Implementação do Algorítimo TRIAD para Determinação da Atitude em um Sistema Embarcado

(1)

Centro de Tecnologia e Urbanismo

Departamento de Engenharia El´

etrica

Curso de Engenharia El´

etrica

Implementa¸

c˜

ao do Algor´ıtimo TRIAD

para Determina¸

c˜

ao da Atitude em um

Sistema Embarcado

Autor: Rafael Marcom

Orientador: Prof. Dr Marcelo Carvalho Tosin

Londrina, PR

25 de fevereiro de 2016

(2)

RAFAEL MARCOM

Implementa¸c˜ao do Algor´ıtimo TRIAD para Determina¸c˜ao da Atitude em um Sistema Embarcado

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica da Uni-versidade Estadual de Londrina, como requisito parcial à conclusão do Curso de Engenharia El´ e-trica.

Orientador: Prof. Dr. Marcelo Carvalho Tosin

Londrina, PR 25 de fevereiro de 2016

(3)

RAFAEL MARCOM

Implementa¸c˜ao do Algor´ıtimo TRIAD para Determina¸c˜ao da Atitude em um Sistema Embarcado

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Elétrica da Uni-versidade Estadual de Londrina, como requisito parcial à conclusão do Curso de Engenharia El´ e-trica.

Aprovada aprovado.Londrina de de 2015.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. MARCELO CARVALHO TOSIN - Orientador UEL

Prof. Dr. FRANCISCO GRANZIERA J ´UNIOR UEL

Prof. Dr. TAUFIK ABR ˜AO UEL

Londrina, PR 25 de fevereiro de 2016

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a minha fam´ılia, Gilberto Marcom, Marli Pereira Ribeiro Marcom, Mar-celo Marcom, Daniela Marcom e Pietro Marcom Pollo, que sempre me incentivaram e me ajudaram na horas dif´ıceis, eles são a razão por eu ter chego até aqui.

Agradecimentos especiais aos meus amigos de curso, Diego de Freitas Marinho, Ricardo Henrique Motta e Lucas Claudino, Lucas Dias, Augusto Nery, Bárbara Sfeir, Suzana Carnielli, entre outros diversos, que muito mais que amigos, são verdadeiros irmãos, com quem compartilhei mais momentos de alegria do que de tristeza.

Agrade¸co ao meu orientador Marcelo Carvalho Tosin e ao pessoal do Lab T5, Francisco Granziera Júnior, Daniel Batista, a ajuda de vocês foi fundamental para a conclusão deste trabalho.

(5)

”Os homens perdem a saúde para juntar dinheiro, depois perdem o dinheiro para recuperar a saúde. E por pensarem ansiosamente no futuro esquecem do presente de forma que acabam por não viver nem no presente nem no futuro. E vivem como se nunca fossem morrer...e morrem como se nunca tivesse vivido.” (Jim Brown)

(6)

Lista de Figuras

2.1 Dois corpos com localiza¸c˜oes distintas no espa¸co e mesma atitude . . . 4

2.2 Defini¸c˜ao de orienta¸c˜ao do sistema de coordenadas de um corpo pelos eixos u, v e w . . . 5

2.3 Representa¸cão da Sequência Aeroespacial dos ângulos de Euler. . . 7

2.4 Representa¸cão gráfica do quatérnion. . . 10

2.5 Representa¸cão gráfica da rota¸cão dada por matriz de atitude. . . 13

2.6 Diagrama do circuito interno de um magnetˆometro AMR. . . 15

2.7 Ponte de Wheatstone para leitura do campo magn´etico. . . 15

2.8 Configura¸cão básica de um acelerômetro. . . 17

2.9 Efeito da acelera¸c˜ao em um acelerˆometro. . . 17

3.1 ilustra¸c˜ao gr´afica dos desvios de ortogonalidade na tr´ıade. . . 19

4.1 Kit de desenvolvimento utilizado para implementa¸c˜ao do determinador de atitude. . . 24

4.2 Fluxograma do algor´ıtimo determinador de atitude implementado. . . 25

4.3 Magnetˆometro M AG3110. . . 27

4.4 Acelerˆometro LIS3DSH(Motion Sensor ). . . 28

4.5 Dados do magnetˆometro sem filtro. . . 28

4.6 Dados do acelerˆometro sem filtro. . . 29

4.7 Resposta em Frequência do Filtro Média Móvel. . . 30

4.8 Fluxograma do filtro MM. . . 31

4.9 Dados do magnetômetro com filtro média móvel com N = 4. . . 32

4.10 Dados do acelerômetro com filtro média móvel com N = 4. . . 32

4.11 Dados magnetˆometro sem calibra¸c˜ao. . . 34

4.12 Dados magnetˆometro calibrado e corrigido. . . 35

4.13 Compara¸c˜ao entre os dados sem e com calibra¸c˜ao. . . 35

4.14 Dados do magnetˆometro calibrado. . . 36

4.15 Dados reais do acelerˆometro. . . 36

4.16 Compara¸cão entre os dados sem e com calibra¸cão do acelerômetro. . . 37

4.17 Modelo do simulink para leitura e an´alise dos dados. . . 39

4.18 Interface de anima¸c˜ao do simulink. . . 40

5.1 Aparato constru´ıdo para medidas dos ˆangulos de rota¸c˜ao. . . 41

(7)

5.2 Visualiza¸c˜ao da rota¸c˜ao em torno do eixo X. . . 42

5.3 Visualiza¸c˜ao da rota¸c˜ao em torno do eixo Y. . . 42

5.4 Visualiza¸c˜ao da rota¸c˜ao em torno do eixo Z. . . 43

(8)

Lista de Tabelas

4.1 Especifica¸cões elétricas e de opera¸cão do magnetômetro. . . 27

4.2 Especifica¸cões elétricas e de opera¸cão do acelerômetro. . . 27

4.3 Parˆametros da fun¸c˜ao wrldmagm. . . 33

4.4 Parâmetros estimados pela rotina de calibra¸cão com dados do magnetômetro. . . 34

4.5 Parâmetros estimados pela rotina de calibra¸cão com dados do acelerômetro. . . 37

5.1 Medidas dos ˆangulos de rota¸c˜ao em torno do eixo X (ϕ). . . 42

5.2 Medidas dos ˆangulos de rota¸c˜ao em torno do eixo Y (θ). . . 42

(9)

Lista de Siglas e Abreviaturas

a,b,c Fatores de escala x0, y0, z0 Offset

ˆ

u Valor estimado ˜

u Valor real

ρ, φ, λ ˆAngulos de desalinhamento da tr´ıade sensora

† _{Pseudo-inversa de Moore Penrose}

X Matriz de amostras para calibra¸c˜ao

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J Fun¸cões não lineares dos parâmetros de calibra¸cão α, β, γ, δ, , χ, µ, ι, κ Variáveis intermediárias

A Matriz Atitude

DCM Matriz Diretor Cossenos I Matriz identidade

Mref Matriz de referˆencia

Mobs Matriz de observa¸c˜ao

Q Matriz anti-sim´etrica x Operador produto vetorial |.| Operador norma

T _{Operador transposta} −1 _{Operador inverso}

Ψ, θ, ϕ Ângulos de Euler, representam Yaw, Pitch e Roll, respectivamente. R Matriz de rota¸cão a partir dos ângulos de rota¸cão

Rx

ϕ Matriz de rota¸c˜ao de φ em torno do eixo x

Rx

θ Matriz de rota¸c˜ao de φ em torno do eixo y

Rx

(10)

˘

q Quaternion

q Componente vetorial do quaternion qo Componente escalar do quaternion

TRIAD Tri-Axis Attitude Determination ri Triade de referˆencia levantada a partir de vi

si Triade de observa¸c˜ao levantada a partir de wi

u Grandeza f´ısica gen´erica

vi Proje¸c˜oes dos vetores fonte no sistema de coordenadas de referˆencia

wi Proje¸c˜oes dos vetores fonte no sistema de coordenadas do corpo

MEMS Micro-Electro-Mechanical Systems AMR Anisotropic Magneto Resistive Sensors AWGN Adittive White Gaussian Noise Csf Erro fator de escala do magnetˆometro

Cm Erro de offset do magnetˆometro

Co Erro fator de escala do magnetˆometro

Csf Erro fator de escala do acelerˆometro

Cm Erro de offset do acelerˆometro

(11)

Agradecimentos iv

Lista de Figuras vii

Lista de Tabelas viii

Lista de Siglas e Abreviaturas ix

Resumo xiii Abstract xiv 1 Introdu¸cão 1 1.1 O tema . . . 1 1.2 Objetivos . . . 2 2 Revisão de Literatura 3 2.1 Atitude . . . 3 2.1.1 Representa¸cão da Atitude . . . 4 2.1.2 Matriz de Rota¸cão . . . 4 2.1.3 Angulos de Euler . . . .ˆ 6 2.1.4 Quatérnions . . . 8

2.1.5 Propriedades do Quat´ernion . . . 9

2.1.6 Rela¸c˜ao entre as representa¸c˜oes . . . 10

2.2 Determina¸c˜ao da Atitude . . . 12

2.2.1 O Algoritmo TRIAD . . . 12

2.2.2 Sensores MEMS . . . 14

3 Rotina de Calibra¸c˜ao 18 3.1 Calibra¸c˜ao . . . 18

3.2 Erros dos Sensores MEMS . . . 18

3.3 Rotina de Calibra¸c˜ao . . . 19

3.3.1 Estima¸c˜ao por M´ınimos Quadrados . . . 20

(12)

