Lista de Exercícios

(1)

DISCIPLINA: CÁLCULO DAS PROBABILIDADES

Parte I

1) Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: 1) Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade:

P P X X k k c c k k c c k k (( )) ,, ,,          , , p a rp a ra a 3 , 3 , 55 , , para para 44 1 1 2 2 22

a)

Determine o valor da constante "C" que torna legítima a função de probabilidadeDetermine o valor da constante "C" que torna legítima a função de probabilidade acima.

acima.

R. 1/7

b)

Obtenha a função de distribuição acumulada FObtenha a função de distribuição acumulada F

Solução:

c)

Encontre a Esperança e a Variância de X.Encontre a Esperança e a Variância de X.

R. E(X)=3, Var(X)=1,71

2)

Suponha que a vaSuponha que a variável riável aleatória X tenha a sealeatória X tenha a seguinte função de deguinte função de densidade:nsidade:

f(x)= f(x)= 1 + 1 + x x ss e e - 1 <- 1 < xx << 00 1 - x s 1 - x s e e 00 << xx << 11 0 0 ss e e xx << --1 1 oou u xx >> 11     

a)

Exibir F(X);Exibir F(X);

Solução:

b)

(2)

3)

Seja X uma variável aleatória com densidade f(x)= c x 2 0 s e - 1 x 1 c a so c on tr á r io     

a)

Determine c para que f(x) seja uma função densidade

R: 3/2

b)

Encontre P(X>0);

R. 0,5

c)

Encontre o valor de y tal que F(y)=1/4 onde F é a distribuição acumulada.

R:

_31 / 2

d)

Determine E(X) e Var(X).

R. E(X)=0 e Var(X)=3/5.

4)

Seja a variável aleatória contínua X = quantidade mensal ofertada (em y ton.) para um particular produto, com função densidade de probabilidade dada por:

f(x)=       valores outros para , 0 2 1 para , 2 / 1 x x

Calcule P(X>E(X)), onde E(X) é o número esperado de quantidade ofertada do produto.

R. E(X)=1/3, P(X>E(X))=

3 1 1_

5)

Seja X uma variável aleatória contínua representando o peso (em kg) de uma determinada peça manufaturada, tendo a seguinte função densidade de probabilidade:

        valores outros para , 0 4 0 se , 8 ) ( x x x f Determinar:

a)

o valor esperado, a variância e o desvio padrão de X;

R.: 8/3; 8/9 ; 0,9428

b)

P(2<X<3).

R.: 5/16

6)

Seja X uma variável aleatória denotando o tempo (em horas) necessário para produzir um determinado artigo, com função densidade de probabilidade dada por:

  f x x x        0 4 1 1 2 0 , ( ) se , outros valores

a)

Calcule o tempo esperado na produção do artigo.

R.: 1,53 h

b)

O lucro (em R$) que o produtor tem sobre um artigo é dado por Y = 3 – X². Calcule o lucro esperado por artigo.

R.: R$0,57

7)

Seja X a variável aleatória denotando o tempo semanal necessário para completar um pequeno contrato. A fdp de X é dada por:

(3)

               valores outros para , 0 10 x < 6 para , 16 10 6 2 para , 16 2 ) ( x x x x f Calcule:

a)

P(5  X  7);

R.: 7/16

b)

E(X);

R.: 6

c)

O lucro do contrato depende do tempo necessário para completa-lo, através da função: Lucro = 100 - 10X (em R$). Determine o lucro esperado por contrato usando E(Lucro) = 100 - 10E(X).

R.: R$40,00

.

8)

Seja X uma variável aleatória contínua representando o tempo (em horas) necessário para produzir certo artigo. A função densidade de probabilidade de X, f(x), é dada por:

 

       valores outros para 0, 3 x 2 para 4, 2x x f Determinar:

a)

P(2 X  2 5, ).

R.: 0,25

b)

E(X), o tempo esperado para produzir um artigo

R.:2,67

c)

Var(X).

R.:0,0411

9)

Uma máquina de apostas tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 M, 3 B, 2 P, 1 L. Uma pessoa paga R$ 90,00 e aciona a máquina. Se aparecerem dois M ganha R$ 50,00; se aparecerem dois B ganha R$ 90,00; se aparecerem dois P ganha R$ 150,00; se aparecerem dois L ganha R$ 190,00; se aparecer uma configuração diferente a pessoa perde R$20,00. Seja Y é a variável aleatória lucro:

a)

Encontre a função de probabilidade de Y;

b)

Calcule o lucro esperado. Você apostaria neste jogo?

