Matemática A. Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 1.

Teste Intermédio de Matemática A Versão 1

Na sua folha de respostas, indique de forma legível a versão do teste.

Teste Intermédio

Matemática A

Versão 1

Duração do Teste: 90 minutos | 24.05.2012 12.º Ano de Escolaridade

Formulário

Geometria

Comprimento de um arco de circunferência:

, , â ;

r amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio

a ^a - - h

Áreas de figuras planas

Losango: Diagonal maior#₂Diagonal menor Trapézio: Base maior Base menor Altura

2 #

+

Polígono regular: Semiper metroí #Ap temaó Sector circular:

, , â ;

r _{amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio} 2 2 a _a -^ h Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: rr g r^ -raio da base g; -geratrizh Área de uma superfície esférica: 4_rr2 _]r_-raio_g

Volumes

Pirâmide: ₃1 #Área da base Altura# Cone: Área da base Altura

3 1 # # Esfera: r r raio 3 4_r 3 _{] - g} Trigonometria a b a b b a

sen] + g=sen cos +sen cos

a b a b a b

cos] + g=cos cos -sen sen a b a b a b 1 tg + = tg_{tg tg}tg -+ ] g Complexos cis n cis n t i =tn i ^ h ^ h , , cis cis n k _{k n n} 2 _{0 1 e N} n _{t i =}n _{t b}i+ r_l ] _!! _{f -} + _! g Probabilidades é , , ã , , , p x p x p x p x X N P X P X P X 0 6827 2 2 0 9545 3 3 0 9973 : Se ent o n n n n 1 1 1 1 2 2 f f 1 1 1 1 1 1 . . . n v n n n v n v n v n v n v n v n v = + + = - + + -- + - + - + ] ^ ] ] ] ] g h g g g g Regras de derivação u u u u u u sen cos cos sen tg cos ln ln log ln u v u v u v u v u v v u v u v u v u n u u n u u u u u u u e e a a a a u u u u a a 1 1 R R R n n u u u u a 2 1 2 ! ! ! + = + = + = -= = =-= = = = = -+ + l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ^ ^ ` ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ h h j h h h h h h h h h h h " " , , Limites notáveis 3 lim lim sen lim lim ln lim ln lim n e n x x x e x x x x x e _p 1 1 1 1 ₁ 1 1 0 N R n x x x x x x p x 0 0 0 ! ! + = = - ₌ + = = =+ " " " " " 3 3 + + b ^ ^ ^ l h h h

GRUPO I

•

Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.

•

Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item.

•

Não apresente cálculos, nem justificações.

•

Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Seja

a

um número real maior do que

1

e seja

b a

=

r

Qual é o valor, arredondado às unidades, de

log a

_a

^

12

×

b

100

h

?

(A)

138

(B)

326

(C)

1238

(D)

3770

2. Seja

f

uma função de domínio +, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que:

•  lim f x

x 0" +

^ h

= −

3

• 

a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de

f

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função

1

_f

?

y O x y O x (A) (B) (C) (D) y O x y O x

3. Relativamente a duas funções,

f

e

g

, sabe-se que:

• 

têm domínio

[2, 3]

• 

são funções contínuas

• 

f

^

2

h

−

g

^

2

h

>

0

e

f

^

3

h

−

g

^

3

h

<

0

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) Os gráficos de

f

e

g

intersectam-se em pelo menos um ponto. (B) A função

f

-

g

é crescente.

(C) Os gráficos de

f

e

g

não se intersectam. (D) A função

f

-

g

é decrescente.

4. Uma escola secundária tem alunos de ambos os sexos em todos os anos de escolaridade. Escolhe-se, ao acaso, um aluno dessa escola.

Sejam

A

e

B

os acontecimentos:

A:

«O aluno é do sexo feminino»

B:

«O aluno está no 12.º ano»

Qual das expressões seguintes designa o acontecimento «o aluno é do sexo masculino e não está no 12.º ano»?

(A)

A B

+

(B)

A B

+

(C)

A B

,

(D)

A B

,

5. Na Figura 1, está representado, no plano complexo, o triângulo equilátero

[OPQ ]

de altura

3

Tal como a figura sugere, o vértice

O

coincide com a origem do referencial, o vértice

P

pertence ao eixo imaginário e o vértice

Q

pertence ao 3.º quadrante.

Seja

z

o número complexo cuja imagem geométrica é o ponto

Q

Qual é a representação trigonométrica do número complexo

z

? (A)

3 cis

6

7r

(B)

3 cis

3

4r

(C)

2

cis

6

7r

(D)

2

cis

3

4r

O P Q Im(z) Re(z) Figura 1

GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Seja

C

o conjunto dos números complexos;

i

designa a unidade imaginária.

