2.TEORIA DAS PROBABILIDADES...30
2.1.DEFINIÇÕES...30
2.1.1. Experiência aleatória ...30
2.1.2. Espaço de resultados ...31
2.1.3. Acontecimento...32
2..2.ÁLGEBRA DOS ACONTECIMENTOS...34
2.2.1. União de acontecimentos...34
2.2.2. Intersecção de acontecimentos...34
2.2.3. Acontecimento contrário ...35
2.2.4. Acontecimento diferença...35
2.2.5. Propriedades da União e da Intersecção de acontecimentos...36
2.2.6. Acontecimentos incompatíveis ou mutuamente exclusivos ...36
2.3.DEFINIÇÕES DE PROBABILIDADE...37
2.3.1. Definição clássica de probabilidade ou definição a priori ...37
2.3.2. Definição frequencista de probabilidade ou definição a posterori...39
2.4.AXIOMÁTICA DAS PROBABILIDADES (KOLMOGOROV) ...40
2.5.CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA...41
2.5.1. Acontecimentos condicionados ...41
2.5.2. Acontecimentos independentes ...41
2.5.3. Teorema das probabilidades totais...44
2.5.4. Teorema de Bayes...44
30 3030 30
2.Teoria das Probabilidades
2.1. Definições
2.1.1. Experiência aleatória
Entende-se por experiência aleatória qualquer acção que possa ser repetida nas mesmas condições, ou em condições semelhantes, que tenha mais do que um resultado possível e que não se possa prever qual o resultado.
Exemplos 2.1:
2.1.1 Lançamento de uma moeda. 2.1.2 Lançamento de duas moedas.
2.1.3 Lançamento de uma moeda até sair face. 2.1.4 Lançamento de um dado.
2.1.5 Escolha aleatória de uma pessoa num grupo de 5 pessoas.
2.1.6 Fabricar peças até que duas peças perfeitas sejam produzidas e contar o número total de peças produzidas.
2.1.7 Fabricar uma lâmpada. Colocá-la num suporte, acendê-la e registar o tempo de funcionamento até fundir.
2.1.8 Um termógrafo regista a temperatura continuamente durante um período de 24 horas numa determinada localidade. As temperaturas, mínima e máxima são registadas.
31 3131 31 2.1.2. Espaço de resultados
O espaço de resultados de uma experiência aleatória é uma representação de todos os resultados possíveis dessa experiência aleatória. Em termos de notação vamos representar o espaço de resultados pela letra
S
.Exemplos 2.2:
2.1.1 Lançamento de uma moeda:
S
= {cara, coroa}={F, C} 2.1.2 Lançamento de duas moedas:S
={(F, F), (F, C), (C, F), (C, C)} 2.1.3 Lançamento de uma moeda até sair face:S
={F, CF, CCF, CCCF, …} 2.1.4 Lançamento de um dado:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2.1.5 Escolha aleatória de uma pessoa num grupo de 5 pessoas:
S
= {João, Sara, Pedro, Luísa, Paulo}2.1.6 Fabricar peças até que duas peças perfeitas sejam produzidas e contar o número total de peças produzidas:
S
= {2, 3, 4, 5, ...}2.1.7 Fabricar um lâmpada. Colocá-la num suporte, acendê-la e registar o tempo de funcionamento até fundir:
S
= {t : t ≥ 0}2.1.8 Um termógrafo regista a temperatura continuamente durante um período de 24 horas numa determinada localidade. As temperaturas, mínima e máxima são registadas:
S
= {(x, y) : x ≤ y}Se se admitir que a temperatura mínima nessa localidade não poderá descer abaixo de um certo valor (m) e a temperatura máxima não poderá subir acima de um certo valor (M):
32 3232 32
O número de elementos de um espaço de resultados (cardinal “#” de S) pode ser finito − Exemplos 1.2.1, 1.2.2, 1.2.4 e 1.2.5, ou infinito, sendo que neste caso pode ainda ser infinito numerável (pode estabelecer-se uma correspondência biunívoca com o conjunto dos números naturais, i. e, pode enumerar-se) − Exemplos 1.2.3 e 1.2.6, ou infinito não numerável − Exemplos 1.2.7 e 1.2.8.
Quando o número de elementos de um espaço de resultados é finito ou infinito numerável o espaço de resultados diz-se discreto. Se o número de elementos de um espaço de resultados é infinito não numerável o espaço de resultados diz-se contínuo.
