Compensação de Dispersão. em Sistemas de Fibra Ótica. Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em. Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Compensação de Dispersão

em Sistemas de Fibra Ótica

Luís Miguel Pinto Correia de Carvalho Marques

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Eletrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes

Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Profª. Doutora Maria João Marques Martins

i

Agradecimentos

Gostaria, em primeiro lugar, de expressar o meu profundo agradecimento ao professor António Topa não só pelos conhecimentos transmitidos mas também pelo apoio e disponibilidade demonstrada para esclarecimento de dúvidas ao longo da elaboração desta dissertação.

Gostaria de agradecer a toda a minha família e à minha namorada Nádia Candeias pelo apoio prestado, mostrando-se sempre disponíveis para me auxiliar. Sem eles tudo isto seria impossível, por isso dedico a todos eles este trabalho, em especial ao meu avô Joaquim Correia, com quem tive o enorme prazer de partilhar 22 anos da minha vida.

Agradeço aos meus colegas de dissertação Daniel Anjos e Miguel Luís pela troca de conhecimentos e ajuda disponibilizada ao longo deste trabalho.

Aos meus grandes amigos de infância e de curso pelos muitos e bons momentos passados e incentivo dado ao longo deste percurso.

A todos, muito obrigado!

iii

Resumo

Nesta dissertação, pretendemos compreender a dispersão temporal em sistemas de comunicação ótica e procuramos resolvê-la.

Começamos por realizar uma breve introdução sobre a estrutura da fibra ótica, para de seguida passarmos para a descrição da dispersão e dos seus constituintes para uma fibra monomodal.

Procedemos à dedução da equação da propagação dos impulsos no regime linear e verificamos a influência e as consequências dos efeitos dispersivos, como a dispersão de velocidade de grupo (DVG) e a dispersão de ordem superior, para diversos impulsos.

Para combater os efeitos dispersivos que surgem na transmissão dos impulsos em regime linear, estudamos dois esquemas de compensação: a compensação da dispersão baseada em fibras de compensação de dispersão (DCFs) e em redes de Bragg (FBGs). Na compensação de dispersão utilizando DCFs, simulamos, para diferentes tipos de impulsos, a compensação da DVG e da dispersão de ordem superior separadamente. Para o estudo da compensação baseada em FBGs, são descritos os fundamentos teóricos por detrás das redes de Bragg, utilizando a teoria dos modos acoplados em fibra ótica. Demonstramos a grande flexibilidade das redes de Bragg, o que as torna bastante úteis no desenvolvimento de novas aplicações para as comunicações óticas, destacando as aplicações para filtragem e para compensação de dispersão.

Por último, analisamos a influência dos efeitos não-lineares na propagação de impulsos em sistemas de fibra ótica, que em circunstâncias especiais possibilita a propagação dos solitões. Debruçamo-nos ainda sobre a gestão de dispersão mais utilizada em sistemas com solitões, para minimizar o efeito do jitter.

Palavras-chave

Propagação de Impulsos em Fibras Óticas, Compensação de Dispersão, Fibra de Compensação de Dispersão (DCFs), Redes de Bragg (FBGs), Auto-Modulação de Fase (AMF), Solitões.

v

Abstract

This thesis aims to understand the time dispersion in optical communication systems and to find its solution.

We start by presenting a brief introduction regarding fiber characteristics; subsequently we describe the dispersion and its constituents for a single-mode fiber.

We derive the pulse propagation equation, in the linear regime, and show the influence and consequences of the dispersive effects, such as the group velocity dispersion and the higher-order dispersion, in different pulses.

In order to avoid dispersive effects on the pulse transmission, in the linear regime, two dispersion management schemes are presented: compensation scheme based in dispersion compensating fibers (DCFs) and compensation dispersion based in fiber Bragg gratings (FGBs). For the compensation by using DCFs, we simulate separately, for different types of pulses, the GVD compensation and the higher-order dispersion. In the compensation based in FBGs are described their theoretic concepts through the coupled-mode equations in optical fiber. Throughout this dissertation is shown the flexibility of FBG, making it extremely useful in the development of new applications for optical communications, underling applications for filter and dispersion compensation.

Finally, the influence of the nonlinear effects in pulse propagation of optical fiber systems is presented and analyzed. Under special circumstances it’s possible the propagation of solitons. To conclude, we’ll discuss the most used and common dispersion management in solitons systems, so that the jitter effect is minimised.

Keywords

Pulse Propagation in Optical Fibers, Dispersion-Compensation, Dispersion Compensating Fibers (DCFs), Fiber Bragg Gratings (FBGs), Self-Phase Modulation (SMP), Solitons.

vii

Índice

Lista de Tabelas ... xiii

Lista de Acrónimos ... xv

Lista de Símbolos ... xvii

Capítulo 1 - Introdução ...1

1.1. Enquadramento ...1

1.2. Objetivos ...4

1.3. Estrutura da Dissertação ...4

1.4. Contribuições ...6

Capítulo 2 – Propagação de Impulsos em Regime Linear ...7

2.1. Introdução ...7

2.2. Estrutura da Fibra Ótica...7

2.3. Estudo da Dispersão de uma Fibra Monomodal ...10

2.4. Equação de Propagação de Impulsos ...14

2.5. Evolução da Largura do Impulso Gaussiano ...21

2.6. Resultados Numéricos...24

2.6.1. Impulso Exponencial ...24

2.6.2. Impulso Gaussiano ...26

2.6.3. Impulso Super-Gaussiano ...30

2.6.4. Impulso Secante Hiperbólica ...34

2.7. Efeito da Dispersão de Ordem Superior ...35

2.7.1. Evolução do Impulso Gaussiano ...36

2.8. Conclusões ...40

Capítulo 3 – Compensação de Dispersão em Regime Linear ...41

3.1. Introdução ...41

3.2. Compensação de Dispersão Baseada em DCF ...41

3.2.1. Compensação da DVG ...42

3.2.1.1. Resultados Numéricos ...43

viii

3.2.1.1.2. Impulso Gaussiano ...44

3.2.1.1.3. Impulso Super-Gaussiano ...46

3.2.1.1.4. Impulso Secante Hiperbólica ...47

3.2.2. Compensação de Dispersão de Ordem Superior ...48

3.2.2.1. Resultados numéricos ...49

3.2.2.1.1. Impulso Exponencial ...49

3.2.2.1.2. Impulso Gaussiano ...50

3.2.2.1.3. Impulso Super-Gaussiano ...51

3.2.2.1.4. Impulso Secante Hiperbólica ...53

3.3. Compensação de Dispersão Baseada em Redes de Bragg ...54

3.3.1. Introdução ...54

3.3.2. Princípio de Funcionamento das Redes de Bragg ...54

3.3.3. Largura de Banda, Refletividade e Dispersão de uma FBG Uniforme ...56

3.3.4. Compensação de Dispersão Baseada em Redes Aperiódicas...61

3.4. Conclusões ...64

Capítulo 4 – Compensação de Dispersão em Regime Não-Linear ...67

4.1. Introdução ...67

4.2. Efeito Não-Linear de Kerr numa Fibra Ótica ...67

4.3. Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-Linear ...71

4.4. Sistemas com Solitões ...74

4.4.1. Efeito de Raman ...77

4.4.2. Gestão de Dispersão ...79

4.5. Impulso Gaussiano ...81

4.6. Conclusões ...82

Capítulo 5 – Conclusões ...85

5.1. Perspetivas para Trabalhos Futuros ...88

Anexo A - Fórmula Geral do Alargamento dos Impulsos em Fibras Óticas ...89

A.1. Dedução da Equação Geral de Propagação de Impulsos em Fibra Ótica no Regime Linear ...89

