Features of propagation and recordingof the stress waves in plates of finite thickness

УДК 624.073

Р.А. Чередниченко

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ И РЕГИСТРАЦИИ

ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНКАХ КОНЕЧНОЙ

ТОЛЩИНЫ

Работа выполнена совместно для изучения динамики распространения волн в плоских и осесимметричных пластинах конечно-разностным численным расчетом и методом динамической фотоупругости. Сопоставление результатов оказалось удовлетворительным для импульсных нагрузок определенной длительности.

Ключевые слова: напряжения, распространение волн сжатия, сдвиги, раз-ностные методы, фотоупругость, плоские задачи, осесимметричные задачи.

Во многих случаях исследования динамического напряженного состоя-ния массивных сооружений при воздействии сейсмических волн оказывается возможным проводить в плоской постановке, рассматривая основание и само сооружение в условиях плоской деформации. Такие задачи в статике соору-жений обычно исследуют на пластинках, обеспечивая условия обобщенного плоского напряженного состояния и учитывая необходимость известной заме-ны упругих постоянзаме-ных. В случае применения модели обобщенного плоского напряженного состояния для исследования распространения двумерных волн в трехмерной упругой среде может оказаться необходимым соблюдение неко-торых дополнительных условий, ограничивающих, например, класс внешних воздействий со стороны высоких частот (коротких волн). Работа выполнена совместно с доктором технических наук Иваном Христофоровичем Костиным.

Рассмотрим тонкую пластинку толщиной d, в которой в направлении оси X распространяется плоская продольная волна, фронт ее параллелен оси Y и перемещения V = 0. Нетрудно показать, что в этом случае уравнение движения будет иметь вид

2

2 .

x u

x t

∂σ _{= ρ}∂

∂ ∂ (1)

После необходимых преобразований в соответствии с законом Гука урав-нение (1) перейдет в волновое уравурав-нение

2 2

2 2

( ) _,

( 2 )

u u u

t x

∂ ₌ µ λ + µ ∂

∂ ρ λ + µ ∂ (2)

согласно которому скорость продольных волн в пластине

2

( ) _.

( ) (1 )

p

u E

C = µ λ + µ =

ρ λ + µ ρ − ν (3)

При сравнении (3) со скоростью распространения объемной деформации в упругой среде

2 (1 )

(1 (1 2 ))

v

E C = λ + µ = − ν

ρ ρ + ν − ν (4)

Формула (3) справедлива, когда длина волны λ0 велика по сравнению с

тол-щиной пластинки d. Когда же длина волны становится сравнима с толщиной, скорость волны увеличивается, так как начинают оказывать влияние свобод-ные от напряжений боковые грани пластинки, а распределение напряжений по толщине перестает быть равномерным. В этих условиях для исследования распространений волн в пластинках нужно применять точные уравнения тео-рии упругости и выполнять граничные условия, обеспечивающие отсутствие напряжений на боковых поверхностях пластинки.

Кривая зависимости отношения C Cp ν от величины

d

λ

,

эксперимен-тально в [1], приведена на рис. 1 для за-данного коэффициента Пуассона матери-ала пластинки. Из графика следует, что до значений

d

λ ≤

0,2

волны в пластинке Cp близка к скорости, определяемой по формуле (3); начиная со значений

d

λ ≥

0,7

скорости распространения продольных волн в упругом полупространстве (4). Анализ, выполненный в [1], показывает, что уравне-ниями обобщенного плоского напряженного состояния для исследования

распростране-ния двумерных волн в трехмерной упругой среде можно пользоваться лишь в случае низкочастотных внешних воздействий, симметричных относительно срединной плоскости пластинки; при этом доминирующая длина распростра-няющихся в пластине продольных волн λ_дом должна быть примерно на порядок больше, чем толщина пластинки

дом

1.

d

λ << (5)

Условие (5) приводит к ограничению спектра внешних воздействий со стороны высоких частот, что обусловлено процессом формирования волнового поля в пластинке, как результата наложения волн, многократно отраженных от ее граничных поверхностей. Рассмотрим этот процесс на примере решения численным методом пространственных характеристик задачи о распростране-нии волн в полубесконечной полосе [2].

