1.
1. O que
O que é um
é um corpo negr
corpo negro e
o e quais s
quais são as
ão as características
características da radiação
da radiação por e
por ele emitida?
le emitida?
Um corpo negro é um objeto capaz de absorver a maior parte da radiação incidente sem
Um corpo negro é um objeto capaz de absorver a maior parte da radiação incidente sem
refleti-la. Um corpo negro ideal absorveria toda a radiação incidente, sem refletir nada.
refleti-la. Um corpo negro ideal absorveria toda a radiação incidente, sem refletir nada.
Todo corpo negro, ao absorver radiação, adquire energia que é liberada em forma de
Todo corpo negro, ao absorver radiação, adquire energia que é liberada em forma de emissão de radiação térmica. Por esse motivo, apesar do nome “corpo negro”, ele não é
emissão de radiação térmica. Por esse motivo, apesar do nome “corpo negro”, ele não é
necessariamente negro, pois a emissão de radiação pode possuir comprimentos de ondas
necessariamente negro, pois a emissão de radiação pode possuir comprimentos de ondas
no espectro da luz visível
no espectro da luz visível aos seres humanos. Logo, o corpo negro aos seres humanos. Logo, o corpo negro pode absorver a radiação,pode absorver a radiação,
mas também emite e pode gerar luz.
mas também emite e pode gerar luz.
2.
2. Qual
Qual a
a origem
origem da
da catástrofe
catástrofe do
do ultravioleta?
ultravioleta? Como
Como ee
ste “efeito” está relacionado à ste “efeito” está relacionado à hipótesehipótesede Planck e ao surgimento da física quântica?
de Planck e ao surgimento da física quântica?
A origem da catástrofe do ultravioleta vem da impossibilidade de se prever a radiação em
A origem da catástrofe do ultravioleta vem da impossibilidade de se prever a radiação em
função de um comprimento de onda emitida por corpos negros utilizando a mecânica
função de um comprimento de onda emitida por corpos negros utilizando a mecânica
clássica. Ela levou esse nome pelo fato dos cálculos da fórmula de Rayleigh-Jeans
clássica. Ela levou esse nome pelo fato dos cálculos da fórmula de Rayleigh-Jeans
resultarem em que, na medida em que se tomasse comprimentos de onda pequenos, a
resultarem em que, na medida em que se tomasse comprimentos de onda pequenos, a
energia da radiação irradiada pelo corpo negro tenderia ao infinito.
energia da radiação irradiada pelo corpo negro tenderia ao infinito.
Isso levou a Planck estudar uma alternativa para a mec
Isso levou a Planck estudar uma alternativa para a mecânica clássica (a única ânica clássica (a única que possuíamque possuíam
até então). Planck percebeu que o problema estava na
até então). Planck percebeu que o problema estava na energia média por modoenergia média por modo
, onde,, onde,ao tomar que a energia
ao tomar que a energia média das cargas oscilantes era uma variável dimédia das cargas oscilantes era uma variável discreta, seus cálculosscreta, seus cálculos
condiziam com a função empírica. Assim, Planck postulou que essa energia deveria existir
condiziam com a função empírica. Assim, Planck postulou que essa energia deveria existir
apenas em pacotes, que seriam múltiplos inteiros de
apenas em pacotes, que seriam múltiplos inteiros de
ℎ
ℎ
, onde, ondeℎ
ℎ
é a constante de Planck e é a constante de Planck e
e a frequência da onda. Assim surgiu a física quântica. e a frequência da onda. Assim surgiu a física quântica.3.
3. A temperatura
A temperatura da superfíc
da superfície do s
ie do sol é de
ol é de cerca de
cerca de 5800 K.
5800 K. Se fizéssem
Se fizéssemos a s
os a suposição de
uposição de que
que
o sol é um corpo
o sol é um corpo negro radiador, qual seria o comprimento de on
negro radiador, qual seria o comprimento de onda do pico de seu espectro
da do pico de seu espectro
(isto é, o comprimento de on
(isto é, o comprimento de onda em que o Sol irradia mai
da em que o Sol irradia mais intensamente)? Em que região do
s intensamente)? Em que região do
espectro visível ele se situa? Por que então, o sol parece amarelado?
espectro visível ele se situa? Por que então, o sol parece amarelado?
De acordo com a lei de deslocamento de Wien:
De acordo com a lei de deslocamento de Wien:
2
2
,8
,8
98
98
×
×
1
1
0
0
−
−
·
·
∴
∴
2,8
2,8
98 ×
98 ×
5800
5800
10
10
−
−
499,7
499,7
De acordo com a figura 1, esse comprimento de onda se encontra na região da luz ciano.
Figura 1. Espectro eletromagnético. (Fonte: Wikipedia)
Figura 1. Espectro eletromagnético. (Fonte: Wikipedia)
Essa faixa se encontra praticamente no meio do espectro visível. Por esse motivo, o sol é
Essa faixa se encontra praticamente no meio do espectro visível. Por esse motivo, o sol é
amarelado pelo resultado da radiação vi
amarelado pelo resultado da radiação visível emitida por ele, que abrange em grande partesível emitida por ele, que abrange em grande parte
todo o espetro visível com máxima correspondendo ao seu centro.
todo o espetro visível com máxima correspondendo ao seu centro.
Figura 2. Espectro solar. (Fonte: Arcoweb)
Figura 2. Espectro solar. (Fonte: Arcoweb)
4.
4. Um corp
Um corpo negro
o negro foi
foi aquecido de
aquecido de temperatura
temperatura 100°C até
100°C até 400°C. Det
400°C. Determine em
ermine em quantas
quantas vezes
vezes
mudou a potência total da radiação emitida por este corpo.
mudou a potência total da radiação emitida por este corpo.
De acordo com a lei
De acordo com a lei de Stefan-Boltzmann:de Stefan-Boltzmann:
∴
∴
27
27
27
27
2
2
2
2
+ 10
+ 10
+ 40
+ 40
0
0
0
0
10,6
10,6
5.
5. Mostre
Mostre que a
que a lei de
lei de Stefan-Boltzmann
Stefan-Boltzmann e a
e a lei de
lei de deslocamento
deslocamento de Wien
de Wien podem
podem ser extraídas
ser extraídas
a partir da fórmula de Planck.
a partir da fórmula de Planck.
:
:
tomando a fórmula (lei) de Planck:
8ℎ
/
1 ,
−
ao integrarmos sobre todos os comprimentos de onda:
∫
∫ 8ℎ
/
1
−
ℎ
⇒ ℎ
8ℎ∫
1
−
ℎ
8ℎ∫
1ℎ
−
8ℎ∫ 1
1ℎ1
[ℎ
ℎ
]
8ℎ∫ 1
1ℎ
ℎ
8ℎℎ
∫
1
Logo: 2
ℎ
−
−
∫
1
Lei de Stefan-Boltzmann
∎
Por outro lado, ao maximizarmos a lei de Planck:
0
8ℎ
−
⁄
1 0
8ℎ ℎ ⁄
⁄
−
1 0
5
−
(
⁄
1)
⁄
1
−
⁄
0
5(1
− ⁄
)
51
−
→ ∞ ⇒ 51
−
→ 5 ⇒ → 5
→ 5 ⇒ 51
−
→ 4,9663 ⇒ → 4,9663
∴
ℎ
·51
−
→ 6,6626 ×10
1,3807 ×10
−
−
·2,9979×10
·4,9663
→ 2,898×10
−
Lei de deslocamento de Wien
∎
6. Mostre que a lei de Planck se reduz à lei de Rayleigh-Jeans para grandes comprimentos de
onda.
Tomando a lei de Planck:
8ℎ
⁄
−
1 ,
para quando:
→ ∞
ℎ
⁄ → 0
Logo, pela expansão de Taylor:
→ 0 ⇒
∑
!
=
1+ +
2 +⋯
≈ 1+
∴
⁄
1 ≈ ℎ
→ ∞ ⇒ → 8ℎ
ℎ
⁄
−
∴ → 8
−
Lei de Rayleigh-Jeans
∎
7. A temperatura de um corpo negro diminui de 1000 K para 750 K. Determine como mudou o
comprimento de onda que corresponde ao máximo de emissão do espectro de radiação
deste corpo.
De acordo com a lei de deslocamento de Wien:
2,898×10
−
∴
1000750 1,33
Logo, o comprimento de onda que corresponde ao máximo de emissão do espectro de radiação do corpo aumentou em 1/3.
8. Em quantas vezes aumenta a potência total de radiação emitida pelo corpo negro se o
máximo de radiação desloca-
se da região perto do vermelho λ = 0.70 µm do espectro para região perto do ultravioleta λ = 0.35 µm?De acordo com a lei de Stephen-Boltzmann e a lei de deslocamento de Wien :
,
2,898 ×10
−
∴
0,70×10
0,35×10
−
−
16
9.