A.2. Alargamento de um Impulso Gaussiano com Efeitos Dispersivos de Ordem Superior ...93

ix

Listas de Figuras

Figura 2.1 – Estrutura de uma fibra ótica (adaptado de [2]) ...7 Figura 2.2 – Propagação de um raio numa fibra ótica (adaptado de [17]) ...8 Figura 2.3 – Variação do índice de refração e o índice de grupo em função do comprimento de onda [2] ...11 Figura 2.4 – Dispersão total , dispersão de material e dispersão de guia de onda para uma fibra ótica monomodal convencional, em função de ...12 Figura 2.5 – Variação do parâmetro de dispersão total para uma fibra monomodal convencional (SMF) e para uma fibra de dispersão modificada convencional (DSF), em função de ...13 Figura 2.6 – Evolução da largura do impulso Gaussiano com para parâmetro chirp , e ...22 Figura 2.7 – Influência do parâmetro chirp no produto para coeficiente de alargamento , e , com e ...24 Figura 2.8 – Impulso exponencial à entrada e à saída da fibra (à esquerda); evolução do impulso exponencial ao longo da fibra (à direita) ...25 Figura 2.9 – Evolução do espetro do impulso exponencial ao longo da fibra ...25 Figura 2.10 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita) ...26 Figura 2.11 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da fibra ...27 Figura 2.12 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direita) ...28 Figura 2.13 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da fibra ...28 Figura 2.14 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra para (à direira) ...29 Figura 2.15 – Evolução do espetro do impulso Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da fibra...29 Figura 2.16 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo da fibra para (à direita) ...30 Figura 2.17 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da fibra...31

x

Figura 2.18 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo da fibra para (à direita) ...32 Figura 2.19 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da fibra...32 Figura 2.20 – Impulso super-Gaussiano à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da fibra para ao longo da fibra para (à direita) ...33 Figura 2.21 – Evolução do espetro do impulso super-Gaussiano para parâmetro chirp ao longo da fibra...33 Figura 2.22 – Impulso secante hiperbólica à entrada e à saída da fibra para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da fibra para ao longo da fibra para (à direita) ...34 Figura 2.23 – Evolução do espetro do impulso secante hiperbólica para parâmetro chirp ao longo da fibra...35 Figura 2.24 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: , e ...37 Figura 2.25 – Impulso Gaussiano com largura em três locais da fibra: , e ...37 Figura 2.26 – Impulso Gaussiano com largura em para três diferentes casos: impulso inicial, e ...38 Figura 2.27 – Evolução Impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para parâmetro chirp e ...38 Figura 2.28 – Deterioração do impulso Gaussiano com largura , considerando , para valores do parâmetro chirp , e ...39 Figura 2.29 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra com largura para parâmetro chirp e ...39 Figura 3.1 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada a DCF e à saída da DCF, para compensação da DVG ...44 Figura 3.2 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do impulso exponencial na DCF (à direira), para compensação da DVG ...44 Figura 3.3 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG ...45 Figura 3.4 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG ...45 Figura 3.5 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG ...46

xi

Figura 3.6 – Evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da DVG ...46 Figura 3.7 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da DVG ...47 Figura 3.8 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para parâmetro chirp (à esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica na DCF para (à direita), para compensação da DVG ...48 Figura 3.9 – Impulso exponencial à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF, para compensação da dispersão de ordem superior ...49 Figura 3.10 – Evolução do impulso exponencial ao longo da SMF (à esquerda); evolução do impulso exponencial na DCF (à direira) , para compensação da dispersão de ordem superior 50 Figura 3.11 – Impulso Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior ...51 Figura 3.12 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução do impulso Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da dispersão de ordem superior ...51 Figura 3.13 – Impulso super-Gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior ...52 Figura 3.14 – Evolução do impulso super-Gaussiano ao longo da SMF para (à esquerda); evolução do impulso super-Gaussiano na DCF para (à direita), para compensação da dispersão de ordem superior ...52 Figura 3.15 – Impulso secante hiperbólica à entrada da SMF, à saída da SMF, à entrada da DCF e à saída da DCF para parâmetro chirp , para compensação da dispersão de ordem superior ...53 Figura 3.16 – Evolução do impulso secante hiperbólica ao longo da SMF para (à esquerda); evolução do impulso secante hiperbólica o na DCF para (à direita), na compensação da dispersão de ordem superior ...53 Figura 3.17 – Variação do parâmetro com ...57 Figura 3.18 – Espetros da refletividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita) em função de para e ...58 Figura 3.19 – Dependência da refletividade máxima com o comprimento da FBG

uniforme, em , para valores de coeficiente de acoplamento , e _...58

Figura 3.20 – Espetros da transmissividade em unidades lineares (à esquerda) e em (à direita) em função de para e ...59

xii

Figura 3.21 – Variação da fase do coeficiente de reflexão em função de para e

...60

Figura 3.22 – Atraso de grupo (à esquerda) e dispersão induzida (à direita) numa FBG uniforme com e , para e ...60

Figura 3.23 – Largura de banda da banda proibida da FBG uniforme para _{, e , em função do comprimento da rede , em ...61}

Figura 3.24 – Compensação da dispersão utilizando uma CFBG: Perfil do período espacial ( ) ao longo do comprimento da CFBG (à esquerda); reflexão das baixas e altas frequências em diferentes pontos da rede CFBG (à direita) (adaptado de [1])...62

Figura 3.25 – Reflexão e atraso de grupo de uma CFBG de comprimento com parâmetro de aperiodicidade total de , para DVG normal (obtido através do programa OptiGrating 4) ...62

Figura 4.1 – Evolução do solitão fundamental...76

Figura 4.2 – Evolução do solitão de terceira ordem ...76

Figura 4.3 – Evolução do solitão fundamental com coeficiente do efeito de Raman ...78

Figura 4.4 – Evolução do solitão de segunda ordem com coeficiente do efeito de Raman ...78

Figura 4.5 – Evolução do solitão fundamental para um sistema com gestão de dispersão ...80

Figura 4.6 – Mapa de dispersão, para e [6] ...80

Figura 4.7 – Impulso Gaussiano à entrada e à saída da fibra em regime não-linear para distâncias (à esquerda) e (à direita) ...81

Figura 4.8 – Evolução do impulso Gaussiano ao longo da fibra em regime não-linear para distâncias (à esquerda) e (à direita) ...81

xiii

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Características do impulso exponencial e do troço de fibra ótica ...25

Tabela 2.2 – Características do impulso Gaussiano e do troço de fibra ótica ...26

Tabela 2.3 – Características do impulso super-Gaussiano e do troço de fibra ótica ...30

Tabela 2.4 – Características do impulso secante hiperbólica e do troço de fibra óptica ...34

Tabela 3.1 – Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para compensação da DVG ...43

Tabela 3.2 – Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação da DVG ...44

Tabela 3.3 – Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação da DVG.. ...46

Tabela 3.4 – Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para compensação da DVG ...47

Tabela 3.5 – Características do impulso exponencial e dos troços de fibra e , para compensação da dispersão de ordem superior ...49

