CEEJA
“MAX DADÁ GALLIZZI”
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
APOSTILA
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Parabéns!!!
Você já é um vencedor!
Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auxiliá-lo nas redescobertas da “arte matemática” que elaboramos o conteúdo e os exercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes
de matemática da forma mais clara possível.
Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para
utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará “ferramentas” matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e
facilitá-la. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os
conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na
sua vida.
Uma parte fundamental dessa apostila são os Exercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um texto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo exercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os exercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar
fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os
exercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será
utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que
surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudá-lo.
No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que
nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a
nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio.
Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo.
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Teorema de Tales
Introdução
Um dos trabalhos mais importantes na idéia de proporção e suas aplicações em Geometria foi desenvolvido por Tales, um rico comerciante da cidade grega de Mileto, cerca de 600 anos antes de cristo.
Por ser comerciante, Tales teve a oportunidade de entrar em contato com outros povos. Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a medir a altura de grande pirâmide de Queóps.
As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A pirâmide de Queóps, construída por volta de 2500 a.C., é considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros e sua altura é de 150 metros, aproximadamente.
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O filósofo grego Tales, nascido na cidade de Mileto por volta de 585 a.C., conseguiu medir a altura de uma das pirâmides. Partindo do princípio de que existe uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto projeta no chão, e que essa razão é a mesma para diferentes objetos no mesmo instante, Tales pôde calcular a altura da pirâmide. Usou apenas um bastão e as medidas das sombras da pirâmide e do bastão, num mesmo
instante.
Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses triângulos eram proporcionais, pôde determinar a altura VH da pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HB está para BC.
Este fato levou Tales a ser muito prestigiado pelo faraó Amásis, que governava o Egito nessa época.
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Outra importantíssima característica do pensamento de Tales é que estas leis matemáticas - ou teoremas, como são chamadas - devem ser provadas (ou demonstradas) por um raciocínio lógico. (E não apenas explicadas com
argumentos religiosos ou míticos, como se fazia até então em lugares antes mais desenvolvidos, como o Egito e a Babilônia.) Desse modo, Tales procurava
sempre demonstrar cada uma de suas afirmações novas baseando-se em outras afirmações já demonstradas, outros teoremas, formando assim cadeias de raciocínio.
Nesta aula você terá a oportunidade de redescobrir alguns desses teoremas bastante interessantes e úteis na vida prática que são atribuídos a Tales,
especialmente aquele que ficou conhecido com seu nome: o Teorema de Tales. Você ficará surpreso ao ver quantas aplicações diferentes existem destes teoremas: desde o cálculo da altura de prédios e outras distâncias inacessíveis! Como veremos, tudo isso trata de proporcionalidade de números (ou regra de três). Na realidade, o Teorema de Tales é “a figura da regra de três”. Mas... cada coisa a seu tempo!
O Teorema de Tales afirma que se um feixe de retas paralelas tem duas
transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra.
Para entender melhor o Teorema de Tales, é preciso saber um pouco sobre razão e proporção. Para a resolução de um problema envolvendo o Teorema de Tales, utiliza-se a propriedade fundamental da proporção, multiplicando-utiliza-se os meios pelos
extremos: os ângulos das retas tem a razão oposto pelo vértice da reta que os corta. Considerando-se o exemplo da figura ao abaixo:
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EXEMPLO 1:
Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura:
Solução:
Rua das Marrecas ( lote A)
Rua dos patos (lote B)
tas
Parelelas
Re
Rua dos Gansos
Transversa
l
Calculando a medida do lado dos fundos do lote B teremos segmentos proporcionais. Solução:
16
30
480
480
30
20
.
24
.
30
20
30
24
x
x
x
x
x
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EXEMPLO 2:
Sendo a // b // c, determine a medida x
Solução: Pelo Teorema de Tales
4
12
48
48
12
16
.
