Aula 00 Juros Simples

Aula 00 – Juros Simples

Matemática Financeira - SEFAZ MG (todos os cargos)

Prof. Arthur Lima

Sumário

SUMÁRIO ... 2

APRESENTAÇÃO ... 3

COMO ESTE CURSO ESTÁ ORGANIZADO ... 5

Introdução 6 Principais fórmulas de Juros Simples 8 Taxas proporcionais e equivalentes 12 Taxa média de diversas aplicações 16 Prazo médio de diversas aplicações 19 Juros exatos, comerciais e bancários 21 QUESTÕES DA BANCA FGV COMENTADAS ... 23

LISTA DE QUESTÕES ... 45

GABARITO ... 54

RESUMO DIRECIONADO ... 55

Apresentação

Olá, tudo bem? Sou o professor Arthur Lima. Seja muito bem-vindo a esse meu curso! Aqui na DIREÇÃO CONCURSOS sou responsável pelas disciplinas de Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística. Também sou um dos coordenadores do site.

Caso não me conheça, sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Fui aprovado nos concursos de Auditor-Fiscal e Analista-Tributário da Receita Federal, e exerci o cargo de Auditor por 6 anos. Antes, fui engenheiro na EMBRAER S/A por 5 anos.

Sou professor há 11 anos, sendo 4 em preparatórios para vestibular e 7 em preparatórios para concursos públicos. Ao longo deste tempo pude ver muitos alunos sendo aprovados nos concursos públicos mais disputados do país – e pude ver inúmeros alunos que tinham MUITA DIFICULDADE em exatas superarem o “trauma” e conseguirem excelentes desempenhos em suas provas. Espero que o mesmo aconteça contigo! Sempre me preocupo muito em atender os alunos com maior dificuldade, pois sei que o ensino de exatas no Brasil é muito ruim. Estaremos juntos nesta jornada até a sua APROVAÇÃO, combinado? E vamos encurtar este caminho!

É com MUITA ALEGRIA que inicio este curso de MATEMÁTICA FINANCEIRA. A programação de aulas, que você verá mais adiante, foi concebida especialmente para a sua preparação focada no concurso para todos os cargos do SEFAZ MG. Tomei por base o edital publicado em 30 junho de 2022, e cobriremos TODOS os tópicos exigidos pela banca FGV, banca do seu concurso, ok? Nada vai ficar de fora, este curso deve ser o seu ÚNICO material de estudo! E você também não perderá tempo estudando assuntos que não serão cobrados na sua prova. Deste modo, você aproveita o tempo da melhor forma possível, estuda de modo totalmente focado, e aumenta as suas chances de aprovação.

Neste material você terá:

Você nunca estudou MATEMÁTICA FINANCEIRA para concursos? Não tem problema, este curso também te atende. Nós veremos toda a teoria que você precisa e resolveremos centenas de exercícios para que você possa praticar bastante cada aspecto estudado. Minha recomendação, nestes casos, é que você comece

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Acesso direto ao professor

para você sanar suas dúvidas DIRETAMENTE conosco sempre que precisar

assistindo as videoaulas, para em seguida enfrentar as aulas em PDF. E fique à vontade para me procurar no fórum de dúvidas sempre que for necessário.

Caso você queira tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso, basta me enviar um email ou um direct pelo Instagram:

Conheça ainda as minhas outras redes sociais para acompanhar de perto o meu trabalho:

Como este curso está organizado

Como já adiantei, neste curso nós veremos EXATAMENTE o que foi cobrado no edital publicado dia 30 de junho de 2022. Os tópicos cobrados foram os seguintes:

SEFAZ MG – todos os cargos

MATEMÁTICA FINANCEIRA: 1. Juros simples. 2. Montante e juros. 3. Taxa real e taxa efetiva. 4. Taxas equivalentes. 5.

Capitais equivalentes. 6. Juros compostos. 7. Montante e juros. 8. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. 9. Capitais equivalentes. Capitalização contínua 10. Descontos: simples e composto. Desconto racional e desconto comercial 11.

Amortizações. Sistema francês. Sistema de amortização constante. Sistema misto. 12. Fluxo de caixa. Valor atual. Taxa interna de retorno.

Para cobrir este edital integralmente, o nosso curso está organizado da seguinte forma:

Aula Data Conteúdo do edital

00 06/07 Revisão de Matemática Básica em Vídeos

01 06/07 Juros simples. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes (demonstrativa)

02 20/07 Juros compostos. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes. Capitalização contínua

03 03/08 Descontos: simples, composto. Desconto racional e desconto comercial 04 17/08 Amortizações. Sistema francês. Sistema de amortização constante.

Sistema misto.

05 31/08 Valor atual.

06 14/09 Fluxo de caixa. Taxa interna de retorno.

Que tal já iniciarmos o nosso estudo AGORA? Separei um conteúdo muito útil para você nesta aula demonstrativa. Trata-se deste ponto aqui do edital:

Juros simples. Montante e juros. Taxa real e taxa efetiva. Taxas equivalentes. Capitais equivalentes.

Aproveito para lembrá-lo de seguir as minhas redes sociais e acompanhar de perto o trabalho que desenvolvo:

Introdução

Para começarmos a falar sobre juros, é fundamental você compreender que o dinheiro muda de valor ao longo do tempo. O que você prefere: receber 100 reais hoje ou receber este mesmo valor daqui a 1 ano?

Certamente você prefere receber hoje. Entre outros motivos, isto se deve ao fato de que os preços dos produtos costumam se elevar ao longo do tempo (é a chamada inflação), de modo que um produto que você pode comprar hoje com esses 100 reais provavelmente estará mais caro daqui a 1 ano. Mesmo que não queira comprar nada hoje, ainda assim você deve preferir receber o dinheiro o quanto antes. Afinal, uma vez recebendo-o, você pode colocá-lo em uma aplicação financeira (ex.: poupança) e, com isso, obter um rendimento ao longo deste período, de modo que daqui a 1 ano você terá MAIS que 100 reais.

Portanto, uma premissa que é a base da matemática financeira é a seguinte: as pessoas e as instituições do mercado preferem ADIANTAR os seus recebimentos e RETARDAR os seus pagamentos. Esta segunda parte também é bem intuitiva, não? Se você compra um tênis que custa 100 reais, você prefere pagar isto hoje ou pagar este mesmo valor daqui a 6 meses? Acredito que a sua resposta seja “daqui a 6 meses” (a menos que haja algum desconto no pagamento à vista). E isto é natural, afinal você pode deixar os seus 100 reais investidos na poupança, e daqui a 6 meses terá MAIS de 100 reais, de modo que conseguirá pagar o tênis e ainda sobrará uma graninha. É claro que algumas pessoas podem argumentar que preferem pagar logo para “se livrarem daquela dívida”. Mas esta é uma questão psicológica, que vai além da racionalidade da Matemática Financeira, ok? Do ponto de vista estritamente racional, é melhor pagar o mais tarde possível caso não haja incidência de juros (ou caso esses juros sejam inferiores ao que você pode ganhar aplicando o dinheiro).

A propósito, “Juros” é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”. Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros: juros simples e juros compostos.

Neste momento trataremos do regime simples, que é um regime de caráter mais teórico, sendo utilizado mais para fins didáticos do que para fins práticos. No dia-a-dia, a maioria das operações realizadas pelas instituições financeiras ocorrem segundo o regime de juros compostos (ex.: poupança, aplicação em CDB, compra de títulos públicos, empréstimos e financiamentos para casa própria etc.). Na prática, o regime de juros simples fica mais restrito a transações de curto prazo, onde os valores resultantes da aplicação de juros simples e compostos são muito próximos entre si. Nestas situações o regime simples fornece uma boa aproximação do regime composto, com cálculos matemáticos bem mais simples. Um exemplo de aplicação de juros simples é na fixação de multas por atraso no pagamento de boletos, quando a multa é definida como um valor fixo por dia de atraso. Exemplo:

Perceba que temos uma conta de R$100. Para cada dia de atraso é acrescido R$0,03,ou seja, temos uma taxa de juros simples de ^0,03₁₀₀ = 0,03% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎. Além disso, temos uma multa fixa de R$4,00 neste exemplo.

