Fundamentos de Análise Tempo-Frequência

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Fundamentos de Análise Tempo-Frequência

com Aplicação a Processamento de Sinais - 4

Luiz W. P. Biscainho

1

_{Paulo A. A. Esquef}

2

1_{Programa de Engenharia Elétrica do COPPE}

Universidade Federal do Rio de Janeiro

2_{Coordenação de Sistemas e Controle}

Laboratório Nacional de Computação Científica

24 a 28-01-2011 / Programa de Verão do LNCC

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Sumário

1

_{Transformada de Fourier de Curta Duração}

Introdução

Definições e Propriedades

2

_{Distribuição de Wigner}

Introdução

Definições e Propriedades

Conclusão

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Transformada de Fourier de Curta Duração

Ideia e Discussão

Problema: Estudo de sinais

não-estacionários

Dificuldade:

Transformada de Fourier do sinal completo não localiza no tempo ocorrências espectrais

Ideia:

Quebrar sinal emsegmentos e analisá-los espectralmente

Interpretação:

Espectro (×ω) em torno do tempo t (centro dajanela)

AnáliseTempo-Frequência

No limite, a

resolução temporal pode ser pontual?

Não, o espectro perde relação com o sinal sob análise.

Razão:

Princípio da Incerteza no método, não no sinal

Problema da STFT:

Forma e duração dojanelamento interferem com

as características originais do sinal sob análise

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Transformada de Fourier de Curta Duração

Definições e Notação-1

Janelamento:

Produto do sinal s(t) porjanela h(·) centrada em t,

originando st(τ ) =s(τ )h(τ − t) Escolha de h(t) tal que st(τ ) ≈



s(τ ), para τ perto de t 0, para τ longe de t Nota: Tempo τ é a nova referência

Análise de Fourier:

St(ω) = √1 2πR st(τ )e −jωτ_{dτ = √}1 2πR s(τ )h(τ − t)e −jωτ_dτ Densidade espectral de energia |St(ω)|2é função de t e ω:

espectrograma PSP(t, ω) (distribuiçãotempo-frequência) Nota: usamos janelatemporal curta

para analisarespectro em torno de t

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Transformada Temporal de Banda Estreita

Dual da STFT

Ideia: Janela

espectral estreita para analisar

comportamento

temporal em torno de ω

Janelamento:

Produto de S(ω) porjanela espectral H(·) centrada em ω,

originando Sω(ω0) =S(ω0)H(ω − ω0) Nota: Frequência ω0é a nova referência

Análise temporal:

sω(t) =√1 2πR Sω(ω 0_)ejω0t_dω0_=√1 2πR S(ω 0_{)H(ω − ω}0_)ejω0t_dω0 Densidade de energia |sω(t)|2_{é função de t e ω: P(t, ω)}

Se H(ω) =

√1

2π

R h(t)e

−jωt

_{dt , então S}

t

(ω) =

e

−jωt

s

ω

(t)

Assim, |s

ω

(t)|

2

= |S

t

(ω)|

2

=

P

SP

(t, ω)

Conclusão: Espectrograma se presta a ambas as análises

(espectro estreito ⇒ janela longa)

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Espectrograma

Função Característica e Ambiguidade

Função característica do Espectrograma:

MSP(θ, τ ) =R R |St(ω)|2ejθt+jτ ωdt dω Função deAmbiguidade:

Λf(θ, τ ) =R f∗ t −1₂τ
f t + 1₂τ
ejθtdt Nota: Λf(−θ, τ ) = Λ∗f(θ, −τ )

MSP(θ, τ ) = Λs(θ, τ )Λh(−θ, τ )

Conclusão: Os papéis de s(t) e h(t) são

“intercambiáveis” no espectrograma.

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Espectrograma

Notação

Notação estendida:

Sinal: s(t) = A(t)ejϕ(t) S(ω) = B(ω)ejψ(ω) Janela: h(t) = Ah(t)ejϕh(t) H(ω) = BH(ω)ejψH(ω)

Médias globais h·i

(s)

, h·i

(h)

, h·i

(SP)

(quando não ficar claro pelo contexto).

