Prof. Patricia Caldana DIVISÃO DE POLINÔMIOS
A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enuncia-lo como sendo: A divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo a obter os polinômios Q(x) e R(x). Esse algoritmo da divisão pode ser expressado pelo Método de Descartes também conhecido como Método dos coeficientes determinantes, da seguinte forma:
E(x) . Q(x) + R(x) = D(x)
Ou seja:
Divisor . Quociente + Resto = Dividendo
A divisão de polinômio pode também ser representada pelo método da chave, veja:
Dividindo um polinômio por um monômio
Para efetuarmos essa divisão temos que dividir cada termo do polinômio pelo monômio. Observe o exemplo abaixo:
Exemplo: Obtenha o resultado da divisão de 6a2b2−12ab+3a2b33ab
Solução: Podemos utilizar 2 processos distintos para solucionar essa divisão, acompanhe a seguir cada um deles:
Prof.
Dividindo um polinômio por outro polinômio
A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio.
A divisão de um polinômio por outro polinômio pode ser realizada por dois métodos: método da chave e método de Descartes.
Método da Chave
Iremos considerar a seguinte divisão:
D(x) |E(x) R(x) Q(x)
Onde D(x) é o dividendo; E(x) divisor; Q(x) quociente e R(x) resto.
OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser: • Igual a zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor.
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor.
Para compreender, vejamos um exemplo:
Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5).
Prof. Patricia Caldana
• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.
Feita as verificações podemos iniciar a divisão.
O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).
6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5
Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:
6x4 : 2x2 = 3x2
O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor).
(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2
Esse resultado deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo).
Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
2x3 : 2x2 = x
O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)
(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x
Esse resultado deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5.
Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).
-2x2 : 2x2 = -1
Prof. (2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5
O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5.
Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.
Exemplo: Divida (x³ - 6x² – x + 12) por (x – 2).
Método de Descartes
Há uma outra maneira de dividir um polinômio f(x) por um g(x) e obter um quociente q(x) e um resto r(x). Este método se utiliza da identidade de polinômios e se baseia no fato de que o grau do resto deve ser menor do que o do divisor.
Observe um exemplo de como o método funciona. Iremos dividir f(x)= x3 +4x – 1 por g(x) = x2 – x.
Como o dividendo possui grau 3 e o divisor possui grau 2, o quociente q(x) terá grau 1, que é esta diferença entre os graus. Assim, representamos q(x) como um polinômio de grau 1 genérico:
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O resto r(x) terá grau 1 ou menor, pois o divisor possui grau 2. Portanto, representamos como:
r(x) = mx + n
É importante não usar as mesmas letras para q e r, pois os coeficientes não são necessariamente iguais.
Agora, lembre-se da seguinte igualdade: f(x) = g(x) ⋅ q(x) + r(x)
Iremos substituir as expressões que temos até agora e resolver a identidade de polinômios:
As equações que extraímos da igualdade de polinômios são:
As equações I e IV já trazem resultados imediatos. Levando o resultado de I em II obtemos o seguinte:
b – 1 = 0 b = 1
E levando este resultado em III:
−1+ m = 4 m=5
Desta forma, o quociente que era q(x) = ax = b passa a ser:
q(x) = 1x + 1 = x + 1
E o resto r(x) = mx + n passa a ser:
r(x)=5x + 1
Exemplo: Iremos dividir 2x4 − 6x + 1 por x2 + 2.
Como o grau do dividendo é 4 e o grau do divisor é 2, então o grau do quociente é 4 – 2 = 2. Iremos representá-lo com coeficientes desconhecidos:
Prof.
Como o quociente possui grau 2, o resto possui grau 1 no máximo. Representando-o de maneira genérica, temos:
r (x) = mx + n
Não utilizamos as mesmas letras para o resto e o quociente porque os coeficientes não são iguais necessariamente.
Agora, utilizamos a igualdade que a divisão deve obedecer: o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, somado ao resto.
Substituímos os polinômios conhecidos e resolvemos a igualdade de polinômios:
Da igualdade obtemos as seguintes equações:
As duas primeiras equações são imediatas. Substituindo a = 2 na 3ª equação teremos:
Substituindo b=0 na 4ª equação, teremos:
Substituindo c = − 4 na 5ª equação, teremos:
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E o resto fica:
