Modelo de identificação de dano estrutural baseado na variação das características modais de uma estrutura

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Modelo de identificação de dano estrutural baseado na variação das caracter´ısticas modais de uma estrutura

Fl´avio de Souza Barbosa flavio@numec.ufjf.br

NUMEC - N´ucleo de Pesquisa em M´etodos Computacionais em Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora

Juiz de Fora - MG - Brasil

Carlos Cristiano Hasenclever Borges cchb@lncc.br

Laboratório Nacional de Computação Cient´ıfica Petrópolis - RJ - Brasil

Alexandre Abrah˜ao Cury acury@numec.ufjf.br

NUMEC - N´ucleo de Pesquisa em M´etodos Computacionais em Engenharia Universidade Federal de Juiz de Fora

Juiz de Fora - MG - Brasil Resumo.

Sistemas estruturais estão sujeitos a um processo de deterioração que se dá por combinação de falhas de projeto, cargas não esperadas, problemas construtivos ou degradação gradual e natural ao longo da vida útil da estrutura. Este processo de deterioração gera regiões danifi-cadas cujas principais caracter´ısticas são perdas localizadas na rigidez da estrutura.

A avaliação destas perdas localizadas de rigidez pode ser realizada através da análise da evolução das freqüências naturais e modos de vibração da estrutura, conforme se observa em diversas publicações que abordam este tema.

Inicialmente, este trabalho analisa a sensibilidade das caracter´ısticas vibracionais de uma estrutura em relação à variação geométrica e quantitativa de danos, através de simulações computacionais via Método dos Elementos Finitos (MEF). Avalia-se o efeito da localização e magnitude de danos na variação das freqüências naturais de uma estrutura, obtendo-se um per-fil da sensibilidade de dados vibracionais. Em uma segunda etapa, verificam-se a eficiência e a robustez de uma técnica de detecção de danos em estruturas baseada na energia de deformação

à flexão dos modos próprios de vibração através de experimentos numéricos. Palavras-chave: Identificação de Danos, Análise Dinâmica, Simulação Numérica

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1. INTRODUC¸ ˜AO

Sistemas estruturais estão sujeitos a um processo de deterioração que se dá por combinação de falhas de projeto, problemas construtivos ou degradação gradual e natural ao longo da vida útil da estrutura. Este processo de deterioração gera regiões danificadas cujas principais carac-ter´ısticas são as perdas localizadas na rigidez da estrutura.

Obviamente, estruturas deterioradas têm um impacto econômico e social significativo, pois podem representar a interdição de uma ponte ou a interrupção do funcionamento de uma plataforma de exploração de petróleo, dentre outros problemas. Por estes motivos, a detecção de danos em sistemas estruturais tornou-se um desafio, através do qual se procura estabelecer técnicas experimentais e anal´ıticas mais adequadas e precisas para uma melhor avaliação do estado de conservação estrutural.

Por não afetarem estruturalmente as construções, os processos não-destrutivos estão sendo desenvolvidos e ganhando cada vez mais confiabilidade com os resultados alcançados, desta-cando-se aqui os métodos de detecção de danos através de análise dinâmica estrutural (Doebling et al, 1996).

A avaliação de dano em estruturas por meio de dados vibracionais medidos tem recebido considerável atenção devido as suas aplicações práticas (Doebling et al, 1996) e (Barbosa et al, 2001). O problema envolve a detecção e localização de danos, a determinação do n´ıvel de dano em um local determinado previamente ou, de uma forma mais completa, a localização e avaliação do n´ıvel de dano presente em uma determinada estrutura.

Inicialmente, este trabalho analisa a sensibilidade das caracter´ısticas vibracionais de uma estrutura em relação à variação geométrica e quantitativa de danos, através de simulações com-putacionais via Método dos Elementos Finitos (MEF). Avalia-se o efeito da localização e mag-nitude de danos na variação das freqüências naturais de uma estrutura, obtendo-se um perfil da sensibilidade de dados vibracionais. Em uma segunda etapa, verificam-se a eficiência e a robustez de uma técnica de detecção de danos em estruturas baseada na energia de deformação à flexão dos modos próprios de vibração através de experimentos numéricos.

2. METODOLOGIA

2.1 Modelagem computacional

Analisa-se neste trabalho uma viga bi-apoiada que tem seu comportamento dinâmico avali-ado numericamente utilizando o MEF aplicavali-ado a uma discretização por elementos de pórtico plano.

O(s) dano(s) foi(ram) introduzido(s) na modelagem através de redução do módulo de elas-ticidade do material constituinte do(s) elemento(s) considerado(s) danificado(s).

O estudo do efeito do dano é realizado de duas formas, caracterizando as duas etapas do trabalho: pela análise direta da evolução das freqüências naturais da estrutura discretizada e pela aplicação do Método do Indicador de Dano (MID) (Cornwell et al, 1999) aos modos próprios de vibração da estrutura. Estas duas análises são abordadas nas seções que seguem.

2.2 Influência dos danos na evolução das freq üências naturais de uma estrutura

As propriedades dinâmicas inerentes aos sistemas estruturais sem amortecimento, a saber, as freqüências naturais e modos de vibração, ficam definidas pelo problema de autovalor (Zienkiewicz et al, 2000) e (Clough et al, 1993) descrito pela equação a seguir.

(K − w2

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onde _{K é a matriz de rigidez da estrutura; M é a matriz de massa da estrutura; w}i são as

freqüências naturais em (rad/s) associadas aos modos de vibraçãoφien é o número de modos

considerados na an´alise da estrutura.

Assumindo-se que a introdução de danos na modelagem (ver seção 2.1) afeta diretamente a matriz de rigidez da estrutura sem alterar a matriz de massa do sistema, a variação nos dados vibracionais pode, então, servir como indicativo na avaliação da variação da rigidez estrutural causada por um processo de danificação.

Por meio de um procedimento sistemático, avalia-se a variação nas freqüências naturais de uma estrutura danificada em relação à posição e ao n´ıvel da ocorrência do dano numa estru-tura. Inicialmente, avalia-se a influência da posição do dano mantendo-se o n´ıvel constante e, posteriormente, faz-se a análise da influência no grau de danificação, mantendo-se constante a posição onde ocorre o dano. Com isso, tem-se um perfil da sensibilidade de dados vibracionais em relação tanto à localização, quanto ao n´ıvel de dano de uma estrutura, o que permitirá uma melhor análise de técnicas de avaliação de dano baseadas em dados vibracionais.

2.3 M´etodo do Indicador de Dano - MID - para vigas

Este método já foi utilizado no campo da Engenharia (Cornwell et al, 1999), (Alvandi et al, 2002) e da biomecânica (Vilela et al, 2003) e é aplicado aos resultados obtidos de uma identificação modal, quer seja de uma modelagem via MEF, quer seja de valores extra´ıdos de medições. É baseado na análise da variação da energia de deformação à flexão dos modos próprios da estrutura antes e após alguma variação de rigidez de algum elemento estrutural. Normalmente, estas variações de rigidez advêm do o sugimento de danos e/ou fissuras.

Para uma viga de comportamento el´astico tem-se: U = 1 2 Z L 0 EI(x)µ ∂ 2 v ∂x2 ¶2 dx (2)

ondeU é a energia de deformação, EI(x) a rigidez a flexão, L o comprimento e v o desloca-mento transversal da viga. Considerando-se oi-ésimo modo próprio de vibração da estrutura, a energia de deformação associada se escreve:

Ui = 1 2 Z L 0 EI(x)µ ∂ 2 φi ∂x2 ¶2 dx (3)

A energia de deformac¸˜ao para um elementoj de uma viga discretizada se escreve tornando-se a integral descrita na Eq.(3) no dom´ınio do elemento:

Uij = 1 2 Z aj+1 aj EI(x)µ ∂ 2 φi ∂x2 ¶2 dx (4)

ondeajeaj+1são os limites do elementoj. Definindo-se a fração entre a energia de deformação

da viga e a energia de deformac¸˜ao do elementoj, escreve-se:

Fij = Uij Ui (5) sendo ne X i=1 Fij = 1 (6)

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onden ´e o n´umero de modos utilizados.