Veja como essa noção teórica já foi exigida em prova:

UFG – Analista Fiscal – 2012) Os juros simples em função de suas restrições técnicas têm aplicações práticas bastante limitadas. São raras as operações financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros, conforme o regime de capitalização linear. O uso de juros simples se restringe, principalmente, às operações praticadas no âmbito do

(A) ambiente inflacionário.

(B) curto prazo.

(C) mercado de capitais.

(D) cenário econômico.

RESOLUÇÃO:

Como vimos, o regime de juros simples não tem grandes aplicações na prática, tendo principalmente a função didática e teórica. No dia-a-dia eles acabam sendo utilizados em operações de curto prazo, justamente porque para prazos curtos não há grande diferença entre os valores resultantes da aplicação de juros simples e compostos. Soma-se a isso a maior facilidade de realização de cálculos com juros simples. Assim, podemos marcar a alternativa B. Infelizmente não cabe grandes explicações sobre as demais alternativas. As letras A, C e D apresentam situações em que comumente se utiliza juros compostos (cálculos com inflação, no mercado financeiro e na simulação de cenários econômicos, isto é, nas atividades típicas das instituições financeiras).

Resposta: B

Principais fórmulas de Juros Simples

Vamos trabalhar com o cenário em que você, concurseiro “liso” , foi ao banco e contratou um empréstimo. Suponha que ficou combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão cobrados “juros sobre juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você pegou um capital (ou principal) de R$1.000,00 emprestados com o banco a uma taxa de juros simples de 10%

ao mês, para pagar após 4 meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final dos 4 meses?

Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10% de 1000, ou seja, mais 100 reais. Note que os juros foram calculados novamente sobre o capital inicial. Ao final do terceiro e quarto meses, serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 4 meses você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 4 parcelas de 100 reais, totalizando R$1400. Temos a seguinte situação:

Mês Dívida

0 (início) R$1.000

1 R$1.000 + R$100

2 R$1.000 + R$200

3 R$1.000 + R$300

4 (final) R$1.000 + R$400 = R$1.400

Do valor final (R$1.400), note que 400 reais se referem aos juros (“preço” que você paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 4 meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da dívida, isto é, o capital inicialmente obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo:

=  +  (1 )

M C j t

(leia: o montante final é igual ao capital inicial multiplicado por 1 mais o produto entre a taxa e o prazo)

Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros (10% ao mês), t é o período analisado (4 meses), e M é o montante (valor total) devido ao final dos “t” períodos. Observe que a taxa de juros e o período analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste caso, ambos se referem a meses). Se elas não estiverem na mesma unidade temporal, o primeiro passo da resolução deve ser a uniformização destas unidades, como veremos mais adiante neste curso. Usando a fórmula, temos:

=  +  (1 )

M C j t

M = 1000 x (1 + 10% x 4) M = 1000 x (1 + 40%) M = 1000 x (1 + 40/100)

M = 1000 x (1 + 0,40) M = 1000 x (1,40)

M = 1400 reais

LEMBRETE DE MATEMÁTICA BÁSICA

No cálculo 1 + 10% x 4, você SEMPRE deve resolver primeiro a multiplicação (10% x 4 = 40%, ou simplesmente 0,40) para DEPOIS resolver a soma (1 + 0,40 = 1,40), ok?

Pratique a fórmula básica de juros simples resolvendo o exercício introdutório abaixo.

FCC – TRE/SP – 2017) Demitido da empresa em que trabalhava, o senhor Felizardo investiu a indenização recebida no Banco Regional da Fazenda. O valor a ser resgatado, após oito meses de aplicação, é de R$ 210.000.

Considerando-se que a taxa de juros simples é de 5% ao mês, o valor da aplicação, em reais, foi de (A) 140.000.

(B) 170.000.

(C) 60.000.

(D) 96.000.

(E) 150.000.

RESOLUÇÃO:

Temos um valor resgatado (montante final) de M = 210.000 reais, taxa de juros j = 5% ao mês, prazo de t = 8 meses. Na fórmula dos juros simples, podemos obter o capital inicial C:

M = C x (1 + jxt) 210.000 = C x (1 + 5%x8)

210.000 = C x (1 + 40%) 210.000 = C x (1 + 0,40) 210.000 = C x (1,40)

2.100.000 = C x 14 Podemos dividir ambos os lados por 7, ficando com:

300.000 = C x 2 150.000 = C Resposta: E

Veja ainda um tipo bem comum de questão de prova. Trata-se de situações onde você compra um produto à prazo, porém paga parte do valor à vista (no ato da compra). Vejamos:

FCC – TRE/PR – 2017) Uma geladeira está sendo vendida nas seguintes condições:

− Preço à vista = R$ 1.900,00;

− Condições a prazo = entrada de R$ 500,00 e pagamento de uma parcela de R$ 1.484,00 após 60 dias da data da compra.

A taxa de juros simples mensal cobrada na venda a prazo é de (A) 6,00% a.m.

(B) 1,06% a.m.

(C) 2,96% a.m.

(D) 0,53% a.m.

(E) 3,00% a.m.

RESOLUÇÃO:

O preço de referência da geladeira deve ser sempre o preço à vista, ok? Ou seja, o valor da geladeira é de 1900 reais. Como nós pagamos 500 reais à vista (“entrada”), qual é a nossa dívida ao pisar fora da loja? Ora, é de 1900 – 500 = 1400 reais. Esta é a dívida inicial, isto é, C = 1400 reais. Após t = 2 meses (sessenta dias) nós deveremos pagar o montante final M = 1484. Percebe que houve a incidência de juros? Podemos calcular a taxa de juros na fórmula:

M = C x (1 + jxt) Substituindo os valores conhecidos:

1484 = 1400 x (1 + jx2) 1484 / 1400 = (1 + jx2)

1,06 = 1 + 2j 0,06 = 2j j = 0,03 = 3%am Resposta: E

A fórmula

M =  +  C (1 j t )

= +   M C C j t

Nesta fórmula,

C  j

C   j t

é o total pago na forma de juros (neste caso, R$400). Portanto, o valor dos juros totais devidos é simplesmente:

=   J C j t

J = 1000 x 10% x 4 J = 1000 x 40%

J = 1000 x 0,40 J = 400 reais

Pratique a fórmula para o cálculo direto do valor dos Juros no exercício a seguir:

VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) Considere a seguinte situação problema proposta em um curso de formação de professores, após discutirem-se conceitos associados a problemas de juros simples: Uma aplicação de um ano e meio foi feita no sistema de juros simples, a uma taxa de juros de 15% ao ano. Relacione os juros dessa aplicação ao capital aplicado. Ao resolver corretamente a situação apresentada, chega-se à conclusão de que os juros da aplicação correspondem, do capital aplicado, a

(A) 0,0225.

(B) 0,225.

(C) 2,25.

(D) 22,5.

(E) 225.

RESOLUÇÃO:

Temos uma aplicação no regime simples com taxa de j = 15% ao ano e prazo de t = 1,5 ano. Os juros correspondem a:

J = C x j x t Substituindo os valores conhecidos, temos:

J = C x 0,15 x 1,5 J = C x 0,225

A fórmula acima nos diz que os juros correspondem a 0,225 vezes o capital inicial C. Portanto, chega-se à conclusão de que os juros da aplicação correspondem a 0,225 do capital aplicado. Temos este gabarito na alternativa B.