Tabela 3.6 – Características do impulso Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação da dispersão de ordem superior ...50

Tabela 3.7 – Características do impulso super-Gaussiano e dos troços de fibra e , para compensação da dispersão de ordem superior. ...55

Tabela 3.8 – Características do impulso secante hiperbólica e dos troços de fibra e , para compensação da dispersão de ordem superior ...53

xv

Lista de Acrónimos

DCF Fibras de compensação de dispersão (Dispersion compensating fiber) DSF Fibras de dispersão modificada (Dispersion shifted fibers)

DVG Dispersão de velocidade de grupo (Group velocity dispersion) EDFA Erbium doped fiber amplifier

FBG Fiber Bragg grating

NLS Nonlinear Schrödinger equation RZ Return to zero

SMF Fibra monomodal (Single-mode fiber) SSFM Split-step Fourier method

xvii

Lista de Símbolos

Constante de propagação longitudinal

Constante de propagação longitudinal perturbada

Constante de propagação longitudinal à frequência angular da portadora Inverso da velocidade de grupo

Coeficiente de dispersão da velocidade de grupo

Coeficiente de dispersão da velocidade de grupo de uma FBG Dispersão da velocidade de grupo de uma fibra SMF

Dispersão da velocidade de grupo de uma DCF

Coeficiente de dispersão de ordem superior

Dispersão de ordem superior de uma fibra SMF Dispersão de ordem superior de uma DCF

Constante de propagação longitudinal para o comprimento de onda de Bragg Derivada da constante de propagação longitudinal em ordem a

Coeficiente não-linear

Fator de dessintonia do comprimento de onda de Bragg Constante dielétrica

Constante dielétrica perturbada

Coordenada espacial de propagação normalizada Período de solitão em unidades normalizadas Coeficiente de alargamento

( ) Efeito chirp num impulso em regime linear Ângulo de aceitação

Ângulo incidente na fibra ótica Ângulo difratado na fibra ótica ( ) Derivada de em ordem a

Termo referente à dispersão de ordem superior Coeficiente de acoplamento

Comprimento de onda

Comprimento de onda central da banda Comprimento de onda de Bragg

Comprimento de onda para o qual a dispersão se anula

Velocidade de grupo Frequência normalizada

( ) Coeficiente de dispersão normalizado

Largura RMS de um impulso em regime linear ao longo da fibra Largura RMS de um impulso em regime linear à entrada da fibra

xviii Coeficiente temporal normalizado

Largura mínima do impulso Gaussiano

Atraso de grupo

Largura temporal característica do impulso

Coeficiente normalizado referente ao efeito de Raman Largura FWHM de um solitão

Ângulo crítico

Fase do coeficiente de reflexão de uma FBG

Fase não-linear

Fase não-linear no final da ligação

Frequência angular

Frequência angular da portadora Desvio de frequência

Coeficiente de atenuação normalizado

Coeficiente de confinamento de uma rede de Bragg Contraste dielétrico

Perturbação de Perturbação de Perturbação de

Largura espetral do impulso

Intervalos de comprimentos de onda emitidos pela fonte ótica Largura de banda de uma CFBG

Alargamento temporal do impulso Laplaciano

Período da FBG

Período da rede numa das extremidades da CFBG Desvio de frequência angular em relação à portadora

Desvio de frequência introduzido pelo efeito de Raman Raio do núcleo da fibra ótica

Envolvente do campo elétrico

Área efetiva

Função de Airy Amplitude do impulso

Amplitude da onda Backward de uma FBG ̃ Transformada de Fourier de

̃ Derivada em ordem a de ̃

Índice de refração modal normalizado Variação longitudinal do campo elétrico ̃ Transformada de Fourier de

xix Velocidade da luz no vazio

Desvio dinâmico de frequência ou simplesmente chirp Coeficiente de aperiodicidade de uma CFBG

Dispersão

Dispersão de um segmento de fibra SMF Dispersão de um segmento de fibra DCF Débito binário

Débito binário máximo que cumpre o critério de interferência inter-simbólica

Coeficiente de dispersão da CFBG Dispersão material

Dispersão do guia de onda ̅ Dispersão média

Vetor campo elétrico

Amplitude do campo elétrico ̃ Transformada de Fourier de

Frequência

Função modal do campo elétrico

Constante de propagação transversal no núcleo ( ) Função de Heaviside

( ) Função de transferência da fibra ótica Unidade imaginária

Intensidade ótica

Função de Bessel de 1ª espécie

Constante de propagação em espaço livre Função de Bessel modificada de 2ª espécie Comprimento de fibra ótica

Comprimento dispersivo associado à dispersão de velocidade de grupo Comprimento dispersivo associado à dispersão de ordem superior

Comprimento efetivo

Comprimento de uma FBG

Comprimento não-linear

Comprimento de um segmento de fibra SMF Comprimento de um segmento de fibra DCF Ordem da difração de Bragg

Dispersão material Índice de refração Ordem de um solitão

Índice de modulação de profundidade

xx

Índice de refração do núcleo da fibra ótica Índice de refração da bainha da fibra ótica Coeficiente do índice não-linear

Número de amplificadores na ligação Índice de grupo da bainha da fibra ótica ̅ Índice de refração modal

̅ Índice de grupo Abertura numérica

Potência transportada na fibra

Potência de pico do impulso incidente

Potência máxima do impulso à entrada da fibra Potência do solitão

Normalização da envolvente segundo perspectiva não-linear

Constante de propagação longitudinal das ondas que se propagam no sentido positivo e no sentido contrapropagante

Separação entre impulsos vizinhos em unidades normalizadas Coordenada transversal em coordenadas cilíndricas

Parte linear da equação da propagação de impulsos em regime não-linear

Refletividade máxima de uma FBG

Coeficiente de reflexão de uma FBG ( ) Espetro de um impulso em regime linear

Declive da dispersão

Declive de dispersão para ( )

Derivada de ( ) em ordem a

Tempo

Coeficiente de transmissão de uma FBG Coeficiente temporal normalizado

Período temporal atribuído a um bit

Desvio de frequência devido ao efeito de Raman 〈 〉 Momento de ordem

Constante de propagação transversal no núcleo ( ) Amplitude normalizada de

Envolvente normalizada de Frequência normalizada

Constante de atenuação da bainha Admitância

Período de solitão Coordenadas cartezianas

1

Capítulo 1 - Introdução

1.1. Enquadramento

Desde os primórdios da existência do homem, sempre existiu a necessidade de estabelecimento de comunicação a longas distâncias. O crescente número de serviços de telecomunicações disponíveis e a sua massificação têm exercido, nas últimas décadas, uma enorme pressão no sentido de aumentar a capacidade das redes de telecomunicações [9].

Com a invenção do telégrafo por Samuel Morse, em 1838, surgiu uma nova época das comunicações, a era das comunicações elétricas. Anos mais tarde, grande parte do espetro eletromagnético era utilizado para transmissão de informação. Deste modo, a tendência nos sistemas de comunicação elétrica de utilizar frequências cada vez mais altas, as quais oferecem aumentos de largura de banda ou de capacidade de informação, levou ao aparecimento de novas aplicações como o rádio, a televisão, o radar, os feixes Hertzianos e mais recentemente os telemóveis [8]. Nos meados do século XX, deu-se o aparecimento do cabo axial, aumentando-se a capacidade dos sistemas na ordem dos . Contudo, estes cabos apresentavam grandes limitações, principalmente as perdas, tornando-se mais graves para frequências acima de 10 [5].

