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COPPE/UFRJ COPPE/UFRJ

PROPAGAÇÃO DE ONDAS ACÚSTICAS EM AMBIENTES CONTENDO OBSTÁCULOS USANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Edmundo Guimarães de Araújo Costa

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.

Orientador: José Antonio Fontes Santiago

Rio de Janeiro Dezembro de 2008

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OBSTÁCULOS USANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

Prof. José Antonio Fontes Santiago, D.Sc.

Prof. José Claudio de Faria Telles, Ph.D.

Prof. Webe João Mansur, Ph.D.

Prof. Luiz Alkimin de Lacerda, D.Sc.

Profa. Maria Smith Borges de Alencastro Graça, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL DEZEMBRO DE 2008

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Propagação de Ondas Acústicas em Ambientes contendo Obstáculos usando o Método dos Elementos de Contorno/Edmundo Guimarães de Araújo Costa. - Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2008.

XIII, 79 p.: il.; 29,7cm.

Orientador: José Antonio Fontes Santiago

Dissertação (mestrado) - UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Civil, 2008.

Referências Bibliográ cas: p. 67 – 71.

1. Método dos Elementos de Contorno. 2. Propapagação de Ondas Acústicas. I. Santiago, José Antonio Fontes. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título.

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com muito amor e carinho.

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Ao meu orientador, José Antonio Fontes Santiago, pela orientação e amizade, sem as quais não seria possível a conclusão deste trabalho.

Aos professores José Claudio de Faria Telles e Webe João Mansur, pela amizade e incentivo.

Aos meus avós, Edmundo e Cleuza, pelo amor e carinho, dos quais contribuíram para a minha formação pro ssional.

Aos meus pais, Clenicio e Léllis, pelo amor e companheirismo ao longo deste tempo.

À minha irmã querida, Rebeca, pela paciência, pelo amor e pelo incentivo.

Aos meus amigos do Lamec, Wellington, Cid Garcia, Pablo, Felipe, Leonardo Pinheiro, Cleberson, Flavio Cezario, Leonardo de Souza Miers, Marianne e Kátia, pela amizade e companheirismo durante todo o desenvolvimento deste trabalho.

À CAPES, pelo apoio nanceiro prestado neste trabalho.

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necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

PROPAGAÇÃO DE ONDAS ACÚSTICAS EM AMBIENTES CONTENDO OBSTÁCULOS USANDO O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Dezembro/2008

Orientador: José Antonio Fontes Santiago Programa: Engenharia Civil

Este trabalho trata da propagação de ondas acústicas em ambientes diversos contendo obstáculos, considerando as seguintes simpli cações: a fonte acústica é har- mônica no tempo, a velocidade do som é constante e o meio é homogêneo e está em repouso, na ausência de perturbação. A equação que governa este tipo de problema é conhecida na literatura, como a equação de Helmholtz, deduzida a partir da equação da onda escalar linear no domínio do tempo, através da transformada de Fourier. É apresentada a formulação clássica do Método dos Elementos de Contorno (MEC), no domínio da freqüência. A condição de contorno na superfície livre é incorporada na solução fundamental, considerando que essa solução satisfaça a condição de radiação de Sommerfeld no in nito. No nal, são apresentadas aplicações numéricas em barreiras acústicas e águas rasas com mudanças no fundo do mar. São utilizadas formulações do MEC com outras funções de Green e soluções analíticas encontradas na literatura, com a nalidade de validar resultados numéricos para essa classe de problema.

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requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ACOUSTIC WAVE PROPAGATION IN ENVIRONMENTS WITH OBSTACLES USING THE BOUNDARY ELEMENT METHOD

December/2008

Advisor: José Antônio Fontes Santiago Department: Civil Engineering

This work deals with the acoustic wave propagation in diferent environments with obstacles, considering the following simpli cations: the acoustic source is time- harmonic, the sound velocity is constant and the medium, in the absence of perturba- tions, is quiescent. The governing equation for this problem is known in literature as the Helmholtz equation, derived from the scalar wave equation in time-domain by the Fourier transform. The Boundary Element Method (BEM) classical formulation at the frequency-domain is demonstrated. The boundary conditions at the free surface are incorporated within the fundament solution, which satis es the Sommerfeld condition at in nity. Finally, numerical applications in acoustic barriers and shallow water with change at the seabed are presented. BEM formulations using other Green's functions

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Lista de Figuras x

1 Introdução 1

1.1 Considerações Preliminares . . . 1

1.2 Revisão Bibliográ ca . . . 2

1.3 Objetivos e Conteúdos . . . 5

2 Equações Básicas 7 2.1 Equações da dinâmica dos uidos . . . 8

2.1.1 Equação de continuidade . . . 8

2.1.2 Quantidade de movimento: Equação de Euler . . . 9

2.1.3 Equação de estado . . . 11

2.2 Equação da onda linearizada . . . 11

2.3 Equação de Helmholtz . . . 13

2.4 Velocidade do som em uidos . . . 14

2.5 Escalas em decibéis . . . 15

3 O Método dos Elementos de Contorno MEC aplicado a problemas de acústica 16 3.1 Conceitos básicos . . . 17

3.2 Formulação Clássica do Método dos Elementos de Contorno . . . 18

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3.2.1 Equação integral para pontos no interior do domínio . . . 18

3.2.2 Solução fundamental . . . 21

3.2.3 Equação integral de contorno . . . 22

3.3 Equação integral aproximada do Método dos Elementos de Contorno . . 29

3.4 Procedimento numérico . . . 30

3.5 Funções de interpolação e de forma . . . 31

3.5.1 Coordenadas cartesianas . . . 31

3.5.2 Potencial de velocidade e sua derivada normal . . . 32

3.6 Forma discretizada da equação integral no contorno . . . 33

3.7 Condição de Robin . . . 36

3.8 Função de Green . . . 37

4 Aplicações Numéricas 39 4.1 Análise de resultados em águas rasas . . . 39

4.1.1 Fundo com um degrau ascendente . . . 39

4.1.2 Fundo inclinado . . . 49

4.2 Análise de resultados com presença de barreiras acústicas . . . 59

5 Conclusões e Sugestões 65 Referências Bibliográ cas 67 A Equações Linearizadas 72 B Tabela de propriedade física 74 C Expansão em série de Taylor 75 D Funções de interpolação e de forma 77 D.1 Funções de forma . . . 77

D.2 Funções de interpolação . . . 78

(11)

2.1 Massa uindo na direçãoxatravés do volumedV. . . 8 3.1 De nição geométrica para a equação de Helmholtz. . . 18 3.2 Contorno acrescido por um pequeno semi-círculo bidimensional ou por

uma pequena semi-esfera tridimensional. . . 22 3.3 Elemento in nitesimal de um setor esférico. . . 27 4.1 Geometria de uma seção oceânica 2D contendo um degrau ascendente. . 40 4.2 Discretizações usando elementos de contorno. (a) Elemento constante

na interface e no contorno e (b) Elemento de tamanho variável somente na parte próxima ao obstáculo. . . 41 4.3 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha horizontal emy= 0:25m, nos dois trechos. . . 41 4.4 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos internos ao

longo de uma linha horizontal emy= 0:25m, nos dois trechos. . . 42 4.5 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha horizontal emy= 0:50m, nos dois trechos. . . 42 4.6 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos internos ao

longo de uma linha horizontal emy= 0:50m, nos dois trechos. . . 43 4.7 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha horizontal emy= 0:50m, no trecho que contém a fonte. . . . 43

