MAT 7A AULA 19 19.01 (33, 35, 37, 39,...) 9 = 32 (27; 243; 2 187; ...) 19.02
N(0)
=
1 200
×
2
0,4×0N(0)
=
1 200
ALTERNATIVA C 19.03 9 600 = 1 200 20,4t 8 = 20,4t 3 = 0,4t t = 7,5 horas 19.04 x2 5x + 4 = 0 x = 1 2x = 1 x = 0 x = 4 2x = 4 x = 2 x = 0 + x = 2 = 2 19.05 a + a a 11 3 9 3 9a + 3a a = 33 11a = 33 a = 3 3x = 3 x = 119.06 0,1 + 0,11 10,1 19.07 1 -24 = 210 = 45 Então: f(5) = 45 = 1 024 19.08 960 = 240 2t 4 = 2t t = 2 19.09 2 a 3 + a = 6 a2 + 3a 18 = 0 S = 3 e P = 18 a' = 6 9x = 6 não serve a’’ = 3 9x = 3 32x = 3 2x = 1 x = 1 2 Então: 1 2 x 1 1 2 2 x 2 2 2 2 ·
19.10 (24)15 + 256 260 + 256 256(24 + 1) 256 17 19.11 m(t) = mo 2 3mo = mo 3 mo 3 = mo 3 2t 31 = 32t t = 1 2 = 0,5 19.12 200 23 = 1 600 1 600 000 200 000 = 1 400 000 = 1,4 mi 19.13 x2 + x 2 = 0 S = 1 e P = 2 x' = 2 x’’ = 1 5x = 1 x = 0 19.14
População A – Taxa (%) de crescimento é constante (20%), ou seja, a população aumenta segundo uma PG de razão 1,20. Crescimento Exponencial – Gráfico III;
População B – Quantidade de crescimento é constante (100), ou seja, a população aumenta segundo uma PA de razão 100. Crescimento Linear – Gráfico II;
População C – Quantidade constante – Gráfico I; ALTERNATIVA E
19.15 79 = 22 + C1 C1 = 75 141 = 2 + C2 C2 = 139 2t+2 + 75 = 2t+1 + 139 4 2t 2tt = 64 2 2t = 64 2t = 32 t = 5 19.16 p t = 2 F1(t) = 100 F2(t) = 100 a) (F) t > 2 t =3 F1(t) = 105 F2(t) = 136 F1 < F2 c) (F) t = 4 F1(t) = 112 12% F2(t) = 208 108% 2 t 6 d) (F)
4 t 6 t = 6 F1(t) = 132 B1 = 132 112 = 20 F2(t) = 640 B2 = 640 208 = 432 B2 B1 = 21,6 19.17 0.2 = 1 5 = 51 (51)5x+y = 5 (21)2xy = 2 5x y 1 2x y 1 7x = 2 x = 2 7 y = 1 + 2 2 7 y = 7 4 7 y = 3 7 19.18 t = 0 Q(0) = K t = 4 Q(4) = K 54k Q(4) = 25 Q(0) K54k = 25 K 4K = 2 K = 1 2 Q(8) = 1 2 1 8 2 5 · 54 1 2625 = 312,5
19.19 1gb = 1024 mb = 210 mb 32 gb = 32 210 = 215 mb 32 768 Mín. 32 768 700 46 Máx. 32 768 500 65 19.20 a) S(8) = 11 100 2 3 8 11 382 11 4 100 100 · S(8) = 0,44 m2 b) S(p) = 0,88 0,11 p23 = 0,88 2 3 p = 8 2 3 p = 23 Então 2 2 9 3 3 2 p 2 p = 292 p = 29 p = 16 2 p = 16 1,4 p = 22,4 Kg
MAT 7A AULA 20 20.01 0,5.0
f(0)
2 048
k.2
2 048
k
2 048
ALTERNATIVA C 20.02 f(x) = 2 048 20,5x 512 = 2 048 20,5x 2 = 211 20,5x = 4 20.03(V) Base maior que 1, f(x) é crescente. (F) Base menor que 1, f(x) é decrescente. (V) Base maior que 1, f(x) é crescente.
(F) Base maior que 1, f(x) é crescente e como 1 > 0,3333..., f(1) > f(0,3333...).
20.04
(V) Base > 1 – Mantém sinal da desigualdade, ou seja, x > 3
(F) Base > 1 – Mantém sinal da desigualdade, ou seja,
x
3
x
3
(F) Base < 1 – Inverte sinal da desigualdade, ou seja, x < 3(V) Base < 1 – Inverte sinal da desigualdade, ou seja, x < 3 (V) x 0
2
2
x
0
20.05
x < 2 {0, 1} 20.06 3 50 22 3 1 4 11 4 20.07 5x 1 8 + 2x 3x 9 x 3 20.08
2
3 5 2 3 2 1 3 8 10 10 10 10 10 10 10 · · · 105 104 106 105 108 103 - 103 = 0 20.09 8 10t = 1 000 2t 23 10t = 103 2t t = 3 20.10 (1) – F (ax)n = axn xn a(2) – V ax1 ax2 = ax1+x2 = ax1+x2 (3) – V anx = (ax)n = axn 20.11 32 000 = 500 2b 64 = 2b 26 = 2b b = 6 beijos 20.12
Se
f(x )
1
f(x )
2 quandox
1
x
2, então temos que f(x) é uma função decrescente.Para x
f(x)
a
ser decrescente, é necessário que 0 < a < 1. ALTERNATIVA A 20.13 3k1 = 312 k 1 = 1 2 k = 3 2 20.14 t = 10 N(t) = N0 4 0 N 4 = N0 2 10k 22 = 210k 2 = 10kk = 1 5 = 5
1
20.15
01) – (V) – De acordo com o gráfico, com 10 anos o imóvel chega ao valor 200.
02) – (F) – De acordo com o gráfico, o valor do imóvel aos 20 anos será o mesmo que o início. 04) – (V) – Sim, visto que após completar o 10 ano de construção o valor tende a cair.
08) – (V) – De acordo com o gráfico, sim. 16) – (V) – V(t) = 200 2 20 100 2 V(t) = 200 400 100 2 V(t) = 200 24 = 100 8 20.16
x 2
x x
x x 2 2 2 2 2 4 4 · ·
x 2 x 2 x x 2 2 2 4 4 = 2 20.17 1) (V) t = 0 N(0) = 600 600 5 3 1 · 8 = 75 2) (F) t = 20 N(20) = 600 2 600 5,75 5 3 2 · = 104,33) (V) 120 = 600 0,1t 5 3 2 · 5 + 3 2 0,1t = 5 3 20,1t = 0 20.18 10x(1 + 10 + 100 + 1 000 + 10 000) < 11111 10x < 1 x < 0 3 1 S = 2 P = 3 20.19 a) 2 t 2 t 2 t 2 2 t
P(t)
400
500
400
1 2
5
1 2
4
1
2
4
2
2
2
2
t
t
4 anos
b)Para
t
, temos2
2 t
0
e, consequentemente, 2 t1 2
1
. LogoP
500
. 20.20 2 x 2x 1 3 5 51 x2 + 2x 3 0 x’ = 3x’’ = 1 3 x 1 MAT 7A AULA 21 21.01 1 000 = 100% = 1 10% = 0,10 1 + 0,1 = 1.10 21.02 = 1 000 (1,1)n 21.03 (1; 2; ...; 256) 256 = 28 21.04 a4 = a1 q3 375 = a1 53 a1 = 375 125 = 3 21.05 q = 2 a1 = 2 2
a20 = a1 q19 a20 = 2 2
19 2 =
20 10 2 2 2 2 = 2 9 29 = 512 21.06 x 4 x 10 x 1 x 4 x2 + 8x + 16 = x2 + 11x + 10 3x = 6 x = 2 21.07 a8 = a5 q 256 = 32 q3 23 = 25 q 3 23 = q3 q = 2 a5 = a1 q4 32 = a1 24 a1 =2 q a1 = 4 2 2 = 4 21.08 2 625 = 10 n 1 1 5 2 54 = 2 5–n+1 n + 2 = 4 n = 6 21.09
x 1 x 2 x 1 x 210,10
,10
,...
