Sistemas de Coordenadas

(1)

Alberto Raposo – PUC-Rio

INF 1366 – Computação Gráfica Interativa

Transformações

Alberto B. Raposo

abraposo@tecgraf.puc-rio.br

http://www.tecgraf.puc-rio.br/~abraposo/INF1366

Sistemas de Coordenadas

• Objetos em Computação Gráfica possuem descrições

numéricas (modelos) que caracterizam suas formas e

dimensões.

• Esses números se referem a um sistema de coordenadas,

normalmente o sistema Cartesiano de coordenadas: x, y e

z.

• Em alguns casos, precisamos de mais de um sistema de

coordenadas:

– Um sistema local para descrever partes individuais de uma

máquina, por exemplo, que pode ser montada especificando-se a

relação de cada sistema local das várias peças.

John Dingliana, 2004

Transformações

• Em alguns casos, objetos exibem simetrias, de modo

que apenas parte deles precisa ser descrita, pois o resto

pode ser construído por reflexão, rotação e/ou

translação do pedaço original.

• Um projetista pode querer visualizar um objeto sob

vários pontos de vista, rotacionando-o ou movendo

uma câmera virtual.

• Em animação, um ou mais objetos podem precisar se

mover em relação ao outro, de modo que seus sistemas

de coordenadas locais devam ser transladados e

rotacionados ao longo da animação.

etc...

Exemplo 1

• Partes do objeto

definidas em sistemas

de coordenadas locais:

• Objeto “montado” por

meio de transformação

das partes

constituintes:

(2)

5 etapas de uma animação de um cubo girando

Exemplo 2

• A cada quadro da animação, o objeto é transformado (rotação,

nesse caso).

• O objeto também poderia ser transformado pela mudança de

tamanho (escalamento), sua forma (deformação), ou sua

localização (translação).

• Outros efeitos de animação são obtidos sem alterar o objeto em

si, mas a forma como ele é visualizado (transformação window

to viewport) a cada quadro (por exemplo, um zoom).

Transformações

• Há 2 formas de se enxergar uma transformação

– Uma Transformação de Objeto altera as coordenadas de

cada ponto de acordo com alguma regra, mantendo o

sistema de coordenadas inalterado.

– Uma Transformação de Coordenadas produz um sistema

de coordenadas diferente, e então representa todos os

pontos originais nesse novo sistema.

• Cada maneira tem suas vantagem, e são intimamente

relacionadas.

1,1

.4, 2

TRANSFORMAÇÃO DE OBJETO

(1,1)

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

Classes de Transformações

• Euclidianas / Corpos Rígidos

• de Similaridade

• Lineares

• Afins

• Projetivas

(3)

Transformações Euclidianas

• Preservam distâncias

• Preservam ângulos

Translação

Rotação

Corpos Rígidos / Euclidianas

Identidade

Translação

Rotação

MIT EECS 6.837,

Durand and Cutler Alberto Raposo – PUC-Rio

Transformações de Similaridade

• Preservam ângulos

Translação

Rotação

Euclidianas

Similaridades

Escalamento

Isotrópico

Identidade

MIT EECS 6.837, Durand and Cutler

Escalamento

Isotrópico

Transformações Lineares

Translação

Rotação

Euclidianas

Linear

Similaridades

Escalaento

Isotrópico

Identidade

Escalamento

Shear

Reflexão

Escalamento

Reflexão

Shear

Transformações Lineares

• L(p + q) = L(p) + L(q)

• L(ap) = a L(p)

(4)

Transformações Afins

• Preservam linhas

paralelas

Afins

Translação

Rotação

Euclidianas

Linear

Similaridades

Escalaento

Isotrópico

Identidade

Escalamento

Shear

Reflexão

Transformações

Projetivas

• preservam linhas

_Projetivas

Perspectiva

Afins

Translação

Rotação

Euclidianas

Linear

Similaridades

Escalaento

Isotrópico

Identidade

Escalamento

Shear

Reflexão

Perpectiva

Perspectiva é um dos fatores

que dá “aparência 3D” às cenas

Transformações 2D

Escalamento

Rotação

Translação

Escalamento

Translação

x

y

Coordenadas do mundo

Coordenadas

de modelagem

D. Brogan, Univ. of Virginia

(5)

Transformações 2D

x

y

Coordenadas

de modelagem

Localização

inicial em

(0, 0) com

eixos x e y

alinhados

Transformações 2D

x

y

Coordenadas

de modelagem

Scale .3, .3

Rotate -90

Translate 5, 3

Transformações 2D

x

y

Coordenadas

de modelagem

Scale .3, .3

Rotate -90

Translate 5, 3

Transformações 2D

x

y

Coordenadas

de modelagem

Scale .3, .3

Rotate -90

Translate 5, 3

(6)

VRML: Nó Transform

Exemplo em VRML

The Annotated VRML Reference

Exemplo em VRML

(7)

Exemplo

em X3D

A ordem das transformações faz

diferença!

Escalamento

• Escalar

uma coordenada significa multiplicar cada

um de seus componentes por um valor escalar

• Escalamento isotrópico

significa que esse valor

escalar é o mesmo para todos os componentes

× 2

D. Brogan,

Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

• Escalamento não-isotrópico

: valores escalares

diferentes por componente:

• Como representar o escalamento na forma de

matrizes?

Escalamento

X × 2,

Y × 0.5

(8)

Escalamento

• Operação de escalamento:

• Na forma matricial:













=













by

ax

y

x

'

























=













y

x

b

a

y

x

0

0 '

'

Matriz de escalamento

Rotação 2D

cos (

θ φ

+

) cos

=

( )

θ

cos

( )

φ

−

sin

( )

θ

sin

( )

φ

sin (

θ φ

+

) sin

=

( )

θ

cos

( )

φ

+

cos

( )

θ

sin

( )

φ

P

Q

R

P

X

P

Y

φ

θ

[1]

[2]

[3]

[4]

[1]

Q

_x

=

R

cos

(

θ

)

cos

(

φ

)

−

R

sin

(

θ

)

sin

(

φ

)

Substituindo de [3] e [4]…

)

(

)

(

θ

sin

θ

cos

P

_y

x

P

x

Q

=

−

Similarmente, a partir de [2]…

)

(

)

(

θ

sin

θ

cos

P

_x

y

P

y

Q

=

+

)

Rcos(

Q

X

=

θ

+

φ

)

Rsin(

Q

y

=

θ +

φ

)

(

cos

R

P

_X

=

φ

)

(

sin

R

P

y

=

φ

Rotação 2D

θ

(x, y)

(x’, y’)

x’ = x cos(θ) - y sin(θ)

y’ = x sin(θ) + y cos(θ)

Rotação 2D

• Na forma matricial:

• Embora sin(θ) e cos(θ) sejam funções

não-lineares de θ,

– x’ é combinação linear de x e y

– y’ é combinação linear de x e y

( )

























−

=













y

x

y

x

θ

cos

sin

cos

'

(9)

Translação 2D













+

≡













+













=













y x y x

t

y

t

x

t

y

x

y

x

'

y

x

y













=

y x

t

M. Gattass, PUC-Rio

Transformações 2D Básicas

• Translação:

– x’ = x + t

x

– y’ = y + t

y

• Escalamento:

– x’ = x * s

x

– y’ = y * s

y

• Rotação:

– x’ = xcosΘ - ysinΘ

– y’ = xsinΘ + ycosΘ

Podem ser combinadas

_{com álgebra simples}

Transformações 2D Básicas

• Translação:

– x’ = x + t

x

– y’ = y + t

y

• Escalamento:

– x’ = x * s

x

– y’ = y * s

y

• Rotação:

– x’ = xcosΘ - ysinΘ

– y’ = xsinΘ + ycosΘ

• Translação:

– x’ = x + t

x

– y’ = y + t

y

• Escalamento:

– x’ = x

* s

x

– y’ = y

* s

y

• Rotação:

– x’ = xcosΘ - ysinΘ

– y’ = xsinΘ + ycosΘ

x’ = x

*s

x

y’ = y

*s

y

(x,y)

(x’,y’)

Transformações 2D Básicas

(10)

x’ = (x*s

x

)

*cosΘ -

(y*s

y

)

* sinΘ

y’ = (x*s

x

)

* sinΘ +

(y*s

y

)

* cosΘ

(x’,y’)

• Translação:

– x’ = x + t

x

– y’ = y + t

y

• Escalamento:

– x’ = x * s

x

– y’ = y * s

y

• Rotação:

– x’ = x

*cosΘ

- y*sinΘ

– y’ = x

*sinΘ

+ y

*cosΘ

Transformações 2D Básicas

• Translação:

– x’ = x

+ t

x

– y’ = y

+ t

y

• Escalamento:

– x’ = x * s

x

– y’ = y * s

y

• Rotação:

– x’ = xcosΘ - ysinΘ

– y’ = xsinΘ + ycosΘ

x’ = ((x*s

_x

)cosΘ - (ys

y

)*sinΘ)

+ t

x

y’ = ((x*s

_x

)sinΘ + (ys

y

)*cosΘ)

+ t

y

(x’,y’)

Transformações 2D Básicas

Representação Matricial

• Representar transformação 2D por uma

matriz

• Multiplicar matriz por vetor-coluna

⇔ aplicar transformação a um ponto

















=









y

x

d

c

b

a

y

x

'









d

c

b

a

dy

cx

y

by

ax

x

+

=

+

=

'

Representação Matricial

• Transformações são combinadas por

multiplicação de matrizes

































=









y

x

l

k

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

y

x

'

Matrizes são uma forma conveniente e eficiente

de representar uma seqüência de transformações

(11)

Produto de Matrizes

∑

=

q k kj ik ij

a

b

c

1

























=

qm q q m m nq n n q q

b

a

L

M

O

M

L

M

O

M

L

2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 22 21 1 12 11

AB

C

            = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 O M L I

neutro:

M. Gattass, PUC-Rio

Matrizes 2x2

• Que transformações planares podem ser

representadas com uma matriz 2x2?

Identidade 2D?

y

x

=

'

















=









y

x

y

x

1

0

1 '

'

Escalemento 2D em torno de (0,0)?

y

s

y

x

s

x

y

x

*

'

*

'

=

























=













y

x

s

y

x

y

x

0

0 '

'

Matrizes 2x2

• Que transformações planares podem ser

representadas com uma matriz 2x2?

Rotação 2D em torno de (0,0)?

y

x

y

x

y

x

*

cos

*

sin

'

cos

*

sin

*

'

Θ

+

Θ

=

Θ

−

Θ

=

























Θ

−

Θ

=













y

x

y

x

cos

sin

cos

'

Matrizes 2x2

• Que transformações planares podem ser

representadas com uma matriz 2x2?

Espelhamento 2D em torno de Y?

y

x

=

−

=

'















−

=









y

x

y

x

1

0

1

0 '

'

Espelhamento 2D em torno de (0,0)?

y

x

−

=

−

=

'

















−

=









y

x

y

x

1

0

1

0 '

'

(12)

Matrizes 2x2

• Que transformações planares podem ser

representadas com uma matriz 2x2?

Translação 2D?

y x

t

y

t

x

+

=

+

=

'

NÃO!

Coordenadas Homogêneas

• Como representar uma translação como

matriz 3x3?

y x

t

y

t

x

+

=

+

=

'

Coordenadas Homogêneas

•Coordenadas homogêneas

– representam

coordenadas em 2

dimensões com vetor 3















→











1 homogêneas

coord.

_y

x

y

x

• Coordenadas Homogêneas parecem pouco

intuitivas, mas elas simplificam muito as

operações gráficas

Coordenadas Homogêneas

• Como representar uma translação como

matriz 3x3?

y x

t

y

t

x

+

=

+

=

'

Resp: Usando a terceira

coluna da matriz













=

1

0

1

0

1 y

x

t

Translação

(13)

Translação

•Exemplo













+

=

























=













1

0

1

0

1

1 '

'

y x y x

t

y

t

x

y

x

t

y

x

t

x

= 2

t

y

= 1

•Coordenadas Homogêneas

Coordenadas Homogêneas

• Coloca uma 3a coordenada para cada ponto 3D

– (x, y, w) representa um ponto em (x/w, y/w)

– (x, y, 0) representa um ponto no infinito

– (0, 0, 0) não é permitido

Sistema conveniente para

representar muitas

transformações úteis em

CG

1

2

1

2 (2,1,1) or (4,2,2) or (6,3,3)

x

y

Transformações 2D Básicas

• Representação em matrizes 3x3

























Θ

−

Θ

=













1

0

0 cos

sin

0 sin

cos

1 '

'

y

x

y

x

























=













1

0

1

0

1

1 '

'

y

x

t

y

x

y x

























=













1

0

1

0

1

1 '

'

y

x

sh

y

x

y x

Translação

Rotação

_{Cisalhamento (Shear)}

























=













1

0

1 '

'

y

x

s

y

x

y x

Escalamento

Cisalhamento (Shear)

y

x

sh

y

sh

x

y x

+

=

+

=

*

'

*

'

x

y

x

y

γ





























=











 +

=

















1

0

1

0

0 tan

0

1

1 tan

1 '

'

y

x

y

x

y

x

γ

M. Gattass, PUC-Rio

(14)

Concatenação de Transformações

x y x y x y x y x y x y

T

1

R

1

E

R

2

T

2

P’= T

2

R

2

E R

1

T

1

P

P’= T

2

R

2

E R

1

T

1

P

M. Gattass, PUC-Rio

Composição de Matrizes

• Transformações podem ser combinadas pela

multiplicação de matrizes

















































Θ

−

Θ













=













w

y

x

sy

sx

ty

tx

w

y

x

1

0

1

0

0 cos

sin

0 sin

cos

1

0

1

0

1 '