(12)

4.8 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de uma linha horizontal em y = 0:50m, no trecho que contém a fonte. . . 44 4.9 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha horizontal emy= 0:75m, no trecho que contém a fonte. . . . 44 4.10 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos internos ao

longo de uma linha horizontal em y = 0:75m, no trecho que contém a fonte. . . 45 4.11 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha vertical emx= 0:0m. . . 45 4.12 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos internos ao

longo de uma linha vertical emx= 0:0m. . . 46 4.13 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha vertical emx= 10:0m. . . 46 4.14 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos internos ao

longo de uma linha vertical emx= 10:0m. . . 47 4.15 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ou interface ao

longo de uma linha vertical emx= 30:0m. . . 47 4.16 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos internos ou in-

terface ao longo de uma linha vertical emx= 30:0m. . . 48 4.17 Parte real do potencial de velocidade nos pontos do contorno D ao

longo de uma linha vertical emx= 30:0m. . . 48 4.18 Parte imaginária do potencial de velocidade nos pontos do contorno D

ao longo de uma linha vertical emx= 30:0m. . . 49 4.19 Geometria de uma seção oceânica 2D contendo um fundo inclinado. . . 50 4.20 Discretizações usando elementos de contorno e condições de contorno

diferentes. O fundo inclinado (a) possui tamanho de elemento variável e (b) o mesmo tamanho de elemento em todo o contorno. . . 51 4.21 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

(13)

4.22 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de uma linha horizontal emy= 100:0m. . . 52 4.23 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha horizontal emy= 150:0m. . . 53 4.24 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha vertical emx= 0:0m. . . 53 4.25 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha horizontal emy= 50:0m: . . . 55 4.28 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha vertical emx= 0:0m: . . . 56 4.31 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha vertical emx= 1000:0m: . . . 57 4.32 Parte real do potencial de velocidade nos pontos internos ao longo de

uma linha vertical emx= 2000:0m: . . . 57 4.33 Comparação da solução analítica com relação à solução numérica em

pontos próximos e alinhados à fonte em x = 0:0m quando o fundo inclinado é prescrito por = 0. . . 58 4.34 Comparação da solução analítica com relação à solução numérica em

pontos próximos e alinhados à fonte em x = 0:0m quando o fundo inclinado é prescrito por@ =@n= 0. . . 58 4.35 Geometria de uma seção transversal do problema 2D contendo uma bar-

reira acústica. . . 59

(14)

4.36 Níveis de pressão sonora em decibéis para uma fonte com freqüência de 50Hz com o solo acusticamente rígido. . . 60 4.37 Níveis de pressão sonora em decibéis antes e depois da barreira vertical

para uma fonte com uma freqüência de50Hz com o solo e a barreira acusticamente rígidos. . . 60 4.38 Níveis de pressão sonora em decibéis para uma fonte com freqüência de

100Hzcom o solo acusticamente rígido. . . 61 4.39 Níveis de pressão sonora em decibéis antes e depois da barreira vertical

para uma fonte com uma freqüência de500Hz com o solo e a barreira acusticamente rígidos. . . 63 4.44 Níveis de pressão sonora em decibéis antes e depois da barreira vertical

para uma fonte com uma freqüência de100Hz com o solo e a barreira acusticamente rígidos. Esta distribuição em SPL (dB) foi calculado por LACERDA [24] em sua tese de doutorado. . . 64 4.45 Níveis de pressão sonora em decibéis antes e depois da barreira vertical

para uma fonte com uma freqüência de500Hz com o solo e a barreira acusticamente rígidos. Esta distribuição em SPL (dB) foi calculado por LACERDA [24] em sua tese de doutorado. . . 64

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Cap´tulo 1

Introdução

1.1 Considerações Preliminares

Acústica é a ciência do som, incluindo sua geração, transmissão e efeitos. Na reali- dade, o estudo do som tem conotação mais ampla, já que se refere não somente ao fenômeno no ar responsável pela sensação da audição, mas também a tudo aquilo que é governado por princípio físico análogo. Assim como perturbações em freqüências muito baixas (infra-sons) ou muito elevadas (ultra-sons), que não são ouvidas por uma pessoa normal, são também consideradas como sons. Apesar de certos fenômenos acústicos e ópticos (como os de refração e difração) serem governados pelos mesmos princípios, o som é um movimento ondulatório mecânico enquanto a luz é um movimento de ondas eletromagnéticas.

A acústica aborda várias áreas e atividades por uma série de razões. Principalmente, a natureza da radiação mecânica, geradas por causas naturais e pelas atividades hu- manas. Áreas como produção e percepção da fala, gravação e reprodução da música, telefonia, reforço eletroacústicos, audiologia, acústica arquitetônica e controle do ruído estão todas fortemente relacionadas com a sensação da audição. Uma ampla variação de aplicações em ciência básica e tecnológica explora o fato da transmissão do som ser afetada e, conseqüentemente, fornecer informações, sobre o meio em que o som se propaga e sobre corpos e não-homogeneidades presentes neste meio [1].

Os problemas de engenharia, que envolvem propagação de ondas acústicas, são co-

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mumente descritos pelas leis da física, das quais, podem ser bem representadas matema- ticamente em termos de equações diferenciais parciais. Em muitos casos, uma forma alternativa e equivalente para resolver esses tipos de problemas é a utilização das equa- ções integrais. A principal e mais e ciente técnica numérica para resolver as equações integrais é conhecida como Método dos Elementos de Contorno (MEC).

1.2 Revisão Bibliográ ca

O Método dos Elementos de Contorno é uma técnica numérica relativamente nova, que teve um enorme desenvolvimento nas últimas três décadas. O método é baseado nas equações integrais de contorno, introduzidas por FREDHOLM [2], MUSKHEL- ISHVILI [3], KELLOGG [4], KUPRADZE [5], MIKHLIN [6] e outros autores. Com o surgimento dos computadores, este método tornou-se uma importante ferramenta em diversas áreas da engenharia, como em mecânica dos uidos, acústica, eletromagnetismo, estudo de fraturas, etc.

O Método dos Elementos de Contorno (MEC) é freqüentemente utilizado, em problemas onde o domínio de estudo é in nito ou semi-in nito, pois somente os contornos internos são discretizados desde que atenda a determinadas condições. É importante salientar que outros métodos, tais como: o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método das Diferenças Finitas (MDF), embora bastante empregados em diversas áreas da engenharia, para problemas externos (meio in nito ou semi-in nito), esses métodos tornam-se caros computacionalmente, pois é necessário a discretização do domínio até onde as variáveis envolvidas no problema não sejam mais in uenciadas, não cando a superfície externa muito afastada da geometria real (contorno interno).

