Synthesis of Low Sensitivity Broadband Matching Networks Using Clonal Selection Algorithm

Texto

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Abstract— This paper presents a new methodology for synthesis of broadband matching networks based on Clonal Selection Algorithms (CSA). This metaheuristic uses the hypermutation as only variation operator resulting in a gradual evolving of the network topology. A closed form expression for the transducer power gain (TPG) sensitivity with respect to the component values is employed, in such a way that the effects of the components tolerance on the matching network performance can easily be quantified. The evolvable function proposed is single- objective and eliminates the difficult task of assigning appropriate weights to parameters. The evaluation of the TPG sensitivity enables the designer to identify and remove irrelevant components of the circuit, simplifying it. The efficiency of the methodology is tested in two cases found in the literature: the traditional project of impedance matching for a simple RLC load proposed by Fano [1];

and a real synthesis of impedance matching network for a monopole whip antenna, proposed in [2]. The results are compared with other existing methods.

Keywords— Broadband Impedance Matching, Clonal Selection Algorithm, Low Sensitivity.

I. INTRODUÇÃO

SÍNTESE de redes de casamento de impedância costuma ser um item fundamental no projeto de circuitos para transmissão de sinais elétricos, com ampla aplicação em sistemas de comunicações. Em geral, o problema consiste no projeto de uma rede passiva e sem perdas, capaz de realizar o ajuste necessário entre duas impedâncias, a fim de maximizar a potência transmitida ou minimizar a reflexão de sinais dentro de uma faixa de frequências. Essas redes são formadas por elementos reativos (capacitores, indutores, transformadores e linhas de transmissão) que, idealmente, não dissipam potência. Fano [1] demonstrou, a partir das características da carga, a existência de um limite para o produto ganho x banda passante da potência transmitida.

Não há um requisito estabelecido formalmente que caracterize a banda de casamento como larga. Esse conceito pode variar de acordo com as características do problema. Em projetos de radiofrequência, por exemplo, costuma-se utilizar esse termo para faixas de frequências maiores do que 20% do valor da frequência central [3-4]. Apesar de sua recorrência em projetos de sistemas eletrônicos e de comunicações, a síntese de redes de casamento em banda larga continua sendo

L. T. Dornelles, Instituto Militar de Engenharia (IME), Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, dornelles@ime.eb.br

L. B. D. Sa, Centro Tecnológico do Exército (CTEx), Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, leonardo.bruno76@gmail.com

A. C. D. Mesquita Filho, Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Brasil, antoniomesquitafilho@gmail.com

um desafio para projetistas de circuitos e importante tema de pesquisa.

Diversas abordagens analíticas e técnicas numéricas foram desenvolvidas para a resolução do problema de casamento de impedância em banda larga. A base desses trabalhos foram as relações de Bode [5] para a determinação do limite do produto ganho x banda passante para uma carga RC em paralelo.

Fano [1] e Youla [6] estenderam essas relações para uma carga qualquer que possa ser modelada por uma função racional. O limite do produto ganho x banda passante requer a síntese de uma rede com um número infinito de componentes, sendo necessário o uso de aproximações em problemas práticos, como o polinômio de Tchebysheff e a função Elíptica Jacobiana, sugeridos por Fano. Contudo, a necessidade de representação da carga por um modelo racional torna impraticável o uso dessas abordagens para cargas com três ou mais elementos reativos, devido à complexidade do sistema de equações não lineares resultante.

Helton [7] desenvolveu, a partir dos dados diretos da carga, uma técnica para a determinação do maior ganho alcançável sem que seja necessário o uso de funções racionais para modelá-la. Essa metodologia trabalha com discos construídos num espaço de funções, analogamente à construção de curvas e seleção de pontos na Carta de Smith, utilizadas em projetos de casamento em banda estreita. Sua principal desvantagem reside na extrema complexidade de implementação de redes práticas.

Schwartz e Allen [8] aplicaram a técnica de Helton no casamento de uma carga RLC normalizada e no casamento de uma antena HF, na faixa de 2 a 8 MHz.

A relevância das metodologias analíticas está na capacidade de determinação dos limites teóricos para o produto ganho x banda passante, mesmo quando aplicáveis apenas ao casamento de cargas mais simples. Contudo, são técnicas ineficazes para a síntese de circuitos práticos, devido à complexidade matemática de sua implementação.