As express˜oes podem ser escritas de forma an´aloga para o caso de uma viga danificada: F∗ ij = U∗ ij U∗ i (7) U∗ i = 1 2 Z L 0 EI∗_(x)µ ∂ 2 φ∗ i ∂x2 ¶2 dx (8) U∗ ij = 1 2 Z aj+1 aj EI∗_(x)µ ∂ 2 φ∗ i ∂x2 ¶2 dx (9)

onde o sobrescrito (∗_{) denota o caso danificado.}

Para casos de pequenos danos a aproximac¸˜ao de primeira ordem fornece: F∗

ij = Fij+termos de ordem superior (10)

Obt´em-se ent˜ao, dividindo-seF∗

ij porFij e desprezando os termos de ordem superior:

1 = U ∗ ij/Ui∗ Uij/Ui = Raj+1 aj EI ∗ j(x) ³_∂2_φ∗ i ∂x2 ´ dx/RL 0 EI ∗_(x)³∂2φ∗i ∂x2 ´ dx Raj+1 aj EIj(x) ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx/RL 0 EI(x) ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx (11)

Utilizando-se o teorema do valor médio generalizado para uma função f cont´ınua e uma funçãog não negativa e integrável, tem-se:

∃_{x ∈ [a, b] /}_ˆ Z b a f (x)g(x)dx = f (ˆx) Z b a g(x)dx (12)

Aplicando este teorema na Eq. (11) tem-se:

1 = U ∗ ij/Ui∗ Uij/Ui = ˆ EI∗ j Raj+1 aj ³_∂2_φ∗ i ∂x2 ´ dx/ ˆEI∗RL 0 ³_∂2_φ∗ i ∂x2 ´ dx ˆ EIj Raj+1 aj ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx/ ˆEIRL 0 ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx (13)

Considerando-se um dano pequeno e localizado, pode-se simplificar a Eq. (13) por: ˆ EIj ˆ EI∗ j = Raj+1 aj ³_∂2_φ∗ i ∂x2 ´ dx/ RL 0 ³_∂2_φ∗ i ∂x2 ´ dx Raj+1 aj ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx/ RL 0 ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx (14)

Considerando-se o valor médio para o número de modos naturais utilizados obtém-se:

βj = ˆ EIj ˆ EI∗ j = 1 n n X i=1 Raj+1 aj ³_∂2_φ∗ i ∂x2 ´ dx/ RL 0 ³_∂2_φ∗ i ∂x2 ´ dx Raj+1 aj ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx/ RL 0 ³ ∂2_φ i ∂x2 ´ dx (15)

ondeβj ´e o indicador de dano do elementoj. Para se dar um tratamento estat´ıstico aos valores

obtidos paraβ, pode-se definir a vari´avel Zj como sendo:

Zj =

βj−β

σβ

(16) ondeβ e σβ são, respectivamente, o valor-médio e o desvio-padrão deβ.

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3. APLICAC¸ ˜AO

A aplicação da metodologia apresentada demanda a implementação computacional de 2 (dois) programas:

• din2004.m - programa desenvolvido para an´alise modal de p´ortico plano;

• dano.m - implementação computacional das Eq. (15) e Eq. (16) (equações do MID). Ambos os programas foram desenvolvidos em ambiente MATLAB.

O programa “din2004.m” fornecerá os dados necessários para a primeira parte do trabalho, em que se estuda a sensibilidade das caracter´ısticas modais frente ao efeito do dano, bem como servirá de suporte na determinação das formas modais utilizadas como dados de entrada do programa dano.m.

Conforme j´a ressaltado na metodologia, analisa-se neste trabalho uma viga bi-apoiada dis-cretizada em elementos de p´ortico plano mostrada na Fig. 1.

PONTOS NODAIS

0.5m

12 m

ELEMENTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Figura 1: Viga bi-apoiada discretizada em elementos de p´ortico plano

A Figura 2 mostra as caracter´ısticas geométricas da seção transversal bem como as carac-ter´ısticas f´ısicas do material que constitui a viga.

Perfil I 15" x 63,3

Módulo de Elasticidade = 210 GPa Área da Seção Transversal = 80,6 cm² Momento de Inércia = 18580 cm Massa Específica = 7850 kg/m³ d = 38,10 cm b = 14,00 cm t = 1,58 cm t = 1,04 cm 4 f w f

t

f

d

b

_f

t

_w

t

_f

Figura 2: Caracter´ısticas geométricas da seção transversal da viga

As freqüências naturais obtidas para a viga analisada através da Eq. (1) variam a medida em que se modifica o elemento danificado na modelagem computacional. Para um dano provocado de 2,5% (redução de 2,5% do módulo de elasticidade do material constituinte do elemento danificado), pode-se construir o gráfico mostrado na Fig. 3, no qual no eixo horizontal tem-se o elemento onde foi provocado o dano e no eixo vertical tem-se a razão entre a freqüência natural obtida para a estrutura danificada (W di) e a freqüência natural para a estrutura sã -Wi - (sem

elementos danificados). Este procedimento foi aplicado às 3 primeiras freqüências naturais da viga, resultando nas 3 séries mostradas na Fig. 3. Em função da simetria do problema, apresentam-se os resultados apenas para a metade da viga.