Os problemas de propagação de ondas acústicas oceânicas em águas rasas próxi- mas a costa têm sido analisados através das modelagens numéricas com a aplicação do Método dos Elementos de Contorno.

As técnicas numéricas mais utilizadas em problemas de propagação de ondas acús- ticas oceânicas em águas rasas sãoray methods,normal mode methods,parabolic equa-

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Usando o Método dos Elementos de Contorno, DAWSON e FAWCETT [8] e WU [9] analisaram o problema de propagação de ondas acústicas em águas rasas.

Recentemente SANTIAGO e WROBEL [10, 11] também realizaram trabalhos nesta área, utilizando duas funções de Green modi cadas, uma satisfazendo apenas a condição de contorno na superfície livre e a outra satisfazendo diretamente a condição de contorno na superfície livre e na parte horizontal referente ao fundo do mar. Para resolver este tipo de problema, foi necessária a implementação da técnica das sub-regiões na formulação do MEC, criando uma interface capaz de compatibilizar os potenciais de velocidade e suas derivadas normais, tornando-se possível utilizar essas duas funções de Green modi cadas.

A utilização da técnica de sub-região [12, 13] para este tipo de problema é bastante adequada, pois evita discretizações de contornos que são incorporadas na solução fundamental.

Recentes artigos escritos por LINTON [14, 15] e PAPANICOLAOU [16] discutiram inúmeras técnicas matemáticas para obter uma melhor e mais rápida convergência das séries. Eles concluíram que a técnica mais e ciente é o método Ewald, o qual tem como característica principal melhorar a velocidade de convergência das funções de Green implementadas na formulação do MEC. Este método tem sido bem sucedido nas implementações do MEC realizadas por VENAKIDES et al. [17], no cálculo de espalhamento eletromagnético de cristais.

SANTIAGO e WROBEL [18] testaram a propriedade, a e ciência e a precisão de convergência das funções de Green, obtidas normalmente a partir do método das imagens, da expansão de autofunções (ou modos normais) e do método de Ewald. O método Ewald é discutido em detalhes por SANTIAGO e WROBEL [19] com a tentativa de otimizar os valores do parâmetrob, o qual separa as integrais utilizadas na representação de Ewald.

Na COPPE podemos citar a dissertação de mestrado de XAVIER [20], que estudou a propagação de ondas acústicas em águas rasas, utilizando dois modelos numéricos baseados no Método das Diferenças Finitas (MDF). O primeiro modelo conhecido como DFTD2D possibilitou a visualização de propagação de ondas acústicas em meios ui-

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dos e o comportamento das técnicas numéricas empregadas para minimizar os efeitos negativos provocados por re exões espúrias nos limites da malha numérica. Já o segundo modelo DFTDXAV desenvolvido a partir do primeiro, foi aplicado a três guias de ondas oceânicas distintas e as soluções obtidas, em termos de TL (Transmission Loss), foram comparadas com as soluções provenientes da aplicação dos demais modelos, tais como: (a) o Modal Acoustic Transmission Loss (MOATL) desenvolvido pelo Naval Research Laboratory(NRL) [21], baseado no Método dos Modos Normais (MN); (b) o Coupled-Mode Model (COUPLE) conforme descrito em EVANS [22], baseado no Método dos Modos Acoplados; (c) oRange-Dependent Acoustic Model(RAM) e o (d) Implicit Finite Difference Model(IFD), conforme descrito em LEE e MCDANIEL [23]

são baseados no Método das Equações Parabólicas (EP).

LACERDA [24] estudou problemas que envolvem propagação do som ao redor de barreiras acústicas sobre um plano rígido ou absorvente, utilizando o Método dos Ele- mentos de Contorno Convencional (MECC) e a formulação do MEC dual para barreiras acústicas nas, bi e tridimensionais. A formulação dual envolve a aplicação simultânea das equações integrais de contorno convencional e hipersingular sobre barreiras com espessura desprezada, que podem ter diferentes condições de contorno de cada lado.

A condição referente ao plano in nito absorvente é incorporada na Função de Green, evitando assim a discretização do solo. Também foi apresentada uma nova formulação bidimensional do MEC para o problema de propagação de som em um meio com movimento uniforme.

KUROGI e LACERDA [25] avaliaram a e ciência de barreiras acústicas em modelos bidimensionais, com a colocação de anexos sobre barreiras, o qual garante um aumento da e ciência da barreira, sem necessariamente aumentar sua altura. Utilizou-se uma técnica de otimização baseada em algorítmos genéticos para a de nição da posição mais adequada do anexo ao redor da barreira. Admitindo-se que o anexo é formado por um ou mais painéis com espessura muito inferior à da barreira, tornou-se necessário a formulação do MEC dual para a modelagem do anexo.

O Método dos Elementos de Contorno foi utilizado por GODINHOet al. [26] para

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barreira rígida in nita ao longo de uma dimensão próxima de prédios altos. A solução 3D foi calculada utilizando a soma de uma seqüência de problemas bidimensionais, considerando diferentes números de ondas ao longo de z.

GODINHOet al. [27] estudou a propagação de ondas sonoras em ambientes fecha- dos lateralmente por prédios altos com a presença de barreira acústica. A formulação do MEC foi usada para modelar a barreira rígida e o método das imagens para incorporar a presença dos prédios. As análises foram realizadas no domínio do freqüência e os sinais no tempo foram obtidos através da Transformada Inversa de Fourier.

1.3 Objetivos e Conteúdos

O objetivo desse trabalho será estudar a propagação de ondas acústicas em ambientes contendo obstáculos, utilizando a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) do domínio da freqüência. Alternativamente, será utilizado o método das imagens, incorporando a condição de contorno referente à superfície livre na solução fundamental somente para o problema de propagação de ondas acústicas em águas rasas e considerando também que essa solução satisfaça a condição de radiação de Sommerfeld no in nito.

No capítulo 2, será abordado, de forma introdutória, as equações básicas, das quais se deduzirá a equação que governa o problema a ser tratado no presente trabalho, conhecida como equação de Helmholtz e outros conceitos fundamentais.

Em seguida, o capítulo 3, dará enfoque às deduções do Método dos Elementos de Contorno aplicado a problemas de acústica bidimensional, descrevendo as formulações clássicas do Método dos Elementos de Contorno (MEC). O método das imagens será utilizado para evitar a discretização da superfície livre, evitando assim possíveis erros provenientes do truncamento da malha que representa a superfície livre no in nito.

No capítulo 4, serão analisados alguns problemas de propagação de ondas acústicas em águas rasas e outros problemas de propagação sonora ao redor de barreiras acústicas, considerando tanto o solo como a barreira superfícies acusticamente rígidas.

Comparações dos resultados numéricos com soluções analíticas encontradas na lite-

(20)

ratura ou outras formulações do MEC serão mostradas.

