Analise de tensoes e deslocamentos atraves de series de Fourier em reservatorios cilindricos apoiados em diafragmas

U N IV E RS I D A DE F E DERAL DE S A NT A CATARINA

ANALISE DE T ENSÕES E DESLOCAMENTOS

ATRAVES DE SGRIES DE FOURIER EM R E SE RV AT ÓR IO S CILÍNDRICOS AP O IADOS EM DIAFRAGMAS

LAURO CESAR NICOLAZZI

FLORIA N ÓP OL IS

SANTA CATÍVRINA - BRASIL J A NE IR O - 1982

11

A N ÁL I SE DE T EN SÕ ES E D E S L OC AM EN TO S

AT R A VÉ S DE SÊRIES DE F O URIER EM R ES ER V AT Ó R I OS CILlNDRICOS A P OIADOS EM D I AF RA GM AS

LAURO CESAR NICOLAZZI

E S T A D I S SE R TA Ç Ã O FOI J U L G A DA P A RA A O BT E N ÇÃ O DO TÍTULO DE M ES T RE EM E NG E NH A R I A

E S P E C IA LI DA DE E N G E N H A R I A M E C Â N I C A ,Á R E A DE C ON CENTRAÇÃO PRO JETO, E A PR O VA DO EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE PÕS -

GRADUAÇÃO

A P R E S E N T A D A PERANTE A B A NC A E X AM I N A D O R A C O MP O ST A DOS P R O ­ FESSORES:

rof. N elson Back, Ph.D,

3 2 = ^ ____________________________

Pro£. Clovis Sperb d e ^ F ã r c e l l o s , Ph.D

OíUjuL

111

IV

AG R AD E CI M E N TO S

A Univer si da de Federal de Santa Catarina, por ter p r o p o r ci o na d o a realização deste trabalho;

A o -p ro fe ss or Domingos Boechal Alves, pelo auxílio na u ti li za çã o do PROASE;

Ao professor Luiz T ei xe i r a do Valle Pereira, pelo auxilio na e- laboração final do texto, constante apoio e incentivo;

Aos demais professores do D e pa rt a me nt o de E n ge nh a ri a M e c â n i c a da UFSC.

V

ÍNDICE

1 - I N T R O D U Ç Ã O ...r . , . . . ... ... . ... 1

2 - FORMUL A ÇÃ O DO P R O B L E M A ... . . . ... 4 2.1 - Equação de equilíbrio para cascas c i l í n d r i c a s . ... 4 2.2 - Equações d i ferenciais de equilíbrio em função

dos d es locamentos ... . 8 2 , 3 ^ Consi d er aç ão da p r essão i n t e r n a , . . , . . . ... . 11

3 - SOLUÇÃO DO P R O R L E M A , ... . 15 3.1 - Solução da equação diferencial de cascas cilín

dricas finas. ... ... 15

4 - DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DOS C A R R E G A M E N T O S . ___ .... 19 4.1 - Carregamentos radiais, sobre a superfície de

um cilindro, inscritos em r e t â n g u l o s ... ... 19 4.2 - Carregamentos radiais c o n c e n t r a d o s .... ... ... 25 4.3 - Linhas de cargas radiais segundo a direção de

um p a r a l e l o . . . , , , . . . , . . ... 26 4.4 - Anel de c a r r e g a m e n t o , . . , . , . . , , . . , , . , .... ... 27 4.5 - Linhas de cargas radiais ao longo de meridianos... 29 4.6 - Momen t os na direção c i r c u n f e r e n c i a l 31 4.7 S u pe rp os iç ão de tipos de c a r r e g a m e n t o s , . . , ... . 34

5 - R E PR E SE N T A ÇÃ O DOS D ES LO C A M EN T OS u e v NA FORMA DE

S É R I E S . ... . 35

5.1 - Desloc am en to s nas direções x e cf) em função do

desloc a me n to r a d i a l , .... . 35

6 - SÊRIES DOS ESFORÇOS R E S U L T A N T E S 37 6.1 - Esforços resultantes em função dos coeficientes

das series dos d e s l o c a m e n t o s .... ... . 37

7 - A P RE S E N T A Ç Ã O DOS R E S U L T A D O S . . . ___ _ 40 7.1 - I n t r o d u ç ã o . . ... ... 4 0 7.2 - Comparação dos resultados com os valores obtidos

VI

7.3 - Cilindro carregado com p re s sã o i n t e r n a ... 46

7.4 - Anel de carga l a r g o . .... ... ... 54

7.5 - Anel linear de c a r g a . . . ... . 60

7.6 - Carga radial inscrita em um r e t â n g u l o ... ... 66

Bibliografia. .. ... ... 85

APÊNDICES. A^ - D EF O R M AÇ O E S EM CASCAS F I N A S ____ _____ _ _____ ______ _______ 86 - ESFORÇOS RESULTANTES EM CASCAS F I N A S . . . . ... . . 90

A3 - PARTICULARIZAÇÂO DAS DEFORMAÇÕES PARA CASCAS CILlN DRICAS, EM FUNÇAO DOS D E S L O C A M E N T O S . .... ... ... 96

Vll

RESUMO

Este trabalho apresenta uma solução analítica p a r a o problema de cascas cilíndricas finas apoiadas em diafragmas, com carregamentos radiais , usando 'a formulação mostrada por Timoshenko.

São d e terminadas expressões para calcular d es lo ca m e n tos e tensões, objeti va nd o p o s s i b il i t a r a analise do comportamen to de cilindros com carregamentos radiais.

0 d e se nv ol v im e n t o analítico é r ea lizado através de series duplas de F o u r i e r , sendo os r esultados obtidos através de

um p ro grama digital.

As comparações tomam como p a râ me t ro de referê n ci a os resultados obtiaos pelo método de elementos finitos.

Vlll

Ab s t r a c t

This work prese n ts an analytical solution for the p r o b l e m of cylindrical thin shells supported by diafragms, s ub j ec te d to radial l o a d s , using the f ormulation p r e s e nt e d by T i m o s h e n k o .

E quations £or the cofnputation o£ the d is placements and the resultant stresses are developed in order to the analyse the b e ha vi or of radialy loaded cylinders.

The analytical d evelopment is p r e s e n t e d using D ou bl e Fourier Series and the results are obtained using a digital Computer program.

The results o b tained with this m et h o d are compared w it h results obtained by the Finite Element Method.

i n t r o d u ç ã o

Na indústria química, n uclear e outras, que t r a b al ha m com p ro c es so s que u t i li z a m altas pressões, a análise de tensões em tu bulações submetidas a carreg am e nt os externos complexos, bem como bi f ur ca çõ es e intersecções de tubos, ê de grande interesse, jã que nas instalações destas indústrias o p r o bl em a ê bastante comum.

A analise de tensões de tais p r ob lemas pode ser feita atra vês de soluções analíticas ou então através de métodos n u mé r ic o s , tais como: elementos finitos, diferenças finitas e equações i n t e ­ grais. As soluções numéricas têm a v a nt a g e m de serem aplicáveis na m aioria dos p r o b ’’:emas m e n c i o n a d o s , mesmo com grandes custos de ana lise e operação e, às vezes, dependendo do tamanho da malha, com alguma imprecisão, enquanto que as soluções analíticas têm a de_s v a n ta g e m de terem a sua aplicação r e st ri ta a u m caso p a r t i c u l a r .Po rém, dentro do seu campo de validade, os resultados obtidos são de grande confiabilidade, p od en do ser tomados como padrão de c o m p a r a ­ ção p a r a outras soluções , inclusive as numéricas m e n c io na da s acima.