Resposta: B

Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e o Capital inicial. Na verdade, esta é a própria definição de Juros:

Juros = Montante final – Capital inicial J = M – C

J = 1400 – 1000

J = 400 reais

MEMORIZE AS PRINCIPAIS FÓRMULAS DE JUROS SIMPLES M = C x (1 + j x t)

J = C x j x t

Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e t). A maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas variáveis e perguntarão a quarta. No exemplo que estamos utilizando, o enunciado poderia ter dito que João pegou R$1000 emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e perguntar quanto tempo levaria para que o valor devido chegasse a R$1400. Assim, você teria C = 1000, j = 10%

e M = 1400, faltando encontrar t:

M = C x (1 + j x t) 1400 = 1000 x (1 + 10% x t)

1400 / 1000 = 1 + 0,10.t 1,4 = 1 + 0,10t 1,4 – 1 = 0,10t 0,40 = 0,10t 0,40 / 0,10 = t

40 / 10 = t 4 = t

Qual é a unidade do prazo t = 4? A unidade é MÊS, ou seja, encontramos t = 4 meses. Quem define isso é a unidade temporal da taxa de juros utilizada. Como a taxa era de 10% ao MÊS, nós encontramos automaticamente o prazo em MESES.

Taxas proporcionais e equivalentes

Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não adianta saber apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se essa taxa é mensal, bimestral, anual etc.

Vamos discorrer sobre dois conceitos importantíssimos na resolução dos exercícios: as taxas de juros equivalentes e as taxas proporcionais.

Dizemos que duas taxas de juros são proporcionais quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês.

Para obter taxas proporcionais com segurança, basta efetuar uma regra de três simples. Vamos obter a taxa de juros bimestral que é proporcional à taxa de 12% ao ano:

12% ao ano --- 1 ano

Taxa bimestral --- 2 meses

Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita na mesma unidade temporal, temos:

12% ao ano --- 12 meses Taxa bimestral --- 2 meses Efetuando a multiplicação cruzada, temos:

12% x 2 = Taxa bimestral x 12 Taxa bimestral = 2% ao bimestre Veja comigo essa questão:

CESPE – TCE/PE – 2017) A taxa de 24% ao ano é proporcional à taxa de 2% ao mês.

RESOLUÇÃO:

Podemos montar a proporção:

24% --- 1 ano 2% ---1 mês

Mudando 1 ano para 12 meses:

24% --- 12 meses 2% ---1 mês Veja que, de fato:

24% x 1 = 2% x 12 Ou seja, temos uma proporcionalidade! O item está CORRETO.

Você poderia fazer uma análise bem simples. Bastava considerar que a taxa de 2% ao mês deve ser proporcional a 12 x 2% = 24% ao ano, afinal temos 12 meses em um ano.

Resposta: C

Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa de 12% ao ano leva o capital 100 ao montante final 112 após o período de 1 ano. Existe uma taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo capital inicial 100 ao montante final 112 após transcorrido o mesmo período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é equivalente à taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos obtê-la substituindo t = 12 meses, C = 100 e M = 112 na fórmula de juros simples:

M = C x (1 + j x t) 112 = 100 x (1 + jeq x 12)

112 / 100 = (1 + jeq x 12) 1,12 = 1 + jeq x 12 1,12 – 1 = jeq x 12 0,12 = jeq x 12 0,12 / 12 = jeq

0,01 = jeq

1% ao mês = jeq

Portanto, a taxa de 1% ao mês leva o mesmo capital C ao mesmo montante final M que a taxa de 12% ao ano, desde que considerado o mesmo intervalo de tempo (ex.: 1 ano ou 12 meses, 2 anos ou 24 meses etc).

Assim, 1%am é equivalente a 12%aa no regime de juros simples.

Note que já havíamos calculado que essas mesmas taxas (1%am e 12%aa) eram proporcionais entre si!

No regime de juros simples, taxas de juros proporcionais são também taxas de juros equivalentes

Essa informação é importantíssima, pois em muito simplifica o cálculo de taxas equivalentes quando estamos no regime de juros simples. Isto é, neste regime de juros, 1% ao mês, 6% ao semestre ou 12% ao ano são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C ao mesmo montante M após o mesmo período de tempo.

Sobre este tema, tente resolver as questões abaixo.

CESPE - STM - 2018) No regime de juros simples, a taxa de 21% ao mês é equivalente à taxa de 252% ao ano.

RESOLUÇÃO:

No regime simples, sabemos que taxas proporcionais são também equivalentes. Como temos 12 meses no ano, a taxa anual proporcional a 21%am é, simplesmente:

21% x 12 = 252% ao ano

Esta taxa de 252% ao ano é proporcional e também é EQUIVALENTE a 21% ao mês. Portanto, o item está CERTO.

Resposta: C

FGV – ISS/CUIABÁ – 2014) O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de

(A) 34.

(B) 200.

(C) 333.

(D) 400.

(E) 500.

RESOLUÇÃO

Lembrando que 6% ao ano corresponde a 6% / 12 = 0,5% ao mês no regime de juros simples, e que para um capital C triplicar ele deve atingir o montante M = 3C, temos:

M = C x (1 + j x t) 3C = C x (1 + 0,5% x t)

3 = 1 x (1 + 0,005 x t) 3 = 1 + 0,005 x t

2 = 0,005 x t t = 2 / 0,005 t = 2000 / 5 t = 400 meses Resposta: D

Veja ainda esta questão comigo:

FEPESE – ISS/Criciúma – 2017) Um capital é aplicado à taxa de juros simples anual de 18%. Para que o montante obtido com a aplicação seja 50% maior que o capital inicial investido, é necessário que o capital fique aplicado no mínimo:

a. ( ) 16 meses.

b. ( ) 22 meses.

c. ( ) 28 meses.

d. ( ) 34 meses.

e. ( ) 42 meses.

RESOLUÇÃO:

Podemos resolver esta questão atribuindo valores para o capital e o montante. Veja comigo.

Sendo C = 100 o capital aplicado, queremos que o montante seja maior do que 150 reais (que é 50% maior do que o capital).

A taxa de 18%aa é proporcional e equivalente à taxa mensal de 18%/12 = 1,5%am. Assim, Montante > 150

C x (1 + jxt) > 150

100 x (1 + 0,015xt) > 150 1 + 0,015xt > 1,5

0,015xt > 0,5 t > 0,5 / 0,015 t > 500 / 15 t > 33,33 meses

O prazo deve ser maior do que 33,33 meses. Por isto, ele deve ficar aplicado, no mínimo, por 34 meses (admitindo que as aplicações só podem ser feitas em números inteiros de meses).

Resposta: D

Taxa média de diversas aplicações

Imagine que você resolva aplicar o seu dinheiro disponível não em 1 investimento apenas, mas sim em vários investimentos diferentes, com taxas de juros simples distintas, porém todos com o mesmo prazo.

Exemplificando, vamos imaginar que você tenha 1000 reais e resolva fazer os 3 investimentos abaixo:

- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses;

- 300 reais à taxa de 5% ao mês, por 3 meses;

- 200 reais à taxa de 20% ao mês, por 3 meses.

Seria possível aplicar todo o dinheiro (1000 reais) em um único investimento, pelos mesmos 3 meses, de modo a obter o mesmo valor a título de juros. A taxa de juros desse investimento único é chamada de taxa de juros média (jm).

Os juros simples gerados por cada investimento podem ser calculados através da fórmula

J =   C j t

1 2 3

500 0,10 3 150 300 0,05 3 45 200 0,20 3 120 J

J J

=   =

=   =

=   =

Portanto, o total de juros produzidos pelos 3 investimentos foi de J = 315 reais. A taxa de juros média jm

que, aplicada ao capital total (1000 reais) geraria os mesmos 315 reais após t = 3 meses é:

315 1000 3 0,105 10,50%

m

m m

J C j t

j j

=  

=  

= =

Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula:

𝑗

= ∑ 𝐶

. 𝑗

∑ 𝐶

Vamos aplicar a fórmula ao nosso exemplo. No numerador, basta multiplicar cada capital Ci pela sua respectiva taxa de juros ji e, no denominador, basta somar todos os capitais. Temos:

𝑗_𝑚=500𝑥0,10 + 300𝑥0,05 + 200𝑥0,20 500 + 300 + 200

𝑗_𝑚 =50 + 15 + 40

1000 = 105

1000=10,5

100 = 10,5%

Veja como isso pode ser cobrado em um exercício:

ESAF – RECEITA FEDERAL – 2003) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente.

Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes capitais.

a) 2,9%

b) 3%

c) 3,138%

d) 3,25%

e) 3,5%

RESOLUÇÃO:

Podemos calcular a taxa média por meio da fórmula:

𝑗_𝑚 =∑ 𝐶_𝑖. 𝑗𝑖

∑ 𝐶_𝑖 Substituindo os valores dados no enunciado:

 +  +  + 

= + + +

2500 0,06 3500 0,04 4000 0,03 3000 0,015 2500 3500 4000 3000

jm

= 455 13000 jm

=0,035 jm

=3,5%

jm

Ou seja, poderíamos simplesmente aplicar todo o capital à taxa de 3,5%, e obteríamos o mesmo rendimento conseguido nos quatro investimentos descritos no enunciado.

Resposta: E

Veja uma questão um pouco mais recente:

FCC – TRT/AL – 2014) No regime de juros simples e pelo prazo de 24 meses são realizadas as seguintes aplicações financeiras:

I. R$ 3.000,00, à taxa de 3,00% ao mês.

II. R$ 4.000,00, à taxa de 1,50% ao mês.

III. R$ 6.000,00, à taxa de 2,25% ao mês.

IV. R$ 7.000,00, à taxa de 4,50% ao mês.

A taxa média proporcional anual dessas quatro aplicações é, em %, igual a a) 22,50.

b) 24,00.

c) 36,00.

d) 11,25.

e) 18,00.

RESOLUÇÃO:

Podemos fazer o cálculo por meio da fórmula:

𝑗_𝑚 =∑ 𝐶_𝑖. 𝑗𝑖

∑ 𝐶_𝑖 Isto é,

𝑗_𝑚=3000𝑥0,03 + 4000𝑥0,015 + 6000𝑥0,0225 + 7000𝑥0,045 3000 + 4000 + 6000 + 7000

𝑗_𝑚=90 + 60 + 135 + 315 20000

𝑗_𝑚 = 600

20000= 300 10000= 3

100= 3%

Como temos 12 meses no ano, a taxa média anual será 3% x 12 = 36% ao ano. O gabarito é a alternativa C.

Vamos aproveitar para resolver de outra forma? Primeiramente, vamos calcular o valor dos juros de cada aplicação por meio da fórmula J = C x j x t, onde t = 24 meses.

I. R$ 3.000,00, à taxa de 3,00% ao mês.

J = 3000 x 0,03 x 24 = 24 x 90 II. R$ 4.000,00, à taxa de 1,50% ao mês.

J = 4000 x 0,015 x 24 = 24 x 60 III. R$ 6.000,00, à taxa de 2,25% ao mês.

J = 6000 x 0,025 x 24 = 24 x 135 IV. R$ 7.000,00, à taxa de 4,50% ao mês.

J = 7000 x 0,045 x 24 = 24 x 315

Os juros totais, portanto, serão de 24 x (90 + 60 + 135 + 315) = 24 x 600 reais.

O capital total das quatro aplicações será 3000 + 4000 + 6000 + 7000 = 20000 reais.

Aplicando a fórmula dos juros, podemos obter a taxa média jm capaz de produzir os mesmos juros no período de 24 meses. Perceba:

J = C x j x t

24 x 600 = 20000 x jm x 24 600 = 20000 x jm

jm = 600 / 20000 jm = 300 / 10000

jm = 3 / 100 jm = 3 % am Resposta: C

Prazo médio de diversas aplicações

Agora imagine que você tem os mesmos 1000 reais e pretenda colocá-los em 3 investimentos distintos, todos com a mesma taxa de juros simples de 10% ao mês, porém cada um com um prazo diferente:

- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses;

- 300 reais à taxa de 10% ao mês, por 2 meses;

- 200 reais à taxa de 10% ao mês, por 5 meses.

Seria possível investir todo o dinheiro (1000 reais) em uma única aplicação, com a taxa de juros de 10% ao mês, por um tempo tm , de modo a obter o mesmo valor a título de juros. Esse prazo é denominado de prazo médio. Para obtê-lo, novamente vamos calcular os juros de cada aplicação com a fórmula

J =   C j t

1 2 3

500 0,10 3 150 300 0,10 2 60 200 0,10 5 100 J

J J

=   =

=   =

=   =

Assim, o total de juros produzidos pelos três investimentos foi de J = 310 reais. Podemos obter o prazo médio tm que todo o capital (1000 reais) precisaria ficar investido, à taxa j = 10% ao mês:

310 1000 0,10 3,1 meses

m

m m

J C j t

t t

=  

=  

=

Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula:

𝑡_𝑚 =∑ 𝐶_𝑖. 𝑡_𝑖

∑ 𝐶_𝑖

Veja que basta multiplicar cada capital Ci pelo seu respectivo prazo de aplicação ti, e então dividir tudo pela soma dos capitais. Vejamos como fica em nosso exemplo:

𝑡_𝑚=500𝑥3 + 300𝑥2 + 200𝑥5 500 + 300 + 200

𝑡_𝑚=1500 + 600 + 1000 1000

𝑡_𝑚=3100

1000= 3,1 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

Vejamos uma questão sobre o assunto:

ESAF – RECEITA FEDERAL – 2002) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente.

Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais.

a) quatro meses

b) quatro meses e cinco dias c) três meses e vinte e dois dias d) dois meses e vinte dias e) oito meses

RESOLUÇÃO:

Vamos calcular o valor dos juros ganhos em cada investimento, utilizando a fórmula

J =   C j t

1 2 3 4

2000 0,04 2 160 3000 0,04 3 360 1500 0,04 4 240 3500 0,04 6 840 J

J J J

=   =

=   =

=   =

=   =

Assim, os juros totais somaram 1600 reais. O prazo médio “tm” é aquele após o qual, aplicando todo o capital (10000) à taxa de 4% dada no enunciado, leva aos mesmos juros totais. Isto é,

1600 10000 0,04=  t_m

m 4

t = meses

Obs.: se preferir usar a fórmula:

𝑡_𝑚 =∑ 𝐶_𝑖. 𝑡_𝑖

∑ 𝐶_𝑖

𝑡_𝑚 =2000𝑥2 + 3000𝑥3 + 1500𝑥4 + 3500𝑥6 2000 + 3000 + 1500 + 3500

𝑡_𝑚 =4000 + 9000 + 6000 + 21000 10000

𝑡_𝑚=40000

10000= 4 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 Resposta: A

Juros exatos, comerciais e bancários

Em alguns exercícios temos que trabalhar com prazos expressos em dias. Neste caso, precisamos saber como converter uma taxa de juros expressa em outra unidade temporal (ex.: 10% ao ano) para uma taxa diária.

Temos três formas básicas de fazer isso:

1- considerando que o mês tem a quantidade exata de dias (de 28 a 31 dias, conforme o caso) e o ano tem 365 dias (ou 366, se bissexto). Neste caso, estamos trabalhando com juros exatos. Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano, em juros exatos, é igual a 10%

0, 02739%

365 = ao dia.

2- considerando que o mês tem 30 dias, e o ano tem 360 dias. Neste caso, estamos trabalhando com juros comerciais (ou ordinários). Ex.: a taxa diária que é proporcional a 10% ao ano é igual a 10%

0, 0277%

360 = ao dia.

3- considerar a taxa de juros com base no ano comercial (360 dias) e o prazo de aplicação com base no tempo exato (número de dias): trata-se dos juros bancários.

FCC – SEFAZ/PB – 2006) Certas operações podem ocorrer por um período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial.

Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é

(A) R$ 37,50 (B) R$ 30,00 (C) R$ 22,50 (D) R$ 15,00 (E)) R$ 7,50 RESOLUÇÃO:

Ao trabalhar com juros comerciais, consideramos que cada mês possui 30 dias. Assim, 5 dias correspondem a 5/30 mês, isto é, 1/6 mês. Deste modo, os juros da aplicação seriam:

J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (1/6) = 232,5 reais

Já ao trabalhar com juros exatos, devemos considerar o número de dias de cada mês, que neste caso é igual a 31. Deste modo, os 5 dias correspondem a 5/31 mês. Os juros da aplicação seriam:

J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (5/31) = 225 reais A diferença entre as duas formas de cálculo é de 232,5 – 225 = 7,5 reais.

