Renata Rossini1 PUC-SP Resumo
Esta comunicação tem o objetivo de apresentar uma pesquisa-ação desenvolvida com professores de Matemática que atuam na Rede Pública Estadual de Ensino do Estado de São Paulo, no ano de 2004, envolvidos em um projeto de educação continuada. A aplicação da seqüência de ensino, criada pelos professores para a introdução do conceito de função em uma classe de 8a série, ocorreu em uma escola pública estadual localizada na região metropolitana da Grande São Paulo.
A pesquisa fundamenta-se na abordagem antropológica do didático, que foi desenvolvida Yves Chevallard, na França, na década de 90. Nesta perspectiva, a Didática se torna o estudo do homem (ou das sociedades) aprendendo, ensinando e pesquisando Matemática. A noção básica é a de organização matemática, que permite modelizar o conhecimento matemático como atividade humana e proporciona um método de descrição e análise das práticas institucionais e o estudo das condições de realização das mesmas.
Essa teoria também permite abordar a complexidade que envolve a prática profissional do professor, que se encontra diante do problema de reconstruir as organizações matemáticas que aparecem nos programas oficiais e nos livros didáticos ao preparar um determinado tema para o ensino e aprendizagem em sala de aula. Trata-se então de transformar essas organizações matemáticas em organizações didáticas para conduzir a aula.
Nestes termos, a pesquisa aborda as seguintes questões:
Quais organizações matemáticas são mobilizadas durante a construção de uma seqüência de ensino sobre funções para uma 8a série do Ensino Fundamental?
1 Doutoranda do Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática da Pontifícia
Como tais organizações são apresentadas aos alunos?
Como os professores (re) constroem seus saberes docentes sobre o conceito de função?
As conclusões preliminares indicam uma evolução dos saberes docentes, propiciados pela construção, aplicação, posterior re-elaboração e re-aplicação de uma seqüência de ensino e pela atuação de professores como formadores e observadores.
Palavras-chave: praxeologia, função, formação.
Objetivo
Esta pesquisa tem como objetivo investigar o processo de (re) construção de saberes docentes de um grupo de professores de Matemática da rede pública Estadual de Ensino do Estado de São Paulo sobre o conceito de função, ao desenvolverem coletivamente e aplicarem uma seqüência de ensino em uma sala de uma 8a série da mesma rede pública.
Justificativas
Se, por um lado, os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (5a a 8a série)
mostram que é necessário envolver o aluno em diferentes atividades que inter-relacionem as diversas concepções de Álgebra, por outro lado, mostram a exclusão da noção de variável no Ensino Fundamental (PCN, 1998, p.118). O mesmo documento (p.84) considera fundamental uma aprendizagem significativa dos conceitos de função e variável, além de proporcionar condições para que o aluno analise a interdependência entre duas grandezas.
O conceito de função é central na Matemática e relevante em outras áreas do conhecimento tais como Física, Química, Biologia e Economia. Além disso, o exercício da cidadania requer a compreensão de um mundo dinâmico e, em muitas ocasiões, lidar, por exemplo, com grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais, taxas de variação, leitura e interpretação de gráficos.
As pesquisas de EVEN (1990), HITT (1998) mostram as dificuldades dos professores em articular as diversas representações de função. Os trabalhos de ZUFFI (2004), FONTE (2002) e PINTO (1999) mostram a fragilidade dos professores em Álgebra e funções.
Tudo isso reforça a convicção de que existe a necessidade do aprimoramento docente em Álgebra, a fim de reverter o atual abandono do ensino de função na escola básica, bem como melhorar o desempenho dos alunos em provas oficiais como as do SARESP (Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar no Estado de São Paulo, iniciado em 1996 e aplicado anualmente em todas as séries do ensino fundamental e médio).