Ex.: hωi hωi(s) =R ω|S(ω)|2 dω hωi(h) =R ω|H(ω)|2 dω hωi(SP) =R R ω|St(ω)|2dt dω Ex.: hti hti(s) =R t|s(t)|2 dt hti(h) =R t|h(t)|2 dt hti(SP) =R R t|St(ω)|2dt dω

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Espectrograma

Propriedades-1

Verificar se exigências para

distribuição t–f válida

são atendidas pelo

espectrograma

Energia:

ESP=R R |St(ω)|2dt dω = Λs(0, 0)Λh(0, 0) = R |s(t)|2_{dtR |h(t)|}2_dt

Se a janela tiver energia unitária,

o espectrograma atende a condição da energia.

Marginais:

P(t) =R |St(ω)|2dω =R |s(τ )|2|h(τ − t)|2dτ = R A2_{(τ )A}2 h(τ −t)dτ 6= A2(t) P(ω) =R |St(ω)|2_{dt =R |S(ω}0_)|2_{|H(ω − ω}0_)|2_dω0₌ R B2_(ω0_)B2 H(ω − ω 0_)dω0 _{6= B}2_(ω)

Condição não é atendida, pois o espectrograma

mistura distribuições do sinal e da janela.

hf (t)i e hf (ω)i calculadas erradamente pelo espectrograma Marginaisindependem das fases.

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Espectrograma

Propriedades-2

Suporte finito: Espectrograma não atende

Localização no tempo × localização na frequência.

Há inúmeras janelas utilizáveis,

a escolha deve ser criteriosa.

O espectrograma

mistura sinal e janela simetricamente.

A

interpretação de resultados deve ser cuidadosa.

É possível desacoplar o efeito da janela?

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Espectrograma

Exemplos

Análise de Fourier de Tempo Curto de

s(t) = e

j10t

+ δ(t − 10) em três casos: (a) janela muito

curta, (b) muito longa e (c) intermediária.

Fig 7.1

Análise de Fourier de Tempo Curto de onset senoidal com

janelas curta e longa.

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Espectrograma

Grandezas Globais

Médias:

hti(SP) _{=R R t|St(ω)|}2_{dt dω = ht i}(s)_{− hti}(h)

Se a janela for simétrica no tempo, hti resulta correto. hωi(SP)_{=R R ω|St(ω)|}2_{dt dω = hωi}(s)_{+ hωi}(h)

Se a janela for simétrica na frequência, hωi resulta correta.

Momentos de segunda ordem:

ht2_i(SP)_{= ht}2_i(s)_{+ ht}2_i(h)_{− 2ht}2_i(s)_ht2_i(h) T2

SP=Ts2+Th2(h escorrega sobre s)

Duração: composição das durações do sinal e da janela.

hω2_i(SP)_{= hω}2_i(s)_{+ hω}2_i(h)_+2hω2_i(s)_hω2_i(h) B2

SP=B2s+Bh2(H é convoluído com S)

Largura espectral: composição das largura espectrais

do sinal e da janela.

Covariância: Desenvolvendo htωiSP_{=R R tω|St(ω)|}2_{dt dω,} Cov(SP)_tω = htωi(SP)− hti(SP)_hωi(SP) _=Cov(s)

tω − Cov (h) tω Para janelas reais, Cov(h)_tω =0, e Covtω resulta correta.

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Espectrograma

Preparação para cálculo de grandezas locais

s

t

(τ )

é função do tempo τ com espectro S

t

(ω)

t é

parâmetro

s

t

(τ ) =

A(τ )A

h

(τ −

t)e

j[ϕ(τ )+ϕh(τ −t)]

com espectro S

t

(ω) =

B(ω)B

H

(ω

0

− ω)e

j[ψ(ω)+ψH(ω

0_−ω)]

Sinal normalizado: ˆ

s

t

(τ ) =

√

s(τ )h(τ −t) |s(τ )h(τ −t)|2_dτ

=

s(τ )h(τ −t)

_√

P(t)

com espectro ˆ

S

t

(ω) =

√1_2π

R ˆ

s

t

(τ )e

−jωτ

dτ

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Espectrograma

Grandezas locais no tempo

Grandezas locais em t:

É possível escrever hg(ω)it= _P(t)1 R g(ω)|St(ω)|2_dω como integral em τ

Calculando-se hωit e hω2it,

servirão como estimativas das propriedades do sinal A estimativa B2

t = hω2it− hωi2t

pode resultarnegativa. Melhor usar a definição.

