Modelagem matemática e computacional do processo de filtração profunda em meios porosos
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(2) Eduardo Rangel Gomes. Modelagem Matem´ atica e Computacional do Processo de Filtra¸c˜ ao Profunda em Meios Porosos. Trabalho apresentado ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ ao em Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigˆencias legais para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre.. ´ Area de Concentra¸c˜ao: Modelagem Matem´atica. Orientador:. Prof. Dr. Sidarta Ara´ ujo de Lima. Co-orientador:. Prof. Dr. Adriano dos Santos. Natal - RN Novembro de 2015.
(3) Eduardo Rangel Gomes. Modelagem Matem´ atica e Computacional do Processo de Filtra¸c˜ ao Profunda em Meios Porosos. Trabalho apresentado ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ ao em Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigˆencias legais para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre.. ´ Area de Concentra¸c˜ao: Modelagem Matem´atica. Aprovado em:. /. /. Banca Examinadora:. Prof. Dr. Sidarta Ara´ ujo de Lima Departamento de Matem´atica - UFRN Orientador. Prof. Dr. Adriano dos Santos Departamento de Engenharia do Petr´oleo - UFRN Co-orientador. Profa . Dra . Viviane Klein Departamento de Matem´atica - UFRN Examinador Interno. Prof. Dr. Ricardo Coelho Silva Departamento de Estat´ıstica e Matem´atica Aplicada - UFC Examinador Externo.
(4) Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.. Gomes, Eduardo Rangel. Modelagem matemática e computacional do processo de filtração profunda em meios porosos / Eduardo Rangel Gomes. - Natal, 2015. xii, 93f. : il. Orientador: Prof. Dr. Sidarta Araújo de Lima. Coorientador: Prof. Dr. Adriano dos Santos. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística. 1. Modelagem matemática. 2. Filtração profunda. 3. Exclusão pelo tamanho. 4. Modelo estocástico. 5. Distribuição de tamanhos de partículas e poros. 6. Métodos de volumes finitos. 7. Métodos de alta ordem. I. Lima, Sidarta Araújo de. II. Santos, Adriano dos. III. Título. RN/UF/BSE-CCET. CDU: 519.673.
(5) “O que sabemos ´e uma gota; o que ignoramos ´e um oceano.” Isaac Newton. ii.
(6) Dedico esta Disserta¸ca˜o de Mestrado a minha m˜ae, Assun¸c˜ao Rangel, por representar meu maior exemplo e experiˆencia de amor, amizade e lealdade e, sobretudo, pelo apoio e dedica¸ca˜o.. iii.
(7) Agradecimentos Tenho muito a agradecer, a come¸car gostaria de agradecer a Deus por toda a for¸ca e prote¸c˜ao durante toda a minha vida e principalmente enquanto me dedicava aos estudos. Aos que participaram de minha vida, de forma direta, a toda minha fam´ılia e quero agradecer especialmente a minha m˜ae, Assun¸ca˜o Rangel, por toda a parceria com que me acompanhou em toda essa longa jornada, pelo amor, apoio e compreens˜ao e por representar meu esteio e por ter contribu´ıdo no processo de minha forma¸ca˜o. Aos professores do Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica, pelo conhecimento adquirido durante o Mestrado, quero agradecer especialmente ao Prof. Dr. Sidarta Ara´ ujo de Lima e ao Prof. Dr. Adriano dos Santos, do Programa de p´os-gradua¸ca˜o em ciˆencia e engenharia de petr´oleo, pela orienta¸ca˜o durante o curso de Mestrado. Ao Prof. Dr. Ricardo Coelho Silva (UFC) e a Profa . Dra . Viviane Klein (UFRN) pela contribui¸ca˜o na defesa de disserta¸c˜ao do mestrado. Agrade¸co tamb´em ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada e Estat´ıstica e a UFRN pelo apoio e infraestrutura durante todo o curso do Mestrado, e principalmente a CAPES pelo apoio financeiro. Por fim, a turma do Mestrado de 2013, que estavam na caminhada junto comigo com o mesmo objetivo e que de alguma forma contribu´ıram com essa minha conquista: July Herbert, F´abio, Wenia, M´arcia Gabriele, Renato. Entre outros amigos e pessoas que torceram e me apoiaram durante todo o tempo.. iv.
(8) Resumo O trabalho de pesquisa objetiva desenvolver uma modelagem matem´atica e computacional do processo de filtra¸ca˜o profunda durante o transporte de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos. Inicialmente, desenvolvemos um modelo matem´atico estoc´astico baseado em equa¸co˜es diferenciais parciais para modelar o processo de filtra¸ca˜o profunda em meios porosos com a exclus˜ao pelo tamanho como mecanismo de captura. O modelo ´e constitu´ıdo das equa¸co˜es da conserva¸c˜ao de massa de part´ıculas em suspens˜ao, cin´etica de captura de part´ıculas e cin´etica de obstru¸ca˜o de poros. Considerando algumas hip´oteses, foram obtidos modelos matem´aticos reduzidos, e consequentemente foram obtidas algumas solu¸co˜es anal´ıticas para o transporte de part´ıculas e cin´etica de obstru¸ca˜o de poros. Do ponto de vista num´erico, propomos algumas formula¸co˜es de m´etodos de volumes finitos de primeira e segunda ordem n˜ao-oscilat´orios, satisfazendo uma condi¸c˜ao CFL. Deduzimos formula¸co˜es preliminares discretas dos m´etodos de Lax-Friedrichs (LxF) e Nessyahu e Tadmor (NT) baseados no algoritmo REA, com o intuito de introduzir as ideias iniciais do m´etodo de volumes finitos de Kurganov e Tadmor (KT). Realizamos a discretiza¸ca˜o do m´etodo KT para equa¸co˜es diferenciais hiperb´olicas homogˆenea e n˜ao-homogˆenea com o objetivo de simularmos o processo de filtra¸ca˜o profunda. Para a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do transporte de part´ıculas utilizamos o m´etodo KT e para a cin´etica de obstru¸c˜ao de poros fizemos uso da fam´ılia de m´etodos de Runge-Kutta. Simula¸co˜es num´ericas foram realizadas utilizando as formula¸co˜es discretas obtidas via m´etodos de volumes finitos e o m´etodo de Runge-Kutta, com o intuito de analisar a acur´acia e eficiˆencia da metodologia num´erica apresentada. Finalmente, utilizamos a metodologia num´erica proposta com o objetivo de obtermos solu¸co˜es num´ericas do processo de filtra¸ca˜o profunda, e consequentemente comparar os resultados num´ericos com as solu¸co˜es anal´ıticas obtidas para os modelos matem´aticos reduzidos, possibilitando avaliar a acur´acia das formula¸c˜oes discretas. Por fim, propomos solu¸co˜es num´ericas do processo de filtra¸c˜ao profunda para avaliarmos como ocorre o transporte de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos. Para isso, foram utilizados diferentes distribui¸c˜oes de tamanhos de part´ıculas e poros.. Palavras-chaves: Filtra¸c˜ao profunda, Exclus˜ao pelo tamanho, Modelo estoc´astico, Distribui¸ca˜o de tamanhos de part´ıculas e poros, M´etodos de volumes finitos, M´etodos de alta ordem. v.
(9) Abstract The objective of this research work is to develop a mathematical and computational modeling of depth filtration process during the transport of suspendend particles in porous media. Initially, we developed a stochastic mathematical model based on partial differential equations to model the depth filtration process in porous media with the size exclusion as the capture mechanism. The model consists of the equations of conservation of mass suspendend particles, particle-capture kinetics and pore-blocking kinetics. Considering some hypothesis, reduced mathematical models were obtained, and consequently some analytical solutions were obtained for the transport of particles and pore-blocking kinetics. From the numerical viewpoint, we propose some finite volume methods formulations of first and second order non-oscillatory, satisfying a CFL condition. We deduce discrete preliminary formulations of the methods Lax-Friedrichs (LXF) and Nessyahu and Tadmor (NT) based on the algorithm REA, as the purpose of introducing the initial ideas of the finite volume method of Kurganov and Tadmor (KT). We conduct discretization KT method for hyperbolic differential equations homogeneous and non-homogeneous in order to simulate the depth filtration process. For the resolution of the particle transport equation use the KT method and the pore blocking kinetics family Runge-Kutta methods. Numerical simulations were performed using the discrete formulations obtained via methods of finite volume, in order to analyze the accuracy and efficiency of the numerical methodology presented. Finally, we use numerical methodology proposed with the purpose of obtaining numerical solutions of the depth filtration process, and therefore to compare the results obtained with analytical solutions to mathematical models reduced, making it possible to evaluate the accuracy of discrete formulations. Lastly, we propose numerical solutions of the depth filtration process to evaluate occurs as the particles in suspension transport in porous media. For this, used were different particle and pores sizes.. Keywords: Depth filtration, Size exclusion, Stochastic model, Distribution of particles and pores sizes, Finite volume methods, High order methods.. vi.