Finalizando, no capítulo 5 serão apresentadas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

(21)

Cap´tulo 2

Equações Básicas

Neste capítulo, serão descritas as equações da dinâmica dos uidos, KINSLER et al. [28], MALVERN [29], HALL [30] e BERANEK [31], tais como: a equação de continuidade, a equação da quantidade de movimento e a equação de estado, tendo como principal nalidade a obtenção da equação da onda acústica, e em seguida será deduzida de forma sucinta a equação da onda acústica linearizada, sendo importante salientar que esta equação refere-se a problemas onde o meio é homogêneo e está em repouso.

A equação da onda acústica linearizada no domínio do tempo será transformada na equação de Helmholtz no domínio da freqüência, através da transformada de Fourier, conforme descrito em LACERDA [24]. Outra possibilidade de se obter a equação de Helmholtz é através de separações de variáveis, como apresentada em SEYBERT [32]

e VON ESTORFFet al. [33].

O valor teórico referente à velocidade do som será calculado a partir da expressão da termodinâmica, cuja lei do gás adiabático relaciona a pressão e densidade. No presente trabalho será utilizada para medição de nível de pressão sonora a escala logarítmica conhecida comoSP L(Sound Pressure Level) expressa em decibel (dB).

(22)

2.1 Equações da dinâmica dos uidos

2.1.1 Equação de continuidade

Para demonstrar o movimento do uido na compressão ou na rarefação, é necessário uma relação funcional entre a velocidadeu=uxi+uyj+uzkde uma partícula e a massa especí ca sendo u_x, u_y e u_z componentes do vetor velocidade e i, j e k vetores unitários orientados nas direções dos eixos triortogonaisx,yez, respectivamente. Con- sidere um volume in nitesimal dV = dx dy dz, xo no espaço e através do qual elementos do uido o atravessam. A taxa de massa que ui para dentro do volume através da superfície deve ser igual ao aumento da taxa de massa dentro do volume. Conforme a Figura 2.1, pode-se observar que o uxo de massa neste volume in nitesimal, espa- cialmente xado, tem uma resultante na direçãoxigual a

u_x u_x+@( u_x)

@x dx dy dz = @( u_x)

@x dV (2.1)

dx dz

dy

x z y ux

ρ ( )

x dx u_x u^x

∂ +∂ ρ ρ

Figura 2.1: Massa uindo na direçãoxatravés do volumedV.

O sinal negativo indica um acúmulo de massa. Considerando o uxo através das outras faces do elemento in nitesimal, conclui-se que o uxo total é dado por

@( u_x)

@x +@( u_y)

@y + @( u_z)

@z dV [r ( u)]dV (2.2)

(23)

(@ =@t)dV, portanto a conservação da massa permite escrever

@

@t +r ( u) = 0 (2.3)

que é aequação de continuidade.

2.1.2 Quantidade de movimento: Equação de Euler

Considere novamente um volume in nitesimaldV =dx dy dzcontendo uma massa dmde uido. Seja uma força in nitesimaldf aplicada a esse elemento que irá acelerá- lo de acordo com a segunda lei de Newtondf = adm. Na ausência de viscosidade, a força atuante no volume na direçãoxé

df_x = p p+ @p

@xdx dy dz= @p

@xdV (2.4)

ondepé a pressão acústica.

Expressões análogas para as componentes df_y e df_z permitem escrever o vetor de força completodf =df_xi+df_yj+df_zkcomo

df = rp dV (2.5)

A aceleração do uido é obtida através da derivada material da velocidade u da partícula, cujo movimento segue a descrição espacial. Pode-se chegar nesta derivada da seguinte forma: quando o elemento de uido com velocidadeu(x; y; z; t)se move para um novo ponto(x+dx; y+dy; z+dz) no instante de tempot+dt, essa nova velocidade éu(x+dx; y+dy; z+dz; t+dt). Logo a aceleração é

a= lim

dt!0

u(x+u_xdt; y+u_y dt; z+u_z dt; t+dt) u(x; y; z; t)

dt (2.6)

O movimento da posição anterior para uma nova posição permite demonstrar o in-

(24)

cremento através das componentes de velocidade do elemento,

dx=u_xdt dy =u_y dt dz =u_z dt (2.7)

Sendo todos os incrementos in nitesimais, a nova velocidade pode ser expressa pelo primeiro termo da expansão de Taylor

u(x+u_x dt; y+u_y dt; z+u_zdt; t+dt) =

u(x; y; z; t) + @u

@xu_xdt+ @u

@yu_ydt+@u

@zu_zdt+ @u

@tdt+" (dt)² (2.8) onde" (dt)² é um erro da ordem de(dt)².

Substituindo a expressão (2.8) na expressão (2.6) da aceleração, fazendo o limitedt tende a zero, obtém-se

a= @u

@t +u_x@u

@x +u_y@u

@y +u_z@u

@z (2.9)

De nindo o operador(u r)como

(u r) =u_x @

@x +u_y @

@y +u_z @

@z (2.10)

a aceleraçãoapode ser escrita mais sucintamente como

a= @u

@t + (u r)u (2.11)

sendo esta expressão (2.11) a derivada material deaem coordenadas espaciais.

Agora, a massadmdo elemento é de nido como dV, substituindo emdf =adm, tem-se:

rp= @u

@t + (u r)u (2.12)

(25)

2.1.3 Equação de estado

Experimentalmente os processosacústicossão quaseadiabáticos. A troca de ener- gia térmica entre as partículas é insigni cante, portanto sobre estas condições, pode se dizer que a entropia do uido permanece quase constante.

Sabendo-se que o som é uma perturbação na qual a pressão sonorappode ser determinada apenas através da densidade ,p=p( ). Esta relação pode ser escrita em Serie de Taylor

p=p_o+ @p

@ _o( _o) + 1 2

@²p

@ ² _o( _o)²+::: (2.13)

Como uma onda sonora é um movimento ondulatório de pequena amplitude, pode- se eliminar os termos de segunda ordem. Portanto, a equação (2.13) fornecerá uma re- lação linear entre a utuação de pressão e a densidade, conforme apresenta por PIERCE [34]

p p_o = @p

@ _o( _o) (2.14)

2.2 Equação da onda linearizada

Existem três equações (2.3), (2.12) e (2.14) que precisam ser linearizadas e com- binadas para fornecer uma única equação diferencial. E para isso, torna-se necessário escrever as variáveisu,pe da seguinte forma

u=u_o+u⁰ p=p_o+p⁰ = _o+ ⁰ (2.15)

onde u_o, p_o e _o são variáveis que representam o uido em repouso e u⁰, p⁰ e ⁰ representam as utuações de velocidade, pressão e densidade na presença de perturbação acústica.