A medida do comprimento de onda para a qual a distribuição R(λ) é máxima indica que atemperatura da superfície da estrela é 3000 K. Se a potência irradiada pela estrela é 100
vezes maior que a potência irradiada pelo Sol, qual seria o tamanho da estrela?
Dado: temperatura da superfície do Sol = 5800 K.
Dica: para um corpo negro R = P/A, onde R é a potência irradiada por unidade de área, P é
a potência total irradiada e A é a área do corpo, e suponha que as estrelas são corpos
negros.
Dado que:
,
então, assumindo que as estrelas são esféricas:
∗
∗
∗
·
∗
,
onde
∗
indica a estrela em questão e
indica o Sol. Utilizando a lei de Stephen-Boltzmann:
,
tem-se:
∗
∗
·
∗
∴
∗
10 58003000
37,4
Assim, assumindo que ambas as estrelas são esféricas, a estrela é 37,4 vezes maior que o Sol.
10. Quais características experimentais do efeito fotoelétrico podem ser explicadas
classicamente? Quais não podem?
Do ponto de vista clássico, experimentalmente no efeito fotoelétrico, o aumento da intensidade da luz incidente aumenta a corrente do circuito.
Por outro lado, o aumento da intensidade da luz incidente também aumenta a amplitude do campo elétrico
da luz. Esse campo exerce uma força
que aumentaria a energia cinética dos elétrons da placa, o que não condiz com os experimentos.Classicamente, o efeito também deveria ocorrer independente da frequência da luz incidente e tal expulsão do elétron deveria acontecer em um dado tempo de acúmulo de energia, dado pelo seu espalhamento na frente de onda, para vencer a sua ligação no material. Para uma luz pouco intensa, esse tempo seria suficientemente grande para que fosse possível sua medição. Nada disso também condisse com os dados experimentais.
11. Quais foram os argumentos de Einstein para introduzir o conceito de fótons e como ele
explicava as falhas na teoria clássica?
Einstein argumentou que toda energia radiante está quantizada em pacotes concentrados chamados de
fótons
. Parte do argumento explicava que os efeitos de interferência e radiação eletromagnética observados na luz aconteciam porque os experimentos utilizavam uma quantidade muito grande de fótons, pois retornavam médias de seus comportamentos individuais.Por meio de seu argumento, Einstein explicara que o aumento da intensidade da luz aumentava a quantidade de fótons interagindo os elétrons da placa. Isso aumentaria a probabilidade dos elétrons serem expulsos dos átomos, o que aumentaria a corrente do circuito até um certo limiar de acordo com a quantidade máxima de elétron expostos. Einstein também explicara que cada fóton possui uma energia quantizada de, de acordo com a teoria de Planck, múltiplos inteiros de
ℎ
. Dessa forma, a energia cinética dos elétrons não seria influenciada pela quantidade de fótons incidentes, mas pela magnitude do pacote de energia que é dada pelo comprimento de onda da luz incidente, uma vez que cada elétron poderia interagir apenas com um único fóton por vez. Para tal, cada elemento possuiria uma energia limiar
para que seus elétrons pudessem ser removidos, chamada defunção trabalho
, que fornece a fórmula para a energia cinética do elétron ao absorver um fóton:
ℎ
Quanticamente, como a energia é fornecida em pacotes discretos, não há a necessidade de um tempo de acúmulo de energia pois a absorção do fóton pelo elétron seria imediata, o que emitiria um fotoelétron no mesmo momento caso a energia do fóton fosse maior que a função trabalho do átomo elementar presente na placa.
12. (a) A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é de 2,3 eV. O sódio
apresenta efeito fotoelétrico para
a luz amarela, com λ = 589 nm?(b) Qual o comprimento de onda de corte para a emissão fotoelétrica do sódio?
De acordo com a equação de Einstein:
quando a energia cinética máxima de um elétron for igual a zero, temos:
ℎ
Logo:
ℎ
∴
6,626068 ×10
2,3·1,602177 ×10
−
·2,997925 ×10
−
540
De acordo com a figura 1, o sódio apresenta efeito fotoelétrico na faixa da luz verde de 540 nm, e não para luz amarela.