'

p’ = T(t

x

,t

y

) R(Θ) S(s

x

,s

y

)

p

Composição de Matrizes

• Atenção: ordem das transformações faz

diferença

– Multiplicação de matrizes não é comutativa

**p’ = T * R * S * p**

“Global”

“Local”

Ordem das Transformações

x

y













=

y

x

p

R

x

y













=

2 2 2

y

x

p

T

x

y













=

1 1 1

y

x

p

R

_x

y













=

y

x

1

p

x

y













=

2 2 2

y

x

p

T

(a)

(b)

M. Gattass, PUC-Rio

(15)

Ordem das Transformações

• Ex: rotacionar segmento em 45 graus em

torno da extremidade a

a

Resultado esperado

Ordem das Transformações

• Erro: aplicar a rotação de 45

o

_{, R(45), afeta as duas}

extremidades

– Pode-se tentar fazer a rotação e depois retornar o ponto

a

à sua posição original, mas quanto ele precisaria ser

transladado?

Errado!

R(45)

a

Correto

T(-3) R(45) T(3)

a

Como trazer o ponto a de volta à posição original??

?

Ordem das Transformações

• Correto: isolar ponto a dos efeitos

da rotação

1. Transladar a linha para colocar a na origem: T (-3)

2. Rotacionar linha em 45

o

_{: R(45)}

3. Transladar a de volta: T(3)

a

D. Brogan, Univ. of Virginia Alberto Raposo – PUC-Rio

Composição de Matrizes













=

























−













−













1 '

'

1

0

1

0

3

1

0

45 )

cos(

45 )

0 sin(

45 )

sin(

45 )

0 cos(

1

0

1

0

3

1

y x y x

a

T(3) R(45) T(-3)

(16)

Composição de Matrizes

•Depois de ordenar as matrizes corretamente:

– Multiplicá-las

– Guardar resultado em uma só matriz

– Usar essa matriz para realizar a transformação

composta em cada um dos pontos que definem o

objeto transformado (vértices, por exemplo)

Todos os vértices podem ser transformados

com uma simples multiplicação de vetor por

matriz.

Exercício 2D

• Considere o triângulo com os seguintes

vértices em coordenadas

homogêneas

– Rotacione o triângulo

de 90

o

_(sentido

anti-horário) em relação ao

ponto P = (6,5)

y

x

C

B

A

P

Etapas da Solução

1. Definir matriz para transladar o triângulo

de modo que o centro de rotação se mova

para a origem do sistema de coordenadas

2. Definir matriz para rotacionar o triângulo

3. Definir matriz para transladar o triângulo

de volta

4. Gerar matriz combinada da transformação

5. Transformar os vértices do triângulo

Etapas da Solução

1. Definir matriz para transladar o triângulo

de modo que o centro de rotação se mova

para a origem do sistema de coordenadas

– Centro de rotação: P = (6,5)

– Translação de -6 unidades em x e -5 unidades

em y

(17)

Etapas da Solução

2. Definir matriz para rotacionar o triângulo

• O ângulo de rotação é medido no sentido

anti-horário: R(+90

o

₎

• cos(90

o

_{) = 0 e sin(90}

o

_{) = 1}

Etapas da Solução

3. Definir matriz para transladar o triângulo

de volta

• Translação de 6 unidades em x e 5 unidades

em y

Etapas da Solução

4. Gerar matriz combinada da transformação

=

Etapas da Solução

5. Transformar os vértices do triângulo

y

x

C

B

A

P

B’

= A’

C’

(18)

Transformações em 3D

• Mesma idéia que em 2D:

– Coordenadas homogêneas: (x,y,z,w)

– Matrizes de trasnformação 4x4

























=













w

z

y

x

p

o

n

m

l

k

j

i

h

g

f

e

d

c

b

a

w

z

y

x

'

Transformações 3D Básicas

























=













w

z

y

x

w

z

y

x

1

0

1

0

1

0

1 '

'

























=













w

z

y

x

t

w

z

y

x

z y x

1

0

1

0

1

0

1 '

'

























=













w

z

y

x

s

w

z

y

x

z y x

1

0

0 '

'

Identidade

Escalamento

Translação

Transformações 3D Básicas























−

=













w

z

y

x

w

z

y

x

1

0

1

0

1

0

1

0

0 '

'

Espelhamento em torno do

plano YZ

























−

=













w

z

y

x

w

z

y

x

1

0

1

0

1

0

1 '