Utilizando-se as expressões (2.15) para linearizar as equações de continuidade e da quantidade de movimento ou equação de Euler, em um meio homogêneo e em repouso

(26)

( _o =const:,uo = 0) como demonstrado no Apêndice A, obtém-se

@ ⁰

@t +r ( _ou⁰) = 0 (2.16)

o

@u⁰

@t +rp⁰ = 0 (2.17)

e substituindo-se novamente as expressões (2.15) na expressão (2.14), chega-se a

p⁰ = @p

@ _o

0 (2.18)

Como o gradiente (@p=@ )_o é uma constante positiva, pode-se agora introduzir uma nova variávelcde nida por

c² = @p

@ _o (2.19)

e então a expressão (2.18) torna-se

p⁰ =c² ⁰ (2.20)

Para obter a equação da onda linear para um meio homogêneo e em repouso, é necessário fazer a derivada temporal de todos os termos da equação de continuidade linearizada (2.16) já com a expressão (2.20) substituída, e fazer o divergente de todos os termos da equação de Euler linearizada (2.17), e em seguida subtrair uma pela outra, escrevendo-se portanto

r²p⁰ 1 c²

@²p⁰

@t² = 0 (2.21)

ondecé a velocidade do meio ep⁰ é a pressão acústica.

(27)

2.3 Equação de Helmholtz

A partir da equação da onda, a pressão acústica para um problema harmônico no tempo, pode ser de nida usando a transformada de Fourier

P(x; !) = Z1

1

p⁰(x; t)e ^i!tdt (2.22)

onde P(x; !) é um valor complexo, ! é a freqüência angular ee ^i!t é o exponencial complexo.

Usando a expressão (2.22), a equação (2.21) no domínio do tempo pode ser transformada naequação de Helmholtz

r²P +!²

c²P = 0 (2.23)

que, através da introdução do número de onda k = !=c, também pode ser escrita da seguinte forma

r²P +k²P = 0 (2.24)

A relação entre o potencial de velocidade e a pressão acústicaP é dada por

P = i! _o (2.25)

Em termos de potencial de velocidade , a equação de Helmholtz é idêntica a equação (2.24), desde que!seja constante, ou seja

r² +k² = 0 (2.26)

A componente normal da velocidade (un) da partícula pode ser obtida como

u_n= @

@n =r n (2.27)

(28)

2.4 Velocidade do som em uidos

Na Seção 2.3, veri cou-se que a variávelc(velocidade do meio) pode ser escrita da seguinte forma

c= s

@p

@ adiabatico

(2.28)

e quando uma onda sonora propaga-se através de umgás perfeito, a lei do gás adiabático pode ser utilizada para extrair a seguinte relação, conforme descrito em KINSLERet al.

[28]

@p

@ _adiabatico = p

(2.29)

Se a expressão (2.29) for agora avaliada em _o e substituída na expressão (2.28),

c= r p_o

o

(2.30)

é obtida.

No Apêndice B estão incluídos os valores de e _o do gás à 20^oC e a pressão permanentep_o = 1atm= 1:013 10⁵P a, desta forma a expressão (2.30) fornecerá

c_o =

r1:402 1:013 10⁵

1:21 = 343m=s (2.31)

ondec_oé o valor teórico referente a velocidade do som no ar à 20^oC.

O procedimento teórico da velocidade do som em líquidos é considerado mais com- plicado do que em gases. Entretanto, é possível obter uma equação similar a equação (2.30), para usá-la no cálculo teórico da velocidade do som na água [28]. Essa equação é

c=

s B_T

o

(2.32)

(29)

ondeBT é o módulo de Bulk.

Substituindo os valores do Apêndice B na equação (2.32), obtém-se

c=

r1:01 2:28 10⁹

1026 = 1500m=s (2.33)

ondecé o valor teórico da velocidade do som na água à 13^oC.

Esses valores teóricos serão utilizados nos exemplos numéricos do capítulo 4.

2.5 Escalas em decibéis

Habitualmente, a escala logarítmica usada para descrever pressão e intensidade sonora é conhecida como níveis sonoros (sound levels).

O nível de intensidade sonora (LI), de intensidadeI é de nido por

LI = 10 log jIj

I_ref (2.34)

onde I_ref é a intensidade de referência, L_I é expresso na referência decibel (dB) e o

“log” representa o logaritmo na base 10.

O nível de pressão sonora SPL (Sound Pressure Level) que será utilizado nos exemplos dos capítulos seguintes, é representado da seguinte forma

SP L= 20 log jP_ej

P_ref (2.35)

onde SPL é expresso em decibel (dB), P_e é a pressão da onda sonora efetiva (valor medido), e P_ref é a pressão efetiva de referência, geralmente tomada como P_ref = 2:10 ⁵ Pa (valor tomado com base nos limites da audição humana).

(30)

Cap´tulo 3

O Método dos Elementos de Contorno MEC aplicado a problemas de acústica

Neste capítulo, será apresentada a equação diferencial que governa o problema estu- dado, com as condições de contorno necessárias e em seguida as equações integrais para pontos no interior do domínio, com sua respectiva solução fundamental e a equação integral de contorno, dando uma breve introdução ao Método dos Elementos de Contorno.

Será deduzida a formulação clássica do Método dos Elementos de Contorno (MEC), logo a seguir, será abordado o procedimento numérico. Serão mostradas as funções de interpolações para o potencial de velocidade e a sua derivada normal e as funções de forma para as coordenadas cartesianas. A forma discretizada da equação integral de contorno será demonstrada com o intuito de se obter o sistema de equações lineares, conforme descrito em BREBBIA e DOMINGUEZ [35], WROBEL [36] e BREBBIAet al. [13].

A condição de Robin será apresentada, já introduzida no sistema de equações, sendo possível após a resolução obter os valores desconhecidos através da relação linear entre potencial velocidade e a sua derivada normal.

(31)

3.1 Conceitos básicos

Como já foi visto no capítulo 2, a propagação de ondas acústicas lineares no domínio , conforme a Figura 3.1, é governada pelaequação de Helmholtz. Introduzindo uma fontebacústica de freqüência!na equação (2.26) tem-se:

r² +k² = b em (3.1)

Esta equação está sujeita a três diferentes tipos de condições de contorno que são deduzidas por uma única expressão

@

@n(x) + (x) = em (3.2)

onde

= 0; = 1 !Condição de contorno de Dirichlet ou “Essencial”

= 1; = 0 !Condição de contorno de Neumann ou “Natural”

= 1; 6= 0 !Condição de contorno de Robin

(3.3)

sendo n o vetor unitário normal ao contorno que aponta para fora do domínio e =

1[ ²[ ³.

Para problemas externos (domínio in nito) a condição de radiação de Sommerfeld no in nito deve ser satisfeita, ou seja:

xlim!1

@

@n(x) ik (x) = 0 (3.4)

A condição de contorno de Robin (condição mista), possibilita uma relação linear do potencial de velocidade e a sua derivada normal. Uma vez que, essa condição é útil para representar a absorção do som de uma determinada superfície com algumas limitações.

(32)

x y

Ω

n

b

Γ1

Γ

2

Γ3

Figura 3.1: De nição geométrica para a equação de Helmholtz.

3.2 Formulação Clássica do Método dos Elementos de Contorno

3.2.1 Equação integral para pontos no interior do domínio

A equação integral do método dos elementos de contorno (MEC) para potencial pode ser deduzida partindo do método dos resíduos ponderados ou da segunda identidade de Green.