3.3.2 C´alculo dos Parˆametros . . . 21

4 Procedimentos Metodol´ogicos 23 4.1 Procedimentos Metodol´ogicos . . . 23

4.1.1 Determinador de Atitude . . . 23

4.1.2 Implementa¸c˜ao do Algor´ıtimo TRIAD . . . 24

4.1.3 Valida¸c˜ao do Algor´ıtimo . . . 26

4.1.4 Problemas com Ru´ıdo . . . 28

4.1.5 Calibra¸c˜ao dos Sensores . . . 32

4.1.6 Interface com o Simulink . . . 37

5 Resultados 41 5.1 Testes do Algor´ıtimo Determinador de Atitude . . . 41

6 Conclus˜ao 45 6.1 Apˆendice . . . 47

6.1.1 C´odigo Algor´ıtimo TRIAD . . . 47

6.1.2 Leitura do Magnetômetro - Média Móvel . . . 53

6.1.3 Leitura do Acelerômetro - Média Móvel . . . 55

6.1.4 C´odigo Norma . . . 58

(13)

Resumo

Este trabalho consiste na implementa¸cão de um algor´ıtimo de determina¸cão de atitude em sistema embar-cado, utilizando o kit de desenvolvimento Open407V-D Standard - STM32F4 Development Board. São explorados conceitos matemáticos utilizados para expressar a atitude, como a matriz DCM, os ângulos de Euler e o quatérnion, como também os tipos de sensores utilizados no trabalho em questão. Os sensores utilizados são o magnetômetro e o acelerômetro, ambos fabricados com a tecnologia MEMS, que são de baixo custo e tamanho. O algor´ıtimo utilizado para determinar a atitude é o TRIAD. O algor´ıtimo TRIAD consiste na multiplica¸cão da matriz contendo os vetores de observa¸cão pela matriz contendo os vetores de referência, que são formados a partir da leitura dos sensores. É abordado também conceitos de calibra¸cão dos sensores e apresentado de forma gráfica a influência dela sobre as medi¸cões. O sistema deverá ser capaz de calcular a atitude em uma taxa suficiente para descrever os movimentos de rota¸cão ao longo do tempo. A atitude será representada através de uma interface com o simulink, onde é poss´ıvel visualizar os ângulos de rota¸cão e uma anima¸cão em tempo real.

Palavras-Chave:Determina¸c˜ao da Atitude, Sensores MEMS, TRIAD, STM32F407 ARM Cortex M4.

(14)

Abstract

This work is the implementation of an attitude determination algotithm in an embedded system using the development kit Open407V-D Standard - STM32F4 Development Board. Exploring mathematical concepts used to express the attitude, as DCM matrix, Euler angles and quaternion, as well as the types of sensors used. The sensors used are the magnetomoter and the accelerometer, both manufactured using MEMS technology wich are low cost and size. The algorithm used to determine the attitude is the TRIAD. The TRIAD algorithm constitutes in the multiplication the matrix containing the observation vectors by the matrix containing the reference vectors, which are formed from the sensors reading. Data are presented in a graphical form to demonstrate the influence of calibration in measurements. The system should be able to calculate the attitude at sufficient rate to describe the rotation movement over time. The attitude will be presented graphically using MatLab Simulink, where is possible to view an animation representing the calculated rotations in real time.

(15)

Introdu¸

c˜

ao

1.1 O tema

Saber determinar a orienta¸cão de um corpo se faz necessário nas mais diversas áreas de atua¸cão, como por exemplo, em navega¸cão, não basta saber somente a localiza¸cão de um satélite, um avião ou um submarino, é necessário saber para que dire¸cão ele está apontando.

A orienta¸cão está presente também na área de biomédica, existem dispositivos capazes de mo-nitorar ou auxiliar um deficiente f´ısico, na industria, está presente em robôs, aplica¸cões em realidade virtual, v´ıdeo games e o mais comum, de acesso a todos, o celular, onde alguns aplicativos necessitam da orienta¸cão do aparelho.

A orienta¸cão no espa¸co pode se expressa matematicamente por uma matriz de rota¸cão que permita realizar a transforma¸cão entre sistemas de coordenadas associados a diferentes sistemas de referência. A orienta¸cão de um corpo não está relacionada a sua posi¸cão e pode ser estudada e determinada de forma independente (GRANZIERA JR.; LOPES; TOSIN,2007). A orienta¸cão de um corpo no espa¸co também é chamada de atitude.

Para determinar a atitude de um corpo em três dimensões, são necessários pelo menos dois vetores de referência em dire¸cões distintas.

Alguns sensores tem como base, princ´ıpios f´ısicos sentidos pelo deslocamento da inércia, como os acelerômetros e girômetros. Outros se baseiam em referenciais como o campo geomagnético, o Sol e as estrelas.

Para este trabalho, será utilizado como sensores, uma tr´ıade de magnetômetros e uma tr´ıade de acelerômetros. Estes sensores foram escolhidos por ter suas referências bem estabelecidas, no caso, o campo magnético da terra e a for¸ca da gravidade, que é o suficiente para a implementa¸cão de um determinador de atitude tridimensional em sistema embarcado.

Ambos sensores são do tipo MEMS(Micro-Electro-Mechanical Systems). Estes tipos de sensores oferecem vantagens em tamanho, potência e custo, porém em termos de desempenho, ainda são inferiores quando comparados com seus equivalentes mecânicos. Em alguns casos, esta perda já não é considerada cr´ıtica, e os dispositivos MEMS estão cada vez mais presentes em aplica¸cões corriqueiras(BATISTA,2013).

(16)

Estes sensores utilizados na determina¸cão da atitude, não são perfeitos, eles são corrompidos por erros. Por isso, é de extrema importância o desenvolvimento de modelos matemáticos para a corre¸cão dos dados dos sensores, isto inclui conhecer as fontes de erros, realizar uma rotina de calibra¸cão que determine os coeficientes de erro e, por fim, processar os dados medidos e remover os erros existentes (SANTANA,2009).

O algoritmo que será utilizado para determinar a atitude de um corpo é o TRIAD, que é um método simples baseado somente em dois vetores e pode ser eficientemente implementado em sistemas embarcados.

1.2 Objetivos

O objetivo deste trabalho é a implementa¸cão do algor´ıtimo TRIAD utilizando o kit de desenvolvimento Open407V-D Standard - STM32F4 Development Board e implementar uma interface gráfico com o uso do simulink onde será poss´ıvel visualizar a atitude em tempo real por meio de uma anima¸cão, assim como os ângulos de Euler.

(17)

Revis˜

ao de Literatura

2.1 Atitude

A atitude é a orienta¸cão tridimensional de um corpo em rela¸cão a alguma referência, ou seja, como o corpo está posicionado no espa¸co.

Determinar a atitude de um corpo é determinar a rota¸cão que deve ser aplicada sobre o sistema de coordenadas de referência para que o mesmo coincida com o sistema de coordenadas definido no corpo. No entanto, ao contrário do que pode parecer em um primeiro momento, a atitude não define onde ele está posicionado. Assim, dois corpos podem ter a mesma atitude e possuir localiza¸cões diferentes no espa¸co. Percebe-se então, que a atitude está diretamente relacionada com a rota¸cão dos corpos e não com a transla¸cão. Para entender essa afirma¸cão, pode-se pensar em dois corpos iguais que possuem localiza¸cões distintas no espa¸co. Se pudéssemos fotografar esses dois corpos, seguindo um mesmo referencial, e colocar uma imagem sobreposta à outra poder´ıamos definir que eles possuem a mesma atitude se e somente se as imagens estivessem perfeitamente casadas (SANTANA,2009).

(18)

Figura 2.1: Dois corpos com localiza¸c˜oes distintas no espa¸co e mesma atitude Ei xo Y Eixo X FONTE: Autor.

2.1.1 Representa¸

c˜

ao da Atitude

O problema básico da determina¸cão de atitude é especificar a orienta¸cão de uma tr´ıade nas coordenadas do corpo, os vetores de observa¸cão em rela¸cão a uma tr´ıade de coordenadas de referência e os vetores de referência.

A orienta¸cão de um corpo pode ser representado de diversas formas matemáticas, as mais comuns são:

• Matriz de Atitude; • ˆAngulos de Euler; • Quat´ernion;

´

E poss´ıvel converter as formas de representa¸cão, quatérnions, ângulos de Euler e matriz de rota-¸

cão. No entanto, essas representa¸cões podem ser utilizadas para modelar a dinâmica das rota¸cões, pois existe uma álgebra espec´ıfica para cada uma delas.

2.1.2 Matriz de Rota¸

c˜

ao

A rota¸cão dos três eixos de atitude é baseada na matriz de atitude, também conhecida como matriz de cossenos diretores (DCM). Na figura 2.2, os eixos 1,2 e 3 são vetores unitários definindo uma tr´ıade ortogonal. Essa tr´ıade é escolhida como um referencial inercial. Adjunto a tr´ıade tem um corpo em movimento definido pelos seguintes vetores unitários, u, v e w. A rota¸cão da matriz A é definida da seguinte maneira.

(19)

Figura 2.2: Defini¸c˜ao de orienta¸c˜ao do sistema de coordenadas de um corpo pelos eixos u, v e w

2

3 u

v

w

FONTE: Adaptado de (TAKAHASHI,2010)

A =      u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3     

Obtido a matriz A, u1, u2 e u3 s˜ao componentes do vetor u ao longo do sistema de referˆencia ortogonal

u = [u1,u2,u3]T. De modo similar, v e w tamb´em tem componentes v1, v2e v3e w1, w2e w3ao longo dos

mesmo eixos de referência v = [v1,v2,v3]T e w = [w1,w2,w3]T. A matriz diretor de cossenos é também

chamada de matriz de atitude e tem uma importante propriedade de mapeamento de vetores de referˆencia de observa¸c˜ao.

