1) Considere os seguintes subconjuntos de R: A = x R: x 2 3x+1 } B = ],0[ ]0,2] {3}.

UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

1◦ _{Ciclo em Engenharia Electromecˆanica}

1◦ _{Ciclo em Engenharia Electrot´ecnica e de Computadores}

Exame de C´alculo I – 1a _Chamada

Ano Lectivo 2010/2011

31 de Janeiro de 2011 Dura¸c˜ao: 2h₃₀min_{+ 30}min

1) Considere os seguintes subconjuntos de R: A =  x ∈ R:  x2 − 3x + 1  61 ∧ 2 3 − x >1  e _{B = ]−∞, 0[ ∪ ]0, 2] ∪ {3} .} a) Escreva o conjunto A como uma reuni˜ao de intervalos de n´umeros reais.

b) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderˆencia e o derivado de B. c) Diga, justificando, se B ´e um conjunto aberto ou se ´e um conjunto fechado. 2) Considere a fun¸c˜_{ao f : R → R definida por f (x) =} x

x2_{+ 1}.

a) A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua? Justifique a resposta. b) Determine os zeros de f .

c) Estude a paridade de f .

d) Estude a monotonia e os extremos locais de f .

e) Calcule os pontos de inflex˜ao e estude as concavidades de f . f ) Determine as ass´ımptotas de f . g) Esboce o gr´afico de f . h) Calcule Z 1 0 f (x) dx.

3) Determine a aproxima¸c˜ao quadr´atica da fun¸c˜ao dada por f (x) = ln(1 + x) no ponto x = 0 e use-a para aproximar o valor de ln 1,1. 4) Calcule as seguintes primitivas:

a) Z cos(ln x) +_√arcsen x 1 − x2 dx; b) Z _{2 + 2 tg}2_x tg2

x − 4 tg x + 3dx. (Sugest˜ao: Fa¸ca a substitui¸c˜ao tg x = t.)

5) Calcule a ´area da regi˜ao plana limitada pelas curvas de equa¸c˜ao y = x2 _{e y = x}5_.

6) Calcule o volume do s´olido de revolu¸c˜ao que se obt´em rodando em torno do eixo dos xx o gr´afico da fun¸c˜ao g definida por g(x) =√x2_{− x}4_.

7) Determine o intervalo de convergˆencia da seguinte s´erie de potˆencias

+∞

X

n=0

n(x − 1)n

1) Considere os seguintes subconjuntos de R: A =  x ∈ R:  x2− 3x + 1   61 ∧ 2 3 − x >1  e _{B = ]−∞, 0[ ∪ ]0, 2] ∪ {3} .}

a) Escreva o conjunto A como uma reuni˜ao de intervalos de n´umeros reais.

b) Determine o interior, o exterior, a fronteira, a aderˆencia e o derivado de B. c) Diga, justificando, se B ´e um conjunto aberto ou se ´e um conjunto fechado.

1a) Comecemos por resolver a primeira inequa¸c˜ao:  x2− 3x + 1   61 ⇔ x2− 3x + 1 6 1 ∧ x2− 3x + 1 > −1 ⇔ x2 − 3x 6 0 ∧ x2 − 3x + 2 > 0 ⇔ x(x − 3) 6 0 ∧ x2− 3x + 2 > 0, pelo que temos de resolver a equa¸c˜ao x2

− 3x + 2 = 0: x2_{− 3x + 2 = 0 ⇔ x =} −(−3) ±p(−3) 2_{− 4 · 1 · 2} 2 · 1 ⇔ x = 3 ±√9 − 8 2 ⇔ x = 3 ± √ 1 2 ⇔ x = 3 ± 1 2 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 e, portanto,  x2_{− 3x + 1}  61 ⇔ x(x − 3) 6 0 ∧ x 2 − 3x + 2 > 0, ⇔ x(x − 3) 6 0 ∧ (x − 1)(x − 2) > 0, ⇔ x ∈ [0, 3] ∧ (x ∈ ] − ∞, 1] ∪ [2, +∞[) ⇔ x ∈ [0, 1] ∪ [2, 3].

Quanto `a segunda inequa¸c˜ao tem-se 2 3 − x >1 ⇔ 2 3 − x − 1 > 0 ⇔ 2 − 3 + x 3 − x >0 ⇔ x − 1 3 − x >0, pelo que ´e necess´ario fazer um quadro de sinal:

x 1 3 x − 1 − 0 + + + 3 − x + + + 0 ₋ x − 1 3 − x − 0 + N.D. − e, por conseguinte, 2 3 − x >1 ⇔ x ∈ [1, 3[. Logo A = ([0, 1] ∪ [2, 3]) ∩ [1, 3[= {1} ∪ [2, 3[.

