XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. REGISTRO GRÁFICO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL: UMA EXPERIÊNCIA DE INTERVENÇÃO DE ENSINO COM O GEOGEBRA. 2019. In: Anais do XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática. Ilhéus, Bahia. XVIII EBEM.
REGISTRO GRÁFICO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL: UMA EXPERIÊNCIA DE INTERVENÇÃO DE ENSINO COM O GEOGEBRA
Allann Elkee Luz Santos Universidade Estadual de Santa Cruz aelsantos.1@gmail.com
Edmilson Ferreira pereira Junior Universidade Estadual de Santa Cruz edmilsonufrb@gmail.com
Frank Presley de Lima Neves Universidade Estadual de Santa Cruz frankneves78@hotmail.com
Martielle Soledade Souza Santos Universidade Estadual de Santa Cruz martielle2012@gmail.com
Wesley Ferreira Nery Universidade Estadual de Santa Cruz wesleyferreiranery5@gmail.com
Resumo: O presente relato teve por objetivo analisar uma intervenção de ensino desenvolvida
com alunos do primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Santa Cruz na disciplina Introdução ao Cálculo, com foco no registro gráfico da função exponencial com auxílio do software de geometria dinâmica GeoGebra. No desenvolvimento dessa intervenção de ensino propomos tarefas investigativas com a utilização deste software em oposição ao “pardigma do exercício” recorrente nas aulas de matemática nos diferentes níveis de ensino. Tal experiência mostrou que atividades investigativas desenvolvidas com a utilização dessa ferramenta colaboraram, de forma efetiva, com o processo de ensino e aprendizagem de matemática, em particular do registro gráfico da função exponencial, e promoveram uma maior interação entre os alunos, mediadores e o saber.
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. (2019)
INTRODUÇÃO
O presente relato teve por objetivo analisar uma experiência dos discentes do Programa de Pós-graduação em Educação Matemática (PPGEM) construída em uma intervenção de ensino que foi desenvolvida com a turma do primeiro semestre do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC). A proposta surgiu durante o componente curricular Cálculo Diferencial e Integral na Perspectiva da Educação Matemática que tem como um de seus objetivos a integração das teorias do Calculo Diferencial e Integral com os conteúdos da Educação Básica, a exemplo de Função Exponencial, particularmente, o registro gráfico dessa função.
Assim, a ideia foi de elaborar uma intervenção de ensino, que para além do paradigma definição-exemplo-exercício, possibilita ao aluno investigar sobre características da função exponencial, numa constante interação entre o registro algébrico e o registro gráfico, com o auxílio do GeoGebra. Pois “a tecnologia é essencial no ensino e na aprendizagem da matemática; influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos” (NCTM, 2007, p. 26).
A partir disso, a sequência de ensino sobre Registro gráfico de função exponencial contou com recursos da Tecnologia da Informação e Comunicação – TIC, em especial, o software de geometria dinâmica GeoGebra. Este foi escolhido por possibilitar o estudo dos objetos matemáticos nas representações algébrica e gráfica de forma dinâmica, ser um software livre e de fácil instalação em computadores e celulares.
Além disso, os softwares matemáticos possuem um grande atrativo aos educandos, pois eles estão lidando com as novas tecnologias a todo o momento, com as animações, filmes e vídeos do Youtube, a portabilidade do celular, a tecnologia do iphone, a mobilidade do notebook, as projeções do retroprojetor, entre outros. Atrativo esse que provoca a curiosidade e incentiva a busca do novo, tudo isso, utilizando os diversos recursos que os softwares podem proporcionar, para que então ocorra a aprendizagem; uma vez que, segundo Freire “[...] os alunos da geração digital, também conhecidos como ‘nativos digitais’, estão cada vez menos passivos perante a mensagem fechada à intervenção, pois, aprenderam com o controle remoto da televisão, com o joystick do vídeo game e agora com o mouse”, (FREIRE; AMORA, 2011, p. 82, grifo do autor).