Começaram a surgir múltiplos serviços que utilizavam portadora de frequência até dezenas de , o que provocou a exaustão do espetro eletromagnético. Tal situação levou à procura de outras regiões do espetro eletromagnético com boas características de transmissão [8]. Em 1951, Narinder Kapany, em parceria com Harold Hopkins, criou as primeiras fibras de vidro para guiar luz e imagens. Este inovador sistema de transmissão de luz e de imagens baseava-se nos estudos de John Tyndall, que utilizou um recipiente cheio de água com um orifício para comprovar que a luz se propagava ao longo do recipiente e saía com a água pelo orifício.

Em 16 de Maio de 1960, Theodore Maiman realizou a primeira demonstração do funcionamento de um LASER (light amplification by the stimulated emission of radiation), revolucionando a indústria das telecomunicações, impulsionando as comunicações óticas [3]. O espetro ótico apresenta boas características de transmissão, todavia, durante os anos 60, as primeiras fibras óticas exibiam perdas superiores a 1000 , tornando a sua utilização impraticável em telecomunicações. Em Julho de 1966, Charles Kao e George Hockham publicaram uma proposta de sistemas de comunicação ótica baseados em fibras óticas com perdas inferiores a 20 [3]. Só mais tarde, em 1970, Robert Manuer, Donald Keck e Peter Schultz, ao serviço da Corning Glass Works, produziram uma fibra ótica monomodal com uma atenuação de 16 no comprimento de onda de 633 [5].

2

A primeira geração comercializada, baseada em fibras óticas, em 1980, utilizava fibras multimodais operando na primeira janela, compreendida entre 0.8 e 0.9 , com um débito binário de 45 e distância entre repetidores limitada a 10 [3]. A primeira geração é caracterizada pela utilização de um fotodíodo de silício na receção do sinal ótico desde o emissor até ao recetor [9].

Em 1987, apareceu a segunda geração comercial, operando na segunda janela, compreendida entre 1.26 e 1.36 , onde as perdas da fibra eram na ordem de 1 . Com o surgimento de lasers semicondutores e da fibra monomodal, que eliminou o efeito da dispersão intermodal pois permitiu a propagação de um único modo, conseguiu-se aumentar o débito binário para 1.7 e repetidores espaçados de cerca de 50 . O primeiro cabo submarino com fibra ótica surgiu em 1988, e utilizava fibra monomodal, lasers semicondutores multimodais a operar na terceira janela, compreendida entre 1.5 e 1.6 , e com repetidores espaçados de 70 . Este sistema permitia um ritmo binário de 0.28 Gb/s, sendo designado por TAT-8 (Transatlatic Telecommunication Cable). Um ano mais tarde, foi instalado o TPC-3 (Trans-Pacific Cable), sistema com características semelhantes ao TAT-8 [3].

Com o avanço da qualidade dos vidros e dos processos de fabrico das fibras óticas, desde 1979, conseguiu-se atingir um mínimo absoluto de atenuação na terceira janela, cerca de 0.2 em 1.55 . No entanto, continuavam a existir problemas relacionados com o facto da dispersão típica nesta janela ser ainda considerável, cerca de 16 ( ) [7]. Surge, em 1990, a terceira geração comercial de sistemas de comunicação ótica (TAT-9, TPC-4 e TAT-10/11) que recorre a fibras de dispersão modificada com lasers semicondutores monomodais, operando na terceira janela, alcançando débitos binários até 10 . Contudo, são utilizados regeneradores elétricos para aumentar a distância de transmissão dos sistemas óticos, conseguindo-se espaçamentos típicos de 60-70 . Neste sistema com regeneradores elétricos o sinal ótico é detetado e convertido num sinal elétrico, para de seguida fazer regeneração da amplitude, regeneração da forma e regeneração temporal. Posteriormente, o sinal é convertido para o domínio ótico. Esta é a maior limitação, tornando estes sistemas muito complexos. O aparecimento dos amplificadores óticos, em que se destacam as fibras amplificadores dopadas com érbio ou EDFAs (erbium-doped fiber amplifiers), permitiu amplificar diretamente os sinais no domínio ótico sem necessidade de eletrónica adicional. Esta inovação conferiu maior simplicidade e transparência aos sistemas de comunicação ótica, provocando uma alteração radical. Os EDFAs, comercializados desde 1990, operam na terceira janela, com uma largura de banda considerável e utilizam lasers semicondutores para o bombeamento, permitindo aumentar o espaçamento entre amplificadores para 60-100 [3].

A quarta geração de sistemas de comunicação ótica, sendo a primeira geração completamente fotónica, combina o uso de amplificadores óticos, para aumentar o espaçamento entre amplificadores, e a utilização da técnica multiplexagem no comprimento de onda ou WDM (wavelength-division multiplexing) para aumentar o débito binário. Em 1996,

3

entram em funcionamento os primeiros cabos submarinos desta geração, o TPC-5 e os TAT-12/13, que operam em 1.55 , com espaçamento de apenas de 50 mas com débitos binários de 5.3 . Mais tarde, em 2000, surge o TPC-6 oferecendo um ritmo binário de 100 [7].

Atualmente, os sistemas são ainda de quarta geração. Resolvidos os problemas das perdas através da utilização das fibras amplificadoras, continuam a subsistir os problemas da dispersão e dos efeitos não-lineares da fibra. Espera-se, com grande expectativa, a quinta geração, existindo algumas abordagens possíveis que têm vindo a ser testadas com o objetivo de resolver o problema da dispersão [3]:

 O upgrading de sistemas previamente instalados, através de esquemas de compensação de dispersão, como por exemplo a inclusão de troços de fibra com dispersão negativa (DCF – Dispersion Compensating Fiber) ou de redes de Bragg (FBG – Fiber Bragg Gratings);

 Alteração do modo de projetar sistemas lineares convencionais com recurso a gestão de dispersão;

 Novos sistemas com solitões (ou sistemas RZ não-lineares), que tiram partido da não linearidade da fibra ótica, revolucionando a forma de projetar sistemas de comunicação ótica.

Para sistemas de comunicação ótica de longas distâncias e elevados ritmos de transmissão os efeitos não-lineares podem assumir um papel importante na degradação do desempenho dos sistemas. O sistema em solitões permite compensar simultaneamente os efeitos não-lineares e a dispersão. Esta manifestação foi observada pela primeira vez em 1834 por John Scott Russel e verificou que uma onda de um canal continuou o seu movimento ao longo do canal sem qualquer alteração de forma ou diminuição da velocidade [6-9]. Em 1895, Kortweg e de Vries obtiveram uma equação que descrevia este fenómeno, sendo esta onda solução de uma equação diferencial não-linear conhecida como . Só em 1973, é que o solitão foi introduzido como onda eletromagnética capaz de se propagar numa fibra ótica de acordo com a equação não-linear de Schrödinger, em que a envolvente do campo elétrico tem a forma secante hiperbólica [6-9]. Atualmente, já foram obtidos resultados em sistemas com solitões, com ritmos de transmissão elevados na ordem dos . Estes sistemas conjuntamente com a técnica WDM apresentam grandes potencialidades, sendo os principais candidatos a serem comercializados num futuro próximo. No entanto, a propagação dos solitões não é imune às perdas nas fibras, existindo, atualmente, diversas investigações nesta área da propagação com o intuito de minimizar o jitter nos sistemas [9].

Na sociedade contemporânea, o desejo constante de nos mantermos informados e em comunicação uns com os outros exige sistemas de comunicação que assegurem estas necessidades de forma eficiente e segura. Os sistemas de comunicação ótica aparecem então como a grande vanguarda das telecomunicações, cobrindo essas necessidades da sociedade,

4

com elevados ritmos de transmissão. Existe, contudo, um atraso da fotónica na substituição eficaz da eletrónica, constituindo um dos grandes obstáculos às redes de distribuição FTTH (fiber to the home). Deste modo, a comutação fotónica deverá constituir a próxima revolução tecnológica para ser possível conceber redes digitais completamente fotónicas [3].

1.2. Objetivos

Neste trabalho é abordada a influência dos efeitos dispersivos e não-lineares na propagação de impulsos, em regime linear e não-linear, em sistemas de fibra ótica. São estudados vários dispositivos e técnicas de compensação de dispersão utilizados nos sistemas de comunicação ótica atuais, para resolver os problemas que surgem na propagação de impulsos.

Com o intuito de analisar a dispersão temporal em sistemas de fibra ótica, começamos por descrever a estrutura da fibra ótica, para de seguida caraterizar a dispersão total em termos da dispersão de material e da dispersão de guia de onda, verificando a influência dos vários parâmetros caraterísticos da fibra ótica na dispersão. Pretende-se determinar a equação para a propagação de impulsos em fibras óticas em regime linear e de seguida, com base nessa equação, efetuar várias simulações para diferentes impulsos de entrada para observar os principais problemas inerentes à propagação de impulsos.

Em seguida, conhecidos os efeitos da dispersão, estudamos dois mecanismos para compensar estes efeitos, em regime linear: compensação de dispersão baseada em DCFs e em FBGs. Descrevemos e analisamos o funcionamento de cada esquema de compensação, salientando as potencialidades da cada dispositivo.

No último capítulo, descrevemos a influência dos efeitos não-lineares na propagação de impulsos e estudamos um caso particular que ocorre no regime não-linear de modo a investigar a sua capacidade de resposta para o problema da dispersão.

1.3. Estrutura da Dissertação

Com vista a alcançar os objetivos que indicámos anteriormente, a presente dissertação encontra-se estruturada da seguinte forma:

Capítulo 1 – Neste capítulo, procedemos à apresentação sucinta do desenvolvimento das comunicações. São explicitados os principais objetivos da dissertação, a sua estrutura e as principais contribuições.

Capítulo 2 – No segundo capítulo, começamos por descrever, brevemente, a estrutura das fibras óticas e caracterizamos a propagação em fibras óticas, inicialmente numa perspetiva

5

da teoria ótica geométrica, sendo mais tarde numa perspetiva com base na teoria de propagação de ondas eletromagnéticas. Introduzem-se os mecanismos de dispersão presentes na fibra ótica, caracterizando a dispersão e os seus componentes numa fibra monomodal. É obtida a equação que descreve o comportamento dos impulsos que se propagam ao longo de uma fibra ótica monomodal, em regime linear. São analisados os efeitos produzidos pela DVG, nomeadamente as consequências na largura temporal e na amplitude do impulso. Contabilizamos esse alargamento para um impulso Gaussiano, bem como a influência no produto . Através da equação de propagação de impulsos, em regime linear, realizam-se diversas simulações para diferentes impulsos, efetuando a posteriori uma análise dessas mesmas simulações. Por fim, examinamos a consequência dos efeitos da dispersão de ordem superior na propagação de impulsos Gaussiano numa fibra ótica.

Capítulo 3 – Para minimizar os efeitos introduzidos pela dispersão, em regime linear, apresentamos dois esquemas de gestão de dispersão: a técnica baseada em DCFs e a técnica baseada em redes de Bragg, descrevendo as grandes potencialidades destes dois dispositivos em sistemas de comunicação ótica. Na compensação de dispersão baseada em DCFs, estudamos a evolução de vários impulsos após a utilização da DCF. Na compensação de dispersão baseada em FBGs, descrevemos a teoria das redes, demonstrando as principais características da FBG, nomeadamente a existência de uma banda proibida. Estudamos o coeficiente de refletividade, transmissividade, dispersão e largura de banda das FBGs uniformes. Por fim, analisamos a aplicação deste dispositivo para compensação da DVG, definindo as principais características.

Capítulo 4 – Este capítulo baseia-se no estudo de impulsos do tipo solitão em fibras óticas. Começamos por estudar os efeitos lineares, analisando as propriedades não-lineares, nomeadamente os efeitos não-lineares de Kerr. Deduzimos a expressão da propagação dos impulsos numa fibra ótica, em regime não-linerar, e efetuamos uma caracterização com base nessa mesma expressão. Verifica-se que na presença de circunstâncias especiais é exequível a propagação de solitões. Abordamos as principais propriedades dos solitões óticos, destacando em especial a manutenção da sua forma na ausência de perdas. Na presença de perdas, examinamos o efeito de dispersão de ordem superior mais significativo, o efeito de Raman, apresentando posteriormente um esquema de gestão de dispersão para minimizar o jitter causado por este efeito de ordem superior. Para finalizar, analisamos a propagação do impulso Gaussiano no regime não-linear.

Capítulo 5 – Neste último capítulo, são expostas as considerações finais sobre o trabalho desenvolvido nesta dissertação e é indicado um conjunto de ideias para explorar em futuros trabalhos.

Anexo A – Neste anexo é apresentada a dedução da fórmula geral da propagação dos impulsos em sistemas com fibras óticas, em regime linear. Sendo depois esta fórmula aplicada a um impulso Gaussiano.

6

1.4. Contribuições

As principais contribuições do trabalho desenvolvido nesta dissertação, na área das comunicações óticas, são as seguintes:

 Análise da propagação de impulsos em regime linear: estudo do impacto da dispersão de ordem superior na propagação de impulsos em sistemas de fibra ótica;

 Compensação de dispersão em regime linear: análise de técnicas de compensação de dispersão em regime linear, recorrendo ao auxílio de DCFs e de FBGs;

 Compensação de dispersão em regime não-linear: estudo sobre o esquema de gestão de dispersão para sistema em solitões.

7

Capítulo 2 – Propagação de Impulsos em Regime Linear

2.1. Introdução

Um dos principais fenómenos que limita os sistemas de comunicação ótica é a dispersão temporal. O primeiro passo deste trabalho é compreender e quantificar este fenómeno, que ocorre em sistemas de fibra ótica, para que seja depois possível reduzir o seu efeito.

2.2. Estrutura da Fibra Ótica

Uma fibra ótica é um guia de ondas dielétrico de forma cilíndrica, constituído por dois materiais dielétricos transparentes, feitos normalmente em vidro e/ou plástico, em que cada um tem índice de refração diferente [8]. Como ilustra a figura 2.1, os dois materiais são organizados de forma concêntrica, existindo uma região central denominada por núcleo, por onde passa a luz, e em sua volta existe a bainha, sendo o índice de refração do núcleo superior ao índice de refração da bainha , possibilitando a propagação da luz na fibra [8]. Para maior proteção da fibra esta é revestida por um material plástico, para proteger de eventuais danos.

Figura 2.1 – Estrutura de uma fibra ótica (adaptado de [2]).