'

Espelhamento em torno do

plano XZ

























−

=













w

z

y

x

w

z

y

x

1

0

1

0

1

0

1 '

'

Espelhamento em torno do

plano XY

Transformações 3D Básicas

























Θ

−

Θ

=













w

z

y

x

w

z

y

x

1

0

1

0

0 cos

0

0 sin

sin

0

0 cos

'

Rotação em torno de Z:

























Θ

−

Θ

=













w

z

y

x

w

z

y

x

1

0

0 cos

0 sin

0

1

0

0 sin

0 cos

'

























Θ

−

Θ

=













w

z

y

x

w

z

y

x

1

0

0 sin

cos

0

0 cos

sin

0

1 '

'

Rotação em torno de Y:

Rotação em torno de X:

(19)

Rotações Reversas

• Como desfazer uma rotação R(θ)?

– Aplicar o inverso da rotação: R(-θ)

•Construindo R(-θ) :

– cos(-θ) = cos(θ)

– sin (-θ) = - sin (θ)

• Assim:

R(-θ) = R

T

_(θ)













Θ

−

Θ

=













Θ

−

Θ

1

0

0 cos

0 sin

0

1

0

0 sin

0 cos

1

0

0 cos

0 sin

0

1

0

0 sin

0 cos

T

Exercício 3D

• Encontre as respectivas matrizes de

transformação para os seguintes casos

a) Translação que leva o ponto p

1 = (a

1 , b

1 , c

1 ) para

o ponto p

2 = (a

2 , b

2 , c

2 )

b) Escalamento que leva o ponto p

1 = (a

1 , b

1 , c

1 )

para o ponto p

2 = (a

2 , b

2 , c

2 )

c) Rotação em torno do eixo z que leva o ponto

p

1 = (a

1 , b

1 , c

1 ) para o ponto p

2 = (a

2 , b

2 , c

2 )

• Qual o ângulo dessa rotação?

Solução

a) Translação que leva o ponto p

₁

= (a

₁

, b

₁

, c

₁

) para

o ponto p

2 = (a

2 , b

2 , c

2 )

⇒

Matriz de translação ⇒

Solução

b) Escalamento que leva o ponto p

₁

= (a

₁

, b

₁

, c

₁

)

para o ponto p

2 = (a

2 , b

2 , c

2 )

⇒

(20)

Solução

c) Rotação em torno do eixo z que leva o ponto

p

₁

= (a

₁

, b

₁

, c

₁

) para o ponto p

₂

= (a

₂

, b

₂

, c

₂

)

⇒

Para rotação em torno de z:

(2) – (1):

⇒

Solução

c) Rotação em torno do eixo z que leva o ponto

p

₁

= (a

₁

, b

₁

, c

₁

) para o ponto p

₂

= (a

₂

, b

₂

, c

₂

)

Matriz de rotação ⇒

Substituindo em (1) ou (2):

Solução

c) Rotação em torno do eixo z que leva o ponto

p

1 = (a

1 , b

1 , c

1 ) para o ponto p

2 = (a

2 , b

2 , c

2 )

• Qual o ângulo dessa rotação?

⇒

Ângulos de Euler

Fundamentos da Comp. Gráfica Jonas Gomes, Luiz Velho

(21)

Ângulos de Euler













−

+

−

1

0

y x z x z y x z x z y x y x z x z y x z x z y x y z y z y

c

s

c

s

c

s

c

s

c

s

c

s

c

θ

x

y

z

θ

y

x

y

z

θ

z

x

y

z

M. Gattass, PUC-Rio Notação: cx= cos(

θ

x); sx= sin(

θ

x) e assim por diante

o x

=

90 θ

o z

=

−

90 θ

o x

=

90 θ

o z

=

−

90 θ

Demo: Ângulos de Euler

http://prt.fernuni-hagen.de/lehre/KURSE/PRT001/course_main/node10.html

Bibliografia Adicional

• Peter Shirley, Fundamentals of Computer Graphics, A K Peters,

Ltd., Natick, MA, USA, 2002.

• Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Phlips, L.

R., Introduction to Computer Graphics, Addison-Wesley, 1995.

• Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Computer

Graphics: Principles and Practices, (Systems Programming), 2nd

edition in C, Addison-Wesley, 1995.

• Brutzman, D. e Daly, L., Extensible 3D Graphics for Web

Authors, Morgan Kaufmann, 2007.

• The Annotated VRML 97 Reference:

http://accad.osu.edu/~pgerstma/class/vnv/resources/info/Annotated

VrmlRef/Book.html