1b) Temos int B =] − ∞, 0[ ∪ ]0, 2[, ext B =]2, 3[ ∪ ]3, +∞[, fr B = {0, 2, 3}, B = ] − ∞, 2] ∪ {3} e B′ _{= ] − ∞, 2].}

1c) O conjunto B n˜_{ao ´e aberto porque int B 6= B. Al´em disso, como B 6= B, o conjunto B tamb´em} n˜ao ´e fechado.

2) Considere a fun¸c˜ao_{f : R → R definida por f (x) =} x

x2_{+ 1}.

a) A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua? Justifique a resposta. b) Determine os zeros de f .

c) Estude a paridade de f .

d) Estude a monotonia e os extremos locais de f .

e) Calcule os pontos de inflex˜ao e estude as concavidades de f . f ) Determine as ass´ımptotas de f . g) Esboce o gr´afico de f . h) Calcule Z 1 0 f (x) dx.

2a) A fun¸c˜ao f ´e cont´ınua porque ´e uma fun¸c˜ao racional. 2b) Usando o facto de x2

+ 1 6= 0 para qualquer x ∈ R temos f (x) = 0 ⇔ _x2x_{+ 1} = 0 ⇔ x = 0 ∧ x

2

+ 1 6= 0 ⇔ x = 0, ou seja, f tem apenas um zero no ponto x = 0.

2c) Como para qualquer x ∈ R se tem

f (−x) = −x

(−x)2_{+ 1} = −

x

x2_{+ 1} = −f (x),

a fun¸c˜ao f ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar. 2d) Calculemos a primeira derivada de f :

f′_{(x) =}  x x2_{+ 1} _′ = x′(x 2 + 1) − (x2_{+ 1)′x} (x2_{+ 1)}2 = 1(x2 + 1) − 2x · x (x2_{+ 1)}2 = x2 + 1 − 2x2 (x2_{+ 1)}2 = 1 − x2 (x2_{+ 1)}2. Como (x2_{+ 1)}2

> 0 para qualquer x ∈ R, tem-se f′_{(x) = 0 ⇔} 1 − x 2 (x2_{+ 1)}2 = 0 ⇔ 1 − x2 = 0 ∧ (x2+ 1)2 _{6= 0} ⇔ x2 = 1 ⇔ x = −1 ∨ x = 1, e, portanto, x ₋₁ 1 1 − x2 − 0 + 0 ₋ (x2_{+ 1)}2 _{+ + + + +} f′_{(x) − 0 + 0 −} f (x) _ց m _ր M _ց

Assim, f ´e estritamente crescente em ] − 1, 1[, ´e estritamente decrescente em ] − ∞, −1[ e em ]1, +∞[, tem um m´aximo local no ponto x = 1 e tem um m´ınimo local no ponto x = −1.

2e) Calculemos a segunda derivada de f : f′′_{(x) =}  1 − x2 (x2_{+ 1)}2 ′ = (1 − x 2_)′(x2_{+ 1)}2 −(x2_{+ 1)}2′ (1 − x2₎ [(x2_{+ 1)}2_]2 = −2x(x 2_{+ 1)}2 − 2 · 2x(x2 + 1)(1 − x2₎ (x2_{+ 1)}4 = 2x(x 2_{+ 1)−(x}2 + 1) − 2(1 − x2₎ (x2_{+ 1)}4 = 2x −x 2 − 1 − 2 + 2x2
(x2_{+ 1)}3 = 2x x 2_{− 3}
(x2_{+ 1)}3

e, portanto, tendo em conta que (x2_{+ 1)}3

> 0 para qualquer x ∈ R, tem-se f′′_{(x) = 0 ⇔} 2x x 2 − 3
(x2_{+ 1)}3 = 0 ⇔ 2x x2 − 3
= 0 ∧ (x2_{+ 1)}3 6= 0 ⇔ x = 0 ∨ x2 = 3 ⇔ x = 0 ∨ x = −√3 ∨ x =√3, o que nos permite construir o seguinte quadro:

x ₋√3 0 √3 2x _{− − −} 0 + + + x2 − 3 + 0 _{− − −} 0 + 2x(x2 − 3) − 0 + 0 ₋ 0 + (x2_{+ 1)}3 _{+ + + + + + +} f′′_{(x) − 0 + 0 − 0 +}

f (x) _∩ P.I. _∪ P.I. _∩ P.I. _∪

Assim, f tem a concavidade voltada para baixo em ] − ∞, −√3[ e em ]0,√3[, tem a concavidade voltada para cima em ] −√3, 0[ e em ]√_{3, +∞[ e nos pontos x = −}√3, x = 0 e x =√3 tem pontos de inflex˜ao.

