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O ponto de inversão (máximo ou mínimo) da função será dado pela raiz de h (t)

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Academic year: 2021

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(1)

1-

Para esboçar o gráfico, olharemos para os pontos que são raízes da função que descreve o salto e para o ponto de inversão de comportamento da função, que é a raiz da derivada de primeira ordem da função. Primeiro, as raízes de ℎ(𝑡) = 4,4 𝑡 − 4,9 𝑡2= 𝑡(4,4 − 4,9𝑡) = 0 𝑡1= 0 𝑡2 ≅ 0,9 𝑠 Sua derivada: ℎ′(𝑡) =𝑑ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡(4,4𝑡 − 4,9𝑡 2) = 4,4 − 9,8𝑡 O ponto de inversão (máximo ou mínimo) da função será dado pela raiz de ℎ′(𝑡)

ℎ′(𝑡) = 4,4 − 9,8𝑡 = 0 → 𝑡 ≅ 0,45 𝑠 → 𝑃𝑐(0,45; 0,99)

Sabido que o ponto em 𝑡 = 0,45 𝑠 é um ponto crítico, olharemos para pontos antes e depois deste para verificar o comportamento da função.

𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆: 𝑡 = 0,4 𝑠 → ℎ′(0,4) = 4,4 − 9,8 ∙ 0,4 = 0,48 > 0 𝐷𝐸𝑃𝑂𝐼𝑆: 𝑡 = 0,5 𝑠 → ℎ′(0,5) = 4,4 − 9,8 ∙ 0,5 = −0,5 < 0

Com isso, podemos afirmar que dentro do intervalo com significado físico 0 ≤ 𝑡 ≤ 0,9 𝑠, a função é crescente no intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 0,45 𝑠 e decrescente no intervalo 0,45 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 0,9 𝑠.

O gráfico:

2-

Antes, olhamos para a nossa função 𝑓(𝑥) = 3 + √𝑥²3 . Dela, podemos afirmar que a função será definida para todos os valores de 𝑥, inclusive os negativos, pois o sinal não fará diferença quando for substituído em 𝑥² dentro da raiz.

Para encontrar os extremos relativos, olhamos para a derivada, procurando pontos onde ela existe e é nula e para pontos onde ela não existe.

(2)

𝑓′(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥(3 + 𝑥 2 3) =2 3𝑥 −13 = 2 3√𝑥3

Dela, temos que o único ponto onde a derivada da função tem chance de ser zero só pode acontecer quando 𝑥 → ±∞. Ou seja, a função não apresenta máximos, mínimos ou pontos de inflexão. No entanto, é possível definir o ponto onde a derivada não existe, que é justamente em 𝑥 = 0. Nesse ponto, a função vale

𝑓(𝑥) = 3

Disso, temos que o gráfico apresenta um ponto extremo sobre o eixo 𝑦 e diverge para ambos os lados, indo para infinito.

3- PASSOU POR UMA CORREÇÃO, TINHA UM SINAL ERRADO. A função: 𝑄(𝑡) = 0,05𝑡2− 0,1𝑡 + 3,2

Sua derivada de 1ª ordem: 𝑄′(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡(0,05𝑡

2− 0,1𝑡 + 3,2) = 0,1𝑡 − 0,1 O ponto crítico será dado a partir do valor de 𝑡 que seja raiz de 𝑄’(𝑡):

0,1𝑡 − 0,1 = 0 → 𝑡 = 1 𝑎𝑛𝑜 → 𝑄(1) = 3,15 𝑝𝑝𝑚 → 𝑃𝑐(1; 3,15)

Como só há um ponto crítico que classifica como um máximo ou mínimo, não haverá um ponto de inflexão, isso é, a concavidade da função não mudará em nenhum instante. Para definir a concavidade, partimos da segunda derivada da função.

𝑄′′(𝑡) = 𝑑

𝑑𝑡(𝑄′(𝑡)) = 𝑑

𝑑𝑡(0,1𝑡 − 0,1) = 0,1 → 𝑄

′′(𝑡 = 1) = 0,1 > 0

Como a segunda derivada assume valor positivo para qualquer valor de t, a concavidade é para cima e o ponto crítico 𝑃𝑐(1; 3,15) classifica como um mínimo.