(10) Sum´ ario 1 Introdu¸c˜ ao. 1. 2 Modelagem Matem´ atica do Fenˆ omeno de Filtra¸c˜ ao Profunda 2.1 Modelo Cl´assico de Filtra¸c˜ao Profunda . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modelo Estoc´astico para a Exclus˜ao pelo Tamanho . . . . . . . 2.3 Distribui¸c˜ao Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Equa¸c˜oes Governantes em Termos de Delta de Dirac . . . . . . 2.5 Sum´ario de Equa¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. 6 6 8 12 14 15. . . . .. 17 17 20 22 24. . . . .. 28 28 29 30 34. 5 M´ etodo de Kurganov e Tadmor 5.1 Discretiza¸c˜ao do M´etodo KT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Discretiza¸c˜ao do Modelo de Filtra¸c˜ao Profunda . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39 39 48. 6 Simula¸co ˜es Num´ ericas do Processo de Filtra¸c˜ ao Profunda 6.1 Simula¸c˜ao do Transporte de Part´ıculas Pequenas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Simula¸c˜ao Considerando Pequena Varia¸ca˜o no Tamanho de Poros . . . . . . . 6.3 Cen´ario A: Simula¸ca˜o Considerando um Tamanho de Part´ıcula e dois Tamanhos Distintos de Poros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56 56 61. . . . . .. . . . . .. 3 Modelos Matem´ aticos Reduzidos ´ 3.1 Modelo com Unico Tamanho de Part´ıculas e de Poros . . . . . . . . 3.2 Modelo com Pequena Varia¸ca˜o no Tamanho de Poros . . . . . . . . 3.3 Cen´ario A: Um Tamanho de Part´ıculas e dois Tamanhos de Poros . 3.4 Cen´ario B: Dois Tamanhos de Part´ıculas e trˆes Tamanhos de Poros 4 M´ etodos de Volumes Finitos 4.1 Problema Modelo . . . . . . . . . . . 4.2 Algoritmo REA . . . . . . . . . . . . 4.3 M´etodo de Lax-Friedrichs . . . . . . 4.4 M´etodo de Nessyahu e Tadmor (NT). . . . .. vii. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. 63.
(11) 6.4 6.5 6.6. Cen´ario B: Simula¸ca˜o Considerando dois Tamanhos Distintos de Part´ıculas e trˆes Tamanhos Distintos de Poros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cen´ario C: Simula¸c˜ao Considerando quatro Tamanhos Distintos de Part´ıculas e seis Tamanhos Distintos de Poros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cen´ario D: Simula¸ca˜o Considerando oito Tamanhos Distintos de Part´ıculas e dez Tamanhos Distintos de Poros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 73 79. 7 Conclus˜ ao. 83. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 85. A Solu¸co ˜es Anal´ıticas A.1 Solu¸ca˜o Anal´ıtica da Cin´etica de Obstru¸ca˜o de Poros . . . . . . . . . . . . . . A.2 Solu¸ca˜o Equa¸c˜ao Hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Solu¸ca˜o Equa¸c˜ao Hiperb´olica com Termo de Fonte . . . . . . . . . . . . . . . .. 88 88 89 91. B condi¸c˜ ao CFL. 93. viii.
(12) Lista de Tabelas 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8. Tamanhos e frequˆencias Tamanhos e frequˆencias Tamanhos e frequˆencias Frequˆencias e tamanhos Frequˆencias e tamanhos Frequˆencias e tamanhos Frequˆencias e tamanhos Frequˆencias e tamanhos. iniciais iniciais iniciais iniciais iniciais iniciais iniciais iniciais. de de de de de de de de. part´ıculas. . . . . poros. . . . . . . . part´ıcula e poros. part´ıculas. . . . . poros. . . . . . . . part´ıculas. . . . . poros. . . . . . . . part´ıculas e poros.. ix. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 62 62 64 68 68 74 74 80.
(13) Lista de Figuras 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5. Representa¸c˜ao esquem´atica de um reservat´orio no qual ocorre o processo de recupera¸ca˜o de petr´oleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esquema mostrando a captura de part´ıculas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trajet´oria das part´ıculas nos capilares e nas cˆamaras de mistura. . . . . . . . . Esbo¸co das distribui¸c˜oes de concentra¸ca˜o de part´ıculas e poros. . . . . . . . . . Distribui¸c˜ao delta de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 8 9 13 13. 3.1. Frequˆencia de poros e part´ıculas iniciais em fun¸ca˜o do raio. . . . . . . . . . . .. 25. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5. Velocidade de propaga¸ca˜o do m´etodo de Lax-Friedrichs. . . . . . Representa¸c˜ao do volume finito em torno de um n´o gen´erico Xi . Deslocamento da malha original em ∆X/2. . . . . . . . . . . . . Esquema de Lax-Friedrichs em malha deslocada. . . . . . . . . . Constru¸c˜ao do m´etodo de Nessyahu e Tadmor. . . . . . . . . . .. . . . . .. 30 31 31 33 37. 5.1 5.2. Constru¸c˜ao do m´etodo de Kurganov e Tadmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . Constru¸c˜ao do m´etodo de Kurganov e Tadmor. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42 50. 6.1. Concentra¸ca˜o de part´ıculas adimensional em fun¸ca˜o da coordenada espacial considerando CF L = 0.5 para diferentes m´etodos num´ericos. . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas adimensional em fun¸ca˜o da coordenada espacial considerando CF L = 0.25 para diferentes m´etodos num´ericos. . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas adimensional em fun¸ca˜o da coordenada espacial considerando CF L = 0.1 para diferentes m´etodos num´ericos. . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas adimensional considerando o m´etodo NT para diferentes valores do CF L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas adimensional considerando o m´etodo KT para diferentes valores do CF L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distribui¸c˜ao de tamanhos de part´ıculas e poros em fun¸c˜ao do raio. . . . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas adimensional em fun¸c˜ao da coordenada espacial com pequena varia¸ca˜o de poros, considerando cada part´ıcula em diferentes tempos. Concentra¸ca˜o adimensional de poros abertos em fun¸ca˜o do tempo em X = 0. .. 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8. x. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 58 59 59 60 60 61 63 64.
(14) 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 6.22 6.23 6.24 6.25 6.26 6.27. Concentra¸ca˜o adimensional de part´ıculas em fun¸ca˜o de X em diferentes tempos. Evolu¸ca˜o da concentra¸ca˜o de poros no tempo para diferentes valores de X. . . Evolu¸ca˜o da concentra¸ca˜o de part´ıculas no tempo para diferentes valores de X. Frequˆencia de poros e part´ıculas iniciais em fun¸ca˜o do raio. . . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de poros em fun¸ca˜o do tempo em X = 0. . . . . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas em fun¸c˜ao de X em diferentes tempos. . . . . . . . Concentra¸ca˜o de poros em fun¸ca˜o de T em diferentes posi¸co˜es da malha. . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas em fun¸c˜ao de T em diferentes posi¸co˜es da malha. . Concentra¸ca˜o de poros e part´ıculas em fun¸ca˜o do tempo em X = 1. . . . . . . Frequˆencia de poros e part´ıculas iniciais em fun¸ca˜o do raio. . . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de poros em fun¸ca˜o do tempo em X = 0. . . . . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de poros em fun¸ca˜o de X em diferentes tempos. . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de poros em fun¸ca˜o de T em diferentes posi¸co˜es malha. . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas em fun¸c˜ao de T em diferentes posi¸co˜es malha. . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas em fun¸c˜ao de T em X = 1. . . . . . . . . . . . . . Frequˆencia de poros e part´ıculas iniciais em fun¸ca˜o do raio. . . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de poros em fun¸ca˜o do tempo em X = 0. . . . . . . . . . . . . . Concentra¸ca˜o de part´ıculas em fun¸c˜ao de T em diferentes posi¸co˜es da malha. . Concentra¸ca˜o de poros e part´ıculas em fun¸ca˜o de T em X = 1. . . . . . . . . .. A.1 Ilustra¸ca˜o da condi¸c˜ao inicial para o problema de Riemann. . . . . . . . . . . . A.2 Solu¸ca˜o do problema de Riemann no plano x − t, com F 0 (c) = k. . . . . . . . .. xi. 65 66 66 68 69 70 71 72 72 73 75 76 77 78 78 79 81 81 82 91 91.
(15) Nomenclatura α. fator de redu¸c˜ao de fluxo. β. coeficiente do termo de rea¸c˜ao. δ. fun¸c˜ao delta de Dirac. γ. fator de acessibilidade. κ(σ) fun¸c˜ao dano a forma¸c˜ao κ0. permeabilidade inicial (m2 ). λ. Coeficiente de filtra¸ca˜o adimensional. λ0. Coeficiente de filtra¸ca˜o dimensional (m−1 ). µ. viscosidade (Pa·s). c. concentra¸c˜ao m´edia em um volume finito. φ. porosidade. σ. concentra¸c˜ao total de part´ıculas capturadas (m−3 ). Σ(rs ) distribui¸c˜ao de concentra¸c˜ao de part´ıculas com raio rs retidas (m−4 ) C. distribui¸ca˜o de concentra¸ca˜o de part´ıculas em suspens˜ao (m−4 ). c. concentra¸c˜ao total de part´ıculas em suspens˜ao (m−3 ). F. fun¸c˜ao de fluxo. fσ. fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de tamanhos de part´ıculas capturas (m−1 ). fc. fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de tamanho de part´ıculas (m−1 ). fh. fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de tamanhos de poros (m−1 ). H. distribui¸ca˜o de concentra¸ca˜o de poros (m−4 ) xii.
(16) h. concentra¸c˜ao total de poros (m−3 ). L. comprimento do meio poroso (m). p. press˜ao (Pa). rp. raio do poro (µm). rs. raio da part´ıcula (µm). T. tempo adimensional. t. tempo dimensional (s). U. velocidade de Darcy (m/s). X. coordenada espacial adimensional. x. coordenada espacial dimensional (m). xiii.
