DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

F r

TRABALHO PRÁTICO Nº 1-QUÍMICA E QUÍMICA INDUSTRIAL

DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE

Objectivo - Neste trabalho pretende-se determinar o valor local da aceleração da gravidade. Para o efeito realizam-se duas experiências que reproduzem situações estudadas na disciplina de Física Geral. Uma delas baseia-se na utilização de um plano inclinado. Recorre-se a uma mesa de ar que permite trabalhar em condições de atrito desprezável. A outra baseia-se na utilização de um pêndulo gravítico simples.

1. Introdução

1.1. Corpo assente sobre um plano inclinado

Um corpo colocado (sem velocidade inicial) num plano de inclinação

θ

iniciará um movimento

de descida ao longo do plano, uma vez que sobre ele actua uma força resultante Fr. Num plano sem atrito, essa força é igual à componente do peso Pr do corpo segundo a tangente ao plano inclinado (figura 1).

Figura 1

Forças aplicadas a um corpo que desliza num plano inclinado sem atrito: peso do corpo P r

e reacção do plano

N

r

. A resultante das forças aplicadas F r

é igual à componente de P r

segundo a tangente ao plano inclinado, na ausência de atrito.

De acordo com a 2ª lei de Newton, o movimento do corpo efectua-se com uma aceleração constante ar cuja grandeza é dada por:

θ

θ

_sen m P a sen P a . m F = = _⇒ = , (1) sendo

θ

_{o ângulo de inclinação do plano e m a massa do corpo em movimento. Ora, como da}

definição de peso de um corpo de massa m se tem g m P

= , sendo g a aceleração da gravidade, então é possível, medido o valor de a, determinar o valor de g. De facto, substituindo na equação (1), tem-se:

θ

sen g

a = . ₍₂₎ Se o corpo partir do repouso (velocidade inicial nula) e os tempos forem medidos a partir do instante inicial do movimento (t0 = 0), a sua velocidade é dada por v( =t) a.t e, tomando como origem do movimento a posição inicial do corpo (x0 = 0), a lei do movimento é:

θ θ P r N r

2 . 2 1 ) (t at x = (3) Assim, efectuando muitas medidas do tempo

∆

t gasto pelo corpo para se deslocar entre o mesmo par de pontos da trajectória (à distância ∆x um do outro), poder-se-á calcular a aceleração do corpo e determinar a lei do seu movimento uniformemente acelerado: _. 2

2 1 ) (t at

x = . Por outro lado, conhecida a aceleração a, facilmente se calcula a aceleração da gravidade g (eq. 2).

1.2. Pêndulo simples

Conforme a um livro de texto recomendado para as disciplinas de Física Geral, "um pêndulo simples é constituído é constituído por um corpo de massa m, suspenso de um ponto fixo por um fio de comprimento ℓ, que se supõe inextensível e de massa desprezável" [1] (figura 2). Quando é afastado da posição de equilíbrio e liberto, o pêndulo fica a oscilar no plano vertical, em torno do ponto O de fixação do fio, apenas por acção da gravidade. Na figura 2 mostra-se que o corpo está sujeito a duas forças aplicadas no seu centro de massa: o peso Pr e a tensão do fio Tr.

Figura 2 {Reproduzida da pág. 110 da ref. [1]}

Diagrama de corpo livre do corpo suspenso. Qualquer posição D pode ser caracterizada pelo ângulo θ(t).

O corpo suspenso executa um movimento de rotação em torno de O, movimento esse cuja aceleração tem as componentes tangencial e centrípeta. A componente tangencial relaciona-se com a projecção, na direcção da tangente à trajectória, da resultante das forças aplicadas. No caso da figura 2, tem-se: 0 sin sin sin ₂ 2 2 2 2 2 = + ⇔ = − ⇔ = = −

θ

θ

θ

θ

θ

l l g dt d dt d mg dt s d m ma P _t

Para oscilações de pequena amplitude tem-se sin

θ

≈

θ

, e a última equação pode aproximar-se a:

0 2 2 = +

θ

θ

l g dt d (4) A equação (4) mostra que para pequenas oscilações o movimento do pêndulo é harmónico simples. Com base na equação genérica deste tipo de movimento, pode notar-se que: ₌

_ω

2

= k g

pelo que

l g =

ω

é a frequência angular do movimento. A relação entre esta e o período é:

T

π

ω

= 2

pelo que se tem

ω

π

2 = T , ou ainda g T =2

π

l e também l g T 2 2 ₌ 4

π

_(5).

