MÉTODOS DE CONTAGEM
Joaquim H. Vianna Neto
Relatório Técnico – RTE-02/2013
Relatório Técnico
Série Ensino
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Métodos de contagem
www.ufjf.br/joaquim_neto1.1 Introdução
A princípio, pode parecer desnecessária a existência de métodos para realizar uma contagem. Isto de fato é verdade se o número de elementos que queremos contar for pequeno. Entretanto, se o número de elementos for grande, a contagem pode se tornar uma tarefa árdua.
Exemplo 1.1: Seja A o conjunto de números de 3 algarismos distintos. Assim, A = {123, 124, 125, ..., 875, 876}.
Observe que é trabalhoso obter todos os elementos deste conjunto e depois contá-los. Corre-se o risco de haver omissões ou repetições de elementos.
Resultado 1.1: Consideremos os conjuntos A = {a1, a2, ..., an} e B = {b1, b2, ..., bm}.
Podemos formar n · m pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B.
O diagrama de árvore, ilustrado abaixo, pode ser usado para visualizar os pares ordenados. 𝒃𝟏 𝒂𝟏, 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒂𝟏, 𝒃𝟐 ⋮ ⋮ 𝒃𝒎 𝒂𝟏, 𝒃𝒎 𝒃𝟏 𝒂𝟐, 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒂𝟐, 𝒃𝟐 ⋮ ⋮ 𝒃𝒎 𝒂𝟐, 𝒃𝒎 𝒃𝟏 𝒂𝒏, 𝒃𝟏 𝒃𝟐 𝒂𝒏, 𝒃𝟐 ⋮ ⋮ 𝒃𝒎 𝒂𝒏, 𝒃𝒎
𝒂
𝟏𝒂
𝟐⋮
𝒂
𝒏www.ufjf.br/joaquim_neto
Exemplo 1.2: Consideremos 3 cidades: X, Y e Z. Suponhamos 4 rodovias que ligam X à Y e 5 que ligam Y à Z. Partindo de X e passando por Y, de quantas formas podemos chegar até Z?
𝒃𝟏 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝟑 𝒂𝟒 𝒃𝟐 𝒃𝟑 𝒃𝟒 𝒃𝟓 𝒀 𝑿 𝒁 www.ufjf.br/joaquim_neto
Sejam A = {a1, a2, a3, a4} o conjunto das rodovias que ligam X à Y e B =
{b1, b2, b3, b4, b5} o conjunto das rodovias que ligam Y à Z. Cada modo de viajar de X até Z pode ser associado a um par (a, b), com a ∈ A e b ∈ B. Logo número de modos de viajar de X até Z é 4 · 5 (número de pares ordenados).
Definição 1.1: Seja n um número natural (inteiro não negativo). O fatorial de n, indicado por n!, é definido por:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1, para n ≥ 2, 1! = 1 e 0! = 1. Exemplo 1.3: • 3! = 3 · 2 · 1. • 4! = 4 · 3 · 2 · 1. • 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1.
1.2 Princípio fundamental da contagem
Resultado 1.2 (Primeira parte do princípio fundamental da contagem):
Consideremos os conjuntos A1, A2, ..., An. O número de n-uplas ordenadas
(sequências de n elementos) do tipo (a1, a2, ..., an) tais que ai ∈Ai ∀i ∈ {1, 2, ..., n} é
#A1·#A2· · ·#An.
𝒂
𝟏, 𝒂
𝟐, ⋯ , 𝒂
𝒏𝑨
𝟏𝑨
𝟐𝑨
𝒏⋯
Exemplo 1.4: Três classes diferentes contém 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante é membro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante de cada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?
Solução: Sejam A1, A2, A3 conjuntos que representam as 3 classes. Cada equipe
escolhida pode ser associada a um vetor (a1, a2, a3), com ai ∈ Ai.
𝒂
𝟏, 𝒂
𝟐, 𝒂
𝟑𝑨
𝟏𝑨
𝟐𝑨
𝟑www.ufjf.br/joaquim_neto
Logo, aplicando a primeira parte do princípio fundamental da contagem, o número de modos que esta equipe pode ser escolhida é
#A1 ·#A2 ·#A3 = 20 · 18 · 25 = 9000.