Referencial Teórico
submetida a um modelo único, ou seja, uma praxeologia. A atividade matemática se diferencia das outras atividades pelos seguintes motivos: diante de uma tarefa, é preciso saber como resolvê-la. O “como resolver a tarefa” é o motor gerador de uma praxeologia: é preciso ter (ou construir) uma técnica, que deve ser justificada por uma tecnologia, a qual, por sua vez, precisa ser justificada por uma teoria. O autor considera que dado um tema de estudo, deve-se considerar, em primeiro lugar, a realidade matemática que pode ser construída, que será denominada de praxeologia matemática ou organização matemática; em segundo lugar, a maneira pela qual essa realidade pode ser estudada, que será denominada organização didática. A palavra praxeologia é formada por dois termos gregos, práxis e logos, que significam, respectivamente, prática e razão. Ela lembra que uma prática humana, no interior de uma instituição, está sempre acompanhada de um discurso mais ou menos desenvolvido, ou seja, de um logos que a justifica, a acompanha e que lhe dá razão. Existem dois níveis diferentes, mas inseparáveis, que vão se construindo e definindo em um processo dialético entre eles; práxis e logos estão intimamente relacionados e a articulação entre eles permite dar forma à praxeologia matemática. BOSCH e CHEVALLARD (1999) enfatizam que: toda prática institucional pode ser analisada sob diferentes pontos de vista e de diferentes maneiras num sistema de tarefas relativamente bem circunscritas, que se desenvolvem no fluxo da prática; a realização de toda tarefa resulta colocar em ação uma técnica; as condições e exigências que permitem a produção e a utilização de tarefas e técnicas nas instituições implicam na existência de um discurso descritivo e justificativo das tarefas e técnicas que se chama tecnologia da técnica. Toda tecnologia, por sua vez, precisa de uma justificativa, que se denomina teoria da técnica.
afirma que a problemática ecológica, que se refere às condições e às dificuldades de conduzir o estudo de uma organização matemática, é uma das principais forças motrizes da teoria antropológica da didática.
Acreditamos que esse referencial teórico é adequado para fazer uma investigação de uma problemática complexa: analisar a atuação do professor de Matemática no ensino e aprendizagem de função. Por isso, estamos interessados nas organizações matemáticas e didáticas em torno do objeto matemático - função.
Desenvolvimento profissional
Há uma pluralidade de concepções sobre formação continuada de professores, como mostra a pesquisa de CAETANO (2004, p.96-98), que entrevistou diversos especialistas.
A estreita relação entre formação continuada e profissionalização docente pode ser vista em PONTE (1998), que coloca o desenvolvimento profissional permanente como um aspecto marcante da profissão docente. Também TARDIF (2000, p.7) define a profissionalização em educação, como uma tentativa de reformular ou renovar os fundamentos epistemológicos do ofício de professor e educador, para que deixe de ser um ofício para tornar-se uma verdadeira profissão.
Concordamos com LASTÓRIA e MIZUKAMI (2002, p.187), que consideram a aprendizagem da docência como um processo complexo de geração de conhecimentos que ocorre ao longo da vida do professor, envolvendo diferentes tempos, comunidades de aprendizagens e experiências. Afirmam que para que ocorra a aprendizagem na formação de professores, é necessário incluir a experiência direta com o trabalho pedagógico. Dessa forma, acreditamos que a construção de uma seqüência de ensino para introduzir função será uma ferramenta para a promoção de processos de aprendizagens docentes, para uma evolução progressiva da profissionalidade.
A nossa pesquisa preocupa-se com um trabalho coletivo de construção de uma seqüência de ensino para introduzir o conceito de função em uma classe de 8a série
do Ensino Fundamental, que apresenta tarefas para o aluno. Apresentamos, a seguir, as questões norteadoras:
Que contribuições o estudo, a vivência e a reflexão sobre os conceitos de função podem trazer para o desenvolvimento profissional e a prática pedagógica de um grupo de professores de ensino fundamental da Rede Pública do Estado de São Paulo?
Como os professores (re)constroem o conceito de função a partir de um conjunto de práticas onde são manipulados objetos ostensivos?
Quais organizações praxeológicas são ativadas? Hipóteses
Acreditamos que a elaboração coletiva e análises de uma seqüência didática sobre funções e sua posterior aplicação em sala possam deflagrar um processo de construção de um saber docente, que englobe: saber sobre o objeto matemático, que envolve também um saber sobre variáveis; saber pedagógico desse conteúdo; reflexão sobre a gênese do objeto matemático; reflexão sobre a importância desse conhecimento dentro do currículo; conhecimentos sobre as potencialidades dos alunos.
Metodologia de pesquisa
Uma das características foi a participação voluntária dos professores, que prepararam uma seqüência de ensino para a introdução do conceito de função, em um clima de confiança e respeito. Além disso, a pesquisadora teve um papel ativo no equacionamento dos problemas encontrados, discutindo nos grupos ou, mais coletivamente, as questões que foram surgindo sobre conteúdos matemáticos, sobre as atividades propostas da seqüência, sobre a organização e aplicação da seqüência na sala de aula; socializou as produções escritas dos professores e os acompanhou na sala de aula, observando a aplicação da seqüência de ensino. O contexto da pesquisa
A pesquisa e a formação ocorreram nos meses de maio, junho, agosto, setembro e outubro de 2004, em uma Universidade Filantrópica sediada na cidade de São Paulo, no período da manhã, das oito às onze horas. Um piloto foi aplicado do dia 6 de julho de 2004, das 10:00 h às 12:00 h, em uma escola estadual localizada na Região Metropolitana de São Paulo, onde retornamos para a aplicação da seqüência de ensino no mês de outubro, nos dias: 5, 6, 8, 13, 19 e 20.