Плоская двумерная полубесконечная полоса шириной 2h из упруго-го однородноупруго-го изотропноупруго-го материала, свойства котороупруго-го характеризуются плотностью ρ, скоростями продольных и поперечных волн C Cp S, в системе ,

прямоугольных координат X, Y, Z занимает область y ≤h o, 0≤x< ∞, z < ∞.

В начальный момент времени t = 0 на торце x = 0, y ≤h во всех точках

прикла-дывается импульс скоростей смещения u(t) = te–t или _u(t) = e–t. Расчет параме-тров волнового поля, вызванного падающими, отраженными и дифрагменти-рованными волнами, проводится разностным методом с учетом соотношений на характеристиках гиперболической системы уравнений в частных

дных на ЭЦВМ при t > 0 внутри полуполосы при свободных от напряжений σ_y и τxy боковых поверхностях y ≤h o, 0≤x< ∞ (плоская деформация) с шагом

0,01 0,02

C t x

t x y

h h

ν∆

∆ = = ∆ = ∆ = = для случая p 1,87 ( 0,3).

s

C C

γ = = ν =

Для изучения закономерностей фор-мирования волнового поля напряжений по ширине полосы рассмотрим сначала ре-зультаты расчета [2], полученные для более короткого и круто нарастающего воздей-ствия u(t)=e–t. На рис. 2 приведено распре-деление скоростей u и v на момент времени t = 3,0 для различных сечений по ширине полосы. Как видно, передний фронт фор-мируется в сечениях 1 и 2 как падающей плоской P, так и дифрагированной P_g про-дольными волнами. В этих сечениях перед-ние фронты практически совпадают, но амплитуда скорости на свободной поверх-ности значительно выше, чем в сечении 2. В сечении 3 на оси симметрии передний фронт создается одной волной P и заметно опережает фронт в сечениях 1, 2. Вслед за передним фронтом продольных возмуще-ний появляются фронты поперечных ко-нических K и дифрагированных S_g волн, которые на оси (в точке 3) создают второй экстремум с величиной u = 0,6.

Кониче-ская волна наблюдается и в сечении 2 при

2,5.

x= Фронт дифрагированной

попереч-ной волны S_g особенно хорошо проявляется в сечениях 1 и 2 для скорости v при x=1,5 [3].

Таким образом, результаты расчета убедительно показывают, что суммар-ное волновое поле полуполосы, нагруженной простым продольным воздей-ствием, определяется не только падающей продольной волной P, но и отражен-ными от боковой поверхности поперечотражен-ными коническими волнами K, а также дифрагированными на ребрах нагружаемого торца полосы продольными P_g и поперечными S_g волнами. Вблизи от нагружаемого торца распределение скоро-стей смещений (а, следовательно, и напряжений) как по длине, так и по шири-не полосы оказывается крайшири-не шири-неравномерным.

В этих условиях особый интерес представляет анализ дальнейшего фор-мирования волновых полей напряжений в рассматриваемой полуполосе, так как при исследованиях методом динамической фотоупругости при сквозном (нормальном к поверхностям пластинки) просвечивании параллельно оси Y

достоверную информацию о напряженном состоянии пластинки можно полу-чить только при достаточно равномерном распределении напряжений σx в се-чениях, параллельных оси Y. В рассматриваемом случае при просвечивании

Рис. 2. Распределение скоро-стей смещений u и v в различных сечениях по ширине полосы (а) и по-ложение фронтов волн (б) в момент времени t = 3,0 при воздействии

u0(t)=е

параллельно оси Y будет замеряться разность главных напряжений σ_xи σ_z, при этом напряжения σ_zбудут постоянными из условий задачи.

