categoria) e os que querem maximizar o seu lucro (empresas como a Google, Yahoo e outras).
O bem estar social é representado pela soma dos valores verdadeiros dos anunciantes, enquanto que o lucro do leiloeiro é a soma dos preços pagos pelos anunciantes que participam do leilão. Neste trabalho estamos interessados em mecanismos adotados pelo segundo tipo de leiloeiros, ou seja, os que querem maximizar seu lucro.
Uma característica apreciada em leilões é que os anunciantes tomem como mi o seu valor verdadeirovi. Se os anunciantes zerem a escolha demi desta maneira, o leiloeiro tem mais controle sobre o leilão (pois tem informação de melhor qualidade sobre os anunciantes) e consegue ter uma ideia melhor de quão próximo está de seu objetivo. Assim, dizemos que um mecanismo é à prova de estratégia se, para todo anunciante i, vale que mi = vi é uma estratégia dominante ao utilizar esse mecanismo.
1.4 Dois exemplos de mecanismos
Consideremos um simples leilão com um único local da página a ser leiloado onde cada anunci- ante declara ao leilão o valor máximo que está disposto a pagar pelo local. Ou seja, considere um
1.5 MECANISMO VICKREY-CLARKE-GROVES 5 leilão onde o número de anunciantes é n > 1, o número de locais é k = 1, e os preços máximos dos anunciantes são dados por m={m1, m2, . . . , mn}. Sem perda de generalidade, considere que m1 ≥m2≥. . .≥mn.
Vamos analisar dois mecanismos para esse leilão que escolhem da mesma maneira o anunciante ganhador do único local, mas que diferem na determinação do preço que tal anunciante deve pa- gar. Em ambos os mecanismos apresentados a seguir, o anunciante ganhador é aquele que tiver o maior preço máximo, ou seja, o anunciante i = 1 é o ganhador. Utilizaremos o valor verdadeiro v={v1, v2, . . . , vn} dos anunciantes para realizar a análise, onde vi representa o lucro do anunci- ante icaso sua propaganda seja exibida.
Leilão do primeiro preço com lance selado
O preço determinado pelo mecanismo do primeiro preço ao anunciante ganhador é igual à sua oferta, ou seja, p1 = m1. Dessa forma, sua utilidade vale u1 = v1 −m1, e a utilidade dos demais anunciantes vale zero. Seria de grande interesse tanto para os anunciantes quanto para o leiloeiro que, para cada anunciante i, determinar o valor ótimo parami fosse uma tarefa fácil. Porém, este mecanismo não permite que os anunciantes tenham uma estratégia dominante, e consequentemente não é à prova de estratégia. De fato, ao pagar o preço p1 = m1, o anunciante pode não estar maximizando sua utilidade, quando xadas as ofertas dos demais anunciantes. Seria necessário para o anunciante1saber (ou estimar através de especulações) o valor das ofertas dos outros anunciantes para conseguir maximizar sua utilidade declarando um valor tão baixo quanto possível mas ainda suciente para ganhar o leilão.
Leilão do segundo preço com lance selado
O preço determinado pelo mecanismo do segundo preço ao anunciante ganhador é igual à se- gunda maior oferta, ou seja,p1 =m2. Nesse caso, uma estratégia dominante para cada anunciante é declararmi=vi. Dessa forma, para um anunciante que declarami=vi, quaisquer que sejam as ofertas dos demais anunciantes, não existem0i6=mi tal que o anuncianteiaumentaria sua utilidade se tivesse declaradom0i em vez demi. Segue uma demonstração dessa armação.
Primeiro, considere queié o anunciante ganhador quando declarami=vi, e consequentemente tem utilidade maior ou igual a zero. Logo, caso o anunciante tivesse declarado um valor mi > vi, então a sua utilidade não se alteraria, pois ele continuaria sendo ganhador e pagando o mesmo preço;
e se declarassemi < vi, então o anuncianteiou continuaria sendo ganhador com a mesma utilidade, ou deixaria de ser ganhador, recebendo utilidade zero. Portanto o anuncianteinão tem incentivo em declararmi6=vi. Segundo, considere que inão é o anunciante ganhador quando declarami =vi, e dessa forma tem utilidade zero. Logo, caso o anuncianteitivesse declarado um valormi < vi, então ele continuaria sendo perdedor com utilidade zero; e se declarasse mi > vi, então o anunciante i ou continuaria sendo perdedor com utilidade zero, ou seria o ganhador, recebendo utilidade menor ou igual a zero, e portanto o anunciante inão tem incentivo em declarar mi 6=vi. Assim, declarar mi =vi de fato é uma estratégia dominante para todo anunciante i. Concluímos que o mecanismo do leilão do segundo preço é à prova de estratégia quando temos apenas um local a ser leiloado.
1.5 Mecanismo Vickrey-Clarke-Groves
Apresentaremos aqui as denições de um mecanismo Vickrey-Clarke-Groves, conhecido como VCG, que serão utilizadas mais adiante. Considere um leilão onde o conjunto de todas as possíveis soluções é dado porT, e para cada soluçãoS ∈T cada anunciantei∈[n]associa um valor verdadeiro vi(S). Por exemplo, nos exemplos acima, o valor verdadeirovi(S) de um anuncianteié vi se ele é ganhador na soluçãoS, e é zero caso contrário. Considere também a notaçãov−i que representa os valores verdadeiros de todos os anunciantes com exceção de i, isto é,(v1, v2, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn), e o análogo param−i.
