Armando Righetto - Calculo Diferencial e Integral I().pdf

CÁLCULO

DIFERENCIAL

E INTEGRAL

V O L U M E I

Armando Righetto

Antonio Sérgio Ferraudo

Professores do Instituto Politécnico

d e Ribeirão Preto da Instituição Moura Lacerda

IBEC — Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda.

1981

CÁLCULO

DIFERENCIAL

E INTEGRAL

Agradecemos:

À

ENCYCLOPAEDIA BRITANNICA DO BRASIL PUBLICAÇÕES LTD A., que gentilmente nos cedeu as fotos de

Newton e Leibniz e os textos correspondentes.

À

SILVIO JOSÉ VITORINO, pela produção da capa.

À

ISABEL REGINA GONÇALVES DE OLIVEIRA, ANDRÉA RAMPANI

M ARIA ALICE SA VIOLIGONÇAL VES e SU ELY SABADINI,

Caro leitor,

Eu e o Ferraudo somos espiritualistas. Acreditamos na prevalência do espirito sobre a matéria.

Para nós as características do homem são a lealdade e a honestidade. Os conheci­ mentos são acréscimos sempre bem-vindos. D aí afirmarmos que o homem não se caracteriza pela grandeza do gênio, mas pela alteza do caráter e este se forma no coração.

Aprendamos a agradecer a Deus por tudo que nos tem sido concedido:

Obrigado, Meu Deus, pelos dias e pelas noites que me tendes permitido distinguir.

Obrigado, Meu Deus, pelo pão que não deixastes faltar em minha mesa. Obrigado, Meu Deus, pelas mãos que me destes e que tendes estendido a

levantar os que estão tombados.

Obrigado, Meu Deus, pela minha audição e pela minha palavra que, unidas, procuram construir o bem somente o bem.

Obrigado, Senhor, pelo perdão que m e ensinastes.

Obrigado, Meu Deus, pelas minhas fraquezas que me permitem sentir a minha insignificância.

Obrigado, Meu Deus, pelos irmãos que me destes e a certeza de tê-los juntos a mim nas minhas necessidades.

Todos os direitos reservados segundo a legislação em vigor.

ClP-Brasil. Catalogação-na-Fonte Câmara Brasileiro do Livio, SP

Righetto, Armando,

1924-R427c Cálcuio diferencial e integral / Armando Righetto, Antonio Sérgio Ferraudo. v .l- — São Paulo : Instituto Brasileiro de Edições Científicas, 1981.

1. Cálculo diferencial 2. Cálculo integral I. Ferraudo, Antonio Sérgio, 1950- II. Título.

17. CDD-517.2

18. -515.33

17. -517.3

81-1069 18. -515.43

índices paia catálogo sistemático:

1. Cálculo diferencial: Matemática 517.2 (17.) 515.33 (18.) 2. Cálculo integral: Matemática 517.3 (17.) 515.43 (18.)

IBEC — Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. , Av. Santo Amaro, 823 — CEP 04505 .

Ferraudo e eu, Armando, dedicamos este livro às nossas esposas, respectivamente

NEWTON

Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir Isaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo Trinity College de Cambridge (1665).

Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fun­ damente o matemático Isaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática numa posição secundária, instrumental, a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. Nesse sentido, so­ mente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam insufi­ cientes. Mas, mesmo assim, é profunda a

LEIBNIZ

Filósofo e matemático alemão, Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 19 de julho de 1646 e morreu em Hannover a

14 de novembro de 1716.

Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava possível a criação de uma linguagem científica universal (characteris-

tica univenalis), que, complementada por

um sistema dedutivo e simbólico (ars com-

binatoria), pudesse substituir a argumen­

tação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas partes.

NOTAS EXPLICATIVAS

Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançar certos objetivos.

Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores em quase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas.

Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indis­ pensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicina e de Computação.

Os dois volumes são ricos em exercícios resolvidos e propostos. Estes, com respostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução.

0 primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano,

com 4 ou 6 horas aula semanais.

Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limi­ tes, derivadas e diferenciais. Cálculo II, no segundo termo letivo, com a mesma duração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais definidas, cálculo de áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas.

0 segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos.

Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais, diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Bio­

logia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mínimos, derivadas direcionais,

integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries.

Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos e funções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores e Números complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto.

Procuramos familiarizar o aluno com o pensamento matemático e a mani­ pular modelos por métodos matemáticos.

Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos for­ maram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões.

OS AUTORES Ribeirão Pietoj maio de 1981

XIV CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Capítulo 5

Diferencial... 149

Conceito. Aplicações. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

PARTE II Capítulo 6

Integrais Imediatas... ... ... 169

Conceito de Integração. Integral Indefinida. Propriedades. Integrais Imediatas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 7

Integração por Partes... 229

Generalidades. Fórmula. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 8

Integração de Funções Racionais Fracionárias... 239

Decomposição de Frações. Integração de Funções Racionais Fracionárias. Pro­ blemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 9

Substituição de Variáveis... 267

Substituição de Variáveis por Variáveis Trigonométricas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 10

Integral Definida... 283

Integral Definida. Cálculo de Âreas Planas. Cálculo de Volumes de Sólidos de Revolução. Comprimento de Arcos. Âreas de Superfícies de Revolução. Mo­ mentos - Raio de Giração. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

revolução que introduz no campo da mate­ mática. Basta lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do. cálculo integral. É, ainda, com Newton que assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixai de referir a valiosa contribuição de Fermat e Descartes.

Newton retira o carátei de mero pressen­ timento às relações entre o cálculo diferen­ cial e o cálculo integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra - o método das primeiras e últimas razões. Em tomo da prioridade da desco­ berta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro.

Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas si­ multânea e independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele resultado em pri­ meiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, criando símbolos -que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados.

As idéias de continuidade e de pleni­ tude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a con­ cepção do universo como um plenum con­ tínuo baseia-se nos dois princípios funda­ mentais do racionalismo leibniziano: o princípio da razão suficiente e o princípio de perfeição.

Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 e 6719, edição 1976, com permissão da Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda.

ÍNDICE

PARTE I Capítulo 1

Números R eais...

Definições. Representação Gráfica dos Números Reais. Valor Absoluto de um Número Real. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Funções Elementares... ...

Definição de Função. Gráfico de uma Função Real. Funções Monótonas. Fun­ ções Pares e Impares. Funções Elementares Principais. Composição de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Limite de uma Variável. Limite de uma Função. Limites Laterais. Propriedades Operatórias dos Limites. Limites Infinitos. Limites no Infinito. Infinitamente Pequeno. Formas Indeterminadas. “Limites Básicos". Continuidade de Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Derivadas...

Definições. Álgebra das Derivadas. Derivada das Funções Básicas. Interpretação Geométrica da Derivada. Equações da Tangente e da Normal. Derivada de Fun­ ções Compostas. Derivadas Sucessivas. Derivada de Funções Inversas. Derivada de Funções na Forma Paramétrica. Regra de L'Hospital. Interpretação Física da Derivada. Estudo da Variação das Funções. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

Capítulo 2 V v a i i f J k

Capítulo 3 Limites

1

NÚMEROS REAIS

O que distingue o homem não é a grandeza do gênio, mas a alteza do caráter.

1.1 - DEFINIÇÕ ES

D[ Todo número que pode ser colocado na forma onae p e q são números

inteiros (q # 0), é chamado NÚMERO RACIONAL.

Assim sendo, todo número inteiro é racional, pois podemos escrever

2 4

2 = -j-; —4 = —y . De um modo geral, se m é inteiro, podemos escrever sempre ■y- (racional).

Representaremos o conjunto dos números racionais pela letra Q.

D2 Se um número não é racional dizemos que ele é irracional.

Representaremos o conjunto dos irracionais por Q c.

Da definição temos: Q n Q c =

Os números racionais e irracionais formam os números reais, que são de grande utilidade no estudo da matemática, em particular, na análise. Representaremos o conjunto dos números reais pela letra IR.

1.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS NÚMEROS REAIS

Representaremos os números reais através de uma reta, relacionando cada ponto desta a um número real e vice-versa.

Procederemos assim:

Tomando um ponto da reta, relacionamos o zero; à sua direita os números positivos e à esquerda os números negativos.

' +

4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

--- 1--- 1---1---- 1---1--- 1--- 1--- 1---1---1--- H ---1---

j---V-39

i-

sf*

2 ORDEM EM IR

D4 Um número real a é maior (>) que um número real b, quando a diferença

a - b for positiva. Assim:

a > b temos

a - b >

0

Geometricamente se a > b então o ponto a se localÍ7* i direita de b. Exemplos: E! 4 > 1 pois 4 - 1 = 3 (positiva) 0 1 2 3 4 b a Ej - 3 > - 5 pois - 3 - ( - 5 ) = 2 (positiva) b a

--- 1

i

I--- 1--- 1---

1--- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0

Usaremos as seguintes notações:

b < a (b é menor que a) a > b (a é maior ou igual que b) b < a (b é menor ou igual que a)

1.3 - VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO R E A L

O valor absoluto (ou módulo) de um número real x , que representaremos por |jf|, é definido por:

x se x > 0 — x se x < 0

Exemplos:

Ei |5| = 5, pois 5 > 0

E2 1-51 = - ( - 5 ) = 5, pois - 5 < 0

Geometricamente |x| é a distância do ponto x à origem (ponto 0) na reta real. Nos dois últimos exemplos temos:

I5| = | - 5 | = 5

- 5 0 5

'---V--- ''--- v---'

5 unidades 5 unidades

Analogamente, se desejamos a distância de dois pontos a e b na reta real, indi­ caremos por:

rife — a|, distância de a até b | j a - b\, distância de b até a. É óbvio que \b - a\ = |a - b\.

Propriedades

Sejam a, b e c números reais. Então:

Pi kl > 0 e |a| = 0 se e somente se, a = 0

P2 |a|2 = a2 P3 |a| = V ? P4 \ab\ = |a||fe|

= M

a, jz

o)

-|fc|

— ( c ? 0

P7 |a + b\ < |a| + | 6 | . P6 | a - f e | > | | a | — |fe|| P, |x| < a e a > 0 < •> - a < x < a NÚMEROS REAIS 5

\ P10

W > a e a > 0 <—■ ■■•> x < - a M x > a

Demonstraremos duas delas; as demais ficam a cargo do leitor. P4 \ab\ = V (ab)1 = V a2b2 = y /à 2 y /b 2 =3 |a||í>|

De fato \ab\ = |a| |6|

6 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 ■■ ■> \a + í>| .= |a| + 2 ab + |è |2.

Como aè < |aft| = |a| |6 | temos

\a + b\2 < | a | J + 2 |a| |Z>| + \b\2, daí

Ia + b\2 < (|a| + |6|)J . Portanto: |a + 6| < |a| + |fc|

1.4 - PROBLEMAS RESOLVIDOS

PRi Reescreva as desigualdades seguintes, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdade.

a) - 1 < 3jc - 4 < 6 b) 3 < 2x + 1 < 9

Solução:

a) Somando 4 a cada um dos membros obtemos 3 < 3 x < 10. Em seguida, multiplicamos cada um dos membros por y e obtemos:

b) Analogamente: 3 < 2 x + 1 < 9 ■ - > 2 < 2 x < 8 ■■> = í > 1 <ac < 4 PR2 Calcule: a) 13- 7 | - 1 - 8 1 b) 1 1 - 5 - 3 | - 1 - 4 - 5 1 1 Solução: a) 1 3 - 7 1 —1—81 = 1—41 — 8 = 4 — 8 = —4 b) 11-5 - 3| - 1 -4 - 5| | = 11-81 - | - 9 | | = |8 - 9| = | - 1 | = 1

NÚMEROS REAIS

PR3 Determine os números que satisfazem às igualdades:

a) |jc — 4| = 3 b) |—x - 7| = 8 Solução: ' x - 4 = 3 = a) | x - 4 | = x = 7 - (x - 4) = 3 > —x + 4 = 3 Resp.: b) I—x — 7| = 8 Solução:

| -x -7 | =

x = 1 v x = 7 - x - 7 = 8 ou x = —15

_ ( _ * - 7 ) = 8 —

>

x = 1 Resp.: x = l v x = —15

PR4 jDetermine os intervalos reais tais que:

a) |x| < 4 c) |x| > 4

b) |x - 3| < 2 d) |2 x - 4| > 2

Solução:

a) Por P9 temos: |x| < 4 = = :

b) Também por P9 temos

- 4 < x < 4

x = 1

c) Por Pio temos: |x| > 4

- 3 < 2 --- > 1 < x < 5

x < — 4 V x > 4

d) Também por Pi0 temos: |2 x — 4| > 2 2x — 4 < — 2 =

=> 2x - 4 > 2 v o> x < 1 v x > 3

PRj Prove que: |x + y \ > |x| - \y\.

Prova:

x = x + y - y = ^ > |x| = |(x + y ) - _y|< lx + y\ + \ - y \ .

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

|x| < |x + y\ + |yl > U| - \y\ < |x + y|. Portanto:

\x + y \ > \x\ - |y|

Qual o intervalo solução da inequação — 3 < x 2 — 5 < 4?

Solução:

Somando 5 a todos os membros temos 2 < x 2 < 9 .