10,10 10 ,10 .10 ,...
PG de razão 10. ALTERNATIVA C 21.10 210 = 1 024 212 = 4 096 (8, ..., 4 096) 8 23 4 096 212 21.11 a5 = a2 q3 162 = 6 q3 27 = q3 q = 3 x = 2 e z = 54 x z 2 54 = 108 21.12 (x, 3x2, 9x3, 27x4) 27x4 = 16 875 x4 = 625 x = 5 Soma x + 3x2 + 9x3x(1 + 3x + 9x2) x (1 + 15 + 225) x 241 21.13 (106, 109, 1012, …, ?) a1 = 106 a1000 = ? a1000 = a1 q999 a1000 = 106 (103)999 a1000 = 106 102997 a1000 = 103003 21.14 Divisores:
0 1 2 5
3 ,3 ,3 ,...,3
Total de 6 divisores. ALTERNATIVA B 21.15 (800, 400, 200, …, 125) Razão = 1 2 12,5 = 800 21(n1) 125 10 = 5 2 21 = 23 52 22 2n+1 1 = 5 n + 1 n = 7 q 1 = 6 5 = 3021.16 2 2 x 11 x 7 x 2 x 11 x2 + 11 = x2 + 5x 14 5x = 25 x= 5 (3, 6 6, 12, ...) q = 2 a8 = a1 q7 3 27 3 128 384 21.17 (1, …, 1 024) 210 = (22)5 = (25)2 1 024 = 210 06 45 322 q = 2, 4, 32 ou 1 024 1 024 = 1 qn1 1) 210 = qn1 n = 11 2) 45 = qn1 n = 6 3) 322 = qn1 n = 3 4) 1 0241 = qn1 n = 2 21.18 (10 000, … a6) q = 0,9 a6 = 10 000 0,95 a6 = 10 000 0,59049
a6 = 5904,9
21.19
Parcelas que formam PG:
x
, x, xq
q
Parcelas que formam PA:
x
,x 1,xq
q
Soma dos termos da PG = 38
x
x
xq
38
q
1
x
1 q
38
q
1
38
q
1
q
x
Termo médio da PA:
x
xq
q
x 1
2
1
2x
2
x
q
q
Substituindo a primeira relação na segunda, temos:
38
2x
2
x
1
x
2x
2
38
x
3x
36
x
12
Logo:2 2
1
2.12
2
12
q
q
13
1
q
6
q
13q
6
6q
3
q
2
6q
13q 6
0
2
q
3
Assim, temos que as parcelas são:
8,12,18 ou (18,12,8)
Maior parcela = 18 21.20 x = 6 y 2 2x = 6 + y y = 2x 6 1 1 x 6 x 1 1 6 x 6 x x 6 y x 2 = 36 + 6y x2 6(2x 6) 36 = 0 x2 12x = 0 x’ = 0 y = 6 x’’ = 12 y = 18 x’’ + y = 30 MAT 7B AULA 19 19.01Para a escolha do Grupo A, não é necessária a definir a ordem de escolha dos times, então trata-se de uma combinação.
Já para a escolha do jogo de abertura, a ordem influencia, pois o primeiro time escolhido jogaria em seu próprio campo, enquanto o segundo seria visitante, então trata-se de um arranjo. 19.02 P/G P/G P/G P/G P/G P/G 2 2 2 2 2 2 = 64 1 = todas pequenas 64 1 = 63. 19.03 1h e 2m ou 2h e 2m ou 3h e 3m ou 4h e 4m 4 4 + 2 2 4 4 C C· + 4 4 = 2 4 C + 1 1 16 + 6 6 + 16 + 1 33 + 36 = 69 19.04 2 50 50! A 48! = 50 49 = 2 450 19.05 20 19 18 = 6 840 19.06 3 2 3 4 = 72
19.07 2 letras e 3 nº. 2 3 26 10 A A· 19.08 4 5 6 7 7 7 7 7 C +C C C 35 + 21 + 7 + 1 = 64 19.09 3 letras e 4 alg. __ __ L __ __ 1 0 25 24 8 7 = 33 600 19.10 m __ 3 3 = 9 __ __ __ 7 6 5 = 210 210 9 = 1 890 19.11 1Q e 1m = 7 4 = 28 1Q e 1F = 7 5 = 35
1m e 1F = 4 5 = 20 28 + 35 + 20 = 83 19.12
n 1 ! n! n 2 ! n 1 ! = 18 n(n 1) + (n + 1)n = 18 n2 n + n2 + n = 18 2n2 = 18 n2 = 9 n 3 n = 3 19.13 3 alg. 2 letras 10 9 8 + 26 25 720 + 650 = 1 370 19.148Q 2 obrigatórias = 6Q para escolher 3
3 6 C = 20 19.15 EP __ __ __ __ __ __ 4 3 6 A
= 4 120 = 480 19.16 5 3 2 10 5 2 C C C· · 252 10 1 2 520 19.17 I) (F) 25 25 = 625 II) (F) 2 2 2 2 2 2 2 = 27 = 1281 III) (F) 3, 2 10 P = 10! 3! 2!· IV) (V) 2 2 10 7 C C· = 45 21 = 945 19.18 __ __ __ __ 7 6 6 6 = 1 512 19.19
Exercício resolvido no material 19.20
Exercício resolvido no material
20.01 E A = 7 = 6! Jorn. = 8 = 7! 6! 7! 20.02 Base = 6 Face = PC5 = 4! 6 4! = 144 20.03 1 6 12! 1 6 12 11! = 2 11! 20.04 PC8 = 7! 20.05 PC6 = 5! = 120 20.06 PC7 = 6! 6! = 720 20.07
10! 9! = 10 9! 9! = 9! (10 1) = 9 9! 20.08 2PC7 = 2 6! PC7 = 1 440 20.09 João 3 7 P = 7 6 5 4 = 840 Claudia 2 7 P = 7 6 5 4 3 = 2 520 Claudia João = 2 520 840 = 1 680 20.10
Total não tocam 60 40 35 28 2 400 980 = 1 420 20.11 L __ __ __ __ 10 4 9 C 10 126 = 1 260 20.12
4 10 C 2 3 8 C apenas 1 casal 210 2 56 210 112 = 98 20.13 3 3! 2! PC 3JS 2E 10p 6 2 2 = 24 20.14 PC7 2 PC6 6! 2 5! 720 240 = 480 20.15 Grupo: 3m e 3H 3 3 6 5 C C· = 20 10 = 200 grupos Disposição em círculos 1º PC3 = 2 (meninas)
2º permutação dos e meninos nos 3 espaços entre as meninas 3! = 6 2 6 = 12 maneiras de formar o círculo.