Os trabalhos foram desenvolvidos ao longo de 18 reuniões com os professores. As primeiras foram dedicadas à apresentação da proposta e à aplicação de questionários, que tiveram o objetivo de caracterizar os participantes na formação continuada. Também houve a confecção de mapas conceituais, a partir da palavra-chave função.
A partir do dia 28 de maio até o dia 2 de julho, os professores reuniram-se em pequenos grupos e discutiram a confecção da seqüência de ensino. Um dos grupos, formado por três professores de uma mesma escola pública, manifestou o desejo de aplicar um piloto em uma das oitavas séries, na primeira semana do mês de julho. Tomaram a iniciativa de conversar com a diretora da escola e com alunos, obtendo a aquiescência dos mesmos.
como observadores, uma vez que, durante a primeira semana de julho teriam um tempo disponível para esse trabalho.
No dia 6 de julho, compareceram à escola dez alunos, que foram organizados em duplas. Para cada dupla, foram alocados dois observadores, um deles professor participante do projeto. Um dos professores colocou-se no papel de formador. A pesquisadora observou o professor-formador e o andamento dos trabalhos.
No início de agosto, a diminuição do número de professores participantes levou a uma reorganização do trabalho coletivo. Reiniciamos com uma discussão sobre os fatos ocorridos durante o piloto, a experiência de atuar como observador, as reflexões que ocorreram durante as férias ao transcrever as observações feitas, as dificuldades dos alunos e do formador.
A partir da segunda quinzena de agosto foram discutidas coletivamente questões sobre: leitura pontual e global de gráficos; tabelas e fórmulas; domínio, contra-domínio, conjunto imagem de uma função; a identificação, em um problema, da variável independente e da variável dependente; a construção do significado para o ostensivo ƒ em funções cuja variável independente não é o tempo t, mas uma outra variável x. Além disso, foram levantadas questões sobre proporcionalidade, taxa de variação, equação da reta, alinhamento (ou não) de pontos em um gráfico, função linear, função afim, construção de um gráfico a partir de outro por translação. Também foi apresentado um breve histórico do conceito de função.
A pesquisadora socializou as contribuições feitas pelos grupos durante o mês de junho, acrescentando outras sugestões, enviando-as por e-mail na primeira semana de agosto.
Para a aplicação na sala de aula, outras decisões tiveram que ser tomadas: ordem das atividades, quantidade de atividades a serem propostas para cada aula dupla, quais materiais de apoio deveriam ser levados para a sala de aula, número de aulas necessárias.
Coleta de dados
No mínimo, três observadores sempre estiveram presentes e fizeram suas anotações. Os diálogos foram gravados e alguns momentos foram filmados, outros fotografados. Além disso, foram arrolados: questionários respondidos pelos professores, mapas conceituais criados pelos grupos, cópias das atividades propostas pelos professores, cópias dos protocolos dos alunos durante o piloto, observações feitas pelos professores-observadores durante a aplicação do piloto, cópias dos protocolos elaborados pelos alunos durante a aplicação da seqüência, mensagens eletrônicas (e-mail) enviadas pelos professores e folhas de flip chart elaborados pelo professores formadores.
Resultados preliminares
Estamos iniciando a análise dos dados, mas podemos colocar alguns resultados preliminares.
Os professores partiram de cópias de atividades sobre funções encontradas em livros didáticos ou apostilas, de maneira acrítica. Foi necessário discutir item a item cada atividade, observar as reações dos alunos no piloto e escrever as observações; depois rediscutir, reformular ou rejeitar, acrescentar outras atividades mais pertinentes e reaplicar a seqüência assim construída. Tudo isso levou à incorporação dos saberes mobilizados durante esse processo, agora não mais exteriores aos professores, como sustenta TARDIF (2002, p.40).
aclarar o conceito, e assim, fazer emergir um enunciado, um verbo para a tarefa, ou tipo de tarefa.
Por outro lado, um professor pode conhecer um conceito, mas uma discussão com seus pares sobre como pedir, por exemplo, a construção de um gráfico, ou o preenchimento de uma tabela, produz uma ampliação da organização didática em torno da atividade proposta.
As atividades propostas pelos professores abordaram função como interdependência entre grandezas, padrão de regularidade e máquina. Observamos inicialmente que padrão de regularidade atrelado a materiais concretos foi uma atividade apresentada por todos os grupos. Construir seqüências de figuras com palitos foi considerado “bonitinho”, mas foi necessário discutir sobre generalização e visualização para que eles percebessem as dificuldades dessa atividade.