Os elementos da matriz não são independentes, ou seja, a matriz apresenta informa¸cões redun-dantes. Ainda, como os vetores são unitários e ortogonais, pode-se estabelecer as seguinte rela¸cões.

u2₁+ u2₂+ u2₃= 1 (2.1)

u1v1+ u2v2+ u3v3= 0 (2.2)

A DCM possui tamb´em a propriedade de transformar vetores no sistema de coordenadas de referˆencia para o sistema de coordenadas de corpo. Suponha um vetor aref = [a1, a2, a3]T, com suas

componentes baseadas no sistema de referência. De acordo com a equa¸cão 2.3, multiplicando a DCM pelo vetor aref, o resultado será o próprio vetor a, porém agora com suas componentes projetadas no

(20)

sistema de coordenadas do corpo, obtendo portanto o vetor acorpo. Aaref =      u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3           a1 a2 a3      =      u · aref v · aref w · aref      =      au av aw      = acorpo (2.3)

O mesmo vale para o caminho inverso. Existe uma matriz A−1 que multiplicando por acorpo e

utilizando algumas das propriedades das matrizes ortogonais, ´e poss´ıvel encontrar aref, como mostrado

nas equa¸c˜oes a seguir (CARVALHO NETO,2012).

Aaref = acorpo

A−1Aaref = A−1Aacorpo

Iaref = A−1acorpo

aref = A−1acorpo (2.4)

2.1.3 Angulos de Euler

ˆ

A representa¸cão por ângulos de Euler permite uma representa¸cão mais visual e intuitiva da atitude. Os três ângulos de Euler representam ângulos de rota¸cão em cada um dos eixos permitindo descrever uma atitude.

A sequência mais popular dos ângulos de Euler é a Sequência Aeroespacial que é constitu´ıda por uma rota¸cão Ψ em torno de z denominado de guinada(yaw ), outra de θ em torno de y chamada de rolagem(pitch) e uma rota¸cão ϕ em torno de x denominada arfagem(roll ) (GRANZIERA JR.,2006).

Cada um dos ângulos da sequência possui uma faixa de atua¸cão. Essas faixas são:

Ψ = [−π, +π] θ = [−π 2, +

π

2] ϕ = [−π, +π] (2.5)

ˆ

Angulos de Euler não são tão convenientes para cálculos numéricos quanto quatérnions, por exigirem o uso de fun¸cões trigonométricas, mas seu significado geométrico é mais aparente e intuitivo. São úteis para análise, especialmente para encontrar solu¸cões fechadas para equa¸cões de movimentos em casos simples.

(21)

Figura 2.3: Representa¸cão da Sequência Aeroespacial dos ângulos de Euler.

Z (yaw) X(roll)

Y(pitch)

FONTE: Autor.

A matriz de rota¸cão que relaciona o sistema de coordenadas de referência de um corpo com o sistema de coordenadas de observa¸cão através dos ângulos de Euler é descrito pela seguinte matriz de atitude: A = R = Rx_ϕRy_θRz_Ψ (2.6) onde Rx_ϕ=      1 0 0 0 cosϕ senϕ 0 −senϕ cosϕ      (2.7) Ry_θ =      cosθ 0 −senθ 0 1 0 senθ 0 cosθ      (2.8) Rz_Ψ=      cosΨ senΨ 0 −senΨ cosΨ 0 0 0 1      (2.9) portanto

(22)

A = R = Rx_ϕRy_θRz_Ψ= Rx_ϕ      cos θ 0 − sin θ 0 1 0 sin θ 0 cos θ           cos Ψ sin Ψ 0 − sin Ψ cos Ψ 0 0 0 1      (2.10) R =      1 0 0 0 cos ϕ sin ϕ 0 − sin ϕ cos ϕ          

cos θ cos Ψ cos θ sin Ψ − sin θ

− sin Ψ cos Ψ 0

sin θ cos Ψ sin θ sin Ψ cos θ      R =        

cos θ cos Ψ cos θ sin Ψ − sin θ

(− cos ϕ sin Ψ + sin ϕ sin θ cos Ψ) (cos ϕ sin Ψ + sin ϕ sin θ cos Ψ) sin ϕ cos θ (sin ϕ sin Ψ + cos Ψ sin θ cos Ψ) (− sin ϕ cos Ψ + cos ϕ sin θ sin Ψ) cos ϕ cos θ

        (2.11)

A matriz R é a matriz DCM representada pelos ângulos de Euler da sequência aeroespacial. É como se ela representasse uma única rota¸cão em torno de um único eixo e que leva o corpo do sistemas de coordenadas de referência para o sistema de coordenadas atual (GRANZIERA JR.).

Problemas com ˆangulos de Euler

O primeiro deles é a divisão por zero, em equa¸cões envolvendo fun¸cões trigonométricas. Por exemplo, se cosθ = 0 [θ = ±π/2], as fun¸cões

tan θ = sin θ

cos θ sec θ = 1

cos θ (2.12)

resultam em valores indefinidos.

2.1.4 Quat´

ernions

O quatérnion, conhecido também como número hipercomplexo, como o próprio nome sugere, é um ele-mento tetra-dimensional, ele define um eleele-mento em R4_{. O quat´}_{ernion pode operar uma rota¸}_c˜_{ao da}

mesma forma que uma matriz de rota¸cão, por esse fato, o quatérnion também é capaz de representar a atitude (KUIPERS,1999).

O quat´ernion pode ser representado da seguinte forma.

˘

q = (q0, q1, q2, q3) (2.13)

Onde q0, q1, q2 e q3 s˜ao simplesmente n´umeros reais ou escalares.

Como alternativa de representa¸cão de um quatérnion, q0 é associado a um número real, uma

parte escalar, e q associado a um vetor ordin´_{ario em R}3_{, chamada de.}

(23)

i,j e k s˜_{ao bases ortonormais em R}3_.

A defini¸cão do quatérnion então é dado da seguinte forma:

˘

q = q0+ q = q0+ iq1+ jq2+ kq3 (2.15)

Em suma, q0 é chamado de parte escalar do quatérnion e q é chamado de parte vetorial do

quatérnion. Os escalares q0, q1, q2 e q3 são chamados componentes do quatérnion.

˘ q =         q0 q1 q2 q3         =   q0 q   (2.16)

As três componentes vetoriais do quatérnion representam um vetor eixo de rota¸cão e o quarto componente escalar representa o ângulo de rota¸cão ao redor deste eixo (KUIPERS,1999).

2.1.5 Propriedades do Quat´

ernion

Complexo Conjugado

Um importante conceito algébrico dos quatérnios é seu complexo conjugado. O complexo conjugado do quatérnion apresentado na equa¸cão 2.15 é denotado da seguinte forma:

˘

q∗= q0− q = q0− iq1− jq2− kq3 (2.17)

Assim como nos n´umeros complexos, a parte escalar e vetorial de um quat´ernion pode ser extra´ıda fazendo (KUIPERS,1999). ˘ q + ˘q∗ 2 = q0 (2.18) ˘ q − ˘q∗ 2 = q (2.19)

Norma do Quat´ernion

A norma do quat´ernion q ´e denotada pelo escalar N (q), onde

N (˘q) =pq˘∗_q_˘ _ou _N2_(˘_{q) = ˘}_q∗_q_˘ _(2.20)

Quat´ernion Unit´ario

O quatérnion unitário, ˘q, tem a norma igual a 1, isto é

(24)

Quat´ernion Inverso

Pela defini¸cão de inverso tem-se que, ˘q−1q = ˘˘ q ˘q−1 = 1 . Então, multiplicando ambos os lados pela equa¸cão 2.17, a expressão pode ser reescrita da seguinte forma.

˘ q∗q ˘˘q−1= N2(˘q)˘q−1= ˘q∗ (2.22) do qual resulta ˘ q−1= q˘ ∗ N2 = ˘ q∗ |˘q|2 (2.23)

e, se q é um quatérnion unitário, então

˘

q−1= ˘q∗ (2.24)

A seguir será apresentado uma figura contendo a representa¸cão gráfica do quatérnion.

Figura 2.4: Representa¸cão gráfica do quatérnion.

X

Z

Y

_{Eixo de Rotação} Plano de Rotação

q

0

FONTE: Adaptado de (TAKAHASHI,2010)

2.1.6 Rela¸

c˜

ao entre as representa¸

c˜

oes

Conhecendo-se as diferentes representa¸cões, é poss´ıvel estabelecer uma rela¸cão entre elas. ´

E poss´ıvel expressar a matriz DCM a partir dos quat´ernions da seguinte forma (TAKAHASHI,2010):

A(q) = (q2₀− q2_{)I + 2qq}T_{− 2q}

4Q (2.25)

(25)

Q =      0 −q3 q2 q3 0 −q1 −q2 q1 0      (2.26)

Os ˆangulos de Euler podem ser obtidos a partir dos elementos da matriz DCM, na representa¸c˜ao de Euler (Matriz R, 2.11). Assim:

θ = arcsen(A23) (2.27)

ϕ = −arctan(A21/A22) (2.28)

Ψ = arctan(A13/A33) (2.29)

A equa¸cão 2.27 possui uma ambiguidade em θ, correspondente à fun¸cão senθ ser positiva ou negativa. A solu¸cão usual para esta ambiguidade é selecionar −90o_{≤ θ ≤ 90}o_{(TAKAHASHI,2010).}

(26)

2.2 Determina¸

c˜

ao da Atitude

2.2.1 O Algoritmo TRIAD

O algoritmo TRIAD (Tri-Axis Attitude Determination) foi introduzido por Black em 1964, trata-se de um método algébrico de determinar a atitude. Não são necessárias fun¸cões trigonométricas inversas, não há ambiguidade e os requisitos computacionais são m´ınimos.