A equação integral para os pontos no interior do domínio será deduzida através da segunda identidade de Green, escrita como

Z

gr² r²g d = Z

g@

@n

@g

@n d (3.5)

ondege são funções escalares e considerando que = (x; y; z)satisfaz a equação de Helmholtz, somando e subtraindo na equação (3.5) a integralR

(x)4( ;x)d , obtém-se

Z

gr² d Z

r²gd Z

4( ;x)d + Z

4( ;x)d =

Z g@

@n

@g

@n d (3.6)

(33)

onde é o ponto fonte,xé o ponte campo e4( ;x)é a “função” Delta de Dirac.

Substituindor² = b(x) k² [equação (3.1)] na equação (3.6), tem-se Z

g b(x) k² d Z

r²gd Z

4( ;x)d + Z

4( ;x)d =

Z g@

@n

@g

@n d (3.7)

cuja equação pode ser reescrita como sendo Z

b(x)gd Z

k²g d Z

r²gd Z

4( ;x)d + Z

4( ;x)d =

Z g@

@n

@g

@n d (3.8)

ou seja, Z

b(x)gd Z

r²g+k²g+4( ;x) d + Z

4( ;x)d =

Z g@

@n

@g

@n d (3.9)

A segunda integral do lado esquerdo da equação (3.9) introduz incógnitas, pois apresenta potencial de velocidade de domínio. A integral do lado direito só apresenta incógnitas no contorno e como o objetivo principal do MEC é eliminar as incógnitas de domínio, a segunda integral do lado esquerdo deve ser zero,

r²g+k²g+4( ;x) = 0 (3.10) visto que é o potencial de velocidade e deve ser diferente de zero.

Tomando a propriedade da “função” Delta de Dirac Z

f(x)4( ;x)d =f( ) (3.11)

tem-se que a terceira integral do lado esquerdo da equação (3.9) é igual a ( ).

(34)

Substituindo ( )na equação (3.9), já eliminando o termo nulo e levando a integral de domínio referente a fonte para o lado direito, obtém-se a equação integral para pontos do domínio ( 2 ), escrita da seguinte forma

( ) = Z

g@

@n

@g

@n d + Z

b(x)gd (3.12)

A solução da equação (3.10) é chamada de solução fundamental e denota-se por G( ;x). Assim, substituindogporG( ;x)na equação (3.12), obtém-se

( ) = Z

G( ;x)@

@n(x)d Z

(x)@G( ;x)

@n d +

Z

b(x)G( ;x)d (3.13)

Na equação (3.13), o termo fonte referente a integral de domínio, lembrando que essa fonte está associada a uma freqüência, pode ser representado da seguinte forma, conforme descrito por WROBEL [36]

b(x) = Xnf

l=1

Q_l4 ^fl;x (3.14)

onde nf é o número de fontes do domínio e Q_l é a magnitude da fonte concentrada situada emx. Substituindo a expressão (3.14) na equação (3.13), chega-se a

( ) = Z

G( ;x)@

@n(x)d Z

(x)@G( ;x)

@n d +

Z X^nf

l=1

Q_l4 ^fl;x G( ;x)d (3.15)

Aplicando novamente a propriedade da “função” Delta de Dirac, a equação (3.15) lê-se

( ) = Z

G( ;x)@

@n(x)d Z

(x)@G( ;x)

@n d +

Xnf l=1

Q_lG( ^f_l; ) (3.16)

(35)

3.2.2 Solução fundamental

Existem várias soluções para esta equação (3.10), dependendo do domínio e das condições de contorno adotadas.

Para resolvê-la considerando um plano in nito (2D), utiliza-se o sistema de coordenadas cilíndricas (r; ; z) e a simetria de propagação, de modo que, a solução fundamental só dependa der. Assim a equação de Helmholtz passa a ser

d²G dr² + 1

r dG

dr +k²G= 4( ;x) (3.17)

Cuja solução é dada por [37]

G( ;x) = i

4H₀⁽¹⁾(kr) (3.18)

onde G( ;x)deve satisfazer a equação (3.4), H₀⁽¹⁾ é a função de Hankel de primeiro tipo e de ordem zero ek é o número de onda. A derivada dessa solução em relação a normal, que será utilizada na equação integral, é dada por

@G( ;x)

@n = ik

4H₁⁽¹⁾(kr) @r

@n (3.19)

ondeH₁⁽¹⁾ é a função de Hankel de primeiro tipo e de ordem um.

Para obter a solução fundamental para o caso tridimensional é necessário resolver a equação (3.10) considerando um espaço in nito, e para isso, utiliza-se o sistema de coordenadas esféricas (r; ; ) e a simetria esférica de propagação, de tal sorte que, a solução só dependa der, portanto a equação de Helmholtz torna-se

d²G dr² + 2

r dG

dr +k²G= 4( ;x) (3.20)

Cuja solução fornece a seguinte expressão

G( ;x) = 1

4 re^ikr (3.21)

(36)

que deve satisfazer a condição de Sommerfeld.

A sua derivada normal é

@G( ;x)

@n = e^ikR 4

1 r²

ik r

@r

@n (3.22)

3.2.3 Equação integral de contorno

A partir da equação (3.16), a qual é válida somente para os pontos no interior do domínio , torna-se necessário escrevê-la também para os pontos pertencentes ao contorno . Sendo importante ressaltar o problema referente à singularidade da solução fundamental, que ocorre quando o ponto fonte , estando no contorno, coincide com o ponto campox, variando também no contorno. Para esta análise será utilizada a alternativa de se excluir um setor circular (2D) ou incluir um setor esférico (3D), do domínio , centrado no ponto fonte e de raio", conforme as Figuras 3.2.a e 3.2.b, respectivamente, onde é o contorno total, " é o contorno retirado e " é o contorno do setor circular ou esférico.

Γ

ε

Γ

n

ε

Ω x

Ω

ε

ξ

x

n

x

n

ε

Ω

ε

Ω Γ

ε

ξ r

) a

( (b)

Γ

_ε+

Γ

_ε−

Figura 3.2: Contorno acrescido por um pequeno semi-círculo bidimensional ou por uma pequena semi-esfera tridimensional.

