Curso: Bacharelado em Engenharia Civil Disciplina: Intr. ao Método dos Elem. Finitos Professor: Dr. Sebastião Simão da Silva Período: 2021:01
Discente: ________________________ Matrícula: ______________
LISTA DE EXERCÍCIOS 01
[Conceitos iniciais/Formulação do Método/Método de Galerkin/Elemento de barra 1D]
QUESTÃO 1 – O Método dos Elementos Finitos (MEF) é empregado para simular fenômenos em vários ramos industriais. Suas raízes históricas remontam aos meados do século passado na indústria aeroespacial. Muitos autores apontam o paper “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures” de Tuner et al (1956), como o primeiro trabalho a denominar o método. Na sua concepção e baseado referências e materiais estudados, o que é o Método dos Elementos Finitos?
QUESTÃO 2 – Na solução da maior parte dos problemas atuais de Ciências e Engenharia é imprescindível a utilização de recursos numéricos para a sua solução. Faça uma pesquisa sobre as aplicações do Método dos Elementos Finitos (MEF) na Engenharia Civil.
QUESTÃO 3 – Os métodos numéricos podem ser utilizados para estudar diversos fenômenos. Na Figura 1 ilustra-se os vários tipos de análise que se pode realizar no campo da mecânica dos sólidos e seus graus de complexidade. Pesquise sobre as diferenças entre uma análise: (a) estática e dinâmica; (b) linear e não linear; (c) não linear geométrica e não linear material.
Figura 1 – Análises na mecânica dos sólidos e suas complexidades.
QUESTÃO 4 – Conceitue (a) funcional; (b) cálculo variacional e (c) princípio variacional.
QUESTÃO 5 – Pesquise sobre o problema da “braquistócrona”.
QUESTÃO 6 – De maneira sucinta descreva o método dos resíduos ponderados.
QUESTÃO 7 – Qual a diferença entre as condições de contorno essenciais (ou de Dirichlet) e não essenciais (ou de Neumann)?
QUESTÃO 8 – Qual a diferença entre as condições de contorno essenciais (ou de Dirichlet) e não essenciais (ou de Neumann)?
QUESTÃO 9 – De acordo com Cook, Malkus e Plesha (1988), a exigência do grau de continuidade das funções de interpolação está associada com a ordem do operador diferencial da equação que rege o problema. Se o operador for de ordem 2m, exige-se, pelo menos, funções de continuidade Cm-1. Baseado nesta constatação, para os problemas e suas equações diferenciais governantes presentes na Tabela 1 determine a ordem das equações e a classe (C zero, C um, etc.) mínimas das funções de interpolação.
OBS.: Mostre como você obteve a classe de cada uma das equações.
Tabela 1 – Relação entre equações diferenciais governantes e exigências de continuidade.
Problema Equação governante Ordem Classe
Barra 2
2 0
EAd u q dx
Flexão de viga 4
4 0
EId u q dx Condução de calor em 2D k 2T Q c T 0 (*)
(*) O operador diferencial é denominado Laplaciano.
QUESTÃO 10 – Quais as diferenças entre os métodos da colocação; do subdomínio; dos mínimos quadrados; da colocação dos mínimos quadrados; e o de Galerkin.
QUESTÃO 11 – A barra mostrada na Figura 2 está submetida a uma carga uniformemente distribuída e outra pontual na sua extremidade.
Figura 2 – Barra submetida a tração.
Fonte: Luersen (2000).
Este simples problema é regido por uma equação diferencial que possui a forma:
e tem como condições de contorno:
;
sendo as constantes c e b dadas por:
O polinômio de segundo grau
pode ser adotado como uma solução aproximada do problema.
a) Utilizar o método de Galerkin para determinar as constantes a1 e a2 do polinômio;
b) Se a solução analítica é dada por
plote os deslocamentos versus o comprimento para solução analítica. No mesmo gráfico, plote a solução aproximada. Para isso, utilize o software Scilab.
c) Utilizando os resultados da questão anterior, plote os resultados analíticos e aproximados para as tensões ao longo do comprimento da estrutura. Para isso, utilize o software Scilab.
QUESTÃO 12 – Seja barra mostrada na Figura 3, submetida a uma carga uniformemente distribuída e outra de tração localizada na sua extremidade.
Figura 3 – Barra submetida a tração.
Fonte: Luersen (2000).
Tomando-se um elemento particular da referida barra, tal como ilustrado na Figura 4, utilize o método de Galerkin para deduzir (a) a matriz de rigidez do elemento;
(b) o vetor de carregamentos nodais do elemento.
Figura 4 – Elemento finito característico.
QUESTÃO 13 – Se a barra da questão anterior é discretizada com três elementos, conforme mostrado na Figura 5, obtenha de forma literal a solução do problema por elementos finitos (a) para os deslocamentos e (b) para as tensões. (c) plote os resultados ao longo do comprimento da peça.
Figura 5 – Barra submetida a tração discretizada com três elementos.
QUESTÃO 14 – Resolver o problema da barra estudado nas questões anteriores considerando os seguintes dados de geometria, de carregamento e de propriedade do material:
QUESTÃO 15 – A estrutura ilustrada na Figura 6 é constituída por duas barras submetidas a cargas axiais localizada e distribuída. Dados: E = 5 × 104 MPa; L = 150 mm; Diâmetros dos trechos AB e BC são 10 mm e 5 mm, respectivamente; Carga distribuída no trecho BC é igual a q0 = 5 N/mm; Carga concentrada aplicada no ponto B é igual a P = 5000 N.
Discretize a estrutura com dois elementos de barra (com dois nós em cada barra) e funções de interpolação linear e obtenha: (a) os deslocamentos nodais; (b) as reações nodais; (c) as deformações nos elementos; (d) as tensões em cada barra; (e) gráficos ilustrando como se desenvolve deslocamentos, deformações e tensões no interior da estrutura.
Figura 6: Barra submetida a esforços axiais.
Cajazeiras-PB – 11 de junho de 2021.