Carlin e Yarman [9] desenvolveram um método numérico para o projeto de redes de casamento, conhecido como Real Frequency Technique(RFT). Assim como a metodologia de Helton, a RFT manipula os dados da carga diretamente, sem a necessidade de um modelo analítico para a mesma. A rede é descrita por uma função imitância mínima, sendo suficiente para a síntese da rede de casamento a obtenção da parte real dessa função. Assim, o método consiste na otimização dessa parte real, juntamente com a aplicação de um procedimento matemático específico sobre a mesma, para a obtenção da parte imaginária. Em sua abordagem convencional, chamada de Direct Computacional Technique(DCT) [10-11], a função imitância mínima é racional e definida no plano de frequências complexas s = α + jω. Colocada na forma de uma

L. T. Dornelles, L. B. D. Sa and A. C. D. Mesquita Filho

Synthesis of Low Sensitivity Broadband Matching Networks Using Clonal Selection Algorithm

A

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soma de duas funções, uma par e a outra ímpar, o numerador da função par é escolhido como sendo s 2k , onde k está relacionado ao tipo de circuito (passa-baixa, passa-faixa, ou passa-alta), e os coeficientes do seu denominador são os parâmetros de otimização. A função ímpar, por sua vez, é determinada pela aplicação do procedimento de Gewertz sobre a função par. Apesar da RFT-DCT permitir a síntese de circuitos práticos, a utilização do procedimento de Gewertz demanda um elevado esforço computacional. Esse problema foi resolvido com a substituição da função imitância da porta de saída da rede de casamento pelo seu coeficiente de reflexão, proposta por Carlin e Yarman [12-13] na chamada Simplified Real Frequency Technique(SRFT). Considerando que a rede de casamento seja sem perdas, os demais parâmetros de espalhamento que a definem são determinados diretamente a partir do coeficiente de reflexão da porta de saída, eliminando a necessidade de aplicação de operadores matemáticos complexos. Yarman, Fettweis e Pandel sugeriram, ainda, utilizar uma representação paramétrica com base em funções de Brune para descrever a rede de casamento [14-15]. Nesta abordagem, a função imitância mínima é escrita na forma de expansão em frações parciais e seus pólos são os parâmetros de otimização desconhecidos. Assim como a SRFT, a RFT parametrizada dispensa o uso do procedimento de Gewertz.

Os métodos analíticos e numéricos de síntese descritos apresentam os seguintes inconvenientes: necessitam de um modelo racional, a partir do qual a rede é sintetizada, normalmente de forma imprecisa; e utilizam topologias fixas de propósito geral para a implementação do circuito, impedindo a exploração de novas estruturas mais adequadas às especificações do projeto.

Os métodos de síntese evolucionária têm despertado grande interesse em aplicações voltadas para o projeto de circuitos analógicos. A utilização de uma metaheurística bio-inspirada para evolução de topologias, aliada a uma técnica mais simples e rápida para a otimização dos valores dos componentes, é capaz de produzir circuitos mais eficientes, com menor número de componentes e menos sensíveis à variação desses componentes [16-17]. Kim, Wong e Lipson [18] organizaram um sumário de publicações relevantes a respeito do uso de métodos evolucionários para a síntese de circuitos analógicos, principalmente filtros. A maior parte dessas aplicações utiliza metodologias baseadas em Genetic Programming(GP) e Genetic Algorithms(GA), que consistem de metaheurísticas inspiradas no princípio da evolução dos indivíduos. Resultados importantes vêm sendo alcançados através da aplicação de GAs na síntese de redes de casamento [17-19].

Ganet al. [20] propuseram uma metodologia de síntese de filtros passivos analógicos, baseada em Clonal Selection Algorithm(CSA), uma metaheurística inspirada na Teoria de Seleção Clonal de Burnet, que explica o funcionamento do sistema imunológico dos animais vertebrados. O CSA utiliza a hipermutação, como mecanismo de variação.

Neste contexto, o presente artigo apresenta uma nova metodologia para a síntese de redes de casamento de impedância em banda larga, que utiliza um CSA para o

desenvolvimento de topologias, combinado com a aplicação do método Nelder-Mead Downhill Simplex (NMDS) [21], para a determinação dos valores dos componentes. O NMDS é um algoritmo de otimização local que se destaca pela velocidade, já que não utiliza derivadas no seu mecanismo de busca. As redes de casamento são representadas por Matrizes Adjacência [22] e sua avaliação é feita com base no Transducer Power Gain(TPG) e na sensibilidade do TPG em relação aos valores dos componentes da rede. Este último parâmetro habilita o projetista a identificar e remover componentes em relação aos quais o TPG apresente baixa sensibilidade, sem que a resposta do circuito varie de forma considerável. Todos os procedimentos que compõem o algoritmo de execução da metodologia foram implementados em linguagem de programação C, inclusive a rotina de simulação dos circuitos, de modo que a ferramenta de síntese de circuitos de casamento de impedância produzida é totalmente livre e gratuita.

As próximas seções deste artigo estão organizadas da seguinte maneira: a seção 2 descreve os parâmetros de avaliação das redes de casamento e a técnica de simulação dos circuitos; a seção 3 apresenta a nova metodologia de síntese de redes de casamento; na seção 4a metodologia proposta é aplicada em dois casos encontrados na literatura; e, finalmente, a seção 5apresenta as considerações finais.