6 PRELIMINARES SOBRE MECANISMOS E LEILÕES 1.5 Um mecanismo M é dito VCG se ele satisfaz duas condições. Seja S a solução obtida pelo mecanismoM para ofertas dos anunciantes, ou seja,S =M(m1, m2, . . . , mn). A primeira condição é que maximize o bem estar social dentre todas as possíveis soluções, ou seja, vale queP
i∈[n]vi(S)≥ P
i∈[n]vi(S0), para todo S0 ∈ T. A segunda condição é que o preço estipulado por M para um anuncianteiganhador deve ter a formapi =hi(m−i)−P
j6=ivj(S), ondehi é uma função que não depende da oferta do anunciante i, e será discutida mais adiante.
Dessa forma, todo mecanismo VCGé à prova de estratégia, incentivando os anunciantes a ofer- tarem seus valores verdadeiros. Segue uma demonstração dessa armação. Sejavio valor verdadeiro do anunciante i e vi0 6=vi um outro valor qualquer que ele poderia ter dado como oferta no lugar de vi, e considere xadas as ofertas m−i dos demais anunciantes. Seja S a solução encontrada pelo mecanismo VCG quando i declara vi e S0 a solução encontrada quando i declara v0i. Vamos mostrar que a utilidade do anunciante i ao declarar vi é maior ou igual à utilidade ao declarar vi0. A utilidade ao declarar vi é vi(S)−(hi(m−i)−P
j6=ivj(S)) enquanto a utilidade ao declarar vi0 é vi(S0)−(hi(m−i)−P
j6=ivj(S0)). Cancelando a funçãohi que tem o mesmo valor em ambas as soluções, obtemos diretamente quevi(S) +P
j6=ivj(S))≥vi(S0) +P
j6=ivj(S0), pelo fato que o mecanismo é VCG e portanto maximiza o bem estar social.
A escolha da funçãohi deve satisfazer duas propriedades. A primeira é que nenhum anunciante tenha utilidade negativa, o que é conhecido como racionalidade individual, caso contrário o anun- ciante não participaria do leilão. A segunda propriedade é que os preços determinados sejam todos não negativos. Uma escolha de hi que respeita essas duas propriedades é tomando-se hi como o maxS0∈T P
j6=i∈[n]vj(S0). Dessa forma, o preço pago pelo anuncianteié a diferença entre o bem es- tar social dos outros anunciantes com a participação do anuncianteino leilão, e sem a participação dele.
Capítulo 2
Leilões simplicados para publicidade na internet
2.1 Introdução
Este capítulo descreve o trabalho de Gagan Aggarwal, Ashish Goel e Rajeev Motwani [AGM06], um dos primeiros trabalhos publicados sobre o tema de leilões para publicidade na internet.
Em um leilão simplicado, cada anunciante deve informar ao leiloeiro apenas o valor máximo que está disposto a pagar caso um usuário clique em sua propaganda, o que é conhecido como pagamento por clique. Nesta versão do problema, há vários locais para propaganda na página e assume-se que quanto mais próxima do topo da página uma propaganda for exibida, maior será sua visibilidade para o usuário de internet. Ademais, por questões de simplicidade, e incentivo aos anunciantes, o leiloeiro estabelece que os anunciantes sejam ordenados conforme uma função de classicação denida por ele.
2.2 Formalização do problema
Neste problema, que chamaremos de leilão simplicado, abreviado para LS, utilizaremos a no- tação descrita previamente na seção 1.1, desconsiderando os preços mínimos. Há ainda duas infor- mações adicionais.
A primeira delas é uma informação relativa ao pagamento por clique. O leiloeiro deve estabe- lecer a taxa de cliques da propaganda do anunciante i ∈ [n] quando exibida no local j ∈ [k] da página, denotado porti,j. A taxa de cliques de uma propaganda é a fração de impressões (exibições) dessa propaganda em que ela é clicada. Como os locais do topo da página têm maior visibilidade, assumimos que ti,j ≥ti,j+1>0, para1≤j < k, e consideramos que ti,j = 0, paraj > k.
A segunda delas é a função de classicação, utilizada pelo leiloeiro, dada por um vetor de pesos w = (w1, w2, . . . , wn). O valor wi indica a importância do anunciante i para o leilão. A função de classicação é usada para estabelecer uma ordem entre os anunciantes. Especicamente, dadas uma função de classicação w e a oferta mi de cada anunciante i ∈[n], exige-se que o mecanimo utilizado para encontrar uma solução para o leilão deve atribuir o primeiro local da página ao anunciante 1, o segundo local da página ao anunciante 2, e assim por diante, quando consideramos que os anunciantes estão ordenados de modo que w1m1 ≥w2m2 ≥ . . .≥ wnmn. As duas funções de classicação mais populares são:
• método Overture (direct ranking):w1= 1 para todo i∈[n].
• método Google (revenue ranking):wi=ti,1 para todo i∈[n].
Portanto, uma instância do problema do leilão simplicado consiste em (n, k, m, t, w), onde
• n é o número de anunciantes e [n] é o conjunto de anunciantes, e uma propaganda i ∈ [n]
refere-se à propaganda do anunciante i. 7
8 LEILÕES SIMPLIFICADOS PARA PUBLICIDADE NA INTERNET 2.3
• k é o número de locais da página e [k] é o conjunto de locais, ordenados decrescentemente pela visibilidade na página.
• m= (m1, m2, . . . , mn) é o vetor com o valor máximo (ou seja, a oferta) que cada anunciante está disposto a pagar por cada clique em sua propaganda.
• ti,j é a taxa de cliques da propaganda i quando exibida no local j da página, para todo par (i, j)∈[n]×[k].
• w= (w1, w2, . . . , wn), onde o número wi é um valor não negativo chamado de peso do anun- ciantei.
Dada uma instância (n, k, m, t, w), o problema do leilão simplicado consiste em determinar apenas o preço pi ≤ mi que será pago pelo anunciante i quando sua propaganda for clicada. Um anunciante ique tem sua propaganda exibida em um local j tem utilidade ui =ti,j(vi−pi), mas note que o valor verdadeiro vi do anunciante inão é revelado ao leiloeiro e será utilizado apenas para a análise dos mecanismos.
Ao longo de todo o capítulo, podemos assumir que k < n. Primeiro, porque se k > n, então podemos eliminar os locais de menor visibilidade, até que tenhamos k = n. Segundo, porque se k=n, então podemos adicionar um anunciante ctícion+1comvn+1=mn+1 =wn+1=tn+1,j = 0, para todo j ∈ [k]. A presença de tal anunciante não alterará a solução obtida pelos mecanismos apresentados neste trabalho, pois podemos assumis que ele sempre será classicado em último, e sua participação no leilão no alterará os preços determinados para os demais anunciantes.
2.3 Mecanismo próximo preço
Dada uma instância do leilão, o mecanismo próximo preço (next price aution) primeiramente realiza a classicação, ou seja, ordena os anunciantes decrescentemente por wimi. Em seguida, a determinação do preçopi para um anunciantei≤k que tem sua propaganda exibida é dada pelo menor valor quei poderia oferecer comomi tal quei manteria sua posição na ordenação denida pela função de classicação, ou seja, pi = wi+1wmi+1
i .
Como veremos logo adiante, esse simples mecanismo, que era usado pelo menos até o ano de 2006, não é à prova de estratégia. Por isso, Aggarwal et al. [AGM06,Agg05] propõem um novo mecanismo chamado leilão gradual (laddered auction), que é à prova de estratégia, e depois analisam o impacto no lucro do leiloeiro ao utilizar o leilão gradual em vez do próximo preço.
Considere uma instância (n, k, m, t, w) do leilão simplicado, com n≥3 e k ≥2, já ordenada conforme a função de classicação, ou seja, wimi ≥ wi+1mi+1, para 1 ≤ i < n. Para mostrar que o mecanismo próximo preço não é à prova de estratégia, basta mostrar que um anunciante i que oferece mi = vi pode oferecer mi 6= vi e aumentar sua utilidade. Suponha que o anunciante
` ofereceu m` = v`. Vamos mostrar que sob certas condições o anuciante ` pode aumentar sua utilidade ao declarar um valorm` 6=v`.
Primeiro, observe que o anunciante ` não tem incentivo em aumentar sua oferta para obter uma classicação melhor. Isso porque o anunciante`pagaria um valor maior ou igual ao seu valor verdadeiro, caso recebesse uma classicação melhor do que`. De fato, ao receber uma classicação j` < `, o anunciante ` pagaria wj`wm`j` ≥ ww`v`
` =v`. Logo, se ` é um anunciante que não tem sua propaganda exibida quando declaram` =v`, então`não tem incentivo em alterar sua oferta. Note também que se`=k, então `também não tem incentivo em alterar sua oferta. Portanto, se`≥k, então `não tem incentivo em ofertar um valor diferente de seu valor verdadeiro.
Porém, se ` < k e sob certas condições, o anunciante ` tem incentivo de diminuir sua oferta para receber uma posição pior na classicação e assim obter uma utilidade maior. Sabemos que a utilidade do anunciante ` quando declara m` = v` é t`,`(v` −p`), onde p` = ww`+1
` m`+1. Para que seja possível para o anunciante `diminuir sua oferta e obter uma utilidade maior é necessário que exista uma oferta que permita que o anunciante ` receba uma posição j` > `, ou seja, que
2.4 MECANISMO LEILÃO GRADUAL 9
wj`mj`> wj`+1mj`+1, e que ele tenha lucro com isso, ou seja, que t`,j`(v`−wj`+1
w`
mj`+1)> u`=t`,`(v`−p`) =t`,`(v`−w`+1 w`
m`+1).
Isolando mj`+1, podemos concluir que é vantajoso para o anunciante`oferecer um valor m` tal quewj`mj` > w`m`> wj`+1mj`+1, se
mj`+1 < w` wj`+1
v`− t`,`
t`,j` v`−wj` w` mj`
.
Vejamos como o anunciante `= 1pode se beneciar em um exemplo concreto. Considere uma instância com n = 3, k = 2, ti,1 = 0.5, ti,2 = 0.4, wi = 1, para 1 ≤i ≤ 3, com m1 = v1 = 200, m2 = 180,m3 = 100. Utilizaremos tabelas como abaixo para representar uma instância, utilizando o símbolo − para representar valores que não nos interessam.
Tabela 2.1: Taxa de cliques e utilização do mecanismo próximo preço.
i ti,1 ti,2 vi mi wi wimi pi ui
1 0.5 0.4 200 200 1 200 180 10
2 0.5 0.4 − 180 1 180 100 −
3 0.5 0.4 − 100 1 100 0 −
Nesse exemplo, o anunciante `= 1 pode alterar sua oferta m` para um valor entre 100 e 180, e assim receber a posição 2 na classicação, pagando apenas 100, e aumentando sua utilidade para0,4(200−100) = 40. Portanto, o mecanismo próximo preço não é à prova de estratégia. Note que, se o preço dado ao anunciante`= 1por estar na posição 1 da classicação fosse menor ou igual a 120, então ele não teria incentivo em alterar sua oferta, já que sua utilidade seria0,5(200−120) = 40 neste caso.