O algoritmo consiste na multiplica¸c˜ao da matriz contendo os vetores de observa¸c˜ao pela matriz

contendo os vetores de referˆencia. A simplicidade de algoritmo o torna interessante para processamento embarcado (TAKAHASHI,2010).

Dado dois vetores de referˆencia v1 e v2, ambos proje¸c˜oes dos vetores fonte no sistema de coordenadas

inercial e seus respectivos vetores unitários de observa¸cão, w1 e w2que são proje¸cões dos vetores fontes

do sistema de coordenadas do corpo, é desejável encontrar uma matriz A que satisfa¸ca, ainda que de modo aproximado as seguintes equa¸cões (GRANZIERA JR.,2006).

Av1= w1 Av2= w2 (2.30)

Para encontrar A inicialmente constroem-se dois conjuntos de três vetores ortogonais unitários ou tr´ıades, um baseado nos vetores de referência e outro baseado nos vetores de observa¸cão (GRANZIERA JR.; LOPES; TOSIN,2007). r1= v1 r2= (v1× v2) | v1× v1| r3= v1× (v1× v2) | v1× v1| (2.31) s1= w1 s2= (w1× w2) | w1× w1| s3= w1× (w1× w2) | w1× w1| (2.32) Há somente uma matriz que A que rotaciona ri para si, ou seja, que satisfaz a:

Ari= si, i = 1, 2, 3. (2.33)

A figura 2.5 mostra a rota¸cão produzida pela matriz de atitude. Os vetores ri da referência são rodados

(27)

Figura 2.5: Representa¸cão gráfica da rota¸cão dada por matriz de atitude. r3 X Z X Z r1 r2 s1 s3 s2

A

Y Y Z

FONTE: Adaptado de (GRANZIERA JR.; LOPES; TOSIN, 2007).

Dados os vetores de ri, é poss´ıvel agrupá-los para construir uma matriz de referência:

Mref =

r1 ... r2 ... r3

Da mesma forma, a matriz de observa¸c˜ao pode se constru´ıda por si:

Mobs=

s1 ... s2 ... s3

Nota-se ri e si são matrizes de dimensão 3 × 1, a equa¸cão 2.33 pode ser reescrita de modo a associar a

matriz de atitude `as matrizes Mref e Mobscomo:

AMref = Mobs (2.34)

ora, as matrizes Mref e Mobs satisfazem as seguintes condi¸c˜oes:

MobsMTobs=      s1sT1 s2sT1 s3sT1 s1sT2 s2sT2 s3sT2 s1sT3 s2sT3 s3sT3      =      1 0 0 0 1 0 0 0 1      = I3×3 MrefMTref =      r1rT1 r2rT1 r3rT1 r1rT2 r2rT2 r3rT2 r1rT3 r2rT3 r3rT3      =      1 0 0 0 1 0 0 0 1      = I3×3

(28)

MT_obs= M−1_obs MT_ref = M−1_ref (2.35) Desta forma é poss´ıvel isolar a matriz de atitude multiplicando ambos os lados da equa¸cão 2.35 por MT_ref. Desta forma a matriz de atitude será dada por:

A = MobsMTref (2.36)

A equa¸cão 2.36 representa a solu¸cão do algoritmo TRIAD para a atitude. Outra forma para expressá-la é: A = 3 X i=1 sirTi (2.37)

2.2.2 Sensores MEMS

Micro Eletro-Mechanical Systems(MEMS) são sistemas mecânicos fabricados na escala de circuitos integrados(CIs), o que permite que sejam embarcados em CIs para composi¸cão de sensores. Sensores MEMS apresentam baixo custo e escala.

Tipos de Sensores

Existem duas classes de sensores utilizados na determina¸cão de atitude de um corpo: os inerciais e os de referência. Os inerciais podem ser utilizados para medir efeitos como acelera¸cão, rota¸cões, vibra¸cões, impactos e outras, já os de referência medem a dire¸cão de um vetor qualquer conhecido, como o campo magnético terrestre.

Existe vários tipos de sensores com as mais diversas fontes de referência. Por exemplo, o sensor solar, muito utilizado na determina¸cão de atitude em missões espaciais, é capaz de determinar o apontamento para o Sol através de uma câmera e medir a dire¸cão na qual a câmera é apontada. Há também os sensores de estrelas, que são dispositivos que conseguem detectar um conjunto de estrelas e a partir delas indicar o seu apontamento (KANDIYIL,2009).

Magnetˆometro

Magnetômetros são sensores que medem a dire¸cão e o módulo de campos magnéticos. São praticamente essenciais em qualquer sistema de navega¸cão.

Diferentes magnetômetros operam baseados em diferentes princ´ıpios. Dentre as várias tecnologias utilizadas na constru¸cão de magnetômetros, uma das que resulta em sensores de baixo custo e desempenho adequado é a AMR((Anisotropic Magneto-Resistive Sensors), onde o sensor é constru´ıdo utilizando uma liga de ferro-n´ıquel, cuja resistência elétrica é dependente da presen¸ca de campos magnéticos em uma dire¸cão espec´ıfica (TORMENA JR,2010).

A resposta deste dispositivo ´e corrompida por erros, que podem ser modelados por: • Erro de fator de escala, Cf s.

(29)

• Erro de alinhamento dos eixos, Cm.

• Erro de offset,Co.

O modelo matem´atico de medida para um magnetˆometro deste tipo pode ser escrito como:

bout= CmCsfCsi(bin+ Co) (2.38)

Onde bout é um vetor 3 x 1 que representa a sa´ıda analógica do sensor, biné o vetor 3 x 1 que

representa o campo magn´etico presente.

Conhecendo-se todos os erros inerentes ao sensor, é poss´ıvel empregar uma técnica de calibra¸cão para minimizar os erros de medi¸cão e obter um valor mais preciso da atitude.

Princ´ıpio de funcionamento do Magnetˆometro

A figura 2.6 ilustra a constru¸cão de um magnetômetro AMR. Cada uma das pontes resistivas está constru´ıda em um plano, onde os três planos são mutualmente ortogonais e cada plano corresponde a dire¸cão onde o elemento sensor é sens´ıvel ao campo magnético.

A seguir será apresentado um diagrama esquemático do circuito interno do magnetômetro.

Figura 2.6: Diagrama do circuito interno de um magnetˆometro AMR.

FONTE:(TORMENA JR,2010)

A seguir ser´a apresentado um diagrama da ponte de Wheatstone resistiva.

Figura 2.7: Ponte de Wheatstone para leitura do campo magn´etico.

(30)

Quando um campo magnético surge na ponte resistiva, pela caracter´ıstica do material, ele altera a sua resistência e desbalanceia a ponte, gerando um sinal de tensão que é convertido em unidade de campo magnético.

Acelerˆometro

Acelerômetros medem a for¸ca espec´ıfica externa (for¸ca por unidade de massa) que age sobre uma massa de prova interna conectada por uma suspensão, formando um sistema massa-mola. Quando uma for¸ca de campo ou for¸ca de acelera¸cão é aplicada ao acelerômetro, a massa de prova sofre um deslocamento proporcional à for¸ca espec´ıfica. Este deslocamento interfere no estado elétrico de algum componente do sensor, fazendo com que a sa´ıda varia em fun¸cão da for¸ca espec´ıfica aplicada ao sensor. A sa´ıda de um acelerômetro é composta por dois termos aditivos, o primeiro proporcional à atra¸cão gravitacional e o segundo proporcional à acelera¸cão linear do sensor. Um acelerômetro em repouso apresenta sa´ıda proporcional à for¸ca de atra¸cão gravitacional. Em sistemas de estimativa da atitude de corpos com posi¸cão fixa acelera¸cão linear nula, acelerômetros podem ser utilizados para medir o vetor de atra¸cão gravitacional terrestre.

Esses sensores podem ser utilizados para medi¸cões inerciais, entretanto, devido ao campo gravitacional da Terra, o mesmo pode ser utilizado par obten¸cão de vetores de referência.

O acelerômetro fabricado com a tecnologia MEMS é um dispositivo cujo princ´ıpios de funcionamento é muito simples.

A resposta deste dispositivo, assim como no magnetˆometro, ´e corrompida por erros que podem ser modelados por:

• Erro de fator de escala, Esf.

• Erro de alinhamento dos eixos, Em.

• Erro de offset,Eo.

• Erro por varia¸c˜oes na acelera¸c˜ao, δA.

Combinando-se as fontes de erro, o modelo do acelerômetro é expresso pela equa¸cão 2.39 (SANTANA,2009).

ˆ

A = EsfEmA + δA + Eo (2.39)

Conhecendo-se todos os erros inerentes ao sensor, é poss´ıvel empregar alguma rotina de calibra¸cão para minimizar os erros de medi¸cão e obter um valor mais preciso da atitude.

Princ´ıpio de funcionamento do Acelerˆometro

A tecnologia permite executar estruturas suspensas de sil´ıcio que são ligados ao substrato em alguns pontos chamados de âncoras e são livres para se mover na dire¸cão da acelera¸cão sentida. Para ser compat´ıvel com as técnicas de encapsulamento, uma capsula é posta sobre o elemento sensor para evitar o bloqueio das partes móveis durante a fase do encapsulamento plástico.

