FGV RJ / EPGE
Mestrado em Finanças e Economia Empresarial
Gerenciamento de Investimentos
Professor: Marcos Antonio C. da Silveira
Lista de Exercícios 2
Orientação:
• Recomenda-se fortemente a formação de grupos para discussão da lista. No entanto, cada aluno deve ser capaz de resolvê-la individualmente
• A lista aborda diretamente as prinicipais questões examinadas no curso. Desta forma, sua solução deve ser feita paralelamente ao estudo da matéria.
• A lista é uma boa orientação para os exames • Prazo de entrega: dia do primeiro exame
Questão 1: Suponha um investidor alocando sua riqueza entre um ativo com risco e outro ativo sem risco. Suponha que o retorno bruto de curto prazo do ativo com risco é lognormal. Responda:
a) O retorno da riqueza no curto prazo herda esta propriedade?
b) Se não, como esta variável pode ser aproximada por uma distribuição lognormal?
c) Derive expressões aproximadas para o trade-off retorno-variância enfrentado pelo investidor no curto prazo.
Questão 2: Suponha também no exercício acima retornos serialmente IID e utilidade da riqueza especificada como função potência. Responda:
a) O retorno de longo prazo da riqueza é aproximadamente lognormal?
b) Derive expressões aproximadas para o trade-off retorno-variância enfrentado pelo investidor no longo prazo?
Questão 3: Suponha um investidor com horizonte de um período que resolve o seguinte problema de alocação de portifólio entre um ativo com risco e outro ativo sem risco:
max αt Et[U (Wt+1)] onde U (Wt+1) = Wt+11−γ 1− γ sujeito à restrição orçamentária:
Wt+1 = (1 + Rp,t+1) Wt
Rp,t+1 = αtRt+1+ (1− αt) Rf,t+1= Rf,t+1+ αt(Rt+1− Rf,t+1)
onde:
• Wt: riqueza do investidor em t
• αt: participação (%) da riqueza investida no ativo com risco
• Rt+1: retorno líquido do ativo com risco
• Rf,t+1: retorno líquido do ativo sem risco
• Rp,t+1: retorno líquido do portifólio
Responda:
a) Sob que condições a análise de média-variância de Markowitch é exatamente um caso particular deste problema de alocação de portifólio? Estas condições são realistas?
b) Que condições consistentes com a evidência empírica tornam a análise de média-variância aproximadamente compatível com o problema de decisão acima? Neste caso, como este problema é aproximado e qual a solução de portifólio?
c) Determine o coeficiente de aversão relativa ao risco do investidor. Que condição precisa satisfazer para garantir avessão ao risco? Qual o efeito da renda inicial Wt sobre a alocação
ótima? Explique
d) Qual o efeito de cada um destes parâmetros sobre a alocação ótima? • prêmio de risco do ativo com risco
• variância do retorno do ativo com risco • grau de aversão ao risco do investidor.
Questão 4: Considere um investidor de longo prazo que precisa decidir como alocar sua riqueza inicial entre dois ativos: um sem risco e outro com risco. O investidor enfrenta o seguinte problema de decisão de portifólio:
max αKt Et " Wt+K1−γ 1− γ # αKt ≡ (αt, αt+1, ..., αt+K−1)
com γ > 0, sujeito à restrição orçamentária Wt+K = (1 + RpK,t+K) Wt
1 + RpK,t+K ≡ (1 + Rp,t+1) (1 + Rp,t+2) ... (1 + Rp,t+K)
Rp,t+k = Rf,t+1+ αt+k−1(Rt+k− Rf,t+k) , k = 1, 2, ..., K
Suponha que os retornos de curto prazo são lognormais e serialmente IID (oportunidades de investimento constantes no tempo). Responda:
a) Se existe possibilidade.de rebalanceamento de portifólio no curto prazo, demonstre rig-orosamente que a alocação de portifólio deste investidor permanece constante no tempo e é igual a alocação do investidor de curto prazo. Sugestão: faça isto respondendo as três perguntas abaixo em sequência:
• Porque a alocação ótima de portifólio não varia estocasticamente ao longo do tempo? • Porque a alocação ótima de portifólio permanece constante no tempo?
• Porque a alocação ótima de portifólio é míope?
b) Suponha agora que não existe possibilidade de rebalanceamento de portifólio no curto prazo. Como a alocação ótima neste caso difere da alocação ótima da questão anterior. Justifique.
Questão 5: Numa economia com um ativo com risco e outro sem risco, um investidor de longo prazo escolhe seu plano de consumo e alocação de portifólio de forma a maximizar a função de utilidade intertemporal Et X∞ k=0δ iU (C t+k)
com 0 < δ < 1, tal que a utilidade do período é dada por U (Ct+k) =
Ct+k1−γ 1− γ com γ > 0, sujeito à restrição orçamentária intertemporal
Wt+k = (1 + Rp,t+k) (Wt+k−1− Ct+k−1); k = 0, 1, 2, 3, 4, ... (1)
onde Wt+k e Ct+k são a riqueza e o consumo em t+k, enquanto o retorno do portifólio Rp,t+k
entre t+k-1 e t+k é dado por
Rp,t+k = Rf,t+k + αt+k−1(Rt+k− Rf,t+k) ; k = 0, 1, 2, 3, 4, ... (2)
onde Rt+k e Rf,t+k são os retornos dos ativos com risco e sem risco e αt+k−1 é a proporção da
riqueza investida no ativo com risco em t+k-1. Supondo que o consumo Ct+k e o retorno bruto
do ativo com risco 1 + Rt+k têm uma distribuição conjunta lognormal, pode-se demonstrar que
a escolha ótima satisfaz às condições marginais loglinearizadas:
Et[∆ct+1] = δ γ + 1 γrf,t+1+ γ 2σ 2 ct (3) Et[rt+1]− rf,t+1+ σ2 t 2 = γCovt(rt+1, ∆ct+1) (4) onde ∆ct+1 ≡ ct+1− ct rt+1 ≡ ln {1 + Rt+1} ; rf,t+1≡ ln {1 + Rf,t+1} ; ct≡ ln Ct σ2t ≡ V art[rt+1] σ2ct ≡ V art[ct+1] Responda:
a) As equações (3) e (4) acima são derivadas a partir de que condição marginal de otimização? Qual a intuição por trás desta condição?
b) Explique intuitivamente o efeito de um aumento no fator de desconto subjetivo δ e da taxa de juros rf,t+1 sobre a poupança.
c) Qual o coeficiente de aversão relativa ao risco e a elasticidade intertemporal de substituição? d) Que parâmetro determina o impacto do preço relativo do consumo futuro (em termos de consumo presente) sobre a transferência intertemporal de recursos? É razoável que este parâmetro cumpra esta função no modelo?
e) Use os resultados acima para comentar a seguinte afirmação: "O retorno das ações é bem mais volátil que o da caderneta de poupança (ativo livre de risco), razão pela qual o mercado demanda um retorno esperado relativamente mais elevado das ações".
f) Suponha um ativo financeiro que ofereça retornos reais mais elevados quando a economia entra em recessão e retornos mais baixos quando a economia entra em recessão. Como deve se comportar o prêmio de risco deste ativo?
g) Supondo constantes os segundos momentos (variâncias e covariâncias) do retornos dos ativos e do consumo, use os resultados acima para explicar o efeito de um aumento do grau de aversão ao risco do mercado sobre o prêmio de risco das ações
h) Explique intuitivamente como e porque um aumento na variância do consumo futuro σ2 ct
afeta a taxa esperada de crescimento do consumo. Como este efeito se relaciona com a poupança precaucionária?
Questão 6: Numa economia com um ativo com risco e outro sem risco, um investidor de longo prazo escolhe seu plano de consumo e alocação de portifólio de forma a maximizar a função de utilidade intertemporal Epstein-Zin
Ut = n (1− δ)C 1−γ θ t + δEt £ Ut+11−γ ¤1 θo θ 1−γ , θ ≡ 1− γ 1− ψ1,
sujeito à restrição orçamentária intertemporal (ROI)
Wt+k = (1 + Rp,t+k) (Wt+k−1− Ct+k−1); k = 0, 1, 2, 3, ...
tal que
Rp,t+k = Rf,t+k+ αt+k−1(Rt+k− Rf,t+k) ; k = 0, 1, 2, 3, ...
onde todas as variáveis estão definidas como na pergunta anterior. Supondo que o consumo e o retorno bruto do ativo com risco têm uma distribuição conjunta lognormal, pode-se demonstrar que a escolha ótima satisfa às condições marginais loglinearizadas:
Et[∆ct+1] = ψ ln δ + ψEt[rp,t+1] + θ 2ψV art[∆ct+1− ψrp,t+1] (5) Et[rt+1]− rf,t+1+ σ2 t 2 = Covt(rt+1, ∆ct+1) ψ + (1− θ)Covt(rt+1, rp,t+1) (6) θ ≡ 1− γ 1−ψ1 Responda:
(a) Que parâmetro do modelo determina o tamanho do efeito de um aumento na taxa esperada de retorno dos ativos financeiros sobre a poupança corrente. Intuitivamente, como este parâmetro se relaciona com a preferência do investidor por suavização intertemporal de consumo?
(b) Que parâmetro do modelo é mais determinante na decisão de alocação de portifólio do investidor? Justifique sua resposta.
(c) Existe alguma razão econômica para os parâmetros das perguntas (a) e (b) estarem relacionados. Justifique sua resposta esclarecendo as funções destes parâmetros no modelo.
(d) Derive as condições marginais (5) e (6) no caso particular da função potência.