2.1.3. Acontecimento
Entende-se por acontecimento, como algo que define uma condição ou propriedade particular, que pode ou não, ser satisfeita pelos resultados possíveis da experiência aleatória. A definição do acontecimento está sempre associada a uma experiência aleatória em particular. Em termos de notação os acontecimentos são representados, geralmente, por letras maiúsculas.
Ao acontecimento que é constituído por apenas um resultado chama-se acontecimento elementar.
Exemplos 2.3:
2.3.1 Experiência: lançamento de uma moeda Exemplos de acontecimentos:
A
= “sair cara”B
= “sair coroa”C
= “não sair nem cara nem coroa” 2.3.2 Experiência: lançamento de um dadoExemplos de acontecimentos:
A
= “sair o número 2”B
= “sair o número 1 ou o número 5”C
= “sair um número par”D
= “sair um número superior a 7”2.3.3 Experiência: escolha aleatória de uma pessoa num grupo de 5. Exemplos de acontecimentos:
33 3333 33
A
= “escolher uma pessoa loira”B
= “escolher o João”C
= “escolher um pessoa com mais de 1.80 m de altura” 2.3.4 Experiência: lançamento de uma moeda até sair face.Exemplos de acontecimentos:
A
= “serem necessários três lançamentos”B
= “serem necessários no máximo três lançamentos”C
= “serem necessários pelo menos três lançamentos”Fala-se na ocorrência de um acontecimento (ou diz-se que um acontecimento ocorreu) se o resultado da experiência pertence a esse acontecimento. Fala-se na não ocorrência de um acontecimento (ou diz-se que o acontecimento não ocorreu) se o resultado da experiência não pertence a esse acontecimento.
Exemplo 2.4:
Se ao realizarmos a experiência do Exemplo 1.3.2 o resultado for a “saída da face 2” pode dizer-se que ocorreu o acontecimento A, não ocorreu o acontecimento B, ocorreu acontecimento C e não ocorreu o acontecimento D.
É muito importante notar que a mesma definição de acontecimento pode representar acontecimentos diferentes se estivermos a falar de experiências aleatórias diferentes.
Exemplo 2.5:
O acontecimento
A
=”sair número par” tem um significado diferente se estivermos a falar da experiência lançamento de um dado ou se estivermos a falar da experiência que consiste em escolher de forma aleatória uma carta de um baralho completo.34 3434 34
2..2. Álgebra dos acontecimentos
2.2.1. União de acontecimentos
É o acontecimento que ocorre se e só se pelo menos um dos acontecimentos ocorrer:
{
x
:
x
A
x
B
}
B
A
B
A
com
⇔
∪
=
∈
∨
∈
de
União
B
A ∪
A ∪
B
2.2.2. Intersecção de acontecimentosÉ o acontecimento que ocorre se e só se todos os acontecimentos ocorrerem:
{
x
:
x
A
x
B
}
B
A
B
A
com
⇔
∩
=
∈
∧
∈
de
o
Intersecçã
B
A ∩
A
∩ B
=
∅
35 3535 35 2.2.3. Acontecimento contrário
Dado o acontecimento
A
define-se como acontecimento contrário deA
, o acontecimentoA
que ocorre se e só seA
não ocorrer:{
x
:
x
S
x
A
}
A
A
⇔
=
∈
∧
∉
de
Contrário
A
2.2.4. Acontecimento diferençaDados dois acontecimentos
A
eB
, define-se o acontecimento diferençaA −
B
, como sendo o acontecimento que ocorrerá seA
ocorrer eB
não ocorrer.{
x
:
x
A
x
B
}
B
A
B
A
−
=
∩
⇔
∈
∧
∉
B
A
B
A
−
=
∩
36 3636 36
2.2.5. Propriedades da União e da Intersecção de acontecimentos
Propriedade União Intersecção
Comutativa A∪B=B∪A A∩B =B∩A Associativa A∪(B∪C)=(A∪B)∪C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C Distributiva A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪( A∩C) Idempotência A∪A=A A∩A=A Complemento A∪A=S A∩ A=∅ Leis de De Morgan A B A B ________ ∩ = ∪ A B A B ________ ∪ = ∩ Existência de elemento neutro A∪∅= A A∩S= A Existência de elemento absorvente S S A∪ = A∩∅=∅
2.2.6. Acontecimentos incompatíveis ou mutuamente exclusivos
Dois acontecimentos
A
eB
são incompatíveis (ou mutuamente exclusivos) se∅
=
∩
B
A
, ou seja, seA
ocorre entãoB
não ocorre; seB
ocorre entãoA
não ocorre − o símbolo∅