Para um certo número inteiro

k

, a expressão

2

i

_{k i}

× cis

4

3

_r

+

`

j

designa um número real. Determine esse número

k

2. Uma caixa, que designaremos por caixa 1, tem uma bola branca e duas bolas pretas.

2.1. Considere a experiência que consiste em tirar, ao acaso, uma bola da caixa 1, observar a sua cor e voltar a colocar a bola na caixa. Efetua-se esta experiência cinco vezes.

Qual é a probabilidade de sair bola preta pelo menos quatro vezes?

2.2. Outra caixa, que designaremos por caixa 2, tem três bolas brancas e quatro bolas pretas.

Realiza-se a seguinte experiência: ao acaso, tiram-se duas bolas da caixa 1 e colocam-se na caixa 2; em seguida, tiram-se simultaneamente duas bolas da caixa 2.

Sejam

A

e

B

os acontecimentos:

A:

«As bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor»

B:

«As bolas retiradas da caixa 2 são da mesma cor»

Determine o valor de

P B A

^

;

h, sem utilizar a fórmula da probabilidade condicionada.

Numa pequena composição, justifique a sua resposta.

A sua composição deve contemplar:

• 

o significado de

P B A

^

;

h, no contexto da situação descrita;

• 

a explicação do conteúdo da caixa 2 após a realização do acontecimento

A

• 

a explicação do número de casos possíveis;

• 

a explicação do número de casos favoráveis;

3. Relativamente à Figura 2, sabe-se que:

• 

o segmento de reta

[AC ]

tem comprimento

4

• 

o ponto

B

é o ponto médio de

[AC ]

• 

o segmento de reta

[BD]

é perpendicular a

[AC ]

• 

o arco de circunferência

CD

tem centro em

B

Admita que um ponto

P

se desloca ao longo do arco

CD

, nunca coincidindo com

C

nem com

D

, e que um ponto

Q

se desloca ao longo do segmento de reta

[BC ]

de tal forma que

[PQ]

é sempre perpendicular a

[BC ]

Para cada posição do ponto

P

, seja

x

a amplitude, em radianos, do ângulo

CBP

e seja

A(x)

a área do triângulo

[APQ]

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

3.1. Mostre que

A x

^

h

=

2

sen

x

+

sen

^

2

x

h

_e

x

!

_E

0 2

,

r

_;

_o

3.2. Mostre que existe um valor de

x

para o qual a área do triângulo

[APQ]

é máxima.

4. De uma certa função

f

sabe-se que:

• 

o seu domínio é

@

1 3

,

+

6

• 

a sua derivada é dada por

f x

l

^

h

=

x

2

−

4

x

+

9 4

₂

−

ln

^

x

−

1

h

4.1. Na Figura 3, estão representadas:

• 

parte do gráfico da função

f

• 

a reta

r

que é tangente ao gráfico da função

f

no ponto

A

, de abcissa

2

• 

a reta

s

que é tangente ao gráfico da função

f

no ponto

B

As retas

r

e

s

são paralelas.

Seja

b

a abcissa do ponto

B

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de

b

Na sua resposta, deve:

• 

equacionar o problema;

• 

reproduzir e identificar o(s) gráfico(s) que tiver necessidade de visualizar na calculadora para resolver graficamente a equação;

• 

assinalar o ponto relevante para a resolução do problema;

• 

apresentar o valor de

b

arredondado às centésimas.

2 A B C D P Q x Figura 2 2 A B O x y 2 f b r s Figura 3

4.2. Tal como a figura sugere, o gráfico da função

f

tem um ponto de inflexão.

Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

5. Seja

f

a função de domínio

R

definida por

ln

f x

x

xe

e

_x

e

x

x

2

2

2

3

1

2

se se

<

x x 2 $

=

−

−

+

−

^

^

h

h

Z

[

\

]

]

]]

Averigue se a função

f

é contínua em

x = 2

COTAÇÕES

GRUPO I

1. ... 10 pontos 2. ... 10 pontos 3. ... 10 pontos 4. ... 10 pontos 5. ... 10 pontos 50 pontos

GRUPO II

1. ... 20 pontos 2. 2.1. ... 15 pontos 2.2. ... 15 pontos 3. 3.1. ... 20 pontos 3.2. ... 20 pontos 4. 4.1. ... 20 pontos 4.2. ... 20 pontos 5. ... 20 pontos 150 pontos TOTAL ... 200 pontos

RESOLUÇÃO

GRUPO I

1. Resposta (B)

Tem-se:

b a

=

r

+

log

_a

b

=

r

12 100

12 100

326

log

a

^

a

12

×

b

100

h

=

log

a

^

a

12

h

+

log

a

^

b

100

h

=

+

log

a

b

=

+

r

.