Como y / x 2 = |jc| (propriedade P3), temos:

\ Í 2 < V x 2 < \ Í 9 e portanto: V 2 < \ x \ < 3 Achar w = |x - 3| — \x + 5| — \ - x — 4|, sendo 1 < x < 3. Solução:

{

x - 3 < Q = = > \x - 3| = - { x - 3) x + 5 > 0 ---> |x + 5| = x + 5 - x - 4 < 0 --- > \ - x — 4| = —( - X - 4)

Desse modo: w = — (x — 3) — ( x + 5) — [—( - x — 4)] onde w = —x + 3 — x — 5 — x — 4. Portanto: w = — 3 x — 6

I* - 21 =

Resolver a equação: \x — 2\ — 7 = 4x. Solução: x - 2, se x — 2 > 0 —(jc ^ -2), se x - 2 < 0 19 caso : \x — 2\ = x - 2. Então: x - 2 - 7 = 4 x = > - 3 x = 9 = :

Fazendo a verificação temos:

1 - 3 - 2| - 7 = 4 ( — 3) = > | - 5 | - 7 = - 1 2

x — — 3

Concluímos que

=> 5 - 7 = - 1 2 (falso).

não é solução da equação dada.

jc = - 3

29 caso : |x — 2| = — ( x — 2)

NÚMEROS REAIS 9

- x - 4x = 5 => — 5x = 5 x = - 1 Fazendo a verificação temos:

1-1 — 2| — 7 = 4 ( — 1) = => 1-31 - 7 = - 4 => 3 — 7 = —4 (verdade).

Concluímos que x = — 1 é solução da equação dada.

Portanto: S = {— 1} Resolver a desigualdade: |2x — 3| > 4 . Solução: 2x — 3, se 2x — 3 > 0 \2x — 3| = < ou —(2x — 3), se 2 x — 3 < 0 19 caso : \2 x — 3| = 2x — 3. Então: 2 x — 3 > 4 29 ca so : I2x - 3| = - ( 2 x - 3). Então: - ( 2 x — 3) > 4 —> => 2 x - 3 < - 4 => 2 x < - 1 x

2

Fazendo a união dos dois casos temos: S = { * e i R

\ x < ~ j

V

x > ~ )

Graficamente temos:

Resolvemos este problema usando a definição de módulo. Faremos nova­ mente este problema usando a propriedade 10 ou seja:

\2x — 3| > 4 se e somente se

=> 2 x < - 1 = :

2x - 3 « - 4

v

Desse modo temos

S = { x € l R | x < - y V X > y }

10 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PRio Resolver a equação: 2 |x — 5| + |x -r 3| = + 5.

Solução:

As raízes de (x — 51 e (x — 3) são 5 e 3 respectivamente: Temos 3 casos a analisar:

19 caso 29 caso 39 caso

\ 3 / --- \ 5 / A r 19 caso : x < 3 => x - 5 < 0 ---> |x — 5| = - x + 5 A x - 3 < 0 = > |x - 3| = - x + 3 2 (— x + 5) + ( - x + 3) = + 5 8 * ~ 3 29 caso : 3 < x < 5 x — 5 < 0 - > |x — 5| = - x + 5 x — 3 > 0 = = > |x — 3| = x — 3 => 2 (— x + 5) + (x — 3) = + 5 = x = 2 39 caso : x > 5 x - 5 > 0 - ■■■■ > |x — 5| = x — 5 x - 3 > 0 = > |x - 3| = x - 3 => 2 (x - 5) + (x - 3) = 5 = x = 6 g

O valor x = 2 não satisfaz a equação, somente os valores x = — e x = 6 (verifique):

O

Portanto: S = { y , 6}

^ 1 . 5

-

PROBLEMAS PROPOSTOS

PPi Reescreva as desigualdades fazendo com que somente x permaneça entre os sim s de desigualdade:

NÚMEROS REAIS 11 Resps.: a) — ;

11

4 b ) 0 < x < 1 d) 47 > 15.x + 2 > 3 2 2 2 / ' c) — 2 < x < — l e) 9 < |jc| < 144 d) 2 < x < 3

f) 35 < x < 7

=> — a < x < a. => x < —a ou x > a. PP2 Prove que: |x| < a e a > 0 <= PP3 Prove que: \ x \ > a e a > 0 <= PP4 Calcule: a) 13 — 7 — 5| — |—7 - 4| c) I —1—4 — 91 — I —6 | — 2| b) | - 3 | + | - 5 | - 1 - 8 1 - 1 - 7 - 3 1 d ) - 1 - 4 - | 6 - 3 | + 2 0 - 1 - 1 5 - 3 1 1 Resps.: a) - 2; b) - 10; c) 21; d) - 5. PP5 Resolva as equações: a) \x — 3| = 7 b) - \x - 5| = 3 c) \2 x - 7| = 15 d) |3 x — 4 |2 = 36 e) I— 5x — 3| = 15x Resps.: a) { - 4 ,1 0 }

j\ r

2

10.

3" ’ T f) 3 Ijc - 5| - 2 x = 10 ! ~ 3* + 2l + 5 = 2* -

1

^

0

4 x 2 — 4 X \x2 - 4 | j) |x 2 — 1| = 8.

b) não tem solução. f) {1, 25}

c) { - 4 , 11}

0 (1.4}

j) {±3} g ) { T }

h) {±1, ± 4}

12 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL a) |x - 3| > 2 b) |x — 8| < 5 c) |5* + 2 | > 3 Resps.: a) x < 1 v x > 5 b) 3 < x < 13 c) x < - 1 v X> j -d) \x + 1| < 4 3 4 > i d) — 5 < * < 3 5 e) x < - v x > —

PP7 Determine o intervalo solução das inequações: a) — 2 < 25.x2 - 3 < 9 7 Resps.: a) y < |x| < 2 PP8 Resolva as equações: a) 312 — x| - |x - 4 | = 4 Resps.: a) { - 1 , ^ - } b) 1 < 2 x 3 — 15 < 39 b) 2 < x < 3 b) 4 | x - 1| - 5 |2 x - 4 | = 2

h U 7

13

,

b) { J> T }

PP9 Ache a (x ) e P( y) onde a) a (x ) = |x - 7| + |x + 2| - |2 x - 13| para 2 < x < 6 b) 0Cy) = l>” — 41 — \ l y — 14| — |3 — y \ para - 2 < > > < 2 Resps.: a) a (x ) = 2x — 4 b) 0 ( y ) = 7 y - 13

PPio Resolva a equação |x |2 + |x| — 6 = 0.

Resp.: {±2}

PPU Determine o intervalo solução da inequação 2 < |x — 51 < 4.

Resp.: 1 < x < 3 V 7 < x < 9

PPi2 Resolver as inequações: a) |x — 11 < |x + 11

Resp.: x > 0

b) |x — 3| > |x — 1|

2

FUNÇÕES ELEMENTARES

Deixe que o amor e a paz lhe possam clarear o caminho para o alto.

2.1 - DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Sempre que pudermos associar todo elemento x (variável independente) de um conjunto X com um único elemento y (variável dependente) de um outro conjunto Y, daremos a essa associação o nome de função de X em Y e denotaremos por y = f ( x ) que se lê, y é igual à / de x.

Diremos também que x é o argumento da função y. A seguinte notação também pode ser usada:

f : X --- * Y * --- * / ( * )

O conjunto X é chamado “Domínio da função f ” e denotaremos por D(f ). O conjunto Y é chamado “Contra-Domínio da função f ” e denotaremos por

CD(f).

