Matemática. 9 Ano 4 Bimestre. Disciplina Curso Bimestre Ano. Matemática Ensino Fundamental 4 9º. Habilidades Associadas

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Matemática

Professor

Caderno de Atividades

Pedagógicas de

Aprendizagem

Autorregulada – 04

9° Ano | 4° Bimestre

Disciplina

Curso

Bimestre

Ano

Matemática Ensino Fundamental 4° 9º

Habilidades Associadas

1. Associar informações apresentadas em listas e/ ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa

2. Resolver problemas envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráfico 3. Calcular o perímetro de uma circunferência e a área de um circulo

4. Reconhecer polígonos regulares e suas propriedades

5. Calcular os ângulos internos e externos de um polígono regular 6. Resolver problemas que envolvam áreas de figuras planas

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A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.

A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI capazes de explorar suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.

Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.

Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.

Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa a ter maior domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da autorregulação.

Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.

A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas.

Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.

Secretaria de Estado de Educação

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3

Caro Tutor,

Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas habilidades e competências do 4° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática da 9ª Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o período de um mês.

A nossa proposta é que você atue como tutor na realização destas atividades com a turma, estimulando a autonomia dos alunos nessa empreitada, mediando as trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você estimular o desenvolvimento da disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional de nossos alunos no mundo do conhecimento do século XXI.

Neste Caderno de atividades, iremos estudar um pouco sobre sequências aritméticas e geométricas, somatório das séries, prismas, cilindros áreas e volumes de prismas e cilindros.

Para os assuntos abordados em cada bimestre, vamos apresentar algumas relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso portal eletrônico Conexão Professor, fornecendo diversos recursos de apoio pedagógico para o Professor Tutor.

Este documento apresenta 06 (seis) Aulas. As aulas podem ser compostas por uma explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas. Estimule os alunos a ler o texto e, em seguida, resolver as Atividades propostas. As Atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõem-se, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto.

Um abraço e bom trabalho! Equipe de Elaboração

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Introdução ... 02

Objetivos Gerais ... 05

Materiais de Apoio Pedagógico ... 05

Orientação Didático-Pedagógica ... 06

Aula 01: Informações em tabelas e/ou gráficos... 08

Aula 02: Associação de informações em gráficos e tabela... 12

Aula 03: Perímetro de uma circunferência e área do círculo... 18

Aula 04: Polígonos regulares e suas propriedades... 23

Aula 05: Ângulos internos e externos de um polígono regular... 27

Aula 06: Problemas com área de figuras planas... 32

Avaliação... 37

Avaliação Comentada... 37

Pesquisa ... 41

Referências:... 42

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5

No 9º Ano do Ensino Fundamental, no 4º bimestre, dá-se ênfase ao estudo de gráficos e interpretação de gráficos, área e perímetro da circunferência, estudo dos polígonos, Encerramos essa seção com atividades sobre ângulos internos e externos .

No portal eletrônico Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais que podem auxiliá-los. Vamos listar estes materiais a seguir:

Teleaulas

Teleaula 44

Habilidade Relacionada: - reconhecer e diferenciar círculo e circunferência, identificando seus elementos. Descrição: Nesta aula você verá que a divisão do comprimento de qualquer circunferência pelo seu diâmetro tem sempre o mesmo resultado: mais ou menos 3,14. Esse número é chamado de Pi.

Endereço eletrônico:

http://www.youtube.com/watch?v=hwDr7rclJJc

Tele aula 56

Habilidade Relacionada: - Calcular o perímetro de uma circunferência e a área de um círculo.

Descrição: Nesta aula você descobrirá qual é a expressão matemática para o cálculo da área do círculo - na qual “r” é o comprimento do raio e Pi é um número irracional. Além disso, aprenderá o que é setor circular e o que é ângulo central.

http://www.youtube.com/watch?v=bAiiSZOxPAU

Materiais de Apoio Pedagógico

Objetivos Gerais

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Orientação Didático-Pedagógica

Orientações Pedagógicas

do CM

Recursos Digitais: - Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor sobre resolução de problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.ht ml?aula=35581

Recursos Digitais: - Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice versa.

SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor para orientar o aluno a organizar dados e traçar um gráfico de barras Efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?i d=35793

Recursos Digitais: - Reconhecer polígonos regulares e suas propriedades Resolver problemas envolvendo o cálculo de área lateral e área total de pirâmides e cones. SUGESTÕES ON LINE: Aula do Portal do Professor para orientar o aluno a utilizar a fórmula do comprimento de uma circunferência para resolução de problemas.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?i d=20607

Para que os alunos realizem as atividades referentes a cada dia de aula, sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no Caderno do Aluno:

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7

3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma individual ou em dupla.

4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na seção Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o.

5° - Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos abordados no texto base.

6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas nas Atividades.

7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas com toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da sala para que os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na Atividade.

Todas as aulas listadas a abaixo devem seguir esses passos para sua implementação.

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323.215 389.774 401.574 734.045 1.518.320 0 500.000 1.000.000 1.500.000 2.000.000 Japão Rússia Brasil China EUA

Quantidade (em toneladas)

P

a

ís

Caro aluno, você já parou para pensar o quanto de informações temos em nosso dia a dia? Muitas das vezes a quantidade de informações é tanta, que se torna impossível descrever todos os detalhes devido ao grande número de informações. Para resumi-las, em certos casos, a melhor maneira de expressar algumas informações são através de gráficos ou tabelas. Esta alternativa apresenta uma forma melhor de visualização e compreensão das informações.

