CE219 - Controle Estatístico de Qualidade

33 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Texto

(1)

CE219 - Controle Estatístico de Qualidade

Cesar Augusto Taconeli

(2)
(3)

Introdução

Na literatura de CEQ, é usual distinguir as características da qualidade em duas categorias:

* Variáveis: Compreendem as características numéricas, usualmente correspondente a medidas. Ex: Resistência de placas de alumínio; Quantidade de café em embalagens; Diâmetros de anéis de pistão. . . * Atributos: Compreendem as características resultantes de contagens

ou de alguma classificação dos itens produzidos. Ex: Proporção de clientes insatisfeitos com um produto (ou serviço); número de não conformidades por m2 de tecido.

(4)

processo consiste na utilização de dois gráficos de controle: um para a média e outro para a dispersão.

O monitoramento da média é realizado com base nas médias de amostras (¯x ) extraídas periodicamente do processo;

(5)

Introdução

Já definimos, anteriormente, o gráfico de controle ¯x de Shewart para a

média com limites três sigma na forma:

LSC = µ0+ 3 σ0 √ n LC = µ0 LIC = µ0− 3 σ0 √ n. (1)

Na prática, em geral µ0 e σ0 são desconhecidos, devendo ser estimados.

A estimação dos parâmetros do processo baseia-se nos resultados de m amostras preliminares, extraídas do processo no cenário de controle estatístico (fase I).

(6)

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Estatística 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 LIC LC LSC Fase I Fase II

(7)

Gráficos de controle ¯

x e R

Considere m amostras produzidas na fase I de um gráfico de controle.

* Sejam ¯x1, ¯x2, ..., ¯xm as m médias amostrais e R1, R2, ..., Rm as amplitudes amostrais:

R(x1, x2, ..., xn) = max {x 1, x 2, ..., xn} − min{x 1, x 2, ..., xn}.

As estimativas de µ0 e σ0 baseiam-se em:

¯ ¯ x = x¯1+ ¯x2+ ... + ¯xm m e ¯ R = R1+ R2+ ... + Rm m . (2)

(8)

Tabela 1: Estrutura padrão dos dados para a fase 1 de gráficos de controle ¯x e R Amostra Observações x¯ R 1 x11 x12 . . . x1n ¯x1 R1 2 x21 x12 . . . x2n ¯x2 R2 .. . ... ... ... ... ... ... m xm1 xm2 . . . xmn ¯xm Rm

(9)

Gráficos de controle ¯

x e R

Os gráficos de controle ¯x e R baseiam-se na distribuição da amplitude

relativa:

W = R

σ (3)

A média e o desvio padrão de W são denotados, respectivamente, por:

E (W ) = d2 ; Var (W ) = d3, (4)

em que d2 e d3 são funções, exclusivamente, de n.

Um estimador não viciado de σ, baseado nas amplitudes amostrais e na distribuição da amplitude relativa, fica dado por:

ˆ

σ = R¯ d2

(10)

O gráfico de controle ¯x , usando ¯¯x e R LSC = ¯x + 3¯ R¯ d2 √ n LC = ¯x¯ LIC = ¯x − 3¯ R¯ d2 √ n. (6)

(11)

Gráficos de controle ¯

x e R

Para monitorar a dispersão do processo, usaremos o gráfico R. Para isso, precisamos de uma estimativa de σR.

Supondo normalidade para a característica da qualidade, ˆσR pode ser determinado com base na distribuição da amplitude relativa, por:

ˆ

σR = d3

R d2

(12)

O gráfico de controle R, para monitorar a dispersão do processo, fica estabelecido por: LSC = ¯R + 3d3 ¯ R d2 LC = ¯R LIC = ¯R − 3d3 ¯ R d2 . (8)

(13)

Gráficos de controle ¯

x e s

Embora os gráficos de controle ¯x e R sejam bastante simples, usar as

amplitudes amostrais para estimar σ é uma alternativa pouco eficiente, sobretudo para tamanhos de amostras moderados ou grandes.