Resposta: E

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?

Questões da banca FGV comentadas

1.

Marlene comprou uma mercadoria que custava R$ 400,00 e pagou em duas parcelas: R$ 200,00 no ato da compra e R$ 280,00 um mês após a compra.

A taxa de juro mensal paga por Marlene foi de (A) 40%.

(B) 30%.

(C) 25%.

(D) 20%.

(E) 15%.

RESOLUÇÃO:

Primeiramente, é importante saber que a taxa de juros será aplicada somente ao valor que será pago a prazo.

Como a mercadoria custava R$ 400,00 e foi pago no ato da compra R$ 200,00, o valor que sobre o qual será aplicada a taxa de juros é de R$ 200,00.

Além disso, a segunda parcela paga de R$ 280,00 equivale ao valor final, isto é, ao montante quando se aplica a taxa de juros simples sobre o valor pago a prazo. Com isso, tem-se os seguintes dados:

➢ C = R$ 200,00, que equivale ao capital inicial que será aplicada a taxa de juros;

➢ t = 1 mês

➢ M = R$ 280,00, que equivale ao montante acumulado.

Sabendo-se que a fórmula do montante simples é dada por:

M = C (1 + i x n),

onde i equivale à taxa de juros aplicada, substituindo-se os dados, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

280 = 200 (1 + i x 1) Passando o 200 para o lado direito dividindo 280

200 = 1 + i Efetuando a divisão do lado esquerdo

1,40 = 1 + i Passando o número 1 para o outro lado, subtraindo o 1,40

i = 1,40 – 1 = 0,40 Transformando o número decimal em porcentagem, deslocando a vírgula duas casas decimais para a direita.

i = 40%

Resposta: A

2.

Rubinho pagou com juros uma conta já vencida. O valor total pago por Rubinho foi de R$ 483,00. Sabendo que Rubinho pagou 15% de juros sobre o valor inicial da conta, o valor dos juros foi de

(A) R$ 75,15.

(B) R$ 72,45.

(C) R$ 68,00.

(D) R$ 63,00.

(E) R$ 61,25.

RESOLUÇÃO:

O valor total pago por Rubinho corresponde ao montante M do pagamento, isto é, M = R$ 483,00. Sabe-se que:

M = C + J, onde:

➢ M é o montante;

➢ C é o capital sobre o qual se aplica a taxa de juros;

➢ J são os juros pagos por Rubinho.

Como os juros pagos por Rubinho equivale a 15% sobre o capital inicial, isto é:

J = 15% x C, Substituindo na fórmula do montante, tem-se que:

M = C + J Substituindo J = 15% x C

483 = C + 15% x C Transformando a porcentagem em número decimal

483 = C + 0,15C Efetuando a soma do lado direito

483 = 1,15C Passando o 1,15 para o outro lado dividindo o 483

C = ⁴⁸³

1,15 Efetuando a divisão

C = R$ 420,00

Finalmente, substituindo o Capital C = R$ 420,00 na relação obtida dos juros J = 15% x C, tem-se o valor dos juros pagos por Rubinho. Com isso, tem-se que:

J = 15% x C Substituindo C = 420

J = 15% x 420 Transformando a porcentagem em número decimal

J = 0,15 x 420 Efetuando a multiplicação

J = R$ 63,00 Resposta: D

3.

Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado a juros simples pelo prazo de 1 mês, tendo produzido um montante de R$ 20.720,00.

Se nenhum saque ou aporte for feito e considerando-se o mês comercial, após mais 10 dias, o montante será de:

(A) R$ 20.968,64;

(B) R$ 20.960,00;

(C) R$ 20.869,46;

(D) R$ 20.864,90;

(E) R$ 20.860,00.

RESOLUÇÃO:

Pelo primeiro parágrafo do comando da questão, pode-se extrair os seguintes dados:

➢ C = R$ 20.000,00 é o capital inicial aplicado;

➢ t = 1 mês corresponde ao prazo de aplicação;

➢ M = R$ 20.720,00 é o montante acumulado no prazo de 1 mês.

Sabendo-se que a fórmula do montante quando os juros são simples é dado por:

M = C x (1 + it), onde i é a taxa de juros simples aplicada, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

20.720 = 20.000 (1 + i x 1) Passando o 20.000 para o lado direito dividindo 20.720

20.000 = 1 + i Efetuando a divisão do lado esquerdo

1,036 = 1 + i Passando o número 1 para o outro lado, subtraindo o 1,036

i = 1,036 – 1 = 0,036 Transformando o número decimal em porcentagem, deslocando a vírgula duas casas decimais para a direita.

i = 3,6% a.m.

No segundo parágrafo, note que agora haverá alteração no prazo de aplicação acrescentando-se 10 dias, que equivalem a 1/3 de um mês. Com isso, tem-se agora os seguintes dados:

➢ C = R$ 20.000,00 é o capital inicial aplicado;

➢ t = 1 + 1/3 = 4/3 corresponde ao prazo de aplicação;

➢ i = 3,6% a.m. é a taxa de juros simples aplicada.

Com isso, utilizando a mesma fórmula do montante exposta acima, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

M = 20.000 (1 + 3,6% ×⁴

3) Dividindo 3,6% por 3

M = 20.000 (1 + 1,2% x 4) Multiplicando 1,2% por 4

M = 20.000 (1 + 4,8%) Transformando 1 em 100% e somando com 4,8%

M = 20.000 x 1 04,8% Simplificando 2 zeros do 20.000 com a porcentagem

M = 200 x 1 04,8 Multiplicando 200 por 104,8

M = 20.960,00 Resposta: B

4.

Em 01/01/X0, uma pessoa realizou uma aplicação com taxa de R$4% ao mês, a juros simples. Os juros são recebidos no final do prazo, junto com a aplicação. Depois de 10 meses, a aplicação tinha rendido R$ 6.000 em juros.

Assinale a opção que indica o montante total do investimento, em 31/10/X0.

(A) R$ 10.054.

(B) R$ 12.000.

(C) R$ 12.500.

(D) R$ 18.500.

(E) R$ 21.000.

RESOLUÇÃO:

Pelo primeiro parágrafo do comando da questão, pode-se extrair os seguintes dados:

➢ i = 4% a.m. é a taxa de juros simples aplicada;

➢ t = 10 meses corresponde ao prazo de aplicação;

➢ J = R$ 6.000,00 são os juros monetários que a aplicação rendeu.

Sabendo-se que a fórmula do Juros Simples é dada por:

J = C x i x t, onde C é o capital inicial aplicado, tem-se que:

J = C x i x t Substituindo os dados

6.000 = C x 4% x 10 Transformando 4% em fração

6.000 = C x ₁₀₀⁴ x 10 Simplificando o 0 do número 10 com um zero do denominador

6.000 = C x ₁₀⁴ Passando o número 10 para o outro lado multiplicando o 6.000 e o número 4 dividindo o mesmo 6.000

C = ^6.000×10₄ Multiplicando 6.000 por 10 e dividindo o resultado (60.000) por 4

C = R$ 15.000.

Por fim, sabendo que o montante acumulado M é dado pela soma do capital aplicado C com os Juros J, tem- se que:

M = C + J Substituindo os dados

M = 15.000 + 6.000 Efetuando a soma

M = R$ 21.000,00 Resposta: E

5.

Uma fatura de cartão de crédito foi paga com dois meses de atraso, e o valor pago, incluindo os 25% de juros correspondentes ao bimestre, foi de R$ 1100,00.

O valor da fatura sem os juros era de (A) R$ 825,00.

(B) R$ 842,00.

(C) R$ 860,00.

(D) R$ 874,00.

(E) R$ 880,00.

RESOLUÇÃO:

Pelo comando da questão, pode-se extrair os seguintes dados:

➢ i = 25% a.b. é a taxa de juros simples aplicada ao bimestre;

➢ t = 2 meses = 1 bimestre corresponde ao prazo de atraso;

➢ M = R$ 1.100,00 é o montante acumulado, isto é, do valor que deveria ser pago mais os juros.