4-

a) 𝑓(𝑥) será crescente nos intervalos onde 𝑓’(𝑥) > 0 e decrescente onde 𝑓’(𝑥) < 0. Escolhendo alguns pontos para teste:

𝑥 = −1 → 𝑓′(−1) = 1 + 4 = 5 𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

𝑥 = −0,25 → 𝑓′(−0,25) = 0,0625 + 1 = 1,0625 𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

𝑥 = 0 → 𝑓′(0) = 0 − 0 = 0 𝐶𝑂𝑁𝑆𝑇𝐴𝑁𝑇𝐸

𝑥 = 0,25 → 𝑓′(0,25) = 0,0625 − 1 = −0,9375 𝐷𝐸𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

(3)

𝑥 = 2 → 𝑓′(2) = 4 − 8 = −4 𝐷𝐸𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑥 = 3 → 𝑓′(3) = 9 − 12 = −3 𝐷𝐸𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑥 = 3,75 → 𝑓′(3,75) = 14,0625 − 15 = −0,9375 𝐷𝐸𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑥 = 4 → 𝑓′(4) = 16 − 16 = 0 𝐶𝑂𝑁𝑆𝑇𝐴𝑁𝑇𝐸 𝑥 = 4,25 → 𝑓′(4,25) = 18,0625 − 17 = 1,0625 𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑥 = 5 → 𝑓′(5) = 25 − 20 = 5 𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑥 = 6 → 𝑓′(6) = 36 − 24 = 12 𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸

Então podemos concluir que nos intervalos (−∞, 0] e [4, +∞) a função é crescente e no intervalo [0, 4], a função é decrescente.

b) As raízes são os valores de 𝑥 para os quais 𝑓′(𝑥) = 0, os quais já aproveitei e calculei na a), 𝑥 = 0 e 𝑥 = 4. Esses valores representam pontos críticos e nesse caso, máximos ou mínimos, da nossa função original 𝑓(𝑥), pois a função é definida para todos os valores de 𝑥.

c) Observando os sinais que a função assume antes e depois dos pontos críticos é possível definir se são máximos ou mínimos. No entanto, farei essa análise a partir da segunda derivada.

𝑓′′(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥[𝑓 ′(𝑥)] = 𝑑 𝑑𝑥(𝑥 2− 4𝑥) = 2𝑥 − 4 𝑥 = 0 → 𝑓′′(0) = −4 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 ⇒ 𝑀Á𝑋𝐼𝑀𝑂 𝑥 = 4 → 𝑓′′(4) = 4 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 ⇒ 𝑀Í𝑁𝐼𝑀𝑂 d) O valor de x no ponto de inflexão é o valor da raiz de 𝑓’’(𝑥).

𝑓′′(𝑥) = 2𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 2

Esse ponto do gráfico representa o ponto no qual há uma inversão da concavidade da função. No intervalo (−∞, 2], a função apresenta uma concavidade para baixo e, a partir de 𝑥 = 2, a função passa a apresentar uma concavidade para cima, durante o intervalo [2, ∞).

5- CORREÇÃO: na b) é 𝑴′(𝒕) = 𝟎 e não 𝑀′(0) = 0

A velocidade de crescimento da massa dessa cultura de bactérias é 𝑀′(𝑡) = 𝑝𝑜+ 60𝑡 − 2,5𝑡² a) Para 𝑡 = 6ℎ → 𝑀′(6) = 𝑝𝑜+ 60 ∙ 6 − 2,5 ∙ 36 = 270 + 𝑝𝑜

b) O ponto em que 𝑀′(𝑡) = 0 classifica como o ponto de virada da função, o momento onde ela atinge seu valor máximo, isso é, a massa máxima que a cultura de bactérias atinge.

Para os valores de t onde 𝑀′(𝑡) > 0, a função apresenta comportamento de crescimento; para os valores de t onde 𝑀′(𝑡) < 0, a função decresce, diminuindo a massa da cultura.

6-

Para obter o momento em que as funções atingem seu máximo, calculamos as derivadas de 1º ordem: a) 𝐴1= −4𝑡2+ 8𝑡 𝐴1(𝑡) =𝑑𝐴1(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡(−4𝑡 2+ 8𝑡) = 8(1 − 𝑡)

O máximo acontecerá quando 𝐴1′(𝑡) = 0 → 𝑡 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 → 𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑃𝑐(1; 4) b) 𝐴2(𝑡) = −1,8𝑡3+ 5,4𝑡 𝐴2(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡(−1,8𝑡 3+ 5,4𝑡) = 5,4(1 − 𝑡2) → 𝐴 2 ′(𝑡) = 0 → 𝑡 = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 → 𝑃𝑐(1; 3,6)

(4)

c) A diferença entre o efeito dos dois é menor logo no começo da primeira hora. Observando os gráficos de alívios das funções, fica claro que o primeiro analgésico possui uma ação mais intensa e mais rápida, pois cresce mais rapidamente (tangente mais inclinada) e atinge um máximo maior.