(31)

Quando uma acelera¸cão é aplicada ao sensor, a massa de prova desloca da sua posi¸cão inicial, causando um desbalanceamento na meia-ponte capacitiva. Esse desbalanceamento é medido usando a integra¸cão da carga em resposta ao pulso de tensão aplicado no capacitor.

Em repouso, o valor nominal do capacitor é da ordem de alguns pF e quando uma acelera¸cão é aplicada, a máxima varia¸cão da carga capacitiva atinge fF.

A seguir ser´a apresentado uma imagem ilustrando o funcionamento do acelerˆometro.

Figura 2.8: Configura¸cão básica de um acelerômetro.

FONTE: (TORMENA JR,2010)

A seguir será apresentado uma imagem mostrando o efeito da acelera¸cão em um acelerômetro.

Figura 2.9: Efeito da acelera¸c˜ao em um acelerˆometro.

FONTE: Adaptado Internet1_.

Na figura 2.9, as placas fixas representam uma placa do capacitor, e a massa a outra placa. Quando o sistema sente uma acelera¸cão, a massa se movimenta, alterando o valor da capacitância. Essa diferen¸ca de capacitância é convertida em unidade de acelera¸cão.

(32)

Cap´ıtulo 3

Rotina de Calibra¸

c˜

ao

3.1 Calibra¸

c˜

ao

Como visto anteriormente, os sensores utilizados para a determina¸c˜ao da atitude, s˜ao corrompidos por erros.

Devido a esses erros, se faz necessário empregar uma rotina de calibra¸cão no sistema, pois os erros dos sensores são tidos como nulos nos algor´ıtimos determinadores de atitude. Uma tr´ıade descalibrada, interfere na determina¸cão do valor real a ser medido.

Para minimizar os erros de medidas dos sensores e ter uma melhor acurácia na determina¸cão da atitude, é necessário realizar uma rotina que determine os coeficientes de erro, que processe os dados medidos e que retorne os parâmetros de calibra¸cão.

3.2 Erros dos Sensores MEMS

Assim como todo sensor, os sensores MEMS apresentam erros em suas medidas. As principais fontes de erros s˜ao a indetermina¸c˜ao do fator escala, bias, desalinhamento e ru´ıdo.

O fator de escala é a razão entre a entrada e a sa´ıda do sensor. Normalmente assume-se que o fator de escala é constante e igual para todos os eixos, mas na prática, o fator de escala pode variar em fun¸cão da entrada, variar no tempo e com a temperatura de opera¸cão de forma independente para seus 3 eixos de medida. O bias é um erro aditivo constante que desloca a sa´ıda em uma dire¸cão, de forma que para uma entrada nula e sa´ıda será igual ao bias.

O desalinhamento é o erro obtido ao assumir que sensores triaxiais apresentam eixos de medida perfeitamente perpendiculares enquanto os ângulos reais são diferentes de 90o_.

A seguir ser´a apresentado uma imagem representando uma tr´ıade com seus respectivos desvios de ortogonalidade.

(33)

Figura 3.1: ilustra¸c˜ao gr´afica dos desvios de ortogonalidade na tr´ıade.

FONTE: (TORMENA J ´UNIOR; GRANZIERA J ´UNIOR; TOSIN,2011)

Os desvios de ortogonalidade na tr´ıade sensora podem ser descritos através de 3 ângulos: ρ, ϕ e λ. A tr´ıade ortogonal é dada por x, y e z, enquanto a tr´ıade real, desalinhada é dada por x’, y’, e z’. O eixo x é considerado perfeitamente alinhado (x = x’). Considera-se o eixo y’ contido no plano xy, e seu desvio em rela¸cão a y é dado por ρ. Os desvios do eixo z’ em rela¸cão ao plano xz e yz são dados

respectivamente por λ e ϕ (TORMENA JR,2010).

Assim, os valores medidos dos sensores podem ser modelados em fun¸cão dessas variáveis. Considerando uma grandeza f´ısica genérica, u = (ux, uy, uz)T, que pode ser associada tanto ao

magnetômetro quanto ao acelerômetro, as componentes da grandeza genérica podem ser escritas da seguinte maneira.

˜

ux= aux+ x0+ ηx (3.1)

˜

uy= b(uxsin ρ + uycos ρ) + y0+ ηy (3.2)

˜

uz= c(uxcos φ cos λ + uycos φ sin λ + uzcos φ cos λ) + z0+ ηz (3.3)

Onde ˜ux, ˜uy e ˜uz s˜ao as sa´ıda corrompidas do sensor, para os eixos x, y e z. Os valores ux, uy e uz s˜ao

os valores reais das componentes da grandeza f´ısica genérica. a, b e c são os fatores de escala, ou sensibilidade, dos respectivos eixos x, y e z. Os valores x0, y0e z0 são os biases dos eixos x, y e z.

Os ângulos ρ, φ e λ são os ângulos de desalinhamento ortogonal da tr´ıade sensora, conforme apresentado na figura 3.1.

Os valores ηz, ηy e ηz s˜ao os ru´ıdos presentes nas medidas, para os eixos x, y e z. O ru´ıdo pode ser

considerado AWGN com média zero para uma aproxima¸cão. Para a maioria dos acelerômetros e magnetômetros MEMS, o desvio padrão do ru´ıdo é da ordem de 10−3− 10−4_{do valor do fundo de escala.}

3.3 Rotina de Calibra¸

c˜

ao

O algor´ıtimo de calibra¸cão aplicado neste trabalho é baseado no trabalho realizado por Foster e Elkaim (FOSTER C; ELKAIM) e que foi estudado na disserta¸cão de mestrado do Osmar Tormena

(34)

(TORMENA JR,2010).

A rotina de calibra¸cão aplicada neste trabalho possui uma restri¸cão para a sua aplicabilidade, que é o conhecimento do módulo da grandeza f´ısica de referência. Para a grandeza genérica u adotada, temos.

|u|2_{= u}2 x+ u 2 y+ u 2 z (3.4)

Reescrevendo as equa¸c˜oes 3.1, 3.2 e 3.3, em termos de ux, uy e uz:

ux= (˜ux− x0) a (3.5) uy= −b sin ρ(˜ux− x0) + a(˜uy− y0)) ab cos ρ (3.6) uz=

bc(sin ρ cos φ sin λ − cos ρ sin φ cos λ)(˜ux− x0) − ac cos φ sin λ(˜uy− y0) + ab cos ρ(˜uz− z0)

abc cos ρ cos φ cos λ (3.7)

Aplicando as equa¸cões 3.5, 3.6 e 3.7 na equa¸cão 3.4, é poss´ıvel obter uma equa¸cão da seguinte forma.

A˜u2_x+ B ˜uxu˜y+ C ˜uxu˜z+ D ˜u2y+ E ˜uyu˜z+ F ˜u2z+ G˜ux+ H ˜uy+ I ˜uz+ J = 0 (3.8)

Onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J são fun¸cões não lineares dos parâmetros de calibra¸cão. A equa¸cão 3.8 é não linear em termos dos parâmetros de calibra¸cão, porém ela é linear em termos de A − J . Assim pode-se utilizar A − J como variáveis intermediárias lineares, que podem ser encontradas por um estimados simples, e assim, resolver os parâmetros de calibra¸cão algebricamente a partir destas variáveis. O desenvolvimento algébrico das equa¸cões pode ser encontrado em (TORMENA JR,2010). O estimador utilizado é o Estimador por M´ınimos Quadrados.

3.3.1 Estima¸

c˜

ao por M´ınimos Quadrados

Para aplicar o estimador por m´ınimos quadrados e facilitar a posterior manipula¸cões das equa¸cões, a equa¸cão 3.8, foi dividida pelo fator F ˜u2z, por se tratar de um dos fatores mais simples.

Assim, a equa¸c˜ao 3.8 pode ser reescrita da seguinte forma.

A˜u2 x F ˜u2 z +B ˜uxu˜y F ˜u2 z +C ˜uxu˜z F ˜u2 z +D ˜u 2 y F ˜u2 z +E ˜uyu˜z F ˜u2 z +G˜ux F ˜u2 z +H ˜uy F ˜u2 z + I ˜uz F ˜u2 z + J F ˜u2 z = −1 (3.9)

Que pode ser escrita da forma matricial.         ˜ u2_x1 ˜ u2 z1 ˜ ux1u˜y1 ˜ u2 z1 . . . _{F ˜}_u12 z1 ˜ u2 x2 ˜ u2 z2 ˜ ux2u˜y2 ˜ u2 z2 . . . _{F ˜}_u12 z2 .. . ... ... ˜ u2_xn ˜ u2 zn ˜ uxnu˜yn ˜ u2 zn . . . 1 F ˜u2 zn         n×9         A F B F .. . J F         =         −1 −1 .. . −1         (3.10)

Esse sistema matricial pode ser expresso pela seguinte equa¸c˜ao.

(35)

Onde X é a matriz de amostras, de dimensão n × 9, n é o número de amostras utilizado, sendo n ≥ 9. O vetor k indica os coeficientes da equa¸cão 3.9 e p é um vetor unitário negativo.

Para se obter as variáveis intermediárias, é necessário isolar o vetor k. Para encontrar os valores de k, faz-se o seguinte desenvolvimento.

Xk = p XTXk = XTp (XTX)−1XTXk = (XTX)−1XTp Ik = (XTX)−1XTp ˆ k = X†p (3.12)

Onde X† = (XT_X)−1_XT _{indica a Pseudo-Inversa de Moore-Penrose, que para n ≥ 9, torna-se}

matematicamente a aplica¸c˜ao do LSE. O (ˆk) indica o valor estimado de k.

