14-Dinâmica do Corpo Rígido

14-Dinâmica do Corpo Rígido

Introdução

A equação básica descrevendo o movimento de rotação é aquela que estabelece que um torque aplicado a corpo leva a uma variação do momento angular do mesmo, de tal forma que a taxa de variação instantânea é igual ao torque. Num sistema fixo,

designado por

S

essa equação se escreve como

s

dL

dt





adaptar essa figura

Onde a notação empregada indica o sistema fixo. Note-se, no entanto, que o tensor de inércia é determinado num sistema preso ao centro de massa de massa do corpo. Para tal sistema, o momento de inércia não varia com o tempo. É, assim, um sistema bastante conveniente para descrever o movimento.

Neste capitulo estudaremos alguns exemplos de movimento dos corpos rígidos. As coordenadas do vetor momento angular, num e no outro sistema, são

relacionadas pela matriz de rotação. Assim, podemos escrever, utilizando a notação do capítulo 10:

( )

( )

( )

z x z

L



R

R

R

L



R L



d L

_dR

d L

L

R

dt

dt

dt







Já vimos no capítulo 41 que o segundo termo resulta ser dado pela expressão:

dR

L

L

dt



_



Portanto, de (000) segue que:

d L

d L

L

R

dt

dt









É nesse sentido que muitas vezes encontramos essa relação escrita como:

Onde fica implícito que devemos calcular as taxas de variação no sistema que se move junto com o corpo e depois transformá-las para o sistema fixo. Levando-se isso em conta, a equação fundamental assume a forma:

No caso em que consideramos os eixos do sistema fixo coincidindo com os eixos principais de inércia, podemos escrever:

1 1 2 2 3 3

L



I

i



I



j

I

k



E portanto, 3 1 2 1 2 3 s

d

d

d

dL

I

i

I

j

I

k

dt

dt

dt

dt









Assim, considerando-se os eixos coincidindo com os eixos principais obtemos as equações, para as componentes da velocidade angular, da seguinte forma

Estas equações são conhecidas como equações de Euler, em homenagem a quem as propôs .

Movimento de precessão

Um dos movimentos mais típicos, e interessantes, de um corpo material,é aquele no qual algumas componentes do vetor velocidade angular varia de uma forma periódica. Como veremos, sob determinadas circunstâncias, cada componente do momento angular executa um movimento harmônico simples.

Analisemos o caso simples em que um corpo rígido não se encontra sob a ação de forças externas. Admitamos que ele tenha uma simetria em relação a um eixo, o eixo 3. Sob tais circunstâncias os momentos principais de inércia I₁ e I₂são iguais. Isto é:

1 2

I I

Adotando-se os eixos 1,2, e 3 como sendo os eixos x y, e z, vemos que para um

corpo simétrico( satisfazendo (000)), e para o caso em que este se encontre livre da ação de forças, as equações de Euler se escrevem:

3 3 3 0 0 0 x y z x y z z d I I I dt d I I I dt d I dt

Assim, a componente zdo momento angular é constante. Escrevendo a solução da

terceira equação como z 0, obtemos duas equações dependentes desse valor da

componente z. Escrevemos, portanto, essas equações sob a forma:

0 0 x y y x d dt d dt

Onde a grandezas é uma nova velocidade angular, relacionada à componente dada

por:

3 0

I I I

Derivando-se a primeira equação de (000), e utilizando-se em seguida, a segunda equação obtemos: 2 2 2 x x

d

dt

A solução para tal equação é:

0 0

x

sen

t

De (000) e (000) segue que

0

cos

0

x

t

Assim, o vetor velocidade angular se escreve como

0 cos t 0 i sen t 0 j 0k



 



Assim, o momento angular total é constante, mas executa um movimento de precessão em torno do eixo z.

1. Pêndulo Físico

Um corpo rígido pode executar um movimento oscilatório em torno de um

eixo horizontal, sob a influência da força gravitacional . A tal oscilador, damos o

nome de pêndulo composto, ou pêndulo físico.

A rigor, qualquer corpo rígido preso de tal forma que ele possa girar em torno de um eixo fixo se transforma em um pêndulo físico. O pêndulo físico é usado para medidas precisas de g. No campo prático, ele é utilizado na prospecção geofísica.

A figura (44.1) representa uma secção transversal do corpo rígido quando

colocado para oscilar. Ela foi escolhida de tal forma a evidenciar o centro de

massa do corpo. Ademais tal secção foi escolhida de tal forma que ela é

perpendicular ao eixo pelo qual o corpo está suspenso e em rotação. Tal eixo

perfura o plano que contem a secção, num ponto O, o “ponto de suspensão”.