2.4 Mecanismo leilão gradual
Como o mecanismo próximo preço não é à prova de estratégia, cada anunciante, ao tentar determinar uma oferta de maneira a maximizar o seu lucro, acaba tendo que especular as ofertas dos demais anunciantes e as taxas de cliques. Isso nem sempre é uma tarefa fácil para os anunciantes, o que pode acabar afastando possíveis anunciantes, ou fazer com que estes contratem consultores para auxiliá-los. Por outro lado, ao utilizarmos um mecanismo à prova de estratégia, o processo de realização das ofertas dos anunciantes torna-se mais simples, porque o valor ótimo para suas ofertas passa a ser um valor intrínseco a cada anunciante. Com essa motivação, foi proposto na literatura o mecanismo leilão gradual, que poderá vir a substituir o mecanismo próximo preço.
Dada uma instância do leilão, o mecanismo leilão gradual primeiramente realiza a classicação, ou seja, ordena os anunciantes decrescentemente por wimi. Em seguida, a determinação do preço pi para um anunciantei≤kque tem sua propaganda exibida é
pi =
k
X
j=i
ti,j−ti,j+1 ti,i
wj+1 wi
mj+1.
Perceba que Pk j=i
t
i,j−ti,j+1
ti,i
= 1 e que wwj+1i mj+1 é não crescente. Logo, vale que o preço determinado pelo leilão gradual é menor ou igual ao preço determinado pelo próximo preço.
Após um pequeno exemplo ilustrativo do mecanismo leilão gradual, demonstraremos os seguintes teoremas, sendo que a denição de taxas de cliques separáveis será apresentada mais adiante na seção 2.7.
10 LEILÕES SIMPLIFICADOS PARA PUBLICIDADE NA INTERNET 2.6 Teorema 2.4.1 O mecanismo leilão gradual é à prova de estratégia e é o único mecanismo à prova de estratégia dentre os que ordenam os anunciantes conforme a função de classicação w.
Teorema 2.4.2 Existe um equilíbrio de Nash tal que o lucro do leilão ao usar o mecanismo próximo preço é igual ao lucro do leilão ao usar o mecanismo leilão gradual, se as taxas de cliques forem separáveis.
2.5 Exemplo utilizando o mecanismo leilão gradual
Vamos aplicar o mecanismo leilão gradual para a mesma instância mostrada anteriormente, onde o anunciante `= 1 tinha incentivo em diminuir sua oferta para aumentar sua utilidade quando o mecanismo utilizado era o próximo preço. Segue a tabela com os valores do exemplo anterior, e os preços obtidos agora pelo o mecanismo leilão gradual.
Tabela 2.2: Taxa de cliques e utilização mecanismo leilão gradual.
i ti,1 ti,2 vi mi wi wimi pi ui
1 0.5 0.4 200 200 1 200 116 42
2 0.5 0.4 − 180 1 180 100 −
3 0.5 0.4 − 100 1 100 0 −
Utilizando o mecanismo leilão gradual, o anunciante `= 1 não tem incentivo em diminuir sua oferta, pois ao receber a classicação 2 e preço igual a 100, sua utilidade seria de 40. Note também que o preço determinado para o anunciante 1 na posição 1 não é 120, o que deixaria a utilidade do anunciante 1 exatamente igual a 40. Isso porque o mecanismo não sabe o valor verdadeiro do anunciante 1, que poderia ser, por exemplo, 182. Se esse fosse o caso com o preçop1 = 116, mesmo assim o anunciante teria incentivo em oferecerm1=v1. Por outro lado, se o preçop1 determinado pelo mecanismo fosse p1 = 120, caso valesse que v1 = 182, então o anunciante 1 teria utilidade 31 na solução encontrada pelo mecanismo, tendo incentivo a receber a classicação 2 pelo preço 100, obtendo utilidade 32.
2.6 Análise do mecanismo leilão gradual
Mostraremos que o mecanismo leilão gradual é à prova de estratégia e, além disso, que é o único mecanismo à prova de estratégia que ordena os anunciantes conforme a função de classicação.
Considere uma instância do leilão (n, k, m, t, w), para um vetor m arbitrário. Vamos mostrar que o anunciante 1 não tem incentivo a escolher m1 6=v1. Como o anunciante 1 é um anunciante arbitrário, isso implica que o mecanismo é à prova de estratégia.
Seja j∗ a posição do anunciante 1 na classicação feita pelo mecanismo. Nas demonstrações a seguir iremos considerar que o anunciante 1 poderá alterar sua posição na classicação (alterando sua oferta m1) para tentar se beneciar. Por questão de conveniência e facilidade para realizar as demonstrações a seguir, considere que os demais anunciantes estão ordenados de modo que wimi ≥wi+1mi+1, para2≤i≤n.
Denotamos porpL(i)o preço dado ao anunciante 1 pelo mecanismo leilão gradual caso ele que na posição ida classicação, onde pL(i) = 0 parai > k, e para 1 ≤i ≤k, pela determinação de preços do leilão,
pL(i) =
k
X
`=i
t1,`−t1,`+1 t1,i
w`+1 w1 m`+1. Equivalentemente,
pL(i)t1,i =
k
X
`=i
t1,`−t1,`+1w`+1 w1
m`+1.
2.6 ANÁLISE DO MECANISMO LEILÃO GRADUAL 11
Disso podemos deduzir que
pL(i)t1,i−pL(i+ 1)t1,i+1=
t1,i−t1,i+1wi+1 w1
mi+1. (2.1)
Ademais, seja uL(i) =t1,i v1−pL(i)
a utilidade do anunciante 1 ao receber o local i, para 1≤i≤k, euL(i) = 0 parai > k.
2.6.1 Exemplo das estratégias de um anunciante Considere a instância descrita na tabela2.3 abaixo.
Tabela 2.3: Um exemplo.
i ti,1 ti,2 ti,3 mi wi wimi
1 0.5 0.25 0.2 40 50 2000
2 0.4 0.3 0.2 30 80 2400
3 0.35 0.2 0.15 35 40 1400 4 0.25 0.2 0.1 50 10 500
Neste exemplo,n= 4 ek= 3. Veja que o anunciante escolhido i= 1 receberia a classicação 2 durante a utilização do leilão gradual. Por outro lado, o anunciante 1 poderia ter feito uma outra oferta, o que faria com que ele pudesse receber uma outra classicação na ordenação por wimi
usada no mecanismo leilão gradual. Por exemplo, o preço dado ao anunciante 1 caso recebesse a classicação 3, ou seja, caso ele optasse porm1 tal que 500< w1m1 <1400(10< m1 <28), é
pL(3) =
3
X
j=3
t1,j−t1,j+1 t1,3
wj+1 w1 mj+1
=t1,3−t1,4 t1,3
w4b4 w1
= 10.0.
Analogamente, o preço dado ao anunciante 1 caso recebesse a classicação 2, ou seja, caso ele optasse por m1 tal que 1400< w1m1 <2400(28< m1<48), é
pL(2) =
3
X
j=2
t1,j−t1,j+1 t1,2
wj+1 w1
mj+1
= t1,2−t1,3 t1,2
w3m3
w1 +t1,3−t1,4 t1,2
w4m4 w1
= 5.6 + 8
= 13.6.
Analogamente, o preço dado ao anunciante 1 caso recebesse a classicação 1, ou seja, caso ele
12 LEILÕES SIMPLIFICADOS PARA PUBLICIDADE NA INTERNET 2.6 optasse por m1 tal que 2400< w1m1 (48< m1), é
pL(1) =
3
X
j=1
t1,j−t1,j+1 t1,1
wj+1 w1
mj+1
=t1,1−t1,2
t1,1
w2m2
w1 +t1,2−t1,3
t1,1
w3m3
w1 +t1,3−t1,4
t1,1
w4m4 w1
= 24 + 2.8 + 4
= 30.8.
Para determinar qual a melhor oferta que o anunciante 1 poderia ter dado, temos que considerar o valor verdadeiro do anunciante 1. Lembrando que pL(3) = 10, pL(2) = 13.60, pL(1) = 30.80, vejamos o que aconteceria com a utilidade do anunciante1em função do seu valor verdadeiro, dada uma classicação do anunciante, que depende de sua oferta.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
0 10 28 48
Utilidade do anunciante 1
Valor verdadeiro do anunciante 1
Utilidade do anunciante 1 dado seu valor verdadeiro e sua classificacao Classificacao 1 Classificacao 2 Classificacao 3 Classificacao 4
Observe que qualquer que seja o valor verdadeiro do anunciante 1, para obter a classicação que maximiza sua utilidade basta oferecer seu valor verdadeiro, ou seja, optar por m1 =v1 é uma estratégia dominante. Mostraremos que esse resultado é válido para uma instância qualquer.
2.6.2 Prova de estratégia do mecanismo leilão gradual
Para mostrar que o mecanismo leilão gradual é à prova de estratégia, basta mostrar que o anunciante1 não se benecia ao declarar um valorm1 6=v1. Note que a utilidade do anunciante 1 não depende diretamente do lance m1 dado, mas depende apenas de sua posição na classicação, dado que os lances dos outros anunciantes estão xos.
Se o anunciante 1 não for alocado ao declarar seu valor verdadeiro, ou seja, se j∗ > k, então ele não consegue se beneciar ao declarar um valor maior. Isso porque se j∗ > k, então ao obter a posição ko preço dado ao anunciante 1 é exatamente pL(k) = wk+1wmk+1
1 (e a variação de preço ao obter uma posição melhor é sempre não negativa). Como vale que w1v1 < wk+1mk+1 =w1pL(k), ao obter uma posição melhor ou igual ak, o anunciante 1irá pagar um preço maior que seu valor verdadeiro, obtendo utilidade menor que zero. Portanto, podemos nos restringir aos casos em que j∗≤k.
2.6 ANÁLISE DO MECANISMO LEILÃO GRADUAL 13 Dentre todas as posições onde a utilidade do anunciante 1 é a maior possível, tome r sendo a posição mais próxima da posiçãoj∗, ou seja, tome rtal que a diferença|r−j∗|é mínima. Suponha que o anunciante1possa se beneciar ao declararm16=v1, ou seja, temos quer 6=j∗. Mostraremos que se o anunciante se aproximar da posição j∗, sua utilidade não diminui, concluindo que essa suposição não é válida. Para isso, vamos mostrar que se r > j∗, então a variação em sua utilidade ao receber a posição r −1 é (t1,r−1−t1,r)(v1−wwr
1mr)≥0. Analogamente, se r < j∗, então a variação em sua utilidade ao receber a posiçãor+ 1é(t1,r+1−t1,r)(v1− wwr+1
1 mr+1)≥0.