2. Resposta (D) Como

lim f x

x 0" +

^ h

= −

3

, tem-se

lim f x

1

₀

x 0" +

^ h

=

. Tal permite excluir as opções B e C. Como a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de

f

, tem-se que

lim f x

x"+3

^ h

= +

3

e, portanto,

lim f x

1

0

x"+3

^ h

=

. Tal permite excluir a opção A. 3. Resposta (A)

Das informações dadas no enunciado, podemos concluir, por aplicação do teorema de Bolzano, que a função

f g

-

tem pelo menos um zero em

@

2 3

,

6

. Portanto,

7 !

c

@

2 3

, :

6

f c

^

h

−

g c

^

h

=

0

, ou seja,

, :

c

2 3

f c

g c

7 !

@

6

^

h

=

^

h

, pelo que os gráficos das funções

f

e

g

se intersectam em pelo menos um ponto.

4. Resposta (D) Teste Intermédio

Matemática A

Versão 1

Duração do Teste: 90 minutos | 24.05.2012 12.º Ano de Escolaridade

Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de março

Teste Intermédio de Matemática A Versão 1

5. Resposta (C) Tem-se

z

=

OQ

Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se:

3

4

12

OQ

2

=

OQ

₂

2

+

3

2

+

OQ

2

=

OQ

₄

+

+

OQ

=

OQ

+

+

2 2 2

e

o

`

j

4

2

OQ

OQ

+

2

=

+

=

_Portanto,

z

=

2

Como o triângulo

6

OPQ

@

é equilátero, tem-se

QOP 3

t

=

r

Portanto, um argumento de

z

é

r

+

r

₆

=

7

₆

r

GRUPO II

1.

i

_{k i}

i

× cos

_{k i}

i

_{k i}

i

i

2

3

× cis

r

₄

2 2

3

r

₄

sen

r

₄

2 2

×

₂

2

₂

2

+

=

+

+

=

₊

−

+

=

`

j

c

m

e

o

k i

i i

k i

i

k i k i

i k i

k

k

i

ki

i

k

k

k i

2 2

2 2

2 2

1

2

2

2

2

1

2

2

2 2

2 2 2 2

=

− −

₊

=

−

₊

=

−

₊

₋

−

=

+

−

−

+

₌

+

− + − −

₌

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h

k

k

1

k

k i

2

2

1

2 2

2 2

=

+

− +

+

− −

Para esta expressão designar um número real,

k

2 2

2

₊

1

k

− −

_{tem de ser igual a zero, pelo que}

_k

_{= −}

₁

2.1. Seja

X

o número de vezes que, nas cinco realizações da experiência, sai bola preta. Tem-se que

X

é uma variável aleatória com distribuição binomial.

A probabilidade de sair bola preta, em cada realização da experiência, é

₃

2

×

×

P X

4

P X

4

P X

5

5

C

×

₃

2

₃

1

C

×

₃

2

1

₃

4 4 1 5 5 5 0 $

=

=

+

=

=

+

=

^

h

^

h

^

h

c

m

c

m

c

m

c

m

×

5 81

16

×

1

3

243

32

243

80

243

32

112

243

=

+

=

+

=

2.2. No contexto da situação descrita,

P B A

^

;

h é a probabilidade de as bolas retiradas da caixa 2 serem de

cores diferentes, sabendo que as bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor.

Dado que as bolas retiradas da caixa 1 são da mesma cor, elas são necessariamente pretas, pelo que a caixa 2 fica com três bolas brancas e seis bolas pretas, num total de nove bolas.

Retiramos então duas bolas dessas nove, e queremos determinar a probabilidade de elas serem de cores diferentes, ou seja, de uma ser branca e a outra ser preta.