12 200 = 2 400
A O P R V A/O/P __ __ __ __ 3 P4 P4 = 24 3 = 72 R A O P V 20.17 H PC4 = 6 4 espaços para 4 m = 4! 6 4! = 144 20.18 A B C D E F 2 P5 = 240 Ou D C A B C D E F 2 2 P4 = 96 Ou B A e D C 240 96 = 144 20.19
Exercício resolvido no material
20.20
MAT 7B AULA 21 21.01 2 20 33 = 1 320 21.02 Jogo 1 ao 8 = 2 dias Jogo 9 ao 12 = 1 dia Jogo 13 e 14 = 1 dia Jogo 15 = 1 dia Total 5 dias 21.03 I – ABCDEFA II – Não é possível III – Não é possível IV – BBCADFEDC V – ABCADFED 21.04 3 2 3 = 18 (ida) 3 2 3 = 18 (volta) Ida + Volta = 324 21.05 ñ0 __ __ __ __ 9 9 9 9 9 = 95
21.06
Sentam juntos x y __ __ = 2 __ x y __ = 2 __ __ x y = 2 Outros dois amigos x y __ __ 6 2 1 = 12 21.07 A __ __ __ 3 6 C = 20 21.08 3 8 C = 56 21.09 _P __ __ __ __ 4 10 10 1 1 = 400 21.10 3 5 A = 60 21.11 A B __ __ __ = 3 26 C = 2 600
21.12
I) (V) – Sim, pois pode-se colorir o Nordeste e sul de uma cor, Sudeste e Norte de outra e uma outra cor no Centro-Oeste.
II) (V) – Sim, pois desta forma respeitaria a condição de estados que contenham fronteiras em comum, tenham cores diferentes.
III) (F) – 5 1 4 3 2 IV) (V) – 5 1 4 1 3 = 5 4 3 21.13 1ªf C D 3 3 = 9 Ou 2ªf C D 1 3 = 3 Ou 3ªf C D 2 3 = 6 1ªf + 2ªf + 3ªf = 18
21.14 O P B
1 1 1 Sobram 7
* 1 medalha de ouro = 8 possibilidades P 0 1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , , B 7 6 5 4 3 2 1 0
* 2 medalhas de ouro = 7 possibilidades * 3 medalhas de ouro = 6 possibilidades 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 21.15 1+ e 2 ou 3+ 4 2 3 C ou 3 4 C 4 3 ou 4 12 + 4 = 16 21.16 Total __ __ = 2 9 C = 36 __ __ __ = 3 7 C = 35 __ __ __ __ = 4 4 C = 1 36 35 1 = 1 260 Irmãos juntos 1ª B 1 3 4 7 4 C C· = 35 2ªB 1 1 2 4 7 6 4 C C C· · = 7 15 1 = 105
3ªB 1 2 3 2 7 5 2 C C C· · = 21 10 1 = 210 1 260 (1ªB + 2ªB + 3ªB) = 910 21.17 1p e 1R = 3 10 = 30 1p e 2R = 3 2 10 C = 3 45 = 135 1p e 3R = 3 3 10 C = 3 120 = 360 30 + 135 + 360 = 525 21.18 __ __ __ = 3 5 C = 10 __ __ __ __ = 5 5 5 5 = 625 10 625 = 6 250 21.19
Exercício resolvido no material 21.20
Exercício resolvido no material
MAT 7C AULA 19 19.01
5 301 400 5 1
1
2 (35 + 8 428 2 800 + 2 107 2 800 140) 1
2 4 830 = 2 415 u. a.
19.02
Considerando T (0,0) a origem do plano cartesiano, o objetivo é calcular as coordenadas do ponto P (p, 20) que é o ponto mais a leste de C
Sabendo que a distância de T até P é 60 km, então:
TP 2 2 2 2d
60
0 p
0
20
60
p
400
3600
p
3200
p
40 2km
Cálculo da distância entre C e P é a diferença entre suas abscissas (visto que as ordenadas dos dois pontos é a mesma). Assim:
D
p
40
D
40 2
40
D
40
2 1 km
ALTERNATIVA C 19.03 l 2 = 100 l = 50 2 = 50 1,4 l = 70 (70; 70) 19.04
2
2 3 2 4 8 = 25 144 169 = 13 19.05
2 2 2 2 x 2 2 = (x 2 6 x2 + 4x + 4 + 4 = x2 4x + 4 ± 36 8x = 32 x = 4 19.06 62 + (y 4)2 = (6 6)2 y2 8y + 16 + 36 = 36 2 y2 8y 20 = 0 y’ = 1 y’’ = 10 y’ + y’’ = 819.07 dAB = 32 42 = 5 dAC = 72 1 50 5 2 dBC = 4232 = 5 dAB + dAC + dBC = 5 + 5 + 5 2 = 5(2 2) 19.08 2 2 5 2 25 4 29 19.09 dPA = dPB k2 + (k + 1)2 = (k 2)2 + k2 k2 + k2 + 2k + 1 = k2 4k + 4 + k2 6k = 3 k = 1 2 19.10 dAB = dBA 12 + b2 = 32 + (b 4)2 1 + b2 = 9 + b2 8b + 16 8b = 24 b = 3 B = (3, 3)
19.11 Dpa = Dpb (x 4)2 + (x 1)2 = (x 10)2 + (x + 1)2 x2 8x + 16 + x2 2x + 1 = x2 20x + 100 + x2 + 2x + 1 8x = 84 x = 10,5 Sendo assim (10,5 + 10,5) = P P = 21 19.12 dCB2 = dAB2 + dAC2 m2 + 22 = (m 1)2 + 62 + 12 + 82 m2 + 4 = m2 2m + 1 + 36 + 1 + 64 2m = 98 m = 49 19.13
A distância entre A e B corresponde ao lado do quadrado. Assim:
AB 2 2d
2 0
3 5
2 2
2 2S
S
2 2
S
8
ALTERNATIVA C 19.14 dPR = 3252 34 dRQ = 3252 34isósceles, mas não equilátero.
19.15 x2 = 92 + 62 x = 81 36 x = 177 19.16 C = (0, yc) D = (0, yd) 2 5 0 2 3 7 yc 3 = 47 14 + 5yc 15 2yc = 47
3yc = 48 yc = 16 ou 3yd 1 = 47 yd = 46 3 dCD = 16 (46 3 ) = 48 46 94 3 3 u 19.17 AC = 3 2 AB = BC = DC = DA = AC 4 3 2 = 12 2 19.18
O Ponto Q possui coordenadas: Abscissa: 2 2
a
b
e Ordenada: ab Como 0 < a < 1 e 0 < b < 1, então ab < a e ab < b. Logo, a ordenada do ponto Q é abaixo do valor b.