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. (2019) Ainda sobre o uso de softwares no ensino, Lévy (1993) enfatiza que a simulação de situações mentalmente ou movimentos e reações do mundo exterior, permite antecipar, prever e analisar as consequências dos nossos atos. A partir disso, torna-se importante despertar esse senso de investigação através do ambiente informatizado, sendo este importante para o ato de aprender.
DESENVOLVIMENTO
A intervenção de ensino, organizada por nós, que foi implementada na disciplina de Introdução ao Cálculo deu continuidade às atividades já desenvolvidas por outros dois grupos de mestrandos do PPGEM, que também cursavam o componente curricular Cálculo Diferencial e Integral na Perspectiva da Educação Matemática. Um desses grupos implementou uma intervenção de ensino com o intuito de desenvolver as ideias relacionadas a definição de função tangente e o outro grupo propôs uma intervenção objetivando introduzir o conceito de função exponencial; por fim, o nosso grupo, dando continuidade ao segundo, elaborou uma sequência de ensino com foco no registro gráfico da função exponencial.
No contexto delineado, o componente curricular do mestrado procurou integrar as teorias do Cálculo Diferencial e Integral com os conteúdos da Educação Básica no intuito de potencializar, nos alunos, com o auxílio do GeoGebra, o entendimento sobre funções e seu registro gráfico no ambiente lápis e papel, particularmente, no caso do nosso grupo, o registro gráfico da função exponencial como explicitado anteriormente.
A intervenção foi desenvolvida em dois dias (em um total de 5 horas/aula), inicialmente, no primeiro dia, com uma problematização e implementação da sequência de ensino no laboratório de informática, e no segundo dia com a sistematização e esclarecimentos de dúvidas trazidas pelos estudantes da licenciatura sobre a lista de exercícios que os mesmos deveriam ter resolvido em casa.
No primeiro dia, a partir da problematização da proliferação de bactérias, propomos a seguinte situação contextualizada:
“Em um experimento no laboratório de pesquisa, observou-se que o número de bactérias de uma determinada cultura, sob certas condições, evolui conforme a relação ( ) = 10 ∙ 3 −1, em que ( ) representa a quantidade de bactérias e o tempo em horas.”. Disponível em:
https://brainly.com.br/tarefa/4155603. (Adaptado).
Para tanto a aula aconteceu no Laboratório de informática e, iniciamos a mesma com a situação problema descrita acima, na qual objetivamos além de retomar o próprio conceito de função, enfatizando o domínio, contradomínio e imagem, ter uma ideia de função exponencial e do seu registro gráfico.
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. (2019) No segundo momento, distribuímos entre os graduandos a sequência de ensino em que se descrevia o passo a passo da construção dos gráficos no ambiente informatizado, no qual se fez a disponibilização para aplicação e observação de diversos controles deslizantes, enquanto atributo de manipulação disponibilizado pelo software, de modo que, o aluno poderia analisar a aplicabilidade desses controles e das respectivas alterações que cada parâmetro realiza no registro gráfico de uma função, viabilizando ao estudante investigar as mudanças ocorridas.
No tocante a sequência de ensino com o uso do GeoGebra, foram disponibilizadas tarefas direcionadas à investigação do comportamento de diferentes modelos de função exponencial, aguçando os discentes, no decorrer das manipulações das variáveis, a identificação e compreensão do porquê de suas restrições.
A seguir apresentamos duas das situações que compunham a sequência de ensino: Situação 1 – “No software GeoGebra construa um controle deslizante, tendo intervalo
de 0 até 5 com incremento 0.1. Digite a função ( ) = . Investigue o que acontece com a função quando ∈ (0,1) e quando > 1. O que você pode concluir?”.
A elaboração desta situação destinou-se a estimular no estudante condições de observação e análise, permitindo-o investigar o comportamento da função exponencial prototípica em dois intervalos diferentes, devendo ele, registrar suas conclusões. No ambiente computacional, as utilizações dos controles deslizantes proporcionam que o educando visualize a configuração gráfica do valor de , para a existência da função exponencial e, a partir disso, compreender que, ao momento em que o controle deslizante assumir valor igual a 0 (zero) ou igual a 1 (um) a função exponencial não existe, nesse sentido, é possível ter a função para valores diferentes dos propostos.