Na referência [lOl , está p ro po st o u m m ét od o de a b o r d a g e m de tais problemas, através de uma solução analítica. Este m étodo consiste em resolver as equações diferenciais do problema, através da superposição de duas soluções, uma homogênea e a outra p a r t i c u ­ lar. A solução partic ul ar f o i / se l ec io na da de forma a r e p r es en ta r o c ar regamento imposto sobre a e st ru t ur a e ainda satisfazer as condi^ ções de contorno do cilindro, que é interceptado, enquanto que a solução homogênea permite a análise da intersecção das cascas sem que o equilíbrio global do corpo e as condições de contornos sejam altera

das. A solução h om og ê ne a é a p re se nt ad a na referê nc ia |ll|, e n q u a n ­ to que nas referências |2 | e |5| está apresentada a solução p a r t i ­ cular .

Para o d e s en v ol v i m en t o do m ét o d o de análise de tensões e d e sl oc am en to s na intersecção de cascas cilíndricas, dividi u -s e a solução em duas partes, uma consi s ti nd o no d e s e n v o l vi m e n to da

solução p ar ti cu l a r e outra c onsistindo no d e se nv o l v im e nt o da solu ção h o mo gê ne a e superposição da, p a r t i c u l a r , de forma a se ter a solução completa. Neste trabalho é d e se n vo l v i da apenas a solução particular, porém os resultados obtidos a p ar ti r dela, são c o m p a ­ rados com os resultados o b tidos-pelo m é to do de elementos finitos, através do p r ograma PROASE Y/75, de forma crítica, com o o bj etivo de v er ificar se a precisão da solução permite que se faça uso d e ­ la, para a análise de problemas mais complexos.

As equações diferenciais que regem o p r oblema de cascas a ser solucionado, juntamente com as simplificações e hipóteses adotadas para a sua formulação, estão detalhadas no Capítulo 2. Como base neste desenv ol vi m en to a r ef e rê nc ia |2 | foi utilizada.

No Capítulo 3, a solução da equação d iferencial que re ge o p ro bl e ma é apresentada. Esta solução p ro po st a nas r e f e r ê n c i ­ as |5| e |2 | é aplicada para alguns casos da referência | l | , e con siste em expandir os deslocamentos radiais bem como os c a r r eg a m e n tos em séries duplas de Fourier, nas duas direções princ ip ai s da casca cilíndrica. Esta solução resolve apenas problemas de cascas cilíndricas apoiadas em diafragmas , nos seus extremos, e s u b m e t i ­ das a c ar regamentos radiais, o que limita bastante o campo de a p H cação da solução.

No Capítulo 4, é m o s t ra d a uma série de carregamentos ra diais para os quais a solução é apropriada. Para cada carregaíiiento

3

ali apresentado, os coeficientes das series de carregamentos são de terminados através dos métodos t radicionais apresentados nas referên cias |3| , |4| e [ T-1 , com a finalidade de p o ss i b i li t ar a determinação dos coeficientes da série dos desloc a m en to s radiais.

Nos Capítulos 5 e 6 , os demais deslocancntos bem como os esforços resultados da casca estão expandidos em séries duplas de Fourier e, também, estão apresentadas as relações entre os c o e f i c i ­ entes das expansões destas variáveis e os coeficientes da série do deslocamento radial.

A comparação dos resultados obtidos pelo m ét od o p r o p os t o esta aprese n ta da no Capítulo 7. 0 p ar âm et ro de referência p a ra esta comparação foi obtido do m é to do de elementos finitos através do pro­ grama PROASE Y/75. Os comentários dos resultados, bem como propostas de continuação do trabalho, estão apresentados no Capítulo 8 .

Nas Apêndices Al, A2 e A 3 , está d es en vo lv i da a t eoria bâ sica de cascas finais isotrõpicas, da qual tirou-se subsídios n e c e ^ sãrios para a obtenção das equações diferenciais apresentadas no se gundo capítulo deste trabalho. No A p êndice A4 está aprese n ta d o um diagrama de bloco do p ro gr am a d e s en vo lv id o p ar a a obtenção dos resul t a d o s , bem como um suscinto manual para u t il iz aç ão do programa.

C AP Í TU LO 2 I

FORMUL A ÇA O DO P R OBLEMA

2.1 - EQUAÇÕES DE E QU I LÍ B RI O PARA CASCAS C IL ÍN DR IC AS

Para a obtenção da equação difere nc ia l de e qu il í br io para cascas cilíndricas, em função dos d e sl o ca me nt os u, v e w, c o ­ mo m ós tr a a r e fe rê n ci a l2 |, parte-se de um elemento característico,

isolado do cilindro indicado na figura 2 .0 1 , representado pela su­ perfície média da casca como mostra a figura 2 .0 2 .

Devido às deformações da casca, causadas por c a r r e g a ­ mentos radiais, e x istem d e slocamentos entre os lados do elemento OABC da figura 2.02. Estes d es lo ca me nt os r el ativos entre as l a t e ­ rais do elemento, d evem ser c o nsiderados ao se aplicar as c o n d i ­ ções de equilíbrio estático.

nas direções x, y e z da face AB em r e lação a face O C , são r e s p e c ­ tivamente:

( 4 ^ - (2-03)

As componentes da rotaçao de BC em relação a OA, nas direções x, y e z são respectivamente:

dx (2.05)

dx

(

.

)

Com o;auxílio das seis equações anteriores obtêm-se: a) do equil í br io de forças;

a^ ^ x ^'^<))X _ „ 3 3 ^ v _ ^ + 3

a — ^ + N (— + ■ ■ ^ ) + a N +

dx 3<|) x<() ^3x 9x9(í)''^ X 9x^

onde Z significa um carre g am en to distri b uí do na direção radial; b) do equilíbrio de momentos:

" ^ - V ^ x ^ ^ " Q, V o í2-08a)

, SM - o - o

^ ^ ^ Aí 9 V r 9 V aWx r» - n ro no u^

3(j) ^ 8x ^ X(j) 8x2 “ *^8x9(j) “ 8x^ ^ ^X (2.08b)

Na obtenção das equações (2.07) e (2.08) a v ar ia çã o de curvatura do elemento OABC foi levada em consideração. Este p r o c e ­ dimento é necess ár io se as forças , N ^ e não são ' pequenas

9 X<() (j)X em relação a valores críticos à flambagem da casca.

Co n si de ra nd o -s e pequenas deformações, as variações de c ur v atura í es ul t ãm em um efeito pequeno nas equações de equilíbrio, logo, pode-se desprezar, das expressões (2.07) e (2.08), o p r oduto das forças e momentos pelas derivadas dos deslocamentos, obtendo-se:

" - r i °

3Q*

3M 'aM

a

9M

Í2S .+ 3M _(2.09e)

Através da combin a çã o linear das equações (2.09), pode se e l im i na r Q e Q , obtendo-se: <p X (2 .1 0 a) 9N^ 3N ■ 3M ^ ' 3M_^ _ _ Í + a ^ _ 1 - ^ = 0 . 34) 3x 3x a 3(j) . (2 .1 0 b) 32NI^ 32M ---Í2Í + a ^ . 9X9. T 92m, 32m , _ + : i ___ i _ __2LÍ- + j\j + Z a 9x2 a 3())2 . 3x3(}) ())