2 2
a
b
é a distância do ponto P até a origem (OP) que é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a e b, ou seja, 2 2a
b
> a e 2 2a
b
> b. Logo, a abscissa de Q é a direita do valor a.Conclusão: Ponto Q está na região II. ALTERNATIVA B 19.19 dAG = 6282 100 dAG = 10 = 2 3 1 3 = 5 Mediana = 15 19.20 a) dAB = 3232 3 2 b) xG = A B C x x x 3 C 2 1 x 2 3 3 xc = 3 yG = A B c y y y 3 1 = 1 2 yC 3 3 = 1 + yC yC = 4 C = (3, 4)
19.21 dPO = dPA x2 + y2 = (x2 4) + y2 x2 = x2 8x + 16 8x = 16 x = 2 x = y = 2 P (2, 2) MAT 7C AULA 20 20.01 y = 17 2 17 34 5 15 35 35 2 · y 0 = 34 35(x 5 2) y = 34 35 e x = 17 7 20.02 I – VERDADEIRO
Definição da expressão que representa o Volume de abastecimento da caixa: A reta passa pelos pontos (0, 0) e (10, 200), assim:
a
0
10
x
0
0
0
200
y
0
10y
200x
0
y
20x
ou seja
V
20t
Cálculo do valor de b:b é o valor de t para o qual Va = Ve, assim: 20t = 30.(t – 10)
20t = 30t – 300 t = 30
ou seja, b = 30.
Cálculo do valor de Va para t = b = 30: Va = 20 . 30
Va = 600 litros
II – VERDADEIRO
Para encher a caixa sem escoamento, considerar Va = 1 000 litros. Assim: Va = 20t
1 000 = 20t t = 50 min
III – VERDADEIRO
O esvaziamento completo acontece quando Va = Ve, ou seja, t = b. Como foi calculado no item I, temos que t = b = 30 min.
IV – VERDADEIRO
A taxa de escoamento é o coeficiente angular da reta que representa o escoamento, ou seja, a taxa de escoamento é igual a 30 litros por minuto.
ALTERNATIVA D
Ai mA = 150 50 = 3 y = 3x + 150 Bi mB = 400 50 = 8 y = 8x 3x + 150 = 8x 150 = 5x x = 30 y = 240 20.04 a) m = tg135o = tg45o = 1 b) m = 2 2 = 1 c) m = não existe. d) m = 0 20.05 m = 15 5 m = 3 20.06 m = 3 3 y 0 = 1(x + 3) y = x + 3 y x 3 = 0
20.07 m = tg45o = 1 y 3 = 1(x + 1) y 3 = x 1 y + x 2 = 0 20.08
Eixo das abscissas y = 0 m = 3 3 = 1 y 2 = 1(x 5) y 2 = x 5 y = x 3 x = 3 (3, 0) 20.09 0P = 5 (4, 3) P4 = 3 m = 3 4 y 0 = 3 4(x 0) 4y 3x = 0 3x 4y = 0
20.10
Para um ponto pertencer à reta x – y + 1 = 0, temos, P (k, k +1). A distância entre P e A(-1, 1) é igual a 5, assim:
PA 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2d
5
k 1
K 1 1
5
k 1
k
25
k
2k 1 k
25
0
2k
2k
24
0
k
4
P ( 4, 3)
k
k 12
0
k
3
P (3,4)
Cálculo da distância entre P1 e P2:
1 2 1 2 1 2 2 2 P P P P P Pd
4 3
3
4
d
49
49
d
7 2
ALTERNATIVA B 20.11 m = tg30o = 3 3 y 3 = 3 3 (x 2) 3y 9 = 3x 2 3 3y 3x = 9 2 3 20.12 m = tg120o = tg60o = 3 y 1 = 3(x 1) y 1 = 3x + 3y + 3x = 3 + 1 x 3 + y = 1 + 3 20.13 B = (0, y) C = (x, 0) B x = 0 3Y 15 = 0 y = 5 C y = 0 5x 15 = 0 x = 3 dBC = 3252 9 25 34 Km 20.14 K2 7K + 6 = 0 S = 7 P = 6 K’ = 1 K’’ = 6 20.15
O retângulo possui lados iguais a 6 e 2, ou seja, a área é igual a 12;
A reta que passa por A e divide a área do retângulo na razão de 2 pra 1, forma um triângulo retângulo (área menor) e um trapézio retângulo (área maior);
A área do triângulo (área menor) corresponde a 1/3 da área do retângulo, ou seja, sua área é igual 4. Assim:
p 1 2
4
2
p 1
4
p
3
Logo, o ponto P (pelo qual passa a reta) terá coordenadas P(3, 1); Cálculo da equação da reta:
-1 3
x
-1
0
3 1 y
3
1 3y
3x
y
x
9
0
2x
4y 10
0
x
2y
5
0
ALTERNATIVA A 20.16Cálculo das coordenadas dos pontos P e Q: Ponto P tem abscissa igual a 0, assim:
0
f(0)
2
f(0)
1
P(0,1)
Ponto Q tem abscissa igual a 2, assim:
2
f(2)
2
f(2)
4
Q(2,4)
0 2
x
0
r :
0
1 4
y 1
r : 2y
x
4x
2
0
3
r : y
x 1
2
ALTERNATIVA A 20.17 No mesmo sentido = y = 7x 1 20.18A reflexão do raio passa pelos pontos N(6, 0) e P(8, 8). Assim:
6 8
x
6
0
0 8
y
0
48
8y
6y
8x
0
2y
8x
48
0
y
4x
24
0
ALTERNATIVA C 20.19Cálculo do lado do triângulo:
2 2
S
4 3
3
4 3
4
16
4
A reta que contém AB tem inclinação de 60º (ângulo interno do triângulo equilátero) e passa por A (-2, 0). Assim: 0 0 o
AB : y
y
m(x
x )
AB : y
0
tg60 (x
2)
AB : y
3(x
2)
AB : 3x
y
2 3
0
ALTERNATIVA A 20.20 m = 1 7, 2 4 2 2 = (4, 3) 20.21 a b 1 1 3 1 1 1 1 = 0 3a b 1 + 3 + a b = 0 4a 2b + 2 = 0 2a b 1 a b 7 3a = 6 a = 2 b = 5 MAT 7C AULA 21 21.01x
y
1
4
4
x
y
4
y
x
4
A) (-5, 0) – Ponto não pertence à reta
B) (-3, 1) – Ponto pertence à reta e a Distância ao hospital é:
2
2d
3 5
1 5
d
2 5
4,4km
C) (-2, 1) – Ponto não pertence à retaD) (0, 4) – Ponto pertence à reta e a Distância ao hospital é:
2
2d
0 5
4 5
d
26
5,1km
E) (2, 6) - Ponto pertence à reta e a Distância ao hospital é:
2
2d
2 5
6 5
d
5 2
7km
ALTERNATIVA B 21.02 P (2t, 3 – t) Q (4t, 3t – 2) I – FALSOPara as partículas colidirem, as coordenadas precisam ser iguais para o mesmo valor de t, ou seja :
2t
4t
t
0
3
t
3t
2
t
1,25
Conclui-se então que o sistema é impossível, ou seja, as partículas não colidem. II – VERDADEIRO