Распределение напряжений σx и σy в различных сечениях по ширине полосы в момент времени t = 6,0, когда фронт пада-ющей волны Р прошел расстояние, равное трем толщинам полосы, представлено на рис. 3. Так как на оси симметрии фронты волн P, K и S_g к этому моменту времени разошлись на достаточное расстояние, на кривых σx наблюдаются три экстремума, соответствующих указанным трем ти-пам волн. На свободном контуре полосы (|y|=1,0) дифрагированные волны оказыва-ют заметное влияние на напряжения σx в зоне экстремумов (P+P_g) при x = 5,5…6,0 и (K+S_g) при x = 3,0. Напряжения σ_y вдоль оси x носят знакопеременный характер. На переднем фронте суммарного волно-вого возмущения в пластинке напряжения σy —сжимающие, еще не соответствуют по величине соотношению в плоской вол-не. В окрестности x = 4,0 величины σ_y —

растягивающие и одновременно с такими же по величине, но сжимающими напряжениями σx, свидетельствуют о том, что в это время на оси X встречают-ся две интенсивные поперечные волны K. Особенно сильно неравномерность распределения напряжений σx в сечениях, параллельных оси Y, проявляется за передним фронтом суммарного возмущения, образуемого фронтом падающей продольной волны P и дифрагированными продольными волнами P_g. Так, на расстоянии x = 4,0 напряжения σ_x на свободном контуре в 5,5 раз меньше, чем на оси X, а на расстоянии x = 1,5…2,5 они вообще имеют разные знаки.

С дальнейшим увеличением расстояния от нагружаемого торца второй экстремум скоростей и напряжений (u _{и σx}), создаваемый волнами K,

объ-единяется с первым (волны P и P_g) в общий максимум суммарного волново-го возмущения, фронт котороволново-го распространяется вдоль оси Х со скоростью

Cp < Cv. Распределение по длине полосы скоростей смещений u и v на сво-бодном контуре и на оси X, когда фронт падающей волны прошел расстояние, в десять раз превышающее толщину полосы, приведено на рис. 4. Здесь рав-номерность распределения напряжений σx вдоль сечений, параллельных оси O_y, хорошо прослеживается на всем участке основного суммарного импульса сжатия сформировавшейся в полосе продольной волны (x = 15…21). Различие максимумов напряжений σx на свободном контуре и на оси симметрии не пре-вышают 10 %. На этом же участке хорошо видна пропорциональность между σ_x и u, что свидетельствует о приближении рассматриваемого процесса к одно-мерному.

Принципиально важными, с точки зрения использования в мето-де динамической фотоупругости, среди представленных на рис. 2—4

ре-Рис. 3. Распределение напря-жений σx иσy в различных сечениях

по ширине полосы (а) и положение фронтов волн (б) в момент време-ни t = 6,0 при воздействии u0(t)=е

зультатов, являются сразу несколько фактов. Во-первых, даже относи-тельно короткий импульс на торце пластинки (во всяком случае длина его сопоставима с толщиной пластинки) формирует на расстоянии боль-ше 10 толщин полуполосы значительно более длительное суммарное волновое возмущение, распространяющееся в пластинке со скоростью

Cp < Cv, с достаточно однородным распределением напряжений σx по толщине пластинки. Ясно, что сквозное просвечивание на этом участке вполне допу-стимо.

Во-вторых, как видно из рис. 4, за первым, основным, максимумом суммарной продольной волны, сле-дует второй, значительно меньший по величине, но распространяющий-ся со скоростью поперечных волн и связанный, по нашему мнению, с дифрагированными волнами S_g. Рас-пределение напряжений σx в нем (на участке x = 9…11) таково, что сквоз-ное просвечивание, хотя и с больши-ми погрешностябольши-ми, но будет давать некоторую информацию о возникаю-щей «дополнительной» поперечной волне в пластинке, которая в случае безграничной среды не должна об-разовываться. Учитывая, что такая «дополнительная» волна все время отстает от основной продольной вол-ны в пластинке, не трудно выделить зону модели, где ее влиянием на ис-следуемый волновой процесс можно пренебречь.

В-третьих, «хвост» суммарного возмущения, после наложения многократ-но отраженных от боковых поверхмногократ-ностей конических волн представляет слож-ную волновую картину малых колебаний, при этом продольные колебания на свободной поверхности и на оси происходят в противофазе. Такие колебания приводят к распределению напряжений σxпо толщине пластинки (на участке x = 0…9 рис. 4), при котором сквозное просвечивание вообще не покажет нали-чия напряжений в этой зоне пластинки, так как суммарная оптическая разность хода будет практически равна нулю.