Na terceira situação da sequência intencionou-se que os alunos percebessem que ao adicionar um valor real a função exponencial prototípica, ( ) = , que intersecta o eixo no ponto de coordenadas (0,1), obterá uma nova função ( ) que terá o gráfico deslocado no eixo y de acordo com o valor do parâmetro m e intersecta o eixo no ponto de coordenadas. Veja abaixo a situação 3.
Situação 3 – “Análise do comportamento da função prototípica ao adicionar-se um número real m [ ( ) = ( ) + ]. Na função ( ) = + investigue o parâmetro . Oque você pode observar?”.
Com esta tarefa pretendíamos também explicitar para os aprendizes que essa função não deixou de ser exponencial por não tocar no eixo y no ponto de coordenadas (0,1), com exceção de quando o parâmetro = 0, como acontece com a função exponencial prototípica.
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. (2019) No terceiro momento, no Ambiente lápis e papel, o objetivo era que os alunos a partir do entendimento de como se comportam os gráficos de uma função exponencial, inicialmente com o auxílio do software, em diversos contextos, esboçasse gráficos de várias funções exponenciais posteriormente sem o GeoGebra para identificar como os alunos comportavam-se mediante o trabalho no ambiente lápis e papel, para que os mestrandos os auxiliascomportavam-sem no processo de construção e percebessem possíveis dificuldades. A questão a seguir apresenta a situação proposta aos alunos para a construção dos gráficos no ambiente lápis e papel.
“No ambiente lápis e papel, construa os gráficos a seguir:
O segundo dia da intervenção ocorreu na sala de aula. Este momento foi destinado para tirar as dúvidas acerca da construção dos gráficos no ambiente lápis e papel, também foram analisadas questões da lista de exercícios disponibilizada anteriormente pela professora regente da turma.
Durante o primeiro momento referente a Situação Contextualizada, percebemos que uma boa parte da turma já tinha o conhecimento sobre a utilização do software GeoGebra; a partir dessa percepção não foi necessário fazer um momento de apresentação e manuseio detalhado do software, sendo esse um ponto facilitador para o transcorrer da atividade. Diante disso, os alunos analisaram a situação da proliferação de bactérias proposta, construíram o gráfico utilizando o GeoGebra e refletiram sobre alguns questionamentos que fizemos a respeito da problemática apresentada na situação, a saber: “Este gráfico representa uma função?”; “Qual é o domínio e a imagem caso seja uma função?”; “Qual as coordenadas do ponto em que o registro gráfico dessa relação toca no eixo y?”; “O que acontece com os valores de f(x), se os valores de x se aproximam de zero?”
Desse modo, durante a introdução da sequência, constatou-se que alguns graduandos apresentaram falas incoerente em relação a definição de função. Ao percebermos tais erros discutimos com os alunos a respeito dessa definição. Por outro lado, outros alunos desenvolveram a atividade sem dificuldades. Nesse contexto, cada mestrando circulava dentre os alunos procurando identificar possíveis dificuldades e esclarecendo as respectivas dúvidas,
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. (2019) introduzindo situações relacionadas às dúvidas que os direcionassem ao desenvolvimento de um pensamento reflexivo capaz de compreender a situação estudada e os seus equívocos.
O momento descrito acima possibilitou uma importante interação entre os mestrandos e os graduandos, pois passamos a vivenciar um vínculo mútuo de aprendizado pela reciprocidade de experiências.
A partir do momento em que foi desenvolvido a Sequência de ensino com uso do GeoGebra, foram obtidas diversas respostas por parte dos alunos, as quais apresentaram indícios do entendimento do conteúdo pelos educandos. Na Figura 2 apresentamos a resposta dada por um dos estudantes para a primeira situação da sequência, momento ao qual se pretendia que os alunos entendessem a restrição da função exponencial prototípica.