7-

Para uma pessoa produzindo 2,4 𝑘𝑐𝑎𝑙 de energia em 24 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 a) Sua potência média será calculada pela expressão

𝑃̅ =∆𝑊 ∆𝑡

Transformando 2,4 𝑘𝑐𝑎𝑙 ∙ 4148 = 9.955,2 𝐽 e 24 ℎ ∙ 3600 = 86.400 𝑠, temos que a potência em 𝑤𝑎𝑡𝑡 (𝑊)

𝑃̅ =9.955,2

86400 ≅ 0,115 𝑊

b) Para saber o número de pessoas 𝑁 que emitem a mesma energia que um aquecedor de 1500 W, fazemos

𝑁 = 1500

0,115≅ 13.043 𝑝𝑒𝑠𝑠𝑜𝑎𝑠

8- NUMA SEQUÊNCIA PRÓXIMA DE EVENTOS

9-

(5)

𝑃 = εσT4𝐴

A emitância 𝜀 = 1, a constante de Stefan-Boltzmann 𝜎 = 5,7 × 10−8 𝑊/𝑚2𝐾4, a área do corpo 𝐴 = 1,2 𝑚² e a temperatura 𝑇 = 34 °𝐶 = 307 𝐾. Assim

𝑃 = 5,7 × 10−8∙ (307)4∙ 1,2 ≅ 607,6 𝑊 Convertendo para 𝑐𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛:

𝑃 = 607,6 ∙ 14,33 (𝑐𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛) ≅ 8,71 𝑐𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛

10-

Para subir uma distância de 15 𝑚, partindo da origem, o trabalho efetuado 𝑊 = 𝑈𝑓− 𝑈𝑖 = 𝑚𝑔ℎ𝑓− 0 = 80 ∙ 9,8 ∙ 15 = 11.760 𝐽 Se a pessoa converte 22% da energia em trabalho, isto é

0,22 ∙ 𝐸 = 𝑊 → 𝐸 = 𝑊 0,22=

11.760

0,22 = 53.454,55 𝐽 = 12,89 𝑘𝑐𝑎𝑙

11-

Para obter um equilíbrio térmico entre dois corpos, deve-se satisfazer a somatória

∑ 𝑄𝑖 2

𝑖=1

= 0 → 𝑄1 (𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) + 𝑄2(𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜) = 0 𝐶1(𝑇𝑓− 𝑇𝑖) + 𝑚2𝑐2(𝑇𝑓− 𝑇𝑜) = 0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶1= 𝑚1𝑐1

Onde 𝐶1 é a capacidade calorifica do calorímetro e 𝑐2, o calor específico do líquido. Substituindo os valores: 8 ∙ (50 − 10) + 200 ∙ 0,40 ∙ (50 − 𝑇𝑜) = 0 → 320 + 80(50 − 𝑇𝑜) = 0

80 ∙ 𝑇𝑜 = 4.320 → 𝑇𝑜 = 54 °𝐶

12-

Condução: fenômeno de transferência térmica entre átomos e/ou moléculas vizinhas em uma substância causada pela diferença de temperatura entre duas regiões no mesmo meio ou entre meios diferentes que estão em contato estático, macroscopicamente falando. Há passagem de calor, mas não há transporte de massa.

Exemplos: calor se propagando em uma barra de ferro que é esquentada em uma das extremidades; aquecimento do copo de vidro quando se esquenta um líquido dentro deste num microondas.

Convecção: fenômeno de mistura em fluidos devido a diferença de densidade em diferentes regiões do líquido, facilitado por meio do calor. É um processo de transporte de massa que só ocorre em presença da gravidade.

Exemplos: mistura de café quente com leite frio; subido do ar quente e descida do ar frio na atmosfera.

Radiação: emissão de radiação eletromagnética e, consequentemente, de energia, gerada pelo movimento térmico das partículas carregadas na matéria. Esse movimento oscilatório causa uma variação de energia

(6)

cinética nos átomos e moléculas que se converte em energia térmica e resulta na radiação eletromagnética térmica. Pode acontecer no vácuo.