(17) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao A modelagem matem´atica e computacional do processo de filtra¸ca˜o durante o movimento de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos tem sido um tema de pesquisa amplamente difundido na comunidade cient´ıfica, com diversas publica¸c˜oes e aplica¸c˜oes em diferentes ramos das engenharias e ciˆencias aplicadas. V´arias aplica¸co˜es do tema podem ser reconhecidas nos dom´ınios da ind´ ustria do petr´oleo, engenharia qu´ımica e engenharia ambiental. Dentre algumas aplica¸co˜es destacamos, o tratamento de a´guas residuais na engenharia qu´ımica, a propaga¸c˜ao de poluentes em meios porosos na engenharia ambiental. Al´em destas, a obstru¸c˜ao de membranas e inje¸ca˜o de a´gua em reservat´orios durante o processo secund´ario da produ¸ca˜o de hidrocarbonetos na engenharia de petr´oleo (LEWIS, 1980; LOPES, 2004; SANTOS; BEDRIKOVETSKY; FONTOURA, 2008). Em particular, no transporte de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos, caso t´ıpico da inje¸ca˜o de a´gua durante o processo de recupera¸ca˜o secund´aria de petr´oleo. Nesse processo, algumas part´ıculas podem ser capturadas pelo meio poroso. Tal fenˆomeno, comumente denominado filtra¸c˜ao profunda, pode causar diversos problemas a produ¸ca˜o de hidrocarbonetos, tais como, dano `a forma¸ca˜o e decaimento da porosidade e permeabilidade do meio (DJEBBAR; DONALDSON, 2012). Consequentemente, pode ocorrer uma queda da injetividade de fluido e diminui¸ca˜o na produtividade, tornando-se necess´ario aumentar os custos de produ¸c˜ao atrav´es de interven¸co˜es. Tais como, inje¸ca˜o de ´acido, fluxo reverso, fraturamento hidr´aulico e implanta¸c˜ao de mais po¸cos injetores para n˜ao reduzir a queda de injetividade (SANTOS, 2005; DJEBBAR; DONALDSON, 2012). Dentre os principais fenˆomenos de filtra¸ca˜o que reduz a injetividade do meio, podemos destacar os mecanismos de exclus˜ao pelo tamanho, que ocorre quando uma part´ıcula encontra um poro com raio menor do que ela. Por outro lado, a deposi¸ca˜o ou precipita¸ca˜o ocorre devido a`s for¸cas gravitacional, el´etrica e rea¸c˜oes qu´ımicas; forma¸ca˜o de pontes (bridging), ocasionado pelo ac´ umulo de v´arias part´ıculas nas gargantas dos poros; difus˜ao ocorre quando ´e observado um movimento aleat´orio das part´ıculas denominado difus˜ao Browniana (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970; ARAUJO, 2013). 1.
(18) 2 Do ponto de vista da modelagem matem´atica, o estudo do processo de filtra¸c˜ao durante o transporte de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos tem sido amplamente estudado pela comunidade cient´ıfica. E uma consider´avel parte dos trabalhos de pesquisa s˜ao dedicados a modelagem matem´atica da cin´etica de captura de part´ıculas e seus efeitos no transporte das part´ıculas em suspens˜ao. Neste contexto, os primeiros modelos para o problema de filtra¸ca˜o profunda foram propostos por Iwasaki (1937), onde os v´arios mecanismos de captura das part´ıculas n˜ao s˜ao diferenciados no processo de obstru¸ca˜o do meio poroso (IWASAKI, 1937). Este modelo foi utilizado nos estudos do processo de filtra¸ca˜o profunda desenvolvido por Herzig, Leclerc e Goff (1970) com o objetivo de modelar a redu¸ca˜o da permeabilidade em meios porosos, bem como a previs˜ao de injetividade de po¸cos de petr´oleo (HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970; PANG; SHARMA, 1994; WENNBERG; SHARMA, 1997). Nestes trabalhos, as distribui¸co˜es dos tamanhos de part´ıculas e poros, que est˜ao fortemente acoplados a cin´etica de captura de part´ıculas e obstru¸c˜ao de poros, s˜ao desconsideradas na modelagem do processo de filtra¸c˜ao (SANTOS; BEDRIKOVETSKY, 2004). Com o intuito de analisar os efeitos das distribui¸co˜es de tamanho de part´ıculas e poros na filtra¸ca˜o, Sharma e Yortsos (1987) desenvolveram um modelo a n´ıvel de poro incluindo ambas as distribui¸co˜es. O modelo considera diferentes mecanismos de captura de part´ıculas e consiste do balan¸co de massa de part´ıculas, das cin´eticas captura de part´ıculas e obstru¸ca˜o de poros. O modelo assume que o fluxo de part´ıculas ´e permitido atrav´es de qualquer poro e as part´ıculas se movem com a velocidade m´edia do fluxo de ´agua, comumente denominada fenˆomeno advectivo. Entretanto, se a exclus˜ao pelo tamanho ´e o mecanismo dominante, as part´ıculas devem ser retidas apenas em poros com dimens˜oes caracter´ıstica inferiores ao raio das part´ıculas. Portanto, o modelo proposto por Sharma e Yortsos (1987) n˜ao descreve satisfatoriamente a filtra¸ca˜o no caso em que a exclus˜ao pelo tamanho ´e dominante. Recentemente, destacamos os modelos matem´aticos baseados em equa¸co˜es diferenciais hiperb´olicas desenvolvidos por Santos e colaboradores, onde foram consideradas as distribui¸co˜es de tamanhos de part´ıculas e poros, e consequentemente, a redu¸ca˜o de fluxo e a acessibilidade do poro (SANTOS; BEDRIKOVETSKY, 2004; SANTOS; BEDRIKOVETSKY, 2006). Nestes trabalhos foram propostos modelos que incorporam ambas as distribui¸co˜es de tamanho de part´ıculas e de poros. Solu¸co˜es do modelo matem´atico s˜ao obtidas analiticamente considerando a inje¸ca˜o de part´ıculas de um u ´nico tamanho em um meio poroso com diferentes tamanhos de poros. Essas solu¸co˜es possibilitam descrever o processo de bloqueio de poros e a redu¸ca˜o da permeabilidade durante a microfiltra¸ca˜o em membranas (SANTOS; BEDRIKOVETSKY; FONTOURA, 2008). No trabalho de Kamani (2014) para o mecanismo de exclus˜ao pelo tamanho, foi proposto um modelo que incorpora as distribui¸co˜es de tamanho de poros e de part´ıculas. Foram obtidas solu¸co˜es anal´ıticas que consideram a inje¸ca˜o de part´ıculas de diferentes tamanhos em um meio poroso com diferentes tamanhos de poros. Dados experimentais foram gerados em diferentes.
(19) 3 cen´arios, e as solu¸co˜es anal´ıticas foram utilizadas para confrontar os dados experimentais e valida¸ca˜o do modelo proposto. As solu¸co˜es nos permitem prever a reten¸c˜ao de part´ıculas, o bloqueio de poros e a redu¸c˜ao de permeabilidade durante a microfiltra¸c˜ao direta (dead-end microfiltration) em membranas (KAMANI, 2014). Na modelagem matem´atica cl´assica do fenˆomeno de filtra¸ca˜o profunda proposta por Iwasaki (1937), a modelagem da cin´etica de obstru¸ca˜o dos poros ´e dada por uma equa¸ca˜o diferencial ordin´aria de 1a ordem, enquanto que o transporte das part´ıculas em suspens˜ao ´e governado por equa¸co˜es diferenciais parciais hiperb´olicas (SANTOS; BEDRIKOVETSKY, 2004). Do ponto de vista da modelagem num´erica, as principais t´ecnicas utilizadas na resolu¸c˜ao de equa¸co˜es diferenciais parciais, s˜ao os m´etodos de diferen¸cas finitas, elementos finitos e volumes finitos (CHEN; HUAN; MA, 2006). O m´etodo de diferen¸cas finitas, ´e baseado na discretiza¸ca˜o do dom´ınio e na aproxima¸ca˜o das derivadas por diferen¸cas finitas, obtidas atrav´es de aproxima¸co˜es dos operadores diferenciais por s´eries de Taylor (STRIKWERDA, 2004). O m´etodo de elementos finitos consiste em reescrever o sistema de equa¸co˜es diferenciais em uma forma equivalente menos restritiva, denominada formula¸c˜ao variacional. Dessa forma, partindo de um dom´ınio discretizado formado pela reuni˜ao de um n´ umero finito de elementos, a solu¸ca˜o num´erica do problema ´e dada pela combina¸ca˜o linear de uma base de fun¸c˜oes de suporte compacto (BECKER; CAREY; ODEN, 1981). Por sua vez, o m´etodo de volumes finitos ´e fundamentado na discretiza¸c˜ao do dom´ınio da equa¸c˜ao diferencial atrav´es de volumes em torno de cada n´o da malha, denominados volumes finitos. O modelo matem´atico ´e integrado no interior dos volumes possibilitando a obten¸ca˜o de equa¸c˜oes discretas conservativas (PATANKAR, 1980). Na modelagem computacional proposta nesta disserta¸ca˜o, utilizamos a fam´ılia de m´etodos de diferen¸cas finitas de Runge-Kutta para a discretiza¸ca˜o das equa¸co˜es diferenciais ordin´arias que descrevem a cin´etica de obstru¸ca˜o dos poros. Para a solu¸ca˜o num´erica das equa¸co˜es diferenciais hiperb´olicas, propomos o m´etodo de volumes finitos. Dentre as abordagens do m´etodo de volumes finitos, destacamos os m´etodos Upwind e Lax-Friedrichs. O m´etodo cl´assico Upwind, que consiste de um m´etodo de primeira ordem considerado incondicionalmente est´avel. O m´etodo de Lax-Friedrichs (LxF), derivado por Lax (1954) e Friedrichs (1954), que tamb´em ´e um m´etodo de primeira ordem, utiliza aproxima¸co˜es constantes por partes dentro de cada volume de controle. Tal m´etodo corrige a instabilidade do m´etodo de diferen¸ca centrada, que ´e um m´etodo incondicionalmente inst´avel, por´em produz excessiva difus˜ao num´erica da ordem de O((∆x)2 /∆t), acarretando uma consider´avel perda de precis˜ao. O m´etodo de Lax-Friedrichs ´e reconhecidamente o prot´otipo dos esquemas centrais (LEVEQUE, 2004). Os m´etodos de volumes finitos podem ser derivados utilizando a abordagem proposta por Godunov (1959) conhecida como Algoritmo REA, do inglˆes Reconstruct, Evolve, Average (NESSYAHU; TADMOR, 1990). O algoritmo REA ´e o ponto de partida para a deriva¸ca˜o.