Adotamos a letra para representar o ângulo que o centro de massa faz

com a vertical e consideramos a letra

a

para representar a distância do centro

de massa até o eixo de suspensão. Sendo

M

a massa do corpo rígido, a

equação associada à rotação do mesmo é:

cm m dL R M g dt = ´ + t ur r r _r

Na equação acima evidenciamos o fato de que torques devem ser aplicados

nos pontos de suspensão para mantê-lo em rotação. Considerando-se apenas

a componente vertical à secção reta, a equação acima se escreve:

s n Iq&&= Mga e q

Antes de prosseguirmos, analisando a solução dessa equação,

consideraremos o aspecto da conservação de energia nesse movimento. A

energia potencial do corpo rígido, de massa M, é dada por

cos

Mga q

È =

-A energia cinética de rotação do pêndulo físico, por outro lado, é dada por

2 2 2 0 1 2 2 M T = Iq&= k q&

Onde

k0

é o “raio de giração” em relação ao eixo de suspensão.

Tendo em vista a conservação da energia mecânica, temos que a soma das

duas formas de energia é uma constante, ou seja:

2

cos 2

I

E = q&- Mga q

Seja

0

o ângulo formado com a vertical quando o pêndulo solto ao se

iniciar o movimento. Nessas circunstâncias, a conservação da energia nos leva

à seguinte relação:

(

)

2 0 cos cos 2 I Mga q&= q- q

0 0

q q q

- £ £

E sua velocidade angular depende da variável angular de acordo com a

expressão

0 2 cos cos Mga I q&= ± q- q

Se derivarmos a energia com respeito ao tempo encontraremos a equação

de movimento

s n Iq&&= Mga e q

Que é igual a uma das componentes da equação de movimento de rotação do

corpo rígido. As soluções da equação acima podem ser expressas em termos

de funções especiais conhecidas como funções elípticas.

A solução da equação (000) se simplifica quando consideramos o caso

pequenas oscilações. Nesse caso a equação (000) se reduz á equação que

descreve o movimento harmônico simples. Obtemos, explicitamente,

Iq&&= - Mgaq

E, portanto o pêndulo composto executará um movimento harmônico

simples. de tal forma que o período dado por:

2 0 2 2 I 2 k T w Mga ga p p p = = =

A relação do período do pêndulo físico pode ser usada também para determinar o momento de inércia de um pêndulo de qualquer formato.

Considere-se o caso de um cilindro uniforme que oscila como mostra a figura (000). O seu momento de inércia em torno do seu centro de massa C é dado por .

2

4

cm

M

O momento de inércia em torno de um eixo passando por P, paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa que, por sua vez, é perpendicular à peça cilíndrica, é dado por:

2 cm

I I Ma

Cilindro rolando em um plano inclinado

Consideramos um cilindro de massa M e raio a rolando em um plano

inclinado formando um ângulo xxxx com a horizontal (vide figura)

Utilizaremos o ângulo xxxxx como a variável angular ao considerarmos a

rotação do cilindro em torno de um eixo imaginário passando pelo seu centro

de massa.

Temos duas formas de resolver esse problema.

Na primeira delas utilizamos a conservação da energia. O corpo rígido tem,

para um determinado valor da coordenada associada à translação do centro de

massa, x, uma energia potencial dada por

( )

V x = - Mgxsen a

A energia cinética é composta por dois termos. O primeiro é a energia

cinética de translação e o segundo é sua energia associada à rota.

A soma dos dois termos nos leva ao resultado:

2 2

2 2

mx I

T = &+ q&

Dizemos que existe rolamento se a seguinte expedição for satisfeita:

x = aq

Ou seja, o rolamento ocorre quando.

x&=aq&

A condição acima implica que a velocidade dos pontos de contato com xxxx

superfície é mal a cada instante.

Levando-se conta a condição de rolamento a energia é dada pela

expressão.

~2 2 2 2 m I E x Mgxsen a a æ _ö÷ ç _÷ = ç_ç + _÷÷ -çè ø&

Derivando-se a equação acima com respeito ao tempo, temos que

2

e portanto, a aceleração do centro de massa do cilindro será:

2 ( / ) Mgsen x M I a a = + &&

Para o cilindro e utilizando as expressões (000) e (000), temos que sua

aceleração será dada por

2 3 x&&= gsen xa

Ele se desloca, portanto, com uma aceleração que é igual a 2 / 3 da

aceleração de uma partícula material.