, representa o acontecimento impossível, isto é, o acontecimento que não é satisfeito por nenhum dos resultados possíveis da experiência.Aos acontecimentos que são satisfeitos por qualquer resultado do espaço de resultados, damos o nome de acontecimento certo e representamos por
S
.37 3737 37
2.3. Definições de probabilidade
2.3.1. Definição clássica de probabilidade ou definição a priori
A probabilidade de um certo acontecimento ocorrer, quando o número de elementos do espaço de resultados é finito, é igual ao quociente entre o número de resultados que satisfazem o acontecimento e o número de resultados possíveis da experiência. nº de resultados favoráveis a ( ) nº de resultados possíveis A P A = (1) Exemplo 2.6:
Considere a experiência aleatória “lançamento de uma dado” e os acontecimentos referidos no Exemplo 1.3.1:
{
1
2
3
4
5
6
}
⇒
=
6
=
,
,
,
,
,
#
S
S
{ }
2
1
=
2"
número
o
sair
="
⇒
#
A
=
A
6
1
=
=
S
#
A
#
)
A
(
P
{ }
1,
5
2
=
5"
número
o
ou
1
número
o
sair
="
⇒ B
#
=
B
6
2
=
=
S
#
B
#
)
B
(
P
{
2,
4,
6
}
3
=
par"
número
um
sair
="
⇒ C
#
=
C
6
3
=
=
S
#
C
#
)
C
(
P
0
=
7"
a
superior
número
um
sair
="
∅
⇒
#
D
=
D
0
6
0
=
=
=
S
#
D
#
)
D
(
P
38 3838 38
Se o número de elementos do espaço de resultados for infinito não numerável, mas puder ser associada uma medida geométrica m(S) – comprimento, área ou volume, então a probabilidade de ocorrência do acontecimento A será:
comprimento de ( ) comprimento de A P A S = ou ( ) área de área de A P A S = ou ( ) volume de volume de A P A S = Exemplo 2.7:
Considere a seguinte experiência aleatória: dois pontos x e y são seleccionados ao acaso na recta real
ℜ
tais que –3 ≤ x ≤ 0 e 0 ≤ y ≤ 2. Calcule a probabilidade de que a distância entre x e y seja inferior a 2.Resolução:
O espaço de resultados (S) são todos os pontos (x, y) do rectângulo
O acontecimento (A) são todos os pontos (x, y) tais que d = y – x < 2, ou seja, todos os pontos pertencentes ao triângulo limitado pelas rectas y – x = 2, x = 0 e y = 0 2 2 área de 2 2 ( ) área de 3 2 6 A P A S × = = = ×
39 3939 39
2.3.2. Definição frequencista de probabilidade ou definição a posterori
A definição clássica de probabilidade tem a vantagem de nos proporcionar uma análise teórica consistente sobre as probabilidades (ver secções seguintes). No entanto, a sua aplicação directa é um pouco limitativa visto exigir o conhecimento prévio de todos os resultados possíveis da experiência aleatória bem como que estes sejam equiprováveis. Numa situação em que tal não é possível utilizamos o conceito de probabilidade frequencista.
A probabilidade frequencista é obtida através do seguinte processo: 1º - Repete-se a experiência
n
vezes (suficientemente grande).2º - Dos
n
resultados obtidos contam-se quantos satisfazem o acontecimentoA
(n
A resultados)A probabilidade de
A
ocorrer numa futura repetição da experiência é dada por: A Af
n
n
)
A
(
P
=
=
(2) Exemplo 2.8:Considere a experiência aleatória “lançamento de uma dado” e os acontecimentos referidos no Exemplo 2.3.1, e que temos motivos para crer que o dado é viciado, i. e, que as a saída de cada uma das faces não é equiprovável. Neste caso, para podermos calcular a probabilidade de cada um dos acontecimentos teremos que realizar a experiência um número suficiente grande de vezes. Admita-se que se lançou o dado 600 vezes e que se obteve os seguintes resultados:
Como n=600 teremos
{ }
2
80
=
2"
número
o
sair
="
⇒
n
A=
A
13
0
600
80
,
n
n
)
A
(
P
=
A=
≅
{
}
="sair o número 1 ou o número 5"= 1, 5B ⇒ nB=110 115+ =225 225 ( ) 0, 38 600 B n P B n = = ≅
{
2,
4,
6
}
80
105
100
285
=
par"
número
um
sair
="
⇒
n
C=
+
+
=
C
F ace 1 2 3 4 5 6 N úm ero d e vezes 110 80 90 105 115 10040 4040 40
48
0
600
285
,
n
n
)
C
(
P
=
C=
≅
0
7"
a
superior
número
um
sair
="
⇒
n
D=
D
0
600
0
=
=
=
n
n
)
D
(
P
D2.4. Axiomática das probabilidades (Kolmogorov)
Os axiomas são um conjunto de propriedades que se aceitam como verdadeiras (não necessitam de demonstração).