(20) 4 de m´etodos num´ericos localmente conservativos para equa¸co˜es diferenciais hiperb´olicas, um dos focos principais deste trabalho (LEVEQUE, 2004). Os m´etodos de volumes finitos de alta ordem para solu¸ca˜o de equa¸co˜es diferenciais hiperb´olicas, abordados nesta disserta¸ca˜o, utilizam o Algoritmo REA. Uma alternativa para obtermos formula¸co˜es discretas mais est´aveis e acuradas para equa¸co˜es hiperb´olicas, consiste na utiliza¸ca˜o dos m´etodos de alta ordem, tais como o m´etodo de Nessyahu e Tadmor (NESSYAHU; TADMOR, 1990). No m´etodo de Nessyahu e Tadmor (NT) as aproxima¸c˜oes, de primeira ordem constantes por parte do m´etodo de Lax-Friedrichs, s˜ao substitu´ıdas por aproxima¸co˜es de segunda ordem lineares por partes de Van Leer (LEER, 1979). Por ser um m´etodo de segunda ordem, o m´etodo NT apresenta uma difus˜ao num´erica da ordem de O((∆x)4 /∆t), significativamente menor do que o m´etodo de Lax-Friedrichs (NESSYAHU; TADMOR, 1990). A difus˜ao num´erica ´e dependente do passo de tempo, e para passos de tempo que surgem a partir de restri¸co˜es, como a condi¸c˜ao CFL, os m´etodos LxF e NT podem gerar consider´avel difus˜ao num´erica. Uma possibilidade para contornar a perda de precis˜ao devido a difus˜ao num´erica do m´etodo NT ´e utilizar uma formula¸c˜ao semi-discreta, cont´ınua no tempo e discreta no espa¸co. Dessa forma, a discretiza¸c˜ao temporal pode ser obtida por um m´etodo para resolu¸ca˜o de equa¸co˜es diferenciais adequado, tal como a fam´ılia de m´etodos de Runge-Kutta (os m´etodos LxF e NT n˜ao permitem formula¸c˜oes semi-discretas). Neste trabalho as simula¸c˜oes num´ericas do problema de filtra¸ca˜o profunda s˜ao obtidas considerando o m´etodo de Kurganov e Tadmor (KURGANOV; TADMOR, 2000). O m´etodo de Kurganov e Tadmor (KT) ´e um m´etodo de segunda ordem, o qual segue os mesmos passos de constru¸c˜ao do m´etodo de Nessyahu e Tadmor, acrescido da substitui¸ca˜o apresentada por Rusanov (1961). Nesta nova formula¸ca˜o a velocidade global, empregada nos m´etodos LxF e NT ´e substitu´ıda por uma velocidade calculada localmente em cada problema de Riemann. O m´etodo KT se tornou o pioneiro dos m´etodos totalmente expl´ıcitos que permitem uma formula¸ca˜o semi-discreta. Tal m´etodo possui uma difus˜ao num´erica da ordem de O((∆x)3 ) independente do passo de tempo. Portanto o m´etodo n˜ao sofre da excessiva difus˜ao num´erica apresentada nos m´etodos LxF e NT (CORREA; BORGES, 2010). Nesta disserta¸c˜ao propomos uma modelagem matem´atica e computacional do processo de filtra¸c˜ao profunda durante o transporte de part´ıculas em suspens˜ao, onde o mecanismo de captura dominante ´e a exclus˜ao pelo tamanho. Tal problema ´e modelado por um sistema de equa¸c˜oes diferenciais, constitu´ıdo das equa¸c˜oes do balan¸co de massa de part´ıculas em suspens˜ao, cin´etica de captura de part´ıculas e cin´etica de obstru¸ca˜o de poros. O transporte das part´ıculas em suspens˜ao ´e governado por equa¸co˜es diferenciais parciais hiperb´olicas e a cin´etica de obstru¸ca˜o das part´ıculas por equa¸co˜es diferenciais ordin´arias de 1a ordem. A modelagem do problema incorpora `as distribui¸co˜es de tamanhos de part´ıculas e poros, bem como os fatores de acessibilidade e redu¸c˜ao de fluxo. Do ponto de vista num´erico, propomos a aplica¸ca˜o de um.
(21) 5 m´etodo de volumes finitos n˜ao-oscilat´orio de alta ordem, baseado em esquemas centrais para a equa¸ca˜o do transporte. Por sua vez, a cin´etica de obstru¸c˜ao dos poros ´e obtida fazendo uso do m´etodo de Runge-Kutta. As solu¸co˜es num´ericas realizadas ser˜ao confrontadas com as solu¸co˜es anal´ıticas obtidas para alguns casos particulares do modelo, com o objetivo de ilustrar a precis˜ao e estabilidade da metodologia proposta. Finalmente, propomos a simula¸ca˜o num´erica do processo de filtra¸ca˜o profunda em casos mais gerais considerando diferentes tamanhos de part´ıculas e poros. ´ importante destacar que o levantamento bibliogr´afico realizado mostrou que a modelagem E matem´atica e computacional do processo de filtra¸c˜ao profunda ´e um tema de pesquisa bastante inovador e desafiador. Os principais resultados desenvolvidos nesta linha de pesquisa consistem da modelagem matem´atica baseada em equa¸c˜oes diferenciais, onde as equa¸c˜oes s˜ao reescritas em formas reduzidas e solu¸co˜es anal´ıticas s˜ao calculadas. Al´em disso, diversos artigos abordam a an´alise experimental do problema de filtra¸ca˜o. Portanto, percebemos a necessidade de desenvolver m´etodos num´ericos robustos e acurados, bem como realizar simula¸c˜oes num´ericas do processo de filtra¸c˜ao profunda em cen´arios mais complexos e realistas. Tal fato foi uma das principais motiva¸co˜es para o desenvolvimento deste trabalho de pesquisa. Esta disserta¸ca˜o est´a divido em 7 cap´ıtulos, al´em do cap´ıtulo introdut´orio. No Cap´ıtulo 2, desenvolvemos o modelo matem´atico baseado em equa¸co˜es diferenciais, com o objetivo de modelar o processo de filtra¸c˜ao profunda em meios porosos. No Cap´ıtulo 3, considerando algumas hip´oteses simplificadoras, foram obtidos casos particulares do modelo proposto durante a inje¸c˜ao de part´ıculas em suspens˜ao. Consequentemente, foram obtidas algumas solu¸co˜es anal´ıticas para o transporte de part´ıculas e cin´etica de obstru¸c˜ao de poros. No Cap´ıtulo 4, propomos algumas formula¸c˜oes num´ericas preliminares, com o intuito de discretizarmos equa¸co˜es diferenciais hiperb´olicas, introduzindo as ideias iniciais do m´etodo de volumes finitos KT, que ser´a utilizado na modelagem num´erica de nosso problema de interesse. Para isso, deduzimos as formula¸co˜es discretas dos m´etodos LxF e NT baseados no algoritmo REA. No Cap´ıtulo 5, realizamos a discretiza¸ca˜o do m´etodo KT para equa¸c˜oes diferenciais hiperb´olicas homogˆeneas e n˜ao-homogˆeneas com o objetivo de simularmos o processo de filtra¸ca˜o profunda, com a exclus˜ao pelo tamanho como mecanismo de captura. No Cap´ıtulo 6, utilizamos a metodologia num´erica proposta para obtermos solu¸c˜oes num´ericas do processo de filtra¸c˜ao profunda, e consequentemente comparar os resultados obtidos com as solu¸co˜es anal´ıticas obtidas, possibilitando avaliar a acur´acia das formula¸c˜oes discretas. Por fim, propomos solu¸c˜oes num´ericas do processo de filtra¸c˜ao profunda para avaliarmos como ocorre o transporte de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos. Para isso, foram utilizados diferentes tamanhos de part´ıculas e poros. Finalmente, no Cap´ıtulo 7 apresentamos as conclus˜oes e propostas de trabalhos futuros..