10)

Um lojista mantém extensos registros das vendas diárias de certo aparelho. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X=número de aparelhos vendidos por semana:

X 0 1 2 3 4 5

P(X) 0,05 0,05 0,25 0,30 0,20 0,15

a)

Calcule o número esperado de aparelhos vendidos por semana.

R.: E(X) = 3

11)

O tempo T em minutos necessário para um operário processar certa peça, é uma V.A. com a seguinte distribuição de probabilidade:

T 2 3 4 5 6 7

(4)

a) Calcule o tempo médio de processamento e a variância.

R.: E(T)=4,6 Var(T)=2,04

b) Para cada peça processada o operário ganhará um fixo de R$ 2,00, mas se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha a mais 0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos recebe a quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição de probabilidade, a esperança e a variância da quantia ganha por peça.

Solução: Seja Y a quantia ganha por peça. E(Y)=2,75 e Var(Y)=0,4125

Parte II

12)

Estatísticas de tráfego revelam que 30% dos veículos interceptados numa autoestrada não passam no teste de segurança. De 4 veículos interceptados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que não passe no teste de segurança: a) nenhum deles;

R.: 24,01%

b) todos eles;

R.: 0,81%

c) exatamente um;

R.: 41,16%

d) pelo menos um;

R.:75,99%

e) exatamente 50% deles.

R.: 26,46%

f) se forem interceptados aleatoriamente 40 veículos, qual o número esperado dos que passam no teste de segurança?

R.: 28.

13)

Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou 20% dos títulos eram pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 20 títulos da carteira, determine a probabilidade de que sejam pagos com atraso:

a)

No máximo dois títulos;

R.: 20,60%

b)

No mínimo um título;

R.: 98,85%

c)

Qual o número esperado de títulos pagos com atraso?

R.: 4.

14)

Um levantamento efetuado em um pregão de bolsa de valores mostrou que naquele dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as ações das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Um fundo negocia com ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia:

a)

Todas as ações do fundo tenham se valorizado;

R.: 0,01048%.

b)

Todas as ações do fundo tenham se desvalorizado ou ficaram estáveis?

R.: 0,6047%

15)

Um inspetor de qualidade deseja saber a probabilidade de obter pelo menos uma

lâmpada defeituosa em uma amostra aleatória de 5 lâmpadas, obtida de um grande lote, sabendo que a porcentagem de lâmpadas defeituosas no lote é 20%.

R.: 0,6723

a) Obtenha o número esperado de lâmpadas defeituosas no lote e a probabilidade de

(5)

16)

Em cada dois dias, em média, chegam um navio em um determinado porto. Qual a probabilidade de que dois ou mais navios chegarão em um dia qualquer? Qual a probabilidade de chegarem pelo menos três navios em dois dias.

R.: 0,09/ R.: 0,08

17)

Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um

banco. Qual a probabilidade de que:

a) Exatamente três usaram o serviço em uma hora qualquer?

R.: 0,1954

b) Exatamente duas usaram o serviço em 15 minutos?

R.: 0,1839

c) Pelo menos três usará o serviço em uma hora qualquer?

R.: 0,7618

18)

Suponha que um manuscrito de um livro texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os textos são distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de encontrar dois erros em uma página qualquer? Qual a probabilidade de encontrar mais de dois erros em duas páginas?

R. 0,0045

19)

Placas de metal são inspecionadas regularmente quanto ao número de fendas encontrando-se em média 2,2 fendas pôr 2m2_{.Supondo que o número de fendas se}

distribuem segundo uma distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de se obter:

a)

nenhuma fenda em 2m2_{do material;}

R.:0,1108

b)

No mínimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda pôr 2m2_.

R:

1



0 110 8



 088 92 0 5 0 5       ,

20)

Em uma empresa de cerâmica sabe-se que existe em média 0,1 defeito por m 2_{. Um}

comprador analisa uma área de 5m x 4m de piso e decide comprar dessa marca se encontrar no máximo 1 defeito nesta área. Qual a probabilidade do comprador comprar desta marca de cerâmica?

R. 0,406

21)

O número médio de componentes defeituosos por certo tipo de aparelho eletrônico é de 1,8. Admitindo-se poder ser empregada a distribuição de Poisson:

a)

Calcule a média e o desvio padrão dessa distribuição.

R. 1,8/R. 1,34

b)

Calcular a probabilidade de um aparelho apresentar no máximo 2 componentes defeituosos.