São casos como esse que iremos estudar nessa aula, vamos lá ?

1.1 INFORMAÇÕES APRESENTADAS EM TABELAS E GRÁFICOS:

Como já falado anteriormente, os gráficos e tabelas nos fornecem uma grande quantidade de informações, quando analisados corretamente.

EXEMPLO 01:

O gráfico abaixo mostra a emissão de gás CO2 no ano 2000, por parte dos países que

participam do protocolo de Kyoto.

Fonte: Revista Época 23/02/2005

Qual é a diferença entre o maior e o menor emissor de CO2 da tabela acima ?

Resolução:

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445 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2ª feira Q u a n ti d a d e d e p e s s o a s

Quantidade de pessoas que fizeram visitação a um

toneladas. Para calcular a diferença entre ambos, basta lembrarmos que “diferença” é o resultado da subtração de dois números

1.528.320 – 323. 215 = 1.496.005 EXEMPLO 02:

O gráfico abaixo, mostra a quantidade de pessoas que fizeram visitação a um ponto turístico de uma cidade em uma semana.

Quantas pessoas estiveram nos três últimos dias de Resolução:

Para saber quantas pessoas estiveram presentes no ultimo dia de visitação, ou seja, na 4ª, 5ª e 6ª feira basta somar o quantitativo em cada um dos dias. Desse modo, observando o gráfico temos que:

4° feira: 756 pessoas 5° feira: 480 pessoas 6° feira: 890 pessoas

Logo, a soma do quantitativo de pessoas nos 3

500

756

480

2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira Dia da semana

Quantidade de pessoas que fizeram visitação a um ponto turístico

toneladas. Para calcular a diferença entre ambos, basta lembrarmos que “diferença” é o resultado da subtração de dois números. Sendo assim, temos:

1.496.005

O gráfico abaixo, mostra a quantidade de pessoas que fizeram visitação a um ponto turístico de uma cidade em uma semana.

Quantas pessoas estiveram nos três últimos dias de visitação?

Para saber quantas pessoas estiveram presentes no ultimo dia de visitação, ou seja, na 4ª, 5ª e 6ª feira basta somar o quantitativo em cada um dos dias. Desse modo, observando o gráfico temos que:

pessoas 6° feira: 890 pessoas

quantitativo de pessoas nos 3 dias são: 756 + 480 + 890 = 2126 pessoas.

Viu como é fácil extrairmos de um gráfico dados

relevantes? Vamos exercitar, um pouco agora ?

9

890

6ª feira

toneladas. Para calcular a diferença entre ambos, basta lembrarmos que “diferença” é

O gráfico abaixo, mostra a quantidade de pessoas que fizeram visitação a um ponto

Para saber quantas pessoas estiveram presentes no ultimo dia de visitação, ou seja, na 4ª, 5ª e 6ª feira basta somar o quantitativo em cada um dos dias. Desse modo,

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01. O gráfico a seguir indica a altura máxima aproximada de alguns prédios situado

na cidade do Rio de Janeiro.

Sabendo que o prédio que fica na zona sul do Rio de Janeiro é cinco vezes maior que o prédio que fica na zona norte do Rio de Janeiro, indique quais letras representam esses dois prédios.

Resolução:

Ao observarmos a letra E temos que a sua altura é de 50 metros, e ao observamos a letra D, temos que a sua altura é de 10 metros, sendo assim a letra E e cinco vezes maior que a letra D, sendo assim temos o prédio da zona sul letra E e o prédio da zona norte o prédio D.

0 10 20 30 40 50 60 A B C D E F G altura (m) Prédios

Altura de alguns prédios cariocas

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02. (UFSCAR2001- Adaptado)

idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.

De acordo com o gráfico acima, quantos meninos tem mais de 15 anos ?

Resolução:

Idade maior que 15 anos, consideramos então a sendo assim temos: 1+3+3 = 7 alunos

03. O Gráfico abaixo nos relata

De acordo com as informações apresentadas no gráfico acima, indique a menor a maior intenção de voto alcançada por cada candidato.

Resolução:

O candidato A obteve a menor intenção de votos quando obteve 8% e a maior intenção quando obteve 15%

obteve 6% e a maior intenção quando obteve 22%

daptado) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos, segundo o sexo, é dada pelo gráfico seguinte.

Idade maior que 15 anos, consideramos então as idades de 16, 17 e 18 anos, 1+3+3 = 7 alunos

O Gráfico abaixo nos relata a intenção de votos de dois candidato:

De acordo com as informações apresentadas no gráfico acima, indique a menor a maior intenção de voto alcançada por cada candidato.

O candidato A obteve a menor intenção de votos quando obteve 8% e a maior intenção quando obteve 15%. O candidato B obteve a menor intenção de votos quando obteve 6% e a maior intenção quando obteve 22%

11

Num curso de iniciação à informática, a distribuição das

s idades de 16, 17 e 18 anos,

De acordo com as informações apresentadas no gráfico acima, indique a menor a

O candidato A obteve a menor intenção de votos quando obteve 8% e a maior ato B obteve a menor intenção de votos quando

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04. (UFRN2003- Adaptada) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na grande São Paulo, medida nos meses de abril entre os anos de 1985 e 2002, segundo o Dieese:

Em qual ano foi apresentada no mês de abril a menor taxa de desemprego ?

Resolução:

O ano em que houve o menor índice de desemprego foi no ano de 1987, com 8,9%.

Adaptada) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na grande São Paulo, medida nos meses de abril entre os anos de 1985 e 2002, segundo o

O ano em que houve o menor índice de desemprego foi no ano de 1987, com Adaptada) O gráfico abaixo representa a taxa de desemprego na grande São Paulo, medida nos meses de abril entre os anos de 1985 e 2002, segundo o

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13 7,5 15 22 29 35 46 55 0 10 20 30 40 50 60 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

CRESCIMENTO DO MERCADO EM TELEFONIA CELULAR

Total de usuário em milhões

Caro aluno, nessa aula iremos estudar como podemos extrair de um gráfico ou tabela informaçãoes úteis, facilitando assim a nossa compreensão. Para analisar o gráfico da melhor forma, é preciso compreender como os dados apresentados estão associados. Nesta aula, vamos estudar esse conteúdo mais detalhadamente!

2.1 ─ INFORMAÇÕES APRESENTADA EM TABELAS E GRÁFICOS:

Um simples gráfico ou tabela representa um auxílio necessário para responder a questionamentos propostos, sejam eles quais forem, com uma maior clareza e facilidade na compreenção dos dados. A representação gráfica faz com que as informações possam ser expressas de maneira mais objetivas e ordenadas.

EXEMPLO 01:

(FGV2005- Adaptada) O gráfico abaixo representa o crescimento da telefonia celular entre os anos de 1998 e 2004.

Fonte: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004

Em qual período houve o menor crescimento no mercado de telefonia celular ?

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Resolução:

Observe que entre o ano de 1999 e o ano

milhões de usuários, enquanto o segundo maior aumento foi de 7,5 milhões entre os anos de 1998 e 1999, sendo assim o maior aumento foi entre os anos de 1999 e 2000

EXEMPLO 02:

O gráfico abaixo nos relata como estava a divisão do crescimento de telefonia celular entre os anos de 1998 e 2004.

Fonte: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004

Diante dos dados apresentados, qual é e a maior parcela em tecnologia?

Resolução:

Analisando o primeiro gráfico, podemos perceber que o plano pré maior e com relação à tecnologia a maior é a TDMA.

Viu como dados de um

solucionarmos um problema? Agora vamos tentar fazer algumas atividades

que entre o ano de 1999 e o ano 2000, houve uma aumento de 7 milhões de usuários, enquanto o segundo maior aumento foi de 7,5 milhões entre os anos de 1998 e 1999, sendo assim o maior aumento foi entre os anos de 1999 e 2000

gráfico abaixo nos relata como estava a divisão do crescimento de telefonia celular entre os anos de 1998 e 2004.

: adaptado do jornal "O Estado de São Paulo" de 30 de agosto de 2004

dos dados apresentados, qual é o maior mercado por plano de telefonia móvel e a maior parcela em tecnologia?

Analisando o primeiro gráfico, podemos perceber que o plano pré tecnologia a maior é a TDMA.

Viu como é fácil usarmos os dados de um gráfico para solucionarmos um problema? Agora vamos tentar fazer

lgumas atividades?

houve uma aumento de 7 milhões de usuários, enquanto o segundo maior aumento foi de 7,5 milhões entre os anos de 1998 e 1999, sendo assim o maior aumento foi entre os anos de 1999 e 2000.

gráfico abaixo nos relata como estava a divisão do crescimento de telefonia celular

por plano de telefonia móvel

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 2003 Q u a n ti d a d e d e g o ls

ARTILHARIA DO CAMPEONATO BRASILEIRO NA ERA DOS

01. O campeonato Brasileiro de futebol

disputado na forma de pontos corridos, a tabela abaixo mostra a relação de gols que tiveram os artilheiros do campeonato desde 2003 até o ano de 2012.

Em qual ano o artilheiro do campeonato teve mais gols e menos gols

Resolução:

O ano em que a artilharia teve mais gols foi no ano de quantidade foi o ano de 2007

02. Nos últimos anos a taxa de natalidade (nascimento) tem diminuído drasticamente,

o gráfico abaixo mostra uma pesquisa feita belo IBGE no ano de 2002:

Fonte: Censo Demográfico 2000, Fecundidade e Mortalidade Infantil Resultados Preliminares da 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

ARTILHARIA DO CAMPEONATO BRASILEIRO NA ERA DOS PONTOS CORRIDOS

O campeonato Brasileiro de futebol a partir do ano de 2003 passou a ser disputado na forma de pontos corridos, a tabela abaixo mostra a relação de gols que tiveram os artilheiros do campeonato desde 2003 até o ano de 2012.

Fonte: www.cbf.com.br, acessado em 16 out.2013

o artilheiro do campeonato teve mais gols e menos gols?

O ano em que a artilharia teve mais gols foi no ano de 2004 e a menos quantidade foi o ano de 2007.

Nos últimos anos a taxa de natalidade (nascimento) tem diminuído drasticamente, o gráfico abaixo mostra uma pesquisa feita belo IBGE no ano de 2002:

Atividades Comentadas 2

: Censo Demográfico 2000, Fecundidade e Mortalidade Infantil Resultados Preliminares da Amostra . IBGE, 2002

15

2012

ARTILHARIA DO CAMPEONATO BRASILEIRO NA ERA DOS

do ano de 2003 passou a ser disputado na forma de pontos corridos, a tabela abaixo mostra a relação de gols que

2004 e a menos

Nos últimos anos a taxa de natalidade (nascimento) tem diminuído drasticamente, o gráfico abaixo mostra uma pesquisa feita belo IBGE no ano de 2002:

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre Aluno B Aluno A

Em qual ano houve a maior taxa de natalidade ? Resolução:

O ano foi de 1960.