Figura 1: Resposta de um estudante para a situação 1
Fonte: Protocolo dos alunos
Podemos averiguar na Figura 1, a resposta de um dos discentes. O objetivo desta questão foi alcançado parcialmente pela resposta do estudante quando infere sobre uma restrição do parâmetro a em uma função exponencial prototípica, ( ) = , e afirma a ocorrência desse fato para todos os casos, o que interpretamos como o fato de que quando = 1 a função será constante.
Na Figura 2, ainda relacionando o estudo da função prototípica, agora com uma variável multiplicando o expoente, ( ) = ∗ , foi possível perceber que um dos alunos respondeu o seguinte comentário acerca da observação feita utilizando os controles deslizantes.
Figura 3: Sequência de ensino resolvida por um dos alunos
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. (2019) Assim, ao que tudo indica o aluno entendeu a restrição da função exponencial com relação ao valor de a, como foi enfatizada na questão anterior, dentro dessa função ao multiplicar o expoente por um número real diferente de zero, irá influenciar no crescimento e decrescimento da função, no entanto, o estudante não deixa claro este entendimento.
Na figura 3, foi pedido para o estudante investigar a função do tipo ( ) = ( + ), a partir deste fato, o aluno respondeu:
Figura 3: Sequência de ensino resolvida por um dos alunos
Fonte: Protocolo dos alunos
A partir dessa situação o aluno poderá perceber que no registro gráfico de uma função exponencial pode ocorrer variações, ou seja, não necessariamente a função intersecta o eixo y no ponto de coordenada (0,1), como foi proposto pelo aluno acima.
Na figura 4 a intenção foi entender como ocorre o comportamento da função exponencial prototípica ao ser multiplicada por um valor real.
Figura 4: Sequência de ensino resolvida por um dos alunos
Fonte: Protocolo dos alunos
Nesta questão além de retomar a restrição da função exponencial o educando analisa quando o valor de a equivale a 1, multiplicado por um parâmetro determinando uma função constante. No entanto a aluna deixa de afirmar que, dentro da condição de existência, a função exponencial prototípica tem todos os valores da imagem multiplicados pelo valor que o parâmetro d assume.
No terceiro momento (Ambiente lápis e papel) foi proposto a construção de gráficos sem o GeoGebra e na figura 5, a seguir, mostramos a resolução de um dos alunos referente a resolução dos problemas feito no ambiente lápis e papel.
SANTOS, Allann; JUNIOR, Edmilson; NEVES,Frank; SANTOS,Martielle; NERY, Wesley. (2019)
Fonte: Protocolo dos alunos.
Nessa figura interpretamos que ao utilizar vários pares ordenados para definir o crescimento da função o aluno ainda não consegue determinar se a função é crescente ou decrescente a partir da análise do seu registro algébrico.
Por fim, ocorreu o momento final do segundo dia em que desenvolvemos a sequência de ensino. Na oportunidade, tiramos dúvidas dos educandos acerca das construções dos gráficos no ambiente lápis e papel e analisamos algumas questões da lista de exercício disponibilizada anteriormente. Neste contexto, percebemos uma significativa participação dos alunos na resolução da lista de exercícios e nas discussões levantadas durante a aula.
REFERÊNCIAS
BRAINLY. Questione tudo, responda a tudo. Disponível em:
https://brainly.com.br/tarefa/4155603 .Acesso em: 18 de maio de 2018.
FREIRE, W.; Amora, D. et al. Tecnologia e Educação: as mídias na prática docente. 2ª Edição. Rio de Janeiro: Wake Ed. 2011.
LÉVY, P. As tecnologias da inteligência: o futuro do pensamento na era da informática. Tradução de Carlos Irineu da Costa. Rio de Janeiro: Ed. 34, 1993.
NCTM, NATIONAL COUNCIL OF TEACHER OF MATHEMAIS . Princípios e Normas
para a Matemática Escolar. Trabalho original publicado em 2000. Tradução da
Associação de Professores de Matemática (APM). Lisboa: Associação de Professores de Matemática e Instituto de Inovação Educacional, 2007.