2.2 - E Q UAÇÕES DIFERE N CI AI S DE E Q U I LÍ BR IO EM FUNÇAO DOS D E S L OC AM EN TOS

.As equações (2 .1 0 ) podem ser postas em função dos d e s ­ locamentos u, V e w, com o auxílio das expressões (A2.10) do A p ê n ­ dice A 2 . Assim, s u bs t ituindo-se nas equações (A2.10) as expressões

(A3.01), (A3.02), (A3.03), ( A 3 .08), ( A 3 .10b) e ( A 3 .17) do A pê nd i ce A 3 , vem : N Eh X l - v 2 (2 .1 1 a) N Eh ' l - v2 9x (2 .1 1 b) N = M = Eh .3v ^ 1 X(j) <f>x 2 ( 1 + v) ^3x a 3<j>^ (2 .1 1 c) - - D

_C

<p - D a 2 '-9 (j,2 3 4, av^ + v9^w 8x2 (Z.lle) M X(j) M - D ( l - v ) r <t>x a ^ 3 (j) ax + IX)9X^ (Z.llf)

As expressões (2.10), apos a substituição das equações (2 .1 1 ), transformam-se:

3 ^ u ^ 1 - V a ^ u ^ 1 + v a _ Q

ax2 2 a 2 a<|)2 2 a axa<j) a ax

(

.

)

1 +v a^u_^ (l-v) a2y ^ 1 a^v l a w ^ „ .. ^

2a ax3(i) 2 a x2 a2 d<i>2 a2 ac|) 1 2 a 2 ax2acj)

a2a(í)3^ 1 2a2 32 V a2 ad)2 = 0 (2.13) _a_u ^ 3v _ w _ ah2 ^ 3 x aa<()” a ” 12 12 ^ a 3 x 2 acj) Z a ( l - v 2 ) ^ T T --- (2.14)

onde ê operador abaixo:

3x2 a2 a<))2) (2.1,5)

0 último termo da equação (2.13) pode ser d es pr ez ad o em relação aos segundo e terceiro termos porque o fator t ^ /1 2 a^, para cascas finas, ê pequeno. Com esta simplificação, o s i st e ma de equações diferenciais formado por (2.12), (2.13) e (2.14) pode ser reduzido a uma equação diferencial de o itava ordem em função, a p e ­ nas, do deslo c am en to radial, como m o s t r a - s e a seguir.

obtém-s e :

10

1 3 ‘*v V 3 3w 3 1 - V 3

a 3x33(1) (1 + v) a 3 x 3 ax** 2 a 2 3 x 2 3<j)2 (2.16)

e aplicando-se o operador _a

23<{,2 também na equação (2 .1 2 ), obtém-se:

3^V a3 3x 3(()3 2 I TíV T 9 _ 1 - v 3 ‘*u _a3 3x3(})2 a2 3(f)2 3x2 ~ 2a.^ 3<j)‘^ (2.^-7)

Introduzindo as expressões (2.16) e (2.17) na e quação 9 ^

resultante da operação (-^r— — ) em (2.13), tem-se: a o X o 9

a V^u =_ . 9 w 3 (1 + v) t^ ^ 3 ^ w ^ 3^ w -,0-,

^ 3x3 " a23x3(|)2 (1 - v j 1 2 a 2 ''3x33(j)2 a2 3x3 4)'+''

3

-0 operador aplicado na equaçao (2.13) fornece;

3'*u a 3x33()) 1 + v a2 3 x 2 3(j) ( 1 - v ) 3 ^ V 2 3'^-v Sx'* a2 3 (j)2 3x2 t^ f 3^W 3 5w . 1 2 a 2 ''3x‘+3<í) a2 3(j)3 3x2^ (2.19) 1 32

e o operador aplicado tambem em (2.13), fornece 3(f) 3‘^U 1 3 3w a3 3(j)33x 1 + v | a ‘+ 3(|)3 ( 1 - v ) 3 ‘W 2 a 2 3 x 2 3 (j)2 1 3'*V a^t 3(f)'+ ( 3 , 3 1 2 a 2 '^3x2 3(1)3 a23(t)•5) (2 .2 0 ) S u bs ti tuindo-se as expressões (2.19) e (2.20) na e q u a ­ ção resultante da aplicação do operador

a3(j) 3x em (2 .1 2 ) vem:

a v ‘+v = (2 + v) 3 3 3w _ t2 . 2 a 3 a3 (()3x 2 i l T p " " 1 2 a 2 U - v 3x^30

1.1

3 -V 3 3 _'1

1-V a3x2 3(}>3 a33(p5" (2. 21)

Com os operadores — e v** e as equações (2.18) , 0 X O (p (2.21) e (2.14), obtém-se: V«w ■ 1 2 ( 1 -v 2) ^ 1 a2 t 2 ■ 3x‘t ã 7 3^W a^^sx^íj)' - i = 0

(

.

)

que é a equaçao diferencial de e quilíbrio de uma casca c i lí nd r ic a em f u n ç ã o , a p e n a s ,dos d e s lo ca me nt os radiais, onde

D = E t3 Í2 (l-v2 )

2.3 - C O NS I D ER AÇ AO DA PRESSÃO INTERNA

A pressão interna, em tubulações, ê um carreg a me nt o n o rm al me nt e presente, e sendo /assim, ê conveniente i n t r od uz i- la na formulação de forma que seja fácil a sua consideração, na solução de problemas. Isto ê conseguido com a superposição da formulação de m e m b r a na de um cilindro fechado nos extremos e submetido a p r e ^ são interna, na equação (2 .2 2 ).

Os esforços de m em br a n a para um cilindro fechado nos extremos e submetido a pressão interna q são:

x 2 (2.23)

1-2

Isolando-se de uma casca cilín dr i ca deformada e subme tida a uma força radial u n iforme Q, um elemento r e pr es en ta do na figura 2.04, tem-se para o equilíbrio de forças na direção radial que:

N

<D r: 'pc r (2.253

FIGURA 2.04 “ Casca d e fo rm ad a

onde r' e r' são os raios de curvatura da casca deformada. X (()

Para cascas de geometria qualquer, as variações de c u r ­

vatura são definidas por: ■

_ 1

_ - 1 <p <{>

(2.26)

13

onde r e sao os raios de curva tu ra da casca indeformada. X . <f>

Para cascas cilínd r ic as tem-se que r = a e r = °°, e

T . ^

desta forma as curvaturas da casca d ef o rm ad a são dadas por:

(2.28)

= X 4>

(2.29)

Substi t ui nd o ná equação (2.25) as equações (2.28) e (2 . 29) , o b t é m - s e :

Q - q = N (2.30)

Consid e ra nd o a diferença entre Q e q, como uma carga radial uniforme d e no mi n ad a Z_, e as variações de curvatura x. e x

4 9 X

em termos do deslo ca me nt o r a d i a l , dadas pelas ;equações (A3.10a) e (A3.08), a equação (2.30) reescrita fica:

(2.31)

Com as equações (2.23) e (2.24), a equação (2.31) pode ser novamente r ee scrita como:

Z =

q 2 a2 3(j)2 q2 9x2 (2.32)

Desta forma, pode-se sobrepor o carregamento Z^, dado pela equação (2.32) , na equação de equilí b ri o (2 .2 2 ), como segue.