03. A mortalidade infantil ainda é um problema que assola não só o Brasil, o nosso

continente, como em outros continentes também, o gráfico abaixo nos dá uma visão mais ampla desse fato.

Diante do gráfico apresentado, em qual posição se encontra o Brasil em relação a taxa de mortalidade infantil ?

Resolução:

O Brasil encontra-se na 3ª posição

04. O gráfico abaixo mostra o desempenho de dois alunos durante 4 bimestres.

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17

O aluno que manteve-se com a nota constante foi o aluno B , entre o 1º e 2º bimestre

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Caros alunos, antes de começarmos essa aula, precisamos, antes de mais nada, diferenciar círculo e cincunferência, pois, somente desse modo, poderemos iniciar este estudo. Você irá observar que os conceitos ficarão mais claros após esta explicação. Então, vamos lá !

1 ─ DIFERENÇA ENTRE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:

A principal característica de uma circunferência é que os pontos estão localizados a uma mesma distância do centro, chamada raio da circunfêrencia. Observe a figura abaixo:

Já um círculo é a reunião da cincunferência com o conjunto de pontos lozalizados dentro da mesma, ou seja são pontos internos a uma circunferência.

3.2 ─ CÁLCULO DO PERÍMETRO DA CIRCUNFERÊNCIA:

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Agora que já conhecemos uma circunferência, é facil perceber que para calcular o perímetro basta medir o seu contorno. De modo geral, calcular o perímetro de uma figura consiste em somar os lados dessa figura. Como a circunferência não possui lados, ou seja, calcular o seu volume é diferente de uma figura geometria como por exemplo um quadrado, um triângulo ou um retângulo. Na cincunferência, calcular o perímetro equivale a calcular o comprimento do seu contorno. Observe:

Vejamos alguns exemplos:

EXEMPLO 01:

Uma circunferência tem 10 cm de diâmetro, qual o seu comprimento?

Resolução:

Observe que se a circunferência tem diâmetro igual a 10cm, teremos que o raio equivale a r= 5 cm. Como o cálculo do comprimento é

teremos que:

O comprimento da circunferência será dado por 31,40cm.

A letra grega

aproximadamente 3,14 obtida através da divisão entre

comprimento

circunferência

conhecemos uma circunferência, é facil perceber que para calcular o perímetro basta medir o seu contorno. De modo geral, calcular o perímetro de uma figura consiste em somar os lados dessa figura. Como a circunferência não possui r o seu volume é diferente de uma figura geometria como por exemplo um quadrado, um triângulo ou um retângulo. Na cincunferência, calcular o perímetro equivale a calcular o comprimento do seu contorno. Observe:

tem 10 cm de diâmetro, qual o seu comprimento?

Observe que se a circunferência tem diâmetro igual a 10cm, teremos que o raio Como o cálculo do comprimento é dado pela fórmula

31,40 cm

comprimento da circunferência será dado por 31,40cm.

A letra grega , equivale aproximadamente 3,14 e é obtida através da divisão entre o

comprimento e o diâmetro da circunferência.

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conhecemos uma circunferência, é facil perceber que para calcular o perímetro basta medir o seu contorno. De modo geral, calcular o perímetro de uma figura consiste em somar os lados dessa figura. Como a circunferência não possui r o seu volume é diferente de uma figura geometria como por exemplo um quadrado, um triângulo ou um retângulo. Na cincunferência, calcular o perímetro equivale a calcular o comprimento do seu contorno. Observe:

Observe que se a circunferência tem diâmetro igual a 10cm, teremos que o raio

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EXEMPLO 02:

Uma circunferência tem 28_{de comprimento, qual é o diâmetro dessa}

circunferência ?

Resolução:

Sabemos que o cálculo da circunferência é dado pela fórmula 2 , temos então: 2 = 28 2 = 28 28 2 14

Como o diâmetro é igual a duas vezes o raio, ou seja, 2 , temos: 2 · 14 28

3.3 ─ A ÁREA DE UM CÍRCULO:

O cálculo da área de um círculo é determinado por uma fórmula na qual se é obtido um valor numérico para a região interna de uma circunferência .

O cálculo da área será calculado através da formula: A πr

EXEMPLO 03:

Uma circunferência tem 10 cmde raio, qual é a sua área ? Resolução:

(21)

21

Este cálculo é bem simples!! Basta substituir o valor do raio na fórmula apresentada. Então, sabendo que o raio é 10 cm de raio, teremos :

. 10

. 10 . 10 100

EXEMPLO 04:

Um circulo tem 225_{de área, qual é o seu raio ?}

Resolução:

Sabendo que a área é calculada por _{, temos :}

₂₂₅ 225 ₂₂₅ √225 5 ,

Logo o raio do círculo será 5 cm.

01. Diferencie círculo de circunferência.

Resolução:

Circunferência: Os pontos estão localizados a uma mesma distância do centro Círculo : é a reunião da cincunferência com o conjunto de pontos lozalizados dentro da mesma.

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02. Uma circunferência tem 6 cm de raio, qual é o seu comprimento ?

Resolução:

O cálculo do comprimento de uma circunferência 2 , sendo assim temos : 2

26 12 03. Um círculo tem 16 cm de raio qual é a sua área ?