A equação (5) mostra que, medindo o período de oscilação de um pêndulo que execute pequenas oscilações, é possível determinar o valor da aceleração da gravidade no local da experiência. Por outro lado, a equação evidencia como o período de oscilação depende do comprimento do fio.

2. Experiência I - Mesa de ar 2.1. Material e métodos

Nesta parte do trabalho vai usar uma mesa de ar, um cronómetro, uma fita métrica, cunhas de madeira e 2 discos de massa diferente.

As medidas de tempo serão efectuadas com um cronómetro manual, baseando-se a precisão das medidas, por um lado, no sentido de visão e nos reflexos do experimentador e, por outro, na precisão do próprio cronómetro.

Os objectos que deslizarão pelo plano têm a forma de discos circulares. O atrito entre o disco e o plano inclinado é eliminado pela criação de uma camada de ar entre as duas superfícies. O ar é forçado a sair através de pequenos orifícios existentes no tampo da mesa em intervalos regulares, sendo o peso do disco suportado pela pressão do ar.

2.2. Execução experimental

1. Dê à mesa uma inclinação da ordem de 6º, a qual deverá confirmar por medições que registará na folha de dados. Tome nota do valor exacto do ângulo. Meça também a distância entre a primeira marca e o fundo da mesa e registe-a na folha de dados. Registe a imprecisão desta última medida 2. Antes de ligar o compressor de ar, comece por verificar que o atrito entre os discos e a superfície

da mesa de ar é suficiente para não permitir o movimento de queda sem velocidade inicial. Ligue o compressor de ar e verifique que os discos que tinha sobre a mesa se movimentaram, descendo pelo plano inclinado. Segurando um disco em cima da mesa, verifique a existência de uma camada de ar que elimina o atrito anteriormente existente.

3. Escolha o disco mais leve e largue-o da primeira marca da mesa tentando não imprimir qualquer velocidade inicial. Nesse mesmo instante comece a contagem com o cronómetro. Quando o disco chegar à última marca pare o cronómetro e registe a leitura do tempo.

4. Repita a medida descrita no ponto anterior até obter 200 resultados. Registe cada um dos valores na tabela de registo de dados. Recomenda-se, para tornar a experiência mais realista, que os dados não sejam seleccionados; rejeite apenas as medidas em que considere ter havido desvio da trajectória pretendida ou erro de funcionamento do cronómetro. Não deverão ser feitas tentativas no sentido de “melhorar” os resultados, para não viciar o processo.

2.3. Tratamento dos dados

1. Consulte a referência bibliográfica [4], secções 5.2.2 e 5.2.3 e calcule o valor médio de t (

t

) e o

erro associado a

t

(

σ

_t), ou seja, obtenha

t

t±

σ

.

2. Faça agora outro tipo de tratamento dos mesmos dados experimentais. À semelhança do que vem descrito na secção 5.2.1 da mesma referência bibliográfica, faça a representação gráfica dos dados obtidos por meio de um histograma. Para o efeito represente o número de medidas em cada intervalo de tempo em função do respectivo intervalo, como se exemplifica na figura 3. Pode usar papel milimétrico, ou fazer uma representação gráfica a partir de programa de cálculo.

Figura 3. Exemplo da determinação do

tempo mais provável de queda < t > e respectivo erro σ a partir de um histograma. 1.04 1.08 1.12 1.16 1.20 1.24 1.28 0 10 20 30 40 50 60 70 < t >=1.15s 2σ _{= 0.115s}

N

ú

m

e

ro

d

e

c

o

n

ta

g

e

n

s

Tempo de queda (s)

3. Trace a linha envolvente do histograma. Deverá obter uma curva semelhante à curva simétrica típica de uma distribuição de Gauss, cujo ponto médio, designado por “valor mais provável” de t ( 〉〈t ), deve estar próximo do valor médio calculado no ponto 1. Determine a largura a meia-altura (2

σ

〈t〉) dessa curva envolvente. Tome metade dessa largura (

σ

〈t〉) como valor do erro em

〉

〈t , obtendo assim _〈〉± _〈〉 t

t

σ

. Este procedimento encontra-se ilustrado na figura 3.

4. Compare os intervalos de valores obtidos nos pontos 1 (t±

σ

_t) e 3 (

〉 〈

± 〉

〈t

σ

_t ).Qual dos dois

tratamentos é mais adequado aos dados obtidos? Comente e indique, justificando, o melhor valor para t que utilizará nos cálculos seguintes.