Primeiramente, vamos vericar que a variação da utilidade do anunciante 1 pode ser expressa pelos valores mostrados acima, e depois vericaremos que essa variação é não negativa. Denote porδ(uL)(r, r−1) =uL(r−1)−uL(r)a variação da utilidade do anunciante ao trocar da posiçãor para a posiçãor−1. Dessa forma, temos que
δ(uL)(r, r−1) =t1,r−1(v1−pL(r−1))−t1,r(v1−pL(r))
= (t1,r−1−t1,r)v1−
pL(r−1)t1,r−1−pL(r)t1,r
= (t1,r−1−t1,r)v1−(t1,r−1−t1,r)wr w1
mr
(por (2.1))
= (t1,r−1−t1,r)
v1− wr
w1mr
. Ademais, temos que a variação na utilidade (t1,r−1−t1,r)(v1−wwr
1mr), no casor > j∗, é de fato não negativa pois vale quet1,r−1−t1,r ≥0devido à maior visibilidade dos locais que estão mais no topo da página, e comor > j∗, então vale quew1v1 ≥wrmr, e segue que v1−wwr
1mr≥0. Analogamente, a variação da utilidade ao trocar da posiçãor para a posiçãor+ 1é
δ(uL)(r, r+ 1) =t1,r+1(v1−pL(r+ 1))−t1,r(v1−pL(r))
= (t1,r+1−t1,r)v1+
pL(r)t1,r−pL(r+ 1)t1,r+1
= (t1,r+1−t1,r)v1+ (t1,r−t1,r+1) wr+1
w1 mr+1
(por (2.1))
= (t1,r+1−t1,r)
v1−wr+1 w1
mr+1 .
Neste caso também vale que a variação da utilidade é não negativa, pois vale quet1,r+1−t1,r ≤0 e quev1−wwr+1
1 mr+1 ≤0.
Apenas para ilustrar as contas demonstradas acima, podemos, por exemplo, vericar que ao trocar a posição do anunciante 1 de r= 3 para a posição r = 4, a variação na sua utilidade é de (t1,r+1−t1,r)
v1−wwr+1
1 mr+1
= (t1,4−t1,3)
v1−ww4
1m4
. Também podemos vericar que a vari- ação de utilidade ao trocar da posição r = 4 para a posição r = 3 tem o mesmo valor mas sinal contrário, dada por (t1,r−1−t1,r)
v1−wwr
1mr
= (t1,3−t1,4)
v1−ww4
1m4
. 2.6.3 Leilão gradual é o único mecanismo à prova de estratégia
SejaM um mecanismo para encontrar uma solução para o problema do leilão simplicado. Mos- traremos que seM é à prova de estratégia, entãoM deve determinar preços iguais aos determinados pelo mecanismo leilão gradual.
Como na seção anterior, xemos nossa atenção no anunciante 1, e suponhamos que w2m2 ≤
· · · ≤ wnmn. Denote por pM(j) o preço dado ao anunciante 1 pelo mecanismo M caso ele seja alocado a um local j qualquer, onde pM(j) = 0, para j > k. Analogamente, denote por uM(j) a utilidade do anunciante 1 quando alocado a um local j pelo mecanismo M. Vamos mostrar que seM é de fato à prova de estratégia, então vale que
pM(i) =pL(i). (2.2)
14 LEILÕES SIMPLIFICADOS PARA PUBLICIDADE NA INTERNET 2.7 parai= 1, . . . , k.
Fixe uma instância (n, k, m, t, w), exceto pelo valor de m1, e suponha que wimi > wi+1mi+1, para 2 ≤ i < n. Mostraremos, por indução em j, que vale que pM(j) = pL(j), para 1 ≤ j ≤ n. Como base da indução, para j > k, vale que pM(j) = pL(j) = 0. Tome j ≤ k, e por hipótese de indução suponha que pM(j+ 1) =pL(j+ 1).
Primeiramente, mostraremos que se o anunciante1 optar porm1=v1 obtendo o localj, então existev1tal que se valesse quepM(j)> pL(j), o anunciante1teria incentivo em diminuir sua oferta e receber o localj+ 1. Em seguida, mostraremos que se o anunciante1 optar porm1 =v1 obtendo o local j+ 1, então existe v1 tal que se valesse que pM(j) < pL(j), o anunciante 1 teria incentivo em aumentar sua oferta e receber o local j.
Suponha que v1 = wwj+1
1 mj+1+. Então ao oferecer m1 = v1, para um >0 sucientemente pequeno, o anunciante 1 recebe o localj. Se pM(j)> pL(j), então podemos escolher >0tal que δ(uM)(j, j+ 1) > 0, o que contraria o fato do mecanismo M ser à prova de estratégia. De fato, temos que
δ(uL)(j, j+ 1)−δ(uM)(j, j+ 1) =t1,j(pL(j)−pM(j)), ou seja,
δ(uM)(j, j+ 1) =δ(uL)(j, j+ 1) +t1,j(pM(j)−pL(j)).
