Utilização de estatística como índices não intrusivos na avaliação do
comportamento das malhas de controle: um estudo de caso para
sistemas com atraso de transporte
Marlon J. do Carmo, Ângelo R. Oliveira, Janison R. Carvalho
Coordenação de Eletrotécnica / Controle e Automação, CEFET-MG, Campus III 36700-000, Leopoldina, MG
E-mails: marloncarmo@ieee.org, a.oliveira@ieee.org, janison@leopoldina.cefetmg.br
Resumo: Este trabalho tem como objetivo avaliar o desempenho dos sistemas com atraso de transporte através de índices não intrusivos, índices esses que não interferem na dinâmica do processo. Este trabalho traz técnicas de modelagem por identificação de sistema de controle através da analise da curva de reação, encontrando uma função de transferência aproximada de primeira ordem mais atraso de transporte. Já para efetuar o controle desses sistemas é usado o controlador PID e alguns métodos de sintonia de seus parâmetros são apresentados. Também foi usado um Preditor de Smith, de forma a melhorar o compromisso servo regulatório das malhas de controle.
1. INTRODUÇÃO
Um dos grandes problemas que refletem no controle PID é o atraso de transporte. O controle de sistemas com a presença desta variável não é simples e utilizando regras empíricas de sintonia nem sempre se consegue um desempenho satisfatório, e têm-se respostas muito oscilatórias ou gera-se instabilidade.
Neste contexto de sistemas de controle na indústria surge um problema conhecido como atraso de transporte (AT) ou tempo morto (transporte delay time). Esse problema surge quando a variável de saída de um determinado processo responde a uma variação no sinal de entrada, apresentando para a mesma uma “inércia”, em outras palavras, depois de um determinado tempo desta variação ter realmente ocorrido [8].
No meio industrial, sistemas de controles com AT são extremamente comuns, como em processos químicos ou em controles de temperatura. E um dos grandes desafios encontrados é controlá-los de forma adequada, o que muitas vezes se torna uma tarefa não muito simples, pois tais sistemas tendem a não terem boas respostas ou até mesmo se tornarem instáveis como pode ser observado no exemplo abaixo.
Neste contexto, esse trabalho visa medir e a avaliar o desempenho de malhas de controle modeladas por identificação, através de índices não intrusivos, sendo estes utilizando ferramentas estatísticas simples. A modelagem por identificação e índices não intrusivos será abordada nas seções subsequentes, sendo que a aplicação dos mesmos se dará em um grande problema enfrentado na engenharia de controle e automação que é o atraso de transporte.
O trabalho está dividido da seguinte forma: a próxima seção fará menção à modelagem por identificação de sistemas de controle com atraso de transporte. A seção três apresentará o conceito de índices de desempenho não intrusivos, e discutirá a relevância dos mesmos. Logo após apresenta-se as simulações de identificação e controle de sistemas com atraso de transporte, verificando o fator de mérito pelos índices de desempenho. A seção cinco conclui-se este trabalho.
2. MODELAGEM POR IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS COM ATRASO DE TRANSPORTE
Todo sistema existente, seja ele de origem elétrica, mecânico, química, biológica, etc., é regido por equações matemáticas que são capazes de representar a dinâmica deste sistema em resposta a uma determinada entrada. Para as malhas de controle não é diferente, então para que
seja possível controlar uma determinada malha é necessário conhecer o modelo que rege um determinado sistema [1].
Na maioria das vezes não se conhece a equação da malha de controle a ser controlada, pois, de uma forma geral, a preocupação existente é apenas se cada instrumento da malha funciona dentro de suas especificações, em uma visão individual e não da malha como um todo, sendo, então, necessário fazer a modelagem matemática do sistema. Dentro do contexto de modelagem matemática surgem dois tipos, a modelagem fenomenológica e modelagem por identificação [1]. Modelagem fenomenológica é aquela que analisa a dinâmica do sistema físico, e faz um equacionamento dos fenômenos envolvidos através de equações diferenciais. Modelagem por identificação é aquela baseada em técnicas que buscam descrever as relações de causa e efeito entre as variáveis de entrada e saída, sendo os modelos resultantes e as técnicas usadas, diferentes das associadas à modelagem fenomenológica. Essa se justifica quando o sistema em análise é muito complexo tornando a modelagem fenomenológica extremamente complicada, e quando é possível medir dados relativos a evolução temporal das variáveis relevantes do sistema.