Para t = 2, a partícula P terá coordenadas (4, 1) Para t = 1, a partícula Q terá coordenadas (4, 1)
Embora em momentos distintos, as duas partículas passam pelo ponto (4, 1). III – VERDADEIRO
Para t = 1, temos P(2, 2) e Q(4, 1). A distância entre P e Q é:
2
2d
4 2
1 2
d
5
ALTERNATIVA A21.03 I) P 1 2t 5 1 t 3 t 2 t 2 Q 4 t 5 t 2 3 6t 3 t 2 II) (F) t III) (F) 1 minuto antes. 21.04
-2
3
x
-2
0
9 -1 y
9
2 3y
9x
2y
x
27
0
10x
5y
25
0
2x
y
5
0
ALTERNATIVA C 21.05
0 0y
y
m(x
x )
2
y
7
x
6
3
3y
21 2x 12
2
y
x
3
3
ALTERNATIVA A 21.06x 1
t
3
y
5
t
2
`Igualando as relações, encontramos:
x 1
y
5
3
2
2x
2
3y 15
2
17
y
x
3
3
Assim, o coeficiente angular dessa reta é
2
3
. ALTERNATIVA B 21.07)2x
3y 12
0
2x
3y
12
2x
3y
12
12
12
12
x
y
1
6
4
ALTERNATIVA C 21.08A reta r passa pelo ponto (1,0) e possui inclinação de 150º, assim:
0 0 oy
y
m(x
x )
y
0
tg150
x 1
3
y
x 1
3
3
y
1 x
3
ALTERNATIVA B 21.09A reta passa pela origem, ou seja, não admite a forma segmentária. ALTERNATIVA E
21.10 t = 0 x 0 y 2 t = 3 x 6 y 7 d = 6292 36 81 117 3 13 21.11
Intersecção entre retas é a resolução do sistema, então:
2x
3y
9
0
3x
2y
7
0
6x
9y
27
0
6x
4y 14
0
13y 13
0
y
1
x
3
Soma das coordenadas é 2 ALTERNATIVA B
21.12
Os pontos de intersecção entre a reta e a parábola são: x – y + 2 = 0 y = x + 2 y = x2 + 2x x + 2 = x2 + 2x x2 + x – 2 = 0 raízes: x1 = –2 e x2 = 1 Para x1, tem-se: y = x + 2 y = –2 + 2 y1 = 0 Para x2, tem-se:
y = x + 2 y = 1 + 2 y1 = 3
A distância entre os pontos (–2;0) e (1;3) é: d=
(
1– –2( )
)
2+( )
3-02 = 9+9d=3 2
21.13
I – VERDADEIRO
Calculando as distâncias entre os vértices, temos:
2 2 2 2 2 2AB
3 0
(1 0)
AB
10
AC
1 0
2 0
AC
5
BC
1 3
2 1
BC
5
II – FALSOPara pertencer ao segmento AB, o determinante (“determinico”) entre os pontos precisa ser igual a 0, ou seja:
0 3
2 0
D
1
0 1
0
2
3
D
2
2
1
D
0
2
III – FALSOPara deduzir a equação da reta, podemos usar o “determinico”. Assim:
3 1 x
3
D
0
1 2
y 1
6
y
x
3y
2x 1 0
x
2y
5
0
ALTERNATIVA A 21.14x
y
2
0
x
2y
6
0
2x
2y
4
0
x
2y
6
0
10
3x 10
0
x
3
10
4
y
2
0
y
3
3
O ponto P éP
10 4
,
3 3
Cálculo da área:10
0
2
0
1
3
S
2
4
3 0
3
3
1 8
S
10
6
2 3
10
S
3
ALTERNATIVA D 21.15 I – VERDADEIRO r: x – y – 1 = 0 r: y = x – 1 Coeficiente angular = 1 otg
1
45
II – VERDADEIRO Cálculo da intersecção:x
y 1 0
y
x 1
x
y
1
6
4
x
x 1
1
6
4
2x
3(x 1)
12
5x
15
x
3
y
2
A intersecção é P(3,2) III – VERDADEIROCálculo dos pontos de intersecção de cada reta com o eixo x: Dizemos que a reta r intercepta o eixo x no ponto R(1,0) Dizemos que a reta s intercepta o eixo x no ponto S(6,0)
O triângulo cuja área é pedida é determinado pelos vértices P, R e S. Assim:
1 6 3 1
1
S
2 0 0
2 0
1
S
12 2
2
S
5
ALTERNATIVA C 21.16Colocando as retas no plano cartesiano, teremos as coordenadas dos pontos de intersecção entre as retas que serão os vértices do polígono que pretende calcular a área.
7 10 1 7
10
4 1 10
1
1
S
2 7 7 1 7
2 7 1 1 7
1
1
S
49 10 7 7 7 70
10
4 7 10 1 28
2
2
S
9 9
S
18
ALTERNATIVA B 21.17 Cálculo da equação de r:1 0
x 1
r :
0
0 1 y
0
r : 1 y
x
0
r : y
x 1
Cálculo da equação de s:2 0
x
2
s :
0
1 0
y
1
s : x
2y
0
x
s : y
2
No ponto A acontece: Em relação à reta r: y < - x + 1 Em relação à reta s:y
x
2
Ou seja,x
y
x 1
2
ALTERNATIVA E 21.18
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2k 1
3k
2 2
k 1
3k
2 1
k 1
3k
k 1
3k 1
k
2k 1 9k
k
2k 1 9k
6k 1
1 2k
1
k
2
Logo, temosP
1 1
,
2 2
ALTERNATIVA C 21.19Colocando os pontos no plano cartesiano, temos:
Perceber que o triângulo AOB é equilátero e que a bissetriz pedida passa pelo ponto A(6,0) e tem inclinação de 150º. Assim:
0 0 o
y
y
m(x
x )
y
0
tg150 (x
6)
3
y
(x
6)
3
3
y
x
2 3
3
ALTERNATIVA E 21.20A reta simétrica passa pelo ponto (-2, 0) e possui inclinação igual a (180º - α). Assim:
0 0 oy
y
m(x
x )
y
0
tg(180
) (x
2)
y
tg
(x
2)
1
y
(x
2)
2
2y
x
2
x
2y
2
0
21.21 a)Sendo M e N os pontos médios, temos B(0, 2), C(2, 0), M(0, 1) e N(1, 0). Então:
0 1 x
0
r :
0
2 0
y
2
r : y
2x
2
0
0
2
x
0
s :
0
1 0
y 1
s : 2y
x
2
0
b)y
2x
2
0
2y
x
2
0
2y
4x
4
0
2y
x
2
0
2
3x
2
x
3
2
2
2y
2
0
y
3
3
2 2
P
,
3 3
MAT 7D AULA 19 19.01 10 cm = 101 m 2 688 10 1,732 4 · 672 0,0173 = 11,6256 19.02 (V) 12 + F = 30 + 2 (F) Si = 6 180 = 1 080 (F) N = 60 e A = 30 (V) 2v = A + 2 2V 2 = A A = 2(V 1) 19.03 6 bases 6 tampas 6 Laterais= 18 arestas 19.04 N = 2 5 + 5 4 = 30 A = 15 F = 7 V + F = A + 2 V = 17 7 V = 10 19.05 N 4 3 + 2 4 + 1 6 = 26 A = 13 F = 7 V + 7 = 13 + 2 V = 8 19.06 N = 180 A = 90 F = 60 V + 60 = 90 + 2 V 32 19.07 N = 6 3 + 5 4 = 38 A = 19 F = 11 V + 11 = 19 + 2 V = 10