Приведенный выше анализ результатов численного расчета по формиро-ванию волнового поля в полуполосе при импульсном продольном воздействии позволяет обосновать возможность применения сквозного просвечивания при исследовании подобных моделей (пластинок, нагруженных по внешнему тор-цу плоским продольным импульсом) методом динамической фотоупругости и предсказать некоторые особенности наблюдаемой в этом случае волновой кар-тины интерференционных полос (σ₁ – σ2). Однако в ряде случаев импульсная

нагрузка может прикладываться и внутри пластинки, например, при взрыве

Рис. 4. Распределение скоростей сме-щений u и v на контуре при |y| = 1 (а) и на-пряжений σx на контуре |y| = 1,0 и на оси x

(б) в момент времени t = 21 при воздействии u₀(t)=е–t:

цилиндрического заряда BB, размещенного в пластинке так, что его ось пер-пендикулярна срединной плоскости. Для сравнения с результатами для полу-полосы была поставлена задача об исследовании волнового поля напряжений и скоростей смещений в бесконечной пластинке с внутренней цилиндрической плоскостью, нагруженной импульсным давлением.

Бесконечная пластинка конечной ширины 2h с отверстием радиусом R=12h из упругого однородного изотропного материала с плотностью ρ, скоростями продольных и поперечных волн C_v и C_s в системе цилиндриче-ских координат занимает область Z ≤h,12h≤ < ∞ ≤ Θ ≤ πr , 0 2 . В начальный

момент времени t = 0 на поверхности внутренней полости во всех точках прикладывается импульс скоростей смещения u(t)=e–0,2t, апроксимирующий импульсное воздействие в реальных экспериментах методом динамической фотоупругости и превышающий по длине толщину пластинки в четыре раза. Расчет параметров волнового поля проводился тем же разностным методом второго порядка точности с учетом соотношений на характеристических по-верхностях [4].

Для момента времени t = 5,0, когда фронт падающей волны Р распростра-нился на расстояние равное 2,5 толщины пластинки от нагружаемой поверх-ности полости, и находится на расстоянии r = 17h от симметрии, распреде-ление скоростей смещений u и v, а также напряжений σ_γ и σ_z в отдельных

сечениях по толщине пластинки представлено на рис. 5. Сравнение получен-ных данполучен-ных для пластинки с внутренним цилиндрическим источником с вол-новым полем напряжений в полуполосе на момент времени t = 6,0 (см. рис. 3) показывает, что основные закономерности

формирования суммарного волнового поля напряжений, подробно анализировавши-еся выше, сохраняются и при внутреннем цилиндрическом источнике. Следует от-метить в случае, представленном на рис. 5, более равномерное распределение на-пряжений, как по длине, так и по толщи-не пластинки, связанное с принятым в расчетах для цилиндрического источника более длительным воздействием. Как и в случае полуполосы, на рис. 5 прослежи-вается образование экстремумов напря-жений за фронтом дифрагированных волн S_g(r = 13…14). Все это свидетельствует о том, что ранее сделанные выводы о возмож-ностях сквозного просвечивания плоских моделей и особенностях наблюдаемой в этом случае волновой картины сохраняют-ся и для внутренних цилиндрических ис-точников.

Полученное численными расчетами волновое поле экспериментально может быть создано взрывом цилиндрического

Рис. 5. Распределение скоро-стей u и v (а), напряжений σr (б)

в различных сечениях по толщине (z = 0,3 и 1,0) и положение фронтов волн (в) в момент времени t = 5 в бес-конечной пластине с внутренней ци-линдрической полостью радиусом r = 12,0, нагруженной импульсным воздействием u(t)=е–0,2t: —— — u;

микрозаряда BB в большой тонкой пластинке на значительном удалении от ее торцевых поверхностей. Исследования проводились на пластинках размером 400×300 мм2, толщиной 2…4 мм из высокомодульных материалов на основе

эпоксидной смолы Э40-МА и ЭД16-МА. Нагрузка создавалась взрывом зарядов азида свинца массой 15…100 мг. Радиус заряда r₀ при заданной толщине пла-стинки определялся исходя из постоянного объемного веса ВВ γ = 1,4 г/см3 [5].

Картина полос в каждый фиксированный момент времени, полученная пу-тем сквозного просвечивания пластинки, представляет собой серию концен-трических окружностей с центром в источнике [6].