Resultado 1.3 (Segunda parte do princípio fundamental da contagem):
Sejam A = {a1, a2, ..., an} e p ≤ n. O número de sequências (vetores) do tipo
(b1, b2, ..., bp) tais que bi ∈ A ∀i ∈ {1, ..., p} e bi ,bj para i , j é n!
n − p! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · ·| {z }n − p + 1
p fatores
.
Em outras palavras, o número de sequências de tamanho p formadas com elementos distintos 2 a 2 de A é n!/(n − p)!.
𝒃
𝟏, 𝒃
𝟐, ⋯ , 𝒃
𝒑𝒃
𝟏≠ 𝒃
𝟐≠ ⋯ ≠ 𝒃
𝒑𝑨
Exemplo 1.5: Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os 3 primeiros lugares?
Solução: Seja A o conjunto dos times que participam do campeonato. Os resultados possíveis para os 3 primeiros lugares podem ser associados a sequências-vetores (b1, b2, b3) de elementos distintos dois a dois escolhidos em A.
𝒃
𝟏, 𝒃
𝟐, 𝒃
𝟑𝒃
𝟏≠ 𝒃
𝟐≠ 𝒃
𝟑𝒃
𝟏𝒃
𝟐𝒃
𝟑𝑨
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Logo, aplicando a segunda parte do princípio fundamental da contagem, o número de resultados possíveis para os 3 primeiros lugares é
20!
(20 − 3)! = 20 · 19 · 18 = 6840.
Como veremos no exemplo a seguir, algumas vezes as sequências a serem con-tadas possuem tamanhos diferentes, o que impede o uso do princípio fundamental da contagem.
Exemplo 1.6: Uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras consecutivas ou quatro lançamentos sejam feitos, o que ocorrer primeiro. Quantos são os resultados possíveis?
Solução: No diagrama abaixo, representamos os resultado “cara” e “coroa” com “K” e “C”, respectivamente. Como podemos ver, o número de resultados possíveis é 12. C K 1° lançamento 2° lançamento 3° lançamento 4° lançamento C K C K K C K C K C K C K C K C K C K C
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1.3 Arranjos
Definição 1.2: Um arranjo é uma sequência formada com os elementos de um conjunto. Um arranjo de elementos distintos é chamado de arranjo sem repetição. O número de arranjos com p elementos de um conjunto A com n elemen-tos será denotado por An,p e chamado de arranjo de n tomado p a p. Para
o número de arranjos sem repetição, usaremos a notação ASn,p e diremos
arranjo sem repetição de n tomado p a p.
Arranjo sem repetição
A
Arranjo
A
𝒃
𝟏, 𝒃
𝟐, 𝒃
𝟑, . . . , 𝒃
𝒑𝒃
𝟏≠ 𝒃
𝟐≠... ≠ 𝒃
𝒑𝒃
𝟏, 𝒃
𝟐, 𝒃
𝟑, … , 𝒃
𝒑www.ufjf.br/joaquim_neto
Obs: Para formar um arranjo, não é preciso usar todos os elementos do conjunto.
Resultado 1.4: Pelo princípio fundamental da contagem, temos que An,p = np
e
ASn,p = (n−p)!n! , para p ≤ n.
Exemplo 1.7: As placas dos automóveis são formadas por 3 letras (26 letras no alfabeto) seguidas de 4 algarismos (números de 0 a 9). Quantas placas podem ser formadas?
Solução: Seja A um conjuntos de sequências de 3 letras e B um conjunto de sequências de 4 algarismos. Pelo princípio fundamental da contagem, temos que #A = A26,3 = 263 e #B = A10,4 = 104. Assim, cada placa pode ser associada a um par (a, b) tal que a ∈ A e b ∈ B. Aplicando novamente o princípio fundamental da contagem, o número de placas que podem ser formadas é
Exemplo 1.8: Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e a de chegada.