2f ) Vejamos que f tem um ass´ımptota n˜ao vertical `a direita. De facto,

lim x→+∞ f (x) x = limx→+∞ x x2_{+ 1} x = limx→+∞ 1 x2_{+ 1} = 1 (+∞)2_{+ 1} = 1 +∞ + 1 = 1 +∞ = 0 e lim x→+∞[f (x) − 0 · x] = x→+∞lim x x2_{+ 1} = lim_x→+∞ x x2_{(1 + 1/x}2₎ = lim_x→+∞ 1 x (1 + 1/x2₎ = 1 +∞ (1 + 1/(+∞)2₎ = 1 +∞ (1 + 1/+ ∞) = 1 +∞ (1 + 0) = 1 +∞ = 0, pelo que a recta de equa¸c˜ao y = 0 ´e uma ass´ımptota n˜ao vertical `a direita do gr´afico de f .

Analogamente, temos lim x→−∞ f (x) x = limx→−∞ x x2_{+ 1} x = limx→−∞ 1 x2_{+ 1} = 1 (−∞)2_{+ 1} = 1 +∞ + 1 = 1 +∞ = 0 e lim x→−∞[f (x) − 0 · x] = x→−∞lim x x2_{+ 1} = lim_x→−∞ x x2_{(1 + 1/x}2₎ = lim_x→−∞ 1 x (1 + 1/x2₎ = 1 −∞ (1 + 1/(−∞)2₎ = 1 −∞ (1 + 1/+ ∞) = 1 −∞ (1 + 0) = 1 −∞ = 0 e, por conseguinte, a recta de equa¸c˜ao y = 0 tamb´em ´e ass´ımptota n˜ao vertical `a esquerda do gr´afico de f .

Finalmente, tendo em conta que o dom´ınio de f ´e R e que f ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio, conclui-se que f n˜ao tem ass´ımptotas verticais.

2g) Usando toda a informa¸c˜ao que obtivemos nas al´ıneas anteriores e calculando f (1) = 1 12_{+ 1} = 1 2 e f (−1) = −1 (−1)2_{+ 1} = − 1 2 e f (√3) = √ 3 (√3)2_{+ 1} = √ 3 4 e f (− √ 3) = − √ 3 (−√3)2_{+ 1} = − √ 3 4 , podemos fazer o seguinte esbo¸co do gr´afico de f :

x y √ 3/4 1/2 −√3/4 −1/2 1 √₃ −1 −√3 2h) Calculemos o integral Z 1 0 f (x) dx: Z 1 0 x x2_{+ 1}dx = 1 2 Z 1 0 2x x2_{+ 1}dx = 1 2 h ln x2+ 1   i1 0 dx = 1 2 ln  12_{+ 1} − ln  02_{+ 1} 
= 1 2(ln 2 − ln 1) = 1 2(ln 2 − 0) = ln 2 2 .

3) Determine a aproxima¸c˜ao quadr´atica da fun¸c˜ao dada por

f (x) = ln(1 + x)

no ponto x = 0 e use-a para aproximar o valor de ln 1,1.

3) A aproxima¸c˜ao quadr´atica em torno de x = a de uma fun¸c˜ao f duas vezes diferenci´avel ´e dada por

f (x) ≈ f (a) + f′_{(a)(x − a) +} f′′(a)

2 (x − a) 2 . Para f (x) = ln(1 + x) temos f′_{(x) =} 1 1 + x e f ′′_{(x) = −} 1 (1 + x)2 e, atendendo a que f (0) = ln(1 + 0) = ln 1 = 0, f′_{(0) =} 1 1 + 0 = 1 e f ′′_{(0) = −} 1 (1 + 0)2 = −1, a aproxima¸c˜ao quadr´atica de f (x) = ln(1 + x) em torno de x = 0 ´e dada por

ln(1 + x) ≈ f (0) + f′_{(0)x +}f′′(0) 2 x 2 = x −x 2 2 . Assim, ln(1,1) = ln(1 + 0, 1) ≈ 0, 1 −(0, 1) 2 2 = 0, 1 − 0, 01 2 = 0, 1 − 0, 005 = 0, 095.