A modelagem fenomenológica, apesar de representar o sistema de forma muito fiel, pode se tornar extremamente complicada. Ao tentar obter o equacionamento de uma malha industrial, devido o fato de ser complexo equacionar todos os componentes da malha de controle avaliada de forma integrada, chegando a uma única equação que reja o sistema [6].
Assim a modelagem por identificação se torna uma ferramenta muito utilizada e útil, para obter a equação matemática aproximada de malhas industriais que se deseje controlar.
Para controlar uma malha, é necessário, antes, conhecer sua função de transferência, para que se possa, posteriormente, efetuar a sintonia ou projeto do controlador. Visando conhecer a dinâmica do processo, ou seja, encontrar sua função de transferência para que a sintonia do controlador possa ser realizada, serão discutidas neste tópico técnicas de modelagem por identificação através da curva de reação (CR), que são técnicas essencialmente gráficas [7]. Para obter a CR de um sistema, aplica-se à sua entrada uma excitação – no caso um degrau de determinada amplitude - e registra-se a variação da entrada e da saída em forma de gráfico, observando que a saída obtida através da excitação é chamada CR. A Fig. 1 apresenta um exemplo de uma CR.
Figura 1 – Esboço de uma CR, reta tangente, entrada degrau.
2.1 Modelo matemático a Três Parâmetros
De modo geral, os métodos de sintonia de controladores são baseados em parâmetros de sistemas de baixa ordem - primeira ou segunda - então é necessário poder representar sistemas de ordem mais elevada através de funções de transferência aproximada de primeira e segunda ordem, mais tempo morto, para que se possa então aplicar um método de sintonia ao controlador.
Na busca de uma equação aproximada de baixa ordem que represente a dinâmica do processo, usa-se preferencialmente para sistemas sobre amortecidos de ordem superior a um, o modelo de 1ª ordem a três parâmetros também denominado 1ª ordem mais tempo morto – First Order Delay Time – FODT. Os três parâmetros em questão são: ganho do sistema (kp), constante de tempo (τ) e tempo morto (tm) [4], que podem ser determinados graficamente através
A Equação aproximada de sistema de 1ª ordem mais tempo morto dada por: m t s p
k e
G(s)
s 1
−=
τ +
(1)2.2 Forma Geral do Método de Dois Pontos
Após a proposta do método de dois pontos de Smith, surgiram diversos métodos com o mesmo procedimento, diferenciando apenas os instantes tomados para se obterem os parâmetros tm e τ. Assim podem ser estabelecidas equações gerais para o método de dois pontos, a fim de
identificar um modelo de primeira ordem mais tempo morto do processo [2]. Sendo dois pontos p1 e p2 e seus valores sendo valores percentuais, e t1 e t2 instantes de tempo requerido para que a
CR alcance os porcentuais p1 e p2, temos as equações para obtenção dos parâmetros tm e τ [9].
1 2
at
bt
τ =
+
(2)m 1 2
t
=
ct
+
dt
(3) Neste contexto, temos os métodos Alfaro [2], Bröida [3], Chen y Yang [5], Ho [7], Vitecková [10].As constantes a, b, c, d, e as porcentagens p1 e p2 para tais métodos são mostrada na Tab. 1.
Tabela 1 – Constantes dos métodos de dois pontos
3 ÍNDICES DE DESEMPENHO NÃO INTRUSIVOS
Uma vez entendia a necessidade de mensurar e avaliar o desempenho de um sistema de controle este tópico traz a definição e descrição dos índices de desempenho não intrusivos usados nesse trabalho para realizar a avaliação de desempenho.
Por índices não intrusivos definem-se aqueles que são medidos de forma a não influenciar de forma alguma, ou influenciar de forma mínima a dinâmica do processo, chegando a ser irrelevante essa influência, daí a nomenclatura “índices não intrusivos”, por intrusivo entende-se aquilo que é invasivo, que não faz parte de um todo [4].
O objetivo de serem usados índices não intrusivos se dá pelo fato de que ao avaliar o desempenho através desses, obtém-se uma avaliação com um maior grau de confiança, onde as variáveis do processo não sofrem influencia da avaliação realizada.
3.1 Índices de desempenho baseados no erro
Para quantificar o erro da resposta de um sistema em função de uma perturbação utilizam-se critérios baseados na integral do erro, que são eles IAE, IE, ISE, ITAE, e ITSE. Para analisar sistemas de controle no espaço discreto, as integrais serão expressas na forma de somatório, e o erro na forma de erro discreto – e(k). A Tab. 2 apresenta as integrais no espaço discreto, onde N representa o número de amostras.