19.08 A = 25 N = F 5 = 50 F = 10 V + 10 = 25 + 2 V = 17 19.09 A = 32 V = 14 * 4 q + 3t = 64 F = q + t 14 + q + t = 32 + 2 * q + t = 20 4q 3t 64 q t 20 q = 4 e t = 16 19.10 A = V + 12 V + F = A + 2 V + F = V + 12 + 2 F = 14
19.11 V = 3 5F N = 2A 3F = 2 A F = 2 3A V + F = A + 2 3 5F + F = A + 2 3F + 5F = 5A + 10 8F = 5A + 10 8 2 3A = 5A + 10 16A = 15A + 30 A = 30 19.12 3 f3 + 4 f4 = 40 F = f3 + f4 V + F = A + 2 10 + f3 + f4 = 20 + 3 f3 + f4 = 12 A = 20 e V = 10 f3 f4 12 3f3 4f4 40 f3 = 8
f4 = 4 19.13 * Sti = 12 90 = 1 080 360(V 2) = 1 080 V 2 = 3 V = 5 * V + F = A + 2 5 + x + 4 = 2x + 6 + 2 x = 1 * F = f3 + f4 = x + 4 * 2A = $ 3 + 4x A = 2x + 6 A = 8 19.14 F = 2 + 4 + r = 6 + r 01) (V) V = 11 2A = 2 5 + 4 4 + 3r A = 13 + 3n 2 V + F = A + 2 11 + 6 + n = 13 + 3n 2 + 2 34 + 2n = 30 + 3n n = 4 02) (V) F = 16 6 + n = 16 n = 10
04) (F) N = 2A V + F = A + 2 A = V+ F 2 2 5 + 4 4 + 3n = 2A 26 + 3n = 2(V + F 2) 26 + 3n + 4 2(6 + n) = 2V 2V = n + 18 V = n 18 2 Para n = 1 V = 19 2 F 08) (V) 360(V 2) = 3 600 V = 12 12 + 6 + n = 13 + 3n 2 + 2 36 + 2n = 30 + 3n n = 6 16) (V) A = 13 + 3n 2 = 25 3n = 24 n =8 19.15 6 < V < 14 V min. = 7 V máx. = 13 A + 2 = 8 + V A = V + 6
A min. = 13 A máx. = 19 R: 13 A 19 19.16 F = 7 V + F = A + 2 V = A 5 nº de arestas de 1V = 6 arestas V 1 3 arestas A = 6 (V 1)3 2
(divide por 2 pois AB = BA)
2A = 6 + (A 6) 3 2A = 6 + 3A 18 A = 12 19.17 Pol. Original V = 13 F = x + y N = 2ª A = 3x 4y 2 (13 + x + y = 3x 4y 2 + 2) 2 x + 2y = 22 Novo Poliedro
F = y 3 A = 3x 4y 4 y 3
4 2 3x 4y = 24 x 2y 22 ( 2) 3x 4y 24 · 5x = 20 x = 4 y = 9 F = x + y = 13 19.18 Pol. Original A = 16 N = 2ª 3x + 4y = 32 m : faces e n: vértices m x y m n 16 2 = n + x + y = 18 Novo Poliedro (n 1): vértices (y + 1): faces Arestas: A 4 y 1
2 A = 2y + 2 V + F = A + 2 (n 1) + (y + 1) = 2y + 2 + 2 n = y + 43x 4y 32 m x y n x y 18 n y 4 3x 4y 32 ( 2) x 2y 14 x = 4 e y = 5 n = y + 4 n = 9 m = x + y m = 9 19.19
Exercício resolvido no material
19.20
Exercício resolvido no material
MAT 7D AULA 20 20.01 Octaedro A = 12 Dodecaedro A = 30 12 + 30 = 42 42 7 = 6 20.02 (V)
(F) Possui 8 vértices (F) Possui 12 arestas (V) (V) 20.03 Sti = 360(4 2) = 720
Sti = 360(8 2) = 2 160 Sti = 360(6 2) = 1 440 Sti = 360(20 2) = 6 480 Sti = 360(12 2) = 3 600 720 + 2 160 + 1 440 + 6 480 + 3 600 = 14 400o 20.04 I – FALSO
Um octaedro regular é formado por 8 triângulos equiláteros iguais. II – VERDADEIRO
Um dodecaedro regular é formado por 12 pentágonos regulares iguais. III – VERDADEIRO
Um icosaedro regular é formado por 20 triângulos equiláteros iguais. ALTERNATIVA E
20.05 F = 8 A = N 12 30 2 2 = 21 V + F = A + 2 V + 8 = 21 + 2 V = 15 20.06 T = 0 H = 4 20.07
Um poliedro regular é aquele cujas faces são polígonos regulares e todo poliedro regular é também convexo. 20.08 V = ? F = 32 A = N 60 120 2 2 = 90 V + F = A + 2 V + 32 = 90 + 2 V = 60 20.09
Poliedro regular de faces triangulares, que não possui diagonais. = Tetraedro. V = 4
Sti = 360(V 2) Sti = 320 2 = 720 20.10 Sti = 1 440 Sti = 360(V 2) = 1 440 V 2 = 4 V = 6 Faces possíveis: Triangular 1 440 180 = 8 faces Quadrangular 1 440 360 = 4 faces Pentagonal 1 440 540 = não é inteiro O único que satisfaz:
F = 8 A = 8 3 2 · = 12 20.11 F = 6 A = 6 3 2 · = 9 V + 6 = 9 + 2 V = 5 I) (V) II) (V) III) (V) IV) (F) V) (V) Sti = 360(5 2) = 1 080o
20.12 60º 4 = 240º 20.13 x2 = 2(1,53A o)2 x = 1,53Ao 2 x = 1,53 1,41 x 2,16 20.14 01) (V) Sti = 360(V 2) = 360 5 = 1 800 02) (V) V = n + 1 F = n + 1 V + F = A + 2 2n + 2 = A + 2 A = 2n 04) (V) F = 8 V = 8 V + F = A + 2 8 + 8 = A + 2 A = 14 08) (V) 16)(V)
A = 20 V = F 2V = 20 + 2 V = 11 20.15 Icosaedro 20 faces F = 4 20 = 80 A = N 3 30 2 2 · = 120 20.16 V = 24 F = 24 A = 44 V + F = 24 + 24 = 48 48 = A + 4 20.17 F = 12 + n A = 12 3+5n 2 · = 3n 36 + 5n = 6n n = 36 Si = 180(5 2) = 3 ST = 36 3 = 108 20.18 12 5 2 · 7 = 210 20 6 2 · 7 = 420 210 + 420 = 630 cm = 6,30 m
20.19
Exercícios resolvidos no material 20.20
Exercícios resolvidos no material
MAT 7D AULA 21
21.01
Pacote: 12 000 cm3
Caixa: 96 000 cm3
Caixa/pacote = 8 pacotes em cada caixa 100 8 = 12,5 13 Caixas 21.02 Vd = 2 000 L = 2 m3 Nd = 15 Vc = (Vol Nol) 10% Vc = (2 15) 1,1 Vc = 33 m3 = 33 000 L Precipitação = 110 mm Área do telhado = Vc prec. = 33 000 110 = 300 m 2 21.03
1ª área mais rasa V = 1 2 3 = 6 m3 2ª área média Área a = 3 3 1 = 9 m3 Área b = 3 1 3 2 · · = 4,5 m3 V = a + b = 13,5 m3
3ª área, mais funda V = 3 3 2 = 18 m3
1ª área + 2ª área + 3ª área = 37,5 m3 = 37 500 L
21.04
(V)
(F) Prisma quadrangular tem por base um quadrilátero não necessariamente quadrado. (V)
(V) 6 arestas em cada base mais 6 arestas laterais.