II. PARÂMETROS DE AVALIAÇÃO DOS CIRCUITOS A avaliação dos circuitos é feita com base no TPG e na sensibilidade do TPG em relação aos componentes p i da rede de casamento ( ) S TPG p

i

. O TPG é definido pela relação entre a potência entregue à carga e a máxima potência disponibilizada pela fonte, enquanto que a

i

TPG p

S é dada pela seguinte expressão [23]:

i

TPG i

p

i

p TPG

S TPG p

= ⋅ ∂

∂ (1)

Sá, Vieira e Mesquita [17] desenvolveram um procedimento de cálculo desses parâmetros para uma rede sem perdas, como a ilustrada na Fig. 1.

Figura 1. Esquema de uma rede de casamento sem perdas.

Não havendo perdas na rede, a verificação da tensão no seu nó de entrada é suficiente para o cálculo do TPG:

2

TPG 1 2 V 1 = − ⋅ − 1 (2)

(3)

i

TPG

S p , por sua vez, pode ser determinado com auxílio das seguintes expressões:

{ } ( ) ( )

{ }

i

i

i

i

p a a

i 2 1 j k j k

1 i TPG i

p i p a

1 j j

2 i

1 i

p i

i

4p y

2V 1 V V V V ,

2V 1 1 p

para p conectado entre os nós j gnd e k gnd

S 4p y

2V 1 V V ,

2V 1 1 p

para p conectado entre o nó j e o nó gnd

j , se p fo y

p

 ⋅ℜ − ⋅ ⋅ − ⋅ −

 − −

 

≠ ≠

=  

 ⋅ℜ − ⋅ ∂ ⋅ ⋅

 − −

 

∂ ⋅ω

=

2 i

r um capacitor j , se p for um indutor

L

 

  ω⋅

(3) onde gnd é o nó de terra,     V

a

é o vetor nodal adjunto de tensão, tal que     V

a t

= − [ 1 0  0 ] [ ] Y

1

, e [ ] Y

−1

é a

inversa da matriz admitância nodal do circuito.

Desenvolvendo a expressão de     V

a t

:

[ ] Y

t

    V

a

= − [ 1 0  0 ]

t

(4)

Para circuitos passivos, [ ] [ ] Y

t

= Y :

[ ] Y     V

a

= − [ 1 0  0 ]

t

(5) Assim,     V

a

pode ser determinado diretamente a partir da simulação do circuito da Fig. 2, que utiliza a fonte de corrente

= ∠ ° J

1

1 180 .

Figura 2. Esquema para o o levantamento do vetor nodal adjunto de tensão.

A simulação dos circuitos das Fig. 1 e Fig. 2, para a obtenção do vetor de tensões nodais [ ] V e do vetor nodal adjunto  V at

  pode ser executada através de chamadas a um programa simulador de circuitos. Entretanto, esse procedimento não é eficiente, já que, para cada topologia gerada, o programa principal precisa realizar sucessivas chamadas ao simulador externo, enquanto o algoritmo Nelder- Mead Downhill Simplex otimiza os valores dos componentes.

Uma alternativa mais conveniente é trabalhar com o cálculo

de matrizes admitâncias nodais no próprio algoritmo de otimização. O sistema de equações nodais para a obtenção do vetor [ ] V na Fig. 1 pode ser representado pelo seguinte produto de matrizes:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]

t

1 S

t 1

S

Y V J 1 R 0 0

V Y 1 R 0 0

= =     →

→ =    

(6)

Isso equivale a utilizar a primeira coluna de [ ] Y 1 ,

multiplicada por 1 R S .

Analogamente, a expressão (5) mostra que o vetor   V a   também pode ser obtido a partir da primeira coluna de [ ] Y 1 ,

neste caso, multiplicada por -1.

Assim, uma rotina de construção e inversão de matrizes admitâncias nodais foi implementada no programa principal.

III. METODOLOGIA PROPOSTA

A metodologia de síntese de redes de casamento de impedância proposta baseia-se no CSA, uma metaheurística concebida por Castro e Von Zuben [24] e inspirada no sistema imunológico dos animais vertebrados. Assim como os GAs, algoritmos de seleção clonal utilizam um conjunto de soluções gerado aleatoriamente. Essas soluções são chamadas de linfócitos e o seu conjunto repertório. As soluções que apresentarem maior afinidade com o problema, chamado antígeno, são selecionadas para o mecanismo de clonagem.

Quanto maior a afinidade do anticorpo selecionado, maior o número de clones gerados. Esses clones sofrem o processo de hipermutação, sendo o número de mutações menor para clones de maior afinidade. Com isso, novos linfócitos são gerados sistematicamente, substituindo linfócitos de menor afinidade, em um processo chamado maturação. Os linfócitos não selecionados para clonagem são descartados e substituídos por novos, em um mecanismo chamado edição de anticorpos.

A. Representação

As redes de casamento sintetizadas são do tipo LC e cada

ramo pode ser um capacitor (C), um indutor (L) ou uma

associação paralela (C//L). A representação é similar à

utilizada em [17], com base em matrizes adjacência [22]. Cada

elemento a jk (j ≠ k) dessas matrizes refere-se ao ramo do

circuito conectado entre os nós j e k (j, k ≠ gnd) e a diagonal

principal é utilizada para conexões com o nó de terra. Dessa

forma, os dados de uma rede são armazenados em 3 matrizes

triangulares, onde a primeira matriz indica o tipo de ligação

(C, L ou C//L), a segunda os valores das capacitâncias (C) e a

terceira os valores das indutâncias (L). Um valor armazenado

na segunda matriz é lido apenas se o ramo correspondente for

um capacitor ou uma associação C//L. Da mesma forma, um

valor da terceira matriz somente é utilizado se o ramo

correspondente for um indutor ou uma associação C//L. Esses

valores de C e L são armazenados na forma de números

inteiros de 16 bits, obtidos através de uma transformação

linear aplicada às faixas de valores de [c

min

, c

max

] para

capacitâncias e [l

min

, l

max

] para indutâncias. A Fig.3 mostra um

(4)

exemplo de representação de um circuito de 3 nós e 4 componentes.

Figura 3. Representação da rede usando matrizes adjacência.

B. Geração

Os circuitos são gerados a partir de uma metodologia similar à proposta em [20]. Cada circuito deve possuir, no mínimo 2 nós, além do nó de terra (nó 0): o nó de fonte (nó 1);

e nó de carga (nó 2). Partindo desta consideração, as seguintes etapas são executadas:

1. Número de nós

a. Sorteia-se o número N de nós do circuito (2 ≤ N ≤ Nmáx), onde Nmáx é o número máximo de nós, desconsiderando o nó de terra.

2. Conexões com o nó de terra

a. Para cada nó de 1 a N, sorteia-se a existência de conexão para o nó de terra, com probabilidade de 15%, a fim de se evitar a formação de um grande número aterramentos do sinal transmitido;

b. Para cada nó conectado ao nó de terra, sorteia-se o tipo de ligação (C, L ou C//L).

3. Conexões suspensas

a. Sorteia-se um par de nós para realizar a conexão;

b. Sorteia-se o tipo de conexão (C, L ou C//L);

c. Os itens a e b são repetidos até que se atinja o critério de parada descrito a seguir.

O critério de parada visa à obtenção de um circuito válido, ou seja, um circuito que não tenha componentes ou subcircuitos isolados, nem possua um nó que, se retirado, juntamente com os ramos conectados a ele, cause esse isolamento. Em uma representação por grafos, onde os vértices indicam os nós e as arestas os ramos, isso significa dizer que o grafo representativo do circuito deve ser biconexo.

Dada a sequência Π = (d

1

, d

2

, ..., d

p

) dos graus d

i

dos vértices i do grafo representativo do circuito, o Teorema 1 descrito a seguir foi usado em [20] para a verificação da biconectividade:

Teorema 1 [25] : Uma sequência de graus Π = (d

1

, d

2

, ..., d

p

) de um grafo, com d

1

≥ d

2

≥ ... ≥ d

p

, tem uma realização biconexa, se e somente se:

( )

p p

i 1

i 1

d 2

d 2 p 2 d

=

 

 ≥ − +

   (7)

Desta forma, conexões suspensas são criadas sistematicamente, até que as desigualdades do Teorema 1 sejam atendidas. Contudo, como essa condição não é suficiente para que a realização obtida seja biconexa e o circuito seja válido, os nós são ainda conectados em sequência [1–3, 3–4, ..., (N-1)–2] com condutâncias de 1 nS, para que as simulações possam ser realizadas.

C. Avaliação

A avaliação de uma rede de casamento é feita concomitantemente com a otimização do conjunto de valores dos seus componentes, através do método Nelder-Mead Downhill Simplex.

A utilização convencional de uma função multiobjetivo, na qual os parâmetros avaliados são tratados de forma independente, através de um somatório ponderado de erros relacionados aos mesmos, apresenta o inconveniente de ter-se que ajustar os pesos, de modo a não se priorizar um dos parâmetros em detrimento do outro [26]. No caso do problema proposto, parece mais razoável levar-se em consideração a relação existente entre o TPG e a S TPG p

i

. Retomando a expressão que define a S TPG p

i

, em (1), e aproximando as derivadas parciais para variações:

( ) ( )

i

i

i i

TPG i

p i i i

i

i i TPG p

TPG TPG

p TPG TPG TPG

S TPG p p tol p

p

TPG tol p S TPG

Δ Δ

= ∂ ∂ ≅ Δ = →

→ Δ ≅ ⋅ ⋅

(8)

onde Δ TPG i é a variação do valor do TPG decorrente da variação do valor do componente p i e tol p é a tolerância ( ) i

do componente p i .

Sendo a sensibilidade um parâmetro indesejado do problema, considera-se que a variação de TPG atue no sentido de reduzir seu valor.

( )

i

TPG

i i p

TPG − Δ TPG ≅ TPG 1 tol p   − ⋅ S   (9) Assim, a contribuição total dos componentes da rede de casamento na redução do TPG pode ser dada por:

( )

i

m m

TPG

i i p

i 1 i 1

TPG TPG TPG 1 tol p S

= =

 

− Δ ≅  − ⋅ 

 

 

  (10)

onde m é o número de componentes do circuito.

Porém, os valores do TPG e da S TPG p

i

variam com a

frequência. Assim, para efeito da determinação da Afinidade

do circuito, considera-se o pior caso, ou seja, que a

sensibilidade máxima do TPG em relação a cada componente

ocorra sempre na frequência de menor valor do ganho.

(5)

( )

i

m

min max

i 1

m TPG

i p

i 1

f TPG TPG

min TPG 1 tol p max S

=

ω∈Ω = ω∈Ω

= − Δ =

 

=  − ⋅ 

 

 

(11)

onde Ω = ω [ min , ω max ] é a banda de casamento.

A função f proposta expressa a relação entre o TPG e sua sensibilidade aos componentes da rede, dispensando a difícil tarefa de escolha de pesos adequados para parâmetros tratados de forma independente em uma abordagem multiobjetivo.

Essa função pode assumir valores de -∞ a 1, de modo que a afinidade F do circuito pode ser definida a partir da seguinte normalização de f:

F 1

= 2 f

− (12)

Finalmente, a função custo J a ser minimizada é dada por:

J 1 F = − (13)

D. Operações de Hipermutação

As operações de hipermutação aplicadas às redes podem ser divididas em dois tipos: operações de ramo, que modificam apenas um ramo do circuito; e operações de nó, que modificam ramos e nós.

Uma operação de ramo segue as seguintes etapas:

1. Escolha de um par de nós

2. Verificação do tipo de ligação existente (C, L, C//L, ou o.c.)

3. Sorteio de um novo tipo de ligação, diferente do original, podendo inclusive ser o.c.

4. Substituição da ligação o.c. – circuitoaberto

A substituição de um ramo por um circuito aberto pode inserir uma descontinuidade no circuito. Esse problema é resolvido, para efeito de simulação, através da conexão em sequência dos nós do circuito [1–3, 3–4, ..., (N-1)–2] com condutâncias de 1 nS.

Os operadores de nó são:

1. Adição de Nó

a. Cria-se um novo nó no circuito;

b. Sorteia-se dois nós distintos do circuito original para serem conectados ao novo nó;

Na escolha do segundo nó é feito um primeiro sorteio para escolher entre o nó de terra (15%) ou outro nó qualquer do circuito (85%), escolhido em um segundo sorteio.

c. Sorteia-se duas ligações (C, L ou C//L), uma para cada conexão.

2. Remoção de Nó

a. Sorteia-se um nó para ser removido, estando os nós 0 (terra), 1 (fonte) e 2 (carga) fora do sorteio;

b. Remove-se todas as ligações do nó sorteado;

c. Os nós anteriormente conectados ao nó removido são conectados entre si, em sequência, seguindo a ordem de seus índices e o último ao primeiro,

mantendo-se as conexões existentes e sorteando-se novas ligações (C, L, ou C//L) onde não existirem.

3. Série

a. Cria-se um novo nó no circuito;

b. Sorteia-se um par de nós do circuito original;

c. A ligação entre os nós sorteados, ou uma nova (C, L ou C//L), caso não exista, é (re)posicionada entre um desses nós e o novo nó criado;

d. Sorteia-se outra ligação (C, L ou C//L) para ser conectada entre o novo nó criado e o outro nó do par sorteado.

E. Visão Geral do Algoritmo

O algoritmo de execução da metodologia de síntese proposta pode ser dividido em duas etapas, como mostra o fluxograma da Fig. 4. Na primeira etapa ocorre o mecanismo de otimização do circuito e na segunda etapa, se for o caso, é realizado o processo de redução do circuito obtido pela primeira.

Figura 4. Algoritmo de execução.

1ª Etapa: Otimização do Circuito

O algoritmo de otimização proposto segue os seguintes passos:

1. Geração Inicial – Repertório G

Um número bastante grande (g) de circuitos é gerado de forma aleatória, com o intuito de se encontrar regiões promissoras do espaço de buscas.

2. Formação do Repertório Inicial – Repertório P

Os circuitos do repertório G são avaliados, ordenados e os p circuitos de maior afinidade formam o repertório inicial.

3. Seleção para Clonagem – Repertório P n

Os n circuitos de maior afinidade do repertório P são selecionados para comporem o repertório P n , destinado à clonagem.

4. Clonagem – Repertório P c

Os circuitos do repertório P n são ranqueados de acordo com a afinidade e o número de clones de cada um deles (NC i ) é dado pela expressão:

i

i

NC floor p r

=    

  (14)

(6)

onde p é o número de circuitos do repertório inicial, r i é a posição do circuito i no ranqueamento e floor(x) é o maior inteiro ≤ x.

5. Hipermutação – Repertório P h

Quanto menor a afinidade de um circuito do repertório PC, maior o número de mutações aplicadas em seus clones. Assim, o número de mutações por clone é dado por:

( )

i i

i i

NM 20 ceil 1 1 20 ceil 1 f F

NM 10

 

= ⋅  − =  ⋅ −

 

(15)

onde F i é a afinidade do circuito que deu origem ao clone, definida em (12), f i é a afinidade não normalizada do circuito que deu origem ao clone, expressa em (11), e ceil(x) é o menor inteiro ≥ x.

6. Substituição

Com o intuito de se reduzir uma possível tendência à convergência prematura, optou-se por um mecanismo de substituição local, no qual cada circuito do repertório P n só pode ser substituído por um de seus clones.

7. Edição de Anticorpos

Os (p – n) circuitos não selecionados para a clonagem são substituídos nos novos circuitos gerados aleatoriamente.

2ª Etapa. Redução do Circuito

O resultado do algoritmo de busca baseado em Seleção Clonal consiste em um circuito LC passivo com TPG elevado, baixa sensibilidade e componentes de valores contínuos.

Contudo, é possível que a sensibilidade do TPG em relação a alguns desses componentes seja baixa o suficiente de forma que não interfiram, consideravelmente, na resposta do circuito.

O processo de redução consiste na identificação e remoção desses componentes, seguidas de uma nova rodada do algoritmo de Nelder-Mead Downhill Simplex, para o ajuste dos valores dos componentes à nova topologia.

A remoção de um componente da rede altera as tensões nos nós do circuito e, consequentemente, o TPG e a sensibilidade do TPG em relação aos demais componentes. Assim, especial atenção deve ser dada à remoção de componentes posicionados próximos à fonte, pois são os que exercem maior influência sobre as tensões nos nós do circuito .

IV. APLICAÇÕES

A metodologia de síntese proposta é aplicada em dois problemas de casamento de impedância em banda larga, encontrados na literatura, para fins de validação. A primeira aplicação trata do casamento de uma carga RLC simples com uma fonte resistiva. A segunda é um problema real de casamento de uma antena monopolo VHF com uma fonte também resistiva. Os resultados encontrados são comparados com outros obtidos pela aplicação de outras técnicas. Os parâmetros de controle do algoritmo proposto aparecem na Tabela I.

TABELA I

PARÂMETROS DE CONTROLE

P ARÂMETRO RLC A NTENA

N ÚMERO DE N ÓS 2-10 2-10

R EPERTÓRIO G - 10000

R EPERTÓRIO P 100 100

R EPERTÓRIO Pn 20 20

N ÚMERO DE I TERAÇÕES 1000 1000 N ÚMERO DE I TERAÇÕES DO S IMPLEX 100 100

V ALORES DOS C APACITORES [0, 5] [1,8 – 820] pF V ALORES DOS I NDUTORES [0, 5] [25 – 900] nH R AZÃO DE E SPIRAS DO T RANSFORMADOR [0, 5] -

T OLERÂNCIA DOS C OMPONENTES 5% 5%

O algoritmo foi executado 10 vezes para cada aplicação, em um computador com processador Intel Core 2 Duo de 3GHz e 2GB de memória RAM.

A. Carga RLC:

Este problema proposto por Fano [1] consiste no casamento de uma carga RLC simples (R L = 1, L = 2,3 e C = 1,2) com resistência R S = 1, na faixa de 0 a 1 rad/s. Cada execução do programa durou, em média, 2 dias. A Fig. 5 mostra a maturação da função objetivo não normalizada f, do TPG e do erro de sensibilidade, respectivamente.

Figura 5. Maturação.

A Tabela II mostra a descrição da rede obtida, em formato

spice, e as sensibilidades do TPG em relação aos seus

componentes.

(7)

TABELA II REDE DE CASAMENTO

C IRCUITO S ENSIBILIDADES E1 1 0 TRANSFORMER 2 0 1.420 -

C1 1 2 0.435 0,379

L1 1 2 1.112 0,790

C2 2 0 0.819 -0,600

C3 2 3 0.055 0,033

C4 3 0 0.101 -0,046

C5 1 4 0.794 -0,006

C6 3 4 1.076 -0,004

L2 1 5 1.677 0,000

C7 1 6 2.129 0,000

L3 1 6 0.354 0,000

L4 5 6 0.923 0,000

C8 1 7 2.100 0,000

C9 6 7 0.306 0,000

L5 1 8 1.677 0,000

C10 5 8 0.991 0,000

C11 6 8 1.627 0,000

L6 6 8 1.287 0,000

L7 7 8 1.648 0,000

C12 7 9 2.054 0,000

A sensibilidade do TPG em relação aos componentes marcados em negrito é nula pelo fato dos mesmos formarem um loop ligado ao nó 1. Esses componentes foram removidos da rede. A análise das sensibilidades do TPG em relação aos demais componentes mostra que os capacitores C5 e C6 poderiam ser removidos. Contudo, optou-se por mantê-los, pelo fato de estarem diretamente conectados ao nó de entrada do circuito.

A Fig. 6 compara as topologias do circuito encontrado em outras publicações, através da aplicação das técnicas RFT [27], de um método híbrido [19], que utiliza GA para otimizar os valores das reatâncias dos componentes de uma rede ladder de topologia pré-definida, e do método de otimização de topologias, também baseado em GA [17], com a topologia obtida pela nova metodologia proposta.

O UTRAS T ÉCNICAS

M ETODOLOGIA P ROPOSTA Figura 6. Topologias.

A Tabela III e os gráficos da Fig. 7 comparam os resultados.

A nova topologia encontrada caracteriza-se por não ser convencional e as curvas dos gráficos da Fig. 7 mostram que a sua resposta (linha espessa) apresenta o ganho mais elevado, mais plano e com menor ripple.

TABELA III

COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS

RFT H ÍBRIDO GA M ETODOLOGIA

P ROPOSTA

TPG 0,848 0,852 0,855 0,869

ε

S

1,687 1,784 2,047 1,858

A FINIDADE 0,777 0,776 0,767 0,788

n 1,483 1,485 1,493 1,420

C1 0,352 0,386 0,409 0,435

L1 2,909 2,976 3,023 1,112

C2 0,922 0,951 0,971 0,819

C3 - - - 0,055

C4 - - - 0,101

C5 - - - 0,794

C6 - - - 1,076

S

C1

0,239 0,257 -0,310 0,379

S

L1

-0,678 -0,669 -0,665 0,790

S

C2

-0,770 0,856 1,073 -0,600

S

C3

- - - 0,033

S

C4

- - - -0,046

S

C5

- - - -0,006

S

C6

- - - -0,004

Figura 7. Comparação entre os métodos.

B. Antena VHF Monopolo I:

Nesta aplicação, proposta em [2], uma antena monopolo VHF é casada com uma resistência de fonte de valor 50 Ω, na faixa de 64,99 MHz a 90 MHz. Cada execução do programa durou pouco mais de 1 dia. A Fig. 8 mostra a maturação do processo.

O arquivo Spice do circuito obtido, juntamente com as sensibilidades do TPG em relação aos seus componentes é apresentado nas duas primeiras colunas da Tabela IV. Os componentes em negrito foram removidos, devido à baixa sensibilidade do TPG em relação eles, e uma rodada do algoritmo Nelder-Mead Downhill Simplex foi aplicada à rede reduzida, para ajuste dos valores dos componentes à nova topologia. As duas últimas colunas da Tabela IV mostram os novos valores obtidos.

Apesar do TPG apresentar baixa sensibilidade em relação aos capacitores C6 e C7, eles não foram removidos para não deixar o capacitor C5 e os indutoresL5 e L6 isolados.

A Fig. 9 ilustra o esquemático do circuito, com os

componentes removidos em negrito.

(8)

Figura 8. Maturação.

TABELA IV

REDES DE CASAMENTO E REDUÇÃO C IRCUITO S ENSIBILIDADES C IRCUITO

REDUZIDO

S ENSIBILIDADES

L1 1 2 114.16nH 0.247 113.61nH 0.243

L2 2 3 215.62nH -0.089 209.05nH 0.087

L3 3 0 122.16nH -0.125 121.77nH -0.131

C1 3 4 303.44pF 0.003 - -

C2 4 5 121.74pF -0.003 - -

C3 5 6 66.27pF -0.017 97.61nH -0.013

L4 3 7 83.80nH -0.015 25.11nH -0.005

C4 5 7 60.63pF -0.015 76.46pF -0.017

C5 1 8 23.10pF 0.075 22.10pF 0.115

L5 1 8 126.42nH -0.098 128.17nH 0.127

C6 6 8 259.75pF -0.004 264.13pF -0.005

L6 2 9 433.31nH 0.046 419.47nH 0.046

C7 3 9 180.82pF 0.002 369.26pF -0.001

C8 4 9 274.37pF -0.001 - -

Afinidade 0.866 0.864

TPG 0.899 0.899

Erro de Sensibilidade

0.740 0.791

Figura 9. Topologia gerada pelo algoritmo.

O gráfico da Fig. 10 faz uma comparação entre as curvas de resposta do circuito original e reduzido, validando a etapa de redução.

Figura 10. Resposta da topologia gerada pelo algoritmo e de sua redução.

A Fig. 11 compara as topologias geradas a partir das técnicas RFT [27], GA [2] e a obtida pela nova metodologia proposta, após a remoção dos componentes.