As fibras óticas permitem a transmissão de sinais, com baixas perdas, que pode ser explicada com base na teoria ótica geométrica, sendo esta descrição válida quando o raio do núcleo é muito maior que o comprimento de onda de luz, situação frequente nas fibras multimodo. Nesta teoria ótica geométrica, a luz pode ser considerada como raios que são refletidos e refratados na fronteira de separação entre o núcleo e a bainha. Os raios que incidem na fronteira de separação núcleo-bainha da fibra ótica sofrem o fenómeno de reflexão interna total quando os ângulos que intersetam a interface núcleo-bainha, medidos relativamente à perpendicular, são superiores ao ângulo crítico ( ) ficando os raios confinados ao núcleo da fibra. As sucessivas reflexões são asseguradas devido à diferença de índices de refração, com , fazendo com que os ângulos dos raios, que

8

incidem nessa interface, sejam superiores ao ângulo crítico, permitindo a propagação dos raios na fibra. Os restantes raios, com ângulos inferiores ao ângulo crítico, refratam-se para a bainha sendo absorvidos por esta e naturalmente perdidos. Por sua vez, a existência do ângulo crítico conduz à existência de um ângulo máximo possível para o qual o raio incidente na entrada da fibra ótica seja transmitido por esta. Este ângulo é habitualmente designado por ângulo de aceitação, , e define um cone de aceitação de luz à entrada da fibra ótica [8], para o qual somente os raios de luz que incidem na interface ar-núcleo com um ângulo pertencente a esse cone de aceitação sofrerão reflexão interna total na interface núcleo-bainha, ver figura 2.2. Este ângulo de aceitação pode relacionar-se com a abertura numérica ( ), que calcula a capacidade da fibra ótica para captar luz, através da seguinte expressão [8]

( ) ( ) √ (2.1)

em que é o índice de refração do meio exterior à fibra, geralmente o ar. Usualmente, como a diferença entre os índices de refração do núcleo, , e da bainha, , é muito pequena, a abertura numérica pode ser aproximada, se , por

√ (2.2)

onde representa o contraste dielétrico, dado por

(2.3)

Figura 2.2 – Propagação de um raio numa fibra ótica (adaptado de [17]).

Verificamos que quanto mais elevado for o valor de mais fácil será o acoplamento entre a fonte ótica e a fibra. Contudo, nas fibras óticas com valor elevado de maior será o valor da dispersão intermodal, dando origem à distorção do sinal transmitido e conduzindo a uma redução da largura de banda na fibra ótica.

Porém, a teoria ótica geométrica não descreve com exatidão a propagação da potência ótica ao longo da fibra, perdendo a sua validade quando o raio do núcleo da fibra ótica apresenta dimensões comparáveis ao comprimento de onda do sinal, como acontece para as fibras monomodais. É necessário recorrer à teoria de propagação de ondas eletromagnéticas

9

de modo a descrever rigorosamente a propagação da luz numa fibra ótica [7]. De acordo com esta teoria, a propagação da luz ao longo de um guia é descrita em termos de um conjunto de ondas eletromagnéticas guiadas, denominadas de modos [10]. Os tipos de modos que se propagam numa fibra ótica são determinados a partir das equações de Maxwell, sendo a dedução dos modos de propagação dependente das características da fibra ótica. Do desenvolvimento descrito na referência [3] verificamos que cada modo de propagação é caracterizado por uma configuração de campo elétrico e magnético que se repete ao longo do guia, e que geralmente uma fibra ótica suporta modos híbridos ( ou ), mas num caso particular, quando não há variação azimutal, os modos híbridos degeneram nos modos transversais elétricos ( ) ou nos modos transversais magnéticos ( ). Existem infinitos modos guiados, que são excitados a partir de diferentes frequências de corte, havendo apenas um único modo que admite uma frequência normalizada de corte nula, designado por modo fundamental . Para qualificar o comportamento das fibras óticas quanto ao número de

modos, é importante definir a frequência normalizada [10]:

√ ( ) √ (2.4)

onde é o comprimento de onda de trabalho.

Uma fibra que suporta vários modos é designada por fibra multimodal, enquanto uma fibra que suporta um único modo designa-se por fibra monomodal. Para fibras óticas de pequeno contraste dielétrico, os modos que se propagam são aproximadamente linearmente polarizados, dando origem aos modos [3]. A fibra multimodal tem menores perdas de acoplamento que a fibra monomodal, uma vez que o seu núcleo é bem mais largo, contudo, como suporta diversos modos e estes têm diferentes tempos de propagação tais diferenças dão origem a dispersão intermodal. Este fenómeno contribui para uma distorção do sinal e uma redução substancial da largura de banda na fibra, não sendo admissível nas telecomunicações atuais. Por esta razão o regime multimodal é abandonado. A fibra monomodal, como suporta um único modo, não apresenta dispersão intermodal, sendo desta forma muito aliciante a sua utilização. Assim, para projetar uma fibra que funcione em regime monomodal, para o comprimento de onda de trabalho, os modos de ordem superior devem estar abaixo do corte, conduzindo a um valor para o raio do núcleo de tal forma a que frequência normalizada seja , valor que corresponde à frequência normalizada que o modo seguinte ao modo fundamental é excitado [10]. Resolvendo a equação (2.4) o valor máximo do raio do núcleo é expresso do seguinte modo:

√ (2.5)

Porém, a fibra monomodal apresenta também limitações como a atenuação, a dispersão intramodal e os efeitos não-lineares da fibra ótica. A atenuação leva à diminuição da potência do sinal à medida que este se propaga ao longo da fibra, dependendo do comprimento de onda

10

do sinal injetado na fibra. Com o aparecimento dos amplificadores óticos, a atenuação deixou de constituir o maior problema dos sistemas de comunicação em fibra ótica. As principais limitações residem, assim, na dispersão intramodal e nos efeitos não-lineares da fibra ótica, nos quais, ao longo deste trabalho, nos iremos focalizar.

2.3. Estudo da Dispersão de uma Fibra Monomodal

Um dos principais fatores que caracteriza o desempenho da transmissão por fibra ótica é a dispersão. A dispersão é responsável pelo alargamento dos sinais óticos que são transmitidos através da fibra ótica, e se os sinais viajarem uma grande distância é possível que exista interferência entre os diversos sinais, tornando a perceção dos sinais recebidos mais difícil, o que conduz a perdas de informação. A este fenómeno é comum designar-se por interferência inter-simbólica. Em regime monomodal elimina-se a principal causa de dispersão em fibras óticas, a dispersão intermodal. Contudo, continua a subsistir uma fonte de dispersão intitulada dispersão cromática, intramodal ou usualmente dispersão de velocidade de grupo (DVG). Apesar de mais fraca que a dispersão intermodal, a DVG continua a causar grandes problemas nos sistemas de comunicação ótica. Esta dispersão resulta do facto dos diferentes componentes espetrais do sinal, que são transmitidos na fibra ótica, se propagarem com velocidades de grupo diferentes devido à variação do índice de refração do núcleo e da bainha com a frequência [10].

Considere-se uma fibra ótica monomodal de comprimento , com índice de refração dado por

{ (2.6)

sendo o raio do núcleo.