Resolução:

O cálculo da área de uma circunferência é dado por _{, sendo assim}

temos:

16

256

04. Um círculo tem 400 de área, qual é o diâmetro desse círculo ?

Resolução: ₄₀₀ 400 ₄₀₀ √400 20

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Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre os polígonos regulares e suas propriedades, mas antes vamos relembrar o que é um polígono e quais são seus elementos. Esta aula é muito importante para a continuidade de nossos estudos no campo geométrico. Preste

Vamos à aula!

4.1 – POLÍGONO:

Como já foi dito, o objeto de estudo desta aula é o polígono regular. No entanto, precisamos relembrar o que é um polígono. Você se lembra?

Um polígono é uma figura geométrica fomada por no mínimo três s

de reta que se unem, dois à dois, por suas extremidades. Veja alguns exemplos abaixo:

4.2 – ELEMENTOS DE UM POLÍGONO:

Os principais elementos de um polígono convexo são os vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e as diagonais.

Aula 4: Polígonos regulares e suas propriedades

Todos os polígonos acima são convexos. Ou seja, se você traçar a reta suporte de qualquer um dos lados do polígono,

Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre os polígonos regulares e suas propriedades, mas antes vamos relembrar o que é um polígono e quais são seus elementos. Esta aula é muito importante para a continuidade de nossos estudos no campo geométrico. Preste bastante atenção!

Como já foi dito, o objeto de estudo desta aula é o polígono regular. No entanto, precisamos relembrar o que é um polígono. Você se lembra?

Um polígono é uma figura geométrica fomada por no mínimo três s

de reta que se unem, dois à dois, por suas extremidades. Veja alguns exemplos abaixo:

ELEMENTOS DE UM POLÍGONO:

Os principais elementos de um polígono convexo são os vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e as diagonais.

Polígonos regulares e suas propriedades

ela não interceptará o polígono!

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Caro aluno, nesta aula vamos estudar sobre os polígonos regulares e suas propriedades, mas antes vamos relembrar o que é um polígono e quais são seus elementos. Esta aula é muito importante para a continuidade de nossos estudos no

Como já foi dito, o objeto de estudo desta aula é o polígono regular. No

Um polígono é uma figura geométrica fomada por no mínimo três segmentos de reta que se unem, dois à dois, por suas extremidades. Veja alguns exemplos abaixo:

Os principais elementos de um polígono convexo são os vértices, lados, ângulos

Polígonos regulares e suas propriedades

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Considerando um polígono convexo baseado em um exemplo de polígono convexo, vamos destacar seus elementos:

Vértices: A, B, C e D. Lados: AB, BC, CD e DA.

Ângulos intenos: ABC, BCD, CDE e DAB. Ângulos externos: ̂!, ̂", ̂# e ̂$.

Diagonais: AC e BD.

4.3 – POLIGONO REGULAR:

Um polígono é dito regular quando todos os seus lados e ângulos são congruentes, ou seja, um polígono regular é equilátero e equiângulo.

Apenas dois tipos de polígonos regulares tem uma nomenclatura especial, são os triângulos e os quadriláteros. O triângulo regular é chamado de triângulo equilátero e o quadriláteros regular é chamado de quadrado. Os outros polígonos tem apenas a palavra “regular” acrescida a seu nome: pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular...

4.4 – PROPRIEDADES DE UM POLÍGONO REGULAR:

Propriedade 1: Seus lados são congruentes.

Propriedade 2: Seus ângulos internos são congruentes. Propriedade 3: Seus ângulos externos são congruentes. Propriedade 4: Suas diagonais são congruentes.

(25)

25

Chegou o momento de testar seus conhecimentos, vamos às atividades. Caso tenha alguma dúvida, volte aos tópicos da aula.

Bom estudo!

01. De acordo com o polígono abaixo, ligue as colunas corretamente:

Diagonal % % YZW Lado % % W Vértice % % WX Ângulo interno % % XZ Ângulo externo % % ̂* Resolução:

Diagonal: +,, Lado: -+, Vértice: W, Ãngulo interno: .,/- e Ângulo externo: ̂*.

02. Dos polígonos abaixo, marque os que visualmente são regulares:

( ) ( x ) ( x ) ( )

(26)

03. Classifique as afirmações abaixo em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique a sua resposta:

a)( V ) Um polígono regular de quatro lados é chamado de quadrado. Justificativa:

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

b) (V ) Um polígono de cinco lados possui cinco ângulos externos. Justificativa:

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

c) ( F ) A quantidade de ângulos internos de um polígono é diferente da quantidade de ângulos externos do mesmo polígono.

Justificativa:

Possuem a mesma quantidade

d) ( F ) As diagonais de um polígono regular tem medidas distintas. Justificativa:

As diagonais de um quadrado tem medidas iguais.

04. Nos polígonos convexos todos os ângulos internos são menores do que 180°. Esta afirmação está correta? Justifique sua resposta.

Resolução:

Sim. Note que se um ângulo interno for maior que 180° o polígono não será convexo. E se o ângulo for igual a 180°, os dois segmentos que o formar são um só lado.

(27)

27

Caro aluno, nesta aula vamos continuar estudando sobre os polígonos. Mas agora vamos focar em outros elementos dos polígonos, dentre eles: os ângulos internos, ângulos externos e nas diagonais.

Vamos em frente!

5.1 – NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO:

Note que em um polígono de 0 lados, as diagonais que partem de um determinado vértice ligam tal vértice a outros 10 2 3 4 vértices. Perceba que as diagonais não ligam o tal vértice aos vértices adjacentes a ele e nem a ele próprio.