Axioma 1:
P
(
A
)
≥
0
, qualquer que seja o acontecimentoA
. Axioma 2:P
(
S
)
=
1
Axioma 3: Se
A
,
B
⊂
S
e
A
∩
B
=
∅
entãoP
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
Uma consequência importante da axiomática é que:1
0
≤
P
(
A
)
≤
Os teoremas que a seguir se apresentam já são propriedades que são susceptíveis de demonstração:
Teorema 1:
P
(
∅ )
=
0
Teorema 2:
P
(
A
)
= 1
−
P
(
A
)
Teorema 3:
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
∩
B
)
Teorema 4:P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
Pode também demonstrar-se, com base no Teorema 4, que para três acontecimentos A, B e C: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C ∪ ∪ = = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩ Teorema 5: A⊂B⇒P A( )≤P B( )
41 4141 41
De notar que um acontecimento impossível tem probabilidade zero de ocorrer (Teorema 1), mas, no entanto, existem acontecimentos que têm probabilidade zero de ocorrer e não são acontecimentos impossíveis, são os chamados acontecimento raros.
De igual forma, os acontecimentos certos têm probabilidade 1 (Axioma 2), mas existem acontecimentos a que atribui probabilidade 1 sem, no entanto, serem acontecimentos certos, são os acontecimentos quase certos.
2.5. Condicionada e independência
2.5.1. Acontecimentos condicionadosDados dois acontecimentos A e
B
tais queP
(
B
)
>
0
, a probabilidade deA
ocorrer sabendo que o acontecimento
B
se realizou é calculada por :)
B
(
P
)
B
A
(
P
)
B
A
(
P
=
∩
(3)Da mesma forma no caso de
P
(
A
)
>
0
, a probabilidade deB
ocorrer sabendo que o acontecimentoA
se realizou é calculada por :)
A
(
P
)
B
A
(
P
)
A
B
(
P
=
∩
(4) 2.5.2. Acontecimentos independentesDois acontecimentos são independentes se:
)
A
(
P
)
B
A
(
P
=
ouP
(
B
A
)
=
P
(
B
)
(5)ou ainda, através de (35) e de (36) podemos concluir que se A e B são dois acontecimentos independentes então:
)
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
∩
=
×
(6)Se
A
eB
são acontecimentos independentes então podemos afirmar que também são acontecimentos independentes:1.
A
eB
2.A
eB
3.A
eB
42 4242 42 Exemplo 2.9:
Considere-se a experiência aleatória que consiste em retirar, ao acaso, uma peça de um conjunto de 10.000 peças das quais uma é defeituosa.
Definam-se os acontecimentos:
A
=”a peça tirada é defeituosa”B
=”a peça tirada é não defeituosa” Entãoraro
nto
acontecime
um
é
0
10000
1
A
)
A
(
P
=
≅
certo
quase
nto
acontecime
um
é
1
10000
9999
B
)
B
(
P
=
≅
Exemplo 2.10:O Fernando desloca-se para o trabalho utilizando como meio de transporte o comboio. Ao longo dos anos o Fernando reparou que quando apanha o comboio usual, o das 7:55, 10% das vezes chega atrasado. A linha a que o Fernando pertence (a linha da Azambuja) é uma linha com alguns problemas e os comboios avariam com alguma frequência. Estima-se que a probabilidade de um certo comboio avariar é de
1
%
.Temos então dois acontecimentos: =
A ”O Fernando chegar atrasado quando apanha o comboio das 7:55”
=
B
”O comboio do Fernando avariar” Com as seguintes probabilidades:1
0.
)
A
(
P
=
eP
(
B
)
=
0.
01
.Suponhamos que o Fernando se encontra dentro do comboio das 7:55 e este avariou a meio do trajecto. Que consequências para a probabilidade do acontecimento A ?
Resposta: Nesta situação temos uma informação adicional que é o facto de sabermos que o acontecimento B ocorreu. Portanto temos um acontecimento novo que é:
43 4343 43
=
B
A
”O Fernando chegar atrasado quando apanha o comboio das 7:55 sabendo que este avariou”Como é lógico a probabilidade de
A
B
é com certeza superior à probabilidade de A. Podemos então concluir que o acontecimento B influencia o acontecimento A pelo que estes não são acontecimentos independentes.Exemplo 2.11:
Neste exemplo vamos verificar a lógica da fórmula (35) que permite calcular probabilidades de acontecimentos condicionados:
Consideremos a experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado equilibrado. Definamos os seguintes acontecimentos:
A = ”sair número maior que 3”={4, 5, 6}
2
1
=
)
A
(
P
B = ”sair número par”={2, 4, 6}
2
1
=
)
B
(
P
Suponhamos que o dado é lançado e alguém vê o resultado, mas não o revela. Apenas nos informa que o resultado é um número par. Qual é agora a probabilidade de ocorrer o acontecimento A ?
Resposta: Neste momento temos a informação adicional de que o acontecimento B ocorreu. Queremos calcular a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu, ou seja
P
(
A
B
)
.Como sabemos que B ocorreu os resultados possíveis passaram a ser
{
2 ,
,
4
6
}
. Como queremos saber a probabilidade de A os resultados favoráveis são{ }
4,
6
. Logo,3
2
=
)
B
A
(
P
.Se utilizarmos a fórmula (4) obtemos, necessariamente o mesmo resultado:
3
2
6
3
6
2
=
=
∩
=
)
B
(
P
)
B
A
(
P
)
B
A
(
P
.Desenvolvendo a equação (35) e a equação (36) obtemos a seguinte fórmula que nos permite calcular a probabilidade de intersecção de dois acontecimentos:
)
A
(
P
)
A
B
(
P
)
B
(
P
)
B
A
(
P
)
B
A
(
P
∩
=
×
=
×
(7)44 4444 44 An S .... A2 A1
2.5.3. Teorema das probabilidades totais
Consideremos o seguinte conjunto de acontecimentos,
A
1,
A
2,...,
A
n num espaço de resultados. Este conjunto define uma partição do espaço de resultados se:•
A
1∪
A
2∪
...
∪
A
n=
S
•
A
i∩
A
j=
∅
,
∀
i
,
j
com
i
≠
j
•P
(
A
i)
>
0
,
∀
i
Seja
B
um outro acontecimento definido no mesmo espaço de resultados. Se soubermos a probabilidade deB
ocorrer dado que ocorreu cada um dosA
i , podemos calcular a probabilidade total deB
ocorrer:∑
∑
= =×
=
∩
=
n i i i n i iB
)
P
(
A
)
P
(
B
A
)
A
(
P
)
B
(
P
1 1 (8) 2.5.4. Teorema de BayesSe
A
1,
A
2,...,
A
n, é uma partição de S comP
(
A
i)
>
0
,
i
=
1
,
2
,...,
n
, então:n
....,
,
,
j
)
A
B
(
P
)
A
(
P
)
A
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P
n i i i j j jcom
1
2
1=
×
×
=
∑
= (9)45 4545 45
2.6. Revisões sobre técnicas de contagem
Admitindo a equiprobabilidade dos acontecimentos elementares o cálculo da probabilidade de um acontecimento A, resume-se à contagem do número de casos possíveis associados à experiência aleatória e do número de casos favoráveis à ocorrência desse acontecimento A.
Existem duas regras básicas de contagem:
Regra da adição: se um acontecimento A puder ocorrer de m maneiras distintas e um acontecimento B puder ocorrer de n maneiras distintas, e os acontecimentos A e B não puderem ocorrer simultaneamente, então o acontecimento A ou B pode ocorrer de m+n maneiras.
Regra da multiplicação: se um acontecimento A puder ocorrer de m maneiras distintas e um acontecimento B puder ocorrer de n maneiras distintas, então o acontecimento A e B pode ocorrer de
m ×
n
maneiras. Relativamente à amostragem, importa definir dois conceitos básicos: ordenação e reposição/repetição:Uma amostra diz-se ordenada se se considera relevante a ordem pela qual os elementos estão dispostos. Caso contrário, diz-se não ordenada.
Uma amostra é retirada sem reposição quando cada elemento do conjunto apenas puder fazer parte da amostra somente uma vez. Se não há limite ao número de vezes que cada elemento pode entrar na amostra, a amostra diz-se com reposição. Em síntese: REPOSIÇÃO/REP. ORDEM Sem reposição/repetição Simples Com reposição/repetição Completos Ordenados ARRANJOS n r
A
=!
!
)
r
n
(
n
−
r n r=
n
α
Não ordenados COMBINAÇÕES n rC
=!
!
!
)
r
n
(
r
n
r
n
−
=
+
−
=
Γ
r
r
n
n r1
Relembre-se que
n
!
(lê-se n factorial) én
!
=
n
×
(
n
−
1
)
×
...
×
2
×
1
produto dos primeiros n inteiros) e que0 =
!
1
46 4646 46
Consideremos o conjunto {a,b,c,d}. Quantas amostras de dimensão 1 (com 1 elemento) se podem fazer ?
Resposta:
Pretende-se saber quantas amostras de dimensão 1 (r=1) podem existir a partir de um conjunto que tem 4 elementos (n=4) e que são necessariamente 4:
{{a}, {b}, {c}, {d}}
Recorrendo à análise combinatória teremos com n=4 e r=1:
4
1
4
4 1 4 1 4 1
=
Γ
=
=
α
=
A
Podendo concluir-se que no caso da amostra ter apenas um elemento é irrelevante falar em ordenação e reposição.
Exemplo 2.13:
Consideremos o mesmo conjunto {a, b, c, d}. Quantas amostras de dimensão 2 se podem fazer ?
Resposta:
Neste caso como a amostra tem dimensão 2 (r=2) já é relevante saber se é ordenada ou não e se existe ou não reposição. Temos, assim, quatro situações: 1. Ordenadas e sem reposição – arranjos simples:
12
3
4
!
2
!
4
4 2=
=
×
=
A
{(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(c,d),(d,c)} 2. Ordenadas e sem reposição – arranjos completos:16
4
4
4
2 4 2=
=
×
=
α
{(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(a,d),(d,a),(b,c),(c,b),(b,d),(d,b),(c,d),(d,c), (a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}3. Não ordenadas e com reposição – combinações simples:
6
2
3
4
!
2
!
2
!
4
2
4
=
=
×
=
{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}47 4747 47
10
2
5
2
1
2
4
4 2
=
=
−
+
=
Γ
{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}Algumas vezes, estamos apenas interessados em saber de quantas maneiras podemos ordenar um conjunto que tem n elementos diferentes. Tal situação é o que se costuma designar por permutações de n elementos:
!
n
P
n=
Note-se que as permutações se podem considerar como um caso particular dos arranjos simples quando r = n :
!
!
0
!
!
!
n
n
)
n
n
(
n
A
nn=
=
−
=
Exemplo 2.14:De quantas maneiras podemos ordenar os elementos do conjunto {a, b, c} ? Resposta:
Como n = 3, e os elementos são todos diferentes, termos
P
3=
3
!
=
6
{(a b c),(a c b),(b a c),(b c a),(c a b),(c b a)}Se os n elementos não forem todos diferentes, o número de ordenações é obviamente inferior a n! – são as chamadas permutações com repetição. Assim, se nos n elementos temos n1 iguais entre si, n2 iguais entre si e diferentes dos n1, ..., nr iguais entre si e diferentes dos n1, n2, ..., nr-1 e n1+n2+...+nr =n, o número de ordenações possíveis é:
!
!
!
!
2 1 2 1 2 1 r r n ...., , n , n ; nn
...
n
n
n
n
...,
,
n
,
n
n
P
r
=
×
×
×
=
48 4848 48 Exemplo 2.15:
De quantas maneiras podemos ordenar os elementos do conjunto {a, a, b} ? Resposta:
Como n = 3 e os elementos não são todos diferentes pois temos n1 = 2 (existem 2 “a”) e n2 = 1 (existe apenas 1 “b”) teremos 3;2,1
3! 3 2! 1!
P = =
× {(a a b),(a b a),(b a a)}