13. O comprimento de onda limite para o potássio é de 558 nm. Qual é a função trabalho para
o potássio? Qual é o potencial de freamento quando é usada luz de comprimento de onda
de 400 nm?
De acordo com a equação de Einstein:
ℎ ,
quando a energia cinética máxima de um elétron for igual a zero, temos:
ℎ
⇒ ℎ
∴ 6,626068 ×10
1,602177 ×10
558 ×10
−
−
·2,997925 ×10
−
2,22
Assim, a função trabalho do potássio é de 2,33 eV. Para o potencial de freamento (corte)
:
Logo, para um elétron temos:
ℎ
∴
6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
−
·2,997925 ×10
· 400×10
−
2,22 0,880
14. Incide-se sobre o potássio luz de comprimento de onda igual a 400 nm e intensidade 10
−2W/m
2. Estime o intervalo de tempo para a emissão de elétrons esperado classicamente.
Suponha que o raio médio do potássio seja da ordem de 10
-10m e utilize a função trabalho
obtida na questão anterior.
Como a intensidade
é igual a razão entre a potência
e área
, temos: Δ Δ
Logo:
Δ Δ
Como a energia transferida ao elétron para ejetá-lo do átomo é a função trabalho, segue:
Δ ϕ
∴ Δ 2,22 ·1,602177 ×10
10
−
·10
−
−
1,13 ×10
18,8
Assim, o intervalo de tempo estimado para a emissão de elétrons esperado classicamente é de 18 min 50 s.
15. O molibdênio metálico tem de absorver radiação com a frequência mínima de 1.09 × 10
15s
−1antes que ele emita um elétron de sua superfície via efeito fotoelétrico.
(a) Qual é a energia mínima necessária para produzir esse efeito?
(b) Qual comprimento de onda de radiação fornecerá um fóton com essa energia?
(c) Se o molibdênio é irradiado com luz com comprimento de onda de 120 nm, qual é a
possível energia cinética máxima dos elétrons emitidos?
De acordo com a equação de Einstein:
ℎ ,
quando a energia cinética máxima de um elétron for igual a zero, temos:
ℎ
∴ 6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
−
1,09 ×10
4,51
O comprimento de onda de radiação
para o fóton com essa energia é de:
∴
2,997925 ×10
1,09×10
275
De acordo com a figura 1, o molibdênio apresenta efeito fotoelétrico na faixa da luz ultravioleta de 275 nm.
Se o molibdênio for irradiado com luz com comprimento de onda de 120 nm, a possível energia cinética máxima dos elétrons emitidos é de:
ℎ
∴
6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
−
2,997925 ×10
120 ×10
−
4,51 5,82
16. Numa experiência fotoelétrica na qual se usa luz monocromática e um foto-catodo de sódio,
encontramos um potencial de corte de 1,85 V para λ = 300 nm e de 0,82 V para λ = 400 nm.Destes dados, determine:
(a) O valor da constante de Planck.
(b) A função trabalho do sódio em eV.
(c) O comprimento de onda limite para o sódio.
De acordo com a equação de Einstein:
ℎ
Logo:
ℎ1
Dessa forma, o coeficiente angular de inclinação da curva de um gráfico de
por1
⁄
é deℎ ⁄
. Assim:ℎ Δ
Δ1
⁄
Logo:
ℎ
1
1
∴ ℎ 1,602177 ×10
2,997925 ×10
1
300×10
−
1,85 0,82
−
1
400×10
−
6,61×10
−
·
Assim, para esse experimento, a constante de Planck obtida foi de 6,61 x 10-34 J·s, o que
retorna uma precisão de dois algarismos significativos. A função trabalho do sódio é de:
ℎ
∴ 6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
·2,997925 ×10
−
1
300×10
−
1,85
6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
·2,997925 ×10
−
1
400×10
−
0,82 2,28
E o comprimento de onda limite para o sódio é de:
ℎ
∴
6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
· 2,997925 ×10
−
12,28 544
De acordo com a figura 1 e o experimento, o sódio apresenta efeito fotoelétrico na faixa da luz verde de 544 nm.
17. Os comprimentos de onda da luz visível vão de 380 nm a 750 nm, aproximadamente.
(a) Qual o intervalo de energias, em eVs, dos fótons de luz visível?
(b) Em condições normais, o olho humano é capaz de perceber um clarão se
aproximadamente 50 fótons chegarem a córnea. Qual a energia associada a esses 50 fótons
se o comprimento de onda for 550 nm?
