Mecânica dos Fluidos

Universidade Federal de Viçosa

Mecânica dos Fluidos

CAP. 4-Dinâmica dos Fluidos

Parte 1- Equação da Conservação da Massa

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Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Taxa da variação temporal de B do sistema

coincidente



 ^{   }



 

S C VC

si st

dA n ˆ

. V b t bd

Dt

DB 

Taxa da variação

temporal de B contido no V.C coincidente

Fluxo líquido de B através da superfície de controle

TEOREMA DO TRANSPORTE DE REYNOLDS

B=mb

B= propriedade extensiva (proporcional a massa-ex: massa, quantidade de movimento, etc..)

B= Parâmetro físico a ser analisado (escalar ou vetorial – ex:

massa(escalar), quantidade de movimento (vetorial)) m= massa

b= propriedade intensiva (independe da massa – ex: velocidade,

pressão, temperatura, etc...)

Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Equação da conservação da massa

Aplicando o teorema de transporte de Reynolds

Tem-se:

Parâmetro físico a ser analisado do sistema é a massa, Logo: B= M _sis -> b=1



 ^{   }



 

S C VC

si st

dA n ˆ

. V b t bd

Dt

DB 



 ^{   }



 

S C VC

si st

dA n ˆ

. V t d

Dt

DM 

Taxa da variação

temporal da massa do sistema coincidente

Taxa da variação temporal da massa contida no V.C

Fluxo líquido de massa

através da superfície de

controle

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Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Equação da conservação da massa

Como o sistema é uma quantidade fixa e identificável de material, então tem-se que:

Logo:

Taxa de variação temporal da massa do sistema = 0

Dt 0 DM _sist



2,0 kg de água serão sempre 2,0 kg de água

(Eq. 02)

Analisando cada termo da eq. 01 – Lado esquerdo

Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Para escoamento em regime permanente, onde todas as propriedades no campo de escoamento permanecem constantes no tempo, então:

“A taxa de variação temporal da massa contida no volume de controle é nula”

A massa de água contida em determinado volume será sempre a mesma (Eq. 03)

Analisando cada termo da eq. 01 – 1º Lado direito

0 t _VC  d  



 

Atenção: para regime não permanente

(transitório) não é nula d 0

t  



  ^

Equação da conservação da massa

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Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Analisando cada termo da eq. 01 – 2º Lado direito

Logo: V  . n ˆ dA

É o produto escalar da velocidade com o versor Tem-se que:

= vazão (Q) através de dA.

Consequentemente:

n ˆ . V 



 ^{ }  ^{S  E}

SC

m m

dA n ˆ

.

V   

(Eq. 04)

n ˆ

É o vetor unitário normal exterior da área dA.

(aponta sempre para fora do Vol. Controle)

n ˆ

dA n ˆ

. V 

 = vazão em massa através de dA. Assim: m 

Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Finalmente:

A eq. geral da conservação da massa (eq. 01) fica:



 ^{m  S  m  E}

(Eq. 05)



 ^{ }  ^



  _{S ai da En trada}

VC

m m

t d

0   

(Eq. 06)

Para a área total de uma determinada seção de escoamento Para regime permanente:

Para escoamento incompressível, tem-se que: =constante, logo:



 ^{Q S  Q E (Eq. 07-a)}



 ^



 Saida Entrada

VC m m

dt

0 dm  

(Eq. 07)

Ou:

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Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Exemplo:

Para o barrilete da figura ER-3, determinar:

a) Q1, Q2 e Q3

b) sentido da vazão Q4 (entrando ou saindo) e seu valor

Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Exemplo:

Na tubulação da figura tem-se escoamento de ar em regime

permanente. Determinar a velocidade média do ar na seção 1.

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Equação da conservação da massa Equação da conservação da massa

Exemplo- Um tubo descarrega água num reservatório, com uma vazão de 20L/s.

No mesmo reservatório é trazido óleo ( = 800 kg/m3) por outro tubo com uma

vazão de 10 L/s. A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja

seção tem uma área de 30 cm ² . Considerando regime permanente, determinar a

massa específica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma.