5. aplicação da teoria do risco a seguros

5. aplica¸c˜ ao da teoria do risco a seguros

1 Introdu¸c˜ao.

2 Distribui¸c˜oes usuais para a severidade

3 Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo.

4 Tratado de Resseguro Stop-Loss

5 Efeito do Resseguro na Probabilidade de Ru´ına.

O objectivo deste cap´ıtulo ´e o de indicar v´arios modos de aplica¸c˜ao de Teoria do Risco a Problemas de Seguros. S˜ao assim aflorados os tipos usuais de distribui¸c˜oes para diferentes ramos de seguros; seguidamente, s˜ao referidos 2 m´etodos de aproxima¸c˜ao dos modelos de risco individual para uma carteira de ap´olices por modelos de risco colectivo; ´e estudado o efeito do resseguro (Stop-loss e proporcional) na probabilidade de ru´ına; e, por fim, faz-se referˆencia a outros princ´ıpios de c´alculo de pr´emio, real¸cando que os t´opicos abordados ao longo do curso podem ser reformulados `a luz desses princ´ıpios.

O objectivo principal deste cap´ıtulo ´e o de indicar v´arios modos de aplica¸c˜ao da Teoria do Risco a Problemas de Seguros.

Nos dois cap´ıtulos anteriores foi desenvolvido o modelo de Risco Colectivo. Este modelo foi constru´ıdo sob a suposi¸c˜ao de que

uma colec¸c˜ao de ap´olices

↓ gera

um n´umero aleat´orio de indemniza¸c˜oes (sinistros) em cada per´ıodo e

cada indemniza¸c˜ao (sinistro) ´e de montante aleat´orio

A aplica¸c˜ao de semelhante modelo exige informa¸c˜ao acerca de : distribui¸c˜ao do n´umero de indemniza¸c˜oes

distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao individual

Como foi salientado, n˜ao ´e tarefa espec´ıfica nesta abordagem levar a cabo toda uma metodologia de modela¸c˜ao face a dados reais.

Ao longo da exposi¸c˜ao temos suposto que ambos os modelos s˜ao conhecidos `a partida, fruto eventualmente de todo um trabalho de modela¸c˜ao pr´evio.

de distribui¸c˜oes que usualmente se tˆem revelado mais frequentes na modela¸c˜ao de dados reais, para diferentes ramos de seguros:

Incˆendio Autom´ovel

Incapacidade Tempor´aria Hospitalar

Seguidamente, ser˜ao referidos dois m´etodos de aproxima¸c˜ao dos modelos de risco individual para uma carteira de ap´olices por modelos de risco colectivo, atrav´es de distribui¸c˜oes de Poisson Composta convenientes.

Finalmente, falaremos de Resseguro Stop-Loss e o efeito do resseguro na Probabilidade de Ru´ına.

distribui¸c˜oes usuais para a severidade

Ser´a feita uma breve apresenta¸c˜ao de algumas distribui¸c˜oes associadas aos montantes de indemniza¸c˜ao, em Seguros de Incˆendio, Acidentes Pessoais no Ramo Autom´ovel, Incapacidade Tempor´aria, Internamento Hospitalar. Nos ramos mencionados s˜ao referidos os modelos lognormal, Pareto, mistura de exponenciais, Gama, associados a problemas actuarias correntes.

Referiremos 4 aplica¸c˜oes espec´ıficas, de modo a dar uma vis˜ao do leque de aplica¸c˜oes associadas a modelos em Teoria do Risco.

SEGURO DE INC ˆENDIO

SINISTRO−→incˆendio numa estrutura segura que origina dano de perdas.

Na literatura ligada a problemas actuariais tˆem sido sugeridas algumas distribui¸c˜oes standard, com parˆametros a estimar a partir da amostra dos montantes de sinistro no per´ıodo de estudo. Cabe aqui referir o car´acter altamente assim´etrico das distribui¸c˜oes, com de caudas pesadas.

f_X(x;m, σ) = 1 xσ√

2πexp

−(logx−m)² 2σ²

,m∈ <,x>0, σ >0

SeY _N(m, σ) ent˜aoX =e^Y _LN(m, σ).

µ_X = exp

m+σ² 2

2

Pareto:

f_X(x;x₀, α) = _x^αxα+1^0α, x >x₀ >0, α >0

µ_X = αx0

α−1 (existe para α >1) σ²_X = αx₀²

(α−2)(α−1)² (existe para α >2)

Mistura de Exponenciais:

fX(x;p,q, α, β) =pαe^−αx +qβe^−βx, parax >0, α, β >0,0<p<1,p+q = 1.

µ_X = p α + q

β σ²_X = p(1 +q)

α² +q(1 +p) β² −2pq

αβ

ACIDENTE DE AUTOM ´OVEL

SINISTRO−→dano num autom´ovel originado por um acidente.

A distribui¸c˜ao Gama(α, β) com localiza¸c˜ao tem sido sugerida para estes casos.

Os parˆametros envolvidos devem ser estimados a partir da amostra dos montantes de indemniza¸c˜ao.

INCAPACIDADE TEMPOR ´ARIA

Este seguro ´e caracterizado por estabelecerbenef´ıcios para pessoas incapacitadas temporariamente.

Existe um per´ıodo de espera (7 dias, por exemplo) desde o dia da ocorrˆencia da causa da incapacidade e o come¸co do pagamento dos benef´ıcios por parte da Seguradora.

Existe igualmente um limite superior para o per´ıodo de pagamento (13 semanas, por exemplo).

O benef´ıcioc ´e ummontante di´ario fixo; assim, o montante de indemniza¸c˜ao ´e directamente proporcional ao per´ıodo de tempo em que se verifica a incapacidade, a partir do per´ıodo de espera.

SejaY a v.a. do ”tempo (em dias) a que se refere o benef´ıcio”.

A distribui¸c˜ao do montante de indemniza¸c˜ao,X =cY, ´e ent˜ao:

P[X =x] =P[cY =x] =P[Y = x

c], x =c,2c,3c,· · ·,91c no caso de 13 semanas como limite superior do suporte deY. Quer dizer, tudo se resume `a modela¸c˜ao da v.a. Y que est´a na base deX.

Supondo tamb´em um benef´ıcio di´ario constantec em caso de internamento hospitalar , este exemplo ´e semelhante ao anterior, excluindo o per´ıodo de espera.

Assim, sendoY a v.a. do ”n´umero de dias de internamento hospitalar”, e considerandom o n´umero m´aximo de dias para os quais s˜ao pagos os benef´ıcios por parte da Seguradora,

P[X =x] =P[Y = x

], x =c,2c,3c,· · · ,mc

Aproxima¸c˜oes do Modelo Individual ao Modelo Colectivo

Nos 2 m´etodos apresentados, pretende-se dar uma vis˜ao comparativa de como aproximar os modelos individual e colectivo, este ´ultimo com uma distribui¸c˜ao Poisson Composta conveniente, sendo feito um estudo comparativo entre os referidos modelos e o modelo de risco individual original.

Os modelos de risco individual e de risco colectivo s˜ao estruturas alternativas constru´ıdas de modo a captar os aspectos

fundamentais dos sistemas de seguros. O objectivo comum para cada um dos modelos ´e o desenvolvimento da distribui¸c˜ao do total das indemniza¸c˜oes, S.

Devido `a complexidade computacional de calcular a distribui¸c˜ao do total das indemniza¸c˜oes para uma carteira comn ap´olices usando o modelo de risco individual, tem sido usual tentar aproximar a distribui¸c˜ao usando a distribui¸c˜ao de Poisson Composta, normalmente associada aos modelos de risco colectivo.

Relembremos que o modelo de risco individual paran ap´olices modela o total de indemniza¸c˜oes do seguinte modo:

S =

n

X

j=1

X_j,

ondeX_j representa aindemniza¸c˜ao relativa `a ap´olice j, j = 1, . . . ,n.

Considera-se queos montantes individuais de indemniza¸c˜ao, Xj =IjBj,

comIj a v.a. indicadora de ocorrˆencia de indemniza¸c˜ao para a ap´olice j,

I_j :

1 0 q_j 1−q_j

eBj a v.a. domontante de indemniza¸c˜ao, caso ocorra, com f.d. Fj, µ_j =E[B_j] e σ²_j =Var[B_j].

Considera-se queI_j e B_j,j = 1,· · · ,n, s˜ao mutuamente independentes.

Assim, para a carteira dasn ap´olices E[S] =

n

X

j=1

q_jµ_j (1)

Var[S] =

n

X

j=1

q_j(1−q_j)µ²_j +

n

X

j=1

q_jσ_j² (2)

Composto.

M´ETODO 1:

Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es deS^∗ _PC(λ^∗,F_X^∗), com:

λ^∗=

n

X

j=1

λ^∗_j, λ^∗_j =qj

F_X^∗(x) =

n

Xλ^∗_j λ^∗F_j(x)

Justifica¸c˜ao:

A f.g.m. para a indemniza¸c˜ao referente `a ap´olicej, para j = 1,· · ·,n,

MXj(r) =E[e^Xjr]

=E[e^Xjr|I_j = 0]P[Ij = 0] +E[e^Xjr|I_j = 1]P[Ij = 1]

= 1·(1−q_j) +E[e^Bjr]q_j

= (1−q_j) +M_Bj(r)·q_j

pelo que a f.g.m. do total de indemniza¸c˜oes no modelo de risco individual ´e

M_S(r) =

n

Y

j=1

M_Xj(r)

=

n

Y

j=1

(1−qj) +M_Bj(r)·qj

=

n

Y

1 +q_j M_Bj(r)−1

Consequentemente, logaritmizando ambos os membros, obtem-se logMS(r) =

n

X

j=1

log

1 +qj MBj(r)−1

=

n

X

j=1

∞

X

k=1

(−1)^k+1 k

qj M_Bj(r)−1k

O m´etodo baseia-se na aproxima¸c˜ao que utiliza apenas o 1^o termo no desenvolvimento em s´erie na express˜ao anterior, vindo ent˜ao

logMS(r) ∼=

n

X

j=1

qj MBj(r)−1

=λ^∗

n

X

j=1

λ^∗_j

λ^∗ M_Bj(r)−1

=λ^∗





n

X

j=1

λ^∗_j

λ^∗M_Bj(r)−

n

X

j=1

λ^∗_j λ^∗





=λ^∗





n

X

j=1

λ^∗_j

λ^∗M_Bj(r)−1



, com λ^∗ =

n

X

j=1

λ^∗_j, λ^∗_j =q_j

=λ^∗(M_X^∗(r)−1), com M_X^∗(r) =

n

X

j=1

λ^∗_j

λ^∗M_Bj(r), sendoM_X^∗(r) a f.g.m. associado `a f.d. F_X^∗(x); de imediato ´e identificado o modelo Poisson Composto, com

M_S^∗(r) = exp{λ^∗(M_X^∗(r)−1)}.

Consequˆencias da aproxima¸c˜ao S^∗:

1)Coincidˆencia do valor m´edio das indemniza¸c˜oes agregadas do modelo individual com o da aproxima¸c˜ao, j´a que

E[S^∗] =λ^∗p₁^∗ =λ^∗E[X^∗] =λ^∗

n

X

j=1

λ^∗_j λ^∗µ_j =

n

X

j=1

q_jµ_j =E[S], como se constata por (1).

2)Variˆancia das indemniza¸c˜oes agregadas no modelo aproximado superior `a variˆancia no modelo individual, em (2), j´a que

Var[S^∗] = λ^∗p₂^∗

= λ^∗E[(X^∗)²]

= λ^∗

n

X

j=1

λ^∗_j

λ^∗(σ²+µ²_j)

=

n

X

j=1

q_j(σ²+µ²_j)

> Var[S]

3)Coincidˆencia do n´umero esperado de sinistros do modelo aproximado com o do modelo individual, j´a que

E[

n

X

j=1

Ij] =

n

X

j=1

E[Ij] =

n

X

j=1

qj =

n

X

j=1

λ^∗_j =λ^∗.

Observa¸c˜ao:

No caso de montante de indemniza¸c˜ao degenerado numa

constante,Bj =bj, as conclus˜oes da aproxima¸c˜ao pelo M´etodo 1 tˆem por base a seguinte particulariza¸c˜ao :

µ_j =b_j σ_j² = 0 f_X^∗(x) =P[X^∗ =x] = X

{j:bj=x}

q_j λ^∗.

M´ETODO 2:

Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de ˜S _PC(˜λ,F_X˜), com:

λ˜ =

n

X

j=1

λ˜_j, ˜λ_j =−log(1−q_j) F_X˜(x) =

n

X

j=1

λ˜_j λ˜F_j(x)

Justifica¸c˜ao:

Semelhante `a do M´etodo 1, se considerarmos que ˜λ_j ∼=λ^∗_j, i.e.,

−log(1−q_j)∼=q_j, para valores deq_j pr´oximos de 0,

j = 1,2,· · · ,n, o que ´e razo´avel em muitas situa¸c˜oes em que a probabilidade de ocorrˆencia de indemniza¸c˜ao ´e pequena.

1)Coincidˆencia da probabilidade de n˜ao ocorrˆencia de sinistros no modelo individual e no da aproxima¸c˜ao, j´a que

P[0 sinistros na carteira no modelo S] =

n

Y

j=1

P[Ij = 0] =

n

Y

j=1

(1−qj)

= exp



log

n

Y

j=1

(1−q_j)



= exp





n

X

j=1

log(1−q_j)



=e^−λ˜ Ora, tem-se que

2)Valor m´edio das indemniza¸c˜oes agregadas no modelo aproximado superior ao do modelo individual, j´a que tendo em aten¸c˜ao que

−log(1−qj) =

∞

X

k=1

q^k_j

k >qj, j = 1,2,· · · ,n, tem-se que

E[˜S] = ˜λp˜1= ˜λE[ ˜X] = ˜λ





n

X

j=1

λ˜j

λ˜µj



=−

n

X

j=1

log(1−qj)µj >

n

X

j=1

qjµj,

como se constata por (1).

Observa¸c˜ao:

Retomemos o exemplo referente a uma Companhia Seguradora efectua contratos de seguro de Vida (ap´olices anuais) para duas unidades de benef´ıcio de montantes 1 e 2, respectivamente, e para indiv´ıduos com probabilidade de morte 0.02 e0.10.

A Tabela seguinte sistematiza os 4 grupos de risco homog´eneos, de acordo com o ”n^o de indiv´ıduos segurados”, n_k, em cada uma das classes assim criadas (de acordo com o montante de benef´ıciob_k e a probabilidade de indemniza¸c˜aoqk,k = 1,2,3,4):

k qk bk nk

1 0.02 1 500

2 0.02 2 500

3 0.10 1 300

4 0.10 2 500

n= 1800

Aproximar a distribui¸c˜ao de S atrav´es de uma distribui¸c˜ao de Poisson Composta, utilizando os dois m´etodos referidos,

comparando as variˆancias obtidas com a variˆancia do modelo de risco individual original.

λ^∗=

1800

X

j=1

qj =

4

X

k=1

nkqk = 500(0.02)+500(0.02)+300(0.10)+500(0.10) = 100,

A f.m.p. paraX^∗ ´e f_X^∗(x) =P[X^∗ =x] = X

{j:bj=x}

q_j

λ^∗, pelo que

P[X^∗= 1] = 500(0.02) + 300(0.10)

100 = 0.4

P[X^∗= 2] = 500(0.02) + 500(0.10)

100 = 0.6

pelo que

Var[S^∗] =λ^∗p₂^∗= 100×2.8 = 280>256 Pelo M´etodo 2,

λ˜ =−

1800

X

j=1

log(1−qj) =−

4

X

k=1

n_klog(1−q_k)

=−500 log(0.98)−500 log(0.98)−300 log(0.90)−500 log(0.90)

= 104.5,

{j:bj=x} ˜λ que

P[ ˜X = 1] = −500 log(0.98)−300 log(0.90)

104.5 = 0.399

P[ ˜X = 2] = −500 log(0.98)−500 log(0.90)

104.5 = 0.601

˜

p2 =E[ ˜X²] = 1²(0.399) + 2²(0.601) = 2.803 pelo que

∼

Tratado de Resseguro Stop-Loss

Ser´a aqui retomado o conceito de resseguro Stop-Loss, desenvolvendo o c´alculo do pr´emio de resseguro. Neste par´agrafo entra em jogo a rela¸c˜ao entre as trˆes entidades:

Seguradora (ou Companhia Cedente), o Segurado, e a Resseguradora. No c´alculo de resseguro Stop-Loss s˜ao obtidas as f´ormulas recursivas de acordo com dedut´ıveis estipulados, sendo dado ˆenfase ao caso em que as indemniza¸c˜oes individuais assumem valores nos inteiros positivos. Por outro lado ´e uma constante desta sec¸c˜ao evidenciar ao aluno que os conceitos anteriormente apresentados s˜ao agora adaptados para esta rela¸c˜ao entre as 3 entidades em quest˜ao.

apresentado anteriormente, como um tipo de tratado ´optimo que maximiza a utilidade esperada, supondo fixado o pr´emio `a partida.

Consideremos agora este conceito aplicado a um grupo de riscos para a seguradora.

SejaS o total de indemniza¸c˜oes num dado per´ıodo, para uma Companhia Seguradora.

Para um Tratado de Resseguro Stop-Loss com Dedut´ıvel d, o montante pago pelaResseguradora`a Seguradora Cedente´e o excesso positivo sobre um limite fixadod:

I_d := (

N

XXi−d)⁺= (S−d)⁺=max(S−d,0) =

0, S <d

− ≥ ,

e, consequentemente, omontante de indemniza¸c˜oes retidas pela Seguradora cedente´e

S−I_d :=min(S,d) =

S, S <d d, S ≥d . Quer dizer, com este tipo de tratado a Seguradora vˆe assim limitado superiormente pord o montante das indemniza¸c˜oes retidas na Companhia.

Neste par´agrafo entra em jogo a rela¸c˜ao entre as trˆes entidades:

Seguradora(ou Companhia Cedente), oSegurado, e a Resseguradora. Por outro lado, real¸camos o facto de que os conceitos anteriormente apresentados s˜ao agora adaptados para esta rela¸c˜ao entre as 3 entidades em quest˜ao, sempre sob o ponto de vista da entidade seguradora cedente que ocupa o papel central.

Com a figura seguinte pretende-se evidenciar o facto de que o estudo ´e desenvolvido sob o ponto de vista da ”Seguradora Cedente”.

Debrucemo-nos, em seguida, sobre

M´etodos de C´alculo do Pr´emio de Resseguro Stop-Loss com dedut´ıveld

Comecemos pelo pr´emio puro respectivo,E[Id], o que corresponde a um limite inferior para o pr´emio Stop-Loss real.

Denotemos porFS efS respectivamente a f.d. deS e a f.d.p. de S.

Ent˜ao:

E[I_d] = Z ∞

d

(x−d)f_S(x)dx (3)

Por outro lado, E[Id] =

Z ∞ 0

(x−d)fS(x)dx− Z d

0

(x−d)fS(x)dx

= Z ∞

0

xfS(x)dx−d Z ∞

0

fS(x)dx+ Z d

0

(d −x)fS(x)dx, pelo que (3) ´e equivalente a

E[I_d] =E[S]−d + Z d

0

(d −x)f_S(x)dx (4)

Notando quef_S(x) =−_dx^d [1−F_S(x)], podemos exprimir o pr´emio puro do resseguro em termos da f.d. deS, j´a que

E[I_d] = Z ∞

d

(x−d)f_S(x)dx = Z ∞

d

(d −x) d

dx[1−F_S(x)]dx

= (d−x)[1−FS(x)]|^∞_d + Z ∞

d

[1−FS(x)]dx, integrando por partes

pelo que, notando que limx→∞x[1−FS(x)] = 0, se obtem E[I_d] =

Z ∞ d

[1−F_S(x)]dx (5)

e tamb´em

E[I_d] =E[S]− Z d

0

[1−F_S(x)]dx (6)

Sed = 0, ent˜aoE[I_d] =E[I0] =E[S], o que de certo modo equivale a dizer que se a seguradora estabelece um limite de reten¸c˜ao nulo ent˜ao ter´a de pagar por pr´emio de resseguro o pr´emio puro referente a todas as indemniza¸c˜oes agregadas do risco associado.

Observa¸c˜ao:

As express˜oes (5) e (6) s˜ao v´alidas para distribui¸c˜oes mais gen´ericas, incluindo discretas ou mistas.

A utiliza¸c˜ao mais conveniente de uma das express˜oes (3), (4), (5)

Exemplo:

Considere que ´e sensato modelar atrav´es de uma distribui¸c˜ao Gama(α, β) as indemniza¸c˜oes agregadas associadas a determinado tipo de risco dentro de uma seguradora,S. Denotando por

F_S(x;α, β) =Rx

0 β^αx_Γ(α)^α−1e^−βxdx a f.d. associada a S, mostrar que E[Id] = α

β[1−FS(d;α+ 1, β)]−d[1−FS(d;α, β)].

E[I_d] =

∞ d

(x−d)f_S(x;α, β)dx

= Z ∞

d

(x−d)β^αx^α−1

Γ(α)e^−βxdx

= Z ∞

d

β^α x^α

Γ(α)e^−βxdx−d Z ∞

d

f_S(x;α, β)dx

= ^α_β Z ∞

d

β^α+1 x^α

Γ(α+ 1)e^−βxdx−d[1−FS(d;α, β)]

F´ormulas Recursivas paraE[I_d] com indemniza¸c˜oes inteiras Consideremos agora o caso particular deS com valores no suporte dos inteiros

x = 0,1,2,· · · f_S(x) =P[S =x]

d ∈N

Observa¸c˜ao:

O Pr´emio Puro de Resseguro Stop-Loss no caso do dedut´ıveld ∈ ℵ/ para o caso de indemniza¸c˜oes inteiras obtem-se por interpola¸c˜ao linear nos inteiros que contˆem d (Exerc´ıcio 8.9^(∗)).

E[I_d] =

∞

X

x=d+1

(x−d)f_S(x) =E[S]−d+

d−1

X

x=0

(d −x)f_S(x) (7) enquanto que para as express˜oes (5)e (6) se obtem

E[I_d] = Z ∞

d

[1−F_S(x)]dx

= Z d+1

d

[1−F_S(x)]dx+ Z d+2

d+1

[1−F_S(x)]dx +· · ·,

= [1−F_S(d)] + [1−F_S(d+ 1)] +· · ·, E[I_d] =

∞

X[1−F_S(x)] (8)

e tamb´em

E[I_d] =

∞

X

x=0

[1−F_S(x)]−

d−1

X

x=0

[1−F_S(x)]

E[Id] =E[S]−

d−1

X

x=0

[1−FS(x)] (9)

Em geral, obtem-se assim umaf´ormula recursiva:

E[I_d+1] =E[I_d]−[1−F_S(d)], d = 0,1,2,· · · E[I₀] =E[S]

(10)

Este m´etodo ´e muito ´util para o caso de as indemniza¸c˜oes agregadas serem modeladas por uma Poisson Composta, com severidade nos valores inteiros positivos, j´a que tamb´em para esse caso a f.m.p. deS pode ser calculada recursivamente.

F´ormulas Recursivas paraS _PC(λ,F_X) com f_X(x) =P[X =x], x= 1,2,· · ·

A partir dosValores Iniciais

f_S(0) =P[S = 0] =e^−λ E[I0] =E[S] =λp1 =λE[X]

(11)

s˜ao usadas as F´ormulas Recursivas fS(x) =P[S =x] = λ

x

∞

X

j=1

jfX(j)fS(x−j)

F_S(x) =F_S(x−1) +f_S(x)

E[Ix] =E[Ix−1]− {1−FS(x−1)}, x = 1,2,3,· · · (12)

Exemplo:

Uma carteira de ap´olices produz um n^o de sinistros, N, num per´ıodo fixo, de acordo com

n 0 1 2 3

P[N=n] 0.1 0.3 0.4 0.2 e indemniza¸c˜oes individuais X com

x 1 2 3

P[X =x] 0.5 0.4 0.1

Este exemplo foi tratado anteriormente, tendo sido calculadas as f.d. e f.m.p. deS, obtendo-se

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f_S(x) 0.1000 0.1500 0.2200 0.2150 0.1640 0.0950 0.0408 0.0126 0.0024 0.0002 F_S(x) 0.1000 0.2500 0.4700 0.6850 0.8490 0.9440 0.9848 0.9974 0.9998 1.0000

Calcular o Pr´emio de Resseguro Stop-Loss, face a um dedut´ıvel de d = 7.

E[I7] =

∞

X

x=8

(x−7)fS(x) =

9

X

x=8

(x−7)fS(x)

= 1·f_S(8) + 2·f_S(9) = 0.0024 + 2(0.0002) = 0.0028, ou, alternativamente,

E[I7] =

∞

X[1−FS(x)] =

8

X[1−FS(x)] = 0.0028

Observa¸c˜ao:

Para o caso deS ter suporte n˜ao limitado superiormente ´e mais conveniente utilizar as express˜oes alternativas equivalentes para somat´orios finitos (ou integrais num intervalo limitado).

Supondo queS tem distribui¸c˜ao Poisson Composta com λ= 1.5 e P[X = 1] = ²₃ e P[X = 2] = ¹₃, calcularf_S(x), F_S(x) e E[I_x] para x= 0,1,2,3,4,5,6,.

Resolu¸c˜ao:

Recorrendo `as express˜oes (11) e (12), obtˆem-se os valores iniciais fS(0) =FS(0) =e^−λ =e^−1.5 = 0.223

4

fS(x) = λ x

2

X

j=1

jfX(j)fS(x−j)

= 1.5

x [fX(1)fS(x−1) + 2fX(2)fS(x−2)]

= 1

x[f_S(x−1) +f_S(x−2)], x= 1,2,· · ·,6 Por exemplo,f_S(1) =f_S(0) = 0.223 e assim sucessivamente, obtendo-se no final

x fS(x) FS(x) E[Ix] 0 0.223 0.223 2.000 1 0.223 0.446 1.223 2 0.223 0.669 0.669 3 0.149 0.818 0.338 4 0.093 0.911 0.156 5 0.048 0.959 0.067 6 0.024 0.983 0.026

Este par´agrafo aborda o tema proposto de uma forma introdut´oria, visando um compromisso entre o ganho esperado pelo segurador, por um lado, e a seguran¸ca esperada por outro. Estabelecendo como medida de seguran¸ca exactamente um limite superior para a probabilidade de ru´ına, pretende-se que a selec¸c˜ao do contrato entre os resseguros admiss´ıveis aquele que produza um ganho esperado mais elevado. ´E exactamente neste par´agrafo que o significado da designa¸c˜ao dada anteriormente de coeficiente de ajustamento se torna mais evidente para o aluno: se para determinado tratado de resseguro o valor daquele coeficiente n˜ao ´e suficientemente elevado (ao qual corresponde um valor de probabilidade de ru´ına mais baixo), dever´a ser tomado em considera¸c˜ao um ajustamento do contrato de resseguro com vista a aumentar o referido parˆametro ( e a baixar a probabilidade de ru´ına, consequentemente).

Essencialmente, `a custa de exemplos ilustrativos ´e feita uma compara¸c˜ao do desempenho entre os tratados proporcionais e de stop-loss.

Quest˜oes acerca do tipo de Resseguro a adquirir podem ser respondidas de diferentes maneiras.

Uma da abordagens foi considerada `a luz da teoria da utilidade.

Assim, face `a adop¸c˜ao de uma fun¸c˜ao utilidade por parte da Seguradora e tendo `a sua disposi¸c˜ao diversos tipos de contrato de Resseguro, a seguradora opta por aquele a que corresponde a maior utilidade esperada. Trata-se de uma abordagem muito simples conceptualmente, mas que na pr´atica n˜ao ´e muito

explorada, fundamentalmente devido `a escolha da fun¸c˜ao utilidade mais apropriada.

contemplava algumacarga de seguran¸ca relativamente ao processo de riscoassociado, nomeadamente,

c = (1 +θ)λp₁ (13)

supondop1 =E[X] a indemniza¸c˜ao individual esperada num per´ıodo de tempo unit´ario.

Em termos deResseguro Stop-Loss, debru¸c´amo-nos anteriormente sobre o c´alculo dopr´emio puroassociado ao resseguro com dedut´ıveld,E[I_d], que n˜ao ´e mais do que um limite inferiordo valor real do pr´emio a pagar pela transferˆencia de parte das indemniza¸c˜oes acima de certo montante dereten¸c˜ao.

utiliza¸c˜ao do princ´ıpio do valor m´edio obedece ao enquadramento geral do tipo

Taxa do Pr´emio

de Resseguro = (1+Coeficiente de Segu- ran¸ca para Resseguro ) ×

Taxa Esperada das Indemniza¸c˜oes para Resseguro

Isto ´e, no caso de um Tratado de Resseguro para o colectivoS, h(S)≤S, a taxa de pr´emio para o colectivo ser´a

c_h= (1 +ξ_h)E[h(S)] (14)

Note-se que sendo o taxa de pr´emio de Resseguro determinada pela Resseguradora, o coeficiente de seguran¸caξ_h ´e obtido `a custa de (14). Em particular, o estudo efectuado na sec¸c˜ao anterior com resultados para a taxa de pr´emio puro E[I_d] equivale a considerar ξ_h= 0.

Alternativamente `a abordagem seguida anteriormente, consideraremos uma nova perspectiva de Resseguro, de certa forma contemplando umcompromisso entre o ganho esperado, por um lado, e aseguran¸ca esperada, por outro.

Devido `a carga contida no pr´emio de Resseguro, a aquisi¸c˜ao de Resseguro reduz o ganho esperado do segurador cedente. Contudo, um contrato de resseguro conveniente implica um acr´escimo de

segurador selecciona de entre os contratos de resseguro admiss´ıveis aquele que produz um ganho esperado mais elevado.

Que medida de seguran¸ca escolher?

Iremos considerar aprobabilidade de ru´ına.

Um requisito poss´ıvel poder´a ser uma condi¸c˜ao limitativa para a Probabilidade de Ru´ına, do tipo

resseguro, para os quais seja poss´ıvel determinar o respectivo Coeficiente de Ajustamento,R, (ou ˜R).

Tornar-se-´a agora mais clara a designa¸c˜ao deR: se para determinado tratado de resseguro o valor deR n˜ao ´e suficientemente elevado(e ao qual corresponde um valor de Probabilidade de Ru´ına n˜ao suficientemente baixo) dever´a ser tomado em considera¸c˜ao umreajustamento do contrato de forma a aumentar oR associado (e a baixar a probabilidade de ru´ına, consequentemente).

Iremos com o exemplo seguinte abordar a quest˜ao, para o caso de um Tratado Stop-Loss, em que a seguradora tem `a sua escolha um de trˆes dedut´ıveis a estabelecer.

Exemplo:

Uma Seguradora possui uma carteira de ap´olices que produz indemniza¸c˜oes agregadas anuais que s˜ao independentes e identicamente distribu´ıdas como uma Poisson Composta com λ= 1.5, comfX(1) = ²₃ efX(2) = ¹₃. Os pr´emios anuais s˜ao de montantec = 2.5.

a Calcular o Coeficiente de Ajustamento que resulta desta carteira (ou seja, com cobertura completa por parte desta companhia seguradora, ou ainda supondo o caso extremo de um dedut´ıveld =∞).

b Pode ser adquirida uma cobertura do tipo Stop-Loss para uma carga de seguran¸ca associada de 100%.

Calcular o coeficiente de ajustamento que resulta de um contrato de resseguro stop-Loss afectado de um dedut´ıvel de

1 d = 3;

2 d = 4;

3 d = 5.

Comparar estas trˆes alternativas que a companhia tem ao seu dispor, tendo em vista o ganho esperado.

comportamento da indemniza¸c˜oes agregadas anuais.

Assim, o processo de reservas associado ´e dado pelo modelo Un=u+nc−Sn, Sn=

n

X

i=1

Wi

ondeWi representa as indemniza¸c˜oes agregadas no ano i, sendo considerado queW_i i.i.d. a W _PC(λ;F_X), comλ= 1.5 e c = 2.5.

Para este caso particular foi mostrado que ˜R≡R, i.e., ˜R ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao do modelo a tempo cont´ınuo

Ora neste caso a f.g.m. associada `as indemniza¸c˜oes individuaisX ´e MX(r) =E[e^rX] =fX(1)e^r +fX(2)e^2r = 2

3e^r +1 3e^2r, donde o coeficiente de ajustamento associado a esta cobertura total, ˜R, ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao transcendente

1.5 + 2.5r =e^r +1 2e^2r, que resolvida iterativamente resulta em

R˜ = 0.28

valores do dedut´ıvel o desenvolvimento ´e semelhante.

No Exemplo foram calculados v´arios valores para a taxa do pr´emio puro,E[I_d], em particularE[I₄] = 0.156 .

De acordo com os dados do problema proposto, a resseguradora estabeleceu uma taxa de Pr´emio de Resseguro que est´a afectada de um coeficiente de seguran¸ca

ξ_I4 = 100%,

i.e., denotando porcI4 o pr´emio de resseguro anual para um Stop-Loss com dedut´ıveld = 4,

montante recebido pelos seus seguradosc subtra´ıdo do pr´emio de Resseguro,c_I4, que a empresa cedente ter´a de pagar `a

resseguradora para adquirir o Tratado de Stop-Loss; i.e., c_retido =c−c_I4

ou seja,

c_retido = 2.5−0.312 = 2.188

Por outro lado, ao adquirir o resseguro, a seguradora cedente vˆe a sua responsabilidade desagravada, ficando com asindemniza¸c˜oes retidas

Wˆ_i =

W_i, W_i = 0,1,2,3,4 4, W_i >4

recorrer `a equa¸c˜ao geral para determina¸c˜ao do Coeficiente de Ajustamento ˜R associado a este tipo de tratado

e^−cretidorM_Wˆ(r) = 1

ou seja, considerando quef_Wˆ(x) =f_W(x) para x= 0,1,2,3 e f_Wˆ(4) = 1−F_W(3) e que W =^d S do Exemplo, ent˜ao ˜R ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

e^−2.188r ( ₃

X

x=0

fS(x)e^xr + [1−FS(3)]e^4r )

= 1;

R˜ = 0.35,

pelo que o Ganho Esperado Anual da seguradora cedente,Gretido, ser´a igual ao montante de pr´emios retido na companhia adicionado do pagamento esperado de indemniza¸c˜oes pela Resseguradora e subtra´ıdo do montante esperado de indemniza¸c˜oes que ter´a de pagar aos seus segurados; i.e.,

G_retido = c_retido+E[I₄]−E[W]

= 2.188 + 0.156−λE[X]

= 2.188 + 0.156−1.5×4

3 = 0.344

Para os outros valores de dedut´ıvel,d = 3, d = 5 e d =∞(sem resseguro) os valores s˜ao os seguintes:

d R˜ G_retido

3 0.25 0.162 4 0.35 0.344 5 0.34 0.433

∞ 0.28 0.500

Coment´ario Final:

Relativamente `a seguran¸ca, em termos da probabilidade de ru´ına ou, equivalentemente do coeficiente de ajustamento, o dedut´ıvel de d = 4 ´e prefer´ıvel ad = 5, uma vez que o primeiro produz ˜R= 0.35 superior a ˜R= 0.34.

Contudo, em termos do Ganho esperadod = 4 ´e pior do que d = 5 uma vez que o primeiro produzG_retido= 0.344 inferior a G_retido = 0.433.

Por outro lado, escolher um dedut´ıvel de d = 3 n˜ao tem sentido, j´a que isso corresponde a um desempenho pior tanto em termos de seguran¸ca como de ganho esperado do que ausˆencia de resseguro (d =∞).

ote-se que o caso extremo de uma transferˆencia total das

indemniza¸c˜oes para resseguro, i.e., uma escolha de d = 0 conduz a valores de um coeficiente de ajustamento ˜R= 0 e portanto a ru´ına certa. Realmente o valor correspondente de ganho esperado ´e negativo e deG_retido =−1.5 .

No Tratado Stop-Loss os pagamentos por parte da Resseguradora

`e Seguradora cedente s˜ao estipulados em fun¸c˜ao das indemniza¸c˜oes agregadas.

Consideremos seguidamente outro tipo de contrato de resseguro

Em geral, uma cobertura deste tipo ´e definida em termos de uma fun¸c˜aoh(X), com 0≤h(X)≤X.

Dois tipos de Tratado j´a foram apresentados:

Resseguro Quota-Share(ou Proporcional) h(X) =αX, 0≤α≤1 Resseguro Excess-of-Loss(ouExcesso de Perda) h(X) = (X−β)⁺=max(X−β,0) =

0, X < β

X−β, X ≥β , β ≥0

1 Para o Resseguro Proporcional os casos extremos de α= 0 e α= 1 correspondem respectivamente a ausˆencia de resseguro e a resseguro de cobertura total. Para o Resseguro

Excess-of-Loss β=∞ ´e a ausˆencia de resseguro enquanto que β = 0 ´e resseguro de cobertura total.

2 Note-se que relativamente ao resseguro para o colectivo referente ao total de indemniza¸c˜oes as defini¸c˜oes daqueles tratados correspondem, respectivamente, a

α

N

XX_i e

N

X(X_i−β)⁺.

CompostoPC(λ,FX), com pr´emios de resseguro pagos

continuamente a uma taxac_h; assim, sendoc a taxa dos pr´emios continuamente recebidos pelos segurados, a seguradora retem pr´emios a uma taxa cretido =c−ch. Ent˜ao o Coeficiente de Ajustamento,R_h, relativo ao resseguro h e, consequentemente, associado `as indemniza¸c˜oes retidas X_retido=X−h(X) ´e a solu¸c˜ao n˜ao trivial da equa¸c˜ao:

λ+c_retidor =λM_Xretido(r) ou seja,

λ+ (c −c_h)r =λ Z ∞

0

e^r[x−h(x)]f_X(x)dx

pagas pela resseguradoraS_h, ´e do tipo

c_h= (1 +ξ_h)E[S_h] = (1 +ξ_h)λE[h(X)]

e ataxa dos pr´emiosrecebidos pelos segurados relativamente a um total de indemniza¸c˜oesS ´e como anteriormente

c = (1 +θ)E[S] = (1 +θ)λE[X] vem, consequentemente, umataxa de pr´emios retidos

relativamente a um total de indemniza¸c˜oes retidas S_retido da forma c_retido = (1 +θ^∗)E[S_retido]⇐⇒c−c_h = (1 +θ^∗)λE[X −h(X)]

Exemplo:

Suponha-se que as indemniza¸c˜oes formam um processo de Poisson Composto, comλ= 1 eX _U(0,1). Os pr´emios s˜ao recebidos de acordo com uma taxac = 1. Calcular o Coeficiente de Ajustamento se for adquirido um Resseguro Proporcional com α= 0,0.1,0.2,· · ·,1 e se o coeficiente de seguran¸ca para resseguro ´e de

a)ξ_h= 100%;b) ξ_h= 140% .

A taxa de pr´emio de resseguro ´e c_h= (1+ξ_h)λE[h(X)] = (1+ξ_h)λ

Z 1 0

h(x)f_X(x)dx = (1+ξ_h)λ Z 1

0

αxdx pelo que

c_h= (1 +ξ_h)λα 2.

a)Neste casoξ_h= 100% ec_h=α, vindo o coeficiente de ajustamento como solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

Z ∞

1 + (1−α)r = Z 1

0

e^r(1−α)xdx ⇐⇒1 + (1−α)r = e^r(1−α)−1 r(1−α) Considere-se o primeiro caso deα= 0 (ausˆencia de resseguro). A resolu¸c˜ao por m´etodos num´ericos da equa¸c˜ao

1 +r = e^r −1 r conduz neste caso aR= 1.793.

Ora, como

1 +r = e^r −1

r ⇐⇒1 + (1−α) r

1−α = e^{1−αr (1−α)}−1

r

1−α(1−α) ;

1 + (1−α)r^∗ =

r^∗(1−α) ,

pelo que as solu¸c˜oes n˜ao trivias da equa¸c˜ao determinante do coeficiente de ajustamento para os outros valores deα6= 0 correspondem `a solu¸c˜ao encontrada paraα = 0 escalada convenientemente, i.e.,

R≡Rα = 1.793

1−α, α= 0.1,0.2,· · ·,1.0 b)No caso de ξ_h= 140% os c´alculos s˜ao semelhantes, vindo

ch= 1.2α

≡

Coeficiente de ajustamento Rα

α ξ_h= 100% ξ_h= 140%

0.0 1.793 1.793

0.1 1.993 1.936

0.2 2.242 2.095

0.3 2.562 2.268

0.4 2.989 2.436

0.5 3.587 2.538

0.6 4.483 2.335

0.7 5.978 0.635

0.8 8.966 − ^{←− α=5/7}

0.9 17.933 −

1.0 ∞ −

Vejamos a que carga de seguran¸ca, aplicada aos segurados, corresponde um pr´emio c = 1:

c = (1 +θ)E[S] = (1 +θ)λE[X] = (1 +θ)·1·1

2 =⇒θ= 1.

Em a), as cargas de seguran¸ca para resseguro e para os segurados s˜ao iguais, i.e.,ξ_h=θ= 1, eR ≡R_α´e crescente com α (e a probabilidade de ru´ına?).

Em b), a carga de seguran¸ca para resseguro ´e superior `a aplicada aos segurados, i.e., ξh= 1.4> θ= 1 eR ≡Rα ´e crescente deα = 0 at´e α= 0.5 e depois decresce (e a

Ainda em b) fa¸camos uma an´alise mais detalhada do que se est´a a passar em termos da ru´ına. Vejamos para que valor de α a taxa de pr´emios retidos ´e igual ao valor esperado das indemniza¸c˜oes retidas; quer dizer como

c_retido=c−c_h= 1−1.2α e E[S_retido] =λE[X−h(X)] = 1·1−α 2 determine-seα por forma a que

c_retido =E[S_retido]⇐⇒1−1.2α= 1−α 2 .

Ent˜ao para este valor deα= 5/7, tem-se obviamente c_retido = (1 +θ^∗)E[S_retido] ⇐⇒ θ^∗ = 0

concluindo que existe Ru´ına Certa para a Companhia Cedente.

O mesmo sucede para valores α >5/7, pois isso equivale a dizer que θ^∗<0 e, consequentemente,cretido <E[Sretido]

Exemplo:

Suponha que a Seguradora do exemplo anterior pode adquirir um Resseguro para uma cobertura Excess-of-Loss com

β= 0,0.1,0.2,· · · ,1.

Calcular o Coeficiente de Ajustamento se o coeficiente de seguran¸ca para resseguro ´e de

a)ξ_h= 100%;b) ξ_h= 140% .

A taxa de pr´emio de resseguro ´e ch= (1+ξh)λE[h(X)] = (1+ξh)λ

Z ∞ 0

h(x)fX(x)dx= (1+ξh) Z 1

β

(x−β)dx

pelo quec_h= (1 +ξ_h)(1−β)²

2 .

a)No caso deξ_h= 100% obtem-sec_h= (1−β)² eR ≡R_β ´e solu¸c˜ao n˜ao trivial da equa¸c˜ao

λ+ (c −c )r =λ Z ∞

e^r[x−h(x)]f (x)dx

1 + [1−(1−β)²]r = Z β

0

e^rxdx+ Z 1

β

e^rβdx,

pelo que tudo se resume `a resolu¸c˜ao, por m´etodos num´ericos, da equa¸c˜ao

1 + [1−(1−β)²]r = e^rβ−1

r + (1−β)e^rβ

b)Neste caso ξh= 140% vindo ch= 1.2(1−β)² e a consequente equa¸c˜ao a resolver

1 + [1−1.2(1−β)²]r = e^rβ−1

r + (1−β)e^rβ.

Coeficiente de ajustamento R_β

β ξh= 100% ξh= 140%

1.0 1.793 1.793

0.9 1.833 1.828

0.8 1.940 1.920

0.7 2.116 2.062

0.6 2.378 2.259

0.5 2.768 2.518

0.4 3.373 2.840

0.3 4.400 3.138

0.2 6.478 2.525 √

Coment´ario Final:

A an´alise deste caso ´e semelhante ao do Resseguro Proporcional, bastando notar que para o valor de β = 1−p

5/7, se tem

1−1.2(1−β)² = (1 +θ^∗)1−(1−β)² 2

⇐⇒c_retido = (1 +θ^∗)E[S_retido]

⇐⇒θ^∗ = 0

concuindo que para valores inferiores de β existe Ru´ına Certa para a Companhia Cedente.

Comparar os resultados dos exerc´ıcios anteriores referentes ao resseguro proporcionalhα(X) e ao resseguro Excess-of-Losshβ(X), para os pares (α, β) tais que

E[hα(X)] =E[hβ(X)]

.

Resolu¸c˜ao:

Os pares (α, β) verificam a igualdade ^α₂ = ^(1−β)₂ ², pelo que escrevendoα como fun¸c˜ao de β,α= (1−β)² e com

α β

ξ_hα = 100% ξ_hβ = 100% ξ_hα = 140% ξ_hβ = 140%

α β Rα R_β Rα R_β

0.00 1.0 1.793 1.793 1.793 1.793

0.01 0.9 1.811 1.833 1.807 1.828

0.04 0.8 1.868 1.940 1.848 1.920

0.09 0.7 1.971 2.116 1.921 2.062

0.16 0.6 2.135 2.378 2.030 2.259

0.25 0.5 2.391 2.768 2.181 2.518

0.36 0.4 2.802 3.373 2.372 2.840

0.49 0.3 3.516 4.400 2.535 3.138

0.64 0.2 4.981 6.478 1.992 2.525

0.81 0.1 9.438 12.746 − −

1.00 0.0 ∞ ∞ − −

coment´ario:

Para uma dada carga de seguran¸ca, o resseguro Excess-of-Loss conduz a Coeficientes de Ajustamento superiores (e a valores de Probabilidade de Ru´ına inferiores) aos obtidos por uma cobertura Proporcional, para os mesmos valores esperados de pagamento de resseguro.

No teorema que enunciaremos seguidamente (a demonstra¸c˜ao encontra-se em Bowers et al.,1987), constataremos que a conclus˜ao do exemplo anterior ´e um caso particular do resultado geral, de certo modo confirmando a optimalidade do Tratado Excess-of-Loss comparativamente a outro tipo de tratados como havia sido

Considere-se um Resseguroh(X), 0≤h(X)≤X, de taxa de pr´emio c_h. Sejah_β(X) um Tratado Excess-of-Loss com dedut´ıvelβ e sejach_β a sua taxa de pr´emio. SejamRh eRh_β os respectivos Coeficientes de Ajustamento.

SeE[h(X)] =E[h_β(X)] ec_h=c_hβ ent˜aoR_h≤R_hβ . Observa¸c˜ao:

Note-se que dizer que as taxas de pr´emios s˜ao iguais ´e equivalente a dizer que a seguran¸ca ´e igual, j´a que

c_h=c_hβ ⇐⇒(1+ξ_h)λE[h(X)] = (1 +ξ_β)λE[h_β(X)]⇐⇒ξ_h =ξ_hβ uma vez queE[h(X)] =E[hβ(X)].

De acordo com as condi¸c˜oes do teorema as conclus˜oes

comparativas relativamente aos coeficientes de ajustamento s´o podem ser aplicadas para a mesma carga de resseguro.

Ora, por vezes, pode ser vantajoso escolher uma carga de resseguro por forma a aumentar o coeficiente de ajustamento e fazendo simultanemaente decrescer os pr´emios de resseguro.

No ´ultimo caso apresentado, temos exemplificada essa situa¸c˜ao do seguinte modo:

c_hα = 2α

2 = 0.49,

enquanto que paraβ = 0.3 eξhβ = 140% a taxa de resseguro respectiva ´e de

c_hβ = 2.4(1−β)²

2 = 0.58, verificando-se que

c_hα <c_hβ.

Quanto aos coeficientes de ajustamento tamb´em o Tratado Proporcional oferece vantagem, j´a que

Rα = 3.516>Rβ = 3.138,

Uma escolha conveniente de resseguro dever´a ter estes dois objectivos: por um lado, uma

taxa de pr´emio t˜ao baixa quanto poss´ıvel e conduzir `a maior seguran¸ca, neste caso ao maior Coeficiente de Ajustamento

e, consequentemente, `a menor probabilidade de Ru´ına.