. J . a2 t 2 3x4 a2 2

3^w 1

+ ( 6 + v-v^) --r

14

15

C A Pt TU LO 3

SOLUÇÃO DO P R OB LE M A

3.1 - S OLUÇÃO DA E Q UAÇÃO D I F E RE NC IA L DE CASCAS C I Ll ND R IC AS FINAS

Para a solução da.equ a çã o diferencial (2.33) pode ser adotada a série dupla de Fourier:

OO 00 _ , n 7T

w = E Z W C O S r m ó s e n — x

__ n „ _ v m n ^ Z

m = U n-1

(3.01)

e para e xp ressar os c a rr eg a me nt os radiais:

OO OO . _ n

7|-Z- = z Z Z C O S rmcj) sen -r- x

m-O n=l “

(3.02)

onde: m e n são inteiros positivos;

r n u me ro de cargas radiais, na direção 4);

Wmn> são os coeficientes da série, e x e (j) são as coor-I

denadas do cilindro, conforme a figura 3.01.

16

A solução adotada tem a v a n t a g e m de satisfazer a u t o m a ­ ticamente as equações de c o mp at ib il id ad e e as condições de c o n t o r ­ no, p o re m p ossui uma d e sv a n t ag e m inerente que é a de resolver a p e ­ nas o p r o b le m a de cilindros apoiados em diafragmas, conforme a f i ­

gura 3.02 a b a i x o .

ado em d i a f r a g m a s .

A expansão (3.01) satisfaz a equação diferencial (2.33) se os coeficientes da série forem determ in ad os apropriadamente, co mo ê feito no desenv ol vi me nt o seguinte.

A pl i c an d o - se as operações indicadas na equação d if eren I . ^ ■

ciai (2.33) nas expansões das variaveis w e Z (3.01) e (3.02),

ob-I

têm-se:

v®w = ZE W ( (-^) (-— ^ ) ^ ) ‘* COS rmi}) sen — x

17 (3.03b) 3^W ax'+3(t.^ = \ n (;^)‘♦) C O S rm<í. s e n j x (3.03c) (3.0 3d)

Í

3

mn ''a (3.03Í)

V^l = ^ EZW

q 2 mn ((■|)^ + ( ™ ) 2) COS rin<() s e n ^ x (3.0 3g)

onde

A =

Substi t ui nd o estas expressões na equaçao d i fe r en ci a l (2.33), r e s u l t a :

ZZ { W { mn '■

rA)2 + rim-iaT* + 1 2 (l-y2 ) . A. ^ ^

'-a^ ^ a ^ a2t2 '-a^ a2 (rm)

(rm)2 (A)"-

ÍI^l

A equação (3.04) deve ser satisf e it a para todo e q u a l ­ quer ponto (x, (p) , logo:

18

mn ( f ) j

+ IZ(l-v^) fii.. + _1 1 ' J

(rra)2 (Aj- - 2 ^ (r.,0- (A) 2

2 _(rm) 6 (6 +v-v^) _ 2D

-ci)^

(A) 2,

Sendo o coeficiente Zmn facilmente determ i na do pelos métodos tradicionais, a única incógnita da equação (3.05) ê W m n :

Wirai= (X^+(m)2)2 a_‘* Zmn

D{ (A2+(rm) 2) '^+12 ( l - v 2 ) ^ ^ - (rm) 2 [2(rm) ^+(6+v-v2) aH (7+v) ( m ) 2^2 ] +

+ - 1 + r 2 m 2 ) ( x 2 + ( r m ) 2 ) 2 } _{( 3 . 0 6 )}

Com esta expressão são determinados os c o eficientes da serie de deslocamentos.

19

C AP ÍTULO 4

DE T E RM I N A ÇA O DOS C O E F IC IE NT ES DOS CARREG AM EN TO S

4.1 - C A R R EG AM EN T OS RADIAIS, SOBRE A SUPERF ÍC I E DE UM CILINDRO, INS CRITOS EM R ETÂNGULOS

Cargas radiais uniformés inscritas em retâng ul os na su p er fície de cascas cilíndricas, figura 4.1, p od em ser d e sd ob ra da s para que se possa, de maneira simples, determ in ar os c oeficientes da expansão (3.02).

FIGURA 4.01 - C a rr ègamentos retangulares sobre o cilin dro.

Este desdobramento ê r e al izado em dois passos; o p r i ­ meiro considera a expansão do c ar regamento na direção dos p a r a l e ­

20

los e o segundo na direção dos meridianos, sendo o resultado final a s u pe rp o si çã o dos resultados parciais.

C on s i de r an d o que a dimensão de um p a ra le lo seja denomi^ nada por um p a râ me tr o genérico t, e para que haja c o er ência com a expressão geral dos c a rr egamentos , expansão (3.0 2 ), é necessário que a expansão nesta direção seja par, conforme a função r e pr e s en ta da na figura 4.02.

F IGURA 4.02 - Repre se nt aç ão da função do carre g am en to sobre o cilindro, ao longo do parâiietro t.

Sendo par, a expansão na forma de série de Fourier, em função do p a râ me tr o t, é dada por:

f(t) = an + ? a COS t

m= 1 m

(4.01)

o n d e :

m = 1 , 2 , 3 , .... - numero de termos da série T - p e ríodo da série

21

Os c oeficientes da serie (4.01), ao e a ^ , são d e t e r m i ­ nados da m a ne i r a indicada por Kreyszig |3|, como segue:

’ T/2

ao = Y I í ^ . 0 2 )

T/2

4 f - 2mirt

a = j / £(t) cos — — dt (4.03)

Para a função esquem a ti za da na figura 4.02, a função f(t), dos coeficientes ao e , vale:

m

£(t) = p (4.04)

e existindo apenas p a ra t = T i C i .

Com a m ud a nç a de c o o r d e n a d a s , que ê indicada abaixo, pode-se passar do p a râ metro genérico t para um paralelo de uma ca^ ca cilíndrica.

Cl'/ = ((>1 . a (4. 06)

t’ = <() . a (4.0 7)

onde: r = 1, 2, 3,.... - numero de cargas ao longo de u m p ar al el o a - raio da casca cilíndrica;

2 2 1 '

Cl - metade do compri me nt o da carga ao longo do p a ra le lo ; <|)1 - metade do arco do comprimento da carga ao longo de um

p a r a l e l o .

e estão r ep resentados na figura 4.01.

Os coeficientes da série d e terminados a p ar t ir das e- »

quaçoes (4.02) e (4.03), com as condições dadas pelas expres sõ es (4.04) a (4.07) são:

= (4.08)

ao

a,„ = ^ sen (rm<)>i) (4. Ü9)

Com os coeficientes acima, a expansao (4.01) completa, é dada por:

p((f)) = ZEli. + f i}. sen (rm<j)i) cos (rmc()) (4 .1 0 ) m=l

Desta forma, conclui-se o p r imeiro p a ss o do d e s d o b r a ­ mento e a seguir passa-se ao segundo passo do p ro ce s so e a superpo sição dos resultados, simultaneamente.

Para que se tenha uma c o nfiguração de c ar re ga me nt o s o ­ bre o cilindro, igual a indicada na figura 4.01, é h e ce s sã r i o e x ­ p a nd ir a série, dada pela equação (4.10), na direção axial do c i ­ lindro, figura 4.05. Esta expansão ao longo do meridiano, deverá ser n e c e ss a ri am en te ímpar, para que haja c on co r dâ n c i a da expressão o btida com a expansão geral dos c ar regamentos (3.02).

2 3

FIGURA 4.03 - Expansão da função (4,10) ao longo do comprimento do cilindro.

A expansão da função (4.10) na direção axial, em serie impar de Fourier e dada por:

p(x,<()) = z bn sen x

n = l ^

(4.11)

onde n = 1, 2, 3,..., e o período T é duas vezes o c o mprimento do cilindro.