Sabendo-se que a fórmula do montante quando os juros são simples é dado por:

M = C x (1 + it),

onde C é o valor que deveria ser pago originalmente, isto é, o valor da fatura sem os juiros, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

1.100 = C (1 + 25% x 1) Transformando o 25% em número decimal deslocando a vírgula duas casas para a esquerda

1.100 = C (1 + 0,25 x 1) Multiplicando 0,25 por 1 e somando o resultado (0,25) com o 1

1.100 = C x 1,25 Transformando 1,25 em fração

Numerador = 125 (o número todo sem a vírgula)

Denominador = 100 (o número 1 junto com 2 zeros, onde a quantidade de zeros equivale a quantidade de casas decimais)

1.100 = C x ¹²⁵

100

Simplificando a fração por 25 no numerador e no denominador

1.100 = C x ⁵₄ Passando o número 4 para o outro lado multiplicando o 1.100 e o número 5 dividindo o mesmo 1.100

C = 1.100 x ⁴₅ Dividindo 1.100 por 5 (basta multiplicar o 1.100 por 2 - 2.200 – e cortar 1 zero do resultado – 220)

C = 220 x 4 Multiplicando 220 por 4 (basta dobrar o 220 duas vezes: 1º dobro

= 440; 2º dobro = 880,00)

C = R$ 880,00 Resposta: E

6.

Um capital aplicado a juros simples produz o montante de R$ 7.200,00 em cinco meses e, em oito meses, esse montante passa a valer R$ 7.680,00.

Nessas condições, a taxa de juros aplicada a esse capital é de:

(A) 2,20% a.m.;

(B) 2,25% a.m.;

(C) 2,36% a.m.;

(D) 2,44% a.m.;

(E) 2,50% a.m..

RESOLUÇÃO:

Pela primeira parte do comando da questão, tem-se os seguintes dados:

➢ t = 5 meses corresponde ao prazo de aplicação;

➢ M = R$ 7.200,00 é o montante acumulado no prazo de 5 meses.

Sabendo-se que a fórmula do montante quando os juros são simples é dado por:

M = C x (1 + it),

onde C é o valor do capital inicial aplicado e i e a taxa de juros simples aplicada, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

7.200 = C (1 + i x 5) DEIXA ASSIM! ESTÁ LINDO!

Agora, pela primeira parte do comando da questão, tem-se os seguintes dados:

➢ t = 8 meses corresponde ao prazo de aplicação;

➢ M = R$ 7.680,00 é o montante acumulado no prazo de 8 meses.

Sabendo-se que o capital C e a taxa i aplicados serão os mesmos valores nessa segunda situação, substituindo os dados na fórmula do montante, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

7.680 = C (1 + i x 8) DEIXA ASSIM! ESTÁ LINDO!

Finalmente, dividindo-se a segunda equação obtida pela primeira, tem-se:

7.680

7.200 = ^{𝐶(1+8𝑖)}

𝐶(1+5𝑖) Simplificando a fração do lado esquerdo por 80 e a incógnita C do lado direito

96

90 = ^(1+8𝑖)

(1+5𝑖) Simplificando o lado esquerdo novamente, agora por 6 (claro que você poderia simplificar diretamente a equação inicial por 480, mas acho que em prova é complicado encontrar diretamente um número tão grande.

Fica a seu critério).

16

15 = ^(1+8𝑖)

(1+5𝑖) Multiplicando cruzado

16 × (1 + 5𝑖) = 15 × (1 + 8𝑖) Fazendo a distributiva (“chuveirinho”) do lado esquerdo e do lado direito.

16 + 80𝑖 = 15 + 120𝑖 Passando o 80i para o lado direito subtraindo o 120i e, simultaneamente, passando o 15 para o lado esquerdo subtraindo o 16

16 − 15 = 120𝑖 − 80𝑖 Subtraindo do lado esquerdo e do lado direito

40𝑖 = 1 Passando o 40 para o lado direito dividindo o número 1

𝑖 = ¹

40 Multiplicando a fração por 100% para transformar o número fracionário em porcentagem

𝑖 = ¹⁰⁰

40 % Cortando um zero no denominador com o zero do denominador

𝑖 = ¹⁰

4 % Dividindo 10 por 4 (para fazer duas metades sucessivas: 1ª metade: 5; 2ª metade: 2,5)

𝑖 = 𝟐, 𝟓% 𝒂. 𝒎.

Resposta: E

7.

Suponha que um investidor tenha o objetivo de quadruplicar o seu capital em um investimento que remunere a taxa de juros de 1% ao mês, sob o regime de juros simples.

Assinale a opção que indica o tempo necessário para atingir esse objetivo.

(A) 139 meses.

(B) 11 anos e 7 meses.

(C) 300 anos.

(D) 25 anos.

(E) 2 anos e meio.

RESOLUÇÃO:

Pelo comando da questão, pode-se extrair os seguintes dados:

➢ i = 1% a.m. é a taxa de juros simples aplicada ao mês;

➢ C é o capital inicial aplicado, que é o que a questão pede para ser calculado;

➢ M = 4C é o montante acumulado, que equivale ao quádruplo do capital aplicado C.

Sabendo-se que a fórmula do montante quando os juros são simples é dado por:

M = C x (1 + it), onde t é o prazo de aplicação, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

4C = C (1 + 1% x t) Transformando o 1% em fração (1 por 100, isto é, 1/100)

4C = C (1 + ₁₀₀¹ x t) Simplificando o C do lado esquerdo, que está multiplicando os parênteses, pelo C do lado direito, que está multiplicando o 4

4 = 1 + ₁₀₀¹ x t Passando o 1 para o lado esquerdo subtraindo o 4

3 = ¹

100 x t Passando o 100 para o lado esquerdo multiplicando o 3

t = 300 meses

Como a taxa está ao mês, a resposta do prazo será em meses. Para transformar a unidade mensal para anual, basta dividir o valor por 12. Portanto, tem-se que t = 300 meses = 25 anos (300 dividido por 12).

Resposta: D

8.

José Paulo, estudante de Administração, é convidado para investir em um negócio de criptomoedas, pelo período de dois anos, prometendo uma remuneração mensal de 2,25%, pelo regime de juros simples.

Após aplicar a quantia de R$ 550,00, no início de 2018, José Paulo retira, ao final de 2019, R$ 833,00, valor considerado incorreto pelo estudante.

Em relação ao fato ocorrido, evidencia-se que o valor retirado está (A) compatível com o combinado.

(B) R$ 15,00 acima do combinado.

(C) R$ 5,00 abaixo do combinado.

(D) R$ 10,00 abaixo do combinado.

(E) R$ 14,00 abaixo do combinado.

RESOLUÇÃO:

Pelo comando da questão, pode-se extrair os seguintes dados:

➢ i = 2,25% a.m. é a taxa de juros simples aplicada ao mês;

➢ C = 550,00 é o capital inicial aplicado no início de 2018;

➢ t = 2 anos = 24 meses é o prazo de aplicação.

Sabendo-se que a fórmula do montante quando os juros são simples é dado por:

M = C x (1 + it),

onde M é o montante acumulado, tem-se que:

M = C (1 + i x t) Substituindo os dados

M = 550 (1 + 2,25% x 24) Transformando 1 em 100% e multiplicando 2,25 por 24

M = 550 (100% + 54%) Somando-se as porcentagens

M = 550 x 154% Multiplicando 550 por 154 e dividindo por 100 o resultado (84.700) devido à porcentagem (basta cortar os 2 zeros do resultado)

M = R$ 847,00

Com isso, o montante que José Paulo deveria receber é de R$ 847,00, porém ele recebeu R$ 833,00, isto é, recebeu 847 – 833 = R$ 14,00 a menos do que deveria receber.

Resposta: E

9.