Todos aparecem como funções da janela. Somente fazendo-se A2

h(t) −→ δ(t) é que hωit −→ ωi(t) Mas... Bt−→ ∞

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Espectrograma

Grandezas locais na frequência

Grandezas locais em ω:

É possível escrever hg(t)iω= _P(ω)1 R g(t)|St(ω)|2dt como integral em ω0

Calculando-se htiωe ht2_iω,

servirão como estimativas das propriedades do sinal A estimativa T2

ω= ht2iω− hti2ω

pode resultarnegativa. Melhor usar a definição.

Todos aparecem como funções da janela.

Somente fazendo-se B_H2(ω) −→ δ(ω)é que htiω−→ tg(ω) Mas... Tω−→ ∞

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Espectrograma

Inversão

É

possível obter s(t) a partir de |S

t

(ω)|

2

(

inverter o espectrograma)?

Λ

s

(θ, τ ) =

M_ΛSP(θ,τ ) h(−θ,τ )

=

1 Λh(−θ,τ )

R R |S

t

(ω)|

2

_e

jθt+jτ ω

_{dt dω}

s

∗

t −

1₂

τ

s t +

1₂

τ

=

_2π1

R Λ

s

(θ, τ )e

−jθt

dθ

Fazendo t =

τ₂

e em seguida τ = t,

s(t) =

_2πs1∗₍₀₎

R Λ

s

(θ,

t)e

−j θt 2

dθ

O espectrograma é inversível

a menos de uma eventual fase constante no sinal

(que é multiplicado por seu conjugado)

Λ

h

(θ, τ )

não pode ter regiões nulas finitas em (θ, τ )

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Distribuição de Wigner

Definição e discussão inicial

Representação tempo-frequência

qualitativamente diferente do espectrograma:

só envolve o

sinal a analisar

Definição:

W (t, ω) = 1 2π Z s∗ _{t −} 1 2τ
s t + 1 2τ
e −jτ ω_dτ W (t, ω) =_2π1 Z S∗ ω +1₂θ
S ω −1 2θ
e −jtθ_dθ

É bilinear

Tem a

mesma forma nos dois domínios

Estuda a correlação entre versões

espelhadas do sinal.

Figs. 8.1 e 8.2

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Distribuição de Wigner

Definições e Propriedades-1

Suporte finito fraco: Atende

Suporte finito forte: Não atende

Função Característica:

M(θ, τ ) =R R W (t, ω)ejθt+jτ ω_{dt dω =} Z s∗ t − 1₂τ
s t + 1 2τ
ejθtdt = Λs(θ, τ )(ambiguidade) M(θ, τ ) = Z S∗ ω +1₂θ
S ω −1 2θ
e jτ ω_dω

Distribuição real: W

∗

(

t, ω) = W (t, ω) ⇒ W (t, ω) ∈ R,

mas admite valores negativos

Simetria:

Para s(t) ∈ R (ou S(ω) = S(−ω)), W (t, ω) = W (t, −ω) Para S(ω) ∈ R (ou s(t) = s(−t)), W (t, ω) = W (−t, ω)

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Distribuição de Wigner

Definições e Propriedades-2

Marginais:

M(θ) = M(θ, 0) =R |s(t)|2_ejθt_{dt ⇒ P(t ) = |s(t )|}2 M(τ ) = M(0, τ ) =R |S(ω)|2_ejτ ω_{dω ⇒ P(ω) = |S(ω)|}2 Atende

Energia: Como consequência, atende

Deslocamentos:

s(t) −→ e

jω0t

_{s(t − t}

0

) ⇒

W (t, ω) −→ W (t − t

0

, ω − ω

0

)

Grandezas globais hg(t, ω)i =

R R g(t, ω)W (t, ω)dtdω

Pelo atendimento das marginais, fornece corretamente:

hg(t)i e hg(ω)i

Tempo Médio e Frequência Média Duração e Largura Espectral Covariância

Atende

Princípio da Incerteza

(pelo atendimento das marginais)

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Distribuição de Wigner

Definições e Propriedades-3

Grandezas locais:

Frequência instantânea: hωit= ωi(t), como esperado

Atraso de grupo: htiω=tg(ω), como esperado

Largura espectral instantânea:

σ2 ω|t = 1 2  _A0 (t) A(t) 2 −A_A(t)00(t)  ,

que pode resultarnegativa; com isso,

Bt pode se tornar complexo (sem interpretação)

Positividade:

Sinal mais geral que resulta em W (t, ω) > 0:

Chirp gaussianos(t) = α 4
14 _e−1 2αt 2_+j1 2βt 2_+jω0t , com α > 0, β > 0 e ω0>0 W (t, ω) =_π1e−αt2−(ω−βt−ω0) 2 α

Exemplo com W (t, ω) com valores negativos.