Como o polígono tem 0 vértices, o número de diagonais pode ser calculado multiplicando a quantidade de vértices pela quantidade de diagonais que partem de cada vértice. Mas perceba que ao fazer este produto contamos cada diagonal duas vezes.

Assim o número de diagonais de um polígono convexo de 0 lados é dado por: 5 010 2 34

2 EXEMPLO 01:

O número 5 de diagonais de um octógono é?

Resolução:

Um octógono é um polígono de 8 lados, ou seja, n= 8. Temos então que:

5 010 2 34 2 818 2 34 2 8 . 5 2 40 2 20 Figura 1

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5.2 – SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO:

Quando traçamos as 10 2 34 diagonais que partem de um determinado vértice de um polígono convexo de 0 lados, o dividimos em 0 2 2 triângulos, observe a figura a seguir.

Nós já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Assim, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 0 lados é dada por:

6₇ 10 2 24. 180°

EXEMPLO 02:

Qual a soma dos ângulos internos de um heptágono?

Resolução:

Um heptágono é uma polígono de 7 lados, logo n = 7. Substituindo o valor de n na fórmula, teremos que:

6₇ 10 2 24. 180° 67 17 2 24. 180°

67 5 . 180°

6₇ 900°

5.3 – SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO:

Note que em um polígono convexo um ângulo interno e seu ângulo externo correspondente formam um

(29)

Considere o ângulo interno e Então, teremos que com relação ao vértice A

o polígono possui n vértices. É fácil perceber que se o polígono tem podemos dizer que:

5.4 – ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:

Já aprendemos que em um polígono regular os ângulos internos possuem todos a mesma medida. E aprendemos

polígono convexo de n lados é dada por

valor da medida do ângulo interno em um polígono regular basta aplicar a seguinte fórmula:

EXEMPLO 03:

O valor do ângulo interno de um eneágono regular é:

Você notou que a soma dos ângulos externos de um polígono de

Isso mesmo, esta soma é sempre 360°.

o ângulo interno e o valor do ângulo externo do vértice A Então, teremos que com relação ao vértice A1. temos . Agora, imagine que

o polígono possui n vértices. É fácil perceber que se o polígono tem

ÂNGULO INTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:

Já aprendemos que em um polígono regular os ângulos internos possuem todos a mesma medida. E aprendemos também que a soma dos ângulos internos de um

polígono convexo de n lados é dada por . Então, par

valor da medida do ângulo interno em um polígono regular basta aplicar a seguinte

O valor do ângulo interno de um eneágono regular é:

Você notou que a soma dos ângulos externos de um polígono de lados não depende do

valor de ?

Isso mesmo, esta soma é sempre 360°.

29

o valor do ângulo externo do vértice A1.

Agora, imagine que o polígono possui n vértices. É fácil perceber que se o polígono tem vértices

Já aprendemos que em um polígono regular os ângulos internos possuem todos que a soma dos ângulos internos de um . Então, para calcular o valor da medida do ângulo interno em um polígono regular basta aplicar a seguinte

(30)

Resolução: ₇ 10 2 24. 180° 0 19 2 24. 180° 9 7 . 180° 9 1260° 9 140°

5.5 – ÂNGULO EXTERNO DE UM POLÍGONO REGULAR:

Agora que você já aprendeu que um polígono regular possui todos os ângulos externos com a mesma medida e que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é dada sempre por 6_: 360°, vamos aprender quanto mede cada um dos ângulos externos do polígono.

Para calcular o valor da medida do ângulo interno em um polígono regular basta aplicar a seguinte fórmula:

:

360° 0 EXEMPLO 04:

O valor do ângulo externo de um decágono regular é:

Resolução:

Sabemos que um decágono possui 10 lados, logo:

:

360°

0

360°

10 36°

Agora chegou a hora de testar o que você aprendeu! Tente fazer as atividades e caso encontre dificuldades, relembre a teoria e os exemplos!

Bom estudo!

01. Calcule o número de diagonais de um polígono convexo de 13 lados.

(31)

31 Resolução: 5 010 2 34 2 13113 2 34 2 13 . 10 2 130 2 65

02. Calcule o valor da soma dos ângulos internos de um polígono convexo de 11 lados.

Resolução:

6₇ 10 2 24. 180° 111 2 24. 180° 9 . 180° 1620°

03. Calcule o valor da soma dos ângulos externos de um polígono convexo de 130 lados.

Resolução:

Basta notar que independente da quantidade de lados, 6_: 360°.

04. Calcule o valor do ângulo interno e do ângulo externo que um polígono de 20 lados. Resolução: A< 1n 2 24. 180° n 120 2 24. 180° 20 18 . 180° 20 3240° 20 162°

Para calcular o ângulo externo, basta lembrar que ele é suplementar do interno ou simplesmente aplicar a fórmula, assim, Ae = 18°.

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Caro aluno, nesta aula iremos estudar sobre problemas envolvendo áreas de figuras planas. É preciso que você lembre das fórmulas de área das principais figuras geométricas, principalmente, triângulos e quadriláteros.

Então vamos lá!

6.1 – PROBLEMAS COM ÁREAS DE FIGURAS PLANAS:

PROBLEMA 01:

Se o terreno de Ana é retangular, onde o comprimento é o dobro da largura e sua área é de 162m². Vamos calcular suas dimensões?