Analisando o caso bidimensional, a segunda identidade de Green para este problema

(37)

pode ser escrita como

lim"!0

Z

"

G( ;x)r² (x) (x)r²G( ;x) d =

lim"!0

Z

"

G( ;x)@

@n(x) (x)@G( ;x)

@n d +

lim"!0

Z

"

G( ;x)@

@n(x) (x)@G( ;x)

@n d (3.23)

Substituindo as expressões (3.1) e (3.10) na integral de área apresentada na equação (3.23), obtém-se

I = lim

"!0

Z

+ "

G( ;x)b(x)d + Z

+ "

( ;x) (x)d (3.24) Para fontes pontuais e tendo em vista a propriedade do Delta de Dirac (equação (3.11)) a equação (3.24) pode ser escrita como

I = Xnf

l=1

Q_lG( ^f_l; ) (3.25)

Fazendo o limite quando " ! 0, o contorno " tende a e suas respectivas integrais devem ser tratadas como integrais impróprias. Como o objetivo desta demons- tração é obter a equação integral, apenas as integrais referentes a _" serão estudadas, ou seja

I₁ = lim

"!0

Z

"

G( ;x)@

@n(x)d (3.26)

I₂ = lim

"!0

Z

"

(x)@G( ;x)

@n d (3.27)

Para analisá-las, será utilizada a solução fundamental no espaço bidimensional (2D) e como a análise refere-se ao contorno "onder=", tem-se

G( ;x) = i

4H₀⁽¹⁾(k") (3.28)

(38)

@G( ;x)

@n = @G( ;x)

@"

@n = ik

4H₁⁽¹⁾(k") (3.29)

onde H₀⁽¹⁾ é a função de Hankel de primeiro tipo e ordem zero e H₁⁽¹⁾ é a função de Hankel de primeiro tipo e ordem um. As funções de Hankel são de nidas por

H₀⁽¹⁾(k") =J₀(k") +iY₀(k") (3.30)

H₁⁽¹⁾(k") =J₁(k") +iY₁(k") (3.31) sendoJeY funções de Bessel de primeiro e segundo tipo, respectivamente, e o subscri- to indicando a ordem. Para pequenos argumentos, as funções de Bessel são de nidas em ABRAMOWITZ e STEGUN [38] na página 360, fórmulas 9.1.7, 9.1.8 e 9.1.9

J (z) 1

2z = ( + 1) ( 6= 1; 2; 3; :::) (3.32) Y₀(z) iH₀⁽¹⁾(z) iH₀⁽²⁾(z) (2= ) lnz (3.33) Y (z) iH⁽¹⁾(z) iH⁽²⁾(z) (1= ) ( ) 1

2z (< >0) (3.34) onde o argumentoz =k"e é a ordem das funções de Bessel.

Fazendod ="d e substituindo a equação (3.28) na integral (3.26) obtém-se

I₁ = i 4lim

"!0

Z

"

H₀⁽¹⁾(k")@

@n(x)"d (3.35)

Considerando a função de Hankel de nida pela expressão (3.30) e as expressões (3.32) e (3.33) válidas apenas para pequenos argumentos, a integral (3.35) pode ser reescrita da seguinte forma

I₁ = i 4lim

"!0

Z

"

1

(1) +i 2

ln(k") @

@n(x)"d (3.36)

como o produto das funções de Bessel com"é zero, quando"!0, essa integral é nula.

Sabendo que J₀⁰(k") = J₁(k"), Y₀⁰(k") = Y₁(k") [38] e usando as mesmas

(39)

conside-rações, a integral (3.27) torna-se

I2 = ik 4lim

"!0

Z

"

(x) k"

2 (2) +i2 (1)

k" "d (3.37)

Neste caso, somente o produto da parte real da função de Hankel com " é zero, portanto, torna-se necessário o desenvolvimento em série de Taylor da função de (x) em torno de para a parte imaginária,

(x) = ( ) +" @

@n +O "² (3.38)

A obtenção desta expressão (3.38), encontra-se demonstrado no Apêndice C.

Substituindo a expressão (3.38) na integral (3.27)

I₂ = lim

"!0

Z

"

( ) +" @

@n +O "²

# @G( ;x)

@n d (3.39)

tomando-se o limite quando"!0, observa-se facilmente que alguns termos são nulos, obtendo-se

I₂ = lim

"!0

Z

"

( )@G( ;x)

@n d (3.40)

admitindo que,

C ( ) = lim

"!0

Z

"

@G( ;x)

@n d (3.41)

sendo,

I₂ = ( )C ( ) (3.42)

Substituindo as expressões (3.25) e (3.42) na equação (3.23) a equação integral para

(40)

pontos no contorno ( 2 ), escreve-se

C ( ) ( ) = Z

G( ;x)@

@n(x)d Z

(x)@G( ;x)

@n d +

Xnf l=1

QlG( ^f_l; ) (3.43)

portanto, o coe cienteC ( )depende da geometria onde está aplicado o ponto fonte ,

C ( ) = 0 2=

C ( ) = 1=2 2 e é suave C ( ) = 1 2

(3.44)

Analisando o caso tridimensional, a segunda identidade de Green pode ser escrita como

lim"!0

Z

+ "

G( ;x)r² (x) (x)r²G( ;x) d =

lim"!0

Z

"

G( ;x)@

@n(x) (x)@G( ;x)

@n d +

lim"!0

Z

+"

G( ;x)@

@n(x) (x)@G( ;x)

@n d (3.45)

Substituindo as expressões (3.1) e (3.10) na integral de volume apresentada na equação (3.45), obtém-se

I = lim

"!0

Z

++ "

G( ;x)b(x)d + Z

++ "

( ;x) (x)d (3.46) Para fontes pontuais e tendo em vista a propriedade do Delta de Dirac (equação (3.11)) a equação (3.46) pode ser escrita como

I = Xnf

l=1

Q_lG( ^f_l; ) + ( ) (3.47)

Fazendo o limite quando " ! 0, o contorno " tende a e suas respectivas

(41)

integrais devem ser tratadas como integrais impróprias. Como o objetivo desta demons- tração é obter a equação integral, apenas as integrais referentes a ⁺_" serão estudadas, ou seja

I₁ = lim

"!0

Z

+"

G( ;x)@

@n(x)d (3.48)

I₂ = lim

"!0

Z

+"

(x)@G( ;x)

@n d (3.49)

Para analisá-las, será utilizada a solução fundamental no espaço tridimensional (3D) e como a análise refere-se ao contorno "onder=", tem-se

G( ;x) = e^ik"

4 " (3.50)

@G( ;x)

@n = @G( ;x)

@"

@n = e^ik"

4 "²

ike^ik"

4 " (3.51)

Tendo em vista que d = "²sen d d , conforme a Figura 3.3, substituindo a equação (3.50) na integral (3.48) torna-se

I₁ = 1 4 lim

"!0

Z

+

"

e^ik"@

@n(x)"sin d d (3.52)

y z

x

α

ξ

^d^α

π α

π θ

2 0

0

≤

θ

α θ ε^sen ^d

θ ε

d

θ ε

d

θ α θ ε sen d d dΓ= ²

Figura 3.3: Elemento in nitesimal de um setor esférico.

(42)

Como só existe"no numerador do integrando conclui-se que essa integral vale zero, quando"!0.

Usando as mesmas considerações, a integral (3.49) torna-se

I₂ = lim

"!0

Z

+"

(x) e^ik"

4 "²

ike^ik"

4 " "²sin d d (3.53) ou seja,

I₂ = lim

"!0

Z

+"

(x) e^ik"

4 "²"²sin d d lim

"!0

Z

+"

(x)ike^ik"

4 " "²sin d d (3.54) simpli cando e já eliminando a segunda integral, devido ao"no numerador, tem-se

I₂ = 1 4 lim

"!0

Z

+

"

(x)e^ik"sin d d (3.55)

O desenvolvimento em série de Taylor da função de (x)em torno de é

(x) = ( ) +" @

@n +O "² (3.56)

A obtenção desta expressão (3.56), encontra-se demonstrado no Apêndice C.