Jonas pagou a conta de seu cartão de crédito, após o vencimento, com juros de 10% sobre o valor que pagaria até o vencimento. O total pago por Jonas, incluindo os juros, foi de R$ 352,00. Se tivesse pago a conta de seu cartão de crédito até o vencimento, Jonas teria pago a quantia de

(A) R$ 298,00.

(B) R$ 316,80.

(C) R$ 320,00.

(D) R$ 326,40.

(E) R$ 327,00.

RESOLUÇÃO:

A dívida do cartão de Jonas até o vencimento valia C. Após o vencimento, incidiram juros de 10% sobre esse valor, o que levou a dívida a uma quantia de R$ 352,00. Vamos calcular quanto ela valia antes da incidência desses juros:

C +0,1C=352 1,1C=352 C=352/1,1 C=320 reais

Portanto, se tivesse pago antes do vencimento, teria desembolsado R$ 320,00.

Resposta: C

10.

O cartão de crédito usado por Alberto cobra 10% de juros ao mês, e a fatura vence no dia 5 de cada mês. A fatura do mês de junho apresentava uma dívida de 1200 reais, mas Alberto nada pagou. Daí por diante, também não fez novas despesas no cartão. No dia do vencimento da fatura de julho, Alberto pagou 600 reais; no dia do vencimento da fatura de agosto, pagou também 600 reais; e, no dia do vencimento da fatura de setembro, liquidou sua dívida. O valor pago por Alberto em setembro, em reais e desprezando os centavos, foi de

(A) 120.

(B) 132.

(C) 158.

(D) 192.

(E) 211.

RESOLUÇÃO:

Como Alberto atrasou um mês para fazer o primeiro pagamento, o saldo devedor de 1200 acumulou 10% de juros, isto é, 120 reais, chegando a 1320 reais. Com o pagamento de 600 reais em julho, a dívida caiu para 1320 – 600 = 720 reais. Este saldo acumulou 10% de juros, ou seja, 72 reais, durante o mês seguinte, chegando a 720 + 72 = 792 reais. Como Alberto pagou mais 600 reais em agosto, a dívida caiu para 792 – 600 = 192 reais. Esta dívida rendeu juros de 10% ao longo do mês seguinte, chegando a:

192 + 19,20 = 211,20 reais Resposta: E

11.

Um empréstimo é oferecido de tal forma que os juros são cobrados antecipadamente, ou seja, no ato do empréstimo. Se forem cobrados juros de taxa de j% ao período e, se a cobrança dos juros for antecipada, a taxa de juros cobrada é:

(A) j * (1-j);

(B) j / (1+j);

(C) j * (1+j);

(D) j / (1-j);

(E) (1-j) * (1+j) RESOLUÇÃO:

Temos a cobrança antecipada de uma taxa de j% ao período. Isto significa que, se queremos pegar um empréstimo de valor inicial C por um período, os juros de valor J = C.j serão cobrados no momento inicial do empréstimo. Assim, eu vou sair do banco não com o valor C em mãos, mas com C – C.j, pois já pagarei os juros neste momento. Ao final do prazo, o montante M que eu precisarei pagar será simplesmente igual ao capital C, pois os juros já foram pagos antecipadamente. Em síntese, tenho uma operação onde o capital inicial é C – C.j, ou C.(1 – j) e o montante final é C. Na fórmula de juros, para 1 período,

Montante = Capital x (1 + taxa) C = [C.(1 – j)] x (1 + taxa)

1 = (1 – j) x (1 + taxa) 1 / (1 – j) = 1 + taxa 1 / (1 – j) – 1 = taxa taxa = 1 / (1 – j) – (1 – j) / (1 – j)

taxa = (1 – 1 + j) / (1 – j) taxa = j / (1 – j)

Essa é a taxa efetivamente cobrada. Para ilustrar melhor, suponha que eu pegue 100 reais de empréstimo com taxa de j = 20% ao período. Eu deveria pagar 20 reais de juros neste caso. Como os juros são pagos antecipadamente, na verdade eu saio do banco com 100 – 20 = 80 reais inicialmente, e pago ao final os 100 reais (pois os juros já foram pagos no início). Assim, podemos calcular a taxa efetivamente praticada nesta operação:

100 = 80 x (1 + taxa) 100 / 80 – 1 = taxa

1,25 – 1 = taxa 25% = taxa

Repare que a taxa antecipada era j = 20%, mas no fim das contas a taxa efetivamente aplicada foi de 25%. Veja que elas obedecem a relação que encontramos:

taxa = j / (1 – j) = 20% / (1 – 20%) = 0,20 / 0,80 = 1 / 4 = 25%

Resposta: D

12.

Joaquim atrasou o pagamento de sua fatura do cartão de crédito no qual são cobrados juros compostos de 12%

ao mês. Joaquim pagou a fatura um mês após o vencimento. O valor total pago por Joaquim com os juros incluídos foi de R$ 4.032,00. Se Joaquim tivesse pago a fatura na data de vencimento, teria pago o valor de:

(A) R$ 3.548,16;

(B) R$ 3.600,00;

(C) R$ 3.612,32;

(D) R$ 3.720,00;

(E) R$ 3.736,64.

RESOLUÇÃO:

Sendo C o valor inicial da dívida, M o valor pago após 1 mês, t = 1 mês (prazo de pagamento) e j = 12% ao mês a taxa de juros, temos:

M = C x (1 + j)^t 4032 = C x (1 + 12%)¹

4032 = C x (1 + 0,12) 4032 = C x (1,12)

4032 / 1,12 = C 3600 reais = C Resposta: B

13.

Teófilo pagou sua fatura do cartão de crédito com atraso. Por esse motivo, foram cobrados 12% de juros e Teófilo pagou o total de R$ 672,00. Se Teófilo tivesse pago sua fatura sem atraso, o valor seria:

(A) R$ 591,36;

(B) R$ 600,00;

(C) R$ 602,54;

(D) R$ 610,00;

(E) R$ 612,64.

RESOLUÇÃO:

Aqui podemos equacionar:

Valor pago = Valor original x (1 + 12%) 672 = Valor original x 1,12

Valor original = 672 / 1,12 = 67200 / 112 = 33600 / 56 Valor original = 16800 / 28 = 8400 / 14 = 4200 / 7

Valor original = 600 reais Resposta: B

14.

Para pagamento de boleto com atraso em período inferior a um mês, certa instituição financeira cobra, sobre o valor do boleto, multa de 2% mais 0,4% de juros de mora por dia de atraso no regime de juros simples. Um boleto com valor de R$ 500,00 foi pago com 18 dias de atraso. O valor total do pagamento foi:

(A) R$ 542,00;

(B) R$ 546,00;

(C) R$ 548,00;

(D) R$ 552,00;

(E) R$ 554,00.

RESOLUÇÃO:

Veja que 2% de 500 reais são 0,02 x 500 = 2 x 5 = 10 reais, que é a multa. E 0,4% de 500 é igual a 0,004 x 500 = 0,4 x 5 = 2 reais. Como o atraso foi de 18 dias, temos uma cobrança de juros de mora de 2 x 18 = 36 reais.

O valor pago é:

Total = 500 + multa + juros = 500 + 10 + 36 = 546 reais Resposta: B

15.

O número de meses necessários para que um investimento feito na poupança triplique de valor (assumindo que esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de

(A) 34.

(B) 200.

(C) 333.

(D) 400.

(E) 500.

RESOLUÇÃO

Lembrando que 6% ao ano corresponde a 6% / 12 = 0,5% ao mês no regime de juros simples, e que para um capital C triplicar ele deve atingir o montante M = 3C, temos:

M = C x (1 + j x t) 3C = C x (1 + 0,5% x t)

3 = 1 x (1 + 0,005 x t) 3 = 1 + 0,005 x t

2 = 0,005 x t t = 2 / 0,005 t = 2000 / 5 t = 400 meses Resposta: D

16.

