1 Variedades e metricas Riemannianas

10 _{Lista de Exerccio de MAT5771 (1}0 _{semestre 2013)}

Esta lista cont^em problemas cuja soluc~ao podera ser cobrada em prova. Ela tambem cont^em proposic~oes e teoremas, alguns enunciados e outros demon-strados em sala de aula (abreviados aqui por d.s.a). A demonstrac~ao destes resultados tambem podera ser cobrada em prova.

Bibliograa Principal:

1. M. do Carmo, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides.

2. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Universitext, Springer.

3. J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Universitext, Springer. 4. R.S. Palais, C-L Terng, Critical Point Theory and Submanifold Geometry,

Lectures Notes in Mathematics 1353, Springer Verlag. (see Terng). Bibliograa de Apoio:

1. R. Bisphop, R. Crittenden, Geometry of Manifolds, AMS, Chelsea. 2. C. Gorodski, Notes on Riemannian Geometry, Notas de Aula, IME-USP,

2007.

3. W. Kuhnel, Dierential Geometry, Curves-surfaces-manifolds. American Mathematical Society, Second Edition 2005.

4. P. Petersen, Riemannian Geometry, Graduate texts in mathematics, Springer. 5. M. Spivak, A comprehensive Introduction to Dierential Geometry, V. 1

Publish or Perish,Inc. 1979.

1 Variedades e metricas Riemannianas

Proposic~ao 1.1. Sejam V e W campos em uma variedade M. Ent~ao

(a) Existe um unico campo, denotado por [V; W ] tal que para toda func~ao suave f : M ! R temos [V; W ]
f = V
(W
f) W
(V
f):

(b) Suponha que em coordenadas temos V = P_ivi_@x@_i e W = Piwi_@x@_i.

Ent~ao [V; W ] =P_iP_j(vj@w_@xji wj_@x@vi_j)_@x@_i.

Problema 1.2. Sejam (E; ; B) e ( ~E; ~; B) brados vetorias de posto n. Dize-mos que eles s~ao isomorfos se existe uma aplicac~ao F : E ! ~E tal que  = ~ F e F : Ep! ~Epe um isomorsmo. Em particular um brado (E; ; B) de posto

n e chamado brado trivial se ele e isomorfo a B  Rn_.

(1) Mostre que todo grupo de Lie G tem brado tangente trivial. (2) Mostre que o brado tangente da esfera S2 _{n~ao e trivial.}

Problema 1.4 (Espaco hiperbolico). Neste problema iremos ver as diferentes representac~oes do espaco hiperbolico.

(a) O espaco de Minkowski e denido como Rn+1 _{com a forma quadratica}

hx; xi = x2

0+ x21+


+ x2n. Considere Hn+1 a subvariedade de Rn+1

denida como: Hn _{:= fx 2 R}n+1_{jhx; xi = 1; x}

0 > 0g: Verique que a

forma quadratica dx2

0+ dx21+


+ dx2n restrita a Hn e uma metrica

Riemanniana g.

(b) Seja f a pseudo-invers~ao com polo s = ( 1; 0;


; 0) denida por f(x) = s _{hx s;x si}2(x s) ; onde h
;
i e a forma quadratica denida no Item (a). Para X = (0; X1; : : : ; Xn) no plano x0= 0 denote jXj2:= hX; Xi =Pni=1Xi2:

Mostre que f e difeomorsmo de Hn_{no disco unitario fx 2 R}n_{; jxj < 1g e}

que g1:= (f 1)g = 4Pni=1 dx

2 i

(1 jxj2₎2.

(c) Seja h a invers~ao no Rn _{denida como h(x) := s +} 2(x s)

jx sj2, com polo

s = ( 1; 0; : : : ; 0): Mostre que h e um difeomorsmo do disco unitario no semi-espaco x1> 0 e que hg1=Pni=1 dx

2 i

x1 .

Obtemos assim duas variedades Riemannianas que s~ao isometricas a (Hn_{; g), a}

primeira e chamada disco de Poincare (Item (b)) e a segunda semi-espaco de Poincare (Item (c)).

Problema 1.5. Sejam g1e dr2metricas can^onicas de Sn 1e I = (0; 1). Dena

em Sn 1_{ I a metrica g}

(m;r):= r2g1+ dr2.

(a) A metrica g e metrica produto?

(b) Mostre (Sn 1_{I; g) e isometrico a (R}n _{0; can) e que (S}n 1_{I; g} 1dr2)

e isometrico ao cilindro fx 2 Rn+1_jx2

1+ : : : + x2n= 1; e x0> 0g.

Problema 1.6. Sejam (Mm_{; g) variedade Riemanniana orientada e ! a}

m-forma volume (i.e, a unica m-m-forma tal que !(e1; : : : ; em)p = 1 para qualquer

referencial ortonormal feig de TpM coerente com a orientac~ao de TpM). Mostre

que em coordenadas ! =pdet(gi j) dx1^ : : : ^ dxn.

Problema 1.7. Mostre que GL(n; R); GL(n; C), SL(n; R) , SL(n; C), O(n) e U(n) s~ao grupos de Lie.

Problema 1.8. Seja G e um subgrupo de Lie de GL(n; R). Mostre que a aplicac~ao exponencial de G coincide com a exponencial de matrizes.

Problema 1.9. Sejam G subgrupo de Lie de GL(n; R) e X; Y 2 g. Verique: 1. dLgX = gX e dRgX = Xg:

2. Ad (g)Y := d

dt(g exp(tY )g 1)jt=0= gY g 1:

3. Usando o fato (n~ao precisa demonstrar) que d

dtAd (exp(tX))Y jt=0 =

[X; Y ] mostre que [X; Y ] = XY Y X (comutador de matrizes).

Proposic~ao 1.10 (d.s.a). Seja G grupo de Lie compacto. Ent~ao G admite metrica bi-invariante.

Problema 1.11. Seja su(n) := fA 2 M(n; C)j A = A_{; tr A = 0g}

1. Prove que su(n) e a algebra de Lie de SU(n).

2. Verique que o produto em TeSU(n) denido como hX; Y i := <tr (XY)

pode ser estendido para uma metrica bi-invariante. Problema 1.12. Seja so(3) = fA 2 M(3; R)j A = AT_g

1. Verique que so(3) e algebra de Lie de SO(3).

2. Seja A= 2 4 0_{3 0}3 2_1 2 1 0 3 5 : Mostre que Av =   v:

3. Verique que A = [A; A] = AA AA. Conclua que a aplicac~ao

(R3_{; ) ! so(3)}

 ! A

e um isomorsmo de algebras de Lie.

4. Verique que exp(A) e uma rotac~ao em torno do eixo  com velocidade

angular kk.

Problema 1.13. Seja H subgrupo fechado de um grupo de Lie G. Mostre que a ac~ao GH ! G denida como g
h := gh e uma ac~ao a direita, livre, propria. Problema 1.14. Verique os difeomorsmos abaixo:

(a) Sn_{= SO(n + 1)=SO(n).}

(b) Pn_{(R) = SO(n + 1)=S(O(n)  O(1)).}

(c) Pn_{(C) = SU(n + 1)=S(U(1)  U(n)).}

Problema 1.15. Seja G um grupo discreto (i.e., com topologia discreta). Suponha que G age em uma variedade M: Mostre que a ac~ao e propriamente descontinua se e somente se a ac~ao e livre e propria.

Problema 1.16. Seja G um subgrupo discreto de isometrias de uma variedade Riemanniana M. Mostre que M=G e variedade Riemanniana e  : M ! M=G e recobrimento Riemanniano.

Comentario: O Problema 1.16 deve ser resolvido diretamente, i.e., sem utilizar o Teorema 1.18.

Problema 1.17. Seja faig uma base de Rn. Um lattice associado a esta

base e o conjunto de todos os vetoresPkjaj para kj2 Z: Identicando com

o subgrupo de translac~oes podemos fornecer ao quociente Rn_{= estrutura de}

variedade (vide Problema 1.16).

(a) Mostre que existe um difeomorsmo ^p : Rn_{= ! T}n_.

(b) Seja g metrica denida em Tn _{tal que ^p : R}n_{= ! T}n _{e isometria, onde}

a metrica em Rn_{= foi denida no Problema 1.16. Mostre que g e g~}

denidas em Tn _{s~ao isometricas se e somente se existe uma isometria em}

Teorema 1.18 (d.s.a). Sejam M variedade Riemanniana com metrica gM _{e G}

subgrupo fechado de isometrias de M. Suponha que a ac~ao G  M ! M e livre. Ent~ao existe uma metrica gM=G _{em M=G tal que  : (M; g}M_{) ! (M=G; g}M=G₎

e submers~ao Riemanniana.

Comentario: Visto que Pn_{(C) = S}2n+1_=S1_{, segue do teorema acima que a}

submers~ao  : S2n+1 _{! S}2n+1_=S1_{induz uma metrica Riemanniana em P}n_(C).

Tal metrica e chamada de metrica de Fubini-Study.

1.1 Sugest~oes

Proposic~ao 1.1: Consulte e.g Carmo (Captulo 0, Proposic~ao 5.3)

Problema 1.2: Para vericar que o brado tangente da esfera n~ao e trivial, utilize o fato de topologia que Sn _{(n par) n~ao admite um campo X que nunca}

se anula.

Problema 1.4: Consulte e.g. Gallot, Hulin, Lafontaine (Sec~ao 2.A, pagina 56,57) e Carmo (Capitulo 8, pagina 196,197).

Problema 1.5: Consulte Gallot, Hulin, Lafontaine (Sec~ao 2.A, pagina 58,59). Problema 1.6: Considere ei = Pjbij_@x@_j. Note que (bij)T(gij)(bij) = Id.

Assim det(bij) = p_det(g1

ij). Por outro lado se ! = cdx1^ : : : ^ dxn temos

1 = !(e1; : : : ; en) = c det(bij). Podemos ent~ao concluir que c =pdet(gij).

Problema 1.7:

Mostre diretamente que GL(n; R) e GL(n; C) s~ao grupos de Lie. Depois mostre que SL(nR) , O(n), SL(n; C), e U(n) s~ao subgrupos fechados de GL(n; R) e GL(n; C) e use o resultado enunciado em sala de aula que subgrupos fechados de grupos de Lie s~ao subgrupos mergulhados de Lie.

Problema 1.8:

Dena '(t) := exp(tX). Usando o fato que ' e um homomorsmo de Lie a 1-parametro, conclua que ' e soluc~ao da E.D.O, '0_{(t) = '}0_{(0)'(t) com '(0) = Id:}

O resultado segue ent~ao de E.D.O (Calculo IV).

Problema 1.14: Utilize o fato enunciado em sala de aula que se G  M ! M e uma ac~ao propria (e.g. G e compacto) ent~ao G(x) e mergulho de G=Gx. Para

mostrar por exemplo que Pn_{(R) = SO(n + 1)=S(O(n)  O(1)), note que a ac~ao}

de SO(n + 1) na esfera Sn _{induz uma ac~ao em P}n_{(R) (visto que ac~ao de matriz}

comuta com a ac~ao por multiplicac~ao por escalar).

Problema 1.16: Consulte e.g. Gallot, Hulin, Lafontaine (Captulo 2, Sec~ao 2.A, pagina 59).

Problema 1.17: Consulte Gallot, Hulin, Lafontaine (Captulo 2, Sec~ao 2.A, pagina 60,61).

2 Conex~ao e Curvatura

Problema 2.1. Sejam (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao r e fig

um referencial local denido em uma vizinhanca coordenada U em M. Para V =P_kvkk denote DXV :=PX
vkk. Mostre que rXV = DXV + A(X)V

determinando a matriz de 1-formas A em func~ao dos simbolos de Christoel (r @

@xij =

P

k ki jk) e em termos das 1-formas de conex~ao ( ri=P_j!i jj).

Proposic~ao 2.2 (d.s.a). Sejam (E; M; ) um brado vetorial com conex~ao r e  : [0; 1] ! M uma curva suave. Considere V0 2 E(0). Ent~ao existe uma

unica sec~ao V ao longo de  tal que r

dtV = 0 (sec~ao paralela) e V (0) = V:

Teorema 2.3 (d.s.a). Seja (M; g) variedade Riemanniana. Ent~ao ela admite uma unica conex~ao Riemanniana,i.e, compatvel com a metrica e livre de torc~ao. Problema 2.4. Sejam (M; g) e ( ~M; ~g) variedades Riemannianas com conex~oes Riemannianas r e ~r. Seja F : M ! ~M isometria. Mostre que:

(1) dFprWV = ( ~rdF WdF V )F (p)

(2) F preserva transporte paralelo.

Proposic~ao 2.5 (d.s.a). Seja (M; g) variedade Riemanniana e r sua conex~ao Riemanniana. Ent~ao as armac~oes abaixo s~ao equivalentes:

(1) Para todo p 2 M existe uma vizinhanca U de p em M e um referencial local fig denido em U tal que ri= 0.

(2) O tensor curvatura e nulo.

(3) Para todo p 2 M existe uma vizinhanca U de p em M tal que o transporte paralelo em U independe do caminho.

Proposic~ao 2.6 (d.s.a). Seja (E; M; ) brado vetorial com conex~ao r: Sejam fig um refencial local denido em uma vizinhanca U de M e !i j as 1-formas

de conex~ao em relac~ao ao referencial fig, i.e., ri =P_j!i j j. Considere

um outro referencial local f~ig na vizinhanca U de M. Sejam bi;j as func~oes

tais ~i=Pjbi jj. Ent~ao ~! = dbb 1+b!b 1 onde ~! denota a matriz de formas

de conex~ao em relac~ao ao referencial f~ig:

Proposic~ao 2.7 (d.s.a). Seja (E; M; ) brado vetorial com conex~ao r: Sejam fig um refencial local denido em uma vizinhanca U de M, !i j as 1-formas

de conex~ao em relac~ao ao referencial fig e i j as 2-formas de curvatura em

relac~ao ao referencial fig, i.e, R(
;
)i=Pji j j. Ent~ao = d! ! ^ !

Proposic~ao 2.8 (d.s.a). Sejam (M; g) variedade Riemanniana e r sua conex~ao Riemanniana. Sejam feig um referencial ortonormal denido em uma

vizin-hanca U, !i as suas 1-formas duais, i.e, !i(ej) = ij, e !ij as 1-formas de

conex~ao em relac~ao ao referencial feig. Ent~ao:

(a) !ij+ !ji= 0

Problema 2.9. Sejam G grupo de Lie com metrica biinvariante h
;
i e X; Y; Z campos invariantes a esquerda. Mostre que:

(a) h[X; Y ]; Zi = hY; [X; Z]i (b) rXY = 1₂[X; Y ]

(c) R(X; Y )Z = 1

4[[X; Y ]; Z]

(d) hR(X; Y )X; Y i = 1

4h[X; Y ]; [X; Y ]i: Em particular conclua que a curvatura

sectional e sempre maior ou igual a 0:

Problema 2.10. Faca os exercicios 1,2,3 e 8 do livro Carmo, Cap 2. Problema 2.11. Faca os exerccios 6,7,8 do livro Carmo, Cap 4.

2.1 Sugest~oes

Problema 2.1: 1. ak j =P_i ki jdxi

2. ai j = !j i.

Problema 2.5:

Use o lema enuciado em sala de aula (que sera demonstrado na P2) que Se as curvaturas seccionais s~ao nulas, ent~ao M e localmente isometrico a Rm_.

Problema 2.9:

Para provar o Item (a) lembre-se primeiro da denic~ao da Adjunta dada no Problema 1.9, i.e, Ad (g)Y := d

dt(g exp(tY )g 1)jt=0e usando a denic~ao de

metrica bi-invariante conclua que Ad (g) e isometria. Depois utilize a formula

d

dtAd (exp(tX))Y jt=0 = [X; Y ] dada no Problema 1.9. O item (b) seguira do

Item (a) e da formula que dene a conex~ao Riemanniana, dada na demonstrac~ao do Teorema 2.3.

3 Geodesicas

Ao longo desta sec~ao (M; g) denotara variedade Riemanniana com metrica g. Proposic~ao 3.1 (d.s.a). Dado q 2 M existe  > 0 tal que exp_q : B(0) ! M e

difeomorsmo sobre um aberto de M:

Proposic~ao 3.2 (d.s.a). Sejam exp_q: B(0) ! M bem denida, Sn 1_~ (0) esfera

contida em B(0) com ~ <  e v : ( ; ) ! Sn 1_~ (0) curva suave. Dena

f(s; t) := exp_q(tv(s)). Ent~ao g(@f_@s;@f_@t) = 0:

Proposic~ao 3.3 (d.s.a). Seja B(q) uma bola normal. Dena  : [0; 1] ! B(q)

como (t) := exp_q(tv) com kvk < : Seja  : [0; 1] ! M curva suave por partes tal que (0) = (0) e (1) = (1): Ent~ao L()  L(). Se a igualdade vale ent~ao [0; 1] = [0; 1].

Proposic~ao 3.4 (d.s.a). Dado q 2 M existe vizinhanca W de q tal que, se x; y pertencem a W ent~ao existe uma unica geodesica minimizante ligando x a y: Proposic~ao 3.5 (d.s.a). Seja : [0; 1] ! M uma curva suave por partes tal que d( (0); (1)) = L( ): Ent~ao e imagem de uma geodesica.

Problema 3.6. Faca os exercicios 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12, 13 Captulo 3 do livro do Carmo.