Existem 9

C

₂ maneiras diferentes de tirar simultaneamente duas bolas, de entre nove. Por isso, o número de casos possíveis é 9

C

₂

Existem

3 × 6

maneiras diferentes de tirar simultaneamente uma bola branca e uma bola preta. Por isso, o número de casos favoráveis é

3 × 6

Assim, a probabilidade pedida é

C

3 6

2

1

×

9 2

=

3.1. Tem-se

sen x

=

PQ

_PB

=

PQ

₂

, pelo que

PQ

=

2

sen

x

Tem-se

cos x

PB

BQ

BQ

2

=

=

, pelo que

BQ

=

2cos

x

Portanto,

×

cos

_cos

A x

^

h

=

AQ PQ

×

₂

=

^

2 2

+

₂

x

h

× sen

2

x

=

^

2 2

+

x

h

sen

x

=

cos

x

x

x

x

x

2

sen

2

sen

2

sen

sen

2

=

+

=

+

^

h

3.2.

A x

l

^

h

=

8

2

sen

x

+

sen

^

2

x

h

B

l

=

2

cos

x

+

2

cos

^

2

x

h

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

A x

x

x

x

x

x

x

x

x

0

2

2

2

0

2

0

2

2

+

+

+

+

+

r

=

+

=

+

=

= −

=

−

l

^

^

^

^

^

h

h

h

h

h

Em

R

, tem-se:

cos

x

=

cos

^

r

−

2

x

h

+

x

= −

r

2

x

+

2

k

r

0

x

= − −

^

r

2

x

h

+

2

k

r

,

k

!

Z

+

,

,

x

k

x

k

k

x

k

x

k

k

3

2

2

Z

₃

2

₃

2

Z

+

= +

r

r

0

− = − +

r

r

!

+

=

r

+

r

0

= −

r

r

!

Portanto, no intervalo

_E

0 2

,

r

_;

, a equação

A x

l

^ h

=

0

tem apenas uma solução:

r

₃

Tem-se, então, o seguinte quadro:

x

0

₃

r

r

₂

Al

n.d.

+

0

-

n.d.

4.1. O declive da reta

r

é

f 2

l

^ h

O declive da reta

s

é

f b

l

^ h

Como as retas

r

e

s

são paralelas, tem-se

f b

l

^

h

=

f 2

l

^

h

Portanto, uma equação que traduz o problema é

f x

l

^

h

=

f 2

l

^

h

Tem-se

f 2

l

^ h

=

2

2

−

4 × 2

+

₂

9

−

4

ln

1

= − +

4 8

9

₂

=

1

₂

Portanto,

f x

l

^

h

=

f

l

^

2

h

+

f x

l

^

h

=

1

₂

Temos, portanto, de resolver a equação

f x

l

^ h

=

1

₂

Recorrendo à calculadora, podemos visualizar o gráfico de

f l

e a reta de equação

y 2

=

1

O _x y f ' 1 2 2 4,14

Como era de esperar,

2

é uma das soluções da equação

f x

l

^ h

=

1

₂

A outra solução é

b

Portanto,

b 4 14

.

,

4.2. Tem-se

f x

₌

x

2

₋

4

x

_{+ −}

₂

9 4

ln

x

₋

1

₌

2

x

_{− −}

4

_x

4

₁

−

ll

^

h

;

^

h

E

l

Como

x

!

@

1 3

,

+

6

, tem-se:

x

_x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x

2

4

4

₁

0

2

4

1

4 0

2

2 4

4 4 0

2

6

0

2

6

0

2

6 0

3

x x 2 2 1 0 0 pois pois

+

+

+

+

+

+

+

− −

_{− =}

−

− − =

−

−

+ − =

−

=

−

=

_-

=

=

! ! −

^

^

^

h

h

h

5. A função

f

é contínua em

x = 2

se existir

lim f x

x 2"

^ h e se esse limite for igual a

f 2

^ h

Tem-se:

•  lim

f x

lim

xe

_x

₂

2

e

y x

2

x x x 2 2 2 00

=

₋

−

=

= −

" −

^ h

" −

lim

y

2

e

_y

2

e

lim

ye

2

_y

e

2

e

y y y y y 0 2 2 0 2 2 2

=

+

−

=

+

−

=

" " + + + − −

^

h

lim

ye

2

_y

e e

1

lim

ye

_y

2

e e

_y

1

y y y y y y 0 2 2 0 2 2

=

+

−

=

+

−

=

" " + + − −

^

h

_e

^

h

_o

×

×

lim

e

2

e

lim

e

_y

1

e

2

e

1 3

e

y y y y 0 2 2 0 2 2 2

=

+

− = +

=

" " + − −

• 

lim

f x

lim

3

e

ln

x

1

3

e

ln

1 3

e

x x x 2 2 2 2

=

+

−

=

+

=

" +

^

h

" +

8

^

h

B

• 

f

_{^ h}

2

₌

3

e

2 Portanto,

f

é contínua em

x = 2