Solução: Seja A o conjunto de estações da linha ferroviária. Cada bilhete pode ser associado a um par (a1, a2), tal que a1 ∈ A, a2 ∈ A e a1 , a2. Logo, pelo
princípio fundamental da contagem, o número de bilhetes é AS16,2 = 16 · 15.
Exemplo 1.9: Os caracteres em código MORSE são formados por sequências de traços (-) e pontos (.), sendo permitidas repetições. Por exemplo: “- . - - . .”.
a) Quantos caracteres podem ser representados usando 3 símbolos?
b) Quantos caracteres podem ser representados usando no máximo 8 símbolos?
Solução: a) Seja A = {−, .}. Cada caracter de 3 símbolos pode ser associado a um vetor (a1, a2, a3), tal que a1, a2, a3 ∈ A. Pelo princípio fundamental da contagem,
temos que o número de caracteres de 3 símbolos é A2,3 = 23 = 8.
b) O número de caracteres usando p símbolos é A2,p e, consequentemente,
o número de caracteres com no máximo 8 símbolos é a soma do número de caracteres obtidos com p = 1, 2, ..., 8 símbolos, ou seja,
A2,1+ A2,2+ ... + A2,8 = 2 + 22 + ... + 28 = 510.
1.4 Permutações
Definição 1.3: Uma permutação, é uma sequência de elementos distintos formada com todos os elementos de um determinado conjunto. O número de permutações de um conjunto com n elementos será denotado por Pn e chamado simplesmente
de permutação de n elementos.
𝒃
𝟏, 𝒃
𝟐, . . . , 𝒃
𝒏𝒃
𝟏
≠ 𝒃
𝟐
≠... ≠ 𝒃
𝒏
A
Obs: Para formar uma permutação, todos os elementos do conjunto devem ser utilizados.
Resultado 1.5: Pelo princípio fundamental da contagem, temos Pn = ASn,n = n!
Exemplo 1.10: Quantos anagramas possui a palavra “Joaquim”?
Solução: Seja A o conjunto das letras da palavra “Joaquim”. Como cada anagrama é uma permutação dos elementos de A, temos que a quantidade procurada é
P7 = 7! = 5040.
1.5 Permutações com repetição
Resultado 1.6: Seja A = {a1, ..., ar} um conjunto qualquer. Uma sequência com
n1 elementos iguais a a1, n2 elementos iguais a a2,
...
nr elementos iguais a ar
é uma permutação com repetição dos elementos de A. Sendo n = n1 + n2+ ... + nr,
o número total de sequências deste tipo é Pn1,n2,...,nr n = n! n1!n2!...nr!.
A
(∆, ◊ , ◊, ◊, ∆ ,… , ∆)
𝒃
𝟏www.ufjf.br/joaquim_neto
, 𝒃
𝟐, 𝒃
𝟑, 𝒃
𝟒, 𝒃
𝟓, … , 𝒃
𝒑Exemplo 1.11: Um bairro é formado por 12 quarteirões dispostos segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e caminha até o ponto Q, sempre usando o
caminho mais curto (movendo-se sempre da esquerda para direita ou de baixo para cima no gráfico). Nestas condições, quantos caminhos diferentes ela poderá fazer?
Q
P
www.ufjf.br/joaquim_netoSolução: Usando V para denotar um movimento vertical e H para um movimento horizontal, cada caminho pode ser associado a uma sequência com 3 elementos iguais a V e 4 elementos iguais a H. Por exemplo, a sequência (V, V, V, H, H, H, H) representa 3 movimentos verticais seguidos de 4 movimentos horizontais. Deste modo, o problema se resume a contagem de sequências com elementos repetidos. Logo, a quantidade procurada é
P3,47 = 7!
4!3! = 35.
1.6 Combinações
Definição 1.4: Seja A um conjunto qualquer. Um subconjunto de A é chamado de combinação dos elementos de A. O número de combinações com p elementos de um conjunto com n elementos é denotado por Cn,p e chamado de combinação
de n tomado p a p.
𝒃
𝟏, 𝒃
𝟐, . . . , 𝒃
𝒑
𝒃
𝟏
≠ 𝒃
𝟐
≠... ≠ 𝒃
𝒑
A
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Obs: Uma outra notação para Cn,p é np! .
É importante notar a diferença entre combinação e arranjo sem repetição. Em uma combinação a ordem dos elementos não importa, ou seja, elementos que diferem apenas pela ordem são contados como um único elemento. Já em um
arranjo, a ordem importa, ou seja, sequências com os mesmos elementos, mas em ordem diferente são contadas separadamente.
Resultado 1.7: A combinação de n tomado p a p é dada por Cn,p = n!
(n − p)!p!.
Exemplo 1.12: Dentre 10 homens e 8 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, sendo que em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?
Solução: Seja A o conjunto dos subconjuntos de 3 homens e B o conjunto dos subconjuntos de 2 mulheres. Pelo resultado 1.6, temos que #A = C10,3 = 120 e #B = C8,2 = 28. Além disso, cada comissão pode ser associada a um par (a, b), com a ∈ A e b ∈ B. Logo, pela primeira parte do princípio fundamental da contagem, o número de comissões é
#A · #B = 120 · 28 = 3360.
1.7 Triângulo de Pascal
O triângulo de pascal é uma forma de organizar os resultados de np !
para diferentes valores de n e p. A figura abaixo apresenta o triângulo.
Henrique Neto 29
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A seguir, veremos alguns resultados relacionados à combinações e, consequen-temente, ao Triângulo de Pascal.
Resultado 1.8: ∀n ∈ N, temos que n 0
! = 1.
Prova: n 0 ! = n! (n − 0)!0! = n! n! = 1.
Resultado 1.9: ∀n ∈ N, temos que n n ! = 1. Prova: n n ! = n! (n − n)!n! = n! n! = 1.
Resultado 1.10 (Relação de Stiefel): Se n, p ∈ N e n > p ≥ 0 então n p ! + p + 1n ! = n + 1p + 1 ! . Prova: n p ! + p + 1n ! = n! p!n − p! + n! p + 1! n − p − 1! = n! p!n − p! + n! p + 1 p! n − p − 1! = n! p! 1 n − p! + 1 p + 1 n − p − 1! = n! p! 1 n − p n − p − 1! + 1 p + 1 n − p − 1! = n! p!n − p − 1! 1 n − p + 1 p + 1 = n! p!n − p − 1! n + 1 n − p p + 1 = n! (n + 1) n − p n − p − 1! p + 1 p! = (n + 1)! n − p! p + 1! = n + 1 p + 1 ! .
Podemos usar os resultados acima para fazer o cálculo das combinações do triângulo de pascal. Note que:
• Como n 0
!
• Como n n
!
= 1 ∀n ∈ N, o último elemento de cada linha é igual a 1.
• Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (Relação de Stifel). A figura abaixo ilustra passo-a-passo como a relação de Stiefel pode ser usada para construir o triângulo de Pascal.
Henrique Neto 29 www.ufjf.br/joaquim_neto Resultado 1.11: Se n, p ∈ N e p ≤ n, então n p ! = n − pn ! . Prova: n n − p ! = n! n − p! hn − n − p!i = n! n − p!p! = n p ! .
O resultado anterior afirma que os elementos de uma linha do triângulo de Pascal eqüidistantes dos extremos são iguais. Veja a figura abaixo.
Henrique Neto 29
www.ufjf.br/joaquim_neto
Resultado 1.12: ∀n ∈ N, temos n 0 ! + n1 ! + 2n ! + ... + nn ! = 2n.Prova: Seja A um conjunto com n elementos. Como np !
é o número de subconjuntos com p elementos do conjunto A, temos que 0n
! + n1 ! + n2 ! +...+ nn !
é o número total de subconjuntos de A. Pensando de outra forma, para formar um subconjunto, temos duas opções de escolha para cada elemento de A: ou o elemento está no subconjunto ou não está. Como A tem n elementos, terá 2n subconjuntos.
1.8 Exercícios
Exercício 1.1 Três classes diferentes contém 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante é membro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante de cada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?
Exercício 1.2 Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resul-tados são possíveis para os 3 primeiros lugares?
Exercício 1.3 Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. O segredo do cofre é formado por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Suponha que a pessoa sabe a quantidade de dígitos do segredo e que este é formado por dígitos distintos.
Exercício 1.4 De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duas delas, Joaquim e Rafael, se recusam a sentar um ao lado do outro?
Exercício 1.5 Considere 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas maneiras 2 pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre eles? Exercício 1.6 Quantos anagramas da palavra “estudo” começam e terminam com vogal?
Exercício 1.7 Considere 2 urnas. A primeira com 4 cartas numeradas de 1 a 4 e a segunda com 3 cartas numeradas de 7 a 9. Duas cartas são extraídas da primeira urna, sucessivamente e sem reposição, e em seguida duas cartas são extraídas da segunda urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números de 4 algarismos podem ser formados com os números das cartas obtidas?
Exercício 1.8 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de 4 algarismos com pelo menos dois algarismos iguais existem?
Exercício 1.9 De quantas formas 5 meninos e 5 meninas podem ficar em fila, de modo que meninos e meninas devem ficar em posições alternadas?
Exercício 1.10 Dez pessoas, dentre elas Antônio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantas formas isto pode ser feito de modo que Antônio e Beatriz fiquem sempre juntos?
Exercício 1.11 De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se a) os homens devem ficar juntos?
b) E se os homens devem ficar juntos e as mulheres também?
Exercício 1.12 Considere 15 livros em uma estante, dos quais 4 são de probabilidade. De quantas formas podemos coloca-lo em uma prateleira da estante de modo que os livros de probabilidade fiquem sempre juntos?
Exercício 1.14 Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas, que se distinguem apenas pela cor. Quantas sequências de cores são possíveis de observar extraindo uma a uma sem reposição?
Exercício 1.15 Quantos números de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma só vez os algarismos 3, 4 e 5 e quatro vezes o algarismo 9?
Exercício 1.16 Uma moeda é lançada 20 vezes. Quantas sequências de caras e coroas existem com 10 caras e 10 coroas?
Exercício 1.17 Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2,3,5,7 e 11?
Exercício 1.18 Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10 jogadores, entre eles Joaquim e Caio. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados se Ari e Arnaldo devem ser escalados necessariamente?
Exercício 1.19 Considere 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres? Exercício 1.20 Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas, todas marcadas com símbolos distintos. Quantos conjuntos de 7 bolas (retiradas desta urna) podemos formar de modo que pelo menos 4 bolas do conjunto sejam pretas? Exercício 1.21 Em uma reunião, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45 apertos de mão. Quantas pessoas haviam na reunião?
Exercício 1.22 Um químico possui 10 tipos diferentes de substâncias. De quantos modos possíveis poderá associar 6 diferentes tipos destas substâncias, sendo que dois tipos (somente) não podem ser juntados pois produzem mistura explosiva? Exercício 1.23 Quantas diagonais tem um polígono regular de n lados?
Exercício 1.24 Obter o número de maneiras que nove algarismos iguais a 0 e seis algarismos iguais a 1 podem ser colocados em sequência de modo que dois uns não compareçam juntos.
Exercício 1.25 Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser formados de um baralho de 52 cartas?
Exercício 1.26 A diretoria de uma firma é composta por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões podem ser formadas com 3 diretores brasileiros e 3 japoneses?
Exercício 1.27 Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados. Selecionando pessoas neste grupo, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar, de modo que cada comissão seja constituída de 2 médicos, 2 engenheiros e 1 advogado?
Exercício 1.28 Um homem possui 8 pares de meias distintos. De quantas formas ele pode selecionar escolher dois pés de meia (um direito e um esquerdo) de modo que eles sejam de pares diferentes?
Exercício 1.29 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de algarismos distintos existem entre 500 e 1000?
Exercício 1.30 Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar?
Exercício 1.31 Quantos números pares de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 3, 6, 7, 8 e 9?
Exercício 1.32 Suponhamos que todos os números obtidos a partir da permutação dos algarismos 1,2,4,6 e 8 foram dispostos em ordem crescente. Qual posição ocupa o número 68412?