Para os fótons de luz visível, segue:
ℎ
6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
·2,997925 ×10
−
1
380×10
−
3,26
ℎ
6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
· 2,997925 ×10
−
1
750×10
−
1,65
Para o clarão de 50 fótons, sua energia associada com comprimento de onda de 550 nm é de:
50 50ℎ
∴
50·6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
·2,997925 ×10
−
1
550×10
−
113
18. Os aparelhos de raio X utilizados pelos dentistas funcionam com uma tensão da ordem de
90 kV para aceleração dos elétrons emitidos por um cátodo. Suponha que os elétrons são
emitidos com energia cinética inicial desprezível. Determine o comprimento de onda mínimo
dos raios X produzidos por esses aparelhos. Justifique sua resposta explicando como se dá
a produção de raios X.
A produção de raio X se dá pelo bombardeio de elétrons aceleradas pelo cátodo em um
anodo. Esses elétrons desaceleram ao se chocarem com o núcleo dos átomos do anodo
devido à interação coulombiana, pois transferem momento para o núcleo. Essa
desaceleração submete o elétron a uma perda de energia, o que acaba gerando ondas
eletromagnéticas como um fóton de raio X.
Como o raio X emitido deve ter energia máxima igual ao do elétron incidente que perde
toda a sua energia, de acordo com a equação de Einstein, para um elétron:
ℎ
ℎ
Para um elétron, segue que:
Logo, comprimento de onda mínimo
para que os elétrons sejam ejetados do anodo é:
ℎ
∴
6,626068 ×10
1,602177 ×10
−
·2,997925 ×10
−
190×10
0,14 Å
19.
Calcule o valor de ∆λ para um fóton espalhado a um ângulo de 60°:
(a) por um próton livre.
(b) por um elétron livre.
De acordo com a equação de Compton:
Δ ℎ1cos ,
onde:
ℎ 1 cos60° 6,626068 ×10
−
2,997925 ×10
1cos60° ≈ 1,105 ×10
−
·
Logo, o deslocamento de Compton em um ângulo de 60° para um próton livre é de:
Δ
1,105×10
1,672622 ×10
−
−
0,66×10
−
Å
Enquanto, para o elétron livre é de:
Δ
1,105 ×10
9,109382 ×10
−
−
0,012 Å
E para uma molécula de N² presente no ar é de:
Δ
1,105×10
2· 14· 1,660539 ×10
−
−
0,24×10
−
Å
20. O comprimento de onda de uma certa linha da série de Balmer é 379.1 nm. A que transição
corresponde essa linha?
De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
1
1
1
,
tem-se:
1
√1
⁄ 1
⁄
Logo, para a série de Balmer com
2
: 1
√ 1 4⁄ 1
⁄
∴
√ 1 4⁄ 1 1,097373 ×10
⁄
1
·379,1×10
−
10
Assim, a transição correspondente para o comprimento de onda dado na séri e de Balmer e da camada
10
para a camada 2
.21.
Um astrônomo descobre uma nova linha de absorção com λ = 164.1 nm na regiãoultravioleta do espectro contínuo do Sol. Ele atribui a linha à série de Lyman do hidrogênio.
A hipótese está correta? Justifique sua resposta.
De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
1
1
1
,
tem-se:
1
√1
⁄ 1
⁄
Logo, para a série de Lyman com
1
: 1
√ 11
⁄
∴
√ 11 1,097373 ×10
⁄
1
·164,1×10
−
1,5
Para a série de Lyman, a transição para o comprimento de onda dado corresponderia à camada
1
para a camada 1,5
, a qual não poderia existir, pois as posiçõesdelimitadas possíveis de acordo com o modelo atômico de Bohr são bem definidas uma vez que a energia é quantizada.
22. Em uma amostra que poderia conter hidrogênio, entre outros elementos, quatro linhas
espectrais são observadas no infravermelho com comprimentos de onda de 7460 nm, 4654
nm, 4103 nm e 3741 nm. Para se descobrir se há hidrogênio e etc. na amostra pode-se
comparar essas linhas com a dos espectros característicos dos elementos. Quais dessas
linhas pertencem ao espectro característico do hidrogênio?