T = 2£ (4.12)

A v ar iável 4> ê i-ntroduzida na expressão (4.11) através da d et erminação do c oeficiente bn, como segue:

T/2 bn = / 0 r . ^ 2niT , pC(})) sen X dx

onde a função p(<j)) é dada pela equação (4.10). R es o lv en do (4.13) obtêm-se: 7 A (4.13) bn = l E Í l i sen sen n T (4.14) S u b s ti tu in do as e xpressões (4.14) ,, (4.12) e (4.10) na expansão (4.11), chega-se a: p(x, 0 ) = Z { n=l niT n m = 1 m COS (rmij)) nirb mirCo

sen — sen — r-^ ■1 niT

^ 2 1 (4.15)

Da c omparação entre as expressões (4.15) e (3.02) o b ­ tém-se os coeficientes , para o c a rregamento retang ul ar no c i ­ lindro, como segue:

z . H E Í L sen Í H i sen

on nir2 I £ (4.16)

sendo: n = 1, 2, 3, 4, e :

Z_{mn Í S t ã} 8p r . _{sen —}nirb _sen mirC? (4.17J

o n d e : m e n = 1 , 2 , 3, 4, ....

p - intensidade da carga retangular i - c omprimento do cilindro

2 5

o rigem do eixo x.

C2 - metade do comprimento do carregamento na direção axial do cilindro.

Estas grandezas estão indicadas nas figuras 4.01, 4.02 e 4.03.

4.2 - C AR RE G A M EN T O S RADIAIS C O NC EN TR AD OS

Carregamentos radiais concentrados, figura 4.04, p o d e m ser considerados eomo casos p a rt i cu l a r es de c a rr egamentos radiais inscritos em retângulos na s uperfície do cilindro.

FIGURA 4.04 - Cargas radiais concentradas.

Desta forma, uma carga c oncentrada P* pode ser s i m u l a ­ da por um carregamento equivalente, p, d is t ri bu íd o numa p eq ue na ãrea retangular de lados 2 C 2 e 2 a^i, como segue:

2e

P* = 4C2<|)iap (4. 18)

ou

p = 4C2<j>ia (4.19)

Com a substituição da equação (4.19) em (4.16) e (4.17) e fazendo C2 e <()j tenderem a zero, obtêm-se:

sen (4.20)

on Tiaíl £ ^ ^

onde P* é a carga conce nt r ad a e r o número destas na direção de um paralelo.

4.3 - LINHAS DE CARGAS RADIAIS S E GUNDO A D I REÇAO DE UM PARALELO.

-Linhas de cargas radiais, segundo a direção de um p a ra leio (figura 4.05), p o d e m ser, também, consideradas como casos par ticulares de carregamentos radiais uniformes inscritos em r e t â n g u ­ los sobre a superfície de cilindros.

Sendo assim, uma carga linear unifor m en te d i s t r i b u í d a qo, segundo o comprimento 2 a<í)i, um paralelo, pode ser s i mulada pelo carreg am en to uniforme p inscrito no retângulo de lados 2 C 2 e

2 a<j) 1 , como segue : , ; ‘ I '

2 a ^ i . qo = 4pC2a(()j logo:

•2 7

FIGURA 4.05 - Linhas de cargas radiais segundo um paralelo.

S u bs ti tu in do a equação (4.22) em (4.16) e (4.17), e em seguida, para que o retângulo se torne uma linha, faz-se C2 tender a zero, o que resulta:

Z . 2 r a ^

On TT £ l (4.23)

mrb

(4.24)

onde qg é a carga distri bu íd a linearmente na direção de um paralelo.

4.4 - ANEL DE C AR REGAMENTO

Anéis radiais de c a r r e g a m e n t o s , figura 4.06, p o d e m ser considerados como particularizaçoes de linhas de cargas radiais em

2 8

u m paralelo.

Sendo assim, ê fãcil v i su al iz ar na figura 4.05, que se o ângulo <j)i for aumentado de forma que o seu p ro d ut o pelo n umero "r" de cargas resulte em um ângulo ir, as cargas intermitentes que c ompõem as linhas de'carga sobre um paralelo, se tornarão c o n t í ­ nuas formando um a n e 1, conforme desejado. A condição para que isto ocorra ê dada por;

<j)1 - (4.25)

Com a substituição da equação (4.25) em (4.17) e (4.18) o b t é m - s e :

29

z ■

= 0

4.5 - LINHAS DE CARGAS RADIAIS A O LONGO DE M E RI DI A NO S

Linhas de cargas radiais, dispostas ao longo de r m e r^ dianos de uma casca cilíndrica, como ilustra a figura 4.07, t ambém p odem ser analis.adas pela formulação abordada.

F IGURA 4.07 - Linhas de cargas.

Sendo assim, uma carga por unidade de c o mp ri me nt o do cilindro, pode ser simuladá por uma carga p distri b uí da em uma ãrea 4 C 2 <f)ia, como segue:

30

Ao isolar-se a carga equiva le nt e p, da equação a n t e r i ­ or , o b t e m - s e :

Com a s u bstituição da e q uação (4.29) em (4.16) e (4.17) e em seguida fazendo-se com que (j)i tenda a zero, obtêm-se de (4.16) e (4.17) as seguintes equações modificadas:

2

, imx

^

on nir2 a z l ^

onde m e n = 1 , 2 , 3,

Nas equações (4.30) e (4.31) ao considerar-se que

2C2 = Ji e b = 1 / 2 , consegue-se ter linhas de carga ao longo de . t o ­ do o c omprimento do cilindro em "r" meridi a no s e, com estas modifi^ cações, as duas ultimas equações transf or ma m- se em:

7 = ^ s e n 2 ( à 321

^ o n m r 2 a , 2 (4.óZj

7 = .4rqx sen 2 - — (433')

^mn nTT2 a 2 1,4.

onde n = 1, 2, 3

Estas duas últimas equações são casos partic u la re s de (4.30) è (4.31), p o r e m 0 seu desenvolvimento ê justificável em ra­ zão da sua m el ho r p re cisão para o uso em computadores.

31

4.6 - M O M E N TO S NA D I REÇAO C I RC UN FE R EN C I A L

M om entos na direção c i r c u n f e r e n c i a l , segundo um p a r a l £ lo e em número igual a "r", figura 4.08, p o d e m ocorrer em cascas cilínd r ic as devidos a ganchos e suportes soldados na parte e x terna da casca, com a finalidade de p er mitir o transporte e fixação do elemento em sua fundação.

FIGURA 4.08 - Momentos circunferenciais concentrados ao longo de um paralelo.

Estes momentos p o de m ser simulados por c a rregamentos retangulares constantes ao longo dos paralelos, linearmente v a r i á ­ veis ao longo dos meridianos, como é visto a seguir.

Para o d e se n v ol vi me nt o das equações que fornecem as con^ tantés da serie dos carregamentos, parte-se da equação (4.10), r e ­ pe t id a a seguir:

32'

FIGURí\ 4.09 - Cargas retangulares variãveis com x.