R.: 0,73

22)

Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus na pista, havia em média um estouro de pneu a cada 5000 km.

a) Qual a probabilidade que num teste de 3000 km haja no máximo um pneu estourado?

R. 0,8781

b) Qual a probabilidade de que um carro ande 8000 km sem estourar nenhum pneu?

R. 0,2018

Parte III

23)

Em uma pronta entrega, durante uma etapa do ciclo de produção, é medido o comprimento do corpo (X) de ternos de tamanho 2 que são confeccionados pela empresa. Sabendo que X segue uma distribuição normal com média igual a 90,0 cm e desvio padrão de 0,9 cm, calcule as seguintes probabilidades de interesse do fabricante:

a)

P(89 < X < 91)

R.: 0,7330

b)

P(X < 88)

R.: 0,0132

(6)

c)

P(X > 92)

R.: 0,0132

24)

Estudos anteriores mostram que a temperatura de um pasteurizador segue uma distribuição normal com média 75,4 o_{C e desvio padrão 2,2} o_{C. Sabe-se que se a}

temperatura ficar inferior a 70 o_{C, o leite poderá ficar com bactérias maléficas.}

a) Qual a probabilidade do leite ficar com bactérias maléficas?

R.: 0,0071

b)

Considerando 1000 utilizações de um pasteurizador em quantas a temperatura deve ser inferior a 70 o_{C podendo prejudicar o leite?}

R.: 7,1

c) Qual a probabilidade de que em 10 utilizações do pasteurizador em nenhuma o leite fique com bactérias maléficas?

R.: 9,929

25)

Uma máquina de ensacar determinado produto apresenta variações de peso (distribuído normalmente) com desvio padrão de 3 kg.

a)

Se a máquina for regulada com um peso médio de 64 kg, qual é a probabilidade de se obter sacos com menos de 55 kg? E com mais de 66 kg?

R: 0,0013 e 0,2514.

b)

Em quanto deve ser regulado o peso médio do saco para que apenas 10% tenham menos de 60 kg?

R: 63,84kg.

26)

Um estudo das modificações percentuais dos preços, no atacado, de produtos industrializados, mostrou que há distribuição normal com média de 50% e desvio padrão de 10%. Qual a porcentagem dos artigos que sofreram aumentos:

a)

superiores a 75%?

R.: 0,62%

b)

entre 30% e 80%?

R.: 97,59%

27)

A resistência de determinadas peças individuais feitas por um certo processo de manufatura é conhecida ser normalmente distribuída com média = 24 e desvio

padrão =3. Toda peça produzida é testada, sendo aceita pelo controle de qualidade

se as suas especificações quanto a resistência estiver entre  - 2 e  + 2 (caso

contrário é rejeitada).

a)

Calcule a probabilidade de uma peça ser rejeitada.

R.: 4,56%

b)

Um consumidor exige que pelo menos 95% das peças tenha resistência superior a 20; tal especificação é atendida? Justificar a resposta.

R.: Não

28)

Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 300 h e desvio padrão 20 h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280 h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade?

R.: 15,87%

29)

Uma variável aleatória X distribui-se normalmente com média 80 e variância 9. Calcule o intervalo central que contém:

a)

50% dos valores da variável;

R.: [77,99; 82,01]

b)

95% dos valores da variável.

R.: [74,12; 85,88]

c)

99% dos valores da variável.

R.: [72,29; 87,71]

30)

O Departamento de Marketing da empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam normalmente com média 240.000 u.m. e desvio padrão 30.000 u.m. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado?

R.: 289.200

(7)

31)

Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo para fazer um teste padrão de matemática é aproximadamente normal com  = 80

min e  = 20 min. Que percentagem de candidatos:

a)

Levará menos de 80 min para concluir o teste?

R.: 50%

b)

Não terminará o teste se o tempo máximo concedido é de 2 horas?

R.: 2,28%

c)

Se 100 pessoas fazem o teste, quantas podemos esperar que o terminem na

primeira hora?

R.: 16

32)

Em uma população de escores cujo valor médio é  = 60 e desvio padrão é  = 12,

desejamos dividi-la em quatro classes. A classe “A” é formada por 16,6% dos menores escores; a classe “B” por 24,3% dos escores seguintes a “A”; a classe “C” por 38,2%

dos escores seguintes a “B” e a classe “D” pelos maiores escores restantes. Admitindo distribuição normal para os escores:

a)

quais os limites de cada classe?