(22) Cap´ıtulo 2 Modelagem Matem´ atica do Fenˆ omeno de Filtra¸ c˜ ao Profunda A modelagem matem´atica e computacional do transporte de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos consiste de um problema de grande importˆancia tecnol´ogica e industrial (LOPES, 2004). Tal fenˆomeno ocorre em uma variedade de processos industriais e naturais, tais como tratamento de a´guas residuais, transporte de poluentes em aqu´ıferos, filtra¸c˜ao de a´gua, a inje¸c˜ao de a´gua em reservat´orios de petr´oleo, entre outros processos de extrema significˆancia para a comunidade cient´ıfica (LEWIS, 1980; SANTOS, 2005; SANTOS; BEDRIKOVETSKY; FONTOURA, 2008). Neste cap´ıtulo desenvolvemos a modelagem matem´atica baseada em equa¸c˜oes diferenciais do fenˆomeno de filtra¸c˜ao profunda em meios porosos. Durante a evolu¸ca˜o do movimento de part´ıculas em suspens˜ao no interior de um meio poroso, devido a sua dimens˜ao caracter´ıstica as part´ıculas podem ser retidas pelo meio. Caso t´ıpico da inje¸ca˜o de a´gua durante o processo secund´ario de produ¸ca˜o em reservat´orios de petr´oleo (ver Figura 2.1). Tal processo de captura ´e denominado de filtra¸c˜ao profunda, que pode acarretar forte dano a` forma¸ca˜o do meio poroso, bem como a queda da permeabilidade hidr´aulica e consequentemente uma diminui¸ca˜o da produ¸ca˜o do hidrocarboneto. Podemos perceber que a modelagem matem´atica e computacional do fenˆomeno da filtra¸ca˜o profunda ´e bastante relevante para a ind´ ustria do petr´oleo.. 2.1. Modelo Cl´ assico de Filtra¸ c˜ ao Profunda. O modelo matem´atico que descreve o processo de filtra¸ca˜o profunda consiste de um sistema de equa¸c˜oes diferenciais deduzidas atrav´es da lei de conserva¸ca˜o de massa das part´ıculas, da cin´etica de captura de part´ıculas e da conserva¸c˜ao do momento linear dada pela cl´assica lei de Darcy (IWASAKI, 1937; HERZIG; LECLERC; GOFF, 1970). Denotando c(X, T ) a. 6.
(23) 2.1 Modelo Cl´assico de Filtra¸ca˜o Profunda. 7. concentra¸c˜ao de part´ıculas em suspens˜ao, σ(X, T ) a concentra¸ca˜o de part´ıculas capturadas e U a velocidade de Darcy, o sistema de equa¸co˜es diferenciais parciais que governa do processo de filtra¸c˜ao em uma vers˜ao unidimensional ´e dado na forma ∂c(X, T ) ∂c(X, T ) 1 ∂σ(X, T ) + =− ∂T ∂X φ ∂T ∂σ(X, T ) = λ(σ)φc(X, T ) ∂T κ0 κ(σ) ∂p U =− µL ∂X. (2.1a) (2.1b) (2.1c). onde λ ´e o coeficiente de filtra¸ca˜o adimensional que est´a associado com a probabilidade, por unidade de comprimento, de uma part´ıcula ser capturada durante o fluxo atrav´es de uma amostra de comprimento L e κ(σ) ´e a fun¸c˜ao dano a forma¸ca˜o, que modela o decl´ınio da permeabilidade devido as part´ıculas capturadas. Al´em disso, φ, κ0 , µ e L s˜ao a porosidade, permeabilidade, viscosidade do fluido e comprimento do meio poroso, respectivamente. Considerando x a coordenada espacial e t o tempo, o modelo na forma adimensional (2.1) foi derivado considerando as seguintes grandezas adimensionais X=. x ; L. T =. Ut ; φL. λ = λ0 L. (2.2). onde λ0 ´e o coeficiente de filtra¸c˜ao dimensional. Produção de Água e Óleo. Injeção de Água. Superfície. Poço Injetor. Água. Poço Produtor. Óleo. Figura 2.1: Representa¸c˜ao esquem´atica de um reservat´orio no qual ocorre o processo de recupera¸ca˜o de petr´oleo. As equa¸c˜oes (2.1a) e (2.1b) formam um modelo cin´etico para o transporte e captura de part´ıculas. A equa¸ca˜o (2.1c) ´e um modelo dinˆamico que prevˆe o aumento do gradiente de.
(24) 2.2 Modelo Estoc´astico para a Exclus˜ao pelo Tamanho. 8. press˜ao devido ao decl´ınio da permeabilidade pelo aumento da concentra¸ca˜o de part´ıculas ´ importante ressaltar que para o fechamento do sistema de equa¸c˜oes (2.1) ´e capturadas. E necess´ario estabelecer modelos matem´aticos ou emp´ıricos que descrevam a fun¸c˜ao de dano κ = κ(σ) e o coeficiente de filtra¸c˜ao λ = λ(σ). Al´em disso, assumindo o fluido incompress´ıvel e considerando a equa¸ca˜o do balan¸co de massa do fluido unidimensional, a velocidade de Darcy U ´e constante. Portanto, a equa¸ca˜o (2.1c) pode ser desacoplada das equa¸co˜es (2.1a) e (2.1b).. 2.2. Modelo Estoc´ astico para a Exclus˜ ao pelo Tamanho. Durante o transporte de part´ıculas em suspens˜ao, algumas s˜ao capturadas pelo meio poroso devido ao mecanismo de exclus˜ao pelo tamanho. Isto ´e, se uma part´ıcula de raio rs encontra um poro de raio rp , tal que (rp < rs ), ent˜ao essa part´ıcula ´e capturada e consequentemente o poro ´e bloqueado. Por outro lado, devido ao fenˆomeno de convec¸ca˜o induzido pela velocidade do fluido, as part´ıculas tal que (rp > rs ) s˜ao transportadas pelo meio poroso sem serem capturadas (Figura 2.2). Assumimos que cada part´ıcula pode obstruir apenas um poro, e vice versa. Partículas em Suspensão. Sólido. Fluxo. Figura 2.2: Esquema mostrando a captura de part´ıculas. Para a modelagem matem´atica, consideramos a geometria do meio poroso representada por feixes de capilares paralelos com diferentes tamanhos de raios (ver Figura 2.3). Sendo assim, o fluxo atrav´es de cada poro de raio rp ´e proporcional a` quarta potencia do raio rp4 , tal como no fluxo de Poiseuille, onde a vaz˜ao que passa atrav´es de uma se¸ca˜o transversal de um tubo cil´ındrico, com fluxo de fluido incompress´ıvel, ´e proporcional a quarta potˆencia do raio (FOX; MCDONALD, 2011). A cada comprimento l ocorre a “mistura completa”, ou seja, a probabilidade de uma part´ıcula ser transportada de qualquer poro na posi¸ca˜o x para qualquer poro na posi¸c˜ao x + l ´e diferente de zero. O meio poroso, representado na Figura 2.3, ´e um conjunto de capilares paralelos intercalados por “cˆamaras de mistura”, onde ocorre a mistura completa de diferentes tamanhos.
(25) 2.2 Modelo Estoc´astico para a Exclus˜ao pelo Tamanho. 9. de part´ıculas. Assumimos que o volume das cˆamaras de mistura ´e desprez´ıvel se comparado com o volume do capilar, consequentemente o fluxo de part´ıculas ocorre predominantemente no dom´ınio do capilar.. Figura 2.3: Trajet´oria das part´ıculas nos capilares e nas cˆamaras de mistura.. 2.2.1. Equa¸ c˜ oes Governantes. Com o intuito de descrever o mecanismo de exclus˜ao pelo tamanho, as distribui¸co˜es de tamanho de part´ıculas em suspens˜ao, de part´ıculas capturadas e de poros s˜ao definidas na forma ∞. Z. fc (rs , x, t) drs = 1, Z 0∞ fσ (rs , x, t) drs = 1, 0. Z. (2.3). ∞. fh (rp , x, t) drp = 1 0. onde fc (rs , x, t) e fσ (rs , x, t) s˜ao as fun¸co˜es de distribui¸ca˜o de probabilidade do raio de part´ıculas em suspens˜ao e capturadas, respectivamente. Al´em disso, fh (rp , x, t) ´e a fun¸ca˜o de distribui¸ca˜o de probabilidade do raio de poros abertos. Denotando por C = C(rs , x, t) a distribui¸ca˜o de concentra¸c˜ao de part´ıculas em suspens˜ao e Σ = Σ(rs , x, t) a distribui¸ca˜o de part´ıculas capturadas. As concentra¸c˜oes C(rs , x, t) drs e Σ(rs , x, t) drs de part´ıculas em suspens˜ao e capturadas s˜ao definidas como o n´ umero de part´ıculas em suspens˜ao e capturadas com raio entre rs e rs + drs por unidade de volume poroso, dada na forma. C(rs , x, t) drs ≡ c(x, t)fc (rs , x, t) drs ,. (2.4). Σ(rs , x, t) drs ≡ σ(x, t)fσ (rs , x, t) drs ,. (2.5).