O conjunto formado pelos elementos y 6 Y associados à x E X pela função f

é chamado “Conjunto Imagem da função f ” e denotaremos por Im (j)

Exemplo: Temos: D( f ) = X, CD (f) = Y e

Im(f)

=

{yu y i , y J ■

X Y

Observação: Nos preocuparemos daqui por diante, a não ser quando especi­

ficado, com funções reais de uma variável real cujo domínio e imagem são os números reais.

2.2 - GRAFICO DE UMA FUNÇÃO REAL

O gráfico das funções reais é o conjunto de todos os pontos (x, y ) do plano cartesiano onde x está no domínio e y é a imagem de x segundo a definição da função /.

Os zeros (ou raízes) de uma função são os pontos onde f ( x ) = 0 . Grafica­ mente, são os pontos da curva (gráfico de f ) onde intercepta o eixo x.

14 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Exemplos:

Fig. 2.1. Gráfico de y = x*. Fig. 2.2. Gráfico de y = f .

Nota: Como vimos, pela definição de função, a cada x do domínio é associado

um único y como imagem. Assim, toda reta paralela ao eixo y deverá interceptar o gráfico da função / em no máximo um ponto.

Exemplo: O gráfico abaixo não define uma função, pois temos pelo menos uma reta paralela ao eixo y que intercepta a curva em dois pontos.

y

FUNÇÕES ELEMENTARES 15

ATENÇAO

As funções definidas até aqui são chamadas de “funções unívocas". Quando a cada x associarmos mais que um y, daremos a essa associação o nome de “função plurívoca”.

Nas Figuras 2.1 e 2.2 temos exemplos de “funções unívocas”, enquanto que na Figura 2.3 temos exemplo de função plurívoca.

Daqui por diante ficará implícito (a não ser quando especificado) que ao dizermos função estaremos nos referindo ao subconjunto de pontos da curva plurí­ voca a qual a define como uma função unívoca.

Exemplo: A curva de y 1 = x (parábola) é definida nos pontos onde

y = ± Vrx, x > 0. Assim y 2 = x é uma função plurívoca (Fig. 2.4).

Queremos esclarecer ao prezado leitor que quando dissermos simplesmente função à y 2 — x estaremos nos referindo ao subconjunto da curva y — + \ [ x (parte positiva), o qual a define como uma função unívoca (Fig. 2.5).

Omitiremos, portanto, a palavra unívoca.

Daremos, agora, algumas definições importantes:

D l, O domínio de uma funçãoy = f ( x ) é o conjunto de t o d o s o s x G Í tais que a função dada existe (campo de existência)

Exemplos:

E! Seja a função y = x 2 (Fig. 2.1).

Note que sempre existirá y e IR pois todo x €E IR possui quadrado. Então:

D ( f ) = ( i £ R } .

E2 Já a função y = \ f x só existirá se x > 0, pois os números negativos não possuem raiz quadrada. Assim,

x

Fig. 2.4. Fig. 2.5.

16 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

anterior, e nem para x = 0, pois a divisão não é definida quando o divisor é zero. Deste modo:

D( f ) = {x GRIjc > 0}

Dlj Quando em uma função / , I m( f ) — CD (f) dizemos que / é uma função

“s o b r e je to r a Em outras palavras: todo y G Y é imagem de pelo menos um

r 6 I

Dl 3 Quando em uma função / todo y E I m( f ) estiver associado a um único elemento de X dizemos que f é uma função “injetora" ou “biunívoca”. DU Se / for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora dizemos q u e /é uma função

bijetora Exemplos:

/ é uma função injetora pois todo y E I m( f ) está associado a um único

x £ X, mas não é sobrejetora pois y s I m( f ) ou seja I m( f ) # CD(f).

f é uma função sobrejetora pois I m( f ) = CD(f ) mas não é injetora pois y i está associado a x t e x 2 de X.

FUNÇÕES ELEMENTARES 17

A função f é bijetora pois I m( f ) = CD(f) (sobrejetora) e todo y G I m( f ) está associado a um único x £ X (injetora)

Função Inversa

Dls A função f: X --- *• Y bijetora admite sempre uma função inversa a qual denotamos por f~ H Y --- *■ X. Esta função associa todo elemento de Y com um único elemento de X para o qual f ( x ) = y.

Notação: se y = / (x) = bl,*etora> x = f ~ xiy). Exemplos:

Ex A função /: IR--- *• R definida por y = 2 x — 3 (Fig. 2.6) possui para todo

x e IR uma única imagem y e IR e ainda I m ( f ) = IR sendo assim / bijetora

v + 3

e portanto admite inversa dada por x = ^— (Fig. 2.7).

Fig- 2.6. Fig. 2.7.

18 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Se colocaimos os gráficos um sobre o outro temos:

Fig. 2.8.

Os gráficos das funções / e /"* gozam da propriedade de serem simé­ tricos em relação às bissetrizes dos quadrantes ímpares (Fig. 2.8).

Ej A função /: R --- *■ R definida por y = x 2 não admite inversa, pois x 2 =

= y e R + e assim I m( f ) = R + C IR. Porém se y = x 2 estiver definida por

exemplo de R +--- > R então admitirá inversa dada por x = \ f y .

Observação: Existe uma regra prática para obtenção da função inversa sem

que façamos a irversão dos eixos. Trocamos na função y = / ( * ) dada, y por x e x por y , obtendo assim x = f ( y ) . Nesta expressão, expressamos y obtendo

y = /■ '( * ).

Exemplo: No exemplo anterior temos y = 2 x — 3. Trocamos y por x e

x + 3 x por y, obtendo x = 2 y — 3. Agora isolamos/ obtendo 2 y = x + 3 o u / = —- — .

Esta função é a inversa de / = 2 x — 3 sem que façamos a inversão dos eixos. Como aplicação, o leitor deverá plotar estes gráficos no sistema xy, devendo obter o mesmo gráfico da Figura 2.8.

2.3 - FUNÇÕES MONÕTONAS

Seja e x 2 pontos de um intervalo. Então, se nesse intervalo:

1. x i < x i ■ . f ( x i) < / ( * 2) (função monótona estritamente crescente)

FUNÇÕES ELEMENTARES 19

2. < x 2 > f (*i) < / ( x 2) (função monótona não decrescente) (Fig. 2.10).

3. x , < x 2 •> f ( x i ) > f (x3) (função monótona estritamente decrescente) (Fig. 2.11).

4. < x 2 - —> f ( x O > f ( x j) (função monótona não crescente) (Fig. 2.12).

y 1

.V2

Á

! a b x Fig. 2.10.

K

Fig. 2.11. Fig. 2.12. Exemplos:

1. A função linear f ( x ) = 3 * é monótona estritamente crescente em todos os reais, pois x t < x 2 (reais) nos leva a f ( x i) < f ( x 2).

Em particular: 1 < 2 --- / ( 1 ) = 3 < / ( 2 ) = 6 (Fig. 2.13).

2. A função quadrática y = x 2(x 6 ]R_) é monótona estritamente decrescente pois Xi < x 2 ——-> / ( x t) > / ( x 2) (Fig. 2.14). Em particular — 2 < — 1 — > _ > / ( - 2) = 4 > / ( - l ) = l .