Resolução:

Você se lembra como calculamos a área do retângulo? Isso mesmo! A área do retângulo é calculada através do produto do comprimento pela largura. Chamando a medida da largura de x, podemos dizer que o comprimento é 2x. Como a área do terreno é de 162m², podemos dizer que:

A = comprimento x largura A = >. 2> >. 2> 162 2>² 162 >² 162 2 >² 81 > √81 > 9

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PROBLEMA 02:

Uma praça de uma cidade tem formato triângular equilátero. Deseja-se transformar esta praça em um grande jardim, sendo que cada metro quadrado deste jardim custará R$ 130,00. Qual será o custo da obra de cada lateral da praça mede 40m.

Resolução:

Vale lembrar que um triângulo equilatero possui todos os lados iguais e sua area é dada por: ?²√@_A . Vamos utilizar esta fórmula para calcular a área da praça. Nesta questão será necessário fazer uma aproximação da √3 para 1,7.

Vamos aos cálculos:

B²√3 4 40²√3 4 1600√3 4 400√3 400 . 1,7 680²

Agora, basta multiplicar a área encontrada pelo custo do metro quadrado. Então o cuto total do jardim é de 680 . 130 = R$ 88400,00.

PROBLEMA 03:

Um fabricante de Pipas estabelece o valor de suas Pipas de acordo com o seguinte critério: R$ 0,10 por cada centímetro quadrado gasto de papel desconsiderando o descarte de papel.

Qual será o preço de um pipa com forma de um losango com diagonais medindo 20cm e 15cm?

Resolução:

Primeiramente, precisamos calcular a área da Pipa. Como se trata de um losango, temos:

20 . 15

2

300

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Agora é só multiplicar a área encontrada pelo custo do centímetro quadrado. Então a Pipa custa 150 . 0,10 = R$ 1,50.

PROBLEMA 04:

Um chafaris circular de raio 5m está dentro de um gramado quadrado com lado medindo 15m. Qual é o tamanho da área gramada?

Resolução:

Vamos calcular a área ocupada pelo chafariz e

subtrai-la da área do quadrado, então sobrará a área gramada. Para isso, vamos utilizar 3,14 como aproximação para .

_# ² . 5² . 25 3,14 . 25 78,5² Logo, a área do Chafaris mede 78,5².

Agora, devemos calcular a área do quadrado:

D B² 15² 225²

Observe a figura abaixo, note que para calcular a área gramada, basta calcular a área do quadrado menos a área do círculo.

Portanto, a área gramada é dada por 225 – 78,5 = 146,5m².

Agora chegou o momento de testarmos se você entendeu tudo com clareza, faça as atividades e em caso de dúvidas volte aos tópicos da aula!

(35)

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01. Lucas pediu a seu pai para trocar o piso de seu quarto. Seu pai notou que gastaria R$ 85,00 por metro quadrado para fazer esta obra. Desta forma, quanto gastaria o pai de Lucas de seu quarto é quadrado com dimensão de 3m?

Resolução:

Primeiro vamos calcular a área do quarto de Lucas. Já que se trata de um quadrado, sua área é dada por l² = 3² = 9m². Agora, basta multiplicar o valor encontrado pelo custo do metro quadrado, 9 . 85 = 765. Portanto a obra custaria R$ 765,00.

02. Uma dona de casa separou um canteiro com a forma de triângulo retângulo em seu quintal para plantar orquídeas. Em cada metro quadrado deste canteiro é possível plantar 10 orquídeas. Quantas orquídeas ela irá plantar se as laterais que formam o ângulo reto deste canteiro medem 4m e 1,5m?

Resolução:

Primeiro vamos calcular a área do canteiro, aplicando a fórmula temos A = (4 . 1,5)/2 = 6/2 = 3m². Então esta dona de casa poderá plantar 3 . 10 = 30 orquídeas.

03. Para fazer um mosaico em um estádio de futebol uma torcida dispunha de 20 mil cartazes retangulares com dimensões de 40cm por 70cm. Qual será a área deste mosaico? Dê a reposta em metros quadrados!

Resolução:

Podemos passar as dimensões dos cartazes para metro inicialmente, assim os cartazes medem 0,4m por 0,7m. Agora vamos calcular a área de cada cartaz, 0,4 . 0,7 = 0,28m². Para chegar ao resultado esperado basta multiplicar a área de cada cartaz pelo número de cartazes, logo: 0,28 . 20000 = 5600m².

(36)

Note que o estudante pode calcular a área primeiro e depois passa para metros, fazendo assim ele entraria uma área de 56000000cm² que passando para m² é 5600m².

04. Uma pizza redonda de raio 30cm será dividida em dois sabores um doce e um salgado. Para rechear uma pizza doce é necessário um grama de queijo por metro quadrado e para rechear uma pizza salgado são necessários dois gramas de queijo por metro quadrado. Sabendo disso, quantos gramas de queijo será gasto na pizza?

(DICA: Utilize 3,1 para a aproximação de )

Resolução:

Primeiro vamos calcular a área da nossa pizza. A = . ²= .30² = 900 = 900 . 3,1 = 2790 cm². Agora, vamos dividir esta área por dois, o que nos dá 1395cm² de área para cada sabor.

Assim, a quantidade de queijo para a parte doce é 1395 . 1 = 1395g e para a parte salgada é 1395 . 2 = 2790g. Ou seja o total de queijo pesa 1395 + 2790 = 4185 gramas.

(37)

37 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1º Bimestre 2º Bimestre 3º Bimestre 4º Bimestre Aluno B

Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas que estão utilizando este material: uma avaliação e uma pesquisa.