Consi d er an do que na expressão (4*34) a carga p seja £un ção de X, figura 4.10, equação (4.35), consegue-se fazer com que o

c ar r eg am en to seja variável ao longo do meridiano.

o n d e : p = ex + d e = P6/ C 2 d = p o b / C2 (4.35) (4.36) (4.37)

Po= valor máximo da carga d is tr ib uí da

Introduzindo-se (4.35), (4.36) e (4.37) em (4.34) o b ­ têm-se a seguinte expressão:

C2

3i3

FIGüRA 4.10 - Forma do c a rregamento ao longo do e i x o x

Com p r o c ed i me nt o exatamente igual ao a presentado no í- tem 4.1, determina-se os coeficientes da serie dos carregamentos, Zon ® ^ m n ’ mostrados a seguir.

r, _ 4r<t>ipo f l ___ m r C ? ^ m r C ? ^ ____

^ o n - sen n-rrC' - C^cos - ^ ) cosmrC' nírb (4.39)

' mn 8pQ__ r ± _ 3

^ ^

ir ^C^rnn m r

nirC:

- C2 COS --T ^ ) senrnrC ? N 1) cos ^ (4.40)

o n d e :

r - n úm er o de cargas ao longo de um paralelo; Po - m a gn it ud e m áxima da carga variável;

b - cota do centro da carga ao longo do comprimento do c i ­ lindro.

34

4.7 - S U P E RP OS IÇ Ã O DE TIPOS DE C A R R EG AM E NT OS

Normalmente, em estruturas reais, os c ar re ga me nt os que o co r r e m, d i f ic i Im e n t e são os casos p a rt ic ul ar es que foram m os tr a do s nos Itens anteriores, p o r é m uma boa p a r c e l a deles pode ser obtido pe l a s u pe rp os iç ão dos casos.

A superp o si çã o dos^casos aqui apresentados, pode ser feita não através da s u perposição dos r esultados mas ,apenas pela soma direta dos coeficientes dos termos das séries que r e p r e s en t am cada caso p ar ti cu la r de carregamento, para r epresentar o c a r r e g a ­ mento existente. Com este processo, os c o eficientes das séries dos ca r regamentos são transformados para o desejado, e o p ro cesso a par tir dai para a determ in a çã o dos coeficientes das séries dos e s f o r ­ ços e dos deslocamentos, não é alterado, já que são obtidos d i r e t a ­ mente a partir dos coeficientes dos carregamentos.

Pode-se n o ta r que a p r ec is ão do r es ul ta do obtido a par tir da soma dos coeficientes das séries de c ar r eg am en to será mais eficiente, tanto em rapidez e precisão, do que a s u perposição dir^ ta dos resultados, pois os erros de t r uncamento e operações d e s n e ­ cessárias serão reduzidos drasticamente.

3’5'

C A PÍTULO 5

RE P RE SE NT AÇ Ã O DOS D E SL O CA M E N TO S u e v N A FORMA DE SÉRIES

5.1 - D E SL OC AM E NT OS NAS DIREÇÕES x e <t> EM FUNÇAO DO D E SL O CA M E N TO R ADIAL

Conforme visto a nt er io rm en te o d e s l o c am e nt o radial ê dado p e la equação:

w =^^Io % n COS rm<í. sen ^ x (5.01)

Ao se d e s en vo lv er os deslocamentos u e v, em series du pias de Fourier, como segue:

u = U m n C O S rm<j) cos ^ x (5.02)

CO 0 0 T I 7T

^ " mSo n^l ^mn sen rm<), sen — x (5.03)

é p os sível a relação dos coeficientes U^m e Vj]m, das expres sõ es (5.02) e (5.03), com os c o eficientes da expressão (5.01) a t r a ­ vés das equações (2.18) e (2 .2^) repetidas abaixo:

_ 9 9 ' 1 + v t^ , 3 8

^ ' 3 x 3 “ a 2 3 x 3 ( j ) 2 1 - v 1 2 a 2 ^ 3x33((,2 a ^ d x d í p ^ ^ ’ ^

r,r7k.r - í" 9 J- 'l 9 ^W' d^W . 2 3. 3 ^ a3x 2 9 é a33(|)3 1 2 a 2 ^l-v 3x^3é

A analise das equações (5.02) e (5.03) c o nfirma que ,pa ra os apoios ,os d e slocamentos u são diferentes dè zero e os d e s l o ­ camentos V e w são nulos, conforme figura 3.02, sendo que, a forma somente par de u e somente impar de v ê devida ãs relações que e- x istem entre estes deslocamentos e o desloc a me n to radial w (equa­ ção (5.01 ) ), dadas pelas equações (5.04) e (5.05).

S u bs ti tu in do as expressões (5.01), (5.02) e (5.03) em (5.04) e (5.05) obtém-se os valores de Umn e Vmn em função dos coe f icientes Wj^n:

Umn - '(A2 + r^2m 2 ) 2 ^ ^ m n (5.06)

V m n - X x 2 + r2m'5)2 { (2 + v) x2 + r 2 m 2 + ( ^ ^ x2 +

r2m2)} Wnm (5.07)

Com as equações (5.06) e (5.07) as expressões (5.02) e (5.03) p o de m ser escritas como segue:

U = X r ? 7 ,9 . 1 + V t2r2ffl2 * 1^ - T T á ^ * r2m 2 )) W m n C O S . rmi}i cos — x (5.08) 3. m^O n^l X r2 + r 2m 2 j 2 ^ ( 2 + v) X^ + r^m^ 1 2 a 2 ^1 -v + ^ r2m2x2 + r'+m'M W^n sen rmcf) sen 4 ^ (5.09) J. ■" V ã

as quais répres en ta m os d e slocamentos das direções axial e t r a n s ­ versal do cilindro.

3 7

CAPITULO 6

SÉRIES DOS E S FORÇOS R ESULTANTES

6.1 - E SF ORÇOS R E SU LT AN TE S EM FUNÇAO DOS COEFIC I EN TE S DAS SÉRIES I

DOS D E SL OC AM EN TO S

Os esforços resultanteâ, eq-tfSÇoes (A2.10) do A p ê n d i ce A 2 , p o d e m ser postos em função dos desloc am en to s através das e q u a ­ ções (A3.01), ( A 3 . 0 2 ) , C A3 . 03 ), (A3.08), (A3.10a) e (A3.17) do A pê n dice A3 como segue;

Et r3u . 9v W. i Ny = T— - — } a94> a 1 - v 2 dx

(

.

)

(

.

)

r,,

Porem os d es locamentos u e v estão r e lacionados com o desloc am en to w através das equações (5.04) e (5.05) e p or ta nt o as equações (6.01)

a (6.06) p o d e m ser escritas, com o auxílio das equações (5.08) e (5.09), da seguinte forma:

onde : N Et 00 oo X 1 a2 A . V r r ^ m ^ B C2 - i D E t “ “ r ' ^ X 2 ^ _ I j - r 2 ^ 2 g m = 0 n = l W C 2 a L q 2 J > ^x<t) ^((.x 2 (l + v) m =0 iJl a C 2 = •D oo E „ ooE , m=0 n=l oo 00 M , = - D E n £ i m=0 n - 1 - V M = -M = W - v ) - “ Arm r _ ^ _ , X(j> a mSo n^l a ^ 2 ^mn 38 COS rm(j) sen — x (6.0 7)

Wjnn COS rni(t) sen — x (6.0 8)

sen rmíj) cos — x

a (6.0 9)

W^in cos rm(j) sen — x (6 .1 0 )

Wmn C O S rmcj) sen — x a

(

.

)

(

.

)

C = + (rm) D = Et3 1 2 ( l - v 2 ) 39 (6.15) (6.16)

4 0

CAPÍTULO 7

A P R E S E NT A ÇA O DOS RESULT AD OS

7.1 - INTRODUÇÃO

0 o b je ti vo deste capítulo ê a comparação dos r e s u l t a ­ dos obtidos p el a solução p r op os ta com os resultados do método de elementos finitos e com os resultados a pr esentados na r ef er ên ci a ij, de forma que se possa ter uma idêia da precisão do método, b e m como a sua validade, para vários tipos de carregamentos que a solu ção permite.