5. Usando a equação (3), determine o valor de a e respectivo erro, a

±

σ

_a (consulte a secção 6 da

ref. bibliográfica [4]). Tenha presente que x(t) é a distância entre a primeira e a última marca da mesa e use o melhor valor de t do ponto anterior.

6. Recorrendo à equação (2), calcule o valor da aceleração da gravidade e respectivo erro, g

±

σ

_g.

3. Experiência 2 - Pêndulo simples 3.1. Material e métodos

Nesta parte do trabalho vai usar um pêndulo simples, um cronómetro e uma fita métrica. Note que o pêndulo é formado por uma massa suspensa de um fio, cujo comprimento livre pode ser ajustado através de um sistema deslocável.

Para calcular a aceleração da gravidade, vai-se relacionar o comprimento ℓ do pêndulo com o período de oscilação - T. A fim de minimizar os erros experimentais vão efectuar-se várias medidas.

3.2. Execução experimental

1. A aplicação da teoria exposta no § 1.2 considera que o comprimento do pêndulo deve incluir, além do comprimento do fio, a distância ao centro de massa da massa suspensa. É a situação esquematizada na figura 3. Comece por medir a distância rmassa e anote-a na folha de registo de dados. Esse valor tem de ser adicionado a cada comprimento Lfio para obtenção do comprimento do pêndulo - ℓ.

2. A realização da experiência consiste no registo, com o cronómetro, do período de oscilação do pêndulo, para diferentes comprimentos do fio.

Comece por medir o comprimento livre do fio e anote-o na folha de registo de dados. De seguida desloque a massa suspensa de um pequeno ângulo relativamente à vertical e liberte-a, deixando-a oscilar. Com o cronómetro registe o tempo de oscilação que a massa demora a ir 10 vezes a uma posição extrema (10 períodos). Registe os valores na tabela da folha de dados.

3. Repita o procedimento anterior para mais 4 valores decrescentes de comprimento do fio. Use o sistema deslocável sobre o suporte vertical para ajustar cada um desses comprimentos livres do fio.

3.3. Tratamento dos dados

1. Calcule os valores de (<T>)2 para cada uma das linhas da tabela de registo de valores e cálculos intermédios. Calcule também os valores de ℓ para a mesma tabela. 2. Note que a representação gráfica da equação (5) l

g T

2

2 ₌ 4

π

_{se deve traduzir por uma recta, cujo}

declive é proporcional ao inverso da aceleração da gravidade. Use a folha de cálculo Excel para efectuar os cálculos que conduzem ao valor de g. Represente em gráfico T2 como função de ℓ. Inclua este gráfico em anexo ao seu relatório.

Figura 3. O comprimento do

pêndulo é a soma do comprimento do fio de suspensão com a posição do centro de massa.

4. Relatório

Elabore um relatório do trabalho efectuado, seguindo as directivas que lhe foram propostas. No ponto de análise dos resultados obtidos deve começar por apresentar os valores medidos de g em cada uma das experiências. De seguida, compare esses valores com o valor esperado, de g = 9,8 m.s2*. As possíveis diferenças são devidas a erros experimentais que advêem, para lá do experimentador (!), da dificuldade de se reproduzirem em Laboratório as condições ideais. Procure identificar esses erros em cada uma das duas experiências.

Bibliografia

[1] M.M.R.R. Costa e M.J.B.M. de Almeida, Fundamentos de Física, 2ª edição, Coimbra, Livraria Almedina (2004).

[2] Paul Tipler, Física, Editora Guanabara-Koogan, 4ª Edição (2000). [3] M. Alonso e E. Finn, Física, Addison-Wesley Iberoamericana (1999)

[4] Introdução à análise de dados nas medidas de grandezas físicas, Coimbra, Departamento de Física da Universidade (2005/06).

[5] M.C. Abreu, L. Matias e L.F. Peralta, Física Experimental - Uma introdução, Lisboa, Editorial Presença (1994).

P1 - DETERMINAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE REGISTO DE DADOS e alguns CÁLCULOS

Visto do Professor

1. Mesa de ar

§ 1. Comprimento da mesa: _______ m e desnível da mesa: _______ m ⇒ θ = ______º Distância entre a primeira marca e o fundo da mesa - x(t) = ____ ± ____ m

§ 4. Tempos de queda do disco [s]:

2. Pêndulo simples

§ 1. Distância ao centro de massa - rmassa = ______ m. § 2. Registo de valores e cálculos intermédios:

Tempo de oscilação - t (s) Período <T> = t/10 (s) (<T>)2 Comprimento do fio - L (m) Comprimento do pêndulo ℓ = L + r_massa (m)