Problema 3.7. Suponha que M e variedade Riemanniana compacta. Mostre que toda geodesica esta denida para todos valores de R:

3.1 Sugest~oes

Problema 3.7: Considere o campo geodesico restrito ao brado tangente uni-tario T1_{(M) := fV}

x2 TxM; kVxk = 1gx2M e aplique o resultado que arma que

todo campo suave denido em variedade compacta gera um grupo a 1 parametro de difeomorsmos.

4 Campos de Jacobi

Proposic~ao 4.1 (d.s.a). Seja f : ( ; )  [a; b] ! M uma aplicac~ao suave tal que f(s0;
) e geodesica para todo s0 2 ( ; ). Ent~ao J(t) := @f_@s(0; t) e campo

de Jacobi ao longo da geodesica (t) := f(0; t):

Proposic~ao 4.2 (d.s.a). Seja  tal que exp_p : B(p) ! M esta bem denida.

Dena a curva (t) := exp_p(tv0) com kv0k = 1 e jtj < . Para w 2 TpM

considere o campo tw ao longo do segmento t ! tv0. Ent~ao J(t) := d(expp)tv0tw

e campo de Jacobi com J(0) = 0 e r

dtJ(0) = w:

Proposic~ao 4.3. Suponha que M e geodesicamente completa, i.e, exp_p: TpM !

M esta bem denida para todo p 2 M: Seja  : ( ; ) ! M geodesica e J campo de Jacobi ao longo de . Ent~ao J(t) = @f_@s(0; t) para f(s; t) = exp_(s)(tv(s)) onde  : ( ; ) ! M e uma curva tal que 0_{(0) = J(0) e v : ( ; ) ! M e um}

campo ao longo de  com v(0) = 0_{(0) e} r

dsv(0) =dtrJ(0):

Proposic~ao 4.4 (d.s.a). Sejam M variedade Riemanniana com curvaturas sec-cionais constantes K e  : [0; a] ! M geodesica com vetor velocidade 1. Ent~ao o campo de Jacobi J ao longo de  com condic~oes iniciais J(0) = 0 e r

dtJ(0) = w

para w perpendicular a 0_{(0) e J(t) = c}

K(t)w(t) onde w(
) e o transporte

par-alelo de w ao longo de  e cK e a func~ao denida como cK(t) := sin(t p K) p K se K > 0, cK(t) := t se K = 0 e cK(t) := sinh(t p K) p K se K < 0:

Proposic~ao 4.5 (d.s.a). Sejam (Mn_{; g) variedade Riemanniana com curvaturas}

seccionais constantes K e : (0; )  Sn 1_{! B}

(p) parametrizac~ao geodesica

polar, i.e., (r; v) := exp_p(rAv) onde A : (Rn_{; g}

0) ! (TpM; g) e isometria

lin-ear. Ent~ao a metrica g em coordenadas geodesicas polares e dr2_{+ (c}

k(r))2ds2

onde ds2 _{e a metrica can^onica da esfera S}n 1 _{e a func~ao c}

K foi denida na

Proposic~ao 4.4. Em particular, duas variedades Riemannianas com mesma di-mens~ao e mesmas curvaturas seccionais constantes iguais a K s~ao localmente isometricas.

Proposic~ao 4.6 (d.s.a). Sejam  tal que exp_p: B(p) ! M esta bem denida.

Dena (t) = exp_p(tv) com jtj <  e kvk = 1. Ent~ao (t0) e ponto conjugado a

(0) ao longo de  com multiplicidade k se e somente se dim(ker d(exp_p)t0v) =

k.

Proposic~ao 4.7 (d.s.a). Seja  : [0; a] ! M geodesica. Suponha que (a) n~ao e ponto conjugado a (0) ao longo de : Ent~ao dado v 2 T(0)M e w 2 T(a)M

existe um unico campo de Jacobi J ao longo de  tal que J(0) = v e J(a) = w: Problema 4.8. Exerccio 5 do Captulo V do livro do Carmo.

4.1 Sugest~oes

Proposic~ao 4.5

Seja feig  Tv(Sn 1) referencial ortonormal. Note que

Ji(r) := d(expp)rAvrAei

e campo de Jacobi ao longo da geodesica r ! exp_p(rAv): Utilizando Proposic~ao 4.4 verique que g(Ji; Jj) = i;jc2K: (4.1) Por m dena J0(r) := d(expp)rAvAv = d (r;v)(1; 0)

e utilizando o Lema de Gauss conclua que

g(J0; Ji) = 0: (4.2)