(26) 2.2 Modelo Estoc´astico para a Exclus˜ao pelo Tamanho. 10. onde c(x, t) e σ(x, t) s˜ao as concentra¸ca˜o totais de part´ıculas em suspens˜ao e capturadas, respectivamente. Por sua vez, H(rp , x, t) denota a distribui¸ca˜o de concentra¸ca˜o de poros abertos. A concentra¸ca˜o H(rp , x, t) drp de poros abertos ´e definida como o n´ umero de poros abertos com raio entre rp e rp + drp por unidade de volume poroso, dada na forma H(rp , x, t) drp ≡ h(x, t)fh (rp , x, t) drp ,. (2.6). onde h(x, t) ´e a concentra¸ca˜o total de poros abertos por unidade de volume. As concentra¸c˜oes totais s˜ao obtidas atrav´es da integra¸c˜ao das equa¸co˜es (2.4) e (2.5) sobre rs e da equa¸ca˜o (2.6) sobre rp , juntamente com a equa¸c˜ao (2.3) obtemos as seguintes concentra¸c˜oes totais. Z. ∞. C(rs , x, t) drs = c(x, t),. (2.7). Σ(rs , x, t) drs = σ(x, t),. (2.8). H(rp , x, t) drp = h(x, t).. (2.9). Z 0∞ 0. Z. ∞. 0. O mecanismo de exclus˜ao pelo tamanho assume que uma part´ıcula de raio rs pode ser capturada por um poro de raio rp se rs > rp . Por outro lado, uma part´ıcula com raio rs penetra no poro com raio rp apenas se o raio da part´ıcula for menor do que o raio do poro, rs < rp . Portanto, poros pequenos (rp < rs ) s˜ao inacess´ıveis a part´ıculas grandes e part´ıculas s˜ao transportadas somente atrav´es de poros grandes (rs < rp ). Tal constata¸c˜ao permite definir a fra¸c˜ao volum´etrica de poros grandes, comumente denominada de fator de acessibilidade que quantifica a fra¸ca˜o volum´etrica de poros acess´ıveis a part´ıculas com raio de tamanho rs . Assumindo que localmente o espa¸co poroso ´e um feixe de capilares paralelos (ver Figura 2.3) o fator de acessibilidade γ ´e dado como a raz˜ao entre o volume poroso livre e o volume poroso total na forma R∞. rp2 H(rp , x, t) drp. r. s γ(rs , x, t) ≡ R∞. .. (2.10). rp2 H(rp , x, t) drp. 0. ´ importante observar que o fluxo de part´ıculas com raio rs atrav´es de poros com raio E menores (rp < rs ) ´e nulo, por´em a a´gua flui atrav´es de poros de todos os tamanhos. Com isso, o fluxo do fluido transportando part´ıculas de raio rs ´e menor do que o fluxo total no meio poroso. Tal constata¸ca˜o permite definir o fator de redu¸ca˜o de fluxo que quantifica a redu¸c˜ao no fluxo de part´ıculas devido a reten¸ca˜o dos poros. Com este fator podemos calcular a fra¸c˜ao.
(27) 2.2 Modelo Estoc´astico para a Exclus˜ao pelo Tamanho. 11. de fluxo total via poros com raio no intervalo [rp , rp + drp ] que transporta as part´ıculas com raio de tamanho rs . Considerando a equa¸ca˜o de Poiseuille, o fluxo atrav´es de um poro com raio rp ´e proporcional a quarta potˆencia do raio do capilar rp4 . O fator de redu¸c˜ao de fluxo ´e dado na forma R∞. rp4 H(rp , x, t) drp. r. s α(rs , x, t) ≡ R∞. (2.11) rp4 H(rp , x, t) drp. 0. ´ importante observarmos que os fatores de acessibilidade e de redu¸ca˜o de fluxo s˜ao E fortemente influenciados pela morfologia (tamanho e forma dos poros) e pela topologia (rela¸c˜oes de conectividade dos poros entre si). Considerando que a fra¸ca˜o do meio poroso ocupado pelas part´ıculas retidas ´e desprez´ıvel se comparado com o volume poroso total, assumimos que a porosidade permanece constante durante o processo de filtra¸ca˜o. Al´em disso, assumimos que o volume total de suspens˜ao aquosa ´e igual a soma dos volumes de ´agua e de part´ıculas e que a suspens˜ao ´e incompress´ıvel. Portanto, o fluxo total se conserva. Logo, U = U (t). O modelo para o processo de exclus˜ao pelo tamanho durante o transporte de part´ıculas com raios rs em um meio poroso com raios rp , consiste do balan¸co de massa de part´ıculas em suspens˜ao, cin´etica de captura de part´ıculas e da cin´etica de obstru¸ca˜o de poros, dadas pelas seguintes equa¸co˜es (SANTOS; BEDRIKOVETSKY, 2006) ∂[α(rs , x, t)C(rs , x, t)] ∂Σ(rs , x, t) ∂[γ(rs , x, t)C(rs , x, t)] +U =− φ ∂t ∂x ∂t rs R λ0 (rs , rp )rp4 H(rp , x, t) drp ∂Σ(r , x, t) s = U C(rs , x, t) 0 R∞ ∂t rp4 H(rp , x, t) drp 0 Z ∞ 4 r H(r , x, t) ∂H(rp , x, t) p p = −U R∞ λ0 (rs , rp )C(rs , x, t) drs ∂t r rp4 H(rp , x, t) drp p . (2.12a). (2.12b). (2.12c). 0. Conhecendo as grandezas φ = φ(x) e λ0 = λ0 (rs , rp ) o sistema de equa¸co˜es (2.12) modela o fenˆomeno de exclus˜ao pelo tamanho nas vari´aveis prim´arias C(rs , x, t), Σ(rs , x, t) e H(rp , x, t). Na sequˆencia do texto, consideramos “densidades de concentra¸c˜ao” em vez de “concentra¸c˜ao”, de modo que os multiplicadores drs e drp em ambos os lados das equa¸co˜es s˜ao omitidos. Substituindo as grandezas adimensionais (2.2) no sistema (2.12) obtemos.
(28) 2.3 Distribui¸ca˜o Delta de Dirac. 12. ∂[γ(rs , X, T )C(rs , X, T )] ∂[α(rs , X, T )C(rs , X, T )] 1 ∂Σ(rs , X, T ) + =− ∂T ∂X φ ∂T Rrs λ(rs , rp )rp4 H(rp , X, T ) drp ∂Σ(r , X, T ) s 0 = φC(rs , X, T ) R∞ ∂T rp4 H(rp , X, T ) drp 0 Z ∞ rp4 H(rp , X, T ) ∂H(rp , X, T ) = −φ R∞ λ(rs , rp )C(rs , X, T ) drs ∂T r p 4 rp H(rp , X, T ) drp . (2.13). 0. A condi¸ca˜o de contorno (X = 0) corresponde a` inje¸ca˜o de ´agua com certa “densidade de concentra¸c˜ao” de part´ıculas. Al´em disso, a condi¸ca˜o inicial corresponde `a ausˆencia de part´ıculas (em suspens˜ao ou capturadas) no interior do meio poroso. X = 0 : C(r , 0, T ) = C (r , T ) s 0 s T = 0 : C(r , X, 0) = 0; Σ(r , X, 0) = 0; H(r , X, 0) = H (0) (r , X) s s p p. (2.14). A obten¸c˜ao de solu¸co˜es num´ericas ou anal´ıticas para o sistema de equa¸co˜es (2.13) e (2.14) permite quantificar a evolu¸c˜ao das vari´aveis C, Σ e H, e consequentemente analisar o processo de exclus˜ao pelo tamanho. Neste trabalho consideramos casos particulares do problema (2.13) e (2.14) onde ´e poss´ıvel obter solu¸co˜es anal´ıticas. Al´em disso, derivamos alguns m´etodos num´ericos para resolu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜oes em casos generalizados.. 2.3. Distribui¸c˜ ao Delta de Dirac. No modelo proposto (2.13) e (2.14), as distribui¸co˜es de concentra¸c˜ao de part´ıculas e poros C(rs , x, t), Σ(rs , x, t) e H(rp , x, t) s˜ao descritas por fun¸co˜es que s˜ao zero para todo r, exceto nas part´ıculas de raio (rs,1 , rs,2 , . . . , rs,n ) ou poros de raio (rp,1 , rp,2 , . . . , rp,N ), (ver Figura 2.4). O comportamento das vari´aveis do modelo sugeriu a introdu¸c˜ao da fun¸ca˜o delta de Dirac com o objetivo de reescrever as concentra¸c˜oes em termos da distribui¸ca˜o de part´ıculas e poros. A fun¸c˜ao delta de Dirac introduzida pelo f´ısico inglˆes Paul Adrian Maurice Dirac, na d´ecada de 1930, foi definida na forma. 0. δ(r − r ) =. ∞, 0,. se r = r0 se r 6= r. 0. Z. ∞. e −∞. δ(r − r0 ) dr = 1..
(29) 2.3 Distribui¸ca˜o Delta de Dirac. 13. Figura 2.4: Esbo¸co das distribui¸co˜es de concentra¸ca˜o de part´ıculas e poros. A distribui¸ca˜o delta de Dirac, satisfaz a seguinte rela¸c˜ao Z a. b. 1, 0 δ(r − r ) dr = 0,. se a < r0 < b,. (2.15). caso contr´ario.. Al´em disso, a distribui¸c˜ao delta de Dirac satisfaz a propriedade Z a. b. f (r0 ), se a < r0 < b, 0 f (r)δ(r − r ) dr = 0, caso contr´ario.. (2.16). onde, f ´e uma fun¸c˜ao suficientemente regular (BOYCE; DIPRIMA, 1992). Em outras palavras, o resultado da integra¸c˜ao ´e o valor de f no argumento da fun¸ca˜o delta, desde que este argumento esteja dentro do intervalo de integra¸c˜ao. Observe que, a equa¸ca˜o (2.15) ´e um caso particular da equa¸ca˜o (2.16) para o caso em que f (r) = 1.. Figura 2.5: Distribui¸ca˜o delta de Dirac. No modelo estoc´astico para a exclus˜ao pelo tamanho, as distribui¸co˜es de concentra¸c˜ao de part´ıculas e poros C(rs , x, t), Σ(rs , x, t) e H(rp , x, t) s˜ao descritas pela fun¸c˜ao delta de Dirac..