Nas disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como uma das três notas. Neste caso teríamos:

Participação: 2 pontos Avaliação: 5 pontos Pesquisa: 3 pontos

A seguir apresentaremos as avaliações propostas neste caderno para este bimestre. Abaixo você encontrará o grupo de questões que servirão para a avaliação dos alunos. As mesmas questões estão disponíveis para os alunos no Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada – 04.

Segue o gabarito das questões da avaliação proposta no caderno de atividades.

01. O gráfico abaixo, mostra o desempenho de um aluno durante o ano letivo. Entre quais períodos a sua nota manteve-se constante ?

(A) 1º Bim. e 2º Bim. (B) 2º Bim. e 3º Bim. (C) 3º Bim. e 4º Bim. (D) 1º Bim. e 4º Bim.

Avaliação Comentada

Avaliação

(38)

Resolução:

Ao observamos vemos que há uma constante entre o 1º e 2º Bimestre.

02. Uma circunferência tem 25 cm de raio, qual é o seu comprimento?

(A) FGHIJK

(B) 25

(C) 500

(D) 250

Resolução:

O cálculo do comprimento de uma circunferência 2 , sendo assim temos : 2

225 50

03. Calculando o perímetro e a área da figura abaixo encontramos, respectivamente:

(A) 2,4Hm e 1,44Hm² (B) 24m e 144m (C) 1,2m e 1,44m² (D) 2,4m e 14,4m² Resolução:

Calculando o perímetro temos 2P = 2.. = 2..1,2 = 2,4m e calculando a área temos A = . ² = .(1,2)² = .1,44 = 1,44.m².

04. Marque a ÚNICA alternativa FALSA:

(39)

39

(B) Em um polígono convexo qualquer a soma do ângulo interno e do ângulo externo correspondente é sempre 180°

(C) A soma dos ângulos externos de um polígono convexo depende da quantidade de lados do polígono.

(D) Em um polígono regular as diagonais são congruentes.

Resolução:

A única alternativa falsa é a C.

05. Calculando o valor do ângulo interno de um dodecágono regular (12 lados), encontramos: (A) 100° (B) 120° (C) 150° (D) 180° Resolução: 7 10 2 24. 180° 0 112 2 24. 180° 12 10 . 180° 12 1800° 12 150°

06. Uma prefeitura irá trocar todo o piso de uma praça redonda com diâmetro de 50m. Se cada metro quadrado desta obra custa R$ 120,00, quanto irá custar a obra por completo? (DICA: Utilize 3,1 para a aproximação de )

(A) R$ 132500,00 (B) R$ 232500,00 (C) R$ 332500,00 (D) R$ 432500,00

(40)

Primeiro vamos calcular a área da praça. A = . ²= .25² = 625 = 625 . 3,1 = 1937,5m². Agora, basta multiplica pelo custo do metro quadrado. 1937,5 . 120 = R$ 232500,00

(41)

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Caro professor aplicador, agora que o aluno já estudou todos os principais assuntos relativos ao 4° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles em suas vidas.

Iniciamos este estudo, apresentando a importância do estudo dos gráficos e tabelas e posteriormente sobre polígonos.

Portanto, agora, oriente os alunos a ler atentamente as questões a seguir respondendo cada uma das questões propostas de forma clara e objetiva..

ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites nos quais foram utilizados.

I – Apresente alguns exemplos de gráficos e tabelas que podem facilitar a compreensão de situações reais. Explique quais as informações transmitidas pelo gráfico:

A ideia desta atividade é que o aluno possa associar informações expressas em gráficos e tabelas fazendo interpretação do mesmo, para isso peça que os alunos escrevam todas as informações que eles conseguem obter através das leituras dos gráficos.

II – Dê Exemplos de polígonos encontrado em figuras de artes, pinturas , esculturas.

Essa atividade pode ser realizada em conjunto com o professor de artes, relacionando a matemática com esta disciplina.

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[1] IEZZI, Gelson; Et al. Matemática e Realidade: 8ª série. 5 ed. São Paulo: Atual, 2005. [2] DANTE, Luiz Roberto. Projeto Teláris: Matemática 9º ano. 1 ed. São Paulo: Ática, 2012.

[3] BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática Ensino Fundamental 8. 1 ed. São Paulo: Moderna, 2003.

[4] GIOVANNI, José Ruy. A conquista da matemática, 9º ano- São Paulo: FTD 2012.

[1] Figura 1: http://xfc.com.br/wp-content/uploads/2011/08/ufc_rio_octogno.jpg [2] Figura2:

http://www.mrherondomingues.seed.pr.gov.br/redeescola/escolas/27/1470/14/arqui vos/Image/Fotos_Local/chafariz(1).jpg

Fonte das Imagens

Referências

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COORDENADORES DO PROJETO Diretoria de Articulação Curricular

Adriana Tavares Mauricio Lessa

Coordenação de Áreas do Conhecimento Bianca Neuberger Leda

Raquel Costa da Silva Nascimento Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva

Marília Silva

COORDENADORA DA EQUIPE Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática

PROFESSORES ELABORADORES Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves Fabiana Marques Muniz

Herivelto Nunes Paiva Izabela de Fátima Bellini Neves

Jayme Barbosa Ribeiro Jonas da Conceição Ricardo Reginaldo Vandré Menezes da Mota

Tarliz Liao

Vinícius do Nascimento Silva Mano Weverton Magno Ferreira de Castro

REVISÃO DE TEXTO Isabela Soares Pereira