Comoδ(uL)(j, j+ 1)pode ser arbitrariamente pequeno pela escolha de, sepM(j)> pL(j), existe >0 tal que o valor deδ(uM)(j, j+ 1) é positivo. Logo, deve valer que
pM(j)≤pL(j). (2.3)
Analogamente, suponha que v1 = wwj+1
1 mj+1 −. Então ao oferecer m1 = v1, para um >0 sucientemente pequeno, o anunciante 1 recebe o local j+ 1. Se pM(j)< pL(j), então podemos escolher >0 tal queδ(uM)(j+ 1, j)>0, o que contraria o fato do mecanismoM ser à prova de estratégia. De fato, temos que
δ(uL)(j+ 1, j)−δ(uM)(j+ 1, j) =t1,j(pM(j)−pL(j)), ou seja,
δ(uM)(j+ 1, j) =δ(uL)(j+ 1, j) +t1,j(pL(j)−pM(j)).
Comoδ(uL)(j+ 1, j)pode ser arbitrariamente pequeno pela escolha de , se pM(j)< pL(j), existe >0 tal que o valor deδ(uM)(j+ 1, j)é positivo. Logo, deve valer que
pM(j)≥pL(j). (2.4)
De (2.3) e (2.4) concluímos quepM(j) =pL(j). Logo, por indução, concluímos quepM(j) =pL(j) para todo j≤n.
2.7 Comparação entre o leilão gradual e o próximo preço
Nesta seção utilizaremos a denição de taxa de cliques separáveis. As taxas de cliques são ditas separáveis se existemµ1, µ2, . . . , µn>0relativos aos anunciantes eθ1≥θ2 ≥. . .≥θk>0relativos aos locais tais que a taxa de cliques ti,j do anunciante ino localj é dada por ti,j =µiθj.
Sabemos que o leilão gradual determina preços menores ou iguais aos preços determinados pelo mecanismo próximo preço para uma mesma instância. Portanto, para fazer uma comparação justa entre o lucro obtido pelo leiloeiro ao utilizar o mecanismo próximo preço e ao utilizar o mecanismo leilão gradual, utilizaremos uma instância para a qual temos um equilíbrio de Nash para o mecanismo
2.7 COMPARAÇÃO ENTRE O LEILÃO GRADUAL E O PRÓXIMO PREÇO 15 próximo preço, conforme descrito a seguir.
Dada uma instância (n, k,−, t, w) sem as ofertas dos anunciantes, determinaremos valores para as ofertas dos anunciantes de forma a obter um equilíbrio de Nash ao utilizar o mecanismo próximo preço. Ou seja, determinaremos valores para a oferta mi de cada anunciante i de forma que ne- nhum anunciante possa aumentar seu lucro ao alterar sua ofertami quando o mecanismo próximo preço é usado para determinar os preços. Mostraremos que o lucro obtido pelo leiloeiro ao utilizar o mecanismo próximo preço para essa instância é igual ao lucro obtido ao utilizar o mecanismo leilão gradual para a mesma instância, mas com mi =vi, para todo i∈[n].
Considere uma instância (n, k,−, t, w)do leilão simplicado sem as ofertas dos anunciantes, tal que viwi ≥vi+1wi+1, para 1≤ i < n. Considere que as taxas de cliques são separáveis, onde vale que ti,j =µiθj, para i∈[n]e j ∈[k]. Construíremos as ofertas dos anunciantes de forma a obter um equilíbrio de Nash para o mecanismo próximo preço da seguinte maneira. Primeiro, tomemos mi =vi parai= 1 e para i > k. Para i=k, k−1, . . . ,2, tomemos mi tal que
wimi = 1 θi−1
k
X
`=i−1
θ`−θ`+1
w`+1v`+1
(2.5)
Primeiramente, mostraremos que, para ofertas construídas conforme descrito em (2.5), o lucro do leiloeiro ao utilizar o mecanismo próximo preço é igual ao lucro do leiloeiro ao utilizar o mecanismo leilão gradual quando os anunciantes ofertam seus valores verdadeiros. Em seguida, mostraremos que as ofertas determinadas por (2.5) respeitam a função classicação e que de fato denem um equilíbrio de Nash.
Como o preço determinado pelo mecanismo próximo preço a um anunciante i≤k é wi+1wmii+1, então, por (2.5), vale quepi = θ1
i
Pk
`=i
θ`−θ`+1w`+1v`+1
wi
. Portanto, o preço determinado pelo mecanismo próximo preço quando as ofertas satisfazem (2.5) é igual ao preço determinado pelo mecanismo leilão gradual quando as ofertas são os valores verdadeiros dos anunciantes. Portanto, o lucro do leiloeiro é o mesmo em ambos os casos.
2.7.1 As ofertas determinadas estão em equilíbrio
Por (2.5) temos quewimi é uma combinação convexa dew`v`para`=i, i+ 1, . . . , k+ 1. Como vale que wjvj ≥ wj+1vj+1 para 1 ≤ j < n, temos que wivi ≥ wi+1mi+1. Além disso, de (2.5) deduzimos que
wimi = 1 θi−1
k
X
`=i−1
θ`−θ`+1
w`+1v`+1
= 1
θi−1
(θi−1−θi)wivi+
k
X
`=i
θ`−θ`+1
w`+1v`+1
!
=
1− θi
θi−1
wivi+
θi
θi−1
wi+1mi+1.
Logo,wimi é uma combinação convexa dewivi e wi+1mi+1, e portanto vale quewimi ≥wi+1mi+1
e as ofertas determinados por (2.5) respeitam a função de classicação.