Uma específica componente espetral de frequência angular demora a chegar à extremidade da fibra ótica , onde é a velocidade de grupo. Cada componente é submetida a um atraso temporal, denominado por atraso de grupo, que por unidade de comprimento é dado por

( )

(2.7)

em que é a constante de propagação. Nas fibras óticas monomodais confirmou-se que, para além da potência ótica do sinal ser transmitida pelo núcleo, existe uma fração da potência que também é transmitida na bainha. Isto afeta o valor da constante da propagação, que pode variar no intervalo , sendo a constante de propagação no vazio. É possível definir o índice de refração modal ̅, o qual se infere que é limitado pelos índices de refração do

11

núcleo e da bainha, isto é ̅ [5]. Deste modo, a constante de propagação pode ser escrita por

̅ ̅ ̅ (2.8)

Aplicando a equação (2.8) na equação (2.7) demonstramos que

̅ (2.9)

onde ̅ é o índice de grupo dado por

̅ ̅ ̅

(2.10)

com ̅, índice de refração efetivo,

̅ ( ) (2.11)

em que representa o índice de refração normalizado.

Figura 2.3 – Variação do índice de refração e do índice de grupo em função do comprimento de onda [2].

A DVG é usualmente quantificada pela taxa de variação do atraso de grupo com o comprimento de onda por unidade de comprimento,

( ) ( ̅ ̅) ̅ (2.12)

onde o parâmetro é responsável pelo alargamento dos impulsos, designado por coeficiente da DVG, dado por . Podemos considerar que o parâmetro de dispersão resulta da soma de dois tipos de dispersão: a dispersão material , e a dispersão de guia de onda

12

(2.13)

A dispersão de material resulta da variação do índice de refração com o comprimento de onda, enquanto a dispersão de guia de onda resulta da energia se propagar pela bainha em vez de se limitar ao núcleo, dependendo de parâmetros característicos da fibra como o contraste dielétrico e a variação da frequência normalizada com o comprimento de onda. Estes termos são dados por [3]

(2.14) ( ) [ ( ) ] (2.15)

onde representa o índice de grupo da bainha dado por .

Figura 2.4 – Dispersão total , dispersão de material e dispersão de guia de onda para uma fibra ótica monomodal convencional, em função de .

É importante notar que para uma fibra ótica monomodal convencional, o parâmetro de dispersão total anula-se para um comprimento de onda próximo de 1.31 , o qual é chamado de comprimento de onda de dispersão nula . Quando a dispersão total é negativa as

componentes de baixas frequências do impulso deslocam-se a uma maior velocidade, enquanto no caso em que a dispersão total é positiva as componentes de baixas frequências do impulso são mais lentas que as frequências altas. É possível, deste modo, através do controlo das características da fibra ótica, minimizarmos os efeitos da dispersão, efetuando um planeamento rigoroso com o intuito de a dispersão de guia e a dispersão de material se anularem, obtendo-se dispersão total nula. É usual, alterando o perfil do índice de refração e diminuindo as dimensões do núcleo, fabricar fibras com dispersão total nula para , denominadas fibras de dispersão modificada convencional (DSF) [10]. Estas fibras são concebidas para operarem na terceira janela, sendo vantajosa a sua aplicação pois atuam na banda onde a atenuação da fibra é mínima e permite tirar partido da utilização dos

1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 -30 -20 -10 0 10 20 30  [nm] D [ p s /( k m .n m ) D D_M D_W

13

amplificadores óticos EDFA. Outro tipo de fibra utilizada em sistemas com compensação de dispersão é a chamada fibra de compensação de dispersão (DCF), realizada para, como diz o nome, compensar a dispersão acumulada na fibra ótica. Caracteriza-se por ter um coeficiente de dispersão muito elevado e de sinal contrário ao de uma fibra ótica monomodal convencional.

Figura 2.5 – Variação do parâmetro de dispersão total para uma fibra monomodal convencional

(SMF) e para uma fibra de dispersão modificada convencional (DSF), em função de .

É possível, por uma abordagem empírica, obter a dispersão total em função do comprimento de onda, dado por [3]

( ) [ ( ) ] (2.16)

em que designa o declive da dispersão na posição onde ocorre o nulo da DVG.

A dependência da frequência com a velocidade de grupo leva a alteração da largura dos impulsos, esse alargamento temporal do pulso é o seguinte [1]

( )

(2.17) Esta equação, fazendo e ( ) , pode ser reescrita na forma

(2.18)

onde representa o parâmetro de dispersão, em unidades ( ).

Pretende-se que os sistemas de comunicação ótica sejam capazes de transportar informação a longas distâncias e com ritmos muito elevados. Verificou-se que ambos são limitados pela dispersão, não se conseguindo atingir larguras de banda e comprimentos de ligação simultaneamente elevados. É possível estimar o efeito da dispersão no débito binário.

1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 -30 -20 -10 0 10 20 30  [nm] D [ p s /( k m .n m ) SMF convencinal DSF convencional

14

Sendo o débito binário dado por , a condição deve ser satisfeita. Aplicando a equação (2.12) obtém-se [1]

| | (2.19)

Apesar do efeito da DVG ser predominante, quando a portadora se encontra na vizinhança do comprimento de onda de dispersão nula, , onde se observa , ou

quando o sinal tem uma largura temporal muito pequena, é preciso considerar os termos dispersivos de ordem superior. A dispersão de ordem superior é determinada pelo declive de dispersão

(2.20)

Aplicando a equação (2.12) e (2.16) na expressão (2.20), vem [3]

( ) [ ( ) ] (2.21)

sendo designado por coeficiente da dispersão de ordem superior. Este parâmetro, nas aplicações em sistemas WDM, é desejável que tenha um valor pequeno, de modo a reduzir a variação da dispersão acumulada entre diferentes comprimentos de onda.

2.4. Equação de Propagação de Impulsos

Nesta secção pretendemos fazer o estudo analítico do alargamento dos impulsos que se propagam numa fibra ótica monomodal, em regime linear. Desprezando o efeito de Kerr, ou seja assumindo que não existe alteração no índice de refração, e considerando que ( ) é a envolvente dum impulso que se propaga na fibra ótica, podemos representar a evolvente do impulso à entrada da fibra ótica, isto é em , por ( ). Admitindo que este impulso modula uma portadora de frequência angular , e que está associado a um campo elétrico polarizado linearmente segundo , sendo a sua equação dada por

( ) ̂ ( ) (2.22)

Esta expressão pode ser reescrita por

( ) ( ) ( ) (2.23)

A equação geral do campo elétrico, para qualquer , é dada por

15

onde designa a amplitude do campo elétrico, ( ) representa a variação transversal do modo fundamental , e ( ) a variação longitudinal do campo elétrico ao longo da fibra

ótica. É possível fazer esta aproximação aos modos , visto que na análise realizada

consideramos que estamos na presença de um fibra monomodal com pequeno contraste dielétrico, isto é [3]. Admitindo que representa a coordenada transversal, em coordenadas cilíndricas, , tem-se

( ) {

( ) ( )

( ) ( )

(2.25)

onde o raio do núcleo da fibra ótica é retratado por , representa a constante de propagação transversal no núcleo, a constante de atenuação na bainha, a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero e a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero. Tem-se ( ) e ( ) ( ) sendo a amplitude do campo elétrico para . Podemos normalizar e tal que

(2.26)

sendo a frequência normalizada, que é dada por

√ (2.27)

em que representa a constante de propagação no vácuo, o índice de refração do núcleo e o índice de refração da bainha.