Uma condição necessária para que toda função tenha inversa é que ela seja monótona estritamente crescente ou monótona estritamente decrescente, pois nestes casos as funções sempre são bijetoras. Ver Fig. 2.9, 2.11, 2.13 e 2.14. A inversa também e monótona estritamente crescente ou decrescente.

20 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Fig. 2.13.

2.4 - FUNÇÕES PARES E IMPARES

Quando f ( x ) = f ( - x ) dizemos que / é uma função par e quando / ( - * ) = = - / (jc) dizemos q u e / é ímpar.

O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo y e o gráfioo da função ímpar é simétrico em relação à origem o.

Exemplos:

E! A função y — 1*1 é uma função par pois:

f ( x ) = 1*1 = l-jcl = / ( - * ) (Fig. 2.15)

Ej A função y = (x 0) é uma função ímpar pois:

/ ( - * ) = z ; = - 7 = - / ( * ) (Fig. 2.16)

Fig. 2.15. .y = Ixl

Note a simetria com o eixo y.

Fig. 2.16. y = — ( x * 0) Note a simetria com a origem O.

FUNÇÕES ELEMENTARES 21

2.5 - FUNÇÕES ELEM ENTARES PRINCIPAIS

2.5.1 - FUNÇAO LINEAR

A função y = ax + b, (a ¥= 0) de R --- * IR é chamada função linear tendo como gráfico uma reta. Os parâmetros a e b são chamados respectivamente coeficiente angular e coeficiente linear da reta.

O parâmetro a mede a inclinação da reta com o eixo x e o parâmetro b é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo y.

2.5.2 - FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função y = ax2 + bx + c, (a ¥= 0) de R ---*■ R é chamada função quadrá­

tica, cujo gráfico é uma parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo x.

Quando a > 0 a concavidade da parábola é para dma e quando a < 0 a ooncavidade é para baixo. As intersecções oom o eixo x são as soluções da equação ax2 + bx + c = 0 .

22 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL eixo de simetria

As soluções de ax2 + bx + c = 0 são obtidas da fórmula _ b ± V~Ã

2 a onde A = b — 4 ac

0 vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, dado por:

f

= ( - A _ A

1 2a ’ 4a

Exemplo: Seja a função qua­ drática y = x 2 - 6 x + 8. (Raízes) x 2 - 6jt + 8 = 0 --> = = > A = (— 6)2 — 4 (1)(8) = => A = 36 - 32 => A = 4 Assim, _ - ( - 6 ) ± V 4~ 6 ± 2 © (Vértice) V = ( - = > = > K = ( 3 , - l )

FUNÇÕES ELEMENTARES 23

2.8.3 - FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função y = ax de IR--- ► IR*, (a e ]R) onde a > 0 e a =£ 1 chama--se "função exponencial de base a”.

Se a > 1 a função exponencial é monótona estritamente crescente.

Se 0 < a < 1 a função exponencial é monótona estritamente decrescente. Esta função intercepta o eixo y sempre no ponto (0,1) pois para x = = 0 =■■> y = a = 1, qualquer que seja o valor de a.

2.5.4 - FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função exponencial é monótona estritamente crescente ou decrescent' sendo por isso inversível. A sua inversa é a função logarítmica definida de 1RÍ---* IR por y = logfl x (y é igual a logaritmo de x na base a) onde a > 0 e a ^ 1. Temos 2 casos a considerar:

Se a > 1 a função logarítmica é monótona estritamente crescente.

Se 0 < a < 1 a função logarítmica é monótona estritamente decrescente. Ver Figuras 2.17 e 2.18.

2.6 - COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

Consideremos / e g funções reais tais que y = f ( x ) e z = g ( y ) conforme

24 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Chamamos função composta de g com / a função g o f definida por z = = S l/C*)]- O símbolo “o” indica composição de funções.

y

Nota: A função g o f só é definida se o domínio da função g coincide com o contradomínio da função /.

Ej Sendo f (x) = 3 x — 1 e g( x ) = 4 x , então:

a) ( g ° f ) ( x ) = gí f ( x ) ] = g [ 3 x - 1] = 4 ( 3 x - 1) = 12x - 4 b) ( f ° g ) ( x ) = / k ( x ) ] = / [ 4 x ] = 3 (4 x ) - 1 = 1 2 x - 1

Notamos, portanto, que g o f ¥= f o g (a composição de funções não é comutativa). Ej Sendo <p (jc) = x + 3 e \p (x) = x y então: a) (<f> o ^)(x) = </> hp(x)] = <t>[xy ] = x y + 3 b) (í// o 0)(x) = 0 [0 (x)] = ^ [x + 3] = (x + 3 Y c) o ^ ) ( x ) = ^ (*)] = ^ [x>] = ( xy Y = x y2 d) (0 o </>)(x) = $ [0 (x)] = 0 [x + 3 ] = x + 3 + 3 = x + 6

2.7 - PROBLEMAS RESOLVIDOS

PR, Sendo f ( x ) = x 2 + x - 6, calcule: a ) / ( l ) d ) / ( + 3) Exemplos: b) / ( — 1) c)

m

Solução: a) / ( 1 ) = l 2 + 1 - 6 = - 4 b) / ( — 1) = ( — l )2 + ( - 1) — 6 = — 6 c) /(O ) = O2 + 0 - 6 = - 6 d) / ( 3 ) = 32 + 3 - 6 = 6

FUNÇÕES ELEMENTARES 2 i

0 f f (2) = 0

[ / ( 4 ) = 14

Assim / Í 2) + A - 2 ) = h4 = i 1 2

3 /( 4 ) 42 21

Dar o domínio das seguintes funções reais:

a) / ( x ) = V ( * - 4)(x + 3) c) h (x) = X are sen — log(x - . 1) i.\ _ _ yj~2x x 2 - 3 x + 2

_

d ) j; log 7 T l —

-Solução:

a) (x — 4)(x + 3) > 0 (condição de existência do radicando com índice ^ par no radical) Mas (x — 4)(x + 3) > 0 quando x — 4 > 0 A x + 3 > 0 ou x — 4 < 0 A x + 3 < 0 Assim-x < 4 A x < - 3 x < - 3 D ( f ) = {x e IRlx < - 3 V x > 4} Graficamente teremos:

T

m

X < — 3 Verificação:

Tomemos 3 valores: x = 5 > 4, x = — 6 < — 3 e x = 2 entre —3 e 4. / ( 5 ) = V (5 — 4)(5 + 3) = \ f H (valor definido)

/ ( —6) = V ( — 6 — 4)(— 6 + 3) = V 30 (valor definido)

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

O X > 0 (7)

:> X 2 > 9 = > n /x * > \ Í 9 = > |x| > 3 = = >

= > (x < — 3 v x > 3) (g)

Fazendo a intersecção de 0 com © temos: x > 3. £ f e ) = { x G R l x > 3 }

Graficamente temos:

I II

I n II

Cy Façamos arc sen— = 0 => sen 0 = J

=>

- 2 < x < 2 ct : x — 1 > 0 X > 1 Fazendo

C

t O

C2

temos: D (h ) = {x e IR I 1 < x < 2} O i) x 2 - 3x + 2 . „ - 1) (condição de existência do logaritmando) + 1 _______2 + + + + + + •Vi —? ? y i -fl V i - - 1++++++ i

yi

> 0 > 0 D( y ) = { x e i R l - 1 < x < 1 V x > 2}

Lembrete: Sinal da função quadrática y — ax1 + bx + c (a # 0) com raízes x , e x a

FUNÇÕES ELEMENTARES 27

Mesmo sinal de x i

---H

H---

*2 Mesmo sinal de “a ”

Sinal contrário de “a ”

Sina/ da função linear y = ax + b (a ^ 0) com raiz

Mesmo sinal de “a ” Sinal contrário de “a ”

*1

—I—

PR3 Construir o gráfico da função y = x 3 + 1.