Francisco estava devendo R$ 2.100,00 à operadora do cartão de crédito, que cobra taxa mensal de juros de 12%. No dia do vencimento pagou R$ 800,00 e prometeu não fazer nenhuma compra nova até liquidar com a dívida. No mês seguinte, no dia do vencimento da nova fatura pagou mais R$ 800,00 e, um mês depois, fez mais um pagamento terminando com a dívida. Sabendo que Francisco havia cumprido a promessa feita, o valor desse último pagamento, desprezando os centavos, foi de:

(A) R$ 708,00 (B) R$ 714,00 (C) R$ 720,00 (D) R$ 728,00 (E) R$ 734,00 RESOLUÇÃO

Inicialmente Francisco devia 2100 reais. Ele pagou 800 reais, ficando com uma dívida de 2100 – 800 = 1300 reais.

Como disse o enunciado, ele não fez nenhuma compra nova até liquidar com a dívida.

No mês seguinte, no dia do vencimento da nova fatura pagou mais R$ 800,00. Ocorre que a dívida de 1300 reais havia crescido 12%, ou seja, ela estava em:

1300 x (1 + 12%) = 1300 x 1,12 =

1456 reais Assim, com este pagamento de 800 reais, a dívida caiu para:

1456 – 800 = 656 reais No decorrer do próximo período esta dívida cresceu 12%, chegando a:

656 x (1 + 12%) = 656 x 1,12 = 734,72 reais

Neste momento foi feito mais um pagamento terminando com a dívida. Ou seja, fica claro que este último pagamento foi no valor de R$734,72. Desprezando os centavos, podemos marcar a alternativa E.

Resposta: E

17.

Uma televisão pode ser comprada em certa loja por R$860,00 à vista ou em duas parcelas de R$460,00, uma no ato da compra e a outra 30 dias depois. A taxa de juros ao mês que a loja está cobrando é de:

a) 8%;

b) 10%;

c) 12%;

d) 15%;

e) 18%.

RESOLUÇÃO:

Após o pagamento da primeira parcela de quatrocentos e sessenta reais, que ocorre no ato da compra, o cliente fica com uma dívida de 860 - 460 = 400 reais. Esta é a dívida inicial, que após um mês é liquidada pelo pagamento de 460 reais. Desse modo, a taxa de juros aplicada é:

460 = 400 x (1 + j) 460 / 400 = 1 + j

1,15 = 1 + j j = 0,15 = 15%

Resposta: D

18.

No primeiro dia útil de junho, Márcio fez um empréstimo de R$1000,00 em uma financeira que cobra 10% de juros ao mês. No primeiro dia útil de julho, Márcio pagou R$400,00, no primeiro dia útil de agosto, pagou novamente R$400,00 e no primeiro dia útil de setembro, fez o último pagamento liquidando sua dívida. O valor do último pagamento de Márcio foi

(A) R$407,00.

(B) R$242,00.

(C) R$370,00.

(D) R$200,00.

(E) R$500,00.

RESOLUÇÃO:

Após 1 mês (isto é, no início de julho), o capital inicialmente emprestado havia rendido juros de 10%, chegando ao montante:

M1 = 1000 x (1 + 10%) = 1100 reais

Pagando 400 reais, a dívida caiu para 1100 – 400 = 700 reais. Este valor rendeu juros de 10% ao longo do segundo mês, chegando no início de agosto ao valor de:

M = 700 x (1 + 10%) = 770 reais

Com o pagamento de 400 reais, esta dívida caiu para 770 – 400 = 370 reais. Este valor rendeu juros de 10% ao longo do terceiro mês, chegando no início de setembro ao valor de:

M = 370 x (1 + 10%) = 407 reais Este é o valor que precisou ser pago para quitar a dívida.

Resposta: A

19.

Um indivíduo deixa de pagar um título no valor de R$2.000,00, atrasando o pagamento em três meses. A taxa de juros, juros simples, é de 35% ao ano. Ao pagar o título, seu valor é

(A) R$ 2.250,00.

(B) R$ 2.325,00.

(C) R$ 2.175,00.

(D) R$ 2.155,00.

(E) R$ 4.100,00.

RESOLUÇÃO:

Temos uma dívida inicial C = 2000, taxa j = 35% ao ano e período t = 3 meses. Veja que a taxa e o período estão em unidades temporais distintas. Podemos resolver a questão considerando que t = 3/12 ano = 1/4 ano = 0,25 ano. Portanto, utilizando a fórmula de juros simples, temos:

M = C x (1 + j x t) M = 2000 x (1 + 35% x 0,25)

M = 2000 x (1,0875) = 2175

Assim, devido ao atraso de 3 meses deverá ser pago o valor de 2175 reais, em substituição aos 2000 reais do início.

Resposta: C

20.

O número de anos para que um capital quadruplique de valor, a uma taxa de 5% ao mês, juros simples, é de (A) 7,50.

(B) 3,80.

(C) 4,50.

(D) 5,00.

(E) 6,00.

RESOLUÇÃO:

Imagine que temos um capital inicial C. Para ele quadruplicar, é preciso que o montante final seja igual a 4C, ou seja, M = 4C. Sabemos ainda que a taxa de juros simples é j = 5% ao mês, portanto podemos usar a fórmula para obter o número de períodos necessários:

M = C x (1 + j x t) 4C = C x (1 + 0,05t) 4 = 1 x (1 + 0,05t) = 1 + 0,05t

0,05t = 4 – 1 t = 3 / 0,05 = 60 meses

Como 1 ano tem 12 meses, então 60 meses correspondem a 5 anos. Este é o período necessário para o capital quadruplicar, se aplicado a juros simples a uma taxa de 5% ao mês.

Resposta: D

21.

Leandro aplicou a quantia de R$ 200,00. Ao final do período, seu montante era de R$ 288,00. Se a aplicação de Leandro se deu em regime de juros simples, durante 8 meses, a taxa mensal de juros foi

a) 5,0%.

b) 5,5%.

c) 6,5%.

d) 7,0%.

e) 6,0%.

RESOLUÇÃO:

Aqui temos:

288 = 200 x (1 + j x 8) j = 5,5%

Resposta: B

22.

O preço de um eletrodoméstico aumentou, de agosto de 2010 para setembro do mesmo ano, R$ 120,00. Isso corresponde a um aumento mensal de 8%. O valor desse eletrodoméstico em setembro de 2010 era, em reais, um número

(a) maior do que 1600.

(b) menor do que 1600 e maior do que 1560.

(c) menor do que 1560 e maior do que 1520.

(d) menor do que 1520 e maior do que 1480.

(e) menor do que 1480 RESOLUÇÃO:

Temos um aumento de 120 reais em um período de 1 mês. Este aumento equivale à aplicação da taxa de juros j = 8% ao mês pelo prazo t = 1 sobre um determinado capital C, gerando juros de J = 120 reais. Isto é:

J = C x j x t 120 = C x 0,08 x 1

C = 1500 reais

Portanto, o valor inicial do eletrodoméstico era 1500 reais, e com o aumento de 120 reais ele passou a custar 1620 reais, o que nos permite marcar a alternativa A.

Resposta: A

23.

Um investidor deseja depositar uma determinada quantia em um banco para ter o direito de retirar R$

10.000,00 no prazo de um ano e mais R$ 10.000,00 no prazo de quatro anos. Sabendo-se que o banco remunera seus depósitos com uma taxa de juros simples de 6,25% ao trimestre, o menor valor presente a ser depositado por esse investidor é:

(A) R$ 6.667,66.

(B) R$ 10.000.00.

(C) R$ 13.000,00.

(D) R$ 14.535,32.

(E) R$ 30.250,00.

RESOLUÇÃO:

Seja C o valor inicialmente aplicado pelo investidor. Após um ano (t = 4 trimestres), sabendo que esta aplicação rende juros simples de j = 6,25% ao trimestre, temos o montante:

M = C x (1 + 6,25% x 4) M = 1,25C

Com a retirada de 10.000 reais no fim do primeiro ano, ficamos com o valor aplicado de:

1,25C – 10.000 reais

Durante os próximos 3 anos (t = 12 trimestres) este valor rende juros à taxa j = 6,25% ao trimestre, chegando ao montante:

M = (1,25C – 10.000) x (1 + 6,25% x 12)