4) Calcule as seguintes primitivas: a) Z cos(ln x) +√arcsen x 1 − x2 dx; b) Z _{2 + 2 tg}2_x tg2

x − 4 tg x + 3dx. (Sugest˜ao: Fa¸ca a substitui¸c˜aotg x = t.)

4a) Como a primitiva de uma soma de fun¸c˜oes ´e a soma das primitivas das fun¸c˜oes, temos Z cos(ln x) +√arcsen x 1 − x2 dx = Z cos(ln x) dx + Z arcsen x √ 1 − x2dx.

Para calcularmos a primeira primitiva temos de primitivar duas vezes por partes: Z cos(ln x) dx = Z 1 · cos(ln x) dx = x cos(ln x) − Z x (cos(ln x))′ _dx = x cos(ln x) − Z x 1 x(− sen(ln x)) dx = x cos(ln x) + Z 1 · sen(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen(ln x) − Z x (sen(ln x))′ _dx = x cos(ln x) + x sen(ln x) − Z x1 xcos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen(ln x) − Z cos(ln x) dx.

Ora se _Z

cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen(ln x) − Z

cos(ln x) dx, ent˜ao

2 Z

cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen(ln x) e, consequentemente,

Z

cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen(ln x)

2 + c.

Por outro lado, a segunda primitiva que temos de calcular ´e imediata: Z arcsen x √ 1 − x2 dx = Z 1 √ 1 − x2 arcsen x dx = (arcsen x)2 2 + c. Logo Z cos(ln x) + arcsen x√ 1 − x2dx = x cos(ln x) + x sen(ln x) 2 + (arcsen x)2 2 + c.

4b) Fazendo a substitui¸c˜ao tg x = t, temos x = arctg t o que implica dx = (arctg t)′ _{dt =} 1 1 + t2dt. Assim, Z 2 + 2 tg2_x tg2_{x − 4 tg x + 3}dx = Z 2 + 2t2 t2_{− 4t + 3} 1 1 + t2 dt = Z 2(1 + t2₎ t2_{− 4t + 3} 1 1 + t2 dt = Z ₂ t2_{− 4t + 3}dt,

pelo que temos de calcular a primitiva de uma fun¸c˜ao racional. Tendo em conta que o grau do numerador ´e menor do que o grau do denominador, n˜ao ´e poss´ıvel fazer a divis˜ao. Deste modo temos de factorizar o denominador, ou seja, temos de determinar os zeros do denominador:

t2_{− 4t + 3 = 0 ⇔ t =} −(−4) ±p(−4) 2_{− 4 · 1 · 3} 2 · 1 ⇔ t = 4 ± √ 16 − 12 2 ⇔ t = 4 ± √ 4 2 ⇔ t = 4 ± 2₂ ⇔ t = 3 ∨ t = 1. Agora temos de determinar A e B tais que

2 t2_{− 4t + 3} = 2 (t − 3)(t − 1) = A t − 3 + B t − 1. Daqui resulta que

A(t − 1) + B(t − 3) = 2,

pelo que fazendo t = 3 temos A = 1 e fazendo t = 1 temos B = −1. Assim, Z 2 t2_{− 4t + 3}dt = Z 1 t − 3 − 1 t − 1dt = ln |t − 3| − ln |t − 1| + c = ln     t − 3 t − 1     + c e, consequentemente, Z _{2 + 2 tg}2_x tg2_{x − 4 tg x + 3}dx = ln     tg x − 3 tg x − 1     + c.

5) Calcule a ´area da regi˜ao plana limitada pelas curvas de equa¸c˜ao y = x2 _{e y = x}5_.

5) Calculemos os pontos de intersec¸c˜ao das duas curvas:

( y = x2 y = x5 ⇔ ( x5 = x2 —— ⇔ ( x5 − x2 = 0 —— ⇔ ( x2 (x3 − 1) = 0 —— ⇔ ( x2 = 0 —— ∨ ( x3 = 1 —— ⇔ ( x = 0 y = 0 ∨ ( x = 1 y = 1

e, por conseguinte, os pontos de intersec¸c˜ao das duas curvas s˜ao (0, 0) e (1, 1). Representemos geometricamente a regi˜ao plana de que queremos calcular a ´area:

x y 1 1 b y = x2 y = x5

A ´area que queremos calcular ´e igual a A = Z 1 0 x2_{− x}5dx =  x3 3 − x6 6 1 0 = 1 3 3 − 16 6 −  03 3 − 06 6  = 1 3− 1 6 − (0 − 0) = 2 6 − 1 6 = 1 6.