Para vericar que as ofertas determinadas por (2.5) estão em equílibrio de Nash, basta mos- trar que nenhum anunciante consegue aumentar sua utilidade ao oferecer uma oferta diferente, considerando xadas todas as outras ofertas. Primeiro, veja que como vale que pi ≤ mi para um anunciante ganhador i≤k, nenhum anunciante ganhador tem incentivo em diminuir sua oferta a ponto de receber uma classicação pior do quek. Ademais, nenhum anunciantei > kperdedor tem incentivo em oferecer um valor suciente para receber uma posição melhor ou igual akdado que ele pagaria um valor maior do que seu valor verdadeiro. Portanto, podemos nos concentrar apenas nos anunciantes ganhadores que tentam receber um outro local da página para aumentar sua utilidade.
16 LEILÕES SIMPLIFICADOS PARA PUBLICIDADE NA INTERNET 2.7 Para um anunciante i≤kque oferta mi recebendo a posiçãoi, sua utilidade é
ui = µiθi(vi−pi)
= µiθi
vi−wi+1mi+1 wi
= µiθivi−µiθi wi
1 θi
k
X
`=i
θ`−θ`+1
w`+1v`+1
= µivi
k
X
`=i
θ`−θ`+1
− µi wi
k
X
`=i
θ`−θ`+1
w`+1v`+1
= µi
k
X
`=i
θ`−θ`+1
vi−w`+1v`+1 wi
.
Analogamente, a utilidade de um anunciante i ≤ k quando oferta um valor diferente de mi recebendo uma posiçãoj≤ké
ui = µiθi(vi−pi)
= µiθj
vi−wj+1mj+1 wi
= µiθjvi−µiθj wi
1 θj
k
X
`=j
θ`−θ`+1
w`+1v`+1
= µivi k
X
`=j
θ`−θ`+1
− µi
wi k
X
`=j
θ`−θ`+1
w`+1v`+1
= µi k
X
`=j
θ`−θ`+1
vi−w`+1v`+1 wi
.
Dessa forma, a alteração na utilidade de um anunciante i < k que oferta um valor diferente de mi recebendo uma posiçãoj tal que i < j≤ké
−µi
j−1
X
`=i
θ`−θ`+1
vi−w`+1v`+1 wi
.
Como vale queθ` ≥θ`+1para1≤`≤ke quev`w`≥v`+1w`+1 para1≤` < n, então essa variação na utilidade é não positiva.
Analogamente, a alteração na utilidade de um anunciante i≤k que oferta um valor diferente de mi recebendo uma posiçãoj tal que1≤j < i é
µi i−1
X
`=j
θ`−θ`+1
vi−w`+1v`+1
wi
.
Novamente, como vale que θ`≥θ`+1 para 1≤`≤k e quev`w` ≥v`+1w`+1 para1≤` < n, então essa variação na utilidade é não positiva.
Portanto, as ofertas determinadas por (2.5) de fato estão em equilíbrio quando utilizamos o mecanismo próximo preço. No entanto, podemos alcançar outros equilíbrios onde o lucro do leiloeiro é maior do que o lucro obtido por este equilíbrio, e ainda existem outros onde o lucro é menor.
2.7 COMPARAÇÃO ENTRE O LEILÃO GRADUAL E O PRÓXIMO PREÇO 17 2.7.2 Exemplos de ofertas em equilíbrio para o próximo preço
Considere um exemplo para o leilão simplicado com 3 anunciantes que têm valores verdadeiros v1 = 500, v2 = 480 e v3 = 100, com 2 locais na página, onde é utilizada a função de classicação revenue ranking, e que possui taxas de cliques separáveis tais que µ1 = µ2 = µ3 = 1 e θ1 = 0.2 e θ2= 0.15.
Ao utilizar o mecanismo próximo preço, se os anunciantes ofertarem seus valores verdadeiros, então o lucro do leiloeiro seria de15 + 96 = 111. Porém nesse caso ofertar o valor verdadeiro não é um equilíbrio.
Podemos atingir um equilíbrio nesse exemplo ao alterar a oferta do anunciante 1 param1 = 110, aumentando sua utilidade, de forma que o lucro do leiloeiro passaria a ser15 + 22 = 37. Podemos também atingir um equilíbrio nesse exemplo ao alterar a oferta do anunciante 2 para m2 = 200, obtendo um lucro para o leiloeiro de valor 15 + 40 = 55. Veja que se o anunciante 2 oferecer um valorm2 >200, então o anunciante 1 tem incentivo em diminuir sua oferta para receber a segunda classicação, caso contrário, ou seja m2 ≤200, então o anuciante 1 não se benecia ao receber a segunda classicação.
Veja que as ofertas em equilíbrio obtidas por (2.5) são m1 =v1,m3 =v3 e w2m2 = 1
0.2
(0.2−0.15)(0.2)(480) + (0.15−0)(0.2)(100)
= 24 + 15 = 39.
Assim, a ofertam2 é 195, e o lucro do leiloeiro é de 54, que é igual ao lucro do leiloeiro ao utilizar o leilão gradual quando os anunciantes oferecem seus valores verdadeiros. De fato, ao utilizar- mos o leilão gradual, obtemos os valores mostrados na tabela abaixo, onde o lucro do leiloeiro é 0.2(120 + 75) + 0.15(100) = 54.
Tabela 2.4: Utilizando o leilão gradual.
i ti,1 ti,2 vi wi wivi pi ui
1 0.2 0.15 500 0.2 100 120 + 75 61
2 0.2 0.15 480 0.2 96 100 57
3 0.2 0.15 100 0.2 20 0 0
18 LEILÕES SIMPLIFICADOS PARA PUBLICIDADE NA INTERNET 2.7