Solução: X

_y

- 2 - 7 3 19 2 8 - 1 0 0 1 1 2 3 35 2 8 2 9

PR4 Construir o gráfico da função y = \2 x — 41.

y

28 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

19 caso: y = 2 x —4 para 2 x — 4 > 0 ou x > 2

29 caso: y = — 2 x + 4 para 2 x — 4 < 0 ou

O gráfico é então a união dos 2 casos acima. PRS Construir o gráfico da função:

f ( x ) =

x 3 se x < 0

2 x se 0 < x < 2

4 se x > 2

Solução: O gráfico da função / ( x ) é a união dos gráficos individuais que a

compõem.

a) Gráfico de / ( x ) = x 3 se x < 0 (ver Fig 2.2).

b) Gráfico d e /( x ) = 2 x se 0 < x < 2

FUNÇÕES ELEMENTARES 29

Portanto, o gráfico de f { x ) ty x 6 R é:

PR6 Prove que: f . (X + ^ + / ( x —^ = / ( x ) onde f ( x ) = x + 2.

y lf ( x y ) + f ( - x y ) \ Prova: f ( x + y ) = x + y + 2 f ( x - y ) = x - y + 2

í f(xy)

= x y + 2 = > f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 (x + 2) \ f ( ~ x y ) = - x y + 2 => f ( x y ) + f ( - x y ) = 4

Assim:y . + 30+ /(* -> >) = 2^ + 2) = x + 2 = m

2 l / ( ^ ) + / ( - * / ) ] y 4

30 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Prova:

«(-■*) = M - x ) + 0 [ - ( - * ) ] = <t>(-x) + </>(x) =

= <t>{x) + <t>(-x) = a (x )

Como ct(— x ) = a(x) temos que a é uma função par.

PRS Prove que a função f (x) = —2 x + 4 é monótona estritamente decrescente.

Prova:

Se < x 2 então — 2 x t > —2 x 2 > — 2 x x + 4 > —2 x a + 4

Assim: x t < x 2 —- - > f ( x t ) > / ( x 2) Portanto a fu n çã o /(x ) = — 2 x + + 4 é monótona estritamente decrescente.

PR, Dado / ( 2 x + 5) = x — 2, calcule / ( x ) .

Solução: Seja 2 x + 5 = t --- > 2 x = t — 5 = > x = 1

2.8 - PROBLEMAS PROPOSTOS

PP, Seja a função real definida por / ( x ) = x 3 + 2x2 — 4. Determine:

Assim / ( r ) = t—~ - 2 = > f ( t ) = t~ ~

-JÇ _

Ç

Donde concluímos que / (x) = — - —

a) /(O) b ) / ( 2) c ) / ( - 3 ) e) / ( V 2) f) / ( x + h) Resps.: a) —4 b) + 1 2 c) 1 3 -e) 2 \ [ 2

FUNÇÕES ELEMENTARES ₃₁

PP2 Construir o gráfico das seguintes funções:

a) y = 3 x 2 - 18jc + 24 b ) / = 2 fcx + l para k = 0 , 1, 2, - 1, - 2 , - 3, y c ) y = I3jc - ll d ) y = - x 3 e) y = 2X

«-(ir

g ) / = l 3xl h) / = I—x + 4l i) y = log (x + 1)

1

j) / = k) y = 1 - x 2 x - 1 x + 2

PP3 Dê o domínio das seguintes funções: a) y = b)>> = a) y = V x - 3 4 x + 5 c) / = \ / x + 2 9 — x e)

y

= log^x + y j 0 v = V x 2 — 16 _ / 3 x 43 x +_2 Resps.: a) x > 3 b) x # — 5 c) R d) x ^ ± 3

h)jr =v/2 - V r r T

i) > = log v / f i |

j) / = are sen ■ - 4

: - 1

2 x x + 4 k) y = arc sen log —

1) / = arc tg (x + 3)

• » r - J U R

- x - 2 4 x + 3

n) Jog --- ^ ! ± 2

---x 2 - ( s / l + l ) ---x + s / l

e)

X > ~ J

0 JÍ < - 4 V x > 4 g) X < r y V X > l h) 1 < X < 5 i) x < 1 v x > 4 j) _ i < x < 4 k ) y < x < 2 0

32 CÁLCULO DIFERENCIAI. E INTEGRAL

7T — 3

m) x < — 1 v 1 < * < 2 v x > 3 n ) - V 2 < x < 1 v V 2 < x < v " 3

PP4 Sendo f ( x ) = arc sen (£n x), calcule:

a)

fWti

l O / K V V 1 ]

n

\^" 5 7T

| v

ÍT 3 7T /ta/w .: a) -g* ou h)— ou PPS Sendo £ (x) = 3 x 5 — 2x 4 + x 3 — x 2 + 1 calcule: a) A(x) = - | b ( í ) + s ( - x ) ] b) m (x) = - g ( x ) - g ( - x ) Resps.: a) h (x) = ( x 2 -y ^ j(x 2 + 1) b) m ( x ) = 2 x2(2 x 2 + l ) - 2

PP6 Identifique se as funções abaixo são pares ou ímpares:

a ) / ( x ) = x 2 - 3 d ) / ( x ) = J r

x 3

b) / ( x ) = Ixl e) / ( x ) = lo g ( y 1 + x 2 + x )

c) f ( x ) = j ( a - x - ax ) f) / ( x ) = 3 x + 2

Resps.: a) par d) ímpar

b) par e) ímpar

FUNÇÕES ELEMENTARES 33

PP7 Prove que, s e /( x ) é uma função exponencial ( f ( x ) = ax , a > 0) e os números

* i, x 2e x-j formam uma P.A., então os n ú m e r o s /( x ,) ,/( x 2)e / ( x 3) formam uma P.G.

PP8 Forme a função linear onde / ( 3 ) = 4 e / ( — 2) = — 1.

Resp : f (x) = x + 1

PP9 Forme a função quadrática onde / ( —2) = 2, / ( l ) '= 3 e / ( 2 ) = 1.