Substituindo a expressão (3.56) na integral (3.49)

I2 = lim

"!0

Z

+"

"

( ) +" @

@n +O "²

#@G( ;x)

@n d (3.57)

tomando-se o limite quando"!0, observa-se facilmente que alguns termos são nulos, obtendo-se

I₂ = lim

"!0

Z

+"

( )@G( ;x)

@n d (3.58)

admitindo que,

C⁺( ) = lim

"!0

Z

+

"

@G( ;x)

@n d (3.59)

(43)

sendo,

I2 = ( )C⁺( ) (3.60)

Substituindo as expressões (3.47) e (3.60) na equação (3.45) a equação integral para pontos no contorno ( 2 ), escreve-se

1 +C⁺( ) ( ) = Z

G( ;x)@

@n(x)d Z

(x)@G( ;x)

@n d +

Xnf l=1

Q_lG( ^f_l; ) (3.61)

portanto, o coe cienteC⁺( )depende da geometria onde está aplicado o ponto fonte ,

C⁺( ) = 0 2=

C⁺( ) = 1=2 2 e é suave C⁺( ) = 1 2

(3.62)

3.3 Equação integral aproximada do Método dos Ele- mentos de Contorno

Para obter a equação integral utilizada pelo Método dos Elementos de Contorno aplica-se o Metodo dos Resíduos Ponderados, conforme apresentado em BREBBIA e DOMINGUEZ [35] na equação (3.43), obtendo-se

Z

C( ) ( )wⁱd =

Z Z

G( ;x)@

@n(x)d wⁱd Z Z

(x)@G( ;x)

@n d wⁱd + Z "X^nf

l=1

Q_lG( ^f_l; )

#

wⁱd (3.63)

Utilizando o Método de Colocação, a função de ponderação é a “função” Delta de

(44)

Diracwⁱ =4 ⁱ; , portanto a equação (3.63) pode ser reescrita como sendo Z

C( ) ( )4 ⁱ; d =

Z Z

G( ;x)@

@n(x)d 4 ⁱ; d Z Z

(x)@G( ;x)

@n d 4 ⁱ; d +

Z "X^nf

l=1

Q_lG( ^f_l; )

#

4 ⁱ; d (3.64)

Tomando a propriedade da “função” Delta de Dirac referente a equação (3.11), chega-se a

C( ⁱ) ⁱ = Z

G( ⁱ;x)u_n(x)d Z

(x)@G( ⁱ;x)

@n d +

Xnf l=1

Q_lG( ^f_l; ⁱ); i= 1; :::; N N (3.65)

onde (x)eu_n(x) =@ (x)=@nsão soluções aproximadas, ⁱ são os pontos de colo- cação aplicados nos nós funcionais do problema e N N é o número total de pontos nodais funcionais. A componente normal da velocidade é dada poru_n(x)oup(x):

3.4 Procedimento numérico

Para resolver a equação (3.65), considerando as condições de contorno estabelecidas pela expressão (3.2), os procedimentos adotados são:

O contorno é discretizado em uma série de elementos sobre os quais (x) e p(x)são interpolados em funções dos pontos nodais funcionais e as coordenadas cartesianas são interpoladas em função dos pontos nodais geométicos.

A equação (3.65) é escrita de forma discretizada, para cada ponto nodal ⁱ do contorno e as integrais são calculadas sobre cada elemento do contorno _j. Obtém-se desta forma um sistema de equações algébricas N N N N que en- volvemN N valores nodais referentes ao potencial de velocidade eN N valores

(45)

As condições de contorno (3.2) são impostas, conseqüentemente N N valores nodais são prescritos (condição de contorno de Dirichlet, de Neumann e/ou de Robin).

O sistema de equações pode, então, ser resolvido de modo a obter osN N valores nodais incógnitos.

Os valores dos potenciais de velocidade e suas derivadas normais (componente normal da velocidade) podem ser obtidos em quaisquer pontos no interior utilizando a equação integral aplicadas à pontos no domínio, também de forma dis- creta.

3.5 Funções de interpolação e de forma

3.5.1 Coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas x^(j) dos pontos do contorno situados ao longo do elemento _j são expressas em termos das coordenadas dos nós geométricos x^(jm), rela- cionados pelas funções de forma', dada pela seguinte expressão

x^(j) ='x^(jm) (3.66)

e generalizando,

x^(j)_k = XM m=1

'^(m)x^(jm)_k (3.67)

onde:

x^(j)_k é a coordenadax_kno ponto pertecente ao contorno j

x^(jm)_k é a coordenadax_k no ponto nodal geométrico (m) no contorno _j '^(m)é a função de forma

M é o número de pontos nodais geométricos, pertecentes ao contorno _j

(46)

As funções de forma linear para 2D, encontram-se demonstradas na seção D.1 do Apêndice D.

3.5.2 Potencial de velocidade e sua derivada normal

Os potenciais de velocidade e suas derivadas normais são também aproximados sobre cada elemento através das funções de interpolação , dado por

(j) = ^(jk) (3.68)

u^(j)_n = u^(jk)_n (3.69)

ou seja,

(j) = XN

k=1

(k) (jk) (3.70)

u^(j)_n = XN k=1

(k)u^(jk)_n (3.71)

onde:

(j) é o potencial de velocidade num ponto pertencente ao contorno j

u^(j)n é a componente normal da velocidade num ponto pertencente ao contorno _j

(jk) é o potencial de velocidade no ponto nodal funcional (k) no contorno j

u^(jk)n é a derivada normal no ponto nodal funcional (k) no contorno _j

(n)é a função de ponderação

N é o número de pontos nodais funcionais, pertencentes ao contorno _j

As funções de interpolações para 2D, encontram-se demonstradas na seção D.2 do Apêndice D.

Como as funções de interpolação e de forma são escritas em termos da coordenadas adimensional , deve-se escreverd em relação a este sistema de coordenadas intrínse-

(47)

cas

d =jJjd (3.72)

onde o jacobiano da transformaçãojJjé dado por

jJj= s

dx₁ d

2

+ dx₂ d

2

(3.73)

3.6 Forma discretizada da equação integral no contorno

Considerando que o contorno sejá discretizado em N E elementos, a equação (3.65) pode ser escrita como

C( ⁱ) ⁱ = XN E

j=1

Z

j

G( ⁱ;x)u^(j)_n (x)d (x)

XN E j=1

Z

j

(j)(x)@G( ⁱ;x)

@n d (x) + Xnf

l=1

Q_lG( ^f_l; ⁱ); i= 1; :::; N N (3.74) e substituindo as expressões (3.70) e (3.71) na equação (3.74) tem-se

C( ⁱ) ⁱ = XN E

j=1

Z

j

G( ⁱ;x) XN

k=1

(k)u^(jk)_n d (x)

XN E j=1

Z

j

XN k=1

(k) (jk)@G( ⁱ;x)

@n d (x) + Xnf

l=1

Q_lG( ^f_l; ⁱ); i= 1; :::; N N (3.75)