Uma das atividades propostas mostra uma máquina colorida que processa, para cada número de entrada, um número de saída. Somente após a aplicação dessa atividade na sala de aula, os professores conseguiram perceber que todas as atividades propostas podiam ser enquadradas nesse modelo, como a do palitinho. Finalmente, emerge a compreensão e aceitação da notação f(x), não mais vista como uma ‘frescurinha”, mas sim, como uma notação que deixa claro qual é a variável independente, qual é a variável dependente, qual é o número de entrada e qual é o número de saída. Os professores comentam que se sentem mais seguros para “falar e escrever sobre f(x)” junto aos alunos.
Sobre a experiência adquirida durante esse processo de formação continuada, um dos professores, questionando a formação inicial, se pergunta como se pode “saber tudo isso”, a partir da definição dada na faculdade e vê seu próprio crescimento: “Fomos olhando nos livros, a idéia veio de lá, mas mudou totalmente a idéia do livro. A gente mudou, criou atividades, só isso foi uma mudança enorme”.
Outro professor afirmou que o trabalho em grupo, com idas e vindas, com situações-problema, fez com que ele conseguisse “misturar disciplinas, unindo uma coisa com outra” e enfatiza que esse é o caminho. Ficou feliz que a atividade proposta por ele e pela sua colega tenha rendido tanta discussão na sala de aula.
Uma das professoras, diante das atividades propostas, lembra que antes só propunha aos alunos problemas do tipo “Dada a função f(x)=−2x+4, esboce o gráfico, mostre o coeficiente angular e linear”.
Finalizando, há indícios de que todo o processo de formação levou a uma ampliação do saber/fazer e saber sobre funções, em termos chevallardianos.
Referências bibliográficas
BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y. La sensibilité de l’ativité mathématique aux ostensifs Object d’etude et problematique. Recherches en Didactique des Mathématiques, 1999, vol 19, no 1, p.77-124.
BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais. Disponível em <http://www. mec.gov.br/sef/estrut2/pcn/pdf/matematica.pdf >. Acesso em: 05 jan 2005.
CAETANO, J. J. Formação de professores de Matemática: uma perspectiva Freireana. Tese de Doutoramento. São Paulo, 2004. Tese de doutoramento, PUC-SP, 2004.
CHEVALLARD, Y. L’ analise des pratiques enseignantes en théorie antropologique du didactique. Recherches en Didactique des mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage-Editions, v.19.2, p.221-265, 1999.
EVEN, R. Subject matter knowledge for teaching: the case of functions. Educational Studies in Mathematics. Vol 21, p. 521-544, 1990.
FIORENTINI, D. Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente?In BORBA, M.;ARAÚJO, J.L.(Org). Pesquisa Qualitativa em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2004.p. 47-76.
conexão entre os mesmos. Rio de Janeiro, 2002. Dissertação de Mestrado, PUC-RJ, 2002.
HITT, F. Difficulties in the artculation of Different Representations Linked to the concep of funtion. Journal of Mathematical BehaviorVol.17, n.1, p.123-134, 1998. LASTÓRIA, A. C.; MIZUKAMI, M.G.N. Construção de material instrucional como ferramenta para aprendizagens docentes. In: MIZUKAMI, M.G.N.; REALI, A M.R. (Org) Aprendizagem Profissional da Docência Saberes, Contextos e Práticas. São Carlos: EdUFSCar, 2002.
PAVANELLO, R. M. Formação de professores e dificuldades de aprendizagem em Matemática. In: Maciel, L.S.B.; PAVANELLO, R. M.; Moraes, S. P. G. (Org). Formação de Professores e Prática Pedagógica. Maringá: Eduem, 2002. p.65-80. PINTO, A.H. As concepções de álgebra e educação algébrica dos professores de Matemática. 1999. Dissertação (Mestrado). Programa de Pós-Graduação em Educação. UFES, Vitória-ES,1999.
PONTE, J.P. Da formação ao desenvolvimento profissional. In: Actas do Profmat 98. Lisboa: Associação dos Professores de Matemática, 1998, p.27- 44. . Disponível em <http:// www.educ.fr.ul.pt/docentes/jponte > . Acesso em: 15 fev 2005.
TARDIF, M. Saberes profissionais dos professores e conhecimentos universitários. Revista Brasileira de Educação, Campinas, n.13, p. 5-24, jan/fev/mar/abr 2000. __________ Saberes Docentes e Formação Profissional. Petrópolis: Editora Vozes, 2002.