3.3.2 C´

alculo dos Parˆ

ametros

Para simplificar a representa¸cão da solu¸cão algébrica dos parâmetros de calibra¸cão a partir das variáveis intermediárias estimadas, será feito uma mudan¸cas de varáveis.

α = −A_F β = −B_F γ = −C_F δ = −D_F = −E_F χ = −G_F µ = −H_F ι = −_FI κ = −_FA

(3.13)

Onde o sinal negativo ´e referente ao efeito de p.

Para minimizar o trabalho algébrico, foi realizado algumas aproxima¸cões. Os acelerômetros e

magnetˆometros dispon´ıveis no mercado, tem um desvio de ortogonalidade muito pequeno, menor que um grau, assim, pode-se utilizar as seguintes aproxima¸c˜oes.

cos θ ≈ 1 (3.14)

sin θ ≈ θ (3.15)

Os parâmetros a ser estimados a partir das variáveis intermediárias são: 3 fatores de escala, 3 biases e 3 ˆ

angulos.

A seguir ´e apresentada a solu¸c˜ao para esse problema.1

ˆ x0= − 2χ − 2βµ + 4δχ − βι + 2γδι − γµ −2β2_{− 2βγ + 2δγ}2_{+ 2α}2_{+ 8αδ} (3.16) ˆ y0= − γ2_{µ + 4αµ − 2βχ + βγι + 2αι − γχ} −2β2_{− 2βγ + 2δγ}2_{+ 2α}2_{+ 8αδ} (3.17)

(36)

ˆ z0= − β2_{ι − βγµ − 4αδι + 2αµ − βχ + 2γδχ} −2β2_{− 2βγ + 2δγ}2_{+ 2α}2_{+ 8αδ} (3.18) ˆ c = 1 |u| q κ − αˆx2 0− β ˆx0yˆ0− γ ˆx0zˆ0− δ ˆy20− ˆy0zˆ0+ ˆz02 (3.19) ˆ b = √ˆc −δ (3.20) ˆ a =√2ˆc(1 − ˆλ2) s −1 2αˆc2_{(1 − ˆ}_λ2₎2_{− (βˆbˆ}_{λ + γˆ}_cˆ_λ2_)(βˆ_bˆ_{λ + γˆ}_c) (3.21) ˆ ρ =ˆa(βˆb + γˆcˆλ) 2ˆc2_{(1 − ˆ}_λ2₎ (3.22) ˆ φ = ˆa(βˆbˆλ + γˆc) 2ˆc2_{(1 − ˆ}_λ2₎ (3.23) ˆ λ = 2√−δ (3.24)

(37)

Procedimentos Metodol´

ogicos

4.1 Procedimentos Metodol´

ogicos

Neste tópico serão apresentados os procedimentos e métodos utilizados para a implementa¸cão de um algor´ıtimo de determina¸cão de atitude em um sistema embarcado.

4.1.1 Determinador de Atitude

Para montar fisicamente o determinador de atitude, foi utilizado o kit de desenvolvimento Open407V-D Standard - STM32F4 Development Board. Este kit é composto por uma placa de interconexões e por uma placa de processamento denominada STM 32 Cortex-M4 MCU Board . O kit suporta expansões com várias placas acessórios opcionais para aplica¸cão espec´ıfica.

Uma dessas placas de expansão contêm o magnetômetro MAG3110 (MAG3110), que é utilizado para se determinar a atitude.

O outro sensor utilizado, é o acelerômetro (LIS3DSH), fixo à placa de processamento do kit de desenvolvimento.

A placa acessório PL2303 USB UART Board é um conversor Usb Serial para RS232, necessário para enviar os dados via serial para leitura com o simulink.

Na figura 4.1 será apresentado o kit de desenvolvimento, com as respectivas placas acessórios utilizadas para a implementa¸cão do determinador de atitude.

(38)

Figura 4.1: Kit de desenvolvimento utilizado para implementa¸c˜ao do determinador de atitude.

FONTE: Foto do kit tirada pelo autor.

4.1.2 Implementa¸

c˜

ao do Algor´ıtimo TRIAD

O microcontrolador presente no kit de desenvolvimento ´e o stm32F 407ARM CortexM 4, onde foi implementado o algor´ıtimo TRIAD.

O ambiente de desenvolvimento utilizado para programa¸c˜ao foi o Coocox CoIDE.

Para implementa¸cão do algor´ıtimo TRIAD foi realizado alguns passos, como leitura dos sensores, defini¸cão dos vetores de referência e de observa¸cão, assim como a aplica¸cão do próprio TRIAD. Para melhor compreensão, o funcionamento do algor´ıtimo será explicado a partir do fluxograma apresentado na figura 4.2.

(39)

Figura 4.2: Fluxograma do algor´ıtimo determinador de atitude implementado. INICIA PERIFÉRICOS CONFIGURA SENSORES ESTADO LEITURA = NOVO LEITURA SENSORES LEITURA SENSORES = 1 VETOR OBSERVAÇÃO TRIAD ENVIA DADOS SERIAL ESTADO LEITURA = VELHO VETOR REFERÊNCIA HANDLER TIM ESTADO LEITURA = NOVO THREAD NÃO SIM SIM NÃO FONTE: Autor.

O primeiro passo é iniciar os periféricos, para que torne poss´ıvel a comunica¸cão do microcontrolador com os sensores e também o envio dos dados através da sa´ıda serial.

Em seguida, os parâmetros dos sensores são configurados, como por exemplo, o modo de opera¸cão, taxa de dados e sensibilidade.

Configurado os sensores, o algor´ıtimo TRIAD ´e inicializado. A partir da vari´avel estado leitura, se for igual a novo, habilita a leitura dos sensores.

(40)

as leituras posteriores s˜ao definidas como vetores de observa¸c˜ao.

Definidos os vetores de referência e de observa¸cão, o TRIAD é calculado, retornando a matriz de atitude(DCM), que é enviada via serial para posterior tratamento dos dados. Após o envios dos dados via serial, a variável estado leitura é atualizada como velho e a interrup¸cão conta um tempo até que ela volte para o estado novo, e o sistema novamente volta a rotina de leitura dos sensores.

4.1.3 Valida¸

c˜

ao do Algor´ıtimo

Para validar o funcionamento do algor´ıtimo TRIAD, foi realizado um teste a partir de uma matriz de atitude e vetores de referˆencia conhecidos.

Considere a matriz de atitude A como a seguir

A =      0.33333 0.93333 −0.13333 −0.66666 0.33333 0.66666 0.66666 −0.13333 0.73333      (4.1)

e os vetores de referˆencia v1 e v2 como sendo

v1=      0 0 −1      v2=      0 0, 6 0, 8      (4.2)

rodando os vetores v1 e v2pelo uso da equa¸cão 2.33 , são obtidos os vetores de referência

w1=      0, 13333 −0.66666 −0, 73333      w2=      0, 45333 0, 73333 0, 50666      (4.3)

Os vetores v1, v2, w1 e w2foram executados no c´odigo implementado e a matriz de atitude encontrada

foi a mesma apresentada na equa¸c˜ao 4.1. Isto mostra que o algor´ıtimo est´a funcionando corretamente.

Configura¸c˜ao dos Sensores

Os sensores MEMS são bastantes versáteis, podendo ser configurados de diversas maneiras para as mais variadas aplica¸cões. Essas configura¸cões são feitas por meio de registradores e as mais comuns são: Modo de Opera¸cão, Taxa de Dados, Reset Automático, Fundo de Escala, Offset e outras.

Configura¸c˜ao do Magnetˆometro

O magnetômetro utilizado neste trabalho é o M AG3110 da Freescale ( [MAG3110 2012]), que faz parte de kit de desenvolvimento. Este dispositivo só permite comunica¸cão serial via I2C.

(41)

Tabela 4.1: Especifica¸cões elétricas e de opera¸cão do magnetômetro.

Parˆametro S´ımbolo M´ınimo M´aximo T´ıpico Unidade

Fundo de escala FS ± 1000 µT

Intervalo dos dados de sa´ıda (RAW = 1) -15000 15000 bits Intervalo dos dados de sa´ıda (RAW = 0) -30000 30000 bits

Sensibilidade So 0,10 µT/bits

Offset sem fluxo ± 500 µT

Ru´ıdo de sa´ıda Noise 0.14, 0.10, 0.07, 0.05 µT rms Tensão de alimenta¸cão VDD -0.3 3.6 V Campo magnético máximo 100000 µT

A figura 4.3 mostra uma imagem da placa acessório que contém o magnetômetro.

Figura 4.3: Magnetˆometro M AG3110.

Para configurar o magnetômetro, é utilizado dois registradores principais. O CT RL REG1, onde é selecionado a taxa de dados, o ru´ıdo estimado e o modo de opera¸cão e o CT RL REG2 define o modo de aquisi¸cão.

No primeiro registrador, foi selecionado uma taxa de leitura de dados de 20 Hz , para esta taxa o ru´ıdo estimado é de 0, 14µTrms e foi selecionado também para trabalhar no modo ativo, ou seja, ele fornecerá

medidas peri´odicas de acordo com a taxa de dados selecionada.

No segundo registrador foi configurado um reset automático. Antes de cada aquisi¸cão de dados, o magnetômetro é ressetado.