3
12
16
12
3
x
x
x
x
x
3
12
x
16
a
c
a, b e c são as retas paralelas t e u são as retas transversaisb
u
t
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Exercícios
Questão 01:
Calcule x, sabendo que a // b // c
a) b) c) d)
x
3
8
4
c
a
b
3
6
5
x
a
c
b
2
4
10
x
c
a
b
1
3
2
x
a
c
b
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e) f)
Questão 02:
A planta abaixo mostra as medidas de três lotes que tem frente para rua “A” e para rua “B”. As divisas laterais são perpendiculares à rua “A”. Quais são as medidas de x e y indicadas na figura?
Questão 03:
Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura.
Obs.: os fios da rede central são paralelos.
4
1,8
6
x
10
18
20
x
c
a
b
a
b
c
10m 15m 20m 40m x yPágina | 10
Semelhança
Como construir figuras semelhantes?
Quando ouvimos a expressão "figuras semelhantes" logo pensamos em figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Podemos associar a idéia de figuras semelhantes a ampliações ou reduções de uma figura em outras guardando semelhança na forma.
Veja abaixo o mapa do Brasil em dois tamanhos diferentes. O maior é uma ampliação do menor em 1,5 vezes. Isto significa que todas as distâncias medidas no mapa maior são iguais às mesmas distâncias do mapa menor multiplicadas por 1,5. Você pode verificar isso com o auxílio de uma régua.
No nosso dia a dia podemos observar inúmeros exemplos de semelhança entre objetos. Por exemplo, quando tiramos uma fotografia, a imagem que vemos na foto é a representação reduzida e proporcional do objeto em tamanho real e ao mesmo tempo é uma ampliação da figura que aparece no negativo.
A planta de uma casa, projetada pelo arquiteto, também é um exemplo de semelhança entre a casa em tamanho real e o seu desenho no papel.
Você seria capaz de lembrar outras situações do cotidiano em que se observa semelhança de figuras? -Pense nisto!
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Semelhança de Triângulos
Congruência entre Triângulos
Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho.
Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro, como você observará daqui em diante.
Definição de Semelhança entre Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.
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10
3
30
30
3
6
.
5
.
3
5
6
3
x
x
x
x
x
8
3
24
24
3
4
.
6
.
3
4
6
3
y
y
y
y
y
EXEMPLO:Determine x e y, sabendo-se que os triângulos são semelhantes.
Os triângulos são semelhantes porque:
RT
AC
ST
BC
RS
AB
Teremos então:y
x
4
5
6
3
Utilizando a “regra de três” descobriremos os valores de x e y:
A B C 3 4 5 R S T 6 x y
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Exercícios
Questão 04:
Determine x e y, sabendo que os triângulos são semelhantes.
a) b) c) d) 12 x 4 3 y 6 x 8 3 4 y 9 4,5 12 x 5 y x 6 15 12 y
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Questão 05:
Um homem de 1,75m de altura projeta uma sombra de 3,50m de comprimento no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 15,0m de comprimento. Qual é a altura da arvore?
Questão 06:
A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m. Qual a altura do poste?
Representação Matemática: 1,75m 3,50m x 15m
Página | 15 3,50m
1,75m
12m
X Questão 07:
A sombra de um poste que tem 8 m de altura mede 14 m. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um edifício mede 70 m. Qual a altura desse edifício?
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Gabarito
Questão 1: a) x = 6 b) y = 20 c) a = 10 d) x = 6 e) b = 36 f) c = 2,7 Questão 2: x = 30m ; y = 60m Questão 3: x = 4cm ; y = 12cm Questão 4: a) x = 9 ; y = 5 b) x = 6 ; y = 3 c) x = 6 ; y = 10 d) x = 8 ; y = 9 Questão 5: 7,5m Questão 6: 6m Questão 7: 40mPágina | 17
Bibliografia
Os textos e os exercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros:
Telecurso 2000 – Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, 2000.
Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, 2000.
Matemática: Contexto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999.
Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1994.
Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. – São Paulo: Moderna, 1999.
Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. – São Paulo: Moderna, 1998.
Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. – São Paulo: Atual, 1986.
Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.
A Conquista da Matemática – Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. – São Paulo: FTD, 1998.
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