A Tabela V e os gráficos da Fig. 12, por sua vez, fazem a comparação entre os resultados obtidos com a utilização das diferentes metodologias.

A nova topologia encontrada caracteriza-se por não ser convencional. Os resultados da Tabela IV e as curvas do gráfico da Fig. 10 mostram que as remoções dos capacitores C1, C2 e C8, e com eles do nó 4 do circuito, praticamente não alteraram o ganho. Finalmente, as curvas dos gráficos da Fig.

11 mostram que, considerando apenas o TPG, a metodologia proposta foi mais eficiente do que a RFT e menos do que a técnica de síntese baseada em GA. Entretanto, essa melhor resposta do procedimento que usa GA foi alcançada ao custo de um erro de sensibilidade consideravelmente mais elevado.

V. CONCLUSÃO

Uma nova metodologia de síntese de circuitos de casamento de impedância em banda larga foi apresentada.

Essa metodologia baseia-se em algoritmos de seleção clonal e

utiliza uma função de objetivo único, considerando a relação

existente entre o TPG, a sensibilidade em relação aos

componentes da rede e as tolerâncias desses componentes. Tal

formulação elimina a difícil tarefa de estimar pesos adequados

para os parâmetros da função. O cálculo da sensibilidade

também habilita o projetista a identificar e remover

componentes pouco relevantes para o circuito, simplificando

sua estrutura. Todos esses aspectos foram avaliados com

sucesso em duas aplicações, sendo uma delas teórica, porém

consagrada na literatura, e a outra um problema real de

casamento de antena VHF monopolo.

(9)

RFT

GA

METODOLOGIA PROPOSTA

Figura 11. Topologias.

TABELA V

COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS

RFT GA M ETODOLOGIA P ROPOSTA

TPG 0,887 0,911 0,899

ε

S

3,808 1,673 0,791

A FINIDADE 0,718 0,835 0,864

n 1,483 - -

C1 43,89pF 31,41pF X

C2 110,93pF 28,32pF X

C3 107,86pF 2,74pF 97.61nH

C4 - - 76.46pF

C5 - - 22.10pF

C6 - - 264.13pF

C7 - - 369.26pF

C8 - - X

L1 85,47nH 361,67nH 113.61nH

L2 61,80nH 142,66nH 209.05nH

L3 125,98nH 321,21nH 121.77nH

L4 - - 25.11nH

L5 - - 128.17nH

L6 - - 419.47nH

S

C1

0,493 0,259 X

S

C2

-0,535 0,236 X

S

C3

0,640 0,050 -0,013

S

C4

- - -0.017

S

C5

- - 0.115

S

C6

- - -0.005

S

C7

- - -0.001

S

C8

- - X

S

L1

0,712 0,403 0.243

S

L2

-0,641 -0,494 0.087

S

L3

0,775 0,230 -0.131

S

L4

- - -0,005

S

L5

- - 0.127

S

L6

- - 0.046

X – C OMPONENTE REMOVIDO

Figura 12. Comparação entre os métodos.

REFERÊNCIAS

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Leandro Teixeira Dornelles é graduado em Engenharia Eletrônica pelo Instituto Militar de Engenharia (IME), Rio de Janeiro, Brasil, em 2001, Mestre em Ciências e Doutor em Ciências em Engenharia Elétrica, ambos pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), Rio de Janeiro, Brasil, respectivamente em 2007 e 2015. Atualmente é Professor do Departamento de Engenharia Elétrica do IME. Suas principais áreas de pesquisa são: teoria dos circuitos e computação evolucionária.

Leonardo Bruno de Sá recebeu o título de Bacharel em Ciências em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro, Brasil, em 1998, e os títulos de Mestre em Ciências e Doutor em Ciências em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, respectivamente, em 2004 e 2009. Desde 2009 tem estado no Centro Tecnológico do Exército Brasileiro, onde é Engenheiro Pesquisador. Seus interesses em pesquisa incluem teoria dos circuitos, computação evolucionária e projeto de circuitos integrados analógicos. Ele é autor ou co-autor de mais de 10 artigos de revista e conferências nessas áreas. Dr. Sá é membro da International Society for Optical Engineering (SPIE) desde 2001.

Antonio Carneiro de Mesquita Filho é graduado em

Engenharia Elétrica pela Pontifícia Universidade

Católica de Minas Gerais(1970) e Mestre em Ciências em

Engenharia Elétrica pela Pontifícia Universidade Católica do

Rio de Janeiro(1975) e Doutor em Eletrônica e Automática

pela Université Toulouse III Paul Sabatier(1980). Atualmente

é Professor adjunto do Programa de Engenharia Elétrica da

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Tem como principais áreas de

pesquisa: Medidas Elétricas, Magnéticas e Eletrônicas; Instrumentação e

Projeto de Circuitos Integrados.

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