Tabela 2 – Índices de desempenho baseados no erro para o espaço discreto
3.2 Índices de Desempenho Baseados na Média e na Variância
Pequenas variações podem ser encontradas quando o valor de um mesmo índice é calculado em momentos distintos, mesmo o processo estando exatamente com os mesmos parâmetros. Isso se dá devido ao fato de que, em processos reais, é comum a presença de perturbações e ruídos externos, que levam as variáveis de processo a valores indesejáveis e inesperados. Passa a ser necessário analisar o quanto determinado sinal, presente na mesma, influencia seus componentes, sendo utilizados, em determinados casos, ferramentas estatísticas com objetivo de analisar-se quantitativa e qualificativa sua situação [4].
3.2 Média do Sinal de Saída do Sistema
A média do sinal de saída (Eq. 4) é um índice que permite avaliar como o sinal de saída varia em relação ao valor do sinal de referência, visto que, para um sistema ótimo, o valor da média do sinal de saída deve ser igual, ou muito próximo ao valor do sinal de referência.
N k 1
1
y
y(k)
N
==
∑
(4) A relação percentual ao valor de referência é dada pela Eq. 6, onde SP é o valor da referência.SP y
y%
100
SP
−
=
(5) Onde SP é o valor de referência.3.3 Média do Sinal de Controle
A média do sinal de controle (Eq. 6) é uma medida importante, junto com a variância do sinal de controle representa o esforço sobre os elementos atuadores.
N k 1
1
u
u(k)
N
==
∑
(6)3.4 Variância da Saída do Sistema
Uma vez ocorrendo distúrbios no sistema, ou variações no valor do sinal de referência, e for efetuada uma avaliação dos indicadores para N amostras, pode-se dizer que a média das amostras tenderá ao valor ajustado na referência. Porem nem sempre a estabilidade relativa de um sistema de controle permite que se tenha este comportamento em relação à média de determinados sinais de uma malha. Uma boa medida para se analisar o quanto uma determinada variável dispersou em relação à média é a variância. A variância é uma medida que se baseia na média aritmética, e busca avaliar o quanto os dados estão dispersos em relação à média, ou seja, o quanto os dados estão afastados da média. A variância é definida pela Eq. 7.
(
)
22
x x
n
−
σ =
∑
(7) Assim tem-se a variância do sinal de saída (Eq. 8) como índice de desempenho do sistema, observado que para um melhor desempenho a variância deve ser a menor possível.2 N 2 y(t ) k 1
1
S
y(k) y
N
=⎛ ⎞
⎡
⎤
σ
=
⎜ ⎟
⎣
−
⎦
⎝ ⎠
∑
(8)3.5 Variância do Sinal de Controle
A variância do sinal de controle (Eq.10) permite avaliar os esforços sobre os atuadores, devido o sinal de controle.
2 N 2 u(t ) k 1
1
S
u(k) u
N
=⎛ ⎞
⎡
⎤
σ
=
⎜ ⎟
⎣
−
⎦
⎝ ⎠
∑
(9)4 ÍNDICES NÃO INTRUSIVOS MEDIDOS POR SIMULAÇÃO
Para realização das simulações foram escolhidos os métodos de identificação de Alfaro, Bröida, Chen e Yang, Ho et al, Smith e Viteckóva et al, visto que todos são métodos baseados no mesmo princípio, o método de dois pontos. E os métodos de sintonia do controlador PID utilizados foram o de Ziegler e Nichols, Cohen-Coon, Lambda, Haalman, Chien, Hrones e Reswick 0%, e Chien, Hrones e Reswick 20% [4].
O sistema de controle simulado é representado pela função de transferência dado pela Eq. 10 mais um AT de 1 segundo. A Eq. 10 pode ser uma função de transferência de um processo qualquer de segunda ordem.
2
10
G(s)
s
7s 25
=
+
+
(10)As simulações foram feitas no software MatLab®, através da implementação de um código fonte (m-file) e dos recursos do ambiente de simulação – Simulink – encontrado no software. Foi implementado o sistema em malha aberta, em malha fechada com controlador PID e em malha fechada com Preditor de Smith. A Fig. 2 mostra como foi implementado o Preditor de Smith.