Распределение разности главных напряжений во времени в радиальном сечении пластинки имеет вид, изображенный на рис. 6, а. Начиная с рассто-яния r = 15…20 хорошо видна сформировавшаяся основная продольная вол-на P, движущаяся с постоянной скоростью продольных волн в пластинке С_p. Фаза сжатия длительностью τ_сж сменяется фазой растяжения примерно такой же амплитуды, после прохождения которой напряжения в модели практически отсутствуют (рис. 7). На более близких расстояниях от источника отмечается отсутствие стабильности в картине полос. Это можно объяснить образовани-ем вблизи от заряда в тонкой пластинке ультракоротких объобразовани-емных волн ма-лой интенсивности, имеющих большую скорость распространения и быстро затухающих, а также неупругими эффектами в зоне взрыва. На рис. 6, а также прослеживается поперечная волна S_g, причиной возникновения которой, как следует из приведенных выше результатов численных расчетов, является об-разование интенсивных дифрагированных поперечных волн непосредственно на границах сопряжения заряда с боковыми поверхностями пластинки.

В случае взрыва заряда на вставленной в модель шайбе сдвиговые вол-ны через такой контакт не проходят и на картине полос имеем только одну основную продольную волну Р (см. рис. 6, б). Структура этой волны замет-но отличается по характеру от возникающей при взрыве заряда без шайбы: фаза растяжения имеет значительно меньшую амплитуду (см. рис. 7, б). Тем

Рис. 7. Изменение порядков полос во времени m(t) в пластине на расстоянии r = 60 мм от центра заряда: а — без шайбы; б — с шайбой

не менее характер изменения с расстоянием от заряда фазы сжатия продольной цилиндрической волны P в обоих случаях взрыва сосредоточенных зарядов в пластинке сохраняется одинаковым [7].

Таким образом, результаты проведенных экспериментов показывают, что на расстояниях r ≥ 20 в тонких пластинках при взрыве различных по устрой-ству сосредоточенных зарядов азида свинца формируется цилиндрическая продольная волна P, распространяющаяся со скоростью продольных волн в пластинке, в общий характер волнового поля (по крайней мере в пределах фазы сжатия) соответствует задаче о воздействии импульсного источника типа «цен-тра расширения» внутри безграничной плоскости [8]. Применение сквозного просвечивания для регистрации волн в плоских моделях, исследуемых мето-дом динамической фотоупругости, в рассмотренных случаях импульсного на-гружения пластинок конечной толщины дает удовлетворительные результаты.

Библиографический список

1. Parham R.T., Sutton D.J. The transition between two- and three- dimensional waves seismic models. Bull. Seism. Soc. Amer. 1971, vol. 61, no. 4, pp. 957—960.

2. Численные методы решения задач динамической теории упругости / В.Г. Чебан, И.К. Навал, П.Ф. Сабодаш, Р.А. Чередниченко. Кишинев : Штинца, 1976. 226 с.

3. Чередниченко Р.А. Нестационарная задача о распространении упругих волн в

полосе // Распространение упругих и упруго-пластических волн : материалы V Всесо-юзного симпозиума. Алма-Ата : Наука, 1973. С. 319—324.

4. Сабодаш П.Ф., Чередниченко Р.А. Применение метода пространственных

ха-рактеристик к решению осесимметричных задач по распространению упругих волн // Прикладная математика и техническая физика. 1971. № 4. С. 101—109.

5. Метод фотоупругости : в 3 т. / под ред. Н.А. Стрельчук, Г.Н. Хесина. М. : Строй-издат, 1975. Т. 2. 367 с.

6. Нигул У.К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых

процес-сов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенных теориям // При-кладная математика и механика. 1969. Т. 33. Вып. 2. С. 308—332.

7. Клифтон Р.Дж. Разностный метод в плоских задачах динамической упругости

// Механика : сб. 1968. № 1. С. 103—122.

8. Чередниченко Р.А. Поперечное воздействие импульса давления на плиту

бес-конечной длины // Механика твердого тела. 1974. № 2. С. 113—119.

Поступила в редакцию в декабре 2013 г.