Configura¸c˜ao do Acelerˆometro

O acelerômetro utilizado é o LIS3DSH (LIS3DSH), que se encontra presente na placa de processamento STM 32 Cortex-M4 MCU Board do kit de desenvolvimento. Este dispositivo permite tanto comunica¸cão serial via I2C, quanto via SP I. Porém, ele já vem fixo à placa para se comunicar via SP I.

As principais caracter´ısticas deste dispositivo ´e apresentado na tabela 4.2.

Tabela 4.2: Especifica¸cões elétricas e de opera¸cão do acelerômetro.

Parâmetro S´ımbolo M´ınimo Máximo T´ıpico Unidade Fundo de escala FS ±2.0, ± 4.0, ± 6.0, ±8.0, ±16.0 g Sensibilidade So 0.06, 0.12, 0.18, 0.24, 0.73 mg/d´ıgito Offset sem acelera¸cão ± 40 mg Ru´ıdo de sa´ıda (100 Hz) Noise 150 µg/sqrt(Hz) Tensão de alimenta¸cão VDD 1.71 3.6 2.5 V

(42)

A figura 4.4 mostra uma imagem do acelerˆometro.

Figura 4.4: Acelerˆometro LIS3DSH(Motion Sensor ).

FONTE: Foto tirada pelo autor.

As configura¸cões do acelerômetro foram semelhantes as do magnetômetro. Foi configurado um registrador para habilitar os eixos para leitura, caso contrário, não é poss´ıvel realizar as medi¸cões. A taxa de dados selecionada foi de 6, 25 Hz, o fundo de escala foi de ±16 g1 _{e o ru´ıdo para essa condi¸}_c˜_ao

´e de 60µg.

4.1.4 Problemas com Ru´ıdo

Configurado os sensores, foram feitas medidas para analisar a qualidade do sinal que estava sendo lido. Observou-se a presen¸ca de ru´ıdo nos sinais coletados, como mostrado nas figuras 4.5 e 4.6.

Figura 4.5: Dados do magnetˆometro sem filtro.

0 50 100 150 200 250 300 350 −300 −200 −100 0 100 200 300 Eixo x Eixo y

Dados não Filtrados

Mag_x Mag y Mag_z FONTE: Autor. 1_{1g = 9,797 645 m/s}2

(43)

Figura 4.6: Dados do acelerˆometro sem filtro. 0 50 100 150 200 250 300 350 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 Eixo x Eixo y

Dados não Filtrados

Acel_x Acel_y Acel_z

FONTE: Autor.

Com intuito de minimizar o ru´ıdo inerente aos sensores, foi implementado um filtro do tipo m´edia m´ovel.

Filtro M´edia M´ovel

Muitas vezes, para eliminar ou diminuir algum ru´ıdo indesejável em um sinal, é necessário filtrá-lo. Para isso, pode-se utilizar um filtro bem simples, chamado de média móvel(MM).

O filtro média móvel é obtido calculando-se a média de um conjunto de valores, sempre adicionando um novo valor ao conjunto e se descartando o mais antigo.

O filtro média móvel é representado por:

y[n] = 1 N + 1 N X k=0 x[n − k] (4.4)

Sendo n é o tempo atual, N + 1 é o número de amostras utilizadas para a filtragem, y[n] é o sinal filtrado e as amostras x[n], x[n − 1] · · · x[n − k], representa o conjunto dos valores a serem somados. O filtro MM é o filtro mais comum utilizado em DSP, principalmente porque ele é o filtro digital mais fácil de compreender e utilizar. . O filtro MM é ótimo para uma tarefa comum: reduzir o ru´ıdo aleatório enquanto mantém uma resposta seletiva ao degrau. Isto faz com que o filtro seja o mais indicado para sinais codificados no dom´ınio do tempo. Entretanto, o filtro MM é o pior para o dom´ınio da frequência, com uma pequena habilidade de separa uma banda de frequência das outras (SMITH,2003) .

(44)

Figura 4.7: Resposta em Frequência do Filtro Média Móvel. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Resposta em Frequência do Filtro Média Móvel

Frequência Normalizada Magnitude M = 4 M =8 M = 20 M = 30 M = 50 Banda de Passagem FONTE: Autor.

Assim, com base na resposta em frequência do filtro média móvel e considerando a banda de passagem −3dB e a frequência de amostragem igual a 20 Hz, verificou-se que um número de amostras igual a 4 é o suficiente para reduzir o ru´ıdo.

Implementa¸cão do Filtro Média Móvel

Para implementa¸cão do Filtro MM, foi gerado um código em que seu funcionamento é apresentado no fluxograma a seguir

(45)

Figura 4.8: Fluxograma do filtro MM.

Inicío Acumulo == 0

Acumula buffer com N posições Adiciona medida nova

e descarta a antiga no buffer Média Móvel NÃO SIM FONTE: Autor.

O primeiro passo para realiza¸cão da média móvel dos sinais dos sensores, é acumular em um buffer com N amostras, ou seja, quando o sistema identifica que é a primeira leitura dos sensores, ele continuará realizando medidas até o número de amostras necessária para se calcular a média.

Após a primeira intera¸cão, a cada nova leitura, o sistema descarta a mais antiga e acrescenta uma nova ao buffer e novamente realiza a média, e assim sucessivamente.

Sinal Filtrado

A figura 4.10 apresenta os sinais do magnetômetro e do acelerômetro após aplicado o filtro MM com 5 amostras.

(46)

Figura 4.9: Dados do magnetômetro com filtro média móvel com N = 4. 0 50 100 150 200 250 300 350 −300 −200 −100 0 100 200 300 Eixo x Eixo y Dados com MM = 4 Mag_x Mag_y Mag_z FONTE: Autor.

Figura 4.10: Dados do acelerômetro com filtro média móvel com N = 4.

0 50 100 150 200 250 300 350 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 Eixo x Eixo y Dados com MM = 4 Acel_x Acel_y Acel_z FONTE: Autor.

4.1.5 Calibra¸

c˜

ao dos Sensores

Os acelerômetros, por sua caracter´ıstica de fabrica¸cão, são sensores bem mais confiáveis que o magnetômetro, com baixo ru´ıdo, offset e fator de escala.

Assim, analisando os dados dos sensores, verificou-se que no acelerômetro havia um offset. Já o magnetômetro, além do ru´ıdo presente, foi verificado a presen¸ca de um offset maior que o valor do campo a ser medido, o que justificou a necessidade de realizar uma rotina de calibra¸cão.

(47)

Calibra¸c˜ao Magnetˆometro

Os magnetômetros, em especial os do tipo MEMS, tem uma varia¸cão do fundo de escala muito alta. Para o magnetômetro MAG3110, essa varia¸cão é de ±1000 µT (10000 mG)2, muito maior em rela¸cão ao campo magnético terrestre que se deseja medir, que é em torno de 200 mG para a região de londrina (??). Este fato reduz muito a qualidade do sinal medido, pois a rela¸cão sinal ru´ıdo será alta devido a baixa intensidade medida e ao fundo ruidoso significativo destes sensores.

O campo magnético terrestre tem um modelo bem definido para toda a superf´ıcie do globo. Com apenas a informa¸cão de posi¸cão do sistema, latitude e longitude, é poss´ıvel encontrar o módulo e dire¸cão do campo magnético.

Com aux´ılio do software MatLab é poss´ıvel determinar a intensidade do campo magnético através de fun¸cões feitas com base no modelo magnético mundial(WMM - World Magnetic Model 3) . A fun¸cão utilizada no MatLab para encontrar o campo magnético terrestre foi a wrldmagm.

Esta fun¸c˜ao tem a seguinte sintaxe.

[xyz, h, dec, dip, f ] = wrldmagm(height, lat, lon, dyear) (4.5) Entrando com os valores de altura, latitude, longitude e o ano, a fun¸cão retorna o vetor do campo magnético, a intensidade horizontal do campo magnético, a declina¸cão, a inclina¸cão e a intensidade total do campo magnético.

A tabela 4.3 mostra os parˆametros de entrada utilizado na fun¸c˜ao wrldmagm e os valores que ela retorna.

Tabela 4.3: Parˆametros da fun¸c˜ao wrldmagm.

Parˆametros de Entrada Sa´ıda

height[m] 1000 xyz[nT] 1000*[1,8146 -0,6106 -1,2134] Lat[o_] _-23,3262672 _h[nT] _{1, 91.10}4

Lon[o] -51,2075168 dec[o] -18,5977 dyear 31/12/2014 dip[o_] _-32,3647

f[nT] 2, 2667.104

Um dos critérios para o uso da rotina de calibra¸cão é conhecer o módulo do campo magnético. Assim, através da fun¸cão citada acima (4.5), encontrou-se uma valor de 226,67 mG de intensidade do campo magnético para a região de Londrina.

Para iniciar o processo de calibra¸cão, foi coletado um conjunto de dados do magnetômetro. O magnetômetro foi posicionado em diferentes posi¸cões para que os dados coletados englobasse todas as dire¸cões poss´ıveis, melhorando a qualidade da calibra¸cão.

Com o conjunto de pontos coletados, ´e executada a rotina de calibra¸c˜ao, onde ela retorna os valores de offset, fator de desalinhamento e fator de escala.

A figura 4.11 mostra os dados do sensor plotado em três dimensões acompanhados de uma esfera de referência cujo raio é o módulo de intensidade do campo magnético. Estes dados plotados são sem calibra¸cão.

2_{1 µT = 10 mG}

(48)

Figura 4.11: Dados magnetˆometro sem calibra¸c˜ao. −900 −800 −700 −600 −500 500 600 700 800 500 600 700 800 900 Eixo x Eixo y Eixo z FONTE: Autor.