Figura 2 – Sistema simulado em malha fechada com Preditor de Smith
O tempo de cada simulação foi o tempo para que o sistema atingisse o regime permanente ou atingisse 30 segundos, visando fazer a comparação dos resultados obtidos do transitório de cada sistema simulado. Considerando ainda que 30 segundos deva ser tempo suficiente para que o sistema atinja o regime permanente, caso contrário, o desempenho do sistema será considerado insatisfatório devido a seu elevado tempo de assentamento. Como resultado será apresentado o método de identificação de Álfaro, com o método de sintonia para PID de Haalman, bem como a resposta obtida pelo Preditor de Smith.
Figura 3 – Resposta para método de Alfaro com sintonia de Haalman
A resposta do sistema para o método de Alfaro com sintonia de Haalman atinge o regime permanente dentro da janela de tempo de 20 segundos. Apresenta uma sobre elevação no transitório e não apresenta erro de estado estacionário em regime permanente.
A Tab. 3 apresenta os índices de desempenho não intrusivos aplicados com o mesmo método de identificação, mas para outros métodos de sintonia.
5 CONCLUSÕES
Analisando os resultados obtidos para o método de Alfaro (Tabela 3), percebe-se que os valores das médias de saída para os sistemas que atingiram o regime permanente dentro de 30 segundos – Haalman, Chien, Hrones e Reswick 0% e Chien, Hrones e Reswick 20% - tenderam a um. Devido a entrada dos sistemas ter sido um degrau unitário e esses não apresentarem erro de estado estacionário em regime permanente. As médias de controle não nos dizem muito, pois apresentaram valores semelhantes mesmo com os sistemas apresentando respostas distintas. Mas podem ser utilizadas se avaliadas no período do transitório. Observadas as variâncias de saída, percebe-se que os sistemas que apresentaram oscilações em seu transitório - Chien, Hrones e Reswick 0% e Chien, Hrones e Reswick 20% - apresentaram os maiores valores. As variâncias de controle nos mostram os esforços realizados pelos atuadores da planta, sendo a sintonia de Haalman a que demandou o menor esforço dos atuadores, pois apresentou o menor valor. Sendo os índices ISE, IAE, ITAE e ITSE integrais do erro no tempo, conclui-se naturalmente que uma vez calculado esses índices, o método de sintonia que apresentar o menor valor em um índice apresentará o menor valor em todos os outros, o método que apresentar maior valor em um índice apresentará maior valor em todos os outros e assim ocorre com os demais.
REFERENCIAS
[1] AGUIRRE, L. A; Introdução à Identificação de Sistemas: Técnicas Lineares e Não-Lineares Aplicadas a Sistemas Reais. 3ª Edição. Editora UFMG, 2007.
[2] ALFARO, M. V; Identificación de Procesos Sobreamortiguados Utilizando Técnicas de Lazo Abierto, Costa Rica, 2001.
[3] BOUAMAMA, B.O; “La régulationautomatique”, Ecole Universitaire D’Ingénieurs de Lille (ECUDIL), França 1998.
[4] CARMO, M. J.; GOMES, F. J; Diagnóstico de controladores PID e performance de malhas industriais em ambiente multifuncional integrado. In: CLCA XII Latin American Congress on Automatic Contro, 2006.
[5] CHEN, C.L.; YANG, S.F; “PI tuning based on peak amplitude ratio”, Preprints of IFAC Workshop on Digital Control: Past, Present and Future of PID Control, Terrasa, Espanha, 2000.
[6] COELHO, A. A. R.; COELHO, L. S; Identificação de Sistemas Dinâmicos Lineares. 1ª Edição. Editora da UFSC, 2004.
[7] HO, W. K.; HANG, C. C.; CAO, L. S; Tuning PID controllers based on gain and phase margin specifications. Automatica (UK), v. 31, n. 3, p. 497–502, (1995).
[8] NETO, A. Z; Análise do Impacto da Comunicação em Redes Foudation Fieldbuss no Desempenho de Sistemas de Controle. Dissertação de Mestrado em Engenharia Elétrica – Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 2007.
[9] SMITH, C.L; “Digital Computer Process Control”, Scranton, Pa., EUA, International Textbook Co, 1972.
[10] VITECKOVÁ, M.; VIECEK, A.; SMITNY L; “Simple PI and PID Controllers tuning for monotone self regulation plant”, IFAC Workshop on Digital Control: Past, Present and Future of PID Control, Terrasa, Espanha, 2000.