Exemplos: uma lâmpada incandescente aquecendo os arredores; radiação térmica vindo do sol.

13-

Supondo o caso geral em que a panela está em contato direto com a chama, o calor antes passa por condução da chama para o metal e então esquenta o resto da água dentro da panela por convecção. Condução: é o processo de transmissão de calor feita de partícula para partícula sem que haja transporte de matéria de uma região para outra.

Convecção:transferência de calor em um fluído, é feita por meio do transporte da matéria de uma região para outra, ocorrido devido à diferença de densidade dos líquidos e gases quando estão em diferentes temperaturas.

14- Opção (c)

15-

Quando duas superfícies estão em contato, microscopicamente falando, ocorrem interações de natureza elétrica entre as suas moléculas. Com o movimento relativo, essas interações são rompidas, pois o contato equilibrado não existe mais, aumentando a energia cinética das moléculas de cada superfície. Um aumento dessa energia cinética gera uma vibração das moléculas, aquecendo-as e aumentando a temperatura das superfícies em contato. No processo inverso, a energia térmica dificultaria a interação entre as moléculas, pois a vibração delas desfavorece isso. As interações que pudessem acontecer seriam breves e localizadas, o que não seria suficiente para gerar o movimento relativos das superfícies. Isso é uma expressão da irreversibilidade descrita pela segunda lei da termodinâmica.

16-

Para determinar a quantidade de calor trocado ∆𝑄, fazemos ∆𝑆 =∆𝑄

𝑇 → ∆𝑄 = 𝑇 ∙ ∆𝑆 = 25 ∙ 20 = 500 𝑐𝑎𝑙

17-

A grandeza da pressão é definida como 𝑃 =𝐹𝐴. Para calcular a força 𝐹 = 𝑃 ∙ 𝐴, é necessário transformar a pressão com o coração bombeia o sangue de 𝑚𝑚 𝐻𝑔 para 𝑁/𝑚2= 𝑃𝑎.

1 𝑎𝑡𝑚 = 760 𝑚𝑚 𝐻𝑔 → 𝑃 = 100 (𝑚𝑚 𝐻𝑔) / 760 ≅ 0,132 𝑎𝑡𝑚 1 𝑎𝑡𝑚 = 1 × 105 𝑃𝑎 → 𝑃 = 0,132 × 105= 1,32 × 104 𝑃𝑎

Como a área da secção transversal da aorta é 𝐴 = 3 𝑐𝑚2= 3 × 10−4 𝑚², a força média exercida pelo coração será

(7)

18-

A pressão feita por um líquido é obtida a partir da expressão 𝑃 = 𝑃𝑜+ 𝜌𝑔ℎ

Onde 𝑃𝑜 é a pressão atmosférica, a qual vale 𝑃𝑜 = 1 𝑎𝑡𝑚 = 101.325 𝑃𝑎 a) 𝑃 = 101.325 + 1000 ∙ 9,8 ∙ 10 = 199.325 𝑃𝑎 = 1,97 𝑎𝑡𝑚 b) 𝑃 = 101.325 + 1025 ∙ 9,8 ∙ 10 = 201.775 𝑃𝑎 = 1,99 𝑎𝑡𝑚

19-

Para o caso em que o corpo está fora da água, o dinamômetro indica a magnitude da força peso do corpo, da qual podemos obter a massa do corpo.

𝐹 = 𝑚𝑜𝑔 → 300 = 𝑚𝑜∙ 9,8 → 𝑚𝑜 = 300

9,8 = 30,6 𝑘𝑔

Quando o corpo é imerso em água, que possui densidade 𝜌 = 1000 𝑘𝑔/𝑚³, observamos uma diminuição no peso medido pelo dinamômetro. Isso é, o empuxo 𝐸 causado pela água causa essa diferença de peso e pode ser calculado observando a diferença entre as forças medidas

𝐸 = 𝐹𝑎𝑟− 𝐹𝑎𝑔𝑢𝑎= 300 − 250 = 50 𝑁 O empuxo é definido como

𝐸 = 𝜌𝑔𝑉 → 50 = 1000 ∙ 9,8 ∙ 𝑉 → 𝑉 = 50

9800= 0,005 𝑚³ Assim, sabendo a massa e o volume do corpo, sua densidade é

𝜌𝑜 = 𝑚

𝑉 = 30,6

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