Usar os desvios padrões amostrais é uma alternativa mais eficiente, permitindo lidar, ainda, com amostras de tamanhos variáveis.

As etapas para construção dos gráficos de controle ¯x e s são

(14)

variância amostral, definida por: s2 = 1 n − 1 n X i =1 (xi− ¯x )2. (9) No entanto, s =

s2 não é um estimador não viciado de σ, o desvio padrão populacional.

(15)

Gráficos de controle ¯

x e s

Assim, s/c4 é um estimador não viciado de σ. Se dispomos de

s1, s2, ..., sm, desvios padrões de m amostras aleatórias do processo sob controle, um estimador não viciado de σ é dado por:

ˆ

σ = ¯s c4

. (10)

Baseado nesse estimador, o gráfico de controle ¯x tem limites:

LSC = ¯x + 3¯ ¯s c4 √ n LC = ¯x¯ LIC = ¯x − 3¯ ¯s c4 √ n . (11)

(16)

O gráfico de controle s requer o desvio padrão desse estimador que, sob normalidade da característica da qualidade monitorada, é dado por

σq1 − c2 4.

Os limites de controle para o gráfico s ficam, portanto, dados por:

LSC = ¯s + 3¯s c4 q 1 − c42 LC = ¯s LIC = ¯s − 3¯s q 1 − c2 . (12)

(17)

Gráficos de controle ¯

x e s com tamanhos de

amostra variáveis

Diferentes motivos podem ser responsáveis por amostras de tamanhos variáveis em gráficos de controle, dentre os quais:

Produção irregular ou disponibilidade variável de itens para amostragem;

Perda de dados amostrais;

A tomada de amostras de diferentes tamanhos pode ter sido planejada (planos de amostragem adaptativa), dentre outros.

(18)

Uma abordagem para gráficos de controle ¯x e s com tamanhos de

amostras variáveis baseia-se no cálculo de ¯¯x e ¯s ponderando pelos

respectivos tamanhos de amostras:

¯ ¯ x = Pm i =1nix¯i Pm i =1ni ; ¯s = " Pm i =1(ni − 1) si2 Pm i =1ni− m #1/2 , (13)

(19)

Gráficos de controle ¯

x e s com tamanhos de

amostra variáveis

Os limites de controle para os gráficos ¯x e s com tamanhos de

amostras variáveis não são definidos unicamente (tem-se um par de limites para cada diferente tamanho de amostra);

No caso do gráfico ¯x , temos:

LSC = ¯x + 3¯ ¯s c4ini LC = ¯x¯ LIC = ¯x − 3¯ ¯s c4ini , . (14)

em que ni é o tamanho de amostra e c4i a correspondente constante corretora de viés. para i = 1, 2, ..., m.

(20)

Já para o caso do gráfico s, temos: LSC = ¯s + 3 ¯s c4i q 1 − c2 4i LC = ¯s LIC = ¯s − 3 ¯s c4i q 1 − c4i2 . (15)

(21)

Gráficos de controle de Shewart para medidas

individuais

Diversos motivos podem conduzir ao monitoramento de processos com base em amostras unitárias, dentre os quais:

Possibilidade de medir todos os itens produzidos, não havendo motivos para compor amostras não unitárias;

Produção muito lenta, inviabilizando a formação de subgrupos racionais;

Várias medidas são tomadas em uma mesma unidade de produto;

Medidas individuais são comuns em processos não industriais, como nas áreas de serviços e negócios, em situações em que a formação de subgrupos é inviável.

(22)

Para a construção de gráficos de controle de Shewart para medidas individuais é usual estimar o desvio padrão com base nas amplitudes móveis (move ranges):

MRi = |xi − xi −1| , i = 2, 3, ..., m. (16)

A estratégia é utilizar as diferenças de observações consecutivas como “amplitudes amostrais”, para fins de estimação do desvio padrão do

(23)

Gráficos de controle de Shewart para medidas

individuais

O gráfico de controle para medidas individuais tem limites dados por:

LSC = ¯x + 3MR¯ d2 LC = ¯x LIC = ¯x − 3MR¯ d2 . (17)

Gráficos de controle para as amplitudes móveis podem ser obtidos simplesmente se adaptando o gráfico de controle R, apresentado anteriormente.