(30) 2.4 Equa¸co˜es Governantes em Termos de Delta de Dirac. 2.4. 14. Equa¸c˜ oes Governantes em Termos de Delta de Dirac. As equa¸co˜es (2.12a) e (2.12c) podem ser reescritas considerando que part´ıculas com n diferentes tamanhos de raio s˜ao injetadas em um meio poroso com N diferentes tamanhos de poros Figura 2.4. Neste caso, utilizando a defini¸c˜ao da distribui¸c˜ao delta de Dirac, a distribui¸ca˜o de concentra¸ca˜o de part´ıculas em suspens˜ao C e poros abertos H podem ser reescritas da seguinte forma C(rs , x, t) = c1 δ(rs − rs,1 ) + . . . + cn δ(rs − rs,n ) =. Pn. H(rp , x, t) = h1 δ(rp − rp,1 ) + . . . + hN δ(rp − rp,N ) =. i=1 ci δ(rs. PN. i=1. − rs,i ). hi δ(rp − rp,i ). (2.17) (2.18). onde rp,N e rs,n s˜ao os maiores raios de poros e part´ıculas, respectivamente, ci a concentra¸ca˜o de part´ıculas com tamanho rs,i e hi representa a concentra¸ca˜o de poros com um raio rp,i . A distribui¸ca˜o de concentra¸c˜ao de part´ıculas retidas (2.12b) tamb´em pode ser representada por distribui¸c˜oes delta de Dirac da seguinte forma Σ(rs , x, t) = σ1 δ(rs − rs,1 ) + . . . + σn δ(rs − rs,n ) =. n X. σi δ(rs − rs,i ). (2.19). i=1. onde σi ´e a concentra¸ca˜o de part´ıculas retidas com raio rs,i . Integrando as equa¸co˜es (2.18) e (2.19) sobre os raios rp e rs , de zero ao infinito e considerando as equa¸c˜oes (2.8) e (2.9), resulta nas concentra¸co˜es totais de poros abertos h e part´ıculas retidas σ,. h(t) =. N X. hj (t),. σ(t) =. j=1. n X. σj (t). (2.20). j=1. Substituindo as equa¸c˜oes (2.17)-(2.19) em (2.12b) e (2.12c) obtemos as cin´eticas de captura de part´ıculas e obstru¸ca˜o de poros da seguinte forma. n. ∂ X σi δ(rs − rs,i ) = λ0 U ∂t i=1. rs N R P i=1 0 R∞. rp4 hi δ(rp − rp,i ) drp X n. rp4 hi δ(rp. − rp,i ) drp. ci δ(rs − rs,i ). (2.21). i=1. 0 ∞ n R P. ci δ(rs − rs,i ) drs N N X i=1 ∂ X r p 0 4 hi δ(rp − rp,i ) = −λ U R∞ rp hi δ(rp − rp,i ) ∂t i=1 4 i=1 rp hi δ(rp − rp,i ) drp 0. onde consideramos o coeficiente de filtra¸ca˜o λ0 = λ(rs , rp ) um dado experimental.. (2.22).
(31) 2.5 Sum´ario de Equa¸co˜es. 15. Considerando a defini¸c˜ao (2.16) e integrando a equa¸ca˜o (2.21) sobre rs de rp,j a rp,j+1 , onde rp,j < rs,j < rp,j+1 , como podemos observar na Figura 2.4, resulta na cin´etica de reten¸ca˜o de part´ıculas com raio rs,j j P. ∂σj = λ0 U cj i=1 N P ∂t. 4 hi rp,i. (2.23) 4 rp,i hi. i=1. A equa¸c˜ao (2.23) mostra que a cin´etica de reten¸ca˜o de part´ıculas com raio rs,j ´e proporcional a fra¸c˜ao de fluxo atrav´es de poros menores do que rs,j (veja Figura 2.4). Similarmente, integrando a equa¸c˜ao (2.22) sobre rp de rs,i−1 a rs,i , onde rs,i−1 < rp,i < rs,i , como podemos observar na Figura 2.4, resulta na cin´etica de bloqueio de poros com raio rp,i n 4 rp,i hi X ∂hi = −λ0 U N cj P 4 ∂t rp,i hi j=i. (2.24). i=1. Assumindo que, inicialmente (em t = 0), n˜ao existem part´ıculas no interior do meio poroso e todos os poros est˜ao abertos, isto resulta, a partir das condi¸co˜es iniciais (2.28), nas seguintes condi¸co˜es iniciais σj = 0, hi = hi,0 .. 2.5. para t = 0. (2.25). Sum´ ario de Equa¸ co ˜es. O modelo matem´atico para o processo de filtra¸c˜ao profunda com a exclus˜ao pelo tamanho como mecanismo de captura dominante, consistindo do balan¸co de massa de part´ıculas, cin´etica de captura de part´ıculas e cin´etica de obstru¸ca˜o de poros, com vari´aveis prim´arias C(rs , X, T ), Σ(rs , X, T ) e H(rp , X, T ) ´e dado na forma. ∂[γ(rs , X, T )C(rs , X, T )] ∂[α(rs , X, T )C(rs , X, T )] 1 ∂Σ(rs , X, T ) + =− ∂T ∂X φ ∂T rs R λ(rs , rp )rp4 H(rp , X, T ) drp ∂Σ(r , X, T ) s 0 = φC(rs , X, T ) R∞ ∂T rp4 H(rp , X, T ) drp 0 Z ∞ rp4 H(rp , X, T ) ∂H(rp , X, T ) = −φ R∞ λ(rs , rp )C(rs , X, T ) drs ∂T r p 4 rp H(rp , X, T ) drp 0. (2.26a). (2.26b). (2.26c).
(32) 2.5 Sum´ario de Equa¸co˜es. 16. onde. R∞ r. s γ(rs , X, T ) ≡ R∞. R∞. rp2 H(rp , X, T ) drp. rp4 H(rp , X, T ) drp. r. rp2 H(rp , X, T ) drp. s e α(rs , X, T ) ≡ R∞. 0. .. (2.27). rp4 H(rp , X, T ) drp. 0. As condi¸co˜es iniciais e de contorno s˜ao dadas na forma. X = 0 : C(r , 0, T ) = C (r , T ), s 0 s T = 0 : C(r , X, 0) = 0; Σ(r , X, 0) = 0; H(r , X, 0) = H (0) (r , X). s s p p. (2.28). Sendo conhecidas as grandezas φ = φ(X) e λ0 = λ0 (rs , rp ), os tamanhos dos raios de part´ıculas rs e poros rp ´e poss´ıvel descrever o processo de exclus˜ao pelo tamanho..
(33) Cap´ıtulo 3 Modelos Matem´ aticos Reduzidos Neste cap´ıtulo, considerando a modelagem matem´atica descrita no cap´ıtulo anterior (2.26)(2.28), assumimos algumas hip´oteses simplificadoras e obtemos casos particulares do modelo proposto durante a inje¸ca˜o de part´ıculas em suspens˜ao em meios porosos. Os modelos propostos ser˜ao resolvidos computacionalmente e algumas solu¸c˜oes anal´ıticas ser˜ao obtidas com o objetivo de confrontar as solu¸c˜oes discretas obtidas neste trabalho.. 3.1. ´ Modelo com Unico Tamanho de Part´ıculas e de Poros. Consideramos a inje¸c˜ao de uma concentra¸ca˜o em suspens˜ao com uma dada distribui¸c˜ao ´nico tamanho de poros rp0 . Para de tamanho de part´ıculas rs0 em um meio poroso com um u tanto, assumimos a concentra¸ca˜o em suspens˜ao C = C(rs , X, T ) e a distribui¸c˜ao de poros vagos H = H(rp , X, T ) dadas pelas igualdades (2.17) e (2.18) na forma. C(rs , X, T ) = c(X, T )δ(rs − rs0 ). (3.1). H(rp , X, T ) = h(X, T )δ(rp − rp0 ). (3.2). onde δ ´e a distribui¸c˜ao delta de Dirac.. 3.1.1. Modelo para Part´ıculas Pequenas. Para o transporte de part´ıculas com tamanho caracter´ıstico inferior ao tamanho dos poros (rs < rp0 ) as express˜oes em (2.27) mostram que γ = α = 1, ou seja, todos os poros s˜ao acess´ıveis para part´ıculas consideradas pequenas, e n˜ao h´a redu¸ca˜o de fluxo de part´ıculas. Considerando γ = α = 1 e substituindo as distribui¸co˜es de part´ıculas em suspens˜ao (3.1) e tamanho de poros (3.2) no problema (2.26), deduzimos um modelo simplificado para o 17.