Analisando os dados plotados na figura 4.11, observa-se que o centro da esfera est´a em

aproximadamente no ponto (-700, 700, 700). Em um sensor calibrado, as medidas tem de estar em torno no ponto (0, 0, 0), o que não se observa no caso do magnetômetro, que tem um offset maior que o próprio campo magnético medido.

Feito o processo de calibra¸c˜ao, obteve-se os seguinte parˆametros.

Tabela 4.4: Parâmetros estimados pela rotina de calibra¸cão com dados do magnetômetro.

a 0.87 b 0.91 c 0.88 x0 -706.09 y0 630.59 z0 684.68 λ 0.71o ρ −2.79o φ −0.03o

Os parâmetros obtidos foram aplicados a leitura do magnetômetro para corrigir o offset, o fator de escala e os ângulos de desalinhamento.ia na calibra¸cão. Assim, coletou-se um novo conjunto de dados para verificar o resultado da calibra¸cão.

(49)

Figura 4.12: Dados magnetˆometro calibrado e corrigido. −200 0 200 −200 −100 0 100 200 −200 −100 0 100 200 Eixo x Eixo y Eixo z FONTE:Autor

Após a calibra¸cão, as medidas formam uma esfera centrada em zero, ou seja o offset agora não está mais presente nos dados corrigidos. A figura 4.13 mostra a diferen¸ca entre os dados calibrados e não calibrados e a figura 4.14 mostra os valores de leitura do magnetômetro já calibrado.

−800−600 −400−200 0 200 −200 0 200 400 600 800 −200 0 200 400 600 800 Eixo x Eixo y Eixo z Dados Calibrados Dados não Calibrados

(50)

Figura 4.14: Dados do magnetˆometro calibrado. −100 0 100 −100 0 100 −150 −100 −50 0 50 100 150 Eixo x Eixo y Eixo z FONTE: Autor.

Calibra¸c˜ao do Acelerˆometro

A rotina de calibra¸cão utilizada para os dados do magnetômetro foi a mesma empregada para calibrar o acelerômetro. Na figura 4.15 são apresentados os dados do acelerômetro sem calibra¸cão.

Figura 4.15: Dados reais do acelerˆometro.

−1000 0 1000 −1000 0 1000 −2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 Eixo x Eixo y Eixo z FONTE: Autor.

No acelerômetro nota-se uma diferen¸ca nos fatores de escala, principalmente no eixo Z. Os parâmetros obtidos é apresentado na tabela 4.5.

(51)

Tabela 4.5: Parâmetros estimados pela rotina de calibra¸cão com dados do acelerômetro. a 0.91 b 0.93 c 0.59 x0 -48.24 y0 44.37 z0 32.23 λ −0.26o ρ −2.61o φ −6.30o

A compara¸c˜ao entre os dados reais e os dados calibrados ser´a apresentado na figura 4.16.

Figura 4.16: Compara¸cão entre os dados sem e com calibra¸cão do acelerômetro.

−1000 0 1000 −1000 0 1000 −2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 Eixo x Eixo y Eixo z Dados Calibrados Dados não Calibrados

FONTE: Autor.

Observa-se pela figura 4.16 que o offset dos eixos de medida estavam corretos. No entanto, os fatores de escala, principalmente para o eixo Z, estavam descalibrados. A tabela 4.5 mostra claramente isso. Pela tabela 4.5 também vemos que o desalinhamento do eixo Z do sensor com o plano ZY da tr´ıade de referência (ϕ) está maior que 6o_.

Para a corre¸cão destes dados, tanto o acelerômetro quanto o magnetômetro, foi utilizado as equa¸cões 3.1, 3.2 e 3.3 após a leitura dos dados.

4.1.6 Interface com o Simulink

O algor´ıtimo TRIAD retorna a matriz DCM do sistema, porém, não é simples interpretar a atitude a partir dela. Um método mais simples de verificar a atitude de um sistema é a partir dos ângulos de Euler ou ainda, através de uma interface gráfica para visualiza¸cão dos dados.

(52)

forma de anima¸c˜ao da atitude, foi criado uma interface utilizando o Simulink.

Esta interface lê os dados da matriz DCM enviados via serial, converte a matriz DCM em ângulos de Euler, os apresenta em um display e em forma de anima¸cão.

(53)

39 FONTE: Autor.

(54)

O bloco denominado Serial Receive configura a entrada da serial para aquisi¸cão de dados. Como os dados enviados via serial estão no formato hexadecimal, foi utilizado o bloco ASCII Decode para converter os dados em ascii. O bloco Matriz agrupa os dados na forma matricial, uma vez que é enviado um elemento da matriz por vez via serial. O bloco Direction Cosine Matrix to Rotation Angles converte a matriz DCM em ângulos de Euler ( Ângulos de Rota¸cão). rad2deg converte os ângulos de radianos para graus. E por último, o bloco MATLAB Animation, a partir dos ângulos de rota¸cão gera uma anima¸cão. O bloco de anima¸cão, figura 4.18, apresenta um objeto em três dimensões, onde é poss´ıvel visualizar em tempo real a atitude.

Figura 4.18: Interface de anima¸c˜ao do simulink.

FONTE: Autor.

O desempenho do determinador de atitude é melhor avaliado através de uma anima¸cão. Forma anal´ıtica, tal como o plot no tempo dos valores dos quatérnions, são dif´ıceis de se analisar. Uma forma qualitativa, pelo menos para o escopo deste trabalho, é melhor.

(55)

Resultados

5.1 Testes do Algor´ıtimo Determinador de Atitude

O código do algor´ıtimo TRIAD implementado retorna como resultado a matriz de atitude a uma taxa de 20Hz. Esses dados são transmitidos via interface RS232 para leitura com o simulink, onde serão analisados.

A partir da matriz de atitude e com os ângulos de rota¸cão, definidos nas equa¸cões 2.27, 2.28 e 2.29, é poss´ıvel verificar o funcionamento algor´ıtimo.

Com o simulink, é realizado a leitura da matriz DCM e através de um bloco chamado Direction Cosine Matrix to Rotation Angles, é poss´ıvel visualizar os ângulos de rota¸cão.

Para obter uma maior precisão nos ângulos medidos, foi constru´ıdo um aparato com dois ângulos definidos, 450 _{e 60}0_{, como apresentado na figura 5.1.}

Figura 5.1: Aparato constru´ıdo para medidas dos ˆangulos de rota¸c˜ao.

FONTE: Autor.

Com esse aparato, o determinador de atitude pode ser posicionado em diferentes posi¸c˜oes e realizado medidas para ˆangulos distintos.

(56)

Na tabela 5.1, 5.2 e 5.3 ser´a apresentado os valores coletados.

Tabela 5.1: Medidas dos ˆangulos de rota¸c˜ao em torno do eixo X (ϕ).

Posi¸c˜ao Eixo X Eixo Y Eixo Z Inicial −0.22o _−1.38o _−0.52o

Rota¸c˜ao de 90o_{em X} _90.12o _−11.05o _1.54o

Rota¸c˜ao de 180o_{em X} _176.17o _−1.32o _−3.26o

Nas figuras 5.2, 5.3 e 5.4 são apresentados as rota¸cões vista com a anima¸cão feita com o simulink.

Figura 5.2: Visualiza¸c˜ao da rota¸c˜ao em torno do eixo X.

FONTE: Autor.

Tabela 5.2: Medidas dos ˆangulos de rota¸c˜ao em torno do eixo Y (θ).

Posi¸c˜ao Eixo X Eixo Y Eixo Z Inicial −0.62o _−2.12o _−0.08o

Rota¸c˜ao de 45o_{em Y} _−1.13o _42.41o _−3.92o

Rota¸c˜ao de 90o_{em Y} _−6.75o _86.83o _9.58o

Figura 5.3: Visualiza¸c˜ao da rota¸c˜ao em torno do eixo Y.

(57)

Tabela 5.3: Medidas dos ˆangulos de rota¸c˜ao em torno do eixo Z (Ψ).

Posi¸c˜ao Eixo X Eixo Y Eixo Z Inicial −0.94o _−0.01o _2.17o

Rota¸c˜ao de 90oem Z 11.13o 2.56o 92.16o Rota¸c˜ao de 180o_{em Y} _−6.75o _86.83o _173.79o

Figura 5.4: Visualiza¸c˜ao da rota¸c˜ao em torno do eixo Z.

FONTE: Autor.

As rota¸cões foram realizadas respeitando a faixa de atua¸cão do ângulos de Euler apresentadas na equa¸cão 2.5.

Realizado as medi¸cões dos ângulos, verificou-se que a movimentar em torno de um único eixo, os outros dois eixos também apresentavam medidas de ângulos. O poss´ıvel problema é, como o acelerômetro e o magnetômetro estão em placas separadas, os eixos dos sensores não estão devidamente alinhados, como ilustra a figura 5.5.

Figura 5.5: Desalinhamento entre os eixos dos sensores.

Eixos do

Acelerômetro

Eixos do

Magnetômetro

(58)

Como apresentado na figura 5.5, o ideal é que os eixos estejam alinhados na mesma dire¸cão. Porém, como a placa do magnetômetro conectado ao kit de desenvolvimento, é provável que haja o

desalinhamento, como ilustra os eixos em laranjado.

Solu¸c˜ao

Uma solu¸cão para este problema seria colocar os dois sensores no mesmo referencial e realizar medidas de acelera¸cão e campo magnéticos conhecidos, coletando estes dados, é poss´ıvel encontrar uma matriz que relaciona o desalinhamento entre os eixos dos sensores. A partir desta matriz é poss´ıvel corrigir este desalinhamento.