21.05
Apenas a II e III, pois em sua “montagem” forma-se um figura em 3 planos.
21.06
Sb = 2 32 4 V = 3 2 m3
21.07
Como todos os livros tem a mesma área de capa e a altura das três pilhas são iguais, o volume é o mesmo em todas as pilhas, independente de elas estarem organizadas ou não.
21.08
5 de cada base = 10 + 5 das faces = 15 arestas.
21.09 x = 2 L V = 192 3 6 L 32 4 2L = 192 3 3L3 = 192 L3 = 64 L = 4 x = 2L x = 8
21.10 V = 72 h = 4 3 Sb 4 3 = 72 Sb = 72 3 12 Sb = 6 3 6 L 32 4 = 6 3 L = 2 St = 6 (2 4 3) + 2 6 3 St = 48 3 + 12 3 St = 60 3 21.11 V = 6 L 32 4 6 = 1 728 3 L2 = 192 = 64 3 L = 8 3 Sb = 6 192 3 4 Sb = 288 3 Sl = 6(6 8 3) Sl = 288 3
21.12 St = 6100 3 4 2 + 6 10 30 St = 300 3 + 1 800 St = 300 1,7 + 1 800 St = 510 + 1 800 St = 2 310 1,2 = 2 772 cm2 500 = 1 386 000 cm2 = 138,6 m2 21.13 Prisma de aresta 10 V = 10 10 20 = 2 000 Sb = 100 Sl = 200
Prisma com aresta + 10% V = 11 11 20 = 2 420 Sb = 121 Sl = 220 21.14 V = Sb h V = 6L 32 4 h
V = 3L 32 2 h 3 3 2 L 2h 21.15 Volume do tampo: Vt = 90 80 2 = 14 400 cm3 Volume de madeira: Vm = 6 32 4 2 = 30,6 cm 3 Vm 30,6 Vt 14400 = 0,002125 0,2125% 21.16 S = 2(n 2) 180 + 360n Ou Sti = (V 2) 360 = 7 200 V 2 = 20 V = 22 21.17 Sen = 1 x 5 15 x = 3 y2 = 152 32 y2 = 216 y = 6 6 V = xy 2 10 V = 3 6 6 2 · 10 V = 3 216 10 2 · · 15 216 m3
21.18 Sen 60º = h 3 2 2 h = 3
2 7 = 22 + x2 2 2x cos60o 7 = 4 + x2 2x x2 2x 3 = 0 x' = 1 não serve x’’ = 3 V = 3 3 2 · 4 V = 6 3 21.19Exercício resolvido no material 21.20
Exercício resolvido no material
MAT 7E AULA 19 19.01
a) 3
P(3)
3
3.3 2
P(3)
20
b)P( 3)
( 3)
3
3.( 3) 2
P( 3)
16
c)P(1)
1
33.1 2
P(1)
0
d) 3P( 1)
( 1)
3.( 1) 2
P( 1)
4
e) 3P(2)
2
3.2 2
P(2)
4
ALTERNATIVA C 19.02 4 2 2 2P(x)
x
16
P(x)
(x
4)(x
4)
P(x)
(x
4)(x
2)(x
2)
P(x) é divisível por 2(x
4)
, (x + 2), (x – 2) e por qualquer produto entre eles.2
A(x)
x
4
A(x)
(x
2)(x
2)
A(x) é divisível por (x + 2) e por (x – 2) ALTERNATIVA E 19.03 (V)
R
P(1)
R
1
310
R
9
(V) 5R
P( 2)
R
( 2)
32
R
0
(F) 3 3R
P( 3)
R
( 3)
10.( 3) 9
R
12
P(3)
3
10.3 9
P(3)
6
R
P(3)
(V) R = P(3) (V)R
P
5
19.04
Podemos dizer que
2
P(x)
k(x 1)(x 1)
P(x)
k(x
1)
ALTERNATIVA D 19.05 P 1 3 = 5 1 9 4 3 + 2 P 1 3 = 5 12 18 9 P 1 3 = 11 9 19.06
6R
P( 1)
R
1
1
R
0
ALTERNATIVA A 19.07 P(1) = 0 1 + 13 + k 17 + 16 = 0 k = 13 19.08 P(1) = 4 1 + a 1 + a = 4 2a = 4 a = 219.09 500
R
P(1)
R
1
1
R
0
ALTERNATIVA B 19.10 P(1) = P(1) 3 2 + m + 1 = 3 + 2 m + 1 2m = 4 m = 2 19.11 x2 6x + 5 x’ = 5 e x’’ = 1 P(1) = 0 ou P(5) = 0 1 + p + q = 0 P + q = 1 19.12 1 1 2 3 1 1 1 1 2 1 r 1 0 2 R Q x 19.13Se a soma dos coeficientes é igual a zero, 1 é raiz de f. Assim, f é divisível por (x – 1).
ALTERNATIVA B 19.14 x2 x 2 x’ = 2 e x’’ = 1 P(2) = 0 8 + 4m + 2n 10 = 0 2 P(1) = 0 1 + m n 10 = 10 2m n 1 m n 11 3m = 12 m = 4 n = 7 m + n = 4 + (7) = 3 19.15 f(1) = 1 7(2) = 2 a b 1 (-1) 2a b 2 · a = 3 e b = 4
(x) (x) f x 1 x 2 ax b Q f(x) = (x 1)(x 1) Q(x) + ax + b R(x) = 3x 4 19.16 1 1 0 0 2a b 1 1 1 1 2a 1 2a b 1 1 2 3 2a 4 P(1) = 01 + 2a+ b = 0 2a + b = 1 b = 3 2a + 4 = 0 a = 2 P(x) = x4 4x + 3 x x(x3 4) + 3 Resto 3 19.17 x2 5x 6 x’ = 6 e x’’ = 1 P(6) = 0 1 296 216 792 + 6m + n = 0 6m + n = 288 P(1) = 0 1 + 1 22 m + n = 0 m n = 20 6m n 288 m n 20 7m = 308 m = 44 e n = 60 1 1 1 22 44 60 6 1 2 20 64 4 1 4 4 88 Q(x) = x2 + 4x + 4 19.18
g(x) = x3 + 3x2 + ax + b + 1 g(1) = 0 1 + 3 a + b + 1 = 0 a + b = 3 h(x) = x3 + 3x2 + ax + b 1 a + b = 3 a b 3 a b 3 2b = 6 b = 3 e a = 0 19.19
P(x) (x 2)(x + 3) Grau 2, R(x) tem máximo grau 1.