7.2 - COMPARAÇÃO., DOS RESULTADOS COM OS VALORES OBTIDOS^ POR B U L A M ®

Bijlaard, referência ll|, usando o mesmo método de s o ­ lução, apresenta resultados para a analise de cilindros com cargas radiais inscritas em retângulos. As tabelas 7.01, 7,02 e 7.03, a- p r es entam a comparação destes resultados com os resultados obtidos neste trabalho, na forma a d i m e n s i o n a l , para três geometrias distin tas de cilindros.

A região retangular da superfície do tubo, fig. 7.01, na qual está aplicada a carga distribuída, tem as suas dimensões regidas pelo segui nt e padrão:

31 = C l / a = 1/8 (radianos) (7.01)

41

onde as variáveis Cj a e <)) ^ estao indicadas na figura 7.01

F I G U R A 7.01 - G r a n d e z a s do c i l i n d r o e do c a r r e g a ­ m e n t o

42

Ta b e l a 7.01 - C ar re ga me nt o radial inscrito em u m retân guio da superfície do tubo cilíndrico com ô = a/t = 1 5 e X 1 p . t—t u e -O CvJ hO Cvl ... t n o r o CNJ r o o Ç u r —t _{vO c n} • e C J (NJ rH ;2 : i-H f-H CO o - e - vO o •> 11 (NI u o D . o o C J LO t o o LO ■e- rH 1-H 0 0 03 ' <N ♦' O / O o LO i-H CNJ (NI CO U hO t n o - e f-H r—1 rH €• - e - r- _o 03 O o 1 P . - w r—1 U o r -r - - r --e - CNl CM O Cd t o t o II 3 ■P oS un u o II ... /f-H <o rH . 0 ç,\0 o j •H o3 U L » ■ d PJ' CJ <<L) O T •H í-í c) «D ■(-) :3 m t 2 • H

43

T ab e l a 7,02 - C ar r eg am en to radial inscrito em um retân guio da s uperfície do tubo cilíndrico, com ó = 15 e a = 10 P . t n LO X 0 0 o 2 OO -e - O 1 CnÍ 1 Ç h c n “8 u o ÍZ I—1 CvJ vO -e - LH ‘ 1t OJ LO ç u CnJ 1 -^ O o C J r-H PH O X fH s -0- #> 05 O CU K ) 0 0 «—1 _{vO cr> c n} u t o ■ B i-H rH s : r. CM Ó3 O O I •=3-Ph f—t _{c n} ,'W U vO O ) c n 3 : c n -e - LT) LO t o 1 1 oJ O o rH rH II i3 ■P "ctí lO LO 1r rH rH <o rH o\o 03 •H cti Ü Uo p: ÍH p: (D <(p <D 0) . T 3 CD <y b o ■P m :3 m o ; o •rH o í ÍX, Q

44

T abela 7.03 - C arregamento radial inscrito em um retân guio da superfície do tubo cilíndrico, com ô = 50 e a = 8 Ph o u vO v o LO z r-H O o O ■e- r r-1 oo oo O o r-H - e o " 0 0 o 0 0 •—* K ) \ o -e - r« «N 11 vO vO Osl a t o i-H ' 0 0 O LO LO •—i _{O o o} ; s -e - *' 03 O o LO K ) u " ^ o vO -e CTí o> i-H - e - O ' O cü «N O O O ■ ..W _{C s]} rH r-H rH o> c n -e- vO .• vO O Cd OÍ CO 0 0 . 111 E3 4-> . ct3 , O O II LO LO ÍO T-“( onO, •H o3 u c ÍH o <<D 0 ) Cü " d ' H c 0 • ÍH <D <1-J m ;3 m : <D o •H Uh Q

4S

Na referê n ci a [l], t ambem são a p resentados os r e s u l t a ­ dos de desloc am en to s radiais, para cargas radiais c o n c e n t r a d a s , P, aplicadas em'cilindros de três geometrias distintas. Estes r es ul ta dos são a pr esentados nas tabelas a seguir, como p ar âm et ro de r e f e ­ rência p a r a os resultados aqui obtidos.

T abela 7,04 - Compa ra ça o do m aior d e sl oc am en to radial para cilindros ' com geometria'6’'=^1^

Método 6 = a/t a = í / a w Ea / P

Referência 1 15 3 300

Fourier 15 3 ‘ 29 8

Diferença l 0,67

Tabela 7.05 - C omparação do d e sl oc am en to radial para cilindro carregado com carga radial c o n ­ centrada e g e o metria ô = 15 e a = 10 Método 6 = a/t a = 1 / a w E a / P R eferência 1 15 1 10 601 Fourier 15 10 629 Diferença % ... -4,66

46

T ab e l a 7.06 - C o mp ar a çã o do d es lo ca me nt o radial p ar a cilindro carregado com carga radial c o n ­ ce n tr ad a com geometria 6 = 50 e a '= 8

M étodo 6 = a/t a = í / a w E a/ P

R e f e rê nc ia |l 50 8 7631

Fourier 50 8 769 2

Diferença % -0 ,80

As c omparações apres e nt a da s nas tabelas 7.01 a 7.06,

'

I

são relativas aos valores máximos de d es locamentos e solicitações. Os resultados para esta comparação, foram obtidos pelo método desenvolvido, a partir das series duplas de Fourier, por i s ­ to mesmo, aqui, d enominado de Fourier. As series foram e xpandidas em cento e vinte (120) termos em cada direção, enquanto que a refe rência |ll, usando o mesmo método, u ti li zo u apenas sessenta e um

(61) termos.

7.3 - C IL INDRO CARREGADO COM P R ES SA O INTERNA

Para o caso de p r es sã o interna, a analise de esforços e desloc a m en to s foi feita para um tubo cilíndrico de raio de 300 mni, compri m en t o de 880 mm e e sp es su ra de parede de 2 0 mm. 0 m ódulo de elast i ci da de E = 210 GPa e coefic i en te de P oisson v = 0,3 são as propri e da d es físicas do m at erial do tubo. A excitação, p re s s ã o i n ­

47

terna, ê igual a 0,6 MPa.

0 p a r â me tr o de compa r aç ão foi obtido do p ro gr a m a de e-' lementos finitos PROASE/Y75. Para m o d e l a g e m do problema, p a r a o mê todo de elementos finitos, p a rt iu -s e de elementos de placas r e t a n ­ gulares e constr ui u- se um modelo e quivalente a q u arta parte do c i ­ lindro completo, conforme pode ser visto na figura 7.02. A razão de ser usado a p e nas,a q uarta parte do cilindro, ê a e xi st ên ci a de dois planos de simetria para o m o delo completo com qualquer c a r r e ­ gamento localizado na posição média do comprimento do cilindro.- Desta forma, os resultados de referência, p a r a todas as c o m p a r a ­ ções a serem realizadas neste trabálho, serão . obtidos a p a rt i r de£ te modelo, apenas com as devidas alterações nos carregamentos.

PARALELO MéOlO

FIGURA 7.02 - Esquema da m a lh a de elementos finitos usada.