Fig. 8.4

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Distribuição de Wigner

Definições e Propriedades-4

Distribuição de Wigner

cruzada:

W12(t, ω) = _2π1 Z s∗ 1 t − 1 2τ
s2 t + 1 2τ
e −jτ ω_dτ W12(t, ω) = _2π1 Z S∗₁ ω +1₂θ
S2 ω −1₂θ
e−jtθ_dθ

Distribuição da

soma de dois sinais s(t) = s

1

(t) + s

2

(t):

W (t, ω) = W11(t, ω) + W12(t, ω) + W21(t, ω) + W22(t, ω) W (t, ω) = W11(t, ω) + W22(t, ω) + 2<[W12(t, ω)]

Termo cruzado, ou de interferência afeta visualização

(indesejável?). Fig. 8.6

Nota: Sinal real pode ser visto como soma de 2 complexos conjugados. A distribuição de Wigner indica quando

um sinal émulticomponente, quase sempre. Fig. 8.5

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Distribuição de Wigner

Definições e Propriedades-5

Inversão e Unicidade:

s∗ t − 1₂τ
s t + 1 2τ
= R W (t, ω)ejτ ωdω Fazendo t = τ₂ e em seguida τ = t, s(t) = _s∗1₍₀₎ Z W ₂t, ω
ejtω_dω A distribuição de Wigner é inversível

a menos de uma eventual fase constante no sinal (que é multiplicado por seu conjugado)

Representatividade:

Nem toda função de t e ω é umadistribuição de Wigner

representável ourealizável (tem um sinal associado a ela).

Ex.: Funções estritamente positivas (exceto a associada ao Chirp gaussiano) não são realizáveis.

Teste: Função candidata é distribuição de Wigner realizável se o sinal obtido por sua reversão ao tempo gerar distribuição de Wigner igual a ela.

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Distribuição de Wigner

Definições e Propriedades-6

Extensão dos termos cruzados:

W

12

(t, ω) = 0















∀t 6∈



t1+t3 2

,

t2+t4 2



,

se

s

1

(t) = 0 ∀t 6∈ (t

1

,

t

2

)

s

2

(t) = 0 ∀t 6∈ (t

3

,

t

4

)

∀ω 6∈

ω1+ω3 2

,

ω2+ω4 2

, se

S

1

(ω) =

0 ∀ω 6∈ (ω

1

, ω

2

)

S

2

(ω) =

0 ∀ω 6∈ (ω

3

, ω

4

)

Produto e Convolução

No tempo: s(t) = s1(t)s2(t) ⇒ W (t, ω) =R W1(t, ω0)W2(t, ω − ω0)dω0 Na frequência: S(ω) = S1(ω)S2(ω) ⇒W (t, ω) =R W1(t0, ω)W2(t0− t, ω)dt0

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Distribuição de Wigner

Discussão Adicional

Com o uso de

sinal analítico:

W (t, ω) = 0 ∀ω < 0

evitam-se termos cruzados entre espectro em ω < 0 e espectro em ω > 0

Distribuição de Wigner

espalha ruído.

Fig. 8.7

Modificações da Distribuição de Wigner tentam

garantir positividade e/ou reduzir termos cruzados.

Custo: perder boas propriedades (ex. marginais)

É possível converter qualquer distribuição t–ω em outra

Há método geral sistematizado para gerar

distribuições t–ω

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Distribuição de Wigner × Espectrograma

Espectrograma é

família de distribuições

(escolha da janela)

Wigner atende

marginais (e condições consequentes)

Espectrograma é

positivo

Wigner resolve melhor

multicomponentes

Wigner gera

artefatos sem interpretação direta

Wigner informa corretamente ω

i

e t

g

Princípio da Incerteza:

em Wigner, diz dos limites dosinal

no espectrograma, diz dos limites dométodo.

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Distribuição de Wigner × Espectrograma

Sinais multicomponentes:

Fig. 8.8

Som de contração muscular:

Fig. 8.9

Som de aneurisma:

Fig. 8.10

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Referências

Cohen, L., Time-Frequency Analysis, Prentice-Hall, 1995.

Haykin, S., Van Veen, B., Sinais e Sistemas, Bookman,

2001. Capítulos 1, 2 e 3.