A partir destas análises preliminares é poss´ıvel avaliar quais as regiões mais sens´ıveis à presença de danos e quais as freqüências naturais mais afetadas. Neste caso fica claro que o dano no elemento 12 influencia de forma mais efetiva à primeira e à terceira freqüências naturais. Identifica-se também que a segunda freqüência natural é a mais influenciada pela presença de dano nos elementos 6 e 7.

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0 2 4 6 8 10 12 0.9988 0.999 0.9992 0.9994 0.9996 0.9998 1 Elementos Wdi / Wi Freqüência 1 Freqüência 2 Freqüência 3

Figura 3: Relação entre as freqüências danificadas e naturais da viga

Sabendo-se que os elementos 1 e 12 são, respectivamente, aqueles que mais e menos influ-enciam a primeira freqüência natural da viga, faz-se agora uma análise quantitativa, variando-se o n´ıvel de dano para estes elementos. Na Figura 4 tem-se a evolução da primeira freqüência na-tural da viga a medida em que o dano nos elementos1 (Fig. 4a) e 12 (Fig. 4b) variam entre zero (estrutura sã) e 5%. A Figura 4c mostra os gráficos da Fig. 4a e Fig. 4b juntos. Estas figuras deixam claro que as freqüências naturais da estrutura variam relativamente pouco quando se au-menta o n´ıvel de danos provocados, o que pode dificultar uma relação direta com as freqüências naturais, sobretudo para o caso de dados vibracionais extra´ıdos de análises experimentais, no qual pequenas variações de freqüências podem ser atribu´ıdas a problemas inerentes às medições. Curvas análogas às da Fig. 4 podem ser obtidas para as demais freqüências naturais.

Uma vez obtido o perfil de sensibilidade das caracter´ısticas modais da estrutura analisada frente ao efeito do dano, passa-se, agora, para uma an´alise via MID.

O MID foi aplicado à viga mostrada na Fig. 1, inicialmente, em 3 situações distintas: • Estrutura com dano de 2,5% no elemento 1;

• Estrutura com dano de 2,5% no elemento 12; • Estrutura com dano de 2,5% nos elementos 1 e 12.

Utilizando-se apenas os resultados obtidos para o primeiro modo de vibração (obtido com maior exatidão), apresenta-se o gráfico da Fig. 5, no qual se observa que o MID detectou todos os elementos onde foram provocados os danos, mesmo o elemento 1, verificado como sendo aquele que menos influencia na variação da primeira freqüência natural quando o mesmo está submetido a dano.

Aplicando-se o MID ao modelo da Fig. 1 e variando-se o n´ıvel de dano entre 0 e 5% no elemento 1 (Fig. 6a), no qual se tem a menor sensibilidade para a primeira freqüência natural, obteve-se valores deβ crescentes com o n´ıvel de dano no elemento. A mesma análise foi feita com o elemento 12 (mais sens´ıvel para a primeira freqüência natural), obtendo-se o gráfico da Fig. 6b, em que também se obteve uma relação linear entre o dano provocado e a amplitude de β.

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0 1 2 3 4 5 53.8222 53.8223 53.8224 53.8225 53.8226 53.8227 53.8228 53.8229 53.823 Progressão do Dano (%) Freqüência (rad/s)

(a) Dano no elemento 1

0 1 2 3 4 5 53.7 53.72 53.74 53.76 53.78 53.8 53.82 53.84 Progressão do Dano (%) Freqüência (rad/s) (b) Dano no elemento 12 0 1 2 3 4 5 53.7 53.72 53.74 53.76 53.78 53.8 53.82 53.84 Progressão do Dano (%) Freqüência (rad/s) Elemento 12 Elemento 1

(c) Dano nos elementos 1 e 12

Figura 4: Variação da 1afreqüência natural devido à progressão de danos nos elementos 1 e 12

0 5 10 15 20 25 −1 0 1 2 3 4 5 Elementos Z Dano em 1 Dano em 12 Dano em 1 e 12

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Estas análises mostram que os valores de β obtidos no MID podem se relacionar direta-mente não só com a posição do dano, como também com seu grau de intensidade.