Definindo ( ) como

( ) ( ) _(2.28)

em que corresponde à constate de propagação. Para obtém-se

( ) ( ) _(2.29)

Estamos, assim, em condições de obter a expressão do campo elétrico para , em função do campo eléctrico para . Para determinarmos o campo em qualquer ponto, começamos por introduzir as transformadas de Fourier do campo em . Podemos, assim, definir ̃( ) ∫ ( ) (2.30) ̃( ) ∫ ( ) (2.31)

16 sendo as suas transformadas inversas

( ) ∫ ̃( ) (2.32) ( ) ∫ ̃( ) (2.33)

Da expressão (2.22), podemos então deduzir a expressão do campo elétrico, no domínio da frequência

̃( ) ( ) ̃( ) (2.34)

em que

̃( ) ̃( ) (2.35)

Admitindo que a fibra ótica é descrita, no domínio da frequência, por uma função de transferência ( ) ( ) _{, temos}

̃( ) ̃( ) ( ) ̃( ) ( ) _(2.36)

sendo a sua transformada inversa dada por

( ) ∫ ̃( ) ( )

(2.37)

em que ( ) é a constante de propagação longitudinal do modo fundamental.

Verificamos que podemos determinar a expressão geral da propagação do impulso ao longo da fibra ótica em função do impulso inicial através das características da fibra, tais como a atenuação e a constante de fase. É necessário, então, calcular a transformada de Fourier do impulso inicial, empregando a constante de fase para esse impulso e, de seguida, determinar a transformada inversa da expressão obtida. Introduzindo o desvio de frequência em relação à portadora , da expressão (2.37) obtém-se

( )

∫ ̃( ) ( ) (2.38) De forma a simplificar o cálculo do integral da expressão, aplica-se o desenvolvimento em série de Taylor para ( )

( ) ( ) (2.39)

17 ( ) ∑ (2.40) ( ) (2.41)

Os coeficientes são dados por

| (2.42)

Pode-se assim reescrever (2.37) por

( ) ( ) _(2.43)

sendo

( ) ∫ ̃( ) ( )

(2.44)

De forma a deduzir a equação diferencial da envolvente, é necessário calcular e ( ) ∑ ( ) (2.45) Definindo ( ) como ( ) ∫ ( ) ( ) (2.46) onde ( ) ( ) _(2.47)

Desenvolvendo a equação (2.45) tem-se ( )

( ) ( ) ( ) (2.48) Os coeficientes , e são descritos por

( ) (2.49)

_{( )}

18 | | (2.51) com ( ) (2.52)

onde corresponde ao inverso da velocidade de grupo o termo designa-se por coeficiente da dispersão da velocidade de grupo e a chama-se coeficiente da dispersão de ordem superior.

A primeira, segunda e terceira derivadas de em ordem ao tempo são dadas, respetivamente, por ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) (2.53) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) (2.54) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) (2.55)

De modo geral, pode-se escrever, para , ( )

( ) ( ) (2.56)

ou seja

( ) ( )

(2.57)

De modo a simplificar a resolução da equação (2.48), desprezamos os termos superiores aos de terceira ordem, pois os impulsos introduzidos são de banda estreita. Observa-se, pela equação (2.29), que a função ( ) tem uma variação mais rápida no tempo que ( ), tendo-se | | [3]. Se substituirmos estes resultados na expressão (2.40) e (2.48), obtemos, respetivamente

( ) (2.58)

( )

( ) ( ) ( ) (2.59) Substituindo ( ) pela expressão obtida em (2.57) e considerando o termo da atenuação de potência , obtém-se

19

(2.60)

Para simplificar, consideramos 0. Deste modo, a expressão (2.60) pode ser reescrita da seguinte maneira

(2.61)

Através dessa equação diferencial linear, é possível calcular ( ) a partir de ( ). Para uma situação em que se despreza a atenuação, a solução linear da equação anterior é dada pela seguinte expressão

( )

∫ ̃( )

[ ]

(2.62)

Podemos reescrever a equação diferencial (2.61) em função de variáveis normalizadas adimensionais, tanto para o espaço como para o tempo, definidas por

(2.63)

(2.64)

onde é uma variável normalizada do espaço, é uma variável normalizada do tempo, é uma medida da largura do impulso e é o comprimento de dispersão que define-se por

| | (2.65)

sendo | |, como anteriormente referido, o termo de segunda ordem da dispersão, em valor absoluto. Podemos, assim, expressar a equação de e através das variáveis normalizadas definidas anteriormente, resultando nas seguintes equações

{ (2.66) { (2.67)

20 ( ) (2.68) em que ( ) | | (2.69) | | (2.70)

onde é denominado por coeficiente de dispersão de ordem superior, que depende da relação entre e bem como de . Quanto a ( ) pode ter dois valores, sendo igual a 1 para

, zona normal, e igual a -1 para , zona anómala.

Introduzimos a variável , denominada por frequência normalizada, tal que

( ) (2.71) obtemos ̃( ) ∫ ( ) (2.72) com ( ) ∫ ̃( ) (2.73)

Aplicando a transformada de Fourier à equação (2.72) tem-se ̃( )

( ) ̃( ) ̃( ) (2.74) cuja solução pode ser escrita por

̃( ) ̃( ) [ ( ) ] (2.75)

Obtida a expressão (2.75) é fácil de determinar o valor espetral do impulso, em qualquer ponto , através do impulso inicial, efetuando os passos listados de seguida [3]:

1) Calcular a transformada de Fourier do impulso inicial, ̃( ) ( ) , 2) Calcular ̃( ) através da expressão (2.75),

3) Calcular a transformada de Fourier inversa da expressão obtida no passo dois, ( ) [ ̃( )],

4) Calculado ( ), obtemos ( ) através da relação entre estas descritas na equações (2.63) e (2.64).

21

2.5. Evolução da Largura do Impulso Gaussiano

Devido ao efeito da dispersão, os impulsos que foram injetados inicialmente na fibra ótica vão sofrer um alargamento. Neste tópico, com base na dedução da equação geral para o alargamento de impulsos em regime linear descrito no anexo A, vamos estudar a evolução da largura do impulso Gaussiano.

Pela dedução realizada no anexo A, o coeficiente de alargamento do impulso Gaussiano, desprezando a largura espetral da fonte ( ) é dado por

√( ) ( ) ( ) ( √ ) (2.76)

onde corresponde ao comprimento da ligação, é o parâmetro chirp do impulso e a largura RMS inicial do impulso Gaussiano. Quando se despreza o efeito da dispersão de ordem superior, , a equação (2.76) pode ser reescrita da seguinte forma

√( ) (

) (2.77)

Considerando as variáveis normalizadas adimensionais

(2.78)

(2.79)

sendo o coeficiente de alargamento e é a variável normalizada do espaço. Sabendo-se que

| | (2.80)

√ (2.81)

onde é uma medida da largura do impulso. Obtém-se para coeficiente a seguinte expressão

√( ( ) ) (2.82)

Ilustramos, na figura 2.6, a evolução da largura dos impulsos Gaussianos na zona de dispersão anómala, isto é , para três diferentes valores do parâmetro chirp: , e . Observamos que existe, para qualquer parâmetro chirp , alargamento do impulso, devido ao efeito da DVG, sendo que para o alargamento é mais abrupto do que nos outros casos, uma vez que se soma o efeito do parâmetro chirp ao efeito da DVG.