6) Calcule o volume do s´olido de revolu¸c˜ao que se obt´em rodando em torno do eixo dos xx o gr´afico da fun¸c˜ao g definida por g(x) =√x2_{− x}4_.

6) Calculemos o dom´ınio de g. O dom´ınio de g ´e o conjunto Dg =x ∈ R: x2− x4 >0

e, como x2_>

0 para qualquer x ∈ R, temos

x2_{− x}4 >_{0 ⇔ x}2_{(1 − x}2_{) > 0 ⇔ 1 − x}2 >0. Atendendo a que 1 − x2 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = −1 ∨ x = 1, resulta x2_{− x}4>_{0 ⇔ 1 − x}2>_{0 ⇔ x ∈ [−1, 1]} e, portanto, Dg= [−1, 1].

Logo o volume que queremos calcular ´e dado por

V = π Z 1 −1 [g(x)]2 dx = π Z 1 −1 hp x2_{− x}4i2 _{dx = π} Z 1 −1 x2_{− x}4dx = π  x3 3 − x5 5 1 −1 dx = π 1 3 3 − 15 5 −  (−1)3 3 − (−1)5 5  = π 1 3− 1 5 −  −1 3 − −1 5  = π 1 3 − 1 5 + 1 3− 1 5  = π 2 3 − 2 5  = π 10 15 − 6 15  = 4 15π.

7) Determine o intervalo de convergˆencia da seguinte s´erie de potˆencias +∞ X n=0 n(x − 1)n 1 + 2n .

7) Aplicando `a s´erie dos m´odulos

+∞ X n=0     n (x − 1)n 1 + 2n     = +∞ X n=0 n |x − 1|n 1 + 2n o crit´erio de D’Alembert lim n→+∞ (n + 1) |x − 1|n+1 1 + 2n+1 n |x − 1|n 1 + 2n = lim n→+∞ n + 1 n 1 + 2n 1 + 2n+1 |x − 1|n+1 |x − 1|n = lim n→+∞  n n+ 1 n  2n(1/2n+ 1) 2n+1_(1/2n+1_{+ 1)} |x − 1| = lim n→+∞  1 + 1 n  (1/2n_{+ 1)} 2(1/2n+1_{+ 1)} |x − 1| =  1 + 1 +∞  (1/+ ∞ + 1) 2(1/+ ∞ + 1) |x − 1| = |x − 1| 2 , resulta que se |x − 1| 2 < 1 ⇔ |x − 1| < 2 ⇔ x − 1 < 2 ∧ x − 1 > −2 ⇔ x < 3 ∧ x > −1 ⇔ x ∈ ] − 1, 3[ a s´erie ´e convergente e se

|x − 1|

2 > 1 ⇔ x ∈ ] − ∞, −1[ ∪ ]3, +∞[ a s´erie ´e divergente.

Falta estudar a natureza da s´erie quando x = −1 e quando x = 3. Para x = 3 vem

+∞ X n=0 n (3 − 1)n 1 + 2n = +∞ X n=0 n 2n 1 + 2n e como lim n→+∞ n 2n 1 + 2n = lim_n→+∞ n 2n 2n_(1/2n_{+ 1)} = lim_n→+∞ n 1/2n_{+ 1} = +∞ 1/+ ∞ + 1 = +∞ 0 + 1 = +∞ 1 = +∞ a s´erie ´e divergente para x = 3.

Quando x = −1 vem +∞ X n=0 n (−1 − 1)n 1 + 2n = +∞ X n=0 n (−2)n 1 + 2n = +∞ X n=0 (−1)n n 2 n 1 + 2n e, porque lim n→+∞ n 2n 1 + 2n = +∞, a sucess˜ao  (−1)n n 2 n 1 + 2n  n∈N

´e divergente, o que implica que a s´erie ´e divergente para x = −1. Logo o intervalo de convergˆencia da s´erie

+∞ X n=0 n (x − 1)n 1 + 2n ´e ] − 1, 3[.