О б а в т о р е : Чередниченко Ростислав Андреевич — кандидат физико-матема-тических наук, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный

строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва,

Ярослав-ское шоссе, д. 26, cherednichenko.rostislav@mail.ru.

Д л я ц и т и р о в а н и я : Чередниченко Р.А. Особенности распространения и реги-страции волн напряжений в пластинках конечной толщины // Вестник МГСУ. 2014. № 2. С. 65—73.

R.A. Cherednichenko

FEATURES OF PROPAGATION AND RECORDING OF THE STRESS WAVES IN PLATES OF FINITE THICKNESS

In many cases it is possible to carry out the investigation of the dynamic stressed state of solid structures under the impact of seismic waves in plane statement, observing the foundation and the building itself in the conditions of plane deformation. Such prob-lems in structural mechanics are usually investigated on plates providing the conditions of generalized plane stressed condition and accounting for the necessity of the known substitution of elastic constants. In case of applying the model of generalized plane stressed state for investigating two-dimensional waves’ propagation in three-dimensional elastic medium it may be necessary to observe certain additional conditions, which for example limit the class of external impacts of high frequencies (short waves). The use of candling for wave recording in plane models explored with the method of dynamic photoelasticity in the observed cases of impulse loading of the plates with inite thickness gives satisfactory results.

Key words: stress, compression wave propagation, shifts, difference method,

pho-toelasticity, plane problem, axisymmetric problem. References

1. Parham R.T., Sutton D.J. The Transition Between Two- and Three- Dimensional Waves Seismic Models. Bull. Seism. Soc. Amer. 1971, vol. 61, no. 4, pp. 957—960.

2. Cheban V.G., Naval I.K., Sabodash P.F., Cherednichenko R.A. Chislennye metody resheniya zadach dinamicheskoy teorii uprugosti [Numerical Methods of Solving the Dynamic Theory of Elasticity Problems]. Kishinev, Shtintsa Publ., 1976, 226 p.

3. Cherednichenko R.A. Nestatsionarnaya zadacha o rasprostranenii uprugikh voln v polose [Nonstationary Problem of the Elastic Waves Propagation in the Band]. Rasprostrane-nie uprugikh i uprugo-plasticheskikh voln: materialy 5 Vsesoyuznogo simpoziuma [Elastic and Elastic-plastic Waves Propagation. Proceedings of the 5th All-Union Symposium]. Alma-Ata, Nauka Publ., 1973, pp. 319—324.

4. Sabodash P.F., Cherednichenko R.A. Primenenie metoda prostranstvennykh kharak-teristik k resheniyu osesimmetrichnykh zadach po rasprostraneniyu uprugikh voln [Application of the Spatial Characteristics Method in Solving the Axisymmetric Problems of Elastic Waves Propagation]. Prikladnaya matematika i tekhnicheskaya izika [Applied Mathematics and

Ap-plied Physics]. 1971, no. 4, pp. 101—109.

5. Strel'chuk N.A., Khesina G.N., editors. Metod fotouprugosti: v 3 tomakh [Photoelastic-ity Method. In three volumes]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1975, vol. 2, 367 p.

6. Nigul U.K. Sopostavlenie rezul'tatov analiza perekhodnykh volnovykh protsessov v obolochkakh i plastinakh po teorii uprugosti i priblizhennym teoriyam [Comparison of the Analysis Results of Transient Wave Propagation in Shells and Plates According to the

Elastic-ity Theory and Approximated Theories]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied

Math-ematics and Mechanics]. 1969, vol. 33, no. 2, pp. 308—332.

7. Klifton R.Dzh. Raznostnyy metod v ploskikh zadachakh dinamicheskoy uprugosti [Dif-ference Method for Plane Problems of Dynamic Elasticity]. Mekhanika: sbornik [Mechanics:

the Collection]. 1968, no. 1, pp. 103—122.

8. Cherednichenko R.A. Poperechnoe vozdeystvie impul'sa davleniya na plitu bes-konechnoy dliny [Transversal Impact of the Pressure Pulse on the Plate of Ininite Length].

Mekhanika tverdogo tela [Solid Mechanics]. 1974, no. 2, pp. 113—119.

About the author: Cherednichenko Rostislav Andreevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow

State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337,

Russian Federation; cherednichenko.rostislav@mail.ru.