Máquina de Atwood

A máquina de Atwood é um dispositivo bastante simples e que permite, pela determinação da aceleração dos corpos em movimento, introduzir um tratamento mais adequado do movimento quando levamos em conta o movimento da polia.

Ela consiste de dois corpos de massas m1 e m2 presos por um fio que passa por

uma roldana. Nos problemas mais simples simplificamos o problema admitindo que ela não tenha massa. Isso é claramente uma aproximação. A roldana tem um momento de inércia dado por

No caso da mecânica do ponto desprezamos o efeito da rotação da polia. A seguir veremos como isso altera aceleração do sistema. Assim, além das equações usuais

do movimento das partículas de massa m1 e m2

onde T1 e T2 são as forças tensoras nos fios , levamos agora em conta o

essas forças, o movimento da roldana é descrito pelaa equação de movimento;

.

Note-se que T2 = T1 só é possível se desprezarmos a massa da roldana.

Lembrando que

temos de (000), que

A solução torna-se agora, utilizando as equações

.

Consideremos agora a questão da energia mecânica. Se considerarmos inicialmente as duas partículas em repouso e à mesma altura (z = 0), temos que, nessas circunstâncias a energia será nula:

Quando as duas massas se deslocam de uma altura h em relação à posição

E, portanto, a altura se relaciona com a velocidade de acordo com a expressão:

Donde obtemos a seguinte relação entre a altura e a velocidade. .

Movimento de IôIô

O ioiô é um dos brinquedos mais antigos. Existe há cerca de 3000 anos. Sua origem não é bem estabelecida. O ioiô é um carretel sobre cujo eixo central é enrolado um fio esticado. Prendemos a extremidade do fio e soltamos o ioiô o qual rola para baixo até o fio acabar. Nesse ponto, aplicamos uma força (sentimos um puxão) que o faz voltar enrolando o fio. Volta a subir e o processo pode ser reiniciado..

O movimento de translação do ioiô é devido à força tensora no fio (T) e ao peso

do mesmo. Temos, portanto, utilizando a coordenada x para indicar a posição do

centro de massa do ioiô, a seguinte equação para a aceleração do mesmo ,

O movimento de rotação é descrito pela equação envolvendo a taxa de variação do momento angular do Ioiô.

,

onde R é o raio do eixo central e I é o momento de inércia ao redor do eixo passando

pelo centro da massa. Levando-se em conta que

Portanto, a equação do movimento de rotação pode ser expressa em termos da aceleração do IôIô:

e portanto, de (000) e (000) , encontramos que a aceleração do Ioiô é menor do que aquela que ele teria em da queda livre (a aceleração da gravidade). Ademais ela

depende do momento de Inercia do mesmo . Obtemos:

Assim a tensão na corda é menor do que a força peso

2

1 /

Mg T

MR I

A energia mecânica, a qual é conservada no movimento, será dada pela soma da

energia potencial (

Mgx

) mais dois termos associados á energia cinética. O primeiro

desses termos é a energia cinética de translação do Ioiô e o segundo é aquele associado à rotação do mesmo. Assim, a energia mecânica do Ioiô é dada por:

2 2 2 2 1 1 1 (1 ) 2 cm 2 2 cm I E MV I Mgx MV Mgx MR

Admitindo o valor da energia como sendo nula (

E

0

)no ponto em que ioiô foi

lançado, obtemos da equação acima, uma relação simples, uma relação linear para a velocidade como função da altura na qual o ioiô se encontra:

2 ₂ 2 2

2

cm

dx

MR

V

gx

dt

MR

I

O sinal + é válido quando o ioiô desce. O sinal - é associado ao movimento de subida. O maior valor da velocidade é atingido quando todo o fio de comprimento L está completamente desenrolado. Essa velocidade depende do comprimento do fio de acordo com a expressão

Ao atingir o ponto mais baixo, ponto no qual o fio está desenrolado, o ioiô inicia o movimento de subida. Para tal devemos exercer uma força (quando puxamos o fio) cujo valor pode ser estimada da seguinte forma. Em primeiro lugar, quando ocorre a mudança de direção do ioiô, haverá uma mudança do sinal da velocidade. Como neste ponto a velocidade é máxima, a alteração de momento do ioiô será:

max

2

P MV

Onde V_max é dada pela expressão (000). Consequentemente devemos aplicar uma força

dada por

onde é o intervalo de tempo no qual houve a variação de momento requerida para