48

0 modelo composto de 264 elementos de placas r e ta n g ul a res, com 40 m m por 39,24 mm, não possui alguma restrição de d e s l o ­ camento e rotação, salvo aqueles elementos em cujos nos estão os planos de simetria e apoios, aos quais condições de contorno a d e ­ quadas foram aplicadas. Os carregamentos são aplicados como forças nodais equiv a le nt es a força d i st r i bu id a no elemento. Na figura 7.02 estão repre se nt ad as as grandezas e v ár iãveis neces sá ri as p a r a a in terpretação dos resultados que são á présentados a seguir.

49 T a b e la 7.07 - D e s l oc am en to s axiais ao longo de u m m e r ^ diano. O rd e n ad a X (mm) u.lO^ (mm) Di£. PROASE FOURIER 0 -5,2558 -5,2698 -0,27 40 -5,1038 -5 ,1086 -0,09 80, -4,7088 -4,7035 0 ,11 120 -4,1908 -4 ,1842 0,16 160 -3,6402 -3,6368 : ■ >:0v*r9^ 2 00 -3,0973 -3,09 70 0,01 240 -2,5697 -2 , 5709 -0,05 280 -2,052 5 -2,0537 -0,06 32 0 -1,5396 -1,5402 -0 ,04 36 0 -1,0271 -1 ,02 7-2 -0,01 400 -0 ,5139 -0 ,5138 0,02 440 0,0000 0 ,0000 0,00 »(mm) F I GU RA 7.03 - D es lo ca m en to axiais ao longo de um

50 Ta b e l a 7.08 - Deslocamentos r a d i a i s ao longo de uin iiieri

diano. O r de na do X (mm) w . 10^ (mm) D i f . “s PROASE FOURIER 0 0,0000 0/,0000 0 ,00 40 . 0,7601 0 ,7643 -0,55 80 1,2150 1,2036 0 ,94 120 1,3746 1,3574 1,25 160 1,3781 1,3656 0,91 200 ^ 1,3 364 1,3315 0,37 240 1,3013 1,3017 -0 ,03 28 0 1,2843 1,2866 -0 ,18 320 1,2803 1 ,2823 -0 ,16 360 1,2817 1,28 28 -0,09 400 1,2 840 1,2 84 2 -0,02

44P

F IGURA 7.04 - Deslocamentos radiais ao longo de um meridiano.

51

um m e r i d i a n o .

Ta b e l a 7.09 - Esforço normal da direção ()> ao longo de

O r de na d a N,.10"^ (N/mm) - Dif x ; ■■ q.ò PROASE FOURIER 0 0 ,0000 .0,0000 . 0,0 40 -10 ,6420 -10 ,6998 -0,54 80 -17,0103 -16,8507 0,94 120 -19 ,2453 -19,0031 160 -19,2943 ‘ ^19,1184-^ 0,91 2 00 -18,7104 -18,6412 0,37 240 -18,2195 -18,2 2 38 -0,02 2 80 -17,9818 -18 ,0121 -0,17 320 -17,9225 -17,9516 -0 ,16 360 -17,9464 -17,9586 -0,07 400 -17 ,9774 -17,9786 -0,01 440 -17,9901 -17,9872 0,0^2

Figura 7.05 - Esforço normal da direção ^ ao longo ; de um m e r i d i a n o .

5 2 T ab e 1 a 7.10 - M omento diano. da direção X ao long( Or d en ad a Mx . 1 0 " ^ (N) Di£. ; 0 X 0 (mm) PROASE FOURIER 0 -0,0005 0,0000 100,00 40 36,4777 34,2027 6,24 80 29 ,822 2 27,4300 ' 8,02 120 14 ,1956 12 ,8503 9,48 160 3,2 780 2,9030 11,44. 200 -1,2854 -1,3873 -7,93 240 -1 ,9693 -2,1916 -11,29 280 -1 ,2549 -1 ,6895 -34,63 320 -0,4748 -1,1137 -134,56 360 -0,2488 -0,7264 -119 ,96 400 0 ,1480 -0,5622 -440 0,1801 -Ó ,5476

-FIGURA 7.06 - M om en to da direção x ao longo de um m e r i d i a n o .

53 'abela 7.11 - Momento i diano. da direção (}> ao longo O rd e n ad a _{M^ . 10-^' (N)} Dif X _l (mm) PROASE F O URIER 0 0,0000 0 ,0000 0 , 0 40 ' 10,9420 9,0720 17,09 80 8,9446 6 ,^35 6 7 28,93 120 4,2561 1,7436 59 ,03 160 0 ,9809 -1 ;2 534. : : 2 2 7 , .7 8 -i 200 0,3880 -2,4874 741,08 240 -0,5935 -2 ,.6823 351 ,95 2 80 -0,3796 -2 ,508 2 -560,75 320 -0,1453 . -2 ,3287 1502 ,68 360 -0 ,0110 -2 ,2133 -400 0,0402 -2 ,1663 -440 0,0473 -2 ,1629

-F IGURA 7.07 - M o me nt o da direção ao longo de um m e r i d i a n o .

54

Para este caso, o tubo cilíndrico a ser excitado ê i- dêntico ao m odelo do item 7.3, apenas com m ud an ça de carregamento, que p as s o u a ser anelar, coni compri me n to de 240 mm e intens i da de de 0,6 MPa, e colocado exatamente na p o sição média do tubo, como pode ser visual iz ad o na figura 7.08, abaixo.

7.4 - A N EL DE C AR GA LARGO

FIGURA 7.08 - Cilindro com anel de carga.

Os resultados de referência, obtidos do método de e l e ­ mentos finitos, são determinados a p a rtir do m o de l o padrão, especi^

ficado no item 7.03, apenas com as alterações necessárias no carre

g a m e n t o . .

A seguir apresenta-se a c omparação dos resultados dos deslocamentos e as solicitações, obtidos pelo PROASE Y/75 e Fourier.

55

T ab e la 7,12 - D es lo ca me n to s a xiais ao longo de um meri d i a n o . O r d e n a d a X (mm) u . 10 3 (mm) , D i £ . % P R O A S E F O U R I E R 0 . -0,5138 -0 ,5138 0,0 40 -0,5135 -0,5136 -0,02 80 -0,5128 -0 , 5132 -0,08 120 -0,5127 -0,5132 -0,10 160 -0,5150 -0,5154 -0f08 200 -0,522 3 -0,5217 0, i: 240 -0,5352 -0,5330 0 ,41 280 _-0,5467 -0,5435 0,59 32 0 -0,5342 -0,5334 0,15 360 -0,4565 -0,4622 - 1 , 2 S 400 -0,2735 -0 , 2831 -3,51 440 0,0000 0,0000 0,0

F IGURA 7.09 - D e sl o c am en to axiais ao longo de um meridiano.

5 6 Ta b el a 7.13 - D e sl oc a me nt os radiais ao longo de um me r i d i a n o . Ordenada X (mm) w . 10^ (mm) Di£., % PROASE FOURIER 0 0,0000 0,0000 0,0 40 0,0157 0 ,0108 31,21 80 0 ,0186 0,0092 50,54 120 -0,0126 -,0 ,0193 -53 ,17 . 160 -0,1050 -0 ,0965 8,10 2 00 -0,2602 -0,2250 13 , 53 240 -0,3838 -0,3201 16,60 280 -0,1911 -0,1282 32 ,91 320 0,815 7 0,8099 0,71 360 3,0724 2,9 635 3,54 400 6,0748 6,0183 0,93 440 7,6011 7,6453 -0,58 x ( m m ) FI G UR A 7.10 - D e s l oc am en to radiais ao longo de um m e r i d i a n o .