Quociente = Q(x) Resto = ax + b P(2) = 7 P(3) = 5
2a b 7 1 3a b 5 · 5a = 2 a = 2 5 4 5 + b = 7 b = 31 5 R(x) = 2x 31 5 5 19.20P(2) = 0 P(1) = 0 1 4 m 4 n 0 m n 1 16 32 4m 8 n 0 4m n 8 5m + 2n = 7 MAT 7E AULA 20 20.01 R(x) = 0 p(1) = 0 20.02 P(1) = 0 P(2) = 12 P(x) (x 1)(x 2) Resto: R(x) = ax + b Quociente Q(x) R(1) = a + b = 0 R(2) = 2a + b = 12 a = 12 e b = 12 12(x 1) 20.03
Grau = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 Grau = 21 ALTERNATIVA B 20.04 P(a) = 0 P(b) = 0 2 2 a a c 0 b b c 0 a2 b2 + a b = 0 (a + b)(a b) + (a b) = 0 (a b) (a + b + 1) = 0 a + b = 1 20.05 P(x) x 2 Resto = 1 Quociente: Q(x) P(x) (x 2)(x 2) Resto: R(x) = ax + b P(x) = (x 2) Q(x) 1 P(3) = 1 Q(3) 1 = 2 ( 1) 2a b 1 3a b 2 a = 3 e b = 7 R(x) = 3x 7
20.06 x3 + kx2 2x + 3 x2 2 + 1 Resto: (k 2)x k + 2 Quociente: x +(k + 1) (k 2)x k + 2 (k 2) = 0 k = 2 x +(k + 1) x + 3 20.07 2x 3 = A(x 1) + B(x 5) 2x 3 = Ax A + Bx 5B A B 2 A 5B 3 4B = 1 B = 1 4 A + B = 2 20.08 2 3 x b x 4 4 2 x 4 = 2 x 2 3 b x 4 = 2 y x 2 y = b3 4 20.09
2 3 2k k 1 1 k 1 2k 2k 4k 1 20.10 x4 + 2x2 + 1 x2 2x + 1 Quociente = x2 + 2x + 5 Resto = 8x - 4 20.11 P(1) = 0 P(x) = (a 3)x P(x) x2 + x Quociente = x2 3 Resto = R(x) R(x) = ax + b P(x) = (x2 + x)(x2 3) + ax + b P(1) = 0 R(4) = 10 ( 1) a b 4 4a b 10 3a = 6 a = 2 e b = 2 P(x) = (a 3)x a 3 2 3 = 1
20.12 P(2) = 16 + 4a + 16 + b = 0 P 3 2 = 27 9 a 4 4 + 12 + b = 7 4 4a b 0 9a b 7 4 4 · b = 4a 9a + 4b = 7 9a 16a = 7 7a = 7 a = 1 a + b = (1) + 4 = 3 20.13 P(x) 3x 2 Resto = m Quociente = x2 2x + 5 P(x) = (3x 2)(x2 2x + 5) + m 4 5 + m = 20 m = 0 20.14 Q(0) = 0 1 P P 30 1 P(0) = (1) 13 + 5 = 8 P(1) = 5 Q(0) = 8 5 1
Q(0) = 13
20.15
m: muilt. Por x aumenta o grau em 1 S: subt. x por x 1 não altera o grau P(x) = 2º grau
M M S M S S M 3 4 4 5 5 5 6
20.16
Sendo 3 2
P(x)
x
2ax
(3a b)x 3b
, temos queP( 1)
0
, assim:3 2
( 1)
2a.( 1)
(3a b).( 1) 3b
0
1 2a 3a b 3b
0
5a
4b
1
Sendo 3Q(x)
x
(a 2b)x
2a
, temos queQ( 1)
0
, assim:3
( 1)
(a
2b).( 1) 2a
0
1 a
2b
2a
0
3a
2b
1
Montando e resolvendo o sistema, temos:
5a
4b
1
3a
2b
1
5a
4b
1
6a
4b
2
a
3
a
3
3.3
2b
1
b
4
ALTERNATIVA C 20.171 1 3 2 6 1 4 6 0 B(x) = x2 4x + 6 Yv = Aa 4 =
8 4 = 2 20.18 P(x) = (x2 x)(6x2 + 5x + 3) 7x P 1 2 = 1 1 1 5 7 6 3 4 2 4 2 2 = 3 4 (1 + 3) + 7 2 = 3 7 2 2 = 5 20.19 x2 1 = (x + 1)(x 1) P(x) x2 1 Resto = ax + b Quociente = Q(x) P(x) = x100 + x + 1 P(x) = (x2 1)Q(x) + ax + b P(1) = 3 P(1) = 1 a b 3 a b 1 b = 2 e a = 1 Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1eR(x) = x + 2 20.20
5 3 3 2 5 4 2 x mx n x 3x x 3x x 3x 9 m 3x4 mx3 + n 3x4 + 9x3 (9 m)x3 + n (9 m)x3 3(9 m)x2 3(9 m)x2 + n = 5 3(9 m) = 0 m = 9 n = 5 MAT 7E AULA 21 21.01E) Correta. O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos
21.02
B) Correta. Pela definição de número complexo, i2 = –1
21.03 x = 2 4 68 2 x = 2 8i 2 x = 1 4i 21.04
2 x = 4 x = 2 21.05 2 m = 0 m = 2 n 2 0 n 0 21.06
1 2 3 1 2 3z
z
z
1 i
1 2i
1 3i
z
z
z
3
6i
ALTERNATIVA B 21.07 (1 i2) + 1 + 8i + 16i2 3 + 8i 16 8i 13 21.08 z w = 6 8i + 3i 4i2 10 5i = 15 21.09 4i 2i2 (3 i 3i + i2) 4i + 2 3 + 4i + 1 = 0 21.10 m2 9 = 0 e m 3 0(m 3)(m +3) = 0 m = 3 21.11 (1 i)2 = 1 2i + i2 = 2i z = [(1 i)2]3 = (2i)3 = 8i3 Z =8i 21.12 1 + 2i + i2 [2i(1 i)] 2i + 2i 2i2 4i + 2 21.13
2x + 3xi + 2yi + 3yi2
2x 3y + (3x + 2y)i 3x + 2y = 0 21.14 a2 + 2abi + bi2 = 3 + 4i a2 b2 + 2abi = 3 + 4i 2 2 a b 3 2ab 4 a = 2 b a = 1 a2 b2 = 3 2 4 b b 2 = 3
4 b4 = 3b2 b4 3b2 4 = 0 b2 = 1 b2 = 4 b = 2 8.lal + 25.lbl = 8 + 50 = 58 21.15 x 2x2i + i 2xi2 (1 2x2)i + 3x 1 2x2 = 0 x2 = 1 3 x = 2 2 21.16 2m 2ni + mi n i = (2m n) + (m 2n 1) = 0 ( 2) 2m n 0 m 2n 1 · 3n = 2 n = 2 3 m = 2 3 = 1 3