De acordo com a fórmula de Rydberg-Ritz:
1
1
1
,
tem-se:
Logo, para a série de Pfund, que demandaria menos energia, logo, maior comprimento de onda, com
5
: 1
√ 1 25⁄ 1
⁄
Assim, para o comprimento de onda de
7460
:
√ 1 25⁄ 1 1,097373 ×10
⁄
1
·7460 ×10
−
6
Para o comprimento de onda de
4654
:
√ 1 25⁄1 1,097373 ×10
⁄
1
·4654 ×10
−
7
Para o comprimento de onda de
4103
:
√ 1 25⁄ 1 1,097373 ×10
⁄
1
·4103 ×10
−
7,5
E para o comprimento de onda de
3741
:
√ 1 25⁄1 1,097373 ×10
⁄
1
·3741 ×10
−
8
Assim, apenas as linhas correspondentes aos comprimentos de onda de
7460
,4654
e3741
, que possuem transições da camada 5
para as camadas
6
,
7
e
8
, respectivamente, pertencem ao seu espectro de emissão.23. O muón é uma partícula idêntica ao elétron exceto pela massa, que é de 105.7 MeV/c²
(cerca de 207 vezes a massa do elétron). Um muón pode ser capturado por um próton
formando um átomo muônico. Calcule, para este átomo:
a) O raio da primeira orbita de Bohr.
b) A energia do estado fundamental.
c) O comprimento de onda mais curto e o mais longo para a série de Balmer.
De acordo com a mecânica clássica, a força magnética
de atração do muón ao centro do elétron é dada pela fórmula:Como, pela primeira lei de Newton e desprezando a correção de massa reduzida:
Onde
é a aceleração centrípeta (tomando como modelo o átomo de Bohr), segue que:
4
,
onde:
4
Assim, de acordo com postulado de Bohr:
ℏ ⃗ ×⃗ ,
onde: ℏ ,
tem-se:
4
ℏ
⇒ 4
ℏ
Para a primeira órbita do átomo onde
1
:∴ 4 ·8,854×10
−
105,7×10
·1,602×10
1
·6,626 ×10
−
2
−
2,998 ×10
·1·1,602×10
−
2,559 ×10
−
Å
Logo, o raio do átomo formado entre um muón e um próton é de
2,559×10
−
Å
. Agora, a energia potencial devido a força de atração do núcleo vinda de fora do átomo à uma distância
do centro é: ∫
∫
4
4
[ 1
1
]∞
⇒
4
E a energia cinética do muón devido ao seu movimento translacional é:
12
12·
4
Logo, a energia total do muón em seu estado fundamental é:
+ 12·
4
4
4
121
⇒
8
∴ 1·1,602 ×10
8 ·8,854×10
1,602 ×10
−
·2,559×10
−
−
−
2,813
Assim, a energia do estado fundamental do átomo é de
2,813
. Podemos escrever a energia também como:
8
·
4
ℏ
⇒
4
2ℏ
· 1
Pelo postulado de Bohr, segue que a frequência
da radiação eletromagnética emitida quando o muón sofre uma transição de estado quântico
para
:
ℎ 14
4ℏ
1
1
Como: ,
temos que:1 14
4ℏ
1
1
1
1
1
⇒ [
1
1
]
−
,
onde:
−
4
4 ·8,854
4ℏ
×10
−
105,7×10
46,626×10
·1,602×10
2
−
−
· 2,998 ×10
2,998×10
·1
·1,602×10
−
4,40789 Å
Logo, para a série de Balmer, onde
2
, o comprimento de onda mais curto
acontece quando
→ ∞
:
4,40789 ×10
−
12
0
−
1,763
E o comprimento de onda mais longo
acontece quando
3
:
4,40789 ×10
−
12
13
−
3,174
24. (a) Calcule os três comprimentos de onda mais longos (em Å) da série de Lyman e indique
sua posição em uma escala linear horizontal. Indique também o limite da série
(comprimento de onda mais curto) nessa escala. Algumas dessas linhas está no visível?
(b) Repita este mesmo procedimento para as séries de Pashen e Brackett.
(c) Calcule a frequência, comprimento de onda e o número de onda da raia H
β, que
correspondem a transições de n = 4 para n = 2, da série de Balmer.
De acordo com a dedução do exercício 23, o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição de estado quântico
para
é:1 14
4ℏ
1
1
1
1
⇒ [
1
1
]
−
,
onde, tomando a massa do elétron igual a
9,109 ×10
−
e 1
:
−
4
4ℏ
4 ·8,854 ×10
−
9,109×10
46,626×10
−
2
·1
−
·1,602×10
· 2,998 ×10
−
9,11663 ×10
−
Logo, para a série de Lyman, onde
1
, os 3 comprimentos de onda mais longos
,
e
acontecem quando
2
,
3
e
4
, respectivamente:
9,11663 ×10
−
11
12
−
1 216 Å
9,11663 ×10
−
11
13
−
1 026 Å
9,11663 ×10
−
11
14
−
972,4 Å
E o comprimento de onda mais curto
acontece quando
→ ∞
:
9,11663 ×10
−
11
0
−
911,7 Å
Para a série de Pashen, onde
3
, os 3 comprimentos de onda mais longos
,
e
acontecem quando
4
,
5
e
6
, respectivamente:
9,11663 ×10
−
13
14
−
18 754 Å
9,11663 ×10
−
13
15
−
12 820 Å
9,11663 ×10
−
13
16
−
10 940 Å
E o comprimento de onda mais curto
acontece quando
→ ∞
:
9,11663 ×10
−
13
0
−
8 205 Å
Para a série de Brackett, onde
4
, os 3 comprimentos de onda mais longos
,
e
acontecem quando
5
,
6
e
7
, respectivamente:
9,11663 ×10
−
14
15
−
40 518 Å
9,11663 ×10
−
14
16
−
26 256 Å
9,11663 ×10
−
14
17
−
21 659 Å
E o comprimento de onda mais curto
acontece quando
→ ∞
:
9,11663 ×10
−
14
0
−
14 587 Å
Para a série de Balmer, onde
2
, o comprimentos de onda
quando
4
é:
9,11663 ×10
−
12
14
−
4 862 Å
Seu número de onda e frequência são, respectivamente:
1
1
4862 ×10
−
2,057
−
2,998 ×10
4862 ×10
−
61,66
25.
(a) Calcule a energia de um elétron na órbita n = 1 do tungstênio, tomando Z −1 como cargaefetiva do núcleo.
(b) O valor experimental dessa energia é 69.5 keV. Suponha qu e a carga nuclear efetiva é (Z
− σ), onde σ é a chamada constante de blindagem, e calcule o valor de σ a partir do resultadoexperimental.
De acordo com a dedução do exercício 23, a energia de um elétron na órbita de um átomo é:
4
2ℏ
· 1
Sabendo que o número atômico
do tungstênio é 74 e a massa do elétron igual a9,109×
10
−
, segue: 9,109 ×10
4 ·8,854 ×10
−
·74 1
−
·2·6,626×10
1,602 ×10
2
−
−
· 11
11,61 72,48
Para a constante de blindagem
, tem-se:
4
2ℏ
· 1
⇒ 4
2ℏ
Logo, o resultado experimental
69,5
indica que a constante de blindagem é: 74 69,5×10
·1,602 ×10
−
4 ·8,854×10
9,109 ×10
−
−
·2·6,626 ×10
· 1,602 ×10
2
−
−
·1
2,5
26. Enuncie e discuta as consequências do princípio da correspondência.
No limite de grandes órbitas e altas energias, os resultados quânticos devem coincidir com os resultados clássicos. De acordo com o princípio de correspondência, sejam quais forem as modificações introduzidas na física clássica para descrever o comportamento da matéria em nível submicroscópico, quando esses resultados são estendidos ao mundo macroscópico, devem estar de acordo com as leis da física clássica, que foram exaustivamente testadas em nosso dia a dia.
(Gabriel R. Schleder)
27. Calcule o raio da órbita de Bohr no hidrogênio para n = 100. Use o princípio de
correspondência para calcular os comprimentos de onda da radiação emitida por elétrons
que decaem para este nível a partir dos níveis n = 101 a 103.
28. Em uma mistura de hidrogênio ordinário e trítio (isótopo que tem um núcleo com massa
aproximadamente três vezes maior que H), que separação terão os comprimentos de onda
da linhas H
α, que correspondem a transições de n = 3 para n = 2, do dois tipos de hidrogênio?