(e) Porque a utilidade intertemporal com função potência é menos apropriada que a função Epstein-Zin para descrever as preferências do investidor.
(e) Diante da desaceleração do nível de atividade da economia norte-americana, o FED decide reduzir a taxa de juros básica da economia. Supondo que o prêmio de risco dos ativos com risco permanece constante no tempo, explique a racionalidade desta medida com base nos resultados acima. O que os parâmetros das perguntas (a) e (b) informam quanto à eficiência desta medida de política econômica?
Questão 7: Considere o investidor de longo prazo do cap.3, Campbell & Viceira. Suponha que existem apenas dois ativos: um ativo sem risco e outro com risco. Loglinarizando a restrição orçamentária do investidor deste longo prazo, chega-se à expressão:
ct− wt= Et hX∞ j=1ρ k(r p,t+j− ∆ct+j) i + ρk 1− ρ (7)
Um pouco mais de álgebra e chegamos à expressão:
A z }| { ct+1− Et[ct+1] = B z }| { (Et+1− Et) [rp,t+1] (8) + C z }| { (Et+1− Et) hX∞ j=1ρ j rp,t+1+j i − D z }| { (Et+1− Et) hX∞ j=1ρ j ∆ct+1+j i Responda:
a) Com base no resultado (7), quais as contrapartidas de um aumento no consumo corrente ct, supondo fixa a riqueza corrente wt?
b) Explique a intuição econômica por trás da equação (8), enfatizando o impacto de seus componentes (B), (C) e (D) sobre o choque no consumo.
Questão 8: Seja o problema de decisão de portifólio da Questão 6. Pode-se então substituir o resultado (5) na restrição intertemporal (7), chegando ao resultado
ct− wt= (1− ψ) A z }| { Et hX∞ j=1ρ jr p,t+j i + ρ (k− µ) 1− ρ (9)
Novamente, um pouco mais de álgebra e chega-se à expressão:
ct+1− Et[ct+1] = rp,t+1− Et[rp,t+1] + (1− ψ) A z }| { (Et+1− Et) hX∞ j=1ρ jr p,t+1+j i (10) Responda:
a) Interprete o termo (A) nas duas equações acima
b) Explique intuitivamente de que forma o parâmetro ψ afeta o impacto de um aumento no termo (A) sobre o consumo corrente na eq.(9) e sobre o choque no consumo na eq.(10)
Questão 9: Seja o problema de decisão de portifólio da Questão 6. Como no cap.3 Camp-bell&Viceira, suponha que as mudanças nas oportunidades de investimento decorrem unicamente de flutuações na taxa de juros livre de risco. Neste caso, a regra ótima de portifólio do investidor é dada pela equação
ˆ αt= A z }| { 1 γ Et[rt+1]− rf,t+1+ σ2 t 2 σ2 t + B z }| { µ 1− 1 γ ¶ Covt h rt+1,− (Et+1− Et) hX∞ j=1ρ jr f,t+1+j ii σ2 t (11) onde ˆαt é a proporção ótima alocada no ativo com risco. Considere γ > 1. Responda:
a) Derive o resultado (11) a partir da substituição da eq. (10) na eq. (6).
b) Interprete os componentes (A) e (B) da demanda ótima pelo ativo com risco.
c) A covariância na eq. (11) mostra como o retorno do ativo c/ risco varia com a expectativa das oportunidade de investimento da economia. Explique porque a demanda ótima pelo ativo com risco é maior ou menor que a demanda míope nos seguintes casos:
• investidor muito avesso ao risco (γ > 1) e retorno rt+1 correlacionado positivamente com
oportunidades de investimento
• investidor muito avesso ao risco (γ > 1) e retorno rt+1 correlacionado negativamente com
oportunidades de investimento
• investidor pouco avesso ao risco (0 < γ < 1) e retorno rt+1 correlacionado positivamente
com oportunidades de investimento
• investidor pouco avesso ao risco (0 < γ < 1) e retorno rt+1 correlacionado negativamente
com oportunidades de investimento
d) Suponha que o prêmio de risco de curto prazo é negativo. Neste caso, porque a demanda total ótima do investidor de longo prazo pelo ativo com risco poderia ser ainda positiva?
e) Explique o impacto de um aumento no parâmetro γ sobre os componentes (A) e (B). f) Que condições são suficientes p/ que a demanda ótima seja sempre igual à demanda míope? g) Suponha que o ativo com risco é o dólar. Um investidor de longo prazo muito avesso ao risco deve manter uma posição em dólar maior ou menor que a demanda míope? Dica: o que acontece com a taxa de câmbio quando o mercado revê para cima sua expectativa quanto à trajetória da taxa de juros doméstica?
h) O que acontece quando γ −→ ∞?. Seja um investidor alocando sua riqueza entre um ativo livre de risco no curto prazo e uma perpetuidade. Prove que um investidor de longo prazo extremamente avesso ao risco aloca toda sua riqueza na perpetuidade.