D _ 7 2 1 , 23

Resp.: f ( x ) = - y 2 ~4* T

PP„ Usando o método prático, determine a inversa das funções:

a) / ( * ) = x - 4 e) y = arc tg 8 x c) y = e*x d)

y

= lo g y f) y = V * 3 — 1 g)

y

- 3SX Resps.: a) x + 4 f) >/** + 1 c) j í n x d) 3 • 10* 3 _ 2x

PP 12 Sendo / (x) = ■ ^ — , prove que:

trM-wc*)

PP13 Sendo f (x) — 3X e g (x) = x + 4, determme: a)

f ° g

b ) í ° / Resps.: a) 81 • 3* c ) / o / d) b) 3X + 4 d) jc + 8

34 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

PP14 Sendo: T(a) = 2 a — . Calcule:

Resp.: T o T o T

2 a - 21

16

2 -f" x 2 x 4* 3

PP15 Determine (g o / ) ' 1 onde f ( x ) = —- — e g (x ) = ---- --- usando o método prático para a determinação inversa.

D 15x — 13

R esp .:--- -

---PP16 Prove que a função g( x ) = é monótona estritamente decrescente.

PPi7 Prove que a função h ( x ) = x 2, h: R _ --- *■ IR é monótona estritamente

decrescente.

PP is Prove que a função f ( x ) = log^ x é monótona estritamente decrescente.

8

PPi9 Seja: f ( x ) = 3 x + 3,^(jc) = 2 x — 1 e h( x) = x 2 + 1. Determine:

a ) f ° g ° h c ) g o h o f b ) f o h o g d ) h o g o f Resps.: a) 6 h c) 18xJ + 3 6 x + 19 b) 3 ( 4 x 2 - 4 x + 3) d) 2 (1 8 x 2 + 30 x + 13) PP20 Calcule f ( x ) onde f ( 2 x ^ = x — 8. R esp.: f (x) = 4 4 x - 19

PP2i Calcule g (x) onde g \}J'-x — 3 5

Resp.: g(x) = 10x3( 5 x 3 + 6) PP22 Verifique o problema anterior.

= 2 x - 18

P P 2 3 Prove que, sendo T( x ) = 2X, então

FUNÇÕES ELEMENTARES 35

.1 )=

—

x j X7

PP24 Sendo f ( x ) = y / x 4 + 1, prove que:

PP25 Sendo = / ( y ) ’ calcu'e / ( 0 sendo y ¥* 0 e / ( y ) # 0.

Resp.:

1

PP26 Sendo/ (x + y ) = f ( y ) + / ( x ) , calcule/(0).

Resp.: 0

PP2 7 Sendo

f(? fx y )

= / ( 2 V^c)/ (V y ) onde x > 0, y > 0

Resp.:

1

PP28 Sendo f (x) = e * ' 2, prove que:

f ( x ) f ( y ) = f ^ ± y l

LIMITES

Rearticule a fé nos companheiros que sí desvia­ ram do rumo. Se algum deles se marginaliza, auxilie-o a reajustar-se na trilha certa.

3.1 - LIMITE DE UMA VARIÁVEL

Consideremos uma variável x capaz de assumir uma sucessão de valores de seu domínio:

* i, * 2» -*3» * ■ ■) x n - 2) * n - i5 x n> ■ * •

de modo que o módulo da diferença x — a se tome menor que um número S, tão pequeno quanto desejarmos,

|jc - a\ < S

Diremos, então, que a variável x tem para limite a ou x tende para a. Escrevemos lirn x = a ou x -*■ a e lemos: o limite de x é igual a a ou x tende para a.

Para indicar que o limite da variável l é a constante a, podemos fazê-lo das seguintes formas:

l i m x =<7 ou x -*■ a ou | x - a | < 5 ou — f> < x - a < & .

Exemplo: 1

Suponhamos que a variável x assuma valores de seu domínio representados pela dízima periódica 1,999 . . .

Tomemos a constante 2 e façamos as diferenças

Assim, por menor que seja S, podemos ter I* - 2 | < 6 1,9 - 2 = - 0,1 1,99 - 2 = - 0,01 1,999 - 2 = - 0,001 1,9999 - 2 = - 0,0001

38 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

bastando tomar na variável x um número suficiente de períodos e teremos lim x — 2.

O exemplo acima nos mostrou uma variável tendendo ao seu limite por valores inferiores ao seu limite.

Vejamos outros exemplos: Um em que a variável vai tender ao seu limite por valores superiores e outro ora por valores superiores, ora inferiores ao seu limite.

Ej Seja a variável x assumindo os valores de seu domínio 2,1; 2,01; 2,001;

2,0001;...

Consideremos a constante 2 e formemos as diferenças:

bastando tomar um número suficiente de zeros.

3 3 3 3

E2 5 = 3 — — + “ — — + — + . . cujas parcelas estão em P.G. de razão

2

’

2,1 - 2 = 0,1

2,01 - 2 = 0,01

2,001 - 2 = 0,001

2,0001 - 2 = 0,0001

Por menor que seja ô, poderemos ter:

\x - 2 | < 8 O lim S lim 5 = - ^ — r 4

2

lim 5 = - | ---= 4 — 2 = 2 4 4

3 3

S 3 = 3 - y + > 2 e assim por diante.

As somas tendem para 2 ora por valores superiores, ora por valores inferiores

LIMITES 39

3.2 - LIM ITE DE UMA FUNÇÃO

Seja a função f ( x ) = x 2 definida para todo x real. Anaíisemos o comporta­ mento de f ( x ) quando x assume valores próximos de 2, porém, diferentes de 2.

Para isto consideremos os 2 quadros a seguir:

(I)

(II)

Notemos que quanto mais x se aproxima do valor 2 a função f ( x ) se apro­ xima do valor 4 tanto em (I) quanto em (II).

Podemos tornar f ( x ) tão próximo de 4 quanto desejarmos, contanto que façamos x suficientemente próximo de 2.

Notemos também que quanto mais aproximamos x do valor 2 as diferenças |jc — 2| e | f ( x ) — 4| se tomam suficientemente pequenas.

Estas diferenças suficientemente pequenas são representadas na análise mate­ mática por 5 e e. (ô > 0 e e > 0)

Na Figura 3.1 podemos observar que se desejarmos a diferença \ f ( x) - 4| < e (escolhido) devemos encontrar um ô ( e ) tal que a diferença \x — 2| < 6 . Assim:

0 < \x - 2| < S = > l f ( x ) - 4| < e

e quando isto acontece dizemos que o limite da função f ( x ) , para x tendendo ao valor 2 é 4. Em símbolos: x - 2 X _{/ ( * )} f ( x ) - 4 - 0,2 - 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999 3,24 3,61 3,9601 3,9960 3,9996 - 0 ,7 6 - 0 ,3 9 -0 ,0 3 9 9 - 0 ,0 0 4 - 0 ,0 0 0 4 x - 2 X _{/ ( * ) / ( * ) - 4} 0,1 0,01 0,001 0,0001 2,1 2,01 2,001 2,0001 4,41 4,0401 4,0040 4,0004 0,41 0,0401 0,0040 0,0004 lim x 2 = 4. X->2

40 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Fig. 3.1.