(24)

individuais:

Por não se trabalhar com médias de amostras, mas sim com medidas individuais, a hipótese de distribuição normal para a característica analisada é fundamental;

Amplitudes móveis são correlacionadas, o que, por si só, pode produzir padrões não aleatórios em gráficos de controle;

Os gráficos de controle de Shewart para medidas individuais são pouco sensíveis a pequenas alterações nos parâmetros dos processos (veremos

(25)

Gráficos de controle e a suposição de normalidade

Gráficos de controle de Shewart são relativamente robustos à não normalidade da característica da qualidade sob estudo (os gráficos R e

s são menos robustos do que os gráficos ¯x ).

Em geral, os casos em que os gráficos são mais afetados pela não normalidade da variável envolve distribuições acentuadamente assimétricas.

Em tais situações, os reais riscos de decisão (dos tipos I e II) podem ser bastante diferentes daqueles obtidos considerando normalidade.

(26)

recomendável quando se trabalha com amostras pequenas (eventualmente unitárias);

Dentre os métodos para avaliação de normalidade, destacam-se:

Histograma com sobreposição da curva da distribuição normal com parâmetros estimados;

(27)

Gráfico de probabilidades Normal

O gráfico de probabilidades Normal é um método gráfico para

investigar se os dados que dispomos de fato foram produzidos por uma distribuição Normal.

O método consiste, basicamente, na plotagem, em um gráfico de duas dimensões, dos quantis amostrais vs os correspondentes quantis teóricos da distribuição Normal.

Método gráfico semelhante ao explicado na sequência pode ser usado para outras distribuições teóricas de probabilidades.

(28)

Passo 2: Calcule os quantis da distribuição Normal padrão

correspondentes a cada observação (zj, j = 1, 2, ..., n), que satisfazem:

zj : Φ(zj) = P(Z ≤ zj) =

j − 0, 5

(29)

Gráficos de controle e a suposição de normalidade

Se a suposição de normalidade for necessária, mas não verificada, temos, como alternativas:

Usar alguma outra distribuição de referência para a estatística monitorada, se disponível;

Usar gráficos de controle não paramétricos;

Aplicar alguma transformação aos dados, buscando melhor aproximação à normalidade.

O método de Box e Cox é amplamente utilizado na determinação de uma transformação (do tipo potência) aos dados, que produza melhor aproximação à distribuição Normal.

(30)

transformação pode ser bastante útil.

O método de Box-Cox contempla as transformações do tipo potência (y= yλ), em que λ é um parâmetro a ser determinado.

A família de transformações do tipo potência proposta por Box e Cox é definida por:

(31)

Transformações - o método de Box-Cox

O valor ótimo (ou um conjunto admissível de valores) para λ é obtido com base na maximização da função de (log)verossimilhança para λ, assumindo normalidade: l (λ) = −n 2ln( n X i =1 (yi∗− ¯y∗)2) + (λ − 1)Xln(yi) (19)

A estimativa de máxima verossimilhança de λ é o valor desse parâmetro tal que l (λ) é máximo.

Um intervalo 100(1 − α)% para λ é definido pelo conjunto de valores de λ tal que:

l (ˆλ) − l (λ) ≤ 1

2χ 2

(32)

Tabela 2: Transformações de Box-Cox λ Transformação -2 Inversa quadrática -1 Inversa 0 Logarítmica 1/2 Raiz quadrada 1 Não transformada

(33)

Transformações - o método de Box-Cox

Uma vez encontrada uma transformação apropriada aos dados, toda a análise (estimação dos parâmetros, determinação dos limites de controle, monitoramento. . . ) deve ser conduzida com base nos dados transformados.

Imagem

Referências

temas relacionados :