(34) ´ 3.1 Modelo com Unico Tamanho de Part´ıculas e de Poros. 18. transporte de part´ıculas com raio inferior ao raio do poro (rs < rp ) onde. ∂Σ(rs , X, T ) = 0, ∂T ∂H(rs , X, T ) = 0. ∂T. (3.3) (3.4). O modelo simplificado de (2.26a) se resume a equa¸ca˜o do transporte de part´ıculas dada na forma ∂C(rs , X, T ) ∂C(rs , X, T ) + = 0. (3.5) ∂T ∂X A Equa¸ca˜o (3.5) ´e uma equa¸c˜ao hiperb´olica linear e sua solu¸ca˜o, sujeita as condi¸c˜oes iniciais e de contorno (2.28), ´e a cl´assica solu¸c˜ao do problema de Riemann. A solu¸ca˜o anal´ıtica ´e dada na forma (ver Apˆendice A). C(rs , X, T ) =. C0 (rs , T − X), se X < T,. (3.6). 0, se X > T. ´ importante observar que a solu¸ca˜o acima consiste na transla¸c˜ao da condi¸ca˜o de contorno E do problema. Portanto, part´ıculas com o raio menor do que o raio dos poros s˜ao transportadas com a velocidade do fluido sem serem capturadas. Considerando as condi¸c˜oes iniciais (2.28) e resolvendo a equa¸ca˜o de (3.3) podemos concluir que Σ(rs , X, T ) = 0,. ∀ T ≥ 0.. (3.7). Al´em disso, a inexistˆencia de part´ıculas capturadas assegura que a distribui¸ca˜o de poros livres ´e constante no tempo, logo H(rp , X, T ) = H 0 (rp , X),. ∀ T ≥ 0.. (3.8). A integra¸c˜ao da equa¸ca˜o (3.5) sobre rs de zero at´e infinito resulta na equa¸ca˜o para a concentra¸c˜ao total de part´ıculas pequenas dada por ∂c(X, T ) ∂c(X, T ) + = 0. (3.9) ∂T ∂X Considerando as condi¸co˜es iniciais e de contorno (2.28), a solu¸ca˜o de (3.9) ´e dada por. c(X, T ) =. c0 (T − X), se X < T, 0, se X > T,. (3.10).
(35) ´ 3.1 Modelo com Unico Tamanho de Part´ıculas e de Poros. 19. A solu¸ca˜o (3.10) mostra que part´ıculas pequenas s˜ao transportadas sem serem capturadas pelo meio poroso. Portanto, assumindo a hip´otese (rs < rp ) conclu´ımos que n˜ao ocorre a filtra¸c˜ao profunda das part´ıculas.. 3.1.2. Modelo para Part´ıculas Grandes. Para a inje¸ca˜o de part´ıculas grandes onde o raio das part´ıculas ´e maior que o raio do poro (rs > rp0 ), considerando as express˜oes em (2.27) temos que γ = α = 0. Portanto, nenhum poro ser´a acess´ıvel as part´ıculas e n˜ao ocorre fluxo de part´ıculas no interior do meio poroso (SANTOS, 2005). Substituindo as equa¸co˜es (3.1) e (3.2) no problema modelo (2.26), integrando a equa¸ca˜o (2.26c) sobre rp e considerando o fato de que γ = α = 0, obtemos o sistema de equa¸co˜es na forma ∂Σ(rs , X, T ) 0= ∂T ∂Σ(r , X, T ) s = φλC(rs , X, T ) ∂T Z ∞ ∂h(X, T ) = −φλ C(rs , X, T ) drs ∂T rp0. (3.11a) ∀ X ∈ (0, L] × (0, T ]. (3.11b) (3.11c). onde λ(rs , rp0 ) = λ ´e obtido experimentalmente. Considerando as condi¸co˜es iniciais (2.28) e resolvendo a equa¸c˜ao de (3.11a) obtemos Σ(rs , X, T ) = 0. ∀ X > 0. (3.12). O resultado acima assegura que as part´ıculas n˜ao s˜ao capturadas no interior do meio poroso e consequentemente as part´ıculas s˜ao retidas em X = 0. Resolvendo a equa¸ca˜o (3.11b) apenas na se¸c˜ao de entrada do meio poroso (X = 0), temos que a concentra¸c˜ao de part´ıculas capturadas ´e dada na forma Σ0 (rs , T ) =. φλ(rs , rp0 ). Z. T. C0 (rs , T ) dT.. (3.13). 0. Como n˜ao existem part´ıculas em suspens˜ao no interior do meio poroso temos que C(rs , X, T ) = 0; X > 0. (3.14). Substituindo (3.14) na equa¸c˜ao (3.11c), considerando as condi¸co˜es iniciais e de contorno (2.28) obtemos a solu¸c˜ao h(X, T ) = h0 (X); X > 0.. (3.15). Portanto, o resultado acima garante que o n´ umero de poros no interior do meio poroso n˜ao.
(36) 3.2 Modelo com Pequena Varia¸ca˜o no Tamanho de Poros. 20. se altera durante o processo de inje¸c˜ao. Substituindo (3.13) e (3.14) em (2.8), a concentra¸ca˜o total de part´ıculas retidas na entrada do meio poroso ´e dada por Z σ0 (T ) = φ. ∞. λ(rs , rp0 ). T. Z. C0 (rs , T ) dT drs .. (3.16). 0. 0. Integrando (2.26b) de zero a infinito sobre rs e (2.26c) sobre rp , obtemos uma condi¸c˜ao de compatibilidade que permite computar o total de poros vagos em fun¸ca˜o das part´ıculas retidas ∂h ∂σ =− . ∂T ∂T. (3.17). h(X, T ) = h(0) (X) − σ(X, T ).. (3.18). Logo. Substituindo a equa¸c˜ao (3.16) em (3.18), obtemos a equa¸ca˜o para a concentra¸c˜ao de poros livres na se¸ca˜o de entrada do meio poroso h0 (T ) = h00 − σ0 (T ).. (3.19). Podemos perceber que a hip´otese de part´ıculas grandes (rs > rp ) assegura a ausˆencia de transporte no interior do dom´ınio, como podemos notar na equa¸c˜ao (3.14). Dessa forma, as part´ıculas s˜ao retidas unicamente na face de entrada do meio poroso quantificadas pela equa¸ca˜o (3.16). Portanto a modelagem do problema de exclus˜ao pelo tamanho ´e reduzido a um processo de filtragem por membrana (SANTOS; BEDRIKOVETSKY; FONTOURA, 2008).. 3.2. Modelo com Pequena Varia¸ c˜ ao no Tamanho de Poros. Vamos considerar um meio poroso com pequena varia¸c˜ao no tamanho de poros, isto ´e, os raios dos poros varia dentro do intervalo [rp min , rp max ], e rp max − rp min rp min . Os raios dos poros s˜ao uniformemente distribu´ıdo dentro do intervalo [rp min , rp max ]. O raio das part´ıculas injetadas ´e distribu´ıdo de acordo com qualquer fun¸c˜ao de distribui¸ca˜o de probabilidade arbitr´aria, que ´e independente do tempo (SANTOS; BEDRIKOVETSKY, 2006). Assumindo uma distribui¸ca˜o de tamanho de poro uniforme na seguinte forma. H(rs , x, t) =. 0, . rp > rp max ou rp < rp min ,. h(x, t) , rp max − rp min. rp min < rp < rp max .. (3.20).
(37) 3.2 Modelo com Pequena Varia¸ca˜o no Tamanho de Poros. 21. A substitui¸ca˜o da equa¸ca˜o (3.20) em (2.27) nos permite obter express˜oes para os fatores de redu¸c˜ao de fluxo e acessibilidade para part´ıculas de tamanho intermedi´ario (rp min < rs < rp max ), dadas na forma. rp3 max − rs3 γ(rs ) = 3 , rp max − rp3 min. (3.21). rp5 max − rs5 . rp5 max − rp5 min. (3.22). α(rs ) =. As igualdades (3.21) e (3.22) asseguram que as fra¸c˜oes γ e α tornam-se dependentes apenas do raio da part´ıcula rs . Consequentemente, o sistema (2.26) ´e reescrito na forma ∂C(rs , X, T ) ∂C(rs , X, T ) 1 ∂Σ(rs , X, T ) γ(r ) + α(r ) = − , s s ∂T ∂X φ ∂T ∂Σ(rs , X, T ) = φη(r )C(r , X, T ), s s ∂T Z ∞ rp4 H(rp , X, T ) ∂H(rp , X, T ) = −φ R∞ λ(rs , rp )C(rs , X, T ) drs , ∂T rp 4 rp H(rp , X, T ) drp . (3.23a) (3.23b) (3.23c). 0. onde. η(rs ) =. 0, rs < rp mim r Rs λ(rs ,rp )rp4 drp rp min , rp min < rs < rp max , rp Rmax rp min rp max R. rp4 drp. λ(rs ,rp )rp4 drp rp min , rp max R rp4 drp . (3.24). rs ≥ rp max. rp min. Observe que para as hip´oteses de part´ıculas pequenas (rs < rp min ) ou grandes (rs > rp max ), o sistema (3.23) ´e equivalente aos sistemas (3.3)–(3.5) e (3.11), respectivamente. Portanto, a solu¸ca˜o para part´ıculas pequenas ´e dada pelas equa¸co˜es (3.6)–(3.8) e a solu¸c˜ao para part´ıculas grandes ´e dada pelas equa¸co˜es (3.12)–(3.16). Por outro lado, as part´ıculas de tamanho intermedi´ario (rp min < rs < rp max ) realizam filtra¸ca˜o profunda, isto ´e, uma fra¸ca˜o de cada concentra¸ca˜o de part´ıculas ´e capturada durante o transporte de part´ıculas atrav´es do meio poroso. Com o objetivo de discutirmos a filtra¸ca˜o profunda de part´ıculas de tamanho intermedi´ario, vamos substituir a equa¸ca˜o (3.23b) em (3.23a) que resulta em ∂C(rs , X, T ) ∂C(rs , X, T ) + α(rs ) = −η(rs )C(rs , X, T ). (3.25) ∂T ∂X A solu¸ca˜o da equa¸ca˜o hiperb´olica n˜ao-homogˆenea (3.25) ´e obtida pelo m´etodo das curvas γ(rs ).
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