Com isto podemos estabelecer a seguinte definição:

Uma função y = /( * ) , tende para um limite b, quando a variável * tende para a, se, a um número positivo e, arbitrariamente pequeno, corresponde um número positivo 5 tal que para

U - a | < ô e x # a — —> \y - b\ < e

Representamos por lim f ( x ) = b

x-*a

LIMITES 41 Graficamente dizemos que / ( x ) tende a b (Fig. 3.2) se todos os pontos de f ( x ) correspondentes a todos os pontos x cuja distância até o ponto a é inferior a S, estão contidos num intervalo de raio z delimitado pelas retas y = b + e e y = b — e.

Exemplos:

E, Provemos que lim (3x — 4) = 2.

X-+2

Prova:

Devemos provar que dado £ > 0 arbitrário, podemos achar S > 0 tal que 1(3x — 4) —2 l < e quando |x - 2| < 6 . Mas, |(3x — 4) — 2| = |3 x — 6| = 3 |x — 2| < 36. Escolhendo 5 = -j temos |(3x — 4) — 21 < e e portanto Um (3 x — 4) = 2 X

->2

x

_4

Provemos que lim --- x~

X-+2 X — 2

Prova:

= 4.

Devemos provar que dado e > 0 arbitrário, podemos achar 5 > 0 tal que x 2 — 4 x - 2 Mas, x 2 — 4 x — 2 Escolhendo 5 = e temos: x 2 — 4 < e quando |x — 2| < S. = |x + 2 - 4 | = |x - 2 | < 5 . x2 — 4 < e e portanto Um x->2 x — 2 = 4.

3.3 - LIMITES LA TERA IS

Nos quadros (I) e (II) aproximamos x do valor 2. Porém no quadro (I) os valores são inferiores a 2 e no quadro (II) os valores são superiores a 2.

No primeiro caso dizemos que x tende a 2 pela esquerda e no segundo caso x tende a 2 pela direita e representamos respectivamente por:

Um / ( x ) = 4 e Um f ( x ) = 4

42 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Definiçctes

D! Se f ( x ) tende ao limite bj quando x tende a a para valores x < a, dizemos que &i é o limite à esquerda da função f { x ) no ponto a e representaremos por:

lim / ( x )

D2 Se / ( x ) tende ao limite b2 quando x tende a a para valores x > a, dizemos que b2 é o limite à direita da função / ( * ) no ponto a e representaremos por:

lim / ( x ) = b2

x-*a*

TEOREMA 1:

Seja f ( x ) definida num intervalo aberto 1 — {a}.

lim f ( x ) = b se, e somente se, lim f ( x ) = lim / ( x ) = b

x->a x-*a~ x-*a*

Demonstração: lim / ( x ) - b = o ( V e > 0 , 3 6 > 0 | 0 < | x - a | < 6 | / ( x ) - b\ < E) => (V e > 0 , 3 S > 0 | - 6 < x - a < 0 ou 0 < x - a < 8 — > | f ( x ) - b | < e) V e > 0 , 3 6 > 0 | - ô < j c - a < 0 = > I /O ) - bl < e <= => lim f ( x ) = b x->a_ V e > 0 , 3 6 > 0 | 0 < x - a < 5 < > lim / ( x ) = b x-*a* => |/ ( x ) - b\ < c Exemplos: I y|

Ei Consideremos a função / ( x ) = — V x G IR*,

lim / ( x ) = lim = lim —— = — 1

X X

X-+Q~ X-+Q~ X-* 0

lim / ( x ) = lim = lim — = 1

Logo lim f ( x ) # lim / ( x ) e portanto não existe lim f( x ) .

x->o+ x->o

Note que os limites laterais existem, porém não são iguais. Consideremos a função 1 — x2 se x < 3 f (x) = i 0 'se x = 3 x — 2 se x > 3 Calculemos lim /(x ): 3“

lim / ( x ) = lim (1 - x 2) = lim [1 — (3 — h)2] =

X-*3~ x-*3~

h-*

o

lim [1 — 9 ■+■ 6h - h2] = lim (— 8 + 6h — h 2) = — 8

h->

o

h -

o

Nota: Substituímos x por 3 — h que é um número menor que 3 e, como

h -* 0, então, 3 — h é próximo de 3.

Calculemos

lim / ( x ) = lim (x — 2) = lim [(3 + h) — 2] = lim (1 + h) = 1

X->3+ x-*3+

h-*

o

h-+

o

Neste cálculo x foi substituído por 3 + h que é um número maior que 3, mas próximo de 3.

Não existe lim /( x ) , pois lim / ( x ) i= lim /( x )

X —*3 X-*3" X->3+ Seja a função r2 x + 4 se x < 1 8x — 2 se x > 1 LIMITES 43 / ( * ) = Temos:

lim / ( x ) = lim (2x + 4) = lim [2(1 — h) + 4] = lim (6 - 2h) = 6

x-»i- x-+l" ft-»o h-*o

lim / ( x ) = lim (8x — 2) = lim [8(1 + h) - 2] = lim (6 + h) — 6

x-*x+ x - n + A->o

Existe lim / ( x ) e é igual a 6, pois i - * i lim / ( x ) = lim / ( x ) = 6 x - n - x-»i+ x 2 — 4x 4- 4 Determine lim --- --- . x - í - x 2 - 4

44 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Solução: liffl X 2 - 4 x 4- 4 = H (2 - ti)2 - 4 ( 2 - ti) 4- 4 r x 2 - 4 A ™ (2 — A )2 — 4 4 — 4/z 4- h 2 — 8 4- 4 h + 4 .. h2 .. h --- --- ---= l i m —---- = l i m -- ---4 — 4h 4- h — 4 o /i — 4 h h->o h 4 J L

=o.

- 4 x 2 - 4x 4- 3 x - n 4 Solução: x 2 - 4x 4- 3 = Um (1 4- h)2 — 4(1 + ti) + 3 = 6* + 5 f t - o (l + / i ) 2 - 6 ( 1 + / í ) 4 - 5 ^ 4- 2ft 4- /i2 — 4 — 4ft 4- 3 = Um h2 - 2h = T + 2ft 4- ft2 - 6 - 6A 4- 5 *_<, A2 - 4A h(h

~ 2) _

H h — 2

- 2

J_

r , * - 4 - 4 2

3.4 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES

Sejam /( * ) e * (* ) fur*Ções Umitadas:

P, Um ^ ^ constante. x-*a P U m [/(JC) 1 í W ] = ton / ( * ) 1 ton g (x ) L „ _{X -+Q} x-*a x-+a P, Um [ /( * ) * í W 1 = 11111 llm g(-x> x-*a *-*a x ^ a P4 Um A • / ( * ) = ^ • Um A * ) Um /( x ) P Hm ZÍÍÍ = (Um £ (x ) # 0)

P6

lim [/(x)]" = tlim /(x)]n