Finalizando as análises via MID, faz-se mais três testes buscando verificar a robustez do método:

• Viga com dano de 0,5% nos elementos 2, 7, 11, 15, 19 e 23 (Fig. 7a). O resultado obtido para Z (Eq.16) nesta an´alise ´e mostrado na Fig. 7b;

• Viga com dano de 0,5% nos elementos 9 e 23 e com dano de 1,0% nos elementos 2 e 16 (Fig. 8a). O resultado obtido para Z (Eq.16) nesta an´alise ´e mostrado na Fig. 8b;

• Viga com dano de 0,5% nos elementos 2, 3, 4, 11, 12, 13, 21, 22 e 23 (Fig. 9a). O resultado obtido para Z (Eq.16) nesta an´alise ´e mostrado na Fig. 9b;

De uma forma geral, observa-se nestes testes que o MID não só localizou os elementos danificados, como também obteve valores de Z (Eq.16) proporcionais ao n´ıvel de dano provo-cado. 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 Progressão do Dano (%) β

(a) Progress˜ao do dano no elemento 1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 1 1.005 1.01 1.015 1.02 1.025 Progressão do Dano (%) β

(b) Progress˜ao do dano no elemento 12

Figura 6: Progress˜ao do dano nos elementos 1 e 12

4. CONCLUS ˜OES

A análise sistemática indicou que a mudança dos valores dos dados vibracionais está rela-cionada com a localização de ocorrência do dano na estrutura. Conjuntamente, para os n´ıveis de dano analisados, a análise direta da variação dos dados vibracionais pode ser pouco relevante, dificultando a avaliação do dano estrutural.

Testes foram feitos em um modelo de detecção de dano que se baseou na análise da variação da energia de deformação de flexão do primeiro modo de vibração da estrutura sem dano e danificada. O método mostrou-se bastante robusto, obtendo a localização e uma idéia da quantificação do dano estrutural em qualquer parte da estrutura, mesmo em regiões que pouco afetam as caracter´ısticas modais.

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2 7 11 15 19 23

(a) Croquis da viga

0 5 10 15 20 25 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Elementos Z (b) Representac¸˜ao do dano

Figura 7: Aplicac¸˜ao de dano de 0,5% nos elementos 2, 7, 11, 15, 19 e 23 da viga

2 9 16 23

(a) Croquis da viga

0 5 10 15 20 25 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Elementos Z (b) Representac¸˜ao do dano

Figura 8: Aplicac¸˜ao de dano de 0,5% nos elementos 9 e 23 e 1,0% nos elementos 2 e 16 da viga

2 3 4 11 12 13 21 22 23

(a) Croquis da viga

0 5 10 15 20 25 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Elementos Z (b) Representac¸˜ao do dano

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Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tec-nológico), à FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais) e à UFJF (Universidade Federal de Juiz de Fora) pelo aux´ılio financeiro e ao LNCC (Laboratório Na-cional de Computação Cient´ıfica) pelo suporte de softwares.

REFER ˆ ENCIAS

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Clough, R.W., Penzien, J., 1993, “Dynamic of Structures”, McGraw-Hill.

Cornwell, P.J., Doebling, S.W., Farrar, C.R., 1999, “Application of the Strain Energy Damage Detection Method to Plate-Like Structures”, Journal of Sound and Vibration, vol.224, n.2, pp.359-374.

Doebling, S.W., Farrar, C.R., Prime, M.B., Shevitz, D.W., 1996, “Damage identification and health monitoring of structural and mechanical systems from changes in their vibration char-acteristics: a literature review”, Technical Report LA-1307-MS, Los Alamos National Labo-ratory, New Mexico.

Vilela J., Ribeiro H. C., Guevara-Jr. N.O., Barbosa F. S., Barra L. P. S., 2003, “Investigação do processo de ósseo-integração de implantes dentários através de respostas dinâmicas”, XXIV CILAMCE Iberian Latin American Congress on Computational Methods, Ouro Preto, MG Brasil.