De acordo com a dedução do exercício 23, o comprimento de onda da radiação eletromagnética emitida quando o elétron sofre uma transição de estado quântico
para
é:1 14
4ℏ
1
1
1
1
⇒ [
1
1
]
−
,
−
4
4ℏ
4 ·8,854 ×10
−
9,109×10
46,626×10
−
2
·1
−
·1,602×10
· 2,998 ×10
−
9,11663 ×10
−
Logo, o comprimento de onda
da radiação emitida pelo elétron quando ele transpassa da camada 3
para 2
, utilizando a correção para massa reduzida, é:
[
1
1
]
−
⇒
1+
⁄ [
1
1
]
−
∴
1+9,109 ×10
1 10
6.022 ×10
−
−
9,11663 ×10
−
12
13
−
6 567,6 Å
Analogamente, o comprimento de onda
sob os mesmos parâmetros para o trítio, utilizando a correção para massa reduzida, é:
1+9,109 ×10
3 10
6.022 ×10
−
−
9,11663 ×10
−
12
13
−
6 565,2 Å
Assim, a separação de seus comprimentos de onda
será de: |
| 2,4 Å
29. Discuta a dualidade onda partícula dos elétrons.
De acordo com os experimentos de J.J. Thomson, ao medir a razão entre carga e massa do elétron através de um tubo de raios catódicos, ficou evidente a existência e o caráter corpuscular do mesmo. Esse trabalho lhe rendeu o prêmio Nobel de Física em 1906. No entanto, de acordo com os experimentos de seu filho G.P. Thomson, ao se analisar o efeito de difração de elétrons de alta energia em uma substância policristalina, ficou evidente o caráter ondulatório do mesmo. Esse trabalho, controversamente, também lhe rende o prêmio Nobel em 1938. G.P. Thomson conseguiu demonstrar, então, independentemente a relação de de Broglie.
A relação de de Broglie diz
ℎ ⁄
, onde
é o comprimento de onda,ℎ
é a constante de Plank e
é o momento. Essa relação, serve tanto para radiação quanto para partículas.Dessa forma, aspectos ondulatórios estão relacionados com aspectos corpusculares, onde se pode prever que o comprimento de onda de de Broglie de uma
onda de matéria
associada ao movimento de uma partícula material que tem um momento
. Essa é a dualidade onda partícula, o qual foi provada para o elétron por G.P. Thomson.30. Qual o comprimento de onda de de Broglie para uma bola de futebol de massa m = 0.5 kg
se movimentando com uma velocidade de 5 m/s? E para um elétron com energia cinética
de 100 eV? E para um objeto muito pequeno, porém macroscópico de massa 10
−9g (a massa
do elétron é de 9×10
−29g!) que se move com a velocidade da luz? Baseado nestes resultados,
porque não observamos efeitos de difração e interferência para tais objetos utilizando
fendas?
De acordo com a relação de de Broglie:
ℎ ,
tal que:
,
o comprimento de onda de de Broglie
para a bola de futebol é:
6,626 ×10
0,5· 5 3× 10
−
−
Å
Para o elétron, seu comprimento de onda
é:
6,626 ×10
−
9,109 ×10
−
· 2100 ·1,602 ×10
9,109 ×10
−
−
1,23 Å
Para o objeto que se move na velocidade da luz, seu comprimento de onda
é:
6,626 ×10
10
−
×10
−
·2,998×10
−
2×10
−
Å
Não podemos observar efeitos de difração para tais objetos utilizando fendas pois não possuímos tecnologia suficiente para se criar tais superfícies. No entanto, para o elétron citado, percebe-se que seu comprimento de onda de de Broglie está em escala atômica, ou seja, é praticamente o tamanho de um átomo. Para tal, podemos utilizar métodos de difração em cristais utilizando a lei de Bragg, onde o espaçamento entre os planos de um cristal específico são tais que, para certos ângulos, é possível mensurar a intensidade múltipla de sua onda devido ao efeito de superposição construtiva da mesma ao se espalhar por entre os planos e ser refletida.
31. Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 23 kV. Qual é o
comprimento de onda dos elétrons?
De acordo com a relação de de Broglie:
ℎ ,
tal que:
,
o comprimento de onda de de Broglie
do elétron acelerado é:
9,109×10
−
· 223 ×10
6,626 ×10
9,109 ×10
−
·1,602 ×10
−
−
0,081 Å
32. Para uma partícula cuja energia cinética é muito maior do que sua energia de repouso, vale
a aproximação E = pc. Calcule o comprimento de onda de de Broglie de um elétron de 100
MeV de energia usando essa aproximação.
De acordo com a relação de de Broglie:
ℎ ,
tal que: ,
e:
+
; ≫
⇒ ≈